数列的差分

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ak-1(或用算子记号, Dak-1 ? 0而Dak 0).数列A在第k项处达到相对极小, 若ak ak+1而ak ? ak-1(或Dak-1 ? 0而Dak 0).数列A在第k项处上凹, 若Dak Dak-1(或用二阶差分的算子记号, D2ak-1 0).数列A在第k项处下凹, 若Dak Dak-1(或D2ak-1 0).注意: 在k-1处的二阶差分决定了k项处的凹性. 决定凹性的另一种看法是: 当一阶差分增加时数列上凹, 而当一阶差分减小时数列下凹.定义1.4 数列A在第k项处有一个拐点, 倘若D2ak和D2ak-1有不同的正负号.例讨论数列 {n2 - 4n + 3}的性质构造an = n2 - 4n + 3的前7个数列值的差分表, 并用该表确定数列在何处增加、减少, 达到相对极大或极小, 上凹、下凹以及是否有拐点.一. 差分方程的基本概念二. 齐次线性差分方程的解析解定义2.1 差分方程是一种方程, 该方程表明数列中的任意项如何用前一项或几项来算.初始条件是该数列的第一项. 出现在差分方程中的项的最大下标减去最小下标得到的数称为差分方程的阶.定义2.2 如果差分方程中包含数列变量(即包含an)的项不包含数列变量的乘积, 不包含数列变量的幂, 也不包含数列变量的诸如指数, 对数或三角函数在内的函数, 那么我们称该差分方程是线性的. 否则差分方程就是非线性的. 注意这种限制只适用于包含数列变量的项, 而不能用于不包含数列变量的其它项.线性的非线性的定义2.3 线性差分方程称为齐次的, 如果它只包含数列变量的项.如果略掉非齐次方程中不包含数列变量的项, 就得到一个齐次方程, 称之为与原方程相应的齐次方程.齐次的对于差分方程的研究主要是差分方程的求解(当可以求解的时候)以及讨论解的性质. 能够给出解析解的差分方程是为数很少的一部分, 大多数差分方程是不能给出解析解的, 此时, 只能对其解的性质给出一定的讨论, 讨论解的性质(解的变化趋势, 是周期的还是非周期的或混沌的)有两种方法: 一是数值计算方法, 二是定性或定性定量结合的方法.§2 一阶线性差分方程差分方程的解具有不同的形式: 数值, 图形, 公式定义2.4 数值解是从一个或多个初值出发迭代差分方程得到的一张数值表.例如, 在银行帐户上以7%的利息积累起来的钱数是由差分方程 an+1 = an + 0.07an来确定, 其中an表示n个月后银行中的存款数.定义2.5 差分方程的一个解析解是一个函数, 当把它代入差分方程时就得到一个恒等式, 而且还满足任何给定的初始条件.差分方程 an+1 = an + 0.07an若把函数ak = (0.07)kc, 其中c为任意常数, 代入差分方程就得到一个恒等式:定义2.6 差分方程的一个通解是一个函数, 当代入特定值后就得到相应于不同初值的特解.ak = (0.07)kc称为差分方程an+1 = an + 0.07an的通解, 因为代入c的特定值就给出与不同的初值a0相应的特解.数值解与解析解的比较: 在求银行模型的数值解时只需要一个差分方程和一个初值. 这是数值解的一个强有力的性质—求数值解时无须要求差分方程具有特殊的性质. 只要从一个或多个初值开始进行迭代计算就行了. 另一方面, 因为没有第k 项的一个一般的公式, 每一项必须从前一项或几项算得. 从一个数值解来预测解的长期性态可能是困难的.解析解给出了一个我们可以直接计算数列中任何特定项的函数. 解析解的另一个优点是, 当我们求得一个解析解时, 通常也同时得到了通解. 相比之下, 用迭代计算求得的解只从属于某个初始条件.二. 齐次线性差分方程的解析解定理2.1 一阶线性差分方程an+1 = ran + b的解为若r ? 1. an = bn + c, 若r = 1.§3 (二元)一阶线性差分方程组由两个或多于两个的差分方程构成的方程组称为差分方程组. 在差分方程组中, 单个差分方程的阶数的最大数称为差分方程组的阶数.§4 差分方程和差分方程组的应用差分方程模型是实际应用中常见的一种数学模型. 用差分方程模型解决实际问题如同别的数学模型一样, 大致需经过三个步骤.第一步: 设定好实际问题中的未知函数, 按照已知的相关领域中的物理, 力学, 化学, 生物, 经济等学科的规律用于建立相邻的自变量值(一般就是相邻时间)的未知函数取值间的依赖关系, 建立差分方程模型.第二步: 对上述建立的差分方程模型, 若能直接求解的则求出其解, 若不能直接求解的或直接求解比较困难的, 则用定性的方法讨论其解的变化趋势及性质.第三步: 将数学讨论得到的结果与实际情形加以对照, 然后给实际问题一个满意的答复.例4.1 建立并讨论经济学中的蛛网模型.在分析市场经济中农产品的价格和产量之间的关系中常常要用到如下的规律: 本期产量(或市场供给量)决定本期价格, 而本期价格决定下期产量. 为了建立相关的数学模型, 可以假设P表示价格, Q表示产量, D表示需求函数, S表示供给函数, 时间n表示第n期. 那么Pn表示第n期的价格, Qn表示第n期的产量. 把上述所的规律用数学式子写出来, 即为将上述两式合并, 得(4.1)式就是关于Pn为未知函数的差分方程. 下面给出简单情形下的差分方程(4.1). 把市场济中的市场供给量、价格、市场需求量之间的规律归结为下面的三条:市场供给量对价格变动的反应是滞后的, 即第n期的供给量取决于第n-1期的价格Pn-1,而这种相依关系简单地取为即相依关系是线性的正比例关系, 而价格不能太小，至少，从而市场需求量对价格变动的反应是瞬时的, 即第n期的市场需求量取决于本期的价格Pn,类似地这种相依关系简单地取为即相依关系是线性的, 价格Pn减少, 市场需求量增加, 价格不能太高, 至少从而市场平衡条件为市场清销, 供需相等, 即把(4.2)式和(4.3)式代入(4.4)式得方程(4.5)就是该问题的差分方程模型, 它是一个一阶常系数线性差分方程.易知方程(4.5)对应的齐次方程的通解为方程(4.5)的特解为因此方程(4.5)的通解为其中A是任意常数.用求得则用(4.6)来讨论方程(4.5)的解的性质:情形1. 当b d, 若t?+(, 则Pn收敛于P*, 这时称P*为均衡价格;情形2. 当b = d时, P0, P1, P2, L, Pn, L在均衡价格P*,两旁作周期振荡;情形3. 当b d时, 若t?+(, 则Pn越来越远离均衡价格发散振荡.a2 = 130.68, b2 = 139.22,a7 = 142, b7 = 128,a14 = 146, b14 = 126,a30 = 147, b30 = 123,二阶线性差分方程对应的齐次方程为将tn代入(2), 得t满足下列一元二次方程:情形1. a2 - 4b 0. 此时方程(3)有两个实根t1, t2. 而方程(2)的通解为其中C1和C2是任意常数.情形2. a2 - 4b = 0. 此时方程(3)仅有一个实根t1. 而方程(2)的通解为其中A和B是任意常数.情形3. a2 - 4b 0. 此时方程(3)有一对共轭复根改写为方程(2)的通解为其中A和B是任意常数求(1)的一个特解, 设a* = C, 将其代入方程(1)得求斐波那契数列的一般项. 比内公式设第n个月有兔子an对, 则这是一个二阶齐次差分方程. 求解代数方程得两个实根则得其中A和B是任意常数等比数列的前n项和.设数列{an}为以r(r?1)为公比的等比数列, 首项a1 = a, 用Sn记该数列的前n项和, 则这是一个二阶齐次差分方程. 求解代数方程得两个实根则得其中A和B是任意常数.等比数列的前n项和.由于S1 = a1 = a, S2 = a1 + a2 = a(1 + r), 则解以上关于A和B的方程组可得则植物叶序中的斐氏数列开卜勒研究了“叶序”问题, 即植物生长过程中叶花果在茎上的排列顺序问题, 其结论中也出现了与斐氏数列有关的数字.植物的叶子在茎上的排列, 对同一种植物来说是有一定规律的, 若把位于茎周同一母线位置的两片叶子叫做一个周期的话, 那么将是一些特定的数, 它只是随植物品种不同而不同.自然界中的斐氏数列榆树: 山毛榉: 樱桃:梨树柳树:树枝生长波兰数学家史坦因豪斯在其名著《数学万花筒》中有这样一个问题:一棵树一年后长出一条新枝; 新枝隔一年后成为老枝, 老枝便可每年长出一条新枝. 如此下去, 十年后树枝将有多少?这个问题只是斐波那契数列问题的变化而已, 即树枝的繁衍方式是按照斐波那契数列增加的.蜜蜂进蜂房问题一只蜜蜂从蜂房A出发, 想爬到1, 2, 3, L, n号蜂房, 但只允许它自左向右(不许反向倒走), 那么它爬到各号蜂房的路线数也恰好构成一个斐波那契数列.斐氏数列通项的表达式组合数和的形式斐氏数列与数学游戏把一个边长为8的正方形按图(1)方式剪裁, 然后拼成图(2)的矩形, 拼后你会发现:原来正方形面积为: 64矩形面积是: 65注意到正方形和矩形边长数字 5, 8, 13恰好是斐氏数列中相邻的三项, 斐氏数列有性质:若按照上面的办法把正方形剪拼成矩形(要求面积不变), 应当如何剪裁?。