函数单调性的判定方法

函数单调性的判定方法

1.判断具体函数单调性的方法

1.1 定义法

一般地，设f 为定义在D 上的函数。若对任何1x 、D x ∈2，当21x x <时，总有

(1))()(21x f x f ≤，则称f 为D 上的增函数，特别当成立严格不等)()(21x f x f <时，称f 为D 上的严格增函数；

(2))()(21x f x f ≥,则称f 为D 上的减函数，特别当成立严格不等式)()(21x f x f > 时，称f 为D 上的严格减函数。

利用定义来证明函数)(x f y =在给定区间D 上的单调性的一般步骤： （1）设元，任取1x ,D x ∈2且21x x <； （2）作差)()(21x f x f -；

（3）变形（普遍是因式分解和配方）；

（4）断号（即判断)()(21x f x f -差与0的大小）；

（5）定论（即指出函数 )(x f 在给定的区间D 上的单调性）。 例1.用定义证明)()(3R a a x x f ∈+-=在),(+∞-∞上是减函数。

证明：设1x ,),(2+∞-∞∈x ，且21x x <，则

).)(()()()(212221123132323121x x x x x x x x a x a x x f x f ++-=-=+--+-=-

由于04

3)2(2

2221212

2

21>++=++x x x x x x x ，012>-x x 则0))(()()(212

2

211221>++-=-x x x x x x x f x f ，即)()(21x f x f >，所以)(x f 在()+∞∞-,上是减函数。 例2.用定义证明函数x

k

x x f +

=)( )0(>k 在),0(+∞上的单调性。 证明：设1x 、),0(2+∞∈x ，且21x x <，则

)()()()(2

21121x k

x x k x x f x f +-+

=-)()(2121x k x k x x -+-=

)(

)(211221x x x x k x x -+-=)()(212121x x x x k x x ---=))((2

12121x x k

x x x x --=， 又210x x << 所以021<-x x ，021>x x ，

当1x 、],0(2k x ∈时021≤-k x x ⇒0)()(21≥-x f x f ，此时函数)(x f 为减函数； 当1x 、),(2+∞∈k x 时021>-k x x ⇒0)()(21<-x f x f ，此时函数)(x f 为增函数。 综上函数x

k

x x f +

=)( )0(>k 在区间],0(k 内为减函数；在区间),(+∞k 内为增函数。 此题函数)(x f 是一种特殊函数（对号函数），用定义法证明时通常需要进行因式分解，由于

k x x -21与0的大小关系)0(>k 不是明确的，因此要分段讨论。

用定义法判定函数单调性比较适用于那种对于定义域内任意两个数21,x x 当21x x <时，容易得出

)(1x f 与)(2x f 大小关系的函数。在解决问题时，定义法是最直接的方法，也是我们首先考虑的方法，

虽说这种方法思路比较清晰，但通常过程比较繁琐。 1.2 函数性质法

函数性质法是用单调函数的性质来判断函数单调性的方法。函数性质法通常与我们常见的简单函数的单调性结合起来使用。对于一些常见的简单函数的单调性如下表：

函数

函数表达式

单调区间

特殊函数图像

一次函数

)

0(≠+=k b kx y

当0>k 时，y 在R 上是增函数；

当0

二次函数

c

bx ax y ++=2),,,0(R c b a a ∈≠ 当0>a 时，a

b

x 2-

<时y 单调减, a

b

x 2-

>时y 单调增； 当0

b

x 2-<时y 单调增，

a

b

x 2->时y 单调减。

反比例函数

x

k y =

R k ∈(且0≠k )

当0>k 时,y 在0

>x 时单调减；

当0x 时单调增。

指

数函数

x a y =

)1,0(≠>a a

当1>a 时，y 在R 上是增函数；

当10<

对数函数

x

y a log =

)1,0(≠>a a

当1>a 时，y 在),0(+∞上是增函数；

当10<

一些常用的关于函数单调的性质可总结如下几个结论： ⑴．)(x f 与)(x f +C 单调性相同。（C 为常数）

⑵．当0>k 时，)(x f 与)(x kf 具有相同的单调性；当0

)

(1

x f 具有相反的单调性。 ⑷．当)(x f 、)(x g 在D 上都是增（减）函数时，则)(x f ＋)(x g 在D 上是增（减）函数。 ⑸．当)(x f 、)(x g 在D 上都是增（减）函数且两者都恒大于0时，)(x f )(x g 在D 上是增（减）函

数；当)(x f 、)(x g 在D 上都是增（减）函数且两者都恒小于0时，)(x f )(x g 在D 上是减（增）函数。

⑹．设)(x f y =,D x ∈为严格增（减）函数，则f 必有反函数1

-f

，且1

-f

在其定义域)(D f 上也是严

格增（减）函数。

例3.判断5)1(2log )(21323+++++=+x x x x x f x 的单调性。

解:函数)(x f 的定义域为),0(+∞，由简单函数的单调性知在此定义域内323log ,,x x x 均为增函数，因为021>+x ,012>+x 由性质⑸可得)1(221++x x 也是增函数；由单调函数的性质⑷知

x x x 23lo g ++为增函数，再由性质⑴知函数)1(2log )(21323++++=+x x x x x f x +5在),0(+∞为单调