五年级奥数题及答案高等难度试题汇编
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五年级奥数题及答案：高等难度试题汇编
1 / 7 平方差：（高等难度）
有这样一类数，它们可以写作两个自然数的平方差，如 3=22-12，被称作智慧树，那么从1开始，第1993个智慧数是多少？
平方差答案：
对于任意奇数2k+1=(k+1)2-k2 ，但1不符合要求，舍去 2，对于所有能被4整除的数， 4k=(k+1)2-(k-1)2，但4不符合要求，舍去 3，对于被4除余2的数，假设4k+2=x2-y2=(x-y)(x+y)，当 奇偶性相同时，(x-y)(x+y)可被4整除，及提设矛盾，舍去；当xy 奇偶性不同时，(x-y)(x+y) 为奇数，及提设矛盾，舍去. 显然，从5开始每4个数中有3个是智慧数，而1到4中只有3只智慧数，第1993个智慧数为(1993-1)÷3×4+4=2660。
约数倍数：（高等难度）
若 a , b , c 是三个互不相等的大于0的自然数，且a + b + c = 1155 ，则它们的最大公约数的最大值为（），最小公倍数的最小值为（），最小公倍数的最大值为（）
约数倍数答案：
解答：165、660、57065085
1) 由于a + b + c = 1155，而1155=3×5×7×11。令a=mp，b=mq，c=ms.m为a，b，c的最大公约数，则p+q+s最小取7。此时m=165.
2) 为了使最小公倍数尽量小，应使三个数的最大公约数m尽量大，并且使A，B，C的最小公倍数尽量小，所以应使m=165，A=1，B=2，C=4，此时三个数分别为165，330，660，它们的最小公倍数为660，所以最小公倍数的最小值为660。
3) 为了使最小公倍数尽量小，应使三个数两两互质且乘积尽量大。当三个数的和一定时，为了使它们的乘积尽量大，应使它们尽量接近。由于相邻的自然数是互质的，所以可以令1155=384+385+386，但是在这种情况下384和386有公约数2，而当1155=383+385+387时，三个数两两互质，它们的最小公倍数为383×385×387=57065085，即最小公倍数的最大值为57065085。
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2 / 7 扑克牌：（高等难度）
一副扑克牌（去掉两张王牌），每人随意摸两张牌，至少有多少人才能保证他们当中一定有两人所摸两张牌的花色情况是相同的？
扑克牌答案：
扑克牌中有方块、梅花、黑桃、红桃4种花色，2张牌的花色可以有：2张方块，2张梅花，2张红桃，2张黑桃，1张方块1张梅花，1张方块1张黑桃，1张方块1张红桃，1张梅花1张黑桃，1张梅花1张红桃，1张黑桃1张红桃共计10种情况.把这10种花色配组看作10个抽屉，只要苹果的个数比抽屉的个数多1个就可以有题目所要的结果.所以至少有11个人。
数字:（高等难度）
2008年第29届奥运会将在北京举办．则 20082008的个位数字是多少？
数字答案：
算式中每个乘数的个位数字都是 ，8×8×8×L 的个位数字周期性出现：8、4、2、6、8、4、2、6……，周期为4， 2008÷4=502，所以 的个位数字是6．
约数：（高等难度）
100以内约数个数最多的自然数有五个，它们分别是几？
约数答案：
如果恰有一个质因数，那么约数最多的是26=64，有7个约数；
如果恰有两个不同质因数，那么约数最多的是23×32＝72和25×3＝96，各有12个约数；
如果恰有三个不同质因数，那么约数最多的是22×3×5＝60，22×3×7＝84和2×32×5=90，各有12个约数。
所以100以内约数最多的自然数是60，72，84，90和96。
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3 / 7 座位：（高等难度）
一排椅子只有15个座位，部分座位已有人就座，乐乐来后一看，他无论坐在哪个座位，都将及已就座的人相邻。问：在乐乐之前已就座的最少有几人？
座位答案：
将15个座位顺次编为1:15号。如果2号位、5号位已有人就座，那么就座1号位、3号位、4号位、6号位的人就必然及2号位或5号位的人相邻。根据这一想法，让2号位、5号位、8号位、11号位、14号位都有人就座，也就是说，预先让这5个座位有人就座，那么乐乐无论坐在哪个座位，必将及已就座的人相邻。因此所求的答案为5人。
停车：（高等难度）
停车站划出一排12个停车位置，今有8辆不同的车需要停放，若要求剩余的4个空车位连在一起，一共有多少种不同的停车方案?
停车答案：
把4个空车位看成一个整体，及8辆车一块进行排列，这样相当于9个元素的全排
自然数：（高等难度）
对任意两个不同的自然数，将其中较大的数换成这两数之差，称为一次变换。如对18和42可进行这样的连续变换：18，42→18，24→18，6→12，6→6，6。直到两数相同为止。问：对12345和54321进行这样的连续变换，最后得到的两个相同的数是几？为什么？
自然数答案：
如果两个数的最大公约数是a，那么这两个数之差及这两个数中的任何一个数的最大公约数也是a。因此在每次变换的过程中，所得两数的最大公约数始终不变，所以最后得到的两个相同的数就是它们的最大公约数。因为12345和54321的最大约数是3，所以最后得到的两个相同的数是3。
答题：（高等难度）
100个人回答五道题，有81人答对第一题，91人答对第二题，85人答对第三题，79人答对第四题，74人答对第五题，答对三道题或三道题以上的人算及格，那么，在这100人中，至少有多少人及格。 五年级奥数题及答案：高等难度试题汇编
4 / 7 答题答案：
答对三道题或三道题以上的人算及格，要使100人中，及格人数尽可能少 则需使每人首先都答对其中的两题，余下 （81+91+85+79+74）-2×100=410-200=210道 尽量分配给少数人，这少数人中每人最多再对3道 所以210÷（5-2）=70（人） 即在这100人中，至少有70人及格。
乘积相等：（高等难度）
把5、6、7、14、15这五个数分成两组，使每组数的乘积相等。
乘积相等答案：
∵5=5，7=7，6=2×3，14＝2×7，15=3×5，
这些数中质因数2、3、5、7各共有2个，所以如把14
（=2×7）放在第一组，那么7和6（=2×3）只能放在第二组，继而15（＝3×5）只能放在第一组，则5必须放在第二组。
这样14×15=210=5×6×7。
这五个数可以分为14和15，5、6和7两组。
定义新运算：（高等难度）
规定：A○B表示A、B中较大的数，A△B表示A、B中较小的数．
若（A○5＋B△3）×（B○5+ A△3）＝96，且A、B均为大于0的自然数
A×B的所有取值有（ ）个。
共5种；
分类讨论，由于题目中所要求的定义新运算的符号是较大的数及较大的数，则对于A或者B有3类不同的范围，A小于3，A大于等于3，小于5，A大于等于5。对于B也有类似，两者合起来共有3×3=9种不同的组合，我们分别讨论。
1) 当A＜3，B＜3，则（5+B） ×（5+A）=96=6×16=8×12，无解；
2) 当3≤A＜5，B＜3时，则有（5+B）×（5+3）=96，显然无解； 五年级奥数题及答案：高等难度试题汇编
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3) 当A≥5，B＜3时，则有（A+B）×（5+3）=96，则A+B=12.
所以有A=10，B=2，此时乘积为20或者A=11,B=1,此时乘积为11。
4) 当A＜3，3≤B＜5，有（5+3）×（5+A）=96，无解；
5) 当3≤A＜5，3≤B＜5，有（5+3）×（5+3）=96，无解；
6) 当A≥5，3≤B＜5，有（A+3）×（5+3）=27，则A=9.此时B=3后者B=4。则他们的乘积有27及36两种；
7) 当A＜3，B≥5时，有（5+3）×（B+A）=96。此时A+B=12。A及B的乘积有11及20两种；
8) 当3≤A＜5，B≥5，有（5+3）×（B+3）=96。此时有B=9.不符；
9) 当A≥5，B≥5，有（A+3）×（B+3）=96=8×12。则A=5,B=9，乘积为45。
所以A及B的乘积有11,20,27，36,45共五种。
圆柱体：（高等难度）
如图，一个有底无盖圆柱体容器，从里面量直径为10厘米，高为15厘米在侧面距离底面9厘米的地方有个洞．这个容器最多能装（）毫升水（π取3.14）
圆柱体答案：
解答：942
现在要求这个容器尽可能的多装一些水，则将圆柱适当的倾斜，可得新的圆柱的体积为： 毫升水。
行程问题：（高等难度）
(2010年IMC 6年级复赛第22题，10分)")"有的母牛比一般人具有更健全的头脑，"有一位农夫就曾这样认为，"瞧！有一天我的那头老家伙，有着斑纹的母牛正站在距离桥梁中心点5英尺远的地方，平静地注视着河水发呆，突然，他发现一列特别快车以每小时90英里的速度向它奔驰而来，此时，火车已经到达靠近母牛一端的桥头附近，只有两座桥长的距离了。母牛毫不犹豫，马上不失时机地迎着飞奔而来的火车作了一次猛烈冲刺，终于得救了。此时距离火车头只剩1英尺了，如果母牛按照人的本能，以同样的速度离开火车逃跑，那么母牛的屁股将有3英寸要留在桥上！"试问：桥梁的长度是多少？这只母牛狂奔的速度是多少？（1英尺=12英寸） 五年级奥数题及答案：高等难度试题汇编
6 / 7 观察可知，老母牛一开始在火车的中心的左端。在相遇过程中，火车走了：2个桥长-1英尺；母牛走了：0.5个桥长-5英尺；在追及过程中：火车走了：3个桥长-0.25英尺；母牛走了：0.5个桥长+4.75英尺。则在相遇和追及过程中：火车共走了5个桥长-1.25英尺；同样的时间，母牛走了1个桥长-0.25英尺。所以火车的速度是母牛狂奔时的5倍。母牛的速度为90÷5=18英里/小时。又根据2个桥长-1英尺=2.5个桥长-25英尺所以0.5个桥长=24英尺。1个桥长=48英尺。
最值问题：（高等难度）
N是一个各位数字互不相等的自然数，它能被它的每个数字整除。N的最大值是（）。
最值问题答案：
N不能含有0，因为不能被0除。N不能同时含有5和偶数，因为此时N的个位将是0。如果含有5，则2，4，6，8都不能有，此时位数不会多。如果N只缺少5，则含有1，2，3，4，6，7，8，9，但是数字和为40，不能被9整除。所以必须再去掉一位，为了最大，应该保留9放到最高位，为了使数字和被9整除，还需要去掉4。此时由1，2，3，6，7，8，9组成，肯定被9整除，还需要考虑被7和8整除。前四位最大为9876，剩下三个数字组成的被8整除的三位数为312，9876312被7除余5；前四位如果取9873，剩下三个数字组成的被8整除的三位数为216，9873216被7除余3；前四位如果取9872，剩下三个数字组成的被8整除的三位数为136，9872136被7除余1；前四位如果取9871，剩下三个数字组成的被8整除的三位数为632，9871632被7除余1；前四位如果取9867，剩下三个数字组成的被8整除的三位数为312，9867312被7整除。
