下载文档原格式
微分算子作用1. 概述微分算子是微积分中的重要概念，用于描述函数的变化率。
它是一个操作，作用于一个函数，生成另一个函数。
微分算子的作用可以理解为对函数进行求导或求微分的过程。
微分算子在数学、物理、工程等领域有着广泛的应用。
在数学中，微分算子是微分方程的基础，可以用于研究函数的性质和解析解。
在物理中，微分算子可以描述物体的运动和变化，如速度、加速度等。
在工程中，微分算子可以用于信号处理、图像处理、控制系统等各种应用。
2. 常见的微分算子常见的微分算子有导数算子、偏导数算子和拉普拉斯算子等。
2.1 导数算子导数算子是一种一阶微分算子，用于描述函数的变化率。
对于函数f(x)，导数算子的作用可以表示为：D(f(x))=df(x) dx其中，D表示导数算子，df(x)dx表示函数f(x)的导数。
2.2 偏导数算子偏导数算子是一种多变量函数的微分算子，用于描述函数在各个方向上的变化率。
对于多变量函数f(x1, x2, …, xn)，偏导数算子的作用可以表示为：∂f(x1,x2,...,xn)∂xi其中，∂∂xi 表示偏导数算子，∂f(x1,x2,...,xn)∂xi表示函数f(x1, x2, …, xn)对变量xi的偏导数。
2.3 拉普拉斯算子拉普拉斯算子是一种二阶微分算子，用于描述函数的曲率和变化率。
对于函数f(x1, x2, …, xn)，拉普拉斯算子的作用可以表示为：Δf(x1,x2,...,xn)=∇2f(x1,x2,...,xn)其中，Δ表示拉普拉斯算子，∇2表示梯度算子的平方，∇2f(x1,x2,...,xn)表示函数f(x1, x2, …, xn)的拉普拉斯。
3. 微分算子的性质微分算子具有一些重要的性质，包括线性性、乘积法则和链式法则等。
3.1 线性性微分算子具有线性性，即对于任意函数f(x)和g(x)，以及任意实数a和b，有：D(af(x)+bg(x))=aD(f(x))+bD(g(x))其中，D表示微分算子。
一、概念精髓1、概念精髓：积分变微分对大多数人来说，积分难于上青天，微分三下五除二。
微分算子法正是将积分的难转化为微分的易。
这也正是引入微分算子法的最大最好的理由依据2、概念正误分辨说明D是微分，1/D 是积分。
在其前的都是因式，其后的都是待微分或积分的分辨x(1/D)e x=(1/D)xe x=e x(1/D)x ? 错，因为顺序不一样，待积分的项也不一样，分别为e x，xe x，xsinxD(e x) =e x D(sinx) ? 错，因为待微分的项分别为e x,sinx总之，在有微分算子的式子中不要以为就像普通的因式相乘一样可以前后交换因式。
但是，它以算子为分界，只分前后两部分，如xe x sinx(1/D)x3cos4x前面的因式中xe x sinx是可交换的相乘，后面的待微积分的x3cos4x也可交换(是因式)。
二、方法单纯项这是基础，要牢记若f(x)含常数系数，直接保留不变。
这适合所有算子公式。
1、f(x)=e kx (纯幂函数)直接代入系数如y”+2y’+3y=4e5x→ y*=(1/D2+2D+3)4e5x=(1/(25+10+3))4e5x=4/38e5x=2/19e5x2、f(x)=v(x)=a0x m+a1x m-1+…a m-1x+a m (纯多项式)用长除法如y”+2y’+3y=4x2+5x+6 → y*=(1/D2+2D+3)4x2+5x+6长除法就是仅对1/(D2+2D+3)的除法用小学的除法计算式来算。
限于文本方式无法直观示出。
本例中先以1除以3得商1/3，要减的乘积为1+2/3D+1/3D2，余数为-2/3D-1/3D2。
再除以3得商-2/9D，要减的乘积为-2/3D-4/9D2-2/9D3，余数为1/9D2。
此时3次方项不必再写出，因为此多项式的最高次为2。
再除以3得商1/27D2，至此计算结束，即1/(D2+2D+3)= 1/3-2/9D+1/27D2。
∴y*=(1/3-2/9D+1/27D2)4x2+5x+6 (上面是积分，现已变为微分)=(4/3x2+5/3x+6/3)+(-2/9*8x-2/9*5)+(1/27*8)=4/3x2-1/9x+32/27这算是一个较复杂的例子，但若用待定系数法应该会更复杂。
微分算子法多项式除法摘要：一、微分算子法的概念1.微分算子的定义2.微分算子在数学中的应用二、多项式除法的基本原理1.多项式的表示方法2.多项式除法的步骤3.多项式除法的应用三、微分算子法在多项式除法中的应用1.微分算子法的基本思想2.微分算子法在多项式除法中的具体应用3.微分算子法与传统多项式除法的比较四、微分算子法在实际问题中的应用1.微分算子在微分方程求解中的应用2.微分算子在数据处理和机器学习中的应用正文：微分算子法是一种在数学领域广泛应用的方法，它涉及到微分算子的定义及其在各种问题中的应用。
其中，多项式除法是微分算子法的一个重要应用方向。
本文将首先介绍微分算子法的相关概念，然后阐述多项式除法的基本原理，接着分析微分算子法在多项式除法中的应用，最后讨论微分算子法在实际问题中的具体应用。
一、微分算子法的概念微分算子是一种在数学中广泛应用的算子，它可以用于表示各种变化率和导数。
给定一个函数f(x)，我们可以定义微分算子Df(x) 为：Df(x) = f"(x)。
其中，f"(x) 表示函数f(x) 在点x 处的导数。
微分算子可以用于表示各种变化率和导数，例如，一阶导数、二阶导数等。
二、多项式除法的基本原理多项式除法是一种基本的数学运算，它可以用于计算两个多项式相除的结果。
给定两个多项式P(x) 和Q(x)，多项式除法的步骤如下：1.将除数Q(x) 的最高次项与被除数P(x) 的最高次项相除，得到商的常数项。
2.将商的多项式乘以除数Q(x)，并从被除数P(x) 中减去得到一个新的多项式。
3.将新多项式的最高次项与除数的次高次项相除，得到商的次高次项。
4.将商的多项式乘以除数Q(x)，并从新多项式中减去得到一个新的多项式。
5.重复上述过程，直到除数的次数小于被除数的次数，此时多项式除法结束。
三、微分算子法在多项式除法中的应用微分算子法在多项式除法中的应用主要体现在利用微分算子表示多项式的导数，从而简化多项式除法的计算过程。
张宇讲的微分算子法一、引言微分算子法（Operator method）是高等数学中的一种常用求解微分方程的方法。
它由中国著名数学家张宇在其讲授的高等数学课程中提出并详细讲解。
本文将对张宇讲的微分算子法进行全面详细、完整且深入的介绍和解析。
二、微分算子法概述微分算子法是一种将微分方程转化为代数方程求解的方法。
通过引入一个特殊的算子，可以将微分方程转化为代数方程，从而简化了问题的求解过程。
三、微分算子在微分算子法中，我们首先需要引入一个特殊的算子——微分算子（Differential Operator）。
对于一个函数f(x)，其对应的微分算子为D，表示为D[f(x)]。
常见的微分算子包括一阶导数算子D、二阶导数算子D²等。
对于一阶导数算子D，其定义为：D[f(x)] = f'(x)其中f’(x)表示f(x)对x的一阶导数。
四、微分方程与代数方程转换通过引入微分算子，我们可以将一个n阶线性常系数齐次微分方程转化为一个n次代数方程。
具体的转换方法如下：1.将微分方程中的函数用微分算子表示，例如对于f(x)，用D表示。
2.将微分方程中的导数用微分算子表示，例如对于f’(x)，用D[f(x)]表示。
3.将微分方程中的常数项移至等号右侧。
4.应用微分算子的性质和运算规则，将微分方程转化为代数方程。
5.求解代数方程，得到原微分方程的解。
五、示例下面通过一个具体的例子来演示如何使用微分算子法求解微分方程。
例题：求解二阶线性常系数齐次微分方程：y'' - 3y' + 2y = 0解答：1.首先引入微分算子D，将函数y(x)表示为D[y]。
2.将导数用微分算子表示，将常数项移至等号右侧，得到：(D² - 3D + 2)y = 03.将方程中的D²、D和常数项2应用到函数y上，得到：(D² - 3D + 2)[y] = 04.根据代数方程的性质和运算规则，我们可以将上述代数方程拆分为两个代数方程：(D - 1)(D - 2)[y] = 05.求解上述代数方程，得到两个根：D = 1和D = 2。
微分算子法微分算子法分类小结一、n 阶微分方程1、二阶微分方程： 22d y d x +p(x)xd dy+q(x)y=f(x)2、n 阶微分方程： y (n)+a 1y (n-1)+a 2y (n-2)+a 3y (n-3)+ ... +a n y=f(x)二、微分算子法 1、定义符号：D x=d d，D 表示求导，如Dx 3=3x 2，D n y 表示y 对x 求导n 次；D 1表示积分，如D1x=x 212 , n D 1x 表示对x 积分n 次，不要常数。
2、计算将n 阶微分方程改写成下式：D n y +a 1D n-1y +a 2D n-2y +a 3D n-3y + ... +a n-1Dy +a n y=f(x) 即 （D n +a 1D n-1+a 2D n-2+a 3D n-3+ ... +a n-1D +a n ）y=f(x) 记F(D)=D n +a 1D n-1+a 2D n-2+a 3D n-3+ ... +a n-1D +a n规定特解：y*=)(F(D)1x f3、F (D )1的性质(1)性质一：F(D)1e kx =F(k)1ekx (F (k) 不等于0）注：若k 为特征方程的m 重根时，有F (D )1e kx = x m (D)F 1(m)e kx = x m(k)F 1(m)e kx(2)性质二：F(D)1e kx v (x)= e kxk)F(D 1+v (x)(3)性质三：特解形如F(D)1sin(ax)和 F(D)1cos(ax)i.考察该式（该种形式万能解法）：F(D)1e iax利用性质一和二解出结果，并取相应的虚部和实部 作为原方程的特解 注：欧拉公式 eiax= cos(ax)+i sin(ax)虚数 i 2= -1ii.若特解形如) F(D 12sin(ax)和) F(D 12cos(ax)，也可按以下方法考虑： 若F (-a 2)≠ 0，则)F (D 12sin(ax)=)F(-a 12sin(ax) )F(D 12cos(ax)=)F(-a 12cos(ax)若F (-a 2)= 0 ，则按i.进行求解，或者设-a 2为F (-a 2)的m 重根，则)F(D 12sin(ax)=x m)(D F 12(m)sin(ax))F(D 12cos(ax)=x m) (D F 12(m)cos(ax)(4)性质四（多项式）：F(D)1（x p +b 1x p-1+b 2x p-2+...+b p-1x+b p ）= Q(D)（xp+b 1x p-1+b 2x p-2+...+b p-1x+b p ）注：Q (D)为商式，按D 的升幂排列，且D 的最高次幂为p 。
微分方程的算子算法算子算法的基本思想是将微分方程中的微分算子用一种离散化的方式表示出来，然后将微分方程转化为一个线性代数方程组，通过求解方程组得到微分方程的近似解。
下面将详细介绍算子算法的具体步骤和关键技术。
1.离散化：首先将微分方程中的连续变量离散化，将其表示为一组有限个离散点的集合。
通常采用等间距离散方法，即将求解区间分为若干个等距的小区间，然后在每个区间内选择一个离散点作为离散点。
2.近似：通过逼近方法将微分算子离散化。
主要有两种常用的逼近方法：有限差分方法和有限元方法。
有限差分方法是将微分算子用差分算子代替，即用离散点的函数值来逼近函数在该点处的导数。
有限元方法是将微分方程的解表示为一组基函数的线性组合，通过在每个小区间内选择一个基函数，然后通过调节基函数的系数，使得近似解在离散点处的值与微分方程的解尽可能接近。
3.矩阵表示：将离散化后的微分方程转化为一个线性代数方程组。
通过将微分方程中的导数替换为近似值，得到一个线性代数方程组，其中未知数为离散点的函数值，系数矩阵和常数向量由离散化和逼近所确定。
4. 求解：通过求解线性代数方程组得到微分方程的近似解。
通常采用数值线性代数方法求解，如Gauss消元法、LU分解法、迭代法等。
求解得到的是离散点的函数值，可以通过插值方法将离散点的函数值插值到整个求解区间，得到微分方程的近似解。
算子算法的优点是可以适用于各种类型的微分方程，可以求解高阶的微分方程，并且有较好的数值稳定性和收敛性。
但是算子算法也存在一些问题，如离散化带来的误差问题、边界条件的处理问题等，需要根据具体问题进行合理的选取和处理。
总之，算子算法是一种重要的求解微分方程的数值计算方法。
通过将微分方程离散化和逼近，转化为一个线性代数方程组，然后通过求解方程组得到微分方程的近似解。
算子算法在科学计算和工程应用中有着广泛的应用前景。
微分算子作用(一)微分算子作用什么是微分算子微分算子是微分运算的符号化表示。
在数学中，微分算子是用来描述函数变化率的一种运算符号。
微分算子的定义微分算子一般由一个或多个变量和导数组成。
常见的微分算子有：•一阶微分算子：常见的一阶微分算子包括一阶导数、梯度和散度等。
•二阶微分算子：常见的二阶微分算子包括二阶混合导数、拉普拉斯算子等。
微分算子的作用微分算子通过作用于函数，可以得到函数的变化率，从而提供关于函数的各种信息。
微分算子的作用可以概括为以下几个方面：1.求导：微分算子可以对函数进行求导运算，得到函数在某一点的切线斜率。
2.求高阶导数：通过多次应用微分算子，可以得到函数的高阶导数信息，进一步揭示函数的变化规律。
3.计算梯度：梯度是一阶微分算子的一种推广，它可以用来描述函数在多维空间中的变化趋势。
4.计算散度：散度是一种描述矢量场源汇性质的微分算子，可以用来判断矢量场的收敛或发散情况。
5.计算拉普拉斯算子：拉普拉斯算子是二阶微分算子的一种常用形式，在物理学中有广泛的应用。
应用举例微分算子的应用非常广泛，以下是一些常见的应用领域：•物理学：微分算子在描述粒子运动、场强分布等物理现象中起到关键作用。
•工程学：微分算子在工程领域中用于描述流体力学、电场分布等问题。
•计算机科学：微分算子在图像处理、计算机视觉等领域中有着重要的应用。
•金融学：微分算子可以用于股价变化的预测和风险分析等方面。
总结微分算子是微分运算的符号化表示，通过作用于函数可以得到函数的变化率和其他重要信息。
它在数学和各个科学领域中都有着广泛的应用，对于研究和理解事物的变化规律具有重要意义。
微分算子及其在信号处理中的应用微分算子是数学中的一个重要概念，它在信号处理领域中有着广泛的应用。
微分算子可以用来描述信号的变化率，通过对信号进行微分运算，可以提取出信号的特征信息，实现信号的分析、处理和识别。
在信号处理中，常用的微分算子包括一阶导数、二阶导数和高阶导数等。
一阶导数可以用来描述信号的变化趋势，它可以帮助我们分析信号的斜率、峰值和变化速度等特征。
二阶导数可以用来描述信号的曲率，它可以帮助我们分析信号的拐点、极值和波峰波谷等特征。
高阶导数可以进一步提取信号的高阶特征，如信号的平滑度、曲线形状等。
微分算子在信号处理中的应用非常广泛。
首先，微分算子可以用来滤波和去噪。
通过对信号进行微分运算，可以提取出信号的高频成分，从而实现对信号的滤波处理。
同时，微分算子还可以通过对信号的变化率进行分析，识别和去除信号中的噪声成分，提高信号的质量和准确性。
其次，微分算子可以用来辅助信号的特征提取和识别。
通过对信号进行微分运算，可以提取出信号的关键特征，如边缘、峰值等。
这些特征可以用于信号的分类、识别和模式匹配等应用。
例如，在语音信号处理中，通过对语音信号进行一阶导数运算，可以提取出语音信号的共振峰位置，从而实现语音的识别和辨别。
此外，微分算子还可以应用于信号的分析和建模。
通过对信号进行微分运算，可以得到信号的频谱特性和频域响应，进一步研究信号的频率分布和频率响应。
这对于信号的分析、建模和系统设计都具有重要意义。
综上所述，微分算子在信号处理中具有重要的应用价值。
通过对信号进行微分运算，可以提取出信号的特征信息，实现信号的分析、处理和识别。
微分算子的应用不仅可以提高信号的质量和准确性，还可以辅助信号的特征提取和识别，以及信号的分析和建模等。
因此，微分算子在信号处理中扮演着不可或缺的角色。
微分算子的原理微分算子是微积分中的一个重要概念，用于描述函数的变化率。
它是一个作用在函数上的运算符，通过对函数进行微分运算，求得函数在某一点的导数。
微分算子的原理是基于极限的思想，通过无限小的变化来描述函数的性质。
微分算子的核心思想是将函数的变化转化为无穷小的局部变化。
在微积分中，我们研究函数的变化通常是通过求导来实现的。
而微分算子就是求导运算的一种表示方式，它通过作用在函数上将函数转化为导数。
在数学中，微分算子常用符号表示为d/dx，其中d表示微分的操作，dx表示自变量的无穷小变化。
微分算子作用在函数上，可以将函数转化为导数的形式。
例如，对于函数f(x)，它的导数可以表示为df(x)/dx，其中df(x)是函数f(x)的微分，dx表示自变量x的无穷小变化。
微分算子的原理可以通过极限的概念来解释。
当我们求函数在某一点的导数时，实际上是在研究函数在该点附近的局部变化。
我们可以将函数在该点附近进行局部近似，用切线来逼近函数的变化。
这个切线的斜率就是函数在该点的导数。
微分算子的原理还可以通过微分的定义来解释。
微分的定义是函数在某一点的改变量与自变量的改变量的比值，当自变量的改变量趋于零时，这个比值就可以近似地等于导数。
微分算子在这个过程中起到了将函数转化为导数的作用。
微分算子的原理在实际应用中具有重要的意义。
它可以用于解决许多实际问题，如物理中的运动学问题、经济学中的边际分析问题等。
通过微分算子，我们可以对函数的变化进行精确的描述和分析，从而更好地理解和应用数学在实际问题中的作用。
微分算子的原理是基于极限的思想，通过作用在函数上将函数转化为导数的形式。
它是微积分中的重要概念，用于描述函数的变化率。
微分算子的原理在实际应用中具有广泛的应用，对于理解和应用数学起到了重要的作用。
通过深入研究和理解微分算子的原理，我们可以更好地掌握微积分的核心思想，提高数学的应用能力。
谈谈算子SCIbird适当的引入一些算子可以简洁地展现出数学结构，比如差分算子Δ定义为：()(1)()f x f x f x Δ=+−，2:()f x Δ=ΔΔ，再定义移位算子()(1)Ef x f x =+，以及恒等算子()()If x f x =，则差分算子满足()()()f x E I f x Δ=−，即E I Δ=−容易发现()()mE f x f x m =+，所以00()()()(1)()(1)()n n k n n k n k n k k f x E I f x E f x f x k −−==⎛⎞⎟⎜Δ=−=−=−+⎟⎜⎜⎟⎝⎠∑∑ 类似地，()()()()f x If x E f x ==−Δ，()n n I I E ==−Δ 思考题：令()n f x x =，问()?n f x Δ=，1()?n f x −Δ=以微积分的观点看，利用拉格朗日中值定理，得1()(1)()()f x f x f x f ξ′Δ=+−=然后再利用一次，得12()()()f x f f ξξ′′′ΔΔ=Δ=，这样()()(),(,1)n n n n f x f x x ξξΔ=∈+可惜n ξ的位置不知道，不过对()n f x x =有()()!n f x n =是一个常数。
以拉格朗日中值定理为桥梁，将差分与微分联系起来了。
实际上还可以进一步挖掘联系。
算子的引入很多时候是形式算子，但发现特别好用，莫非是巧合。
深入研究后发现，数学中其实没有那么多巧合，“巧合”后面往往有深层含义。
这方面最具代表性的要数Laplace 变换了，抛开这个吓人的专有名词，先看一个例子。
考虑微分方程：(),(0)0y f x y ′==. 直接利用牛顿莱布尼茨积分公式，得()()x y x f t dt =∫ 英国工程师海维塞德思考上述方法后，提出了一个形式微分算子法，定义算子d D dx =， 则微分方程可写成()Dy f x =，于是移项得：1()y f x D= 对比上面的积分过程可知01x D =∫，于是002111x x D D D ==∫∫等等。
海维塞德将这个思想应用到一般的常系数微分方程中去，考虑方程(1)()(),(0)'(0)"(0)(0)0n P y D y f x y y y −======L这里()P x 是一个n 次多项式。
于是得到形式解1()()y f x P D = 海维塞德按照自己的想法认为如果1()P D /能展开成关于1D /的幂级数，即11()kk k a P D D∞==∑ 则原方程的解即为111()()()k k k y f x a f x P D D ∞=⎛⎞⎟⎜==⎟⎜⎟⎜⎝⎠∑ 以一个具体的例子来说明上述方法可能更容易些。
考虑微分方程：'1,(0)0y y y −==，写成算子形式(1)1D y −=，这里约定数字1为恒等算子。
则按上面的形式算子方法得到形式解（等比级数展开）1211111111111D y D D D D D⎛⎞⎛⎞⎟⎜⎟⎜⎟=⋅=⎜=+++⋅⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎜−−⎝⎠L 根据定义有0111x dt x D ⋅==∫，0221111(1)2x x tdt D D D ⋅=⋅==∫， (11)n nx D n ⋅= 所以 2011()112x x x t x y x x e e dt e D D⎛⎞⎟⎜⎟=+++===−⎜⎟⎜⎟⎝⎠∫L 代回原微分方程验证，它确实是一个解。
受过严格数学训练的人难以接受这种魔术般的形式方法，但工程师不受此约束，只要这个方法的结果是对的即可，至于数学上的严格性不在考虑范围之内。
实际上对于某些问题，这种形式微分算子方法确实比传统方法效率高。
当然本文的关键的问题不是方法简洁与否，而是如此奇怪的形式算子方法为什么是对的，是巧合吗？如果不是巧合，那么很可能打开一片新的天地。
历史确实如此，人们经过深入研究发现，上面的形式算子解法本质是一种积分变换，简称L-变换。
L-变换一般定义为：0[()]()()pt L f t f t e dt F p +∞−==∫这和微积分中含参数积分是一类问题，为了保证被积函数的收敛性需要对()f t 和正数p（实际可以取复数）附加一些控制条件，实际中基本满足。
这里避开一些琐碎数学细节方面的讨论（细节请大家查阅大学的《积分变换》教材），而直奔矛盾核心。
考虑微分方程：(1)()(),(0)'(0)"(0)(0)0n P y D y f x y y y −======L则根据L-变换性质，有[()](),[()](),[()]()m mL y x Y p L y x p Y p L f x F p === 对原方程两边做L-变换得到：()()()P p Y p F p =---把微分方程变换成代数方程 （对比下即知道()P p 相当于形式微分算子里的()P D ，这说明海维塞德的形式微分算子方法本质是L-变换）。
（为对比海维塞德的方法，默认可展开成幂级数）解代数方程得到：1111()()()()()k k k k k k a Y p F p F p a F p P p p p ∞∞==⎛⎞⎟⎜===⎟⎜⎟⎜⎝⎠∑∑ L -变换存在逆变换1L −，1L −也是线性变换。
则依照定义1111111()[()]()[()]k k k k k k y x L Y p L a F p a L F p p p ∞−∞−=−=⎡⎤⎛⎞⎛⎞⎟⎟⎜⎜⎢⎥===⎟⎟⎜⎜⎢⎥⎟⎟⎜⎜⎝⎠⎝⎠⎣⎦∑∑ 根据L-变换的定义，直接验证不难得到01[()]()x L f t dt F p p=∫ 反复应用上述结论，得k 重积分对应的L-变换为1()k F p p，于是求逆变换得到 0011[()]()x k x L F p dt f t dt p −=∫∫L 这正是海维塞德的形式微分算子法。
注意到L-变换的每一个数学性质是有严格的数学证明的（请参考大学《数理方程》或《积分变换》教材），这就揭示了形式微分算子的数学本质。
求逆变换1L −有一般的数学公式，不过要涉及复平面上的积分这里不细说了。
不过比较实用的方法是对常见的函数建立L-变换表，应用时再查表（像求积分中原函数），这很像建立原函数表的方法（本质上导数表）。
另外关于两个变换（像函数）乘积的逆变换，可不是原来两个原像函数的简单乘积了，而是复杂一些的“卷积”，这里不细说了。
这里的L-变换即传说中的Laplace 变换。
根据我的了解，英国工程师海维塞德发现形式微分算子法的时候并不知道Laplace 变换，而Laplace 变换是数学家们为研究形式微分算子法的深层含义而“考古”时发现的。
因为根据已知数学文献，法国数学家拉普拉斯（此人名声不太好）最早用过此方法（但不系统），故而得名。
最后再补充一个Laplace 例子，求下面n 阶常系数微分方程的一个特解 ()x P D y e λ=我们利用L-变换求原方程的一个特解。
如果λ不是多项式方程()0P t =的根，则由x k k x D ee λλλ=，得 ()()x x P D e P e λλλ= 显然()x y e P λλ=/是原方程的一个特解。
如果λ是多项式方程()0P t =的根，就麻烦些了。
假设为m 重根，即()()(),()0m P t Q t t Q λλ=−≠将()x P D y e λ=化为两个微分方程，如下()()x Q D f x e λ= 与 ()()m D y f x λ−=前一个方程根据前面的讨论，知可以取()()x f x e Q λλ=/，所以我们只需要求解方程()()x m D y e Q λλλ−=/ 即可。
取原方程满足(1)(0)'(0)"(0)(0)0n m y y y y−−=====L 的根据L-变换性质，两边求L-变换得到 1()()()()m p Y p p Q λλλ−=− L-变换的两一个重要结论是：[()]()x L e f x F p λλ=− ， 1()!k k L x k p+=/于是得到 1![]()m m x m L x e p λλ+=− 利用此结论解原微分方程，得 1[()]!()m xx e Y p m Q y L λλ−== 对()()()mP t Q t t λ=−求m 阶导数，再令t λ=，得 ()()!()0m P m Q λλ=≠于是当λ是多项式方程()0P t =的m 重根时，()x P D y e λ=的一个特解为()()()m xm x e y x P λλ= 后记：L-变换求解微分方程的优点在于变微分方程为代数方程（或者变偏微分方程为常微分方程），而代数方程相对容易求解，上面的例子只是小试牛刀。
当然，最后还需要做反演变换（逆变换）才行。
应该说，反演变换未必简单，故L-变换很有用但也不是万能的。
不过根据实践经验，L-变换在工程中还是很实用的，主要应用在信息类和电器类专业领域。
从熟悉上看 ，L-变换还体现了所谓的RMI 原理，即把一类棘手的问题A ，转换为另一类问题B ，B 相对容易求解，解出B 后再做反演变换得到A ，这种迂回战术思想在很多领域都常见（不仅仅是数学）。
另一方面，换个视角看，L-变换体现了数学中的“核函数”和“收敛因子法”思想，上面两种数学思想主要体现于“含参数积分类问题”，大家学习时要多留心，多注意联系。
祝愿学弟学妹们学业有成，天天向上！SCIbird。
