基于整数微分的差分算子定义
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基于整数微分的位移算子定义
当前，信息科学正在面临着深刻的变革和迅猛的发展，信号处理的发展就是其中的一个重要的组成部分。
许多新思路，新方法，新技术不断的涌现出来。
近年来，分数阶算子在许多工程应用领域和科学技术领域引起了广泛的关注和逐步深入细致的研究。
分数阶运算包括分数阶微积分，分数阶福利叶变换，分数阶小波变换等各种各样的分数阶变换越来越多的被人们用到各种工程的领域之中，并且已经取得了一些重要的结果。
随着对分数阶微积分的研究深入，分数阶的思想逐渐渗透到各个领域，虽然目前分数阶算子在各个领域的应用中并不是很完备。
但是，随着未来研究的深入，分数阶算子一定会对工程技术的进步和科学技术的发展产生重大的影响。
分数阶系统是整数阶系统的一个推广，目前已经在信号处理中应用。
很多文献已经对
分数阶微分方程所描述的分数阶系统进行了深入的研究，包括分数阶系统的辨识【1】
，Tom
和Hartley 提出了连续分布阶的概念【2】
，将一般的分数阶微分系统转化为公因子阶分数系统，加快了分数阶微分系统的研究。
相对于分数阶微分系统的研究，分数阶差分系统的研究则显得相对要缓慢一些。
目前，对于分数阶差分的研究文献并不是很多。
而离散系统在工程的各个领域中有着重要的应用，通常情况下，我们都是用一个差分方程去描述一个离散系统，如比较典型的AR 模型，MA 模型，ARMA 模型等，都是常见的差分方程模型，在各个领域中都有着广泛的应用。
因此，对于分数阶差分的研究显得尤为重要。
在相关文献中，分数阶差分算子的定义都是借用中心化差分的思想，定义分数阶差分算子。
这种定义方法比较适合于图像的边缘检测，但是不适用于系统的建模，分数阶差分算子的意义也不明确。
在本文中，我们根据经典的整数阶微分定义，逆用其思想，用整数阶微分去定义分数阶差分算子，该定义比较直观明了，意义清晰，容易理解。
1分数阶差分算子的定义
我们已经知道，函数()u t 的()n n Z ∈阶导数为
0()lim (1)(),n
n
n
k
h k n D u t h u t kh n N k -→=⎛⎫
=--∈ ⎪⎝⎭
∑
式中n k ⎛⎫
⎪⎝⎭
为二项式系数。
注意到上式的最后一项为()u t nh -，当(nh v v →为任意实数）时，()u t nh -变为了
()u t v -，即T ()()v u t u t v =-，定义T v 为分数阶差分算子，则该差分算子可以由()u t 的各
阶导数通过加权求和来逼近。
当0h →时，得到
0()(1)(),n
n
n
k k n h D u t u t kh n N k =⎛⎫
≈--∈ ⎪⎝⎭
∑
则利用二项式的系数化简上式，建立起()u t kh -和()u t 之间各阶导数之间的关系，得到
1
00()(1)()()(1)()n
n n
n
k
k k n i k k n h D u t u t kh a h D u t u t nh k -==⎛⎫
≈--=+-- ⎪⎝⎭∑∑
当n 为奇数时，得
1
()()()()n nh
k k n n i k T u t u t nh a h D u t h D u t -==-=-∑
N 为偶数时，得
1
()()()()n nh
n
n
k k i k T u t u t nh h D u t a h D u t -==-=-∑
其中，i a 满足如下方程组：
000
0121
11
11
11111
2
122
2111......
......0(1)(1)......(1)......(1)00(1)......
................
0.0............................(1) (00)
......
.......
......
(1)j n j n i i j
n n n C C C C C C C C C C C C -----⎛ ---- - --⎝
0111222111(1)(1)......(1)n n n n n n n a C a C a C a C ---⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪-⎪
⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪-⎪
⎪ ⎪=⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎭⎝⎭
上式的矩阵为一个n 阶上三角矩阵，其中，矩阵第i 行，第j 列的元素为(1)i i
j C -，通过求解上述方程组，可以得到各个加权系数(0,1......1)i a i n =-的值。
基于以上方程组的解，定义如下分数阶差分算子（为了统一，统一去n 为奇数的情况）：
1
lim ()lim ()()n v
k k n n i h h k nh v
nh v T u t nh a h D u t h D u t -→→=→→=-=-∑
其中，(0,1......1)i a i n =-的值由上述方程组得到。
2分数阶差分算子的性质 有分数阶差分算子的定义
1
00
lim ()lim ()()n v
k k n n i h h k nh v
nh v T u t nh a h D u t h D u t -→→=→→=-=-∑
我们可以得到该算子的几条性质： （1）[()()]()()v v v T s t u t T s t T u t +=+。
