2.4 向量的应用
2.4.1 向量在几何中的应用
2.4.2 向量在物理中的应用
基础知识 基本能力
1．掌握用向量的方法解决实际问题的步骤．(重点)
2．熟记平面向量的相关概念及运算法则．(重点、难点) 1．会用向量的方法计算或证明平面几何和解析几何的相关问题．(重点)
2．会用向量的方法处理物理中有关力、速度等矢量的合成与分解问题．(难点)
1．向量在平面几何中的应用
(1)证明线段相等，转化为证明向量的长度相等，求线段的长，转化为求向量的长度；
(2)证明线段、直线平行，转化为证明向量共线；
(3)证明线段、直线垂直，转化为证明向量的数量积为零；
(4)平面几何中与角相关的问题，转化为向量的夹角问题；
(5)对于与长方形、正方形、直角三角形等平面几何图形有关的问题，通常以相互垂直的两边所在的直线分别为x轴和y轴，建立平面直角坐标系，通过代数(坐标)运算解决平面几何问题．
【自主测试1－1】在四边形ABCD中，若AB→＝13CD→，则四边形ABCD是( )
A．平行四边形 B．梯形
C．菱形 D．矩形
解析：由AB→＝13CD→⇒AB∥CD，且AB≠CD，故四边形ABCD为梯形，故选B．
答案：B
【自主测试1－2】在△ABC中，已知|AB→|＝|AC→|＝4，且AB→·AC→＝8，则这个三角形的形状是__________．
解析：∵AB→·AC→＝|AB→||AC→|cos∠BAC＝8，∴4×4×cos∠BAC＝8，∴∠BAC＝60°.又|AB→|＝|AC→|，
∴△ABC为等边三角形．
答案：等边三角形 2．向量在解析几何中的应用
(1)设直线l的倾斜角为α，斜率为k，A(x1，y1)∈l，P(x，y)∈l，向量a＝(m，n)平行于l，则k＝y－y1x－x1＝nm＝tan α；反之，若直线l的斜率k＝nm，则向量(m，n)一定与该直线平行．
(2)向量(1，k)与直线l：y＝kx＋b平行．
第一部分：平面对量的概念及线性运算
一.基础学问 自主学习
1．向量的有关概念
名称 定义 备注
向量 既有 又有 的量；向量的大小叫做向量的 (或称 ) 平面对量是自由向量
零向量 长度为 的向量；其方向是随意的 记作0
单位向量 长度等于 的
向量 非零向量a的单位向量为±a|a|
平行向量 方向 或 的非零向量 0与任一向量 或共线 共线向量
的非零向量又叫做共线向量
相等向量
长度 且方向 的向量 两向量只有相等或不等，不能比较大小
相反向量 长度 且方向 的向量 0的相反向量为0
2.向量的线性运算
向量运算 定义 法则(或几何
意义) 运算律
加法 求两个向量和的运算
(1)交换律：
a＋b＝b＋a.
(2)结合律：
(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)．
减法 求a与b的相反向量－b的和的运算叫做a与b的差 法则 a－b＝a＋(－b)
数乘 求实数λ与向量a的积的运算 (1)|λa|＝|λ||a|.
(2)当λ>0时，λa的方向与a的方向 ；
当λ<0时，λa的方向与a的方向 ；当λ＝0时，λa＝0. λ(μa)＝λμa；
(λ＋μ)a＝λa＋μa；
λ(a＋b)＝λa＋λb.
3.共线向量定理
向量a(a≠0)与b共线的 条件是存在唯一一个实数λ，使得b＝λa.
二.难点正本 疑点清源
1．向量的两要素
向量具有大小和方向两个要素．用有向线段表示向量时，与有向线段起点的位置没有关系．同向且等长的有向线段都表示同一向量．或者说长度相等、方向相同的向量是相等的．向量只有相等或不等，而没有谁大谁小之说，即向量不能比较大小．
2．向量平行与直线平行的区分
向量平行包括向量共线(或重合)的状况，而直线平行不包括共线的状况．因而要利用向量平行证明向量所在直线平行，必需说明这两条直线不重合．
6.3.1 平面向量的基本定理及加减数乘坐标运算(精讲)
思维导图
考法一 平面向量的基本定理
【例1-1】(2021·陕西)下列各组向量中，可以作为基底的是( )
A．120,0,1,2ee B．121,2,5,7ee
C．123,5,6,10ee D．12132,3,,24ee
【例1-2】(2020·怀仁县大地学校高一月考)如图在梯形ABCD中，2BCAD，DEEC，设BAa，BCb，则BE( )
A．1124ab B．1536ab
C．2233ab D．1324ab
【例1-3】(2020·全国高一课时练习)在三角形ABC中，M为AC的中点，若,ABBMBCR，则下列结论正确的是( ) 常见考法
A．1 B．3 C．20 D．20
【例1-4】(2020·全国高一课时练习)在边长为2的正方形ABCD中，E为CD的中点，AE交BD于F.若3AFxAByAD，则xy( )
A．1 B．59 C．13 D．59
【举一反三】
1．(2020·上海)下列各组向量中，能成为平面内的一组基向量的是( )．
A．122,1,6,3ee B．122,1,6,3ee
C．122,1,6,3ee D．122,1,0,0ee
2．(2020·河南高一其他模拟)如图，在ABC中，点Q为线段AC上靠近点A的三等分点，点P为线段BQ上靠近点B的三等分点，则PAPC( )
A．1233BABC B．5799BABC C．11099BABC D．2799BABC
3．(2020·湖北高一期末)如图，在△ABC中，D，E，F分别为线段BC，AD，BE的中点，则AF=( )
共线定理以及三点共线
一、向量共线定理
平面向量共线定理：对平面内任意的两个向量babba//),0(,的充要条件是：存
在唯一的实数，使ba
例1.
设
与是两个不共线的向量，
且向量
与共线，
则
A. 0
B.
C.
D.
【解答】
解：因为向量
与共线，
所以存在实数x
有，
则
，解得
故选D．
例2.
已知向量
，
，且
与
共线，，
则
A.
B.
C.
或
D.
或
【解答】
解：
与共线，
，
，
，
或．
故选：D．
例3.
若
、
是不共线向量，
，
，且，则k
等于
A. 8 B. 3
C.
D.
【解析】
解：
，
是不共线向量，
，
，且，
存在实数
使得．
．
，解得．
故选D．
例4.
向量
，
，若
与
共线且方向相反，则______．
【解答】
解：，
，
解得，
又
与方向相反，
．
故答案为．
例5.已知点P在线段AB上，
且，
设，
则实数______．
【解析】
解：如图所示，
点P在线段AB
上，且，
；
又，
．
故答案为：．
例6.
已知向量______．
【解析】
解：
，
，则有，
解得，
故答案为．
例7.
已知是
平面内两个不共线向量，
，若A，B，D三点共线，则k
的值为
A. 2
B.
C. D. 3
【解答】
解：，
，
、B、D
三点共线，
与共线，
存在唯一的实数
，使得
即解得．
故选A．
例8.
已知
、
是两个不共线向量，设
，
，，若A，
B，C
三点共线，则实数
的值等于 A. 1 B. 2
C.
D.
【解答】
解：
，
，，
，，
，B，C三点共线，
不妨设，
，
，
解得．
故选C．
例9.
设
，
是两个不共线的向量，已知
，
，
，若三点A，B，D共线，则k
的值为
A. B. 8 C. 6
D.
【解答】
解：，因为三点A，B，D共线，
所以
与共线，
则存在实数
，使得
，即
，由向量相等的条件得
，所以
．
故选A．
例10.
设
，
是不共线向量，
与共线，则实数k为______ ．
【解答】
解：
与
共线，且
，是不共线向量，
存在实数
满足：，
且
，．
故答案为．
例11.
