第四章 三角函数

第四章 第六节 三角函数的性质1.函数y ＝tan 4x π⎛⎫-⎪⎝⎭的定义域是 ( ) A.{x |x ≠π4，x ∈R}B.{x |x ≠－π4，x ∈R}C.{x |x ≠kπ＋π4，k ∈Z ，x ∈R}D.{x |x ≠kπ＋3π4，k ∈Z ，x ∈R} 解析：∵x －π4≠kπ＋π2，∴x ≠kπ＋34π，k ∈Z.答案：D 2.函数y ＝lg(sin x )＋cos x －12的定义域为 .sin 0,1cos 0,2x x >⎧⎪⎨-⎪⎩≥即sin 0,1cos ,2x x >⎧⎪⎨⎪⎩≥解析：要使函数有意义必须有解得2,(Z)22,33k x k k k x k πππππππ<<+⎧⎪∈⎨-++⎪⎩≤≤ ∴2kπ<x ≤π3＋2kπ，k ∈Z ，∴函数的定义域为{x |2kπ<x ≤π3＋2kπ，k ∈Z}.答案：{x |2kπ<x ≤π3＋2kπ，k ∈Z}3.(2010·福州模拟)若函数y ＝sin x ＋f (x )在[－π4，3π4]内单调递增，则f (x )可以是( )A.1B.cos xC.sin xD.－cos x解析：y ＝sin x －cos x ＝2sin(x －π4)，－π2≤x －π4≤π2，满足题意，所以f (x )可以是－cos x . 答案：D4.求y ＝3tan(π6－x4)的周期及单调区间.解：y ＝3tan(π6－x 4)＝－3tan(x 4－π6)，∴T ＝π|ω|＝4π，∴y ＝3tan(π6－x4)的周期为4π.由kπ－π2＜x 4－π6＜kπ＋π2，得4kπ－4π3＜x ＜4kπ＋8π3(k ∈Z)，y ＝3tan(x 4－π6)在(4kπ－4π3，4kπ＋8π3)(k ∈Z)内单调递增.∴y ＝3tan(π6－x 4)在(4kπ－4π3，4kπ＋8π3)(k ∈Z)内单调递减.( ) A .2π B.3π2C .π D.π2解析：f (x )＝(1＋3tan x )cos x ＝cos x ＋3sin x ＝2sin(x ＋π6)，T ＝2π|ω|＝2π.答案：A6.若函数y ＝2cos(2x ＋φ)是偶函数，且在(0，π4)上是增函数，则实数φ可能是 ( )A.－π2 B.0C.π2D.π 解析：依次代入检验知，当φ＝π时，函数y ＝2cos(2x ＋π)＝－2cos2x ，此时函数y 是偶函数且在(0，π4)上是增函数.答案：D7.已知函数f (x )＝2sin ωx (ω＞0)在区间[－π3，π4]上的最小值是－2，则ω的最小值等于 ( ) A.23 B.32 C.2 D.3解析：由题意知,432,TT ππω⎧⎪⎪⎨⎪=⎪⎩≤解得ω≥32.答案：B8.已知函数f (x )＝sin 2ωx ＋3sin ωx sin(ωx ＋π2)(ω＞0)的最小正周期为π.(1)求ω的值；(2)求函数f (x )在区间[0，2π3]上的取值范围.解：(1)f (x )＝1cos 22x ω-＋32sin2ωx ＝32sin2ωx －12cos2ωx ＋12＝sin(2ωx －π6)＋12.因为函数f (x )的最小正周期为π，且ω＞0， 所以2π2ω＝π，解得ω＝1.(2)由(1)得f (x )＝sin(2x －π6)＋12.因为0≤x ≤2π3，所以－π6≤2x －π6≤7π6，所以－12≤sin(2x －π6)≤1，所以0≤sin(2x －π6)＋12≤32，即f (x )的取值范围为[0，32].9.设函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的图象关于直线x ＝π3对称，它的最小正周期是π，则函数f (x )的图象的一个对称中心是 ( ) A.(π3，1) B.(π12，0) C.(5π12，0) D.(－π12，0) 解析：∵T ＝2πω＝π，∴ω＝2，又∵函数f (x )的图象关于直线x ＝π3对称，∴sin(2×π3＋φ)＝±1，∴φ＝k 1π－π6，k 1∈Z ，由sin(2x ＋k 1π－π6)＝0得2x ＋k 1π－π6＝k 2π，k 1，k 2∈Z ，∴x ＝π12＋(k 2－k 1)π2，当k 1＝k 2时，x ＝π12，∴函数f (x )的图象的一个对称中心为(π12，0).答案：B10.(文)若a ＝(3cos ωx ，sin ωx )，b ＝(sin ωx,0)，其中ω＞0，记函数f (x )＝(a ＋b )·b ＋k . (1)若函数f (x )的图象中相邻两条对称轴间的距离不小于π2，求ω的取值范围；(2)若函数f (x )的最小正周期为π，且当x ∈[－π6，π6]时，函数f (x )的最大值是12，求函数f (x )的解析式，并说明如何由函数y ＝sin x 的图象变换得到函数y ＝f (x )的图象. 解：∵a ＝(3cos ωx ，sin ωx )，b ＝(sin ωx,0)， ∴a ＋b ＝(3cos ωx ＋sin ωx ，sin ωx ).故f (x )＝(a ＋b )·b ＋k ＝3sin ωx cos ωx ＋sin 2ωx ＋k ＝32sin2ωx ＋1－cos2ωx 2＋k ＝32sin2ωx －12cos2ωx ＋12＋k ＝sin(2ωx －π6)＋k ＋12.(1)由题意可知T 2＝π2ω≥π2，∴ω≤1.又ω＞0，∴0＜ω≤1. (2)∵T ＝2π2ω＝π，∴ω＝1. ∴f (x )＝sin(2x －π6)＋k ＋12.∵x ∈[－π6，π6]，∴2x －π6∈[－π2，π6].从而当2x －π6＝π6，即x ＝π6时，f (x )max ＝f (π6)＝sin π6＋k ＋12＝k ＋1＝12，∴k ＝－12.故f (x )＝sin(2x －π6).由函数y ＝sin x 的图象向右平移π6个单位长度，得到函数y ＝sin(x －π6)的图象，再将得到的函数图象上所有点的横坐标变为原来的12倍(纵坐标不变)，得到函数y ＝sin(2x －π6)的图象.(理)设函数f (x )＝sin(π4x －π6)－2cos 2π8x ＋1.(1)求f (x )的最小正周期；(2)若函数y ＝g (x )与y ＝f (x )的图象关于直线x ＝1对称，求当x ∈[0，43]时，y ＝g (x )的最大值.解：(1)f (x )＝sin π4x cos π6－cos π4x sin π6－cos π4x＝32sin π4x －32cos π4x ＝3sin(π4x －π3)，故f (x )的最小正周期为T ＝2ππ4＝8.(2)法一：在y ＝g (x )的图象上任取一点(x ，g (x ))，它关于x ＝1的对称点为(2－x ，g (x )). 由题设条件，点(2－x ，g (x ))在y ＝f (x )的图象上，从而 g (x )＝f (2－x )＝3sin[π4(2－x )－π3]＝3sin(π2－π4x －π3)＝3cos(π4x ＋π3).当0≤x ≤43时，π3≤π4x ＋π3≤2π3，因此y ＝g (x )在区间[0，43]上的最大值为g max ＝3cos π3＝32.法二：因区间[0，43]关于x ＝1的对称区间为[23，2]，且y ＝g (x )与y ＝f (x )的图象关于x ＝1对称，故y ＝g (x )在[0，43]上的最大值即为y ＝f (x )在[23，2]上的最大值.由(1)知f (x )＝3sin(π4x －π3)，当23≤x ≤2时，－π6≤π4x －π3≤π6. 因此y ＝g (x )在[0，43]上的最大值为g max ＝3sin π6＝32.。

sinx＋π6－cos2x＋π6＋1＝sinx＋π6＋sin2x＋π6＝a＋a2.
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第四章 三角函数
知识梳理
1. 诱导公式
－α
π－α π＋α 2π－α π2－α π2＋α 32π－α 32π＋α
sin( ) －sin α sin α －sin α －sin α cos α cos α －cos α －cos α
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第四章 三角函数
5. 已知π6<α<23π，cosα＋π3＝m(m≠0)，求 tan23π－α的值．
【解答】因为23π－α＝π－α＋π3，所以 cos23π－α＝cosπ－α＋π3＝－cosα＋π3＝
cos120°＝tan(－60°)＋2sin90°cos(180°－60°)＝－tan60°－2cos60°＝－ 3－1. 2. (必修4P23习题11改编)已知tan(π＋θ)＝2，那么sinθ·sinπ2－θ＝____25____. 【解析】由题意得 tanθ＝2，所以 sinθsinπ2－θ＝sinθcosθ＝sinsi2nθθ＋·ccoossθ2θ＝tanta2θn＋θ 1
sin2α sin2α＋cos2α
＝
tan2α tan2α＋1
＝
4 14＋1
＝
1 5
，由于角α为第三象限
角，故sinα＝－
55，cosα－π2＝sinα＝－
5 5.
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第四章 三角函数
2. 若角A，B，C是△ABC的三个内角，则下列等式中一定成立的是___④___．(填

A.a>b>c B.b>c>a C.c>b>a D.c>a>b
(2)(2014成都一模)已知sin(π-α)=log8
1 4
,且α∈
2
,
0
,则tan(2π-α)的值为
.
25
答案 (1)C (2) 5
解析 (1)∵b=cos 55°=sin 35°>sin 33°=a,∴b>a.
∵c=tan
35°=
、 R、
α α≠ 2 +kπ,k∈Z .
5.三角函数线 设角α的终边与单位圆交于点P,过点P作PM⊥x轴于点M,则有向线段MP 叫做角α的正弦线,有向线段 OM 叫做 角α的余弦线;过点A(1,0)作单位圆的切线交 角α的终边或其反向延长线于点T,则有向线 段AT叫做角α的 正切 线.
6.三角函数的符号规律 第一象限全“+”,第二象限正弦“+”,第三象限正切“+”,第四象限余 弦“+”.简称:一全、二正、三切、四余. 7.同角三角函数的基本关系 (1)平方关系: sin2α+cos2α=1 ;
(2)商数关系: 8.诱导公式
sin α =tan α .
cos α
组数 角
正弦
一 2kπ+α (k∈Z)
sin α
余弦
cos α
二 π+α
-sin α -cosα
三 -α
-sin α cos α
正切
tan α
tan α -tan α
四 π-α
sin α -cos α -tan α
五
六
-α
+α
α的值为
(

(2)该小组分析若干测得的数据后，认为适 当调整标杆到电视塔的距离d(单位：m)，使 α与β之差较大，可以提高测量精度，若电视 塔实际高度为125m，试问d为多少时，α－β 最大？ H h H
解析：(1)由AB＝tanα，BD＝tanβ，AD＝tanβ及AB＋BD
H h H htanα ＝AD，得 ＋ ＝ ，解得H＝ ＝ tanα tanβ tanβ tanα－tanβ 4×1.24 1.24－1.20 ＝124. 因此，电视塔的高度H是124m.


(3)方位角 从正北方向顺时针转到目标方向线的最小正 角，如B点的方位角为α(如图⑤) 3．用正弦定理和余弦定理解三角形的常见 题型有：测量距离问题、测量高度问题、测 量角度问题、计算面积问题、航海问题、物 理问题等．



误区警示 1．方位角与方向角要区分，方位角是由正 北方向顺时针旋转到目标方向线的最小正 角． 方向角是东、西、南、北、东南、西北、北 偏东30°、南偏西45°等． 2．如何将实际问题的角、长度归结到三角 形中，及解后考虑实际问题的实际意义．
H (2)由题设知d＝AB，得tanα＝ . d H－h H h 由AB＝AD－BD＝ － ，得tanβ＝ ， tanβ tanβ d tanα－tanβ 所以tan(α－β)＝ ＝ 1＋tanαtanβ h ≤ ， 2 HH－h HH－h 当且仅当d＝ ， d 即d＝ HH－h＝ 125×125－4＝55 5时， 上式取等号．所以当d＝55 5时，tan(α－β)最大． h HH－h d＋ d
解析：由题意知∠ABC＝30° AC AB 由正弦定理 ＝ sin∠ABC sin∠ACB 2 AC· sin∠ACB 50× 2 ∴AB＝ ＝ 1 ＝50 2(m)． sin∠ABC 2