北京海淀区进修实验学校2015-2016学年高二上学期期中数学试卷

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2015-2016学年北京海淀区进修实验学校高二(上)期中数学试卷 一、选择题:本大题共8小题,每小题4分,共32分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合要求的,把答案填在答题纸上的表格内. 1.下列说法正确的是( ) A.三点确定一个平面 B.四边形一定是平面图形 C.梯形一定是平面图形 D.平面α和平面β有不同在一条直线上的三个交点

2.已知命题p:“∀a>0,有ea≥1成立”,则¬p为( ) A.∃a≤0,有ea≤1成立 B.∃a≤0,有ea≥1成立 C.∃a>0,有ea<1成立 D.∃a>0,有ea≤1成立

3.在正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱所在的直线中,与直线AB垂直的异面直线共有( )

A.1条 B.2条 C.4条 D.8条 4.命题p:∀x∈R,x2+ax+a2≥0;命题q:若一条直线不在平面内,则这条直线就与这个平面平行,则下列命题中为真命题的是( ) A.p∨q B.p∧q C.(¬p)∨q D.(¬p)∧(¬q)

5.已知m,n表示两条不同直线,α表示平面,下列说法正确的是( ) A.若m∥α,n∥α,则m∥n B.若m⊥α,n⊂α,则m⊥n C.若m⊥α,m⊥n,则n∥α D.若m∥α,m⊥n,则n⊥α

6.设l,m,n均为直线,其中m,n在平面α内,则“l⊥α”是“l⊥m且l⊥n”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件

7.设A、B、C、D是空间四个不同的点,在下列命题中,不正确的是( ) A.若AC与BD共面,则AD与BC共面 B.若AC与BD是异面直线,则AD与BC是异面直线 C.若AB=AC,DB=DC,则AD=BC D.若AB=AC,DB=DC,则AD⊥BC 8.如图,已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1,E、F 分别是BC1、BD的中点,则至少过正方体3个顶点的截面中与EF平行的截面个数为( )

A.3个 B.4个 C.5个 D.6个 二、填空题:本大题共6小题,每小题4分,共24分 9.高为2的圆柱侧面积为4π,此圆柱的体积为__________.

10.已知直线b∥平面α,平面α∥平面β,则直线b与β的位置关系为 󰀀__________.

11.命题“如果直线l垂直于平面α内的两条相交直线,则直线l垂直于平面α”的否命题是 __________;该否命题是__________命题.(填“真”或“假”)

12.给定下列四个命题: ①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行,那么这两个平面相互平行; ②若一个平面经过另一个平面的垂线,那么这两个平面相互垂直; ③垂直于同一直线的两条直线相互平行; ④若两个平面垂直,那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直. 其中,为真命题的是__________.

13.某三棱锥的三视图如图所示,该三棱锥四个面的面积中最大值是__________.

14.如图,在四棱锥S﹣ABCD中,SB⊥底面ABCD.底面ABCD为梯形,AB⊥AD,AB∥CD,AB=1,AD=3,CD=2.若点E是线段AD上的动点,则满足∠SEC=90°的点E的个数是__________. 三、解答题:本大题共4小题,共44分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 15.已知命题p:m2+2m﹣3≤0成立.命题q:方程x2﹣2mx+1=0有实数根.若¬p为假命题,p∧q为假命题,求实数m的取值范围.

16.如图,在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中,O为底面ABCD的中心,P、Q分别是棱DD1、CC1的中点. (1)画出面D1BQ与面ABCD的交线,简述画法及确定交线的依据. (2)求证:平面D1BQ∥平面PAO.

17.如图所示,在三棱柱ABC﹣A1B1C1中,AA1B1B为正方形,BB1C1C是菱形,平面AA1B1B⊥平面BB1C1C. (Ⅰ)求证:BC∥平面AB1C1; (Ⅱ)求证:B1C⊥AC1.

18.(14分)如图所示,在四棱锥P﹣ABCD中,PD⊥平面ABCD,又AD∥BC,AD⊥DC,且PD=BC=3AD=3. (Ⅰ)画出四棱准P﹣ABCD的正视图; (Ⅱ)求证:平面PAD⊥平面PCD;

(Ⅲ)求证:棱PB上存在一点E,使得AE∥平面PCD,并求的值. 2015-2016学年北京海淀区进修实验学校高二(上)期中数学试卷

一、选择题:本大题共8小题,每小题4分,共32分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合要求的,把答案填在答题纸上的表格内. 1.下列说法正确的是( ) A.三点确定一个平面 B.四边形一定是平面图形 C.梯形一定是平面图形 D.平面α和平面β有不同在一条直线上的三个交点 【考点】平面的基本性质及推论. 【专题】常规题型. 【分析】不共线的三点确定一个平面,两条平行线确定一个平面,得到A,B,C三个选项的正误,根据两个平面如果相交一定有一条交线,确定D选项是错误的,得到结果. 【解答】解:A.不共线的三点确定一个平面,故A不正确, B.四边形有时是指空间四边形,故B不正确, C.梯形的上底和下底平行,可以确定一个平面,故C正确, D.两个平面如果相交一定有一条交线,所有的两个平面的公共点都在这条交线上,故D不正确. 故选C. 【点评】本题考查平面的基本性质即推论,考查确定平面的条件,考查两个平面相交的性质,是一个基础题,越是简单的题目,越是不容易说明白,同学们要注意这个题目.

2.已知命题p:“∀a>0,有ea≥1成立”,则¬p为( ) A.∃a≤0,有ea≤1成立 B.∃a≤0,有ea≥1成立 C.∃a>0,有ea<1成立 D.∃a>0,有ea≤1成立 【考点】命题的否定. 【专题】简易逻辑. 【分析】根据全称命题的否定是特称命题即可得到结论. 【解答】解:全称命题的否定是特称命题,则¬p:∃a>0,有ea<1成立, 故选:C. 【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定,比较基础.

3.在正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱所在的直线中,与直线AB垂直的异面直线共有( ) A.1条 B.2条 C.4条 D.8条 【考点】空间中直线与直线之间的位置关系. 【专题】空间位置关系与距离. 【分析】由已知条件利用垂直和异面直线的概念,结合正方体的结构特征直接求解. 【解答】解:如图,在正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱所在的直线中, 与直线AB垂直的异面直线有: DD1、CC1、A1D1,B1C1,共四条, 故选:C.

【点评】本题考查异面直线的条数的求法,是基础题,解题时要注意列举法的合理运用. 4.命题p:∀x∈R,x2+ax+a2≥0;命题q:若一条直线不在平面内,则这条直线就与这个平面平行,则下列命题中为真命题的是( ) A.p∨q B.p∧q C.(¬p)∨q D.(¬p)∧(¬q) 【考点】复合命题的真假. 【专题】简易逻辑. 【分析】对于命题p:由△≤0,即可判断出p的真假;对于命题q:若一条直线不在平面内,则这条直线与这个平面平行或相交,即可判断出q的真假.再利用复合命题真假的判定方法即可得出. 【解答】解:对于命题p:∵△=a2﹣4a2=﹣3a2≤0,∴∀x∈R,x2+ax+a2≥0,因此p是真命题; 对于命题q:若一条直线不在平面内,则这条直线与这个平面平行或相交,因此q是假命题. 则下列命题中为真命题的是p∨q,而p∧q,(¬p)∨q,(¬p)∨(¬q)都是假命题. 故选:A. 【点评】本题考查了复合命题真假的判定方法、一元二次不等式的解集与判别式的关系、空间线面位置关系,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.

5.已知m,n表示两条不同直线,α表示平面,下列说法正确的是( ) A.若m∥α,n∥α,则m∥n B.若m⊥α,n⊂α,则m⊥n C.若m⊥α,m⊥n,则n∥α D.若m∥α,m⊥n,则n⊥α 【考点】空间中直线与直线之间的位置关系. 【专题】空间位置关系与距离. 【分析】A.运用线面平行的性质,结合线线的位置关系,即可判断; B.运用线面垂直的性质,即可判断; C.运用线面垂直的性质,结合线线垂直和线面平行的位置即可判断; D.运用线面平行的性质和线面垂直的判定,即可判断. 【解答】解:A.若m∥α,n∥α,则m,n相交或平行或异面,故A错; B.若m⊥α,n⊂α,则m⊥n,故B正确; C.若m⊥α,m⊥n,则n∥α或n⊂α,故C错; D.若m∥α,m⊥n,则n∥α或n⊂α或n⊥α,故D错. 故选B. 【点评】本题考查空间直线与平面的位置关系,考查直线与平面的平行、垂直的判断与性质,记熟这些定理是迅速解题的关键,注意观察空间的直线与平面的模型.

6.设l,m,n均为直线,其中m,n在平面α内,则“l⊥α”是“l⊥m且l⊥n”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断;直线与平面垂直的性质. 【专题】阅读型. 【分析】由题意可知:l⊥α时,由线面垂直性质定理知,l⊥m且l⊥n.但反之不能成立,由充分必要条件概念可获解. 【解答】解:l,m,n均为直线,m,n在平面α内,l⊥α⇒l⊥m且l⊥n(由线面垂直性质定理). 反之,如果l⊥m且l⊥n推不出l⊥α,也即m∥n时,l也可能平行于α. 由充分必要条件概念可知,命题中前者是后者成立的充分非必要条件. 故选:A. 【点评】本题主要考查线面垂直和充分必要条件的有关知识.主要注意两点: (1)线面垂直判定及性质定理. (2)充分必要条件的判定,要注意方向性,即谁是谁的.

7.设A、B、C、D是空间四个不同的点,在下列命题中,不正确的是( ) A.若AC与BD共面,则AD与BC共面 B.若AC与BD是异面直线,则AD与BC是异面直线 C.若AB=AC,DB=DC,则AD=BC D.若AB=AC,DB=DC,则AD⊥BC 【考点】空间点、线、面的位置. 【专题】压轴题;阅读型. 【分析】逐一检验答案,A、B的正确性一致,C、D结合图形进行判断. 【解答】解:A显然正确;B也正确,因为若AD与BC共面,则必有AC与BD共面与条件矛盾 C不正确,如图所示: D正确,用平面几何与立体几何的知识都可证明. 故选C.

【点评】结合图形,通过仔细分析及举出反例,判断各答案是否正确 8.如图,已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1,E、F 分别是BC1、BD的中点,则至少过正方体3个顶点的截面中与EF平行的截面个数为( )