北京市海淀区高中课改水平监测高二数学(选修2-2)

章末检测(第五章)(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分) 1．i 是虚数单位，若集合S ＝{－1，0，1}，则( ) A ．i ∈S B ．i 2∈S C ．i 3∈S D.2i∈S2．z 1＝(m 2＋m ＋1)＋(m 2＋m －4)i ，m ∈R ，z 2＝3－2i ，则“m ＝1”是“z 1＝z 2”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件3．i 是虚数单位，复数3＋i1－i 等于( )A ．1＋2iB ．2＋4iC ．－1－2iD ．2－i4．已知a 是实数，a －i1＋i 是纯虚数，则a 等于( )A ．1B ．－1C.2D ．－25．若(x －i)i ＝y ＋2i ，x ，y ∈R ，则复数x ＋y i 等于( ) A ．－2＋i B ．2＋i C ．1－2iD ．1＋2i6．设a ，b 为实数，若复数1＋2ia ＋b i＝1＋i ，则( ) A ．a ＝32，b ＝12B ．a ＝3，b ＝1C ．a ＝12，b ＝32D ．a ＝1，b ＝37．已知关于复数z ＝21＋i的四个命题：p 1：|z |＝2，p 2：z 2＝2i ，p 3：z 的共轭复数为1＋i ，p 4：z 在复平面内对应的点位于第四象限．其中的真命题为( ) A ．p 2、p 3 B ．p 1、p 4 C ．p 2、p 4D ．p 3、p 48．已知复数w 满足w －1＝(1＋w )i(i 为虚数单位)，则w 等于( ) A ．1－i B ．－i C ．－1＋iD ．i9．已知f (n )＝i n －i －n (n ∈N ＋)，则集合{f (n )}的元素个数是( ) A ．2 B ．3 C ．4D ．无数个10．已知a 为实数，若复数z ＝(a 2－1)＋(a ＋1)i 为纯虚数，则a ＋i 20161＋i的值为( )A ．1B ．0C ．1＋iD ．1－i11．复平面上平行四边形ABCD 的四个顶点中，A ，B ，C 所对应的复数分别为2＋3i,3＋2i ，－2－3i ，则点D 对应的复数是( ) A ．－2＋3i B ．－3－2i C ．2－3i D ．3－2i12．定义运算⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b cd ＝ad －bc ，则符合条件⎪⎪⎪⎪⎪⎪z 1＋2i 1－i1＋i ＝0的复数z 的共轭复数z 对应的点在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．在复平面内，若z ＝m 2(1＋i)－m (4＋i)－6i 所对应的点在第二象限，则实数m 的取值范围是________．14．已知m ，n ∈R ，若log 2(m 2－3m －3)＋ilog 2(m －2)为纯虚数，复数z ＝m ＋n i 的对应点在直线x ＋y －2＝0上，则|z |＝________.15．已知复数z ＝3＋i(1－3i )2，z 是z 的共轭复数，则z ·z ＝________.16．下列说法中正确的序号是________．①若(2x －1)＋i ＝y －(3－y )i ，其中x ∈R ，y ∈∁C R ，则必有⎩⎪⎨⎪⎧2x －1＝y ，1＝－(3－y )；②2＋i>1＋i ；③虚轴上的点表示的数都是纯虚数；④若一个数是实数，则其虚部不存在；⑤若z ＝1i ，则z 3＋1对应的点在复平面内的第一象限． 三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(10分)设复数z ＝lg(m 2－2m －2)＋(m 2＋3m ＋2)i ，当m 为何值时， (1)z 是实数？(2)z 是纯虚数？18．(12分)计算：(1)(2＋2i )4(1－3i )5；(2)(2－i)(－1＋5i)(3－4i)＋2i.19．(12分)已知复数z ＝2＋b i(i 为虚数单位)，b 为正实数，且z 2为纯虚数． (1)求复数z ；(2)若复数ω＝z1－i ，求ω的模．20.(12分)已知z 1＝m 2＋1m ＋1i ，z 2＝(2m －3)＋12i ，m ∈R ，i 为虚数单位，且z 1＋z 2是纯虚数．(1)求实数m 的值；(2)求z 1·z 2的值．21．(12分)已知复数z 满足|z |＝2，z 2的虚部是2. (1)求复数z ；(2)设z ，z 2，z －z 2在复平面上的对应点分别为A ，B ，C ，求△ABC 的面积．22．(12分)已知复数z 1＝i(1－i)3. (1)求|z 1|；(2)若|z |＝1，求|z －z 1|的最大值．答案精析1．B 2.A 3.A 4.A 5.B 6.A 7.D 8．D 9.B 10.D 11.B 12.A 13．(3，4)解析 ∵z ＝m 2－4m ＋(m 2－m －6)i 所对应的点在第二象限，∴⎩⎪⎨⎪⎧m 2－4m <0，m 2－m －6>0，解得3<m <4.14．25解析 由纯虚数的定义知 ⎩⎪⎨⎪⎧log 2(m 2－3m －3)＝0，log 2(m －2)≠0，m －2>0，解得m ＝4，所以z ＝4＋n i.因为z 的对应点在直线x ＋y －2＝0上，所以4＋n －2＝0，所以n ＝－2. 所以z ＝4－2i ， 所以|z |＝42＋(－2)2＝2 5.15.14解析 z ＝－14(3－i)，|z |＝12，∴z ·z ＝|z |2＝14.16．⑤解析 由y ∈∁C R 知，y 是虚数，则⎩⎪⎨⎪⎧2x －1＝y ，1＝－(3－y )不成立，故①错误；两个不全为实数的复数不能比较大小，故②错误；原点也在虚轴上，表示实数0，故③错误；实数的虚部为0，故④错误；⑤中z 3＋1＝1i3＋1＝i ＋1，对应点在第一象限，故⑤正确．17．解 (1)要使复数z 为实数，需满足⎩⎪⎨⎪⎧m 2－2m －2>0，m 2＋3m ＋2＝0，解得m ＝－2或－1.即当m ＝－2或－1时，z 是实数．(2)要使复数z 为纯虚数，需满足⎩⎪⎨⎪⎧m 2－2m －2＝1，m 2＋3m ＋2≠0，解得m ＝3.即当m ＝3时，z 是纯虚数． 18．解 (1)原式＝16(1＋i )4(1－3i )4(1－3i )＝16(2i )2(－2－23i )2(1－3i )＝－644(1＋3i )2(1－3i )＝－16(1＋3i )×4＝－41＋3i＝－1＋3i.(2)原式＝(3＋11i)(3－4i)＋2i ＝53＋21i ＋2i ＝53＋23i.19．解 (1)由z ＝2＋b i ，得z 2＝(2＋b i)2 ＝4－b 2＋4b i ，∵z 2为纯虚数，∴⎩⎪⎨⎪⎧4－b 2＝0，4b ≠0，得b ＝±2，又b >0，∴b ＝2，则z ＝2＋2i. (2)ω＝z1－i ＝2＋2i 1－i ＝2(1＋i )2(1－i )(1＋i )＝2i ，∴|ω|＝2.20．解 (1)z 1＋z 2＝(m 2＋2m －3)＋(1m ＋1＋12)i ，∵z 1＋z 2是纯虚数，∴⎩⎨⎧m 2＋2m －3＝0，1m ＋1＋12≠0，则m ＝1.(2)由(1)得z 1＝1＋12i ，z 2＝－1＋12i ，则z 2＝－1－12i ，∴z 1·z 2＝(1＋12i)(－1－12i)＝－(1＋12i)2＝－(34＋i)＝－34－i.21．解 (1)设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )， 则z 2＝a 2－b 2＋2ab i ，由题意得a2＋b2＝2且2ab＝2，解得a＝b＝1或a＝b＝－1，所以z＝1＋i或z＝－1－i.(2)当z＝1＋i时，z2＝2i，z－z2＝1－i，所以A(1，1)，B(0，2)，C(1，－1)，所以S△ABC＝1.当z＝－1－i时，z2＝2i，z－z2＝－1－3i，所以A(－1，－1)，B(0，2)，C(－1，－3)，所以S△ABC＝1.22．解(1)|z1|＝|i(1－i)3|＝|2－2i|＝22＋(－2)2＝2 2.(2)如图所示，由|z|＝1可知，z在复平面内对应的点的轨迹是圆心为O(0，0)，半径为1的圆，而z1对应着坐标系中的点Z1(2，－2)．所以|z－z1|的最大值可以看成是点Z1(2，－2)到圆上的点的距离的最大值．由图知|z－z1|max＝|z1|＋r(r为圆的半径)＝22＋1.。

第一章推理与证明一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．一个奇数列1,3,5,7,9，…，现在进行如下分组：第一组含一个数{1}；第二组含二个数{3,5}；第三组含三个数{7,9,11}；…；试观察每组内各数之和与其组的编号数n有什么关系()A．等于n2B．等于n3C．等于n4D．等于n(n＋1)解析：第一组内各数之和为1，第二组内各数之和为3＋5＝8＝23，第3组内各数之和为7＋9＋11＝27＝33，由此猜想：第n组内各数之和为n3.答案： B2．给出下列三个类比结论：①(ab)n＝a n b n与(a＋b)n类比，则有(a＋b)n＝a n＋b n；②log a(xy)＝log a x＋log a y与sin(α＋β)类比，则有sin(α＋β)＝sin αsin β；③(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2与(a＋b)2类比，则有(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2.共中结论正确的个数是()A．0 B．1C．2 D．3解析：①②错误，③正确．答案： B3．用反证法证明命题“三角形的内角至多有一个钝角”时，假设正确的是()A．假设至少有一个钝角B ．假设至少有两个钝角C ．假设没有一个钝角D ．假设没有一个钝角或至少有两个钝角解析： 用反证法对命题的假设就是对命题的否定，“至多有一个”的否定是“至少有两个”，故选B.答案： B4．实数a ，b ，c 不全为0等价于( ) A ．a ，b ，c 全不为0B ．a ，b ，c 中最多只有一个为0C ．a ，b ，c 中只有一个不为0D ．a ，b ，c 中至少有一个不为0解析： “不全为0”等价于“至少有一个不为0”． 答案： D5．将全体正整数排成一个三角形数阵：1 2 3 4 5 6 7 8 9 10根据以上排列规律，数阵中第n (n ≥3)行的从左至右的第3个数是( ) A.n 2－n ＋62B.n 2－n ＋42C.n 2－n ＋22D.n 2－n 2解析： 第1行1个数，第2行2个数，第3行3个数，第n －1行n －1个数 ∴1＋2＋…＋(n －1)＝(n －1)·n2，∴第n 行的第3个数为(n －1)·n 2＋3＝n 2－n ＋62.答案： A6．已知1＋2×3＋3×32＋4×32＋…＋n ×3n －1＝3n (na －b )＋c 对一切n ∈N ＋都成立，那么a 、b 、c 的值为( )A ．a ＝12，b ＝c ＝14B ．a ＝b ＝c ＝14C ．a ＝0，b ＝c ＝14D ．不存在这样的a 、b 、c解析： ∵已知等式对一切n ∈N ＋都成立， ∴当n ＝1,2,3时也成立．即⎩⎪⎨⎪⎧1＝3(a －b )＋c 1＋2×3＝32(2a －b )＋c 1＋2×3＋3×32＝33(3a －b )＋c ， 解得⎩⎨⎧a ＝12，b ＝c ＝14.答案： A7．用数学归纳法证明恒等式：1＋2＋3＋…＋n 2＝n 4＋n 22，则由n ＝k 到n ＝k ＋1时，等式左端应添加的项是( )A ．k 2＋1B ．(k ＋1)2C ．[(k ＋1)＋1]2D ．(k 2＋1)＋(k 2＋2)＋…＋(k ＋1)2解析： n ＝k 时，左端为1＋2＋3＋…＋k 2，n ＝k ＋1时，左端为1＋2＋3…＋k 2＋(k 2＋1)＋(k 2＋2)＋…＋(k ＋1)2.两式相减，可知等式左端应添加的项是 (k 2＋1)＋(k 2＋2)＋…＋(k ＋1)2.故选D. 答案： D8．已知x ∈R ＋，不等式x ＋1x ≥2，x ＋4x 2≥3，x ＋27x 3≥4，…，可推广为x ＋a x n ≥n ＋1，则a 的值为( )A ．2nB ．n 2C ．22(n－1)D ．n n解析： 观察a 与n ＋1的关系：1→2,4→3,27→4，即(2－1)1→2，(3－1)2→3，(4－1)3→4，故(n ＋1－1)n →n ＋1，所以a ＝n n .答案： D9．数列{a n }中，若a 1＝12，a n ＝11－a n －1(n ≥2，n ∈N)，则a 2 009的值为( )A ．－1 B.12 C ．1D ．2解析： ∵a n ＝11－a n －1，又a 1＝12，∴a 2＝11－a 1＝2.a 3＝11－a 2＝－1.a 4＝11－a 3＝a 1＝12.∴数列{a n}的项是周期性出现，周期为3.∴a2 009＝a669×3＋2＝a2＝2.答案： D10．设f(x)是定义在正整数集上的函数，且f(x)满足：“当f(k)≥k2成立时，总可推出f(k ＋1)≥(k＋1)2成立”．那么，下列命题总成立的是()A．若f(1)＜1成立，则f(10)＜100成立B．若f(2)＜4成立，则f(1)≥1成立C．若f(3)≥9成立，则当k≥1时，均有f(k)≥k2成立D．若f(4)≥25成立，则当k≥4时，均有f(k)≥k2成立解析：题设中“当f(k)≥k2成立时，总可推出f(k＋1)≥(k＋1)2成立”．实际上是给出了一个递推关系，从数学归纳法来考虑，∵f(4)≥25成立，∴f(4)≥16成立，即k的基础值为4，所以A、B、C都错误，故选D.答案： D二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上)11．在等差数列{a n}中，有S m＋n＝S m＋S n＋mnd，其中S m，S n，S m＋n，分别是{a n}的前m，n，m＋n项和，用类比推理的方法，在等比数列{b n}中，有__________________．解析：由等差数列到等比数列的运算性质：“和↔积”，“积↔乘方”可猜测在等比数列中有A m＋n＝A m·A n·q mn，事实上，设公比为q，A n为前n项积，则有A m＋n＝b1·b2·b3·…·b m＋n ＝b1·b1q·b1q2·…·b1q m＋n－1＝b m＋n1·q1＋2＋…＋(m＋n－1)＝b m＋n1q(m＋n－1)(m＋n)2又A m·A n·q mn＝(b1·b2·…·b m)·(b1·b2·…·b n)·q mn＝b m1·q1＋2＋…＋(m－1)·b n1·q1＋2＋…＋(n－1)·q mn＝b m＋n1·q(m－1)m2＋(n－1)n2＋mn＝b m＋n1·q(m＋n)(m＋n－1)2故猜测正确．答案：A m＋n＝A m·A n·q mn，其中A m＋n、A m、A n分别是{b n}的前m＋n，m，n项之积，q为公比12．设函数f(x)＝xx＋2(x＞0)，观察：f1(x)＝f(x)＝xx＋2，f2(x)＝f[f1(x)]＝x3x＋4，f3(x)＝f[f2(x)]＝x7x＋8，f4(x)＝f[f3(x)]＝x15x＋16，…根据以上事实，由归纳推理可得：当n∈N＋且n≥2时，f n(x)＝f[f n－1(x)]＝________________.解析：由f(x)＝xx＋2(x＞0)得，f1(x)＝f(x)＝xx＋2，f2(x)＝f[f1(x)]＝x3x＋4＝x(22－1)x＋22，f3(x)＝f[f2(x)]＝x7x＋8＝x(23－1)x＋23，f4(x)＝f[f3(x)]＝x15x＋16＝x(24－1)x＋24，…∴当n≥2且n∈N＋时，f n(x)＝f[f n－1(x)]＝x(2n－1)x＋2n.答案：x(2n－1)x＋2n13．平面上，周长一定的所有矩形中，正方形的面积最大；周长一定的所有矩形与圆中，圆的面积最大，将这些结论类比到空间，可以得到的结论是___________________．解析：平面中的“周长”类比为空间中的“面积”，“平面图形”类比成“空间几何体”，“面积”类比成“体积”，“圆”类比成“球”．答案：在空间几何体中，表面积一定的所有长方体中，正方体的体积最大；表面积一定的所有长方体与球中，球的体积最大．14.蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师，单个蜂巢可以近似地看作是一个正六边形，右图为一组蜂巢的截面图．其中第一个图有1个蜂巢，第二个图有7个蜂巢，第三个图有19个蜂巢，按此规律，以f(n)表示第n个图的蜂巢总数，则f(n)＝_____________.解析：由于f(2)－f(1)＝7－1＝6，f(3)－f(2)＝19－7＝2×6，推测当n≥2时，有f(n)－f(n－1)＝6(n－1)，故f(n)＝[f(n)－f(n－1)]＋[f(n－1)－f(n－2)]＋…＋[f(2)－f(1)]＋f(1)＝6[(n－1)＋(n－2)＋…＋2＋1]＋1＝3n2－3n＋1.又f(1)＝1＝3×12－3×1＋1，所以f(n)＝3n2－3n＋1.答案：3n2－3n＋1三、解答题(本大题共4小题，满分50分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分12分)已知a是整数，a2是偶数．求证：a是偶数．证明：(反证法)假设a不是偶数，即a是奇数，则设a＝2n＋1(n∈Z)．所以a2＝4n2＋4n＋1.因为4(n2＋n)是偶数，所以4n2＋4n＋1是奇数，这与已知a2是偶数矛盾，故假设错误，从而，a一定是偶数．16．(本小题满分12分)把下面在平面内成立的结论类比地推广到空间，并判断类比的结论是否成立．(1)如果一条直线和两条平行线中的一条相交，则必和另一条相交；(2)如果两条直线同时垂直于第三条直线，则这两条直线互相平行．解析：(1)类比为：如果一个平面和两个平行平面中的一个相交，则必和另一个相交．结论是正确的：证明如下：设α∥β，且γ∩α＝a，则必有γ∩β＝b，若γ与β不相交，则必有γ∥β，又α∥β，∴α∥γ，与γ∩α＝a矛盾，∴必有γ∩β＝b.(2)类比为：如果两个平面同时垂直于第三个平面，则这两个平面互相平行，结论是错误的，这两个平面也可能相交．17.(本小题满分12分)将自然数排成螺旋状如图所示；第一个拐弯处的数是2，第二个拐弯处的数是3，第20个及第25个拐弯处的数各是多少？解析：前几个拐弯处的数依次是2,3,5,7,10,13,17,21,26，…，这是一个数列，把数列的后一项减去前一项，得一新数列：1,2,2,3,3,4,4,5,5，…，把原数列的第一项2添在新数列的前面，得到2,1,2,2,3,3,4,4,5,5，…，于是原数列的第n项a n就等于此新数列的前n项和，即a1＝2＝1＋1＝2，a2＝2＋1＝1＋(1＋1)＝3，a3＝2＋1＋2＝1＋(1＋1＋2)＝5，a4＝2＋1＋2＋2＝1＋(1＋1＋2＋2)＝7，…，所以，第20个拐弯处的数是：a20＝1＋(1＋1＋2＋2＋3＋3＋4＋4＋…＋10＋10)＝1＋2×(1＋2＋…＋10)＝111，第25个拐弯处的数是：a25＝1＋(1＋1＋2＋2＋…＋12＋12＋13)＝170.18．(本小题满分14分)数列{a n }是这样确定的：a 1＝1，a n ＋1＝pa n ＋x ，p ≠0且p ≠1，n ＝2,3,4，…，试归纳出a n 的表达式，并用数学归纳法予以证明．解析： a 2＝pa 1＋x ＝p ＋x ，a 3＝pa 2＋x ＝p (p ＋x )＋x ＝p 2＋(p ＋1)x ， 同理a 4＝p 3＋(p 2＋p ＋1)x ， …猜想a n ＝p n －1＋(p n －2＋p n －3＋…＋1)·x＝pn －1＋p n －1－1p －1·x .证明：(1)当n ＝1时，公式成立． (2)假设n ＝k 时，公式成立， 即a k ＝pk －1＋p k －1－1p －1·x ，则n ＝k ＋1时，a k ＋1＝pa k ＋x ＝p ·⎝ ⎛⎭⎪⎫p k －1＋p k －1－1p －1·x ＋x ＝p k ＋p k－1p －1·x ， ∴当n ＝k ＋1时公式也成立．由(1)、(2)知，公式对任何n ∈N ＋都成立．。

海淀区高二年级练习 数学参考答案2024.01一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） （1）B （2）A （3）C （4）B （5）C （6）B（7）D（8）C（9）D（10）A二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） （11）2y x =或2y x =-（12）异面 （13）210x y -+=（14）2268（15）①③④ （答案中若含有②，0分；①③④中只含一个，2分；①③④中只含两个3分；①③④，4分）三、解答题（本大题共4小题，共40分） （16）（本小题10分）解：（Ⅰ）20C （，），---------------------------------------------2分 2r =； ---------------------------------------------4分（Ⅱ）圆心C 到直线l 的距离1d ==，--------------------------7分AB ===.----------------------------------10分（17）（本小题10分） 解：（Ⅰ）由题设可得12p=，即2p =，--------------------------------------2分 所以抛物线C 的方程为24x y =.------------------------------------3分 （Ⅱ）由已知可得':6l y kx =+，-----------------------------------------4分由24,6x y y kx ⎧=⎨=+⎩消y 得24240x kx --=，------------------------------5分设'l 与C 交于两点1122(,),(,)M x y N x y ，则0∆>，12124,24x x k x x +==-，----------------------------------7分||MN ==分===分由||24MN =化简整理得427300k k +-=，解得223,10k k ==-（舍）所以k =分 （18）（本小题10分） 解：（Ⅰ）因为AD BC ∥，AD ⊄平面BCE ，BC ⊂平面BCE所以//AD 平面BCE .------------------------2分因为过AD 的平面分别与棱,EB EC 交于点,M N ， 所以//AD MN .------------------------------4分 （Ⅱ）因为AE ⊥平面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ，所以AE AB ⊥，AE AD ⊥. 又因为AB AD ⊥.如图，建立空间直角坐标系A xyz -，------------------------------5分 则(2,0,0),(2,0,2),(0,2,0),(0,0,1)B C E D ，所以(0,2,1),(2,2,2)ED EC =-=-，(2,2,0),(0,0,1)BE AD =-=--------6分 设BM BE λ=，[]0,1λ∈.则(2,0,0)(2,2,0)(22,2,0)AM AB BM λλλ=+=+-=- 设平面AND 即平面AMND 的法向量为(,,)x y z =m ，则0,0,AD AM ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩m m 即0,(22)20,z x y λλ=⎧⎨-+=⎩令x λ=，则1y λ=-，于是(,1,0)λλ=-m .-----------------------7分 设平面END 即平面ECD 的法向量为(',',')x y z =n ，则0,0,ED EC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 即2''0,2'2'2'0,y z x y z -+=⎧⎨-+=⎩令'1y =，则'2,'1z x ==-，于是(1,1,2)=-n .----------------------8分所以，cos ,||||⋅<>==⋅m n m n m n 分所以，cos ,[<>∈m n .由(,1,0)λλ=-m ，(1,1,2)=-n 的方向判断可得π,θ=-<>m n ， 所以，当12λ=时，cos θ的最大值为33.------------------------10分 （19）（本小题10分）解：（I ）由题设，2222,1,2,a c a ab c =⎧⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩------------------------------------------2分 解得1c =，--------------------------------------------3分23b =，所以椭圆方程为22143x y +=.-------------------------------------4分 （II ）由题意得，直线PA 为()0022y y x x =++， -------------------------5分 代入x t =，得()0022C t y y x +=+.因为直线PB 为()0022y y x x =--， 同理可得()002,2t y D t x ⎛-⎫⎪-⎝⎭. -------6分由CH PB ⊥得直线CH :()()0000222t y x y x t x y +--=-+，-----------------7分代入0y =，得()202024Ht y x t x +=+-，--------------------------------8分由()00,P x y 在椭圆E 上，得2200143x y +=，整理得()2020344x y -=，---9分所以()36244H t x t t -=-+=，从而可得6,04t H -⎛⎫⎪⎝⎭. 图1xy HG DCAOBP所以()()0000223636,,4242t y t y t t HC HD x x ⎛+⎫⎛-⎫++⋅=⋅ ⎪ ⎪+-⎝⎭⎝⎭()()222020436164t y t x -+=+-()()223436164t t -+=-()2361216t -=-+.综上，存在6t =，使得HC HD ⋅有最大值12. ----------------------10分备注：以上评分标准供大家评阅试卷参考，与评标不同的解法可以按评标采分点相对应给分。

海淀区高中课改水平监测 高二数学（选修2－2） 2009.4学校 班级 姓名本试卷分卷一、卷二两部分，共120分.考试时间90分钟.卷一 卷二题号 一 二 三 一二总分 15 16 17 5 6 分数卷一(共90分)一、选择题：本大题共10小题, 每小题4分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1．复数2z i =-+，则复数z 在复平面内对应的点位于 （ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限2．函数sin y x =的图象上一点3(,)32π处的切线的斜率为（ ）A ．1B ．32C ． 22D ．123．由直线1,2x x ==，曲线2y x =及x 轴所围图形的面积为 （ ） A ．3 B ．7 C ．73 D ． 134．物体运动方程为4134S t =-，则2t =时瞬时速度为（ ）A ．2B ．4C ． 6D ．85．复数1z i =+的共轭复数z =（ ）A ．1i +B ． 1i -C ．1122i +D ．1122i - 6．已知函数f (x )的导函数()f x '的图象如右图所示， 那么函数f (x )的图象最有可能的是( )7． 若000(2)()lim 1x f x x f x x∆→+∆-=∆，则0()f x '等于（ ）A ．2B ．－2C ．12 D ．12- 8．有一段“三段论”推理是这样的：对于可导函数()f x ，如果0()0f x '=，那么0x x =是函数()f x 的极值点，因为函数3()f x x =在0x =处的导数值(0)0f '=，所以，0x =是函数3()f x x =的极值点. 以上推理中（ ）A ．大前提错误B ． 小前提错误C ．推理形式错误D ．结论正确9．函数2()1x f x x =-（ ）A ．在(0,2)上单调递减B ．在(,0)-∞和(2,)+∞上单调递增C ．在(0,2)上单调递增D ．在(,0)-∞和(2,)+∞上单调递减 10．平面上有n 个圆，其中每两个都相交于两点，每三个都无公共点，它们将平面分成()f n 块区域，有(1)2,(2)4,(3)8f f f ===，则()f n 的表达式为 （ ）A.2nB. 2nC. 22n n -+D. 2(1)(2)(3)n n n n ----二、填空题：本大题共4小题, 每小题4分,共16分.把答案填在题中横线上.11．已知平行四边形OABC 的顶点A 、B 分别对应复数1342i i -+，.O 为复平面的原点，那么顶点C 对应的复数是____________12．若103()2x k dx -=⎰，则实数k 的值为 .13. 观察以下不等式222222131,221151,233111712344+<++<+++<⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 可归纳出对大于1的正整数n 成立的一个不等式2221111()23f n n+++<，则不等式右端()f n 的表达式应为_________yxO 1 2 -1()f x 'yxO12-2 A yxO12-2 B yxO12-2 CyxO 1 2-2D14．下列是关于复数的类比推理：①复数的加减法运算可以类比多项式的加减法运算法则； ②由实数绝对值的性质22||x x =类比得到复数z 的性质22||z z =；③已知,a b ∈R ，若0a b ->，则a b >类比得已知12,z z ∈C ，若120z z ->，则12z z >; ④由向量加法的几何意义可以类比得到复数加法的几何意义. 其中推理结论正确．．的是三、解答题:本大题共3小题,共34分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 15．(本小题共12分)已知函数3()395f x x x =-+.（Ⅰ）求函数()f x 的单调递增区间；（Ⅱ）求函数()f x 在[2,2]-上的最大值和最小值.16．(本小题共12分)用数学归纳法证明: 2222(1)(21)123 (6)n n n n ++++++=17．(本小题共10分)把边长为a 的等边三角形铁皮剪去三个相同的四边形（如图阴影部分）后,用剩余部分做成一个无盖的正三棱柱形容器(不计接缝)，设容器的高为x ，容积为()V x .（Ⅰ）写出函数()V x 的解析式，并求出函数的定义域； （Ⅱ）求当x 为多少时，容器的容积最大？并求出最大容积.卷二(共30分)一、填空题:本大题共4小题, 每小题4分,共16分.把答案填在题中横线上.1．已知复数12z i =+（i 为虚数单位），2z 在复平面上对应的点在直线x=1上，且满足12z z ⋅是纯虚数，则|2z |=_______．2．函数()ln(1)f x x ax =+-在(1,2)上单调递增，则实数a 的取值范围是 . 3．已知正弦函数x y sin =具有如下性质: 若),0(,...,21π∈n x x x ,则)...sin(sin ...sin sin 2121nx x x n x x x nn +++≤+++(其中当n x x x ===...21时等号成立). 根据上述结论可知,在ABC ∆中,C B A sin sin sin ++的最大值为_______.4．对于函数2()(2)xf x x x e =-（1）(2,2)-是()f x 的单调递减区间；（2）(2)f -是()f x 的极小值，(2)f 是()f x 的极大值； （3）()f x 有最大值，没有最小值； （4）()f x 没有最大值，也没有最小值． 其中判断正确的是________________.二、解答题:本大题共2小题,共14分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.5．(本小题共8分) 给定函数x a ax x x f )1(3)(223-+-=和xa x x g 2)(+=(I)求证: )(x f 总有两个极值点;(II)若)(x f 和)(x g 有相同的极值点,求a 的值.6．(本小题共6分)设函数2()()x a f x x-=．（I ）证明：01a <<是函数()f x 在区间(1,2)上递增的充分而不必要的条件； （II ）若(,0)x ∈-∞时，满足2()26f x a <-恒成立，求实数a 的取值范围．海淀区高中课改水平监测高二数学（选修2-2）参考答案一.选择题（本大题共10小题，每小题4分,共40分.） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案BDCDBACABC二.填空题 (本大题共4小题，每小题4分, 共16分)11. 3+5i 12. 1- 13. 21()n f n n-=（n ≥2） 14. ① ④ 三、解答题（本大题共3小题，共34分.） 15. (本小题共12分)解：(1)2'()99f x x =-. ------------------------------------------------- 2分 令2990x ->, ------------------------------------------------4分 解此不等式，得11x x <->或.因此，函数()f x 的单调增区间为(,1)(1,)-∞-+∞和.------------------6分 (2) 令2990x -=,得1x =或1x =-.----------------------------------------8分 当x 变化时，'()f x ，()f x 变化状态如下表：x -2 (2,1)-- -1 (1,1)- 1 (1,2) 2 '()f x + 0 - 0 + ()f x -1 ↑ 11 ↓ -1 ↑ 11-------------------------------------------10分 从表中可以看出，当21x x =-=或时，函数()f x 取得最小值1-. 当12x x =-=或时，函数()f x 取得最大值11.-----------------------------12分 16. (本小题共12分)证明（1）当1n =时，左边=211=，右边=12316⨯⨯=，等式成立.--4分 （2）假设当n k =时，等式成立，即2222(1)(21)1236k k k k ++++++=------6分 那么，当1n k =+时，这就是说，当1n k =+时等式也成立. ----------------------10分 根据（1）和（2），可知等式对任何*n N ∈都成立. -----------------------12分 17．(本小题共10分)22222222123(1)(1)(21)(1)6(1)(21)6(1)6(1)(276)6(1)(2)(23)6(1)[(1)1][2(1)1]6k k k k k k k k k k k k k k k k k k k ++++++++=++++++=+++=+++=+++++=解：（Ⅰ）因为容器的高为x ，则做成的正三棱柱形容器的底边长为(23)a x -----1分.则23()(23)4V x a x x =- . -------------------------3分 函数的定义域为3(0,)6a . ------------------------- 4分 （Ⅱ）实际问题归结为求函数()V x 在区间3(0,)6a 上的最大值点. 先求()V x 的极值点.在开区间3(0,)6a 内，223'()9364V x x ax a =-+--------------------6分 令'()0V x =，即令22393604x ax a -+=，解得1233,(186x a x a ==舍去).因为1318x a =在区间3(0,)6a 内，1x 可能是极值点. 当10x x <<时，'()0V x >；当136x x a <<时，'()0V x <. --------------------------8分因此1x 是极大值点，且在区间3(0,)6a 内，1x 是唯一的极值点，所以1318x x a ==是()V x 的最大值点，并且最大值 331()1854f a a =即当正三棱柱形容器高为318a 时，容器的容积最大为3154a .------------------------10分卷二一、填空题（每小题4分，共16分）1.5 2. 1(,]3-∞ 3. 332 4. (2)(3)二、解答题:(本大题共2小题,共14分)5. （本题8分）证明: (I)因为)]1()][(1([)1(2)('22--+-=-+-=a x a x a ax x x f , 令0)('=x f ,则1,121-=+=a x a x ,------------------------------------------2分 则当1-<a x 时, 0)('>x f ,当11+<<-a x a , '()0f x <所以1-=a x 为)(x f 的一个极大值点, -----------------------4分 同理可证1+=a x 为)(x f 的一个极小值点.-------------------------------------5分 另解：(I)因为'22()2(1)f x x ax a =-+-是一个二次函数，且22(2)4(1)40a a ∆=---=>，-------------------------------------2分所以导函数有两个不同的零点， 又因为导函数是一个二次函数，所以函数()f x 有两个不同的极值点.---------------------------------------5分(II) 因为222))((1)('xa x a x x a x g +-=-=， 令0)('=x g ,则a x a x -==21, ---------------------------------------6分 因为)(x f 和)(x g 有相同的极值点, 且a x =1和1,1-+a a 不可能相等,所以当1+=-a a 时, 21-=a ， 当1-=-a a 时, 21=a , 经检验, 21-=a 和21=a 时, a x a x -==21,都是)(x g 的极值点.--------------8分 6．(本小题共6分)解（I ）对函数()f x 求导，得 2222()()()x a x a x a f x x x--+'==， …………1分 先证充分性：若01a <<，12x <<，0,0x a x a ∴->+>，∴()0f x '> ∴函数()f x 在区间(1,2)上递增. ----------------2分 再说明非必要性:f （x ）在区间(1,2)上递增， ∴()0f x '≥对1<x<2恒成立 由2220x a x-≥得，22a x ≤，而214x <<， 所以21a ≤，即1 1.a -≤≤ …………3分 所以，01a <<是函数()f x 在区间(1,2)上递增的充分而不必要的条件 ……4分（II ）222()x a f x x -'=，令()0f x '=，得12,x a x a ==-显然，0a =时不符合题意.当0a >时，函数()y f x =在（,a -∞-）上递增，在(,0),a -上递减，若(,0)x ∈-∞时，2()26f x a <-恒成立，需()f x 极大值=2()2f a a -<-62426a a ∴-<-，得1a >. --------------------------5分 当0a <时，函数()y f x =在（,a -∞）上递增，在(,0),a 上递减， 此时，(,0)x ∈-∞，如满足2()26f x a <-恒成立，需2()()026f x f a a ==<-极大值得3a <-故若(,0)x ∈-∞时，满足2()26f x a <-恒成立，实数(,3)(1,)a ∈-∞-⋃+∞-------------------------------6分 其它正确解法按相应步骤给分。

一、选择题1．若曲线()xf x mx e n =⋅+在点()()1,1f 处的切线方程为y ex =，则m n +的值为（ ） A ．12e + B ．12e - C ．12D ．2e 2．设点P 是曲线3335y x x =-+上的任意一点，点P 处切线的倾斜角为α,则角α的取值范围是（ ）. A ．20,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．2[0,),23πππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭ C ．2,23ππ⎛⎤⎥⎝⎦D ．2,33ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦3．已知函数()2f x x =的图象在1x =处的切线与函数()e xg x a=的图象相切，则实数a =( )A ．eB ．e e2C ．e 2D ．e e4．已知函数()f x 的导函数为()'f x ，且满足()2()cos 2f x x f x π+'=⋅，则0()()22lim x f f x x ππ∆→-+∆=∆（ ） A ．1- B ．0C ．1D ．25．若存在过点()0,0O 的直线l 与曲线()3232f x x x x =-+和2y x a =+都相切，则a 的值是( ) A ．1B ．164-C ．1或164-D ．1或1646．设函数sin cos y x x x =+的图象上的点()00,x y 处的切线的斜率为k ，记()0k g x =，则函数()k g x =的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．7．若函数()33=-ln 3f x x x x -+-，则曲线()y f x =在点()()-1,-1f 处的切线的倾斜角是（ ） A ．6π B ．3π C ．23π D ．56π 8．曲线2ln y x x=-在1x =处的切线的倾斜角为α，则cos sin αα+的值为（ ） A 210B 10C 10D 3109．已知函数2()f x x bx =+的图象在点(1,(1))A f 处的切线的斜率为3，数列1()f n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n S ，则2020S 的值为（ ） A ．20202021B ．20192020C ．20182019D ．2017201810．设()ln f x x x =，若0()2f x '=，则0x =（ ） A ．2eB ．eC ．1ln 22D ．2ln 211．曲线l (n )f x x x =-在点(1,(1))f 处的切线方程为 A ．0x y += B ．1x = C ．20x y --=D ．1y =-12．函数()ln 0y x x =>的图象与直线12y x a =+相切，则a 等于（ ） A ．ln 21-B ．ln21+C ．ln 2D ．2ln 2二、填空题13．已知函数4()ln 2f x x x xλλ=+-≥，，曲线()y f x =上总存在两点M （x 1，y 1），N （x 2，y 2）使曲线()y f x =在M 、N 两点处的切线互相平行，则x 1+x 2的取值范围为_______．14．已知定义在R 上的奇函数()f x 满足当0x >时，()3ln f x x x=-，则曲线()y f x =在点()()1,1f --处的切线斜率为______.15．已知曲线方程为11y x=-，则曲线在()2,1P -处的切线方程为______． 16．如果曲线f (x )＝x 3＋x －16，的某一切线与直线y ＝－14x ＋3垂直，则切线方程_________.17．已知实数a ，b 满足225ln 0a a b --=，R c ∈，则22()()a c b c -++的最小值为__________． 18．已知曲线313y x =上一点82,3P ⎛⎫⎪⎝⎭，则过点P 的曲线的切线方程为________. 19．设曲线3()f x ax x =+在(1,(1))f 处的切线与直线260x y --=平行，则实数a 的值为 ______．20．函数f （x ）=ax 3+3x 2+2，若f′（﹣1）=6，则a 的值等于__．三、解答题21．已知函数22()(2)ln 2f x x x x ax =-⋅++．（1）当1a =-时，求()f x 在(1,(1))f 处的切线方程；（2）设函数()()2g x f x x =--，函数()g x 有且仅有一个零点． （i ）求a 的值；（ii ）若2e x e -<<时，()g x m ≤恒成立，求m 的取值范围． 22．已知函数2()ln f x ax x =-(a 为正实数)．（Ⅰ）当2a =时，求曲线()y f x =在点(1,(1))P f 处的切线方程；（Ⅱ）若方程()0f x =在区间[1,e]上有两个不相等的实数根，求a 的取值范围． 23．已知．（1）若曲线在处的切线与直线平行，求a 的值；（2）当时，求的单调区间．24．已知函数()323611f x ax x ax =+--，()23612g x x x =++和直线m ：9y kx =+，且()'10f -=．()1求a 的值；()2是否存在k 的值，使直线m 既是曲线()y f x =的切线，又是曲线()y g x =的切线？如果存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由． 25．已知曲线2:2C y x x =-+. （1）求曲线C 在点()1,2处的切线方程， （2）求过点()2,3且与曲线C 相切的直线的方程． 26．已知函数()3239x f x x x --+=。

一、选择题1．观察如图中各多边形图案，每个图案均由若干个全等的正六边形组成，记第n 个图案中正六边形的个数是()f n .由(1)1f =，(2)7f =，(3)19f ，…，可推出(10)f =（ ） A ．271B ．272C ．273D ．2742．用反证法证明命题①：“已知332p q +=，求证：2p q +≤”时，可假设“2p q +>”；命题②：“若24x =，则2x =-或2x =”时，可假设“2x ≠-或2x ≠”.以下结论正确的是（ ） A ．①与②的假设都错误 B ．①与②的假设都正确 C ．①的假设正确，②的假设错误 D ．①的假设错误，②的假设正确3．用数学归纳法证明 11151236n n n ++⋅⋅⋅+≥++时，从n k =到1n k =+，不等式左边需添加的项是（ ） A ．111313233k k k +++++ B ．112313233k k k +-+++ C ．11331k k -++ D ．133k + 4．我们把平面几何里相似的概念推广到空间：如果两个几何体大小不一定相等，但形状完全相同，就称它们是相似体，给出下面的几何体：①两个球体；②两个长方体；③两个正四面体；④两个正三棱柱；⑤两个正四棱锥，则一定是相似体的个数是（ ） A ．4B ．2C ．3D ．15．我国古代数学名著《九章算术》的论割圆术中有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”，它体现了一种无限与有限的转化过程.比如在表达式11111+++中“…”即代表无限次重复，但原式却是个定值，它可以通过方程11x x +=求得15x +=33++=（ ）A 131+ B ．3 C ．6D ．226．“有些指数函数是减函数，2x y =是指数函数，所以2x y =是减函数”上述推理（ ） A ．大前提错误B ．小前提错误C ．推理形式错误D ．以上都不是7．“杨辉三角”又称“贾宪三角”，是因为贾宪约在公元1050年首先使用“贾宪三角”进行高次开方运算，而杨辉在公元1261年所著的《详解九章算法》一书中，记录了贾宪三角形数表，并称之为“开方作法本源”图．下列数表的构造思路就源于“杨辉三角”．该表由若干行数字组成，从第二行起，每一行中的数字均等于其“肩上”两数之和，表中最后一行仅有一个数，则这个数是（ ）A ．201620172⨯B ．201501822⨯C ．201520172⨯D ．201601822⨯8．定义*A B ，*B C ，*C D ，*D A 的运算分别对应下面图中的⑴，⑵，⑶，⑷，则图中⑸，⑹对应的运算是( )A ．*B D ，*A D B ．*B D ，*AC C ．*B C ，*AD D ．*C D ，*A D9．数学老师给同学们出了一道证明题，以下四人中只有一人说了真话，只有一人会证明此题，甲：我不会证明；乙：丙会证明；丙：丁会证明；丁：我不会证明.根据以上条件，可以判定会证明此题的人是( ) A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁10．由圆心与弦（非直径）中点的连线垂直于弦，想到球心与截面圆（不经过球心的小截面圆）圆心的连线垂直于截面，用的是（ ）A ．类比推理B ．三段论推理C ．归纳推理D ．传递性推理11．一名法官在审理一起珍宝盗窃案时，四名嫌疑人甲、乙、丙、丁的供词如下，甲说：“罪犯在乙、丙、丁三人之中”；乙说：“我没有作案，是丙偷的”；丙说：“甲、乙两人中有一人是小偷”；丁说：“乙说的是事实”．经过调查核实，四人中有两人说的是真话，另外两人说的是假话，且这四人中只有一人是罪犯，由此可判断罪犯是( ) A ．乙B ．甲C ．丁D ．丙12．“杨辉三角”又称“贾宪三角”，是因为贾宪约在公元1050年首先使用“贾宪三角”进行高次开方运算，而杨辉在公元1261年所著的《详解九章算法》一书中，记录了贾宪三角形数表，并称之为“开方作法本源”图．下列数表的构造思路就源于“杨辉三角”．该表由若干行数字组成，从第二行起，每一行中的数字均等于其“肩上”两数之和，表中最后一行仅有一个数，则这个数是 （ ）2017 2016 2015 2014……6 5 4 3 2 1 4033 4031 4029…………11 9 7 5 3 8064 8060………………20 16 12 8 16124……………………36 28 20 ……………………… A ．201620172⨯ B ．201501822⨯ C ．201520172⨯D ．201601822⨯二、填空题13．用数学归纳法证明(1)(2)()2135(21)+++=⋅⋅⋅-n n n n n n 的过程中，由k 到1k +时，右边应增加的因式是____________.14．如图是一个三角形数阵，满足第n 行首尾两数均为n ，(),A i j 表示第()2i i ≥行第j 个数，则()100,2A 的值为__________．15．平面上画n 条直线，且满足任何2条直线都相交，任何3条直线不共点，则这n 条直线将平面分成__________个部分． 16．观察下列关系式:11x x +=+;()2112x x +≥+; ()3113x x +≥+;由此规律,得到的第n 个关系式为__________17．刘老师带甲、乙、丙、丁四名学生去西安参加自主招生考试，考试结束后刘老师向四名学生了解考试情况．四名学生回答如下： 甲说：“我们四人都没考好．” 乙说：“我们四人中有人考的好．” 丙说：“乙和丁至少有一人没考好．” 丁说：“我没考好．”结果，四名学生中有两人说对了，则这四名学生中的______________两人说对了．18．已知结论“1a ，*2R a ∈，且121a a +=，则12114a a +≥；若1a 、2a 、*3R a ∈，且1231a a a ++=，则1239111a a a ++≥”，请猜想若1a 、2a 、…、*R n a ∈，且121n a a a +++=，则12111na a a +++≥__________． 19．观察下列不等式： （1）221sin cos 1αα≤≤+ （2）441sin cos 12αα≤≤+ （3）661sin cos 14αα≤≤+ …… …… …… …… …… ……由此规律推测，第n 个不等式为：__________． 20．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1n S = ， n *∈N . 算出数列的前4项的值后，猜想该数列的通项公式是__________.三、解答题21．已知数列{}n a 满足11a =,1(5)5n n n a a a ++=. （1）计算234,,a a a 的值,猜想数列{}n a 的通项公式; （2）用数学归纳法证明（1）中的猜想.22．已知数列{}n a 满足关系式()10a a a =>，()1122,1n n n a a n n N a --=≥∈+. （1）用a 表示2a ，3a ，4a ；（2）根据上面的结果猜想用a 和n 表示n a 的表达式，并用数学归纳法证之. 23．如图，已知点O 是ABC 内任意一点，连接AO 、BO 、CO ，并延长交对边于1A 、1B 、1C ，则1111111OA OB OC AA BB CC ++=，这是平面几何中的一个命题，其证明常采用“面积法”.运用类比猜想点O 是空间四面体A BCD -内的任意一点，连接AO 、BO 、CO 、DO ，并延长分别交面BCD 、ACD 、ABD 、ABC 于点1A 、1B 、1C 、1D ，试写出结论，并加以证明.24．（1）当1x >时，求2()1x f x x =-的最小值.（2）用数学归纳法证明：11111222n n n +++≥++*()n N ∈. 25．正项数列{}n a 的前n 项和n S 满足1n n a S n =-. （Ⅰ）求1a ，2a ，3a ；（Ⅱ）猜想{}n a 的通项公式，并用数学归纳法证明. 26．给出下面的数表序列： 表1表2表3…11 31 3 544 812其中表()1,2,3,...n n =有n 行，第1行的n 个数是1，3，5，…，21n -，从第2行起，每行中的每个数都等于它肩上的两数之和．（1）写出表4，验证表4各行中数的平均数按从上到下的顺序构成等比数列，并将结论推广到表()3n n ≥（不要求证明）（2）每个数表中最后一行都只有一个数，它们构成数列1，4，12，…，记此数列为{}n b ，求数列{}n b 的前n 项和【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【分析】观察图形，发现，第一个图案中有一个正六边形，第二个图案中有7个正六边形；… 根据这个规律，即可确定第10个图案中正六边形的个数． 【详解】由图可知，()11f =，()212667f =+⨯-=， ()()312362619f =++⨯-⨯=， ()()212362619f =++⨯-⨯=， ()()4123463637f =+++⨯-⨯=，…()()101234...10696271.f =+++++⨯-⨯=故选A. 【点睛】此类题要能够结合图形，发现规律：当2n ≥时，()()()161.f n f n n --=-2．C解析：C 【解析】分析：利用命题的否定的定义判断即可.详解：①2p q +≤的命题否定为2p q +>，故①的假设正确.2x =-或2x =”的否定应是“2x ≠-且2x ≠”② 的假设错误，所以①的假设正确，②的假设错误，故选C.点睛：本题主要考查反证法，命题的否定，属于简单题. 用反证法证明时，假设命题为假，应为原命题的全面否定.3．B解析：B 【详解】分析：分析n k =，1n k =+时，左边起始项与终止项，比较差距，得结果.详解：n k =时，左边为111123k k k++⋅⋅⋅+++, 1n k =+时，左边为111111233313233k k k k k k ++⋅⋅⋅++++++++++, 所以左边需添加的项是11111123132331313233k k k k k k k ++-=+-+++++++，选B. 点睛：研究n k =到1n k =+项的变化，实质是研究式子变化的规律，起始项与终止项是什么，中间项是如何变化的.4．B解析：B 【解析】分析：根据题意，结合题中所给的新定义，根据形状相同，大小不一定相同的几何体被视为相似体，逐一判断，可得结论.详解：两个长方体的长宽高的比值不能确定，两个正三棱柱的高与底面边长的比不能确定，两个正四棱锥的高与底面边长不能确定，所以②④⑤不能确定是正确的， 只有所有的球体和所有的正四面体都是相似体，所以有两个是正确的，故选B.点睛：该题属于新定义的问题，属于现学现用型，这就要求我们必须把握好题中的条件，然后对选项中的几何体逐一判断，最后求得结果.5．A解析：A 【解析】由已知代数式的求值方法：先换元，再列方程，解方程，求解（舍去负根），可得要求的()0m m =>，则两边平方得，得23m =，即23m m +=，解得1122m m ==舍去，故选A. 6．C解析：C 【解析】∵大前提的形式：“有些指数函数是减函数”，不是全称命题，∴不符合三段论推理形式，∴推理形式错误，故选C.7．B解析：B 【详解】由题意，数表的每一行从右往左都是等差数列，且第一行公差为1,第二行公差为2,第三行公差为4,…,第2015行公差为20142， 故第1行的从右往左第一个数为：122-⨯， 第2行的从右往左第一个数为：032⨯，第3行的从右往左第一个数为：142⨯， …第n 行的从右往左第一个数为：2(1)2n n -+⨯ ， 表中最后一行仅有一个数，则这个数是201501822⨯.8．B解析：B 【解析】由图知，A 表示圆，B 表示三角形，C 表示竖线，D 表示矩形，()5∴表示B D *，()6表示A C *，故选B.9．A解析：A 【解析】四人中只有一人说了真话，只有一人会证明此题，丙：丁会证明；丁：我不会证明，所以丙与丁中有一个是正确的；若丙说了真话，则甲必是假话，矛盾；若丁说了真话，则甲说的是假话，甲就是会证明的那个人，符合题意，以此类推，即可得到甲说真话，故选A.10．A解析：A【解析】将平面几何问题推广为空间几何的问题，利用了类比推理. 本题选择A 选项.点睛：在进行类比推理时，不仅要注意形式的类比，还要注意方法的类比，且要注意以下两点：①找两类对象的对应元素，如：三角形对应三棱锥，圆对应球，面积对应体积等等；②找对应元素的对应关系，如：两条边(直线)垂直对应线面垂直或面面垂直，边相等对应面积相等．11．A解析：A 【分析】由题意，这个问题的关键是四人中有两人说真话，另外两人说了假话，通过这一突破口，进行分析，推理即可得到结论. 【详解】在甲、乙、丙、丁四人的供词中，可以得出乙、丁两人的观点是一致的，因此乙丁两人的供词应该是同真同假（即都是真话或都是假话，不会出现一真一假的情况）；假设乙、丁两人所得都是真话，那么甲、丙两人说的是假话，由乙说真话可推出丙是犯罪的结论；由甲说假话，推出乙、丙、丁三人不是犯罪的结论；显然这两人是相互矛盾的；所以乙、丁两人说的是假话，而甲、丙两人说的是真话，由甲、丙的供词可以断定乙是犯罪的，乙、丙、丁中有一人是犯罪的， 由丁说假话，丙说真话推出乙是犯罪的，综上可得乙是犯罪的，故选A.【点睛】本题主要考查了推理问题的实际应用，其中解答中结合题意，进行分析，找出解决问题的突破口，然后进行推理是解答的关键，着重考查了推理与论证能力.12．B解析：B 【分析】数表的每一行都是等差数列，从右到左，第一行公差为1，第二行公差为2，第三行公差为4，…，第2015行公差为22014，第2016行只有M ，由此可得结论． 【详解】由题意，数表的每一行都是等差数列，从右到左，且第一行公差为1，第二行公差为2，第三行公差为4，…，第2015行公差为22014，故从右到左第1行的第一个数为：2×2﹣1，从右到左第2行的第一个数为：3×20， 从右到左第3行的第一个数为：4×21， …从右到左第n 行的第一个数为：（n+1）×2n ﹣2， 第2017行只有M ，则M=（1+2017）•22015=2018×22015 故答案为：B ． 【点睛】本题主要考查归纳与推理，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.二、填空题13．【分析】根据右边式子的含义以及n 的变化给式子带来的变化进行求解【详解】当时右式为当时右式为则右边应增加的因式是故答案为：【点睛】本题考查数学归纳法中由到时增加项的求解解题的关键是理解左边式子的意义属 解析：2(21)k +【分析】根据右边式子的含义，以及n 的变化给式子带来的变化，进行求解. 【详解】当(*)n k k N =∈时,右式为2135(21)k k ⋅⋅⋅-，当1n k =+时,右式为12135(21)(21)22135(21)(21)k k k k k k +⋅⋅⋅-+=⋅⋅⋅⋅-+，则右边应增加的因式是2(21)k +， 故答案为：2(21)k + 【点睛】本题考查数学归纳法中由n k =到1n k =+时增加项的求解,解题的关键是理解左边式子的意义，属于容易.14．4951【解析】分析：计算前5行的第二个数字发现其中的规律得出结论详解：设第n 行的第2个数为an 由图可知a2=2=1+1a3=4=1+2+1a4=7=1+2+3+1a5=11=1+2+3+4+1…归解析：4951 【解析】分析：计算前5行的第二个数字，发现其中的规律，得出结论．详解：设第n 行的第2个数为a n ，由图可知，a 2=2=1+1，a 3=4=1+2+1，a 4=7=1+2+3+1，a 5=11=1+2+3+4+1…归纳可得a n =1+2+3+4+…+（n-1）+1=(1)2n n -+1，故第100行第2个数为：10099149512⨯+=，故答案为4951 点睛：本题考查了归纳推理，等差数列和，属于基础题．15．【解析】分析：根据几何图形列出前面几项根据归纳推理和数列中的累加法即可得到结果详解：1条直线将平面分成2个部分即2条直线将平面分成4个部分即3条直线将平面分为7个部分即4条直线将平面分为11个部分即 解析：(1)12n n ++ 【解析】分析：根据几何图形，列出前面几项，根据归纳推理和数列中的累加法即可得到结果。

一、选择题1．已知实数a ，b ，c ，d 满足ln |2|0ab c d a-+-+=，则(a ﹣c )2+(b ﹣d )2的最小值为（ ） A ．4B ．92CD ．22．若曲线224y x x p =-+与直线1y =相切，则p 的值为（ ） A ．1-B ．1C ．3D ．43．已知P 与Q 分别为函数260x y --=与函数21y x =+的图象上一点，则线段||PQ 的最小值为( ) A ．65BCD ．64．221(1)1lim 1(1)1n n n→∞+--+的值为（ ） A ．0B ．1C ．12D ．不存在5．已知函数()ln ln xxf x e x e a x =-+的图象在点()()1,1T f 处的切线经过坐标原点，则a=（ ） A ．e -B ．eC ．1e e ---D ．1e -6．若()f x 为定义在区间G 上的任意两点12,x x 和任意实数()0,1λ∈，总有()()()()()12l 1211f x x f x f x λλλλ+-+-，则称这个函数为“上进”函数，下列函数是“上进”函数的个数是（ ） ①()xx f x e =，②()f x =，③()()ln 1x f x x+=，④()21xf x x =+． A ．4B ．3C ．2D ．17．若存在过点()0,0O 的直线l 与曲线()3232f x x x x =-+和2y x a =+都相切，则a 的值是( ) A ．1B ．164-C ．1或164-D ．1或1648．已知函数ln ,0()3,0x x f x kx x >⎧=⎨-≤⎩的图像上有两对关于y 轴对称的点，则实数k 的取值范围是（ ）A ．(),0e -B ．-21,02e ⎛⎫-⎪⎝⎭ C ．()2,0e -D ．()22,0e -9．若直线2y kx =-与曲线13ln y x =+相切，则k =（ ） A ．3B ．13C ．2D ．1210．已知ln 0a b -=，1c d -=，则22()()a c b d -+-的最小值是（ ）.A ．1B C ．2D ．11．函数f （x ）=﹣12x 2+12在x=1处的切线的斜率为（ ） A ．﹣2B ．﹣1C ．0D ．112．已知函数2()f x x bx =+的图象在点(1,(1))A f 处的切线的斜率为3，数列1()f n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n S ，则2020S 的值为（ ） A ．20202021B ．20192020C ．20182019D ．20172018二、填空题13．设点P 是曲线323y x =+上的任意一点，P 点处的切线倾斜角为σ，则σ的取值范围为____________.14．已知函数()()2xf x x a e =-，且()'13f e =，则曲线()y f x =在0x =处的切线方程为______.15．曲线32y x =+上的任意一点P 处切线的倾斜角的取值范围是______16．在曲线3211333y x x x =-+-的所有切线中，斜率最小的切线方程为______． 17．若直线y kx b =+是曲线ln 3y x =+的切线，也是曲线ln(1)y x =+的切线，则b =______18．曲线21x y e -=+在点（0，2）处的切线与直线0y =和y x =围成的三角形的面积为_____________.19．已知曲线f （x ）=e x +sinx ﹣x 3+1在点（0，f （0））处的切线的倾斜角为α，则tan2α的值为_____20．如果曲线f (x )＝x 3＋x －16，的某一切线与直线y ＝－14x ＋3垂直，则切线方程_________.三、解答题21．设函数f （x ）=x 3+ax 2+bx+c 满足f'（0）=4，f'（-2）=0． （1）求a ，b 的值及曲线y=f （x ）在点（0，f （0））处的切线方程； （2）若函数f （x ）有三个不同的零点，求c 的取值范围．22．已知函数24(),(1)2,'(1)13f x ax ax b f f =-+==； (1)求f (x )的解析式；(2)求f (x )在(1,2)处的切线方程．23．已知函数()e 2(xf x x e =--是自然对数的底数）．（1）求函数()f x 的图象在点()0,1A -处的切线方程；（2）若k 为整数，且当0x ＞时，(1)()10x k f x x '-+++>恒成立，其中()f x '为()f x 的导函数，求k 的最大值． 24．已知函数()x f x xe =. （1）求这个函数的导数；（2）求这个函数的图象在点1x =处的切线方程. 25．（1）求函数233x y x +=+的导数； （2）已知()34cos sin2f x x x π=+-，求()f x '及2f π⎛⎫⎪⎝⎭'. 26．已知函数()ln (R)f x a x x a =-∈恒过定点A . （1）当1a =-时，求()f x 在点A 处的切线方程； （2）当2a =时，求()f x 在[1,]e 上的最小值.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】引入点(,)P a b ，(,)Q c d ，利用点P 在曲线ln xy x=上，Q 在直线2y x =+上，只要求得PQ 的最小值即可得，为此可利用导数求出曲线ln xy x=上切线斜率为1的切点坐标，此点即为取最小值时的Q 点，从而计算后可得结论． 【详解】 ∵ln |2|0a b c d a -+-+=，∴ln ab a =，2dc =+，设(,)P a b ，(,)Q cd ，则点P 在曲线ln xy x=上，Q 在直线2y x =+上，设曲线ln xy x=上切线斜率为1的切点为00(,)x y ， 21ln xy x -'=， (0,)x e ∈时，0y '>，ln x y x =递增，(,)x e ∈+∞时，0y '<，ln xy x=递减，max ln 1e y e e==， 直线2y x =+在曲线ln xy x=上方， 由021ln 1x x -=，即200ln 10x x +-=，记2()ln 1f x x x =+-，显然()f x 在(0,)+∞上是增函数，而(1)0f =，∴01x =是()0f x =的唯一解．0ln101y ==，0(1,0)Q ，点0Q 到直线2y x =+的距离为h ==， ∴22()()a c b d -+-的最小值为292h =． 故选：B ． 【点睛】本题考查用几何意义求最值，考查导数的几何意义，解题关键是引入点的坐标：(,)P a b ，(,)Q c d ．已知条件说明两点中一点在一条直线上，一点在一函数图象上，只要求得曲线上与直线平行的切线的切点坐标，距离的最小值就易求得．2．C解析：C 【分析】设切点坐标为()0,1x ，求导得到44y x '=-，计算得到答案. 【详解】设切点坐标为()0,1x ，∵44y x '=-，由题意知，0440x -=，∴01x =，即切点为()1,1，∴124p =-+，∴3p =.故选：C . 【点睛】本题考查了根据切线求参数，意在考查学生的计算能力.3．C解析：C 【分析】利用导数法和两直线平行性质，将线段||PQ 的最小值转化成切点到直线距离. 【详解】已知P 与Q 分别为函数260x y --=与函数21y x =+的图象上一点， 可知抛物线21y x =+存在某条切线与直线260x y --=平行，则2k =，设抛物线21y x =+的切点为()200,1x x +，则由2y x '=可得022x =，01x ∴=，所以切点为(1,2)，则切点(1,2)到直线260x y --=的距离为线段||PQ 的最小值，则min ||PQ == 故选：C. 【点睛】本题考查导数的几何意义的应用，以及点到直线的距离公式的应用，考查转化思想和计算能力.4．A解析：A 【分析】 化简得到221lim 221n n n n →∞+-+，利用极限公式得到答案. 【详解】22222112(1)121lim lim lim 0112221(1)12n n n n n n n n n n n n→∞→∞→∞+-++===-+-+-+ 故选：A 【点睛】本题考查了极限的计算，意在考查学生的计算能力.5．A解析：A 【分析】利用导数求出函数()y f x =在点()()1,1T f 处的切线方程，再将原点的坐标代入切线方程可求出实数a 的值. 【详解】()ln ln x x f x e x e a x =-+，()1f e ∴=-，切点为()1,T e -，()ln x xx e af x e x e x x'=+-+，()1f a '=，所以，函数()y f x =的图象在点T 处的切线方程为()1y e a x +=-，由于该直线过原点，则a e -=，解得a e =-，故选A. 【点睛】本题考查切线过点的问题，一般先利用导数求出切线方程，再将所过点的坐标代入切线方程求解，考查运算求解能力，属于中等题.6．B解析：B 【解析】 【分析】将问题进行等价转化，然后结合导函数的解析式研究函数的性质即可确定“上进”函数的个数. 【详解】由区间G 上的任意两点12,x x 和任意实数()0,1λ∈， 总有()()()()()121211x f x x f x f λλλλ+-+-，等价为对任意x G ∈，有()0f x ''>成立（()''f x 是函数()f x 导函数的导函数）， ①()x x f x e =的导数()1'x x f x e -=，()2''xxf x e-+=，故在()2,3上大于0恒成立，故①为“上进”函数；②()f x =()'f x =，()1''04f x =-<恒成立，故②不为“上进”函数； ③()()ln 1x f x x+=的导数()()()()21ln 11x x x f x x x ++'-=+，()()()()2233221ln 11x x x x f x x x --+++=+''当21,3x ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭时，2320x x --<，()()21ln 10x x ++<，()230,10x x <+>，则()''0f x >恒成立．故③为“上进”函数；④()21xf x x =+的导数()()2221'1x f x x -=+，()()33226''1x xf x x -=+，当()2,3x ∈时，()''0f x >恒成立．故④为“上进”函数． 故选B . 【点睛】“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.7．D解析：D 【解析】 【分析】点()0,0O 在()3232f x x x x =-+上，分点()0,0O 是曲线()f x 上的切点，和点()0,0O 不是曲线()f x 上的切点进行讨论，分别对两条曲线求导，利用切点处的导数即为切线的斜率，列方程，可解出答案. 【详解】解：点()0,0O 在()3232f x x x x =-+上，且()2'362f x x x =-+①点()0,0O 是曲线()f x 上的切点 则()k '02f ==，切线l 的方程为：2y x =设直线l 在2y x a =+上的切点为()200,P x x a +因为'2y x =，所以0k 22x ==，所以01x =，所以()1,1P a +, 又点P 在直线2l y x =：上，所以12a +=，即1a =②点()0,0O 不是曲线()f x 上的切点，设曲线()f x 上的切点为()320000,32Q x x x x -+（00x ≠）则()322000000032k '362x x x f x x x x -+==-+=，解得032x =，1k 4=-所以33,28Q ⎛⎫-⎪⎝⎭，切线l 的方程为：14y x =-设直线l 在2y x a =+上的切点为()200,P x x a +因为'2y x =，所以01k 24x ==-，所以018x =-，所以11,864P a ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭, 又点P 在直线14l y x =-：上，所以1116448a ⎛⎫+=-⨯- ⎪⎝⎭，即164a =所以1a =或164故选：D. 【点睛】本题考查了导数的几何意义，求解与切线方程有关的问题一定要先确定切点，题中没给切点的要先设切点坐标，然后根据切点处的导数即为切线的斜率列式求解.8．C解析：C 【分析】把函数()f x 的图象上有两对关于y 轴的对称点，转化为3y kx =-与ln()y x =-在0x <时有两个交点，利用导数的几何意义，求得切线的斜率，即可求解．【详解】 ，由题意，当0x >时，()ln f x x =，则()ln f x x =关于y 轴的对称函数ln()y x =-(0)x <，由题意可得3y kx =-与ln()y x =-在0x <时有两个交点，设3y kx =-与ln()y x =-相切于(,)m n ，因为ln()yx =-的导数1y x '=，所以1k m=， 又由ln()3m km -=-，即1ln()32m m m -=⨯-=-，解得21m e=-， 所以2k e =-，由图象可得，当20e k -<<时，函数3y kx =-与ln()yx =-在0x <上有两个交点，即当20e k -<<时，函数ln ,0()3,0x x f x kx x >⎧=⎨-≤⎩的图象上有两对关于y 轴的对称点，故选C ．【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的零点问题，其中解答中把函数的图象上有两对关于y 轴的对称点，转化为3y kx =-与ln()yx =-在0x <时有两个交点是解答的关键，着重考查了转化思想，以及推理与运算能力，属于中档试题．9．A解析：A 【分析】设切点为00(,2)x kx -，对13ln y x =+求导，得到3y x'=，从而得到切线的斜率03k x =，结合直线方程的点斜式化简得切线方程，联立方程组，求得结果. 【详解】设切点为00(,2)x kx -，∵3y x '=，∴0003,213ln ,k x kx x ⎧=⎪⎨⎪-=+⎩①②由①得03kx =， 代入②得013ln 1x +=， 则01x =，3k =， 故选A. 【点睛】该题考查的是有关直线与曲线相切求参数的问题，涉及到的知识点有导数的几何意义，直线方程的点斜式，属于简单题目.10．C解析：C 【分析】设点(),b a 是曲线:ln C y x =上的点，点()d c ，是直线:1l y x =+上的点；()()22a cb d -+-可看成曲线C 上的点到直线l 上的点的距离的平方．然后将问题转化为求曲线C 上一点到直线l 距离的最小值的平方，直接对函数ln y x =求导，令导数为零，可求出曲线C 上到直线l 距离最小的点，然后利用点到直线的距离公式可求出最小距离，从而得出答案． 【详解】设(),b a 是曲线:ln C y x =上的点，()d c ，是直线:1l y x =+上的点；()()22a cb d -+-可看成曲线C 上的点到直线l 上的点的距离的平方． 对函数ln y x =求导得1y x'=，令1y '=，得1x =， 所以，曲线C 上一点到直线l 上距离最小的点为()10，， 该点到直线l的距离为 因此，()()22a c b d -+-的最小值为22＝． 故选C ．【点睛】本题考查距离的最值问题，将问题进行转化是解本题的关键，属于中等题．11．B解析：B 【解析】 【分析】根据导数的几何意义可知(1)k f '=，求导后计算即可. 【详解】 因为()f x x '=-,所以 (1)1k f '==- ，故选B. 【点睛】本题主要考查了导数的几何意义，属于容易题.12．A解析：A 【分析】由2()f x x bx =+，求导得到()2f x x b '=+，再根据函数2()f x x bx =+的图象在点(1,(1))A f 处的切线的斜率为3，由(1)23f b '=+=求解，从而得到()2()1f x x x x x =+=+，则()1111()11f n n n n n ==-++，再利用裂项相消法求解. 【详解】因为2()f x x bx =+， 所以()2f x x b '=+，因为函数2()f x x bx =+的图象在点(1,(1))A f 处的切线的斜率为3， 所以(1)23f b '=+=， 解得1b =，所以()2()1f x x x x x =+=+，数列()1111()11f n n n n n ==-++， 所以202011111111 (12233420202021)S =-+-+-++-， 12020120212021=-=. 故选：A 【点睛】 本题主要考查导数的几何意义以及数列的裂项法求和，还考查了运算求解的能力，属于中档题.二、填空题13．【分析】设点根据导数的几何意义求得即可得到答案【详解】设点由函数可得可得即又由所以故答案为：【点睛】本题主要考查了导数的几何意义及其应用其中解答中熟记导数的几何意义准确计算是解答的关键着重考查推理与解析：20,,23πππ⎡⎫⎡⎫⋃⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭【分析】设点00(,)P x y ，根据导数的几何意义，求得tan σ≥.【详解】设点00(,)P x y ，由函数323y x =+，可得23y x '=可得020|3x x y x ='=，即tan σ≥ 又由[)0,σπ∈，所以20,,23πππ⎡⎫⎡⎫⋃⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭. 故答案为：20,,23πππ⎡⎫⎡⎫⋃⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭. 【点睛】本题主要考查了导数的几何意义及其应用，其中解答中熟记导数的几何意义，准确计算是解答的关键，着重考查推理与运算能力.14．【分析】求导利用求出根据导数几何意义可求斜率利用点斜式写出切线方程即可【详解】∵∴解得即则∴曲线在点处的切线方程为即【点睛】本题主要考查了导数的几何意义切线方程属于中档题 解析：10x y --=【分析】求导，利用()'13f e =求出a ，根据导数几何意义可求斜率(0)k f '=，利用点斜式写出切线方程即可. 【详解】∵()()()'2222xxxf x e x a e x a e =+-=+-，∴()()'143f a e e =-=，解得1a =，即()()21x f x x e =-，()01f =-，则()()'21x f x x e =+，∴()'01f =，曲线()y f x =在点0x =处的切线方程为()110y x +=⨯-，即10x y --=.【点睛】本题主要考查了导数的几何意义，切线方程，属于中档题.15．【解析】【分析】求得函数的导数得到进而得出在点处切线的斜率再利用斜率与倾斜角的关系即可求解【详解】由题意函数则即曲线上的任意一点处切线的斜率设直线的倾斜角为即又因为所以即曲线上的任意一点处切线的倾斜解析：2[0,)(,)23πππ【解析】 【分析】求得函数的导数，得到23y x =≥'P 处切线的斜率k ≥再利用斜率与倾斜角的关系，即可求解． 【详解】由题意，函数32y x =+，则23y x =≥'，即曲线32y x =+上的任意一点P 处切线的斜率k ≥设直线的倾斜角为α，即tan α≥ 又因为[0,)απ∈，所以2[0,)(,)23ππαπ∈，即曲线32y x =+上的任意一点P 处切线的倾斜角的取值范围是2[0,)(,)23πππ． 【点睛】本题主要考查了导数的几何意义的应用，其中解答中熟记导数的几何意义，再利用直线的斜率与倾斜角的关系，准确计算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．16．【解析】【分析】根据导数的几何意义可知在某点处的导数为切线的斜率先求出导函数利用配方法求出导函数的最小值即为切线最小斜率再用点斜式写出化简【详解】曲线时切线最小斜率为2此时切线方程为即故答案为：【点 解析：20x y -=【解析】 【分析】根据导数的几何意义可知在某点处的导数为切线的斜率，先求出导函数()f x '，利用配方法求出导函数的最小值即为切线最小斜率，再用点斜式写出化简． 【详解】曲线3211333y x x x =-+-，223y x x ∴'=-+，1x ∴=时，切线最小斜率为2，此时，32111131233y =⨯-+⨯-=．∴切线方程为22(1)y x -=-，即20x y -=．故答案为：20x y -=． 【点睛】本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，以及二次函数的最值等基础题知识，考查运算求解能力，属于基础题．17．【分析】对两条曲线对应的函数求导设出两个切点的横坐标令它们的导数相等求出两条曲线在切点处的切线方程对比系数求得的值【详解】依题意设直线与相切切点的横坐标为即切点为设直线与相切切点的横坐标为即切点为令 解析：2ln 3-【分析】对两条曲线对应的函数求导，设出两个切点的横坐标，令它们的导数相等，求出两条曲线在切点处的切线方程，对比系数求得b 的值. 【详解】依题意，()()''11ln 3,ln 11x x x x +=+=⎡⎤⎣⎦+，设直线y kx b =+与ln 3y x =+相切切点的横坐标为0x ，即切点为()00,ln 3x x +，设直线y kx b =+与()ln 1y x =+相切切点的横坐标为1x ，即切点为()()11,ln 1x x +，令01111x x =+，解得101x x =-，故直线y kx b =+与()ln 1y x =+相切切点为()001,ln x x -.由此求出两条切线方程为()()0001ln 3y x x x x -+=-和()0001ln 1y x x x x -=-+；即001ln 2y x x x =++和000111ln y x x x x =-++，故0001ln 21ln x x x +=-++，013x =，故0ln 22ln3b x =+=-.【点睛】本小题主要考查两条曲线共切线方程的问题，考查切线方程的求法，考查导数的运算，属于中档题.18．【分析】对函数求导求写出切线方程与y=0y=x 联立求交点的坐标即可求面积【详解】∵∴∴切线的斜率且过点（02）∴切线为∴∴切线与x 轴交点为（10）与的交点为∴切线与直线和围成的三角形的面积为故答案为解析：13【分析】对函数求导，求()0f ' ，写出切线方程，与y=0,y=x 联立求交点的坐标，即可求面积. 【详解】∵21x y e -=+，∴22x y e -=-'，∴切线的斜率02x k y ='==-，且过点（0，2），∴切线为22y x -=-，∴22y x =-+，∴切线与x 轴交点为（1，0），与y x =的交点为22,33⎛⎫ ⎪⎝⎭，∴切线与直线0y =和y x =围成的三角形的面积为1211233S =⨯⨯=.故答案为1.3【点睛】本题考查了导数的几何意义，在某点处的切线，属于基础题.19．-43【解析】【分析】根据求导公式和法则求出函数的导数再求出f′（0）的值即为所求的倾斜角正切值然后利用二倍角公式求解即可【详解】由题意得f′（x ）=ex+cosx-3x2∴在点（0f （0））处的切解析：【解析】 【分析】根据求导公式和法则求出函数的导数，再求出f′（0）的值，即为所求的倾斜角正切值，然后利用二倍角公式求解即可． 【详解】由题意得，f′（x ）=e x +cosx-3x 2， ∴在点（0，f （0））处的切线的斜率为 ，则，故答案为：．【点睛】本题考查了求导公式和法则的应用，以及导数的几何意义，二倍角公式的应用，难度不大．20．y ＝4x －18或y ＝4x －14【解析】【分析】先求然后求出的解即得切点的横坐标从而求得切线方程【详解】设切点为因切线与直线垂直故故或当时切线方程为；当时切线方程为综上填或【点睛】对于曲线的切线问题注解析：y ＝4x －18或y ＝4x －14.【解析】 【分析】先求()'f x ，然后求出()'4f x =的解即得切点的横坐标，从而求得切线方程. 【详解】设切点为()00,x y ，因切线与直线134y x =-+垂直，故()200'314f x x =+=，故01x =-或01x =，当01x =-时，()018f x =-，切线方程为()4118414y x x =+-=-； 当01x =时，()014f x =-，切线方程为()4114418y x x =--=-， 综上，填418y x =-或414y x =-. 【点睛】对于曲线的切线问题，注意“在某点处的切线”和“过某点的切线”的差别，切线问题的核心是切点的横坐标.如果切点为()()00,x f x ，那么切线方程为：()()()000'y f x x x f x =-+.三、解答题21．（1）a=b=4，y=4x+c ；（2）（0，3227）.【解析】试题分析：（1）求出f （x ）的导数，由f'（0）=4，f'（-2）=0求得a ，b 的值，再求得切线的斜率和切点，进而得到所求切线的方程；（2）由f （x ）=0，可得-c=x 3+4x 2+4x ，由g （x ）=x 3+4x 2+4x ，求得导数，单调区间和极值，由-c 介于极值之间，解不等式即可得到所求范围． 试题(1)函数f (x )=x 3+ax 2+bx +c 的导数为f ′(x )=3x 2+2ax +b ，根据题意得：()()0421240f b f a b ⎧==⎪⎨-=-+=''⎪⎩，解得4,4a b ==.可得y =f (x )在点(0,f (0))处的切线斜率为k =f ′(0)=b=4， 切点为(0,c )，可得切线的方程为y =4x +c ； (2)由（1）f (x )=x 3+4x 2+4x +c ， 由f (x )=0,可得−c = x 3+4x 2+4x ，由g (x )= x 3+4x 2+4x 的导数g ′(x )=3x 2+8x +4=(x +2)(3x +2) 当23x >-或x <−2时,g ′(x )>0,g (x )递增； 当−2<x <−23时,g ′(x )<0,g (x )递减. 即有g (x )在x =−2处取得极大值，且为0； g (x )在x =−23处取得极小值,且为−3227， 由函数f (x )有三个不同零点,可得−3227<−c <0， 解得0<c <3227， 则c 的取值范围是(0,32 27). 22．（1）235()222f x x x =-+；（2）10x y －＋＝. 【解析】 试题分析：(1)由题意得到关于实数a,b 的方程组，求解方程组可得函数的解析式为()235222f x x x =-+ (2)利用导函数与切线方程的关系可得f (x )在(1,2)处的切线方程为x －y ＋1＝0. 试题(1)f ′(x )＝2ax －a .由已知得解得∴f (x )＝x 2－2x ＋.(2)函数f (x )在(1,2)处的切线方程为y －2＝x －1，即x －y ＋1＝0. 23．（1） 1.y =-；（2）3. 【解析】试题分析：（1）切线的斜率就是该点处的导数，即'(0)k f =；（2）当时，10x e ->，不等式()(1)10x k f x x '-+++>为(1)(1)10xx k e x -+-++>，即111x x k x e +<++-，这样k 小于111x x x e +++-的最小值，因此下面只要求1()11x x g x x e +=++-的最小值.2(2)'()(1)x x x e e x g x e --=-，接着要讨论()2x h x e x =--的零点，由于()h x 在(0,)+∞上单调递增，且(1)0,(2)0h h ，因此()h x 在(0,)+∞上有唯一零点，即在上存在唯一的零点，设其为α，则'()0,(1,2)g αα=∈，可证得()g α为最小值，()2(3,4)g αα=+∈，从而整数k 的最大值为3.试题（1）()2,x f x e x x R =--∈，/()1,x f x e x R =-∈， 2分/(0)0f = 曲线()f x 在点处的切线方程为 1.y =- 4分（2）当时，10x e ->，所以不等式可以变形如下：/1(1)()10(1)(1)1011x x x x k f x x x k e x k x e +-+++>⇔-+-++>⇔<++- ① 6分 令()111xx g x x e +=++-，则 函数在上单调递增，而所以()h x 在上存在唯一的零点，故在上存在唯一的零点.设此零点为α，则. 当时，；当时，； 所以，在上的最小值为()g α.由可得 10分所以，()()23,4.g αα=+∈由于①式等价于.故整数k 的最大值为3. 12分考点：导数与切线，不等式恒成立，导数与单调性，函数的零点.24．（1）()x x f x e xe '=+；（2）.【分析】（1）因为()x f x xe =，则()()''()x xxx f x x e x e exe =+=+'（2）因为(1)2k f e '==，过点（1，e ）,那么可知切线方程为2(1)y e e x -=- 【详解】（1）()()''()x x xx f x x e x e exe =+=+'.（2）(1)2k f e '==， 当1x =时，y e =，因此，这个函数的图象在点1x =处的切线方程是2(1)y e e x -=-， 即.本试题主要是考查了函数的导数的求解以及导数的几何意义的运用. 25．（1）()22263'3x x y x--+=+；（2）23424f ππ⎛⎫=-⎪⎝⎭'. 【分析】（1）直接利用导数的除法运算法则求解即可；（2）利用幂函数与余弦函数的求导公式求出导函数，将2x π=代入即可得结果.【详解】 （1）()()()()()()22222223'333'63'33x x x x x x y x x++-++--+==++；（2）因为()()()32'4cos '34sin f x x x xx =-'=+，所以，23424f ππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭'. 【点睛】本题主要考查基本初等函数的求导公式以及导数的运算法则，意在考查对基础知识的掌握情况，属于基础题.26．（1）21y x =-+（2）1- 【分析】（1）先求出定点(1,1)A -，然后求导，求出(1)f '，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率，从而解决问题；（2）将2a =代入后求导，令导数为零，根据导数正负得导数的单调性，即可求得()f x 在[1,]e 上的最小值.【详解】（1）由题知：(1)1,f =-所以定点(1,1)A -，若1a =-，()11f x x=--'，所以(1)2f '=-， 所以()f x 在点A 处的切线方程：12(1)y x +=--，即21y x =-+； （2）若2a =，()2ln f x x x =-，所以()2xf x x-'=， 令()0f x '=，解得2x =，当(1,2),()0,()x f x f x '∈>在(1,2)单调递增， 当(2,),()0,()x e f x f x '∈<在(2,)e 单调递减， 又因为(1)1f =-，()21f e e =->-， 所以()f x 的最小值为(1)f =1-. 【点睛】本题主要考查的是利用导数的几何意义求在点处的切线方程，利用导数求函数在给定区间的最值，考查学生的计算能力，是中档题.。

2024-2025学年北京市海淀区高二上学期统练二数学试题（答案在最后）一、单选题:本题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知直线过点()1,1P -，且倾斜角是45︒，则直线不经过（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】D 【解析】【分析】根据题意，求出直线方程，画出图象，结合图象得到答案.【详解】直线过点()1,1P -，且倾斜角是45︒，所以直线斜率tan 451k =︒=，所以直线方程为11y x -=+，即20x y -+=，画出直线图象为结合图象可知，直线不过第四象限，故选：D.2.已知圆1C ：222880x y x y +++-=，圆2C ：()()222210x y -+-=，则圆1C 与圆2C 的位置关系是（）A.外离B.外切C.相交D.内含【答案】C 【解析】【分析】依题意将圆的一般方程化为标准方程求出两圆圆心和半径，比较圆心距与两半径之差、之和的关系即可得出结论.【详解】根据题意将1C 化为标准方程可得()()221425x y +++=，即圆心()11,4C --，半径15r =；由()()222210x y -+-=可知圆心()22,2C ，半径2r =；此时圆心距为12C C ==，121255r r r r +=-=；显然1212122r r C C r r -+<<，即两圆相交.故选：C3.若1l 与2l 为两条不重合的直线，它们的倾斜角分别为1α，2α，斜率分别为1k ，2k ，则下列命题①若12l l ∥，则斜率12k k =；②若斜率12k k =，则12l l ∥；③若12l l ∥，则倾斜角12αα=；④若倾斜角12αα=，则12l l ∥，其中正确命题的个数是（）.A.1 B.2C.3D.4【答案】D 【解析】【分析】根据两条直线平行的判定方法与结论即可判断．【详解】由于1l 与2l 为两条不重合的直线且斜率分别为1k ，2k ，所以1212l l k k ⇔= ，故①②正确；由于1l 与2l 为两条不重合的直线且倾斜角分别为1α，2α，所以12l l ∥⇔12αα=，故③④正确，所以正确的命题个数是4．故选：D ．4.过直线10x y ++=与240x y --=的交点，且一个方向向量为()1,3y =-的直线方程为（）A.310x y +-=B.350x y +-=C.330x y +-=D.350x y ++=【答案】A 【解析】【分析】求出两条直线的交点坐标，再结合方向向量求出直线方程.【详解】由10240x y x y ++=⎧⎨--=⎩，解得12x y =⎧⎨=-⎩，即直线10x y ++=与240x y --=的交点坐标为(1,2)-，而该直线的斜率为3-，所以所求直线的方程为23(1)y x +=--，即310x y +-=.故选：A5.“1a =-”是“直线1:10l x ay -+=和直线2:(2)10()+++=∈l ax a y a R 垂直”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】根据两直线互相垂直求出a 的值，从而结合充分条件与必要条件的概念判断结论.【详解】当直线1:10l x ay -+=和直线2:(2)10()+++=∈l ax a y a R 垂直时，有()()120a a a ⨯+-+=，即20a a +=，解得1a =-或0a =，所以“1a =-”是“直线1:10l x ay -+=和直线2:(2)10()+++=∈l ax a y a R 垂直”的充分而不必要条件，故选：A.6.已知椭圆22137x y m m+=--的焦点在x 轴上，则m 的取值范围是（）A.37m <<B.35m << C.57m << D.3m >【答案】C 【解析】【分析】根据椭圆的标准方程，列出不等式组，即可求解.【详解】由椭圆22137x ym m +=--的焦点在x 轴上，则满足307037m m m m->⎧⎪->⎨⎪->-⎩，解得57m <<.故选：C.7.若圆22860x x y y m ++-+=与x 轴，y 轴均有公共点，则实数m 的取值范围是（）A.(],9-∞ B.(],16-∞ C.[)9,25 D.[)16,25【答案】A 【解析】【分析】利用圆的一般方程满足的条件得到25m <，再分别令0,0y x ==，利用0∆≥，即可求出结果.【详解】因为22860x x y y m ++-+=表示圆，所以643640m +->，得到25m <，令0y =，得到280x x m ++=，则6440m ∆=-≥，得到16m ≤，令0x =，得到260y y m -+=，则3640m ∆=-≥，得到9m ≤，所以9m ≤，故选：A.8.在平面直角坐标系xOy 中，若点(),P a b 在直线430ax by a +++=上，则当a ，b 变化时，直线OP 的斜率的取值范围是（）A.,33⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎦⎣⎭B.33⎡-⎢⎣⎦C.,,22⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎦⎣⎭D.,22⎡-⎢⎣⎦【答案】B 【解析】【分析】将点P 代入直线方程中得出点P 为圆上的动点，结合图像分析即可求出直线OP 的斜率的取值范围.【详解】因为点(),P a b 在直线430ax by a +++=上，所以430a a b b a ⋅+⋅++=，即()222243021a b a a b +++=⇔++=，则(),P a b 表示圆心为()2,0-，半径为1的圆上的点，如图：由图可知当直线OP 与圆相切时，直线OP 的斜率得到最值，设:OP l y kx =，由圆与直线相切，故有圆心()2,0-到直线OP l 的距离为半径1，即1d ==，解得：3k =±，由图分析得：直线OP 的斜率的取值范围是33⎡-⎢⎣⎦.故选：B.9.若点(,)P x y 在直线12x y +=+的最小值为（）A.+ B.+ C.13D.1+【答案】C 【解析】x 轴上某动点Q 到两定点A B 、的距离之和，利用QA QB AB +≥的性质，即可得出所求最小值.【详解】因为点(,)P x y 在直线12x y +=上运动，所以12y x =-，==+，表示x 轴上一点(,0)Q x 到两定点(0,1)(12,4)A B -、的距离之和.,A B 在x 轴两侧，因为QAB 中，两边之和大于第三边，所以QA QB AB +>，当Q A B 、、三点共线时，QA QB AB +=，此时QA QB +最小值为AB ，的最小值为13AB ==.故选：C.10.已知m ∈R ，过定点A 的动直线0mx y +=和过定点B 的动直线30x my m --+=交于点P ，则PA 的取值范围是（）A.B.C. D.【答案】D 【解析】【分析】动直线0mx y +=过定点()0,0A ，动直线30x my m --+=过定点()3,1B --，且此两条直线垂直，因此点P 在以AB 为直径的圆上，||AB =设∠ABP ＝θ，则||,||PA PB θθ==，θ∈[0，2π]，代入PA 中利用正弦函数的性质可得结果.【详解】动直线0mx y +=过定点()0,0A ，动直线30x my m --+=即()310x m y +-+=过定点()3,1B --，且此两条直线垂直．∴点P 在以AB 为直径的圆上，||AB ==，设∠ABP ＝θ，则||,||PA PB θθ==，θ∈[0，2π]|||o 3s PA PB πθθθ⎛⎫∴=+=+ ⎪⎝⎭，∵θ∈[0，2π]，∴θ+3π∈[3π，56π]，∴sin （θ+3π）∈[12，1]，∴3πθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭∈，]，故选：D ．【点睛】本题考查直线过定点、相互垂直的直线斜率之间的关系，考查正弦函数的性质，考查推理能力与计算能力，属于中档题．二、填空题:本题共6小题，每小题5分，共30分.11.经过点()1,3且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程是______.【答案】30x y -=或20x y -+=．【解析】【分析】当直线过原点时，由点斜式求出直线的方程．当直线不过原点时，设方程为1x ya a+=-，把点()2,3P 代入可得a 的值，从而得到直线方程．综合以上可得答案．【详解】当直线过原点时，由于斜率为30310-=-，故直线方程为3y x =，即30x y -=．当直线不过原点时，设方程为1x y a a+=-，把点()1,3代入可得2a =-，故直线的方程为20x y -+=，故答案为：30x y -=或20x y -+=．12.已知入射光线经过点(0,1)M 被x 轴反射，反射光线经过点(2,1)N ，则反射光线所在直线的方程为________.【答案】10x y --=【解析】【分析】先求出(0,1)M 关于x 轴对称的点M '的坐标，反射光线必过M '点，又反射光线经过点(2,1)N ，即可求出直线方程．【详解】由题意，(0,1)M 关于x 轴对称的点为()0,1M '-，反射光线必过()0,1M '-点，又反射光线经过点(2,1)N ，故直线的斜率11102k --==-，故直线方程为12y x -=-，化成一般式得10x y --=，故答案为:10x y --=13.已知椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，离心率为5，且过点P (－5,4)，则椭圆的方程为________．【答案】2214536x y +=【解析】【分析】根据待定系数法求解，先设出椭圆的标准方程，根据题意求出参数,a b 后可得椭圆的标准方程．【详解】设椭圆的方程为22221(0)x y a b a b+=>>，由题意得5c e a ==，∴c =，∴222245a b a c =-=，∴椭圆的方程为2222514x y a a +=．又点P (－5,4)在椭圆上，∴22225804514a a a+==，解得245a =，∴236b =，∴椭圆的方程为2214536x y +=．故答案为2214536x y +=．【点睛】求椭圆标准方程的基本方法是待定系数法，具体步骤为：先定形，再定量，即先确定焦点所在位置，然后再根据条件建立关于a ，b 的方程组，求出a ，b 后即可得到椭圆的标准方程．14.已知m R ∈，则直线1:(1)(3)40l m x m y +---=与直线2:(1)(3)l m x m y +--0=的距离的最大值为__________【解析】【分析】由平行线间的距离公式得d =化简求最值即可.【详解】因为直线()()1l :m 1x m 3y 40+---=与直线()()2l :m 1x m 3y +--0=平行，所以由平行线间的距离公式得d =，所以当m=1时，d max .故答案为.【点睛】本题考查的是平行线间的距离公式和二次函数求最值的问题，属于基础题.15.已知曲线2230x y ax +--=关于直线10x y +-=对称，若直线(1)y k x =+被曲线截得的弦长为k =______.【答案】33±【解析】【分析】曲线方程化为桂圆的标准方程后得出圆心坐标，代入对称直线方程得a 值，由弦长得出圆心到直线的距离，利用点到直线距离公式可求得k ．【详解】曲线2230x y ax +--=的标准方程是222()324a a x y -+=+，它表示圆，圆心坐标为(,0)2a ，由题意0102a +-=，解得2a =，即圆心为(1,0)2=，直线(1)y k x =+被圆截得的弦长为1d ==，1=，解得3k =±．故答案为：33±．16.在平面直角坐标系xOy 中，点(2,0)A -，(4,0)B ，点P 满足12PA PB=.设点P 的轨迹为C ，给出下列四个结论：（1）当,,A B P 三点不共线时，ABP 面积的最大值为12；（2）在x 轴上存在异于,A B 的两定点,D E 使得12PD PE=；（3）当,,A B P 三点不共线时，射线PO 是APB ∠的平分线；（4）在C 上存在点M ，使得2MO MA =.其中所有正确结论的序号是______.【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】设(,)P x y ，根据题目条件可得点P 的轨迹方程，轨迹为以(4,0)-为圆心，4为半径的圆.根据点P 在圆上可得点P 到直线AB 的最大距离，即可求出ABP 面积的最大值，得到（1）正确；设,D E 两点坐标结合C 的方程可判断（2）正确；根据角平分定理逆定理可得（3）正确；设点M 坐标，根据条件列关系式，结合C 的方程可判断（4）错误.【详解】设(,)P x y ，由12PAPB =12=，化简得22(4)16x y ++=，点P 的轨迹C 为以(4,0)-为圆心，4为半径的圆.（1）如图，6AB =，点P 在C 上运动时，点P 到直线AB 的最大距离为4，∴ABP 面积的最大值为164122⨯⨯=，（1）正确.（2）设(,0),(,0)D m E n ，由12PDPE =12=，化简得2222284033n m m n x y x --+++=，∵点P 的轨迹方程为22(4)16x y ++=，即2280x y x ++=，∴222848,033n m m n --==，解得612m n =-⎧⎨=-⎩或24m n =-⎧⎨=⎩（舍去），∴存在(6,0),(12,0)D E --使得12PD PE=，（2）正确.（3）∵||2,||4OA OB ==，∴12OA PA OBPB==，由角平分线定理的逆定理得射线PO 是APB ∠的平分线，（3）正确.（4）设在C 上存在点00(,)M x y ，则2200(4)16x y ++=，2200080x y x ++=，由2MO MA ==化简得220001616033x y x +++=，联立2200080x y x ++=与220001616033x y x +++=，方程组无解，∴不存在点M ，使得2MO MA =，（4）错误.故答案为：（1）（2）（3）.三、解答题:本题共2小题，共24分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧面11A ACC 为正方形，AB AC ⊥，2AB AC ==，D 为BC 的中点．（1）求证：1//A C 平面1AB D ；（2）若1A C AB ⊥，求二面角11D AB A --的余弦值．【答案】（1）证明见解析（2）33-【解析】【分析】（1）根据线线平行证明面面平行；（2）向量法求二面角.【小问1详解】如图，连接1A B ，设11A B AB E = ，连接DE ．因为在三棱柱111ABC A B C -中，四边形11A ABB 是平行四边形，所以E 为1A B 的中点．因为D 为BC 的中点，所以1//DE AC ．又因为1A C ⊄平面1AB D ，DE ⊂平面1AB D ，所以1AC ∥平面1AB D ．【小问2详解】因为1AB A C ⊥，AB AC ⊥，又1AC AC C ⋂=，1A C ⊂平面11A ACC ，AC ⊂平面11A ACC ，所以AB ⊥平面11A ACC ，又因1AA ⊂平面11A ACC ，所以1AB AA ⊥．又1AA AC ⊥，所以AB ，AC ，1AA 两两相互垂直．如图建立空间直角坐标系A xyz -，则0,0,0，()12,0,2B ，()1,1,0D ，()0,2,0C ．所以()12,0,2AB = ，()1,1,0AD =．设平面1AB D 的法间量为(),,m x y z = ，则100m AB m AD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 即2200x z x y +=⎧⎨+=⎩，令=1x -，则1y =，1z =于是()1,1,1m =- ．因为AC ⊥平面11A ABB ，所以()0,2,0AC =是平面11A ABB 的一个法向量．所以3cos ,3m AC m AC m AC ⋅== ．由题设，二面角11D AB A --的平面角为钝角，所以二面角11D AB A --的余弦值为33-．18.已知圆O ：222(0)x y r r +=>与直线250x y +-=相切．（1）求圆O 的方程；（2）若过点()13-，的直线l 被圆O 所截得的弦长为4，求直线l 的方程；（3）若过点(0A 作两条斜率分别为1k ，2k 的直线交圆O 于B 、C 两点，且1212k k =-，求证：直线BC 恒过定点．并求出该定点的坐标．【答案】（1）225x y +=；（2）4350x y +-=或1x =-；（3）证明详见解析，该点坐标为503⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，．【解析】【分析】（1）利用圆心到直线的距离等于半径即可求出.（2）根据题意可得圆心到直线的距离1d ==，分类讨论，当斜率不存在时，1x =-，满足题意；当直线的斜率存在，利用点斜式求出直线方程，再利用点到直线的距离公式即可求解.（3）设直线AB：1y k x =+AC：2y k x =+，分别与圆的方程联立，求出点B 、C ，进而求出直线BC 方程，根据直线方程即可求解.【详解】解：（1） 圆O ：222(0)x y r r +=>与直线250x y +-=相切，圆心()00，到直线250x y +-=r =，r ∴==，∴圆O 的方程为225x y +=；（2） 直线l 被圆O 所截得的弦长为4，∴圆心到直线的距离1d ==，斜率不存在时，1x =-，满足题意；斜率存在时，设方程为()31y k x -=+，即30kx y k -++=，圆心到直线的距离1d ==，43k ∴=-，∴直线l 的方程为4350x y +-=，综上所述，直线l 的方程为4350x y +-=或1x =-；（3）由题意知，设直线AB：1y k x =与圆方程联立，消去y 得：()221110k x x ++=，1211B x k ∴=-+，21211B y k -=+，即2112211255511B k k ⎛⎫- ⎪ ⎪++⎝⎭，，设直线AC：2y k x =，与圆的方程联立，消去y 得：()222210k x x ++=，2221C x k ∴=-+，22221C y k =+，1212k k =- ，用112k -代替2k 得：2112211454551414C k k ⎛- ++⎝⎭，，22112221111114213BC k k k k k ---==∴直线BC方程为221112*********k y x k k k ⎛⎫--=+ ⎪ ⎪++⎝⎭，令0x =，可得()()2121212211133k y k k ⎡⎤-=+-=⎢⎥+⎢⎥⎣⎦，则直线BC 定点03⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，．【点睛】本题考查直线与圆的位置关系、点斜式方程，考查了考生的基本运算能力，属于基础题.。

海淀区高二年级第二学期期中练习数学（理科）2010．04学校 班级 姓名 成绩一、选择题：本大题共8小题, 每小题4分,共32分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的． 1．若i 是虚数单位，则52i=- （ ） A ．2i - B ．i 2- C ．2i + D ．2i -- 2．下列求导运算正确的是 （ ） A ．32()x x '= B ．1(lg )ln10x x '=C ．1(e )e x x x -'=D ．(cos )sin x x '=3．在复平面内，若复数22(4)(6)i z m m m m =-+--所对应的点在第二象限，则实数m 的取值范围是 （ ） A ．)(3,0 B ．)(2,-∞- C ．)(0,2- D ．)(4,34．已知)(x f y =是二次函数，若方程0)(=x f 有两个相等的实根，且22)(+='x x f ，则函数)(x f 的表达式是 （ ） A ．12)(2+-=x x x f B ．122)(2++=x x x fC ．12)(2++=x x x f D ．41)(2++=x x x f 5．曲线042=-y x 在点(2,1)Q 处的切线方程是（ ）A ．10x y --=B ．30x y +-=C ．032=--y xD ．052=-+y x 6．若,,a b c 均是正实数,则三个数111,,a b c b c a+++（ ） A ．都不大于2 B ．都不小于2 C ．至少有一个不大于2 D ．至少有一个不小于27．下列四个函数中，图象如图1所示的只能是（ ）A ．ln y x x =+B ．ln y x x =-C ．ln y x x =-+D ．ln y x x =--8．某学校高二年级的女生比男生多，在2010年下学期的某次数学考试中，年级不及格学生超过了一半，则下列判断正确的是（ ） A. 女生不及格的比男生不及格的多 B. 女生不及格的比男生及格的多 C. 女生及格的比男生不及格的多 D. 女生及格的比男生及格的多二、填空题：本大题共6小题, 每小题4分,共24分．把答案填在题中横线上． 9．若复数z 满足(2)(1)i z m m =-++（i 为虚数单位）为纯虚数，其中m ∈R ，则m = ，||z = ．10．比较大小：5+22+（用“>”或“<”填空）11．对于半径为r 的圆，由2()'r π＝2πr 可以得到结论：圆的面积关于半径的函数的导数等于圆的周长关于半径的函数；通过类比可以得到：对于半径为r 的球，由 ，可以得到结论 . （参考公式：球的体积公式343V r π=）12．在图2中，阴影部分的面积为13．若函数5)12(31)(23+-+-=x k kx x x f 在区间（2，3） 上是减函数，则k 的取值范围是 .14．若不全为0的实数12,,,n k k k ，满足1122n n k k k +++=0a a a ，则称向量12,,,na a a 为“线性相关”.依据此规定，若向量123(1,0),(1,1),(2,2)===a a a 线性相关，则123,,k k k 的取值依次可以为__________________________(写出一组数值即可).三、解答题:本大题共4小题,共44分．解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤． 15．(本小题共10分)已知函数2()ln f x ax b x =+)0(>x 在1x =处有极值12． （Ⅰ）求a ，b 的值；（Ⅱ）求出函数()y f x =的单调区间．16．(本小题共10分)如图3，点A 是曲线23x y -=上的动点（点A 在y 轴左侧），以点A 为顶点作矩形ABCD ，使点B 在此曲线上，点,D C 在x 轴上.设OC x =，矩形ABCD 的面积)(x S . （Ⅰ）写出函数)(x S 的解析式，并求出函数的定义域； （Ⅱ）求当x 为何值时，矩形ABCD 的面积最大？并求出最大面积.17．(本小题共12分)用数学归纳法证明：对于大于1的任意自然数n ，都有n n1213121112222-<++++ 成立.18. (本小题共12分)设1x ，2x （1x ≠2x ）是函数)0()(223>-+=a x a bx ax x f 的两个极值点. （Ⅰ）若22||||21=+x x ，求b 的最大值；（Ⅱ）若1x <<x 2x ，且a x =2，函数)()(')(1x x a x f x g --=，求证：323()43a g x a a ++≤.。

北京市海淀区2023-2024学年高二下学期期末学业水平调研数学试卷一、单选题1．5(1)x -的展开式中，所有二项式的系数和为（ ） A ．0B ．52C ．1D ．622．已知函数sin (),cos xf x x=则(0)f '的值为（ ） A ．0B ．1C ．1-D ．π3．若等比数列{}n a 的前n 项和21n n S =-，则公比q =（ ） A ．12B ．12-C ．2D ．2-4．下列函数中，在区间[]1,0-上的平均变化率最大的时（ ）A ．2y x = B ．3y x =C ．12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭D ．2x y =5．将分别写有2，0，2，4的四章卡片，按一定次序排成一行组成一个四位数（首位不为0），则组成的不同四位数的个数为（ ） A ．9B ．12C ．18D ．246．小明投篮3次，每次投中的概率为0.8，且每次投篮互不影响，若投中一次得2分，没投中得0分，总得分为X ，则（ ） A ．() 2.4E X =B ．() 4.8E X =C ．()0.48D X =D ．()0.96D X =7．已知一批产品中，A 项指标合格的比例为80%，B 项指标合格的比例为90%，A 、B 两项指标都合格的比例为60%，从这批产品中随机抽取一个产品，若A 项指标合格，则该产品的B 项指标也合格的概率是（ ） A ．37B ．23C ．34D ．568．已知等差数列n a 的前n 项和为n S ，若10a <、则“n S 有最大值”是“公差0d <”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件9．设函数()()ln 1sin f x x a x =-+．若()()0f x f ≤在()1,1-上恒成立，则（ ） A ．0a =B ．1a ≥C ．01a <≤D ．1a =10．在经济学中，将产品销量为x 件时的总收益称为收益函数，记为()R x ，相应地把()R x '称为边际收益函数，它可以帮助企业决定最优的生产或销售水平．假设一个企业的边际收益函数()1000R x x '=- (注:经济学中涉及的函数有时是离散型函数，但仍将其看成连续函数来分析)．给出下列三个结论:①当销量为1000件时，总收益最大；②若销量为800件时，总收益为T ，则当销量增加400件时，总收益仍为T ； ③当销量从500件增加到501件时，总收益改变量的近似值为500． 其中正确结论的个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3二、填空题11．4(12)x +的展开式中含2x 项的系数为．12．某学校组织趣味运动会，一共设置了3个项目（其中只包含1个球类项目），每位教师只能从3个项目中随机选择2个参加，设李老师选择的2个项目中所含球类项目的数量为X ，则X 的所有可能取值为，数学期望()E X =．13．已知数列{}1n a +是公比为2的等比数列，若10a =，则12n a a a +++=L ．14．甲乙两人射击一架进入禁飞区的无人机．已知甲乙两人击中无人机的概率分别为0.5,0.4， 且甲乙射击互不影响，则无人机被击中的概率为．若无人机恰好被一人击中，则被击落的概率为0.2；若恰好被两人击中，则被击落的概率为0.6，那么无人机被击落的概率为15．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足11a =，当2n ≥时，22n nS a λ-=．给出下列四个结论:①当0λ=时，314a =-；②当3λ=-时，20242S =；③当4λ=时，2,2n n S ∀≥>恒成立； ④当1λ>时，{}n a 从第三项起为递增数列． 其中所有正确结论的序号为．三、解答题16．已知函数()()21e x f x x x =--．(1)判断()f x 在(),0∞-上的单调性，并证明； (2)求()f x 在()0,∞+上的零点个数．17．某公司有甲乙两条生产线生产同一种产品，为了解产品的质量情况，对两条生产线生产的产品进行简单随机抽样，经检测得到了A 、B 的两项质量指标值，记为,A B q q ，定义产品的指标偏差12A B Q q q =-+-，数据如下表：假设用频率估计概率，且每件产品的质量相互独立．(1)从甲生产线上随机抽取一件产品，估计该产品满足1A q >且2B q >的概率；(2)从甲乙两条生产线上各随机抽取一件产品，设X 表示这两件产品中满足2B q >的产品数，求X 的分布列和数学期望()E X ；(3)已知Q 的值越小则该产品质量越好．如果甲乙两条生产线各生产一件产品，根据现有数据判断哪条生产线上的产品质量更好？并说明理由． 18．已知()2ln x ax x bf x x++=(1)当3,1a b =-=-时，求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程； (2)已知()f x 有两个极值点12,x x ，且满足()()120f x f x +=，求b 的值； (3)在(2)的条件下，若()1f x x ≥-+在[)1,+∞上恒成立，求a 的取值范围．19．已知数列12100:,,,A a a a L 满足12100a a a <<<L ，集合{}1100i j S a a i j =+≤≤≤．设S 中有m 个元素，从小到大排列依次为12,,,m b b b L (1)若,n a n =，请直接写出1,,m m b b ； (2)若2,n n a =，求20b ；(3)若()2025i j b a a i j =+<，求j 的最小值20．设函数()sin (0)f x x x ωωω=>．从下列三个条件中选择两个作为已知，使函数()f x 存在．(1)求()f x 的最小正周期及单调递减区间；(2)若对于任意的π,π2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，都有()f x c ≤，求实数c 的取值范围．条件①：函数()f x 的图象经过点π,26⎛⎫- ⎪⎝⎭；条件②：()f x 在区间5ππ,1212⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增；条件③：π12x =是()f x 的一条对称轴． 注：如果选择的条件不符合要求，第（1）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．21．设n 为正整数，集合(){}{}12,,...,,0,1,1,2,...,n n k A t t t t k n αα==∈=．对于集合n A 中的任意元素()12,,...,n x x x α=和()12,,...,n y y y β=，定义()1122,,...,n n x y x y x y αβ*=⋅⋅⋅，()1122,,...,n n x y x y x y αβ=---e ，以及12...n x x x α=+++．(1)若5n =，()1,1,1,0,1α=，()0,1,1,0,1αβ*=，4β=，求β；(2)若9n =，()12,,...,2k k ααα≥均为n A 中的元素，且()31i i k α=≤≤，()01i j i j k αα*=≤<≤，求k 的最大值；(3)若()012,,,...,2k k αααα≥均为()5n A n ≥中的元素，其中00α=，k n α=，且满足()1201i i n i k αα+=-≤≤-e ，求k 的最小值．。

高二数学选修2-2检查试题(四)一.选择题:1. /(兀) = 0?+3/+2,若/'(-1) = 4,则。

的值等于2- 一个物体的运动方程为s = \-t^t2其中$的单位是米，/的单位是秒，那么物体在3秒末的I舜时速度是3. 4 . 5 . 6 .A. 7米/秒 B. 6米/秒 C. 5米/秒 D. 8米/秒函数门兀)的定义域为开区间(a,b),导函数广(兀)在(a,b)内的图象如图所示, 则函数/(兀)在开区间(a,b)内有极小值点有儿个()A・1个 B. 2个C. 3个D. 4个[e x dx与]/力相比有关系式( )A. [e'dxv e x dxB. (e'dx〉e x dxC. (J e x dx)2 = e x dx D・((“必)兀=e x dx曲线y =『在点(2, e2)处的切线与坐标轴所用三角形的面积为:A. -e2B・2e2 C・ e2 D・—4 23 TT t_曲线)匸cos x(O<x<—)与坐标轴围成的面积是B.丄27. A.4C.3D.2f(x) =X3-3X2+2在区间上的最大值是B.OC.2D.4\ y=f(x)A. -21曲线)，之2“在点(4, e?)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为A9 2A • — e2B. 4e2 D. e2C. 2e2(A) (B) (C) (D)10、函数f\x) = 2x 2-\nx 的递增区间是()A. (0,-)B.(--,0)及(丄,+QC. (-, +8)D. (-© - 丄)及(0,丄) 2 2 2 2 2 2 11•若广(x 0) = 2,贝 Ijlim "5一 *)—/(X 。

)等于：52k A. —1 B. —2 C.—丄 D.丄 2 212. 广(x°) = 0是函数.f(x)在点兀。

处取极值的：A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充耍条件D.既不充分又不必要条件二、填空题：13. J (e x 4- e~x )dx = ________ ・14. 已知函数/(X ) = X 3+6U 在R 上有两个极值点，则实数。

2022-2023学年北京市海淀区高二下学期期末学业水平调研数学试题一、单选题1．已知集合{}{}33,3,0,1,2A x x B =-<<=-，则A B = （）A ．{}0,1B ．{}0,1,2C ．{}3,0,1,2-D ．{}2,1,0,1,2--【答案】B【分析】直接根据交集的定义计算即可.【详解】由题意，{}{}33,3,0,1,2A x x B =-<<=-，则{0,1,2}A B ⋂=.故选：B2．已知命题:3,21p x x ∃≤-≤，则p ⌝为（）A ．3,21x x ∃≤->B ．3,21x x ∃>-≤C ．3,21x x ∀≤->D ．3,21x x ∀>->【答案】C【分析】根据特称命题的否定为全称命题即可求解.【详解】p ⌝为3,21x x ∀≤->,故选：C3．已知{}n a 为等比数列，公比23150,12,81q a a a a >+=⋅=，则5a =（）A ．81B ．27C ．32D ．16【答案】A【分析】根据等比数列基本量的计算即可求解.【详解】根据1581⋅=a a 可得()2111428181a q a a q ⋅=⇒=，所以39a =或39a =-，若39a =-，则32321221,0a a a q a +===<-不符合要求，若39a =，则3232123,30a a a q a +=-===>符合要求，故25381a a q ==，故选：A4．下列四个函数中，在区间[]0,1上的平均变化率最大的为（）A ．y x =B ．e x y =C ．sin y x =D ．11y x =+【答案】B【分析】根据平均变化率的计算即可比较大小求解.【详解】对于A ，y x =在[]0,1上的平均变化率为10110-=-，对于B ，e x y =在[]0,1上的平均变化率为e 1e 110-=--，对于C,sin y x =在[]0,1上的平均变化率为sin10sin110-=-，对于D ，11y x =+在[]0,1上的平均变化率为1112102-=--，由于1e 11sin12->>>-，故e x y =在[]0,1上的平均变化率最大，故选：B5．已知a b <，则（）A ．22a b <B ．e e a b --<C ．()()ln 1ln 1a b +<+D ．a a b b<【答案】D【分析】根据反例可判断AC ，根据不等式的性质，结合函数的单调性即可判断BD.【详解】对于A ，若1,0a b =-=，显然满足a b <，但不能得到22a b <，故A 错误，对于B ，由于a b <，所以a b ->-，又e x y =为单调递增函数，所以e e a b -->，故B 错误，对于C ，若1,0a b =-=，显然满足a b <，()()ln 1ln 2ln 1ln10a b +=>+==，故C 错误，对于D ，若0a b <<，则22,a a a b b b =-=-，函数2y x =-在(),0∞-上单调递增，所以22a a a b b b =-<=-，当0a b ≤<，则22,a a a b b b ==，函数2y x =在[)0,∞+上单调递增，所以22a a ab b b =<=，当0a b <≤，则22a a ab b b =-<=，综上可知D 正确，故选：D6．已知函数()2sin f x x x =⋅，则π2f ⎛⎫' ⎪⎝⎭的值为（）A ．0B ．πC ．2π4D ．2π4-【答案】B【分析】由基本函数的求导公式以及求导法则求导，即可代入求值.【详解】()22sin cos f x x x x x '=⋅+，所以ππ2f ⎛⎫'= ⎪⎝⎭，故选：B7．从,,,A B C D 这4本不同的文学读物中选出3本分给甲、乙、丙3名学生（每人一本）．如果甲不得A 读物，则不同的分法种数为（）A ．24B ．18C ．6D ．4【答案】B【分析】按照A 读物是否被选出来进行分类讨论即可.【详解】若A 读物没被选出，则选出的,,B C D 读物直接全排列分给3人，有33A 6=种方法；若A 读物被选出，然后选其他的读物，有23C 种，甲有2种读物可选，其余两本书全排列分给乙丙有22A 种方法，共22322C A 12=种.故一共有18种.故选：B8．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差为d ，则“n S 有最大值”是“0d <”的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】根据等差数列项的符号特点和前n 项和最值的关系进行分析.【详解】若0d <，当10a ≤时，则等差数列从第二项开始都是负数，显然1S 取到最大值，当10a >，则等差数列的项必然先正后负，不妨设10,0m m a a +≥<，则m S 取到最大值，故0d <可以推出n S 有最大值；若n S 有最大值，当0d =时，1n S na =，若10a <，则1S 取到最大值,充分性不成立.于是“n S 有最大值”是“0d <”的必要不充分条件.故选：B9．学校要从8名候选人中选4名同学组成学生会．已知恰有3名候选人来自甲班，假设每名候选人都有相同的机会被选中，则甲班恰有2名同学被选中的概率为（）A ．14B ．23C ．37D ．415【答案】C【分析】根据组合数的计算，结合古典概型的概率计算公式即可求解.【详解】从8名候选人中选4名同学，共有48C 70=种选择，甲班有3名候选人，非甲班有5名候选人，故甲班恰有2名同学被选中的个数有2235C C 30=，所以概率为303707=，故选：C10．已知函数()323f x x x bx c =+++．若函数()()e xg x f x -=有三个极值点,1,m n ，且1m n <<，则mn的取值范围是（）A ．(),1-∞B ．1,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C ．(),1-∞-D ．(),2-∞-【答案】D【分析】根据极值点的条件，先可推出,b c 的关系，然后根据二次函数根的分布知识求出b 的范围，最后利用韦达定理求解.【详解】()()32ee (3)xx g x f x x x bx c --==+++，则3()e (6)x g x x b x c b -'⎡⎤=---+-⎣⎦，由题意(1)0g '=，得到5c =，从而3()e(6)5xg x x b x b -'⎡⎤=---+-⎣⎦，而332(6)5(5)(1)(1)(1)(5)(1)(5)(1)x b x b x x b x x x x b x x x b x --+-=----=+----=++--，故2()e (1)(5)x g x x x x b -'=--++-，令2()5h x x x b =++-，由2()0(1)(5)0(1)()g x x x x b x h x '=⇔-++-==-，于是()0h x =有两个根,m n ，满足1m n <<，注意到二次函数()h x 开口向上，对称轴为112x =-<，故Δ2140(1)30b h b =->⎧⎨=-<⎩，解得3b <，于是()0h x =有两个根,m n ，满足1m n <<，根据韦达定理，52mn b =-<-.故选：D二、填空题11．在4(13)x +的展开式中，2x 的系数为．（用数字作答）【答案】54【分析】利用二项展开式的通项求解.【详解】4(13)x +展开式的通项为：14C (3)rrr T x +=，0,1,2,3,4r =，由题意，取2r =，22234C (3)54T x x ==.故答案为：5412．不等式111xx-<+的解集是．【答案】{1x x <-或}0x >.【分析】将分式不等式化为一元二次不等式求解即可.【详解】111xx -<+等价于1101x x --<+，即201x x-<+，等价于()10x x +>，解得：1x <-或0x >.即不等式111xx-<+的解集是{1x x <-或}0x >.故答案为：{1x x <-或}0x >.13．已知函数()2e 1xf x ax =+-在()0,∞+上是增函数，则a 的取值范围是．【答案】2a e ≥-【分析】将单调性转化为e 2xa x-≤在()0,∞+上恒成立，构造函数()e ,x g x x =利用导数求解最值即可求解.【详解】由题意可知()e 20xf x ax '=+≥在()0,∞+上恒成立，所以e 2x a x-≤在()0,∞+上恒成立，记()()()221ee e e ,xx x x x x g x g x x x x --'===，当()()1,0,x g x g x '>>单调递增，当()()10,0,x g x g x '>><单调递减，故当()1,x g x =取极小值也是最小值，且()1e g =，故()min 2a g x -≤，即2e a -≤，所以2a e≥-，故答案为：2a e ≥-14．随着大数据时代的到来，越来越多的网络平台开始使用推荐系统来给用户提供更加个性化的服务．某公司在研发平台软件的推荐系统时发现，当收集的数据量为()2x x ≥万条时，推荐系统的准确率约为1x p x =+，平台软件收入为40000p 元．已知每收集1万条数据，公司需要花费成本100元，当收集的数据量为万条时，该软件能获得最高收益．【答案】19【分析】由()40000100,21xy x x x =-≥+结合导数得出答案.【详解】设收益为y 元，则()40000100,21xy x x x =-≥+，()()()210019211x x y x --+'=+.当0'>y 时，219x <<；当0'<y 时，19x >.即函数()40000100,21xy x x x =-≥+在()2,19上单调递增，在()19,+∞上单调递减.即当收集的数据量为19万条时，该软件能获得最高收益．故答案为：1915．已知各项均不为零的数列{}n a ，其前n 项和是1,n S a a =，且()11,2,n n n S a a n +==⋅⋅⋅．给出下列四个结论：①21a =；②{}n a 为递增数列；③若*1,n n n a a +∀∈>N ，则a 的取值范围是()0,1；④*m ∃∈N ，使得当k m >时，总有102211e kk a a --<+．其中所有正确结论的序号是．【答案】①③④【分析】根据,n n S a 的递推关系可得21n n a a +-=，所以{}n a 的奇数项和偶数项分别为公差为1的等差数列，进而得212(1,)n n a n n a a -=+-=，即可结合选项求解.【详解】由()11,2,n n n S a a n +==⋅⋅⋅得121n n n S a a +++=，相减可得()1211112n n n n n n n n n n S a a S a a a a a a +++++++--=⇒=-，由于{}n a 各项均不为零，所以21n n a a +-=，所以{}n a 的奇数项和偶数项分别为公差为1的等差数列，对于①，121121a a S a a ==⇒=，故正确；对于②，由于1a a =，21a =，无法确定21,a a 的大小关系，所以无法确定{}n a 为递增数列；故错误，对于③，由于{}n a 的奇数项和偶数项分别为公差为1的等差数列，所以212(1,)n n a n n a a -=+-=，若*1,n n n a a +∀∈>N ，则需要*21221(1),n n n a n n a a a n a n +-∀>⇒+>+∈>->N ，则a 的取值范围是()0,1；故正确，对于④，若10221111e 11k k a k a a a k a k ---+==+<++-+-，则10111ea a k -+<+-，只要k 足够大，一定会有10a k +->，此时1k a >-时，此时只需要()101e1a k a +->-,即()()10e 11k a >+-，所以存在*m ∃∈N ，当*m ∈N 且m 比()()101,e 11a a -+-大的正整数时，此时k m >时，总有102211e kk a a --<+，故正确故答案为：①③④【点睛】本题考查了数列的递推公式，数列单调性及与数列有关的比较大小问题．根据数列前n 项和与数列的项的递推关系求通项公式时，注意分析1,2n n =≥，在处理涉及隔项数列问题，一般要考虑分n 为奇数和偶数来分类讨论，含参的的恒成立或者存在类问题，先分离参数，转化为求式子的最大值或最小值问题来处理．三、解答题16．已知等差数列{}n a 前n 项和为n S ，满足438,12a S ==．(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)若等比数列{}n b 前n 项和为n T ，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知，设n n n c a b =+，求数列{}n c 的前n 项和n M ．条件①：1238b b b =；条件②：22T S =；条件③：639T T =．【答案】(1)2n a n =(2)见解析【分析】（1）根据等差数列基本量的计算即可求解；（2）根据等比数列的基本量计算，等差等比数列的求和公式，利用分组求和即可求解.【详解】（1）设等差首项和公差分别为1,a d ，由438,12a S ==得11183,12332a d a d a d =+=+⇒==，所以()112n a a n d n =+-=；（2）设等比首项和公差分别为1,b q ，若选①②，由1238b b b =得32282b b =⇒=；由22T S =得1112264a b b b a =⇒+==+，所以公比为2112b q b ==，故1142n n b -=⨯，故11242n n n n c a n b -=⨯+=+，故()21122824812212n n n nn n n M S T n n -+=+=+⨯=++--；若选②③，由639T T =可知公比不为1，所以3663392111T q qq T q -==+⇒-==，由22T S =得111226b b b ⇒+==，所以2nn b =，故22nn n n c a b n =+=+，故()()2+12122222212n n n n nM n n S T n n -+=+=+=++--；若选①③，由639T T =可知公比不为1，所以3663392111T q qq T q -==+⇒-==，由1238b b b =得32282b b =⇒=；所以12n n b -=，故122n n n n c a b n -++==，故()2221221212n n n nn M n n S T n n +-=+=+=++--.17．某企业产品利润依据产品等级来确定：其中一等品、二等品、三等品的每一件产品的利润分别为100元、50元、50元．为了解产品各等级的比例，检测员从流水线上随机抽取了100件产品进行等级检测，检测结果如下表：产品等级一等品二等品三等品样本数量（件）503020(1)若从流水线上随机抽取2件产品，估计2件产品中恰有1件一等品、1件二等品的概率；(2)若从流水线上随机抽取3件产品，记X 为这3件产品中一等品的件数，Y 为这3件产品的利润总额．①求X 的分布列；②直接写出Y 的数学期望()E Y ．【答案】(1)310(2)①分布列略；②225【分析】（1）利用乘法公式得出所求概率；（2）①由13,2X B ⎛⎫⎪⎝⎭得出X 的分布列；②先得出Y 的分布列，进而得出数学期望()E Y ．【详解】（1）记()1,2i A i =表示“第i 件产品是一等品”；记()1,2i B i =表示“第i 件产品是二等品”；记C 表示“2件产品中恰有1件一等品、1件二等品”；此时1221C A B A B =+，易知()()13,210i i P A P B ==，则()()()()122113133()21021010P C P A P B P A P B =+=⨯+⨯=；（2）①若从流水线上随机抽取3件产品，则X 的所有可能取值为0,1,2,3，此时1111(0)2228P X ==⨯⨯=；131113(1)C 2228P X ==⨯⨯⨯=；231113(2)C 2228P X ==⨯⨯⨯=；1111(3)2228P X ==⨯⨯=；所以X 的分布列如下：X0123P18383818②由①可得，Y 的分布列如下：Y150200250300P18383818则()13115020025030022588838E Y =⨯+⨯+⨯+⨯=.18．已知函数()1ln f x a x x=+．(1)当2a =时，求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程；(2)当2a =时，求函数()f x 的零点个数；(3)若对任意的[)1,x ∞∈+，都有()f x x ≤，求实数a 的最大值．【答案】(1)0x y -=(2)0(3)(,2]-∞【分析】（1）当2a =时，求得()212f x x x'=-+，得到()11f '=且()11f =，即可求得切线方程；（2）当2a =时，求得()221x f x x -'=，求得函数()f x 的单调性与最小值1()02f >，即可得到函数()f x 的零点个数；（3）转化为任意的[)1,x ∞∈+，不等式1ln 0a x x x +-≤成立，令()1ln x a x x xϕ=+-，求得()211ax x xϕ'=-+-，结合()10ϕ=，要使得()0x ϕ≤恒成立，则满足()10ϕ'≤，得到2a ≤，根据()12ln x x x x ϕ≤+-，令()[)12ln ,1,h x x x x x=+-∈+∞，利用导数求得函数的单调性与最大值，即可求解.【详解】（1）解：当2a =时，函数()12ln =+f x x x，可得()212f x x x '=-+，所以()11f '=且()11f =，即切线的斜率为1k =且切点坐标为(1,1)，所以切线方程为11y x -=-，即0x y -=.（2）解：当2a =时，函数()12ln =+f x x x，可得()221,0x f x x x -'=>，当1(0,)2x ∈时，()0f x '<，()f x 单调递减；当1(,)2x ∈+∞时，()0f x ¢>，()f x 单调递增，所以当12x =时，函数()f x 取得极小值，也为最小值11()22ln 22ln 2022f =+=->，所以()0f x >，所以函数()f x 没有零点，即函数()f x 的零点个数为0.（3）解：由对任意的[)1,x ∞∈+，都有()f x x ≤成立，即1ln 0a x x x +-≤成立，令()[)1ln ,1,x a x x x x ϕ=+-∈+∞，可得()211a x x xϕ'=-+-，因为()10ϕ=，要使得()0x ϕ≤恒成立，则满足()10ϕ'≤，即2a ≤，下面证明：当2a ≤时，符合题意，此时()[)12ln ,1,x x x x x ϕ≤+-∈+∞，令()[)12ln ,1,h x x x x x=+-∈+∞，可得()22212(1)10x h x x x x--'=-+-=≤，所以()h x 为单调递减函数，因为[)1,x ∞∈+，所以()()10h x h ≤=，即12ln 0x x x+-≤所以()12ln 0x x x xϕ≤+-≤恒成立，即当2a ≥时，对任意的[)1,x ∞∈+，都有1ln 0a x x x +-≤成立，综上可得，实数a 的取值范围为(,2]-∞.【点睛】方法技巧：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略：1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．19．给定整数2n ≥，对于数列12:,,,n A a a a L 定义数列B 如下：{}112min ,b a a =，{}{}{}223111min ,,,min ,,min ,n n n n n b a a b a a b a a --=== ，其中{}12min ,,,k x x x 表示12,,x x ，k x 这k 个数中最小的数．记1212,n n n n S a a a T b b b =+++=+++ ．(1)若数列A 为①1，0，0，1；②1，2，3，4，5，6，7，分别写出相应的数列B ；(2)求证：若n n T S =，则有12n a a a === ；(3)若0n S =，常数n C 使得{}12min ,,,n n n T C a a a ≤⋅ 恒成立，求n C 的最大值．【答案】(1)0,0,0,1；1,2,3,4,5,6,1(2)证明见解析；(3),(2,N )1n n n n *≥∈-.【分析】（1）根据题意，逐项计算，即可求得数列B ；（2）由,1,2,3,,i i b a i n ≤= 时，可得n n T S ≤，当且仅当i i b a =时等号成立，结合n n S T =，即可得证；（3）不妨设{}112min ,,,n a a a a = ，当10a ≥，得到n C 取任意实数都满足条件；当10a <时，转化为1n n T C a ≤，假设{}12max ,,,n j a a a a = ，求得111j n a a T a ≥-，结合111j a a n ≤--，即可求解.【详解】（1）解：根据题意，若数列A 为1,0,0,1，可得12340,0,0,1b b b b ====，即数列B 为：0,0,0,1；若数列A 为1,2,3,4,5,6,7，可得12345671,2,3,4,5,6,1b b b b b b b =======，即数列B 为：1,2,3,4,5,6,1.（2）证明：由题设条件知，若,1,2,3,,i i b a i n ≤= 时，可得n n T S ≤，当且仅当,1,2,3,,i i b a i n == 时，等号成立，所以1231n a a a a a ≤≤≤≤≤ ，所以当n n S T =，则1234,N n a a a a a n *=====∈ 成立.（3）解：不妨设{}112min ,,,n a a a a = ，若10a ≥，因为0n S =，所以120n a a a ==== ，此时显然n C 取任意实数都满足条件；下面设10a <，则{}12min ,,,n n n T C a a a ≤⋅ 的充分必要条件时1n n T C a ≤，假设{}12max ,,,,2n j a a a a j n =≤≤ ，因为0n S =，所以0j a >，当2j n ≤≤时，由1122111121,,,,,,j j j j j j n n n n b a b a b a b a b a b a b a --+++-=≤≤≤≤≤= ，所以11n n j j T S a a a a ≤-+=-，当j n =时，有112211,,,,n n n n b a b a b a b a --=≤≤= ，仍然有11n n j j T S a a a a ≤-+=-成立，所以11111j n j a a a a a T a -≥=-，因为1(1)0j n a n a S +-≥=，所以111ja a n ≤--，所以11n T a n n ≥-，取1231,1n a n a a a =-==== ，所以1n n C n ≥-，所以n C 的最大值为,(2,N )1n n n n *≥∈-.。

海淀区高二年级第二学期期中练习数 学（理科）2012.4学校 班级 姓名 成绩一、选择题：本大题共8小题, 每小题4分,共32分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1. 在复平面上, 与点（1, 1）相对应的复数为 ( ) A.i B.1i + C. i - D.1i -2. 下面几个推理过程是演绎推理的是 ( )A.某同学第一次数学考试65分，第二次考试68分，由此预测其第三次考试71分B.根据圆的面积为2πS r = ，推测球的体积为3πV r =C.在数列}{n a 中，根据*111,,N 1nn n a a a n a +==∈+，计算出432,,a a a 的值，然后猜想}{n a 的通项公式D.因为平行四边形的对角线互相平分，而菱形是平行四边形，所以菱形的对角线互相平分 3. 已知直线l 经过（1-，0），（0，1）两点，且与曲线)(x f y =切于点(2,3)A ，则0(2)(2)lim x f x f x∆→+∆-∆的值为（ ） A. 2- B. 1- C.1 D. 24. 关于函数32()f x x x x =-+,下列说法正确的是（ ） A ．有极大值，没有极小值 B ．有极小值，没有极大值 C ．既有极大值也有极小值 D ．既无极大值也无极小值5. 用反证法证明命题：“若直线AB 、CD 是异面直线, 则直线AC 、BD 也是异面直线”， 首先应该（ ）A. 假设直线AC 、BD 是共面直线B. 假设直线AC 、BD 是相交直线()f xC. 假设直线AC 、BD 是平行直线D. 假设直线AC 、BD 互相垂直 6.1e xdx ⎰的值为（ ）A. e 1+B. e 1-C. 1e -D. e 7. 若函数()f x ax bx c =++2的导函数'()f x 的图象如右图所示, 则函数()f x 的图象可能是( )8. 已知()f x 是定义在R 上的可导函数. 若函数()()F x xf x =，满足'()0F x >对R x ∈ 恒成立，则下面四个结论中,所有正确结论的序号是（ ） ① (1)(1)0f f +-> ； ② ()0f x ≥对R x ∈成立； ③ ()f x 可能是奇函数； ④ ()f x 一定没有极值点.A. ①，②B. ①，③C. ①，②，③D. ②，③，④ 二、填空题：本大题共6小题, 每小题4分,共24分.把答案填在题中横线上. 9. 若()sin f x x x =，则'(0)f =________.10. 已知R y x ∈,,且()2i 3()i x y x x y ++=+-,则______________.x y =⎧⎨=⎩11. 小明在做一道题目时发现：若复数111cos i sin ,z αα=+ 222 cos i sin ,z αα=+，333cos i sin z =+αα(其中123,,R ∈ααα), 则121212cos()i sin(+)z z αααα⋅=++，232323cos()i sin(+)z z αααα⋅=++ ，根据上面的结论，可以提出猜想: 123____________________________;z z z ⋅⋅=1()_______________________________,n z =其中*N n ∈.12. 已知函数()11x f x x -=+，若12a =，1(),n n a f a += 其中*N n ∈，则2012a =_________. 13. 函数2()ln()f x x x =+-在点(1,1)P -处的切线方程是__________________________，'()x'()f x 的取值范围是_________________.14. 把正整数按照下面的表格进行排列则排在第6行，第4列的数是_______________； 排在第n 行，第n 列（*N n ∈）的数是_______________.三、解答题:本大题共4小题,共44分. 解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 15. （本小题共10分）已知函数321()33f x x x x =--. ( I ) 求()f x 的单调区间；(II) 求()f x 在区间[3,3]-上的最大值和最小值.16. （本小题共12分）在三棱锥A BCD -中,点,,,E F G H 分别是,,,AB BC CD DA 的中点. ( I ) 若AC BD =，求证：四边形EFGH 为菱形； (II) 若,AB AD BC CD ==，求证：BD ⊥AC .GHABCDEF17.（本小题共12分）已知函数 212, 12()1ln , 12x ax a x f x a x x x ⎧-+<⎪⎪=⎨⎪++≥⎪⎩(其中R a ∈且0a ≠). ( I ) 若曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线与在点(3,(3))f --处的切线互相垂直，求实数a 的值；(II) 若函数()f x 有零点，求实数a 的取值范围.18.（本小题共10分）已知函数()f x 的定义域为R ，且,a b R ∀∈，有()()()f ab af b bf a =+成立. ( I ) 求(0)f , (1)f , (1)f -的值 ;(II) 若()f m t =(t 为非零常数)，用含,m t 的表达式表示2()f m ,3()f m , 4()f m 的值，猜想()n f m (其中*N n ∈)的值并给出证明；(III) 若R x ∀∈，恒有|()|1f x ≤，求证：()0f x =对R x ∈成立.。

数学参考答案 第 1 页（共 7 页）海淀区2023年高二年级学业水平调研数学参考答案 2023.07一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）（1）B （2）C （3）A （4）B （5）D（6）B （7）B （8）B （9）C （10）D二、填空题（共5小题，每小题4分，共20分）（11 ）54（12）(,1)(0,)−∞−+∞ （13）e [,)2−+∞ （14）19 （15）①③④三、解答题（共4小题，共40分）（16）（共9分）解：（Ⅰ）因为{}n a 为等差数列，312S =， 所以13()3122a a +⨯=，即138a a +=． 所以13242a a a +==． 因为48a =，所以2d =．所以2(2)24242n a a n n n =+−⨯=+−=．（Ⅱ）选择①③因为{}n b 为等比数列，1238b b b =，所以328b =，即22b =. 因为639T T =，所以1q ≠，6311(1)(1)911b q b q q q−−=−−.数学参考答案 第 2 页（共 7 页）所以319q +=.所以2q =.所以21222n n n b −−=⨯=.所以n n n M S T =+12(1)12nn n −=++− 221n n n =++−.选择①②因为{}n b 为等比数列，1238b b b =，所以328b =，即22b =. 因为22T S =，所以1224b +=+，即14b =. 所以2112b q b ==. 所以13114()22n n n b −−=⨯=. 所以n n n M S T =+14(1)2(1)112n n n ⨯−=++− 23182n n n −=++−.选择②③因为{}n b 为等比数列，639T T =，所以1q ≠，6311(1)(1)911b q b q q q−−=−−.数学参考答案 第 3 页（共 7 页）所以319q +=.所以2q =.因为22T S =，所以1224b +=+，即14b =.所以11422n n n b −+=⨯=.所以n n n M S T =+4(12)(1)12n n n ⨯−=++− 2224n n n +=++−.数学参考答案 第 4 页（共 7 页）（17）（共10分）解：（Ⅰ）记()1,2i A i =表示“第i 件产品是一等品”，()1,2i B i =表示“第i 件产品是二等品”，C 表示“2件产品中恰有1件一等品、1件二等品”，则1221C A B A B =+．用频率估计概率，()1,1,22i P A i ==，()3,1,210i P B i ==． 1221()()()()()P C P A P B P A P B =+1313321021010=⨯+⨯=. （Ⅱ）由题意，X 的所有可能取值为0，1，2，3.1111(0)2228P X ==⨯⨯=，131113(1)2228P X C ==⨯⨯⨯=， 231113(2)2228P X C ==⨯⨯⨯=，1111(3)2228P X ==⨯⨯=. 所以X 的分布列为（Ⅲ）225．（18）（共11分） 解：（Ⅰ）当2a =时，1()2ln f x x x =+. 所以 212'()f x x x=−+． 所以 '(1)1f =.因为 (1)1f =， 所以 曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为y x =.（Ⅱ）由（Ⅰ）知：212'()f x x x =−+. 令'()0f x =，得12x =． ()f x 与'()f x 在区间(0,)+∞上的情况如下：数学参考答案 第 5 页（共 7 页）所以 ()f x 的最小值为11()22ln 2(1ln 2)022f =+=−>. 所以 对(0,)x ∀∈+∞，()0f x >.所以 函数()f x 的零点个数为0．（Ⅲ）设1()()ln g x f x x a x x x =−=+−，则221'()x ax g x x −+−=． ① 当2a >时，210x ax −+−=有两个实数根，设为1x ，2x . 因为 120x x a +=>，1210x x ⋅=>，所以 不妨设1201x x <<<. ()g x 与'()g x 在区间(1,)+∞上的情况如下：所以 2()(1)0g x g >=，不合题意.② 当2a =时，22(1)'()0x g x x −−=≤. 所以 ()g x 在[1,)+∞上是减函数.所以 ()(1)0g x g ≤=，即()f x x ≤恒成立．综上所述，a 的最大值为2．（19）（共10分）解：（Ⅰ）①0,0,0,1；②1,2,3,4,5,6,1.（Ⅱ）由条件知,1,2,,i i b a i n ≤=. 所以n n T S ≤，等号成立当且仅当,1,2,,i i b a i n ==.数学参考答案 第 6 页（共 7 页） 所以 121n a a a a ≤≤≤≤. 所以 12n a a a ===.（Ⅲ）由题意，不妨设{}112min ,,,n a a a a =. 若10a ≥，因为 0n S =.所以 120n a a a ====. 显然n C 取任意实数均满足条件. 下面设10a <，则{}12min ,,,n nn CT a a a ≤⋅的充分必要条件是1n n T C a ≤.假设{}12max ,,,,2n j a a a a j n =≤≤. 因为 0n S =，所以 0j a >.当2j n ≤<时，有11221111211,,,,,,,,j j j j j j n n n b a b a b a b a b a b a b a −−+++−=≤≤≤≤≤=. 所以 11n n j j T S a a a a ≤−+=−.当j n =时，有1122111,,,,n n n b a b a b a b a −−=≤≤=，仍然有11n n j j T S a a a a ≤−+=−成立.所以 11111j j nT a a a a a a −≥=−.因为 ()110j n a n a S +−≥=，所以 111ja a n ≤−−.数学参考答案 第 7 页（共 7 页） 所以 11nT n a n ≥−，取11a n =−，231n a a a ==⋅⋅⋅==，就有11n T n a n =−. 所以 1n n C n ≤−. 所以 n C 的最大值为1n n −.。

数学参考答案第1页（共6页）海淀区2024年高二年级学业水平调研数学参考答案2024.07一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）（1）B （2）B （3）C （4）B （5）A （6）B（7）C（8）C（9）D（10）D二、填空题（共5小题，每小题4分，共20分）（11）24（12）0,1；23（13）21n n --（14）0.7；0.22（15）①③④三、解答题（共4小题，共40分）（16）（共8分）解：（Ⅰ）()f x 在(,0)-∞上单调递增，证明如下：因为2()(1)e x f x x x =--，所以'()e (1)e 2e 2(e 2)x x x x f x x x x x x =+--=-=-，又因为(,0)x ∈-∞，从而e 2120x -<-<，所以'()(e 2)0x f x x =->，所以()f x 在(,0)-∞上单调递增.（Ⅱ）由（Ⅰ）知：'()(e 2)x f x x =-，因为(0,)x ∈+∞，令'()0f x =，得ln 2x =．()f x 与'()f x 在区间(0,)+∞上的情况如下：xln 2(0,)ln 2ln 2(,)+∞'()f x -+()f x ↘极小↗数学参考答案第2页（共6页）因为02(0)(01)e 010f =--=-<，2222(2)(21)e 2e 20f =--=->，所以由零点存在定理及()f x 单调性可知，()f x 在(0,)+∞上恰有一个零点．（17）（共10分）解：（Ⅰ）记A 表示“从甲生产线上随机抽取一件产品，该产品满足1A q >且2B q >”．用频率估计概率，则3()10P A =．所以该产品满足1A q >且2B q >的概率为310.（Ⅱ）由题意，X 的所有可能取值为0，1，2.511(0)10816P X ==⨯=，51571(1)1081082P X ==⨯+⨯=，577(2)10816P X ==⨯=.所以X 的分布列为X 012P11612716所以X 的数学期望为11711012162168EX =⨯+⨯+⨯=.（Ⅲ）甲生产线上的产品质量更好，因为甲生产线上Q 值的平均值0.800.0810Q ==甲，乙生产线上Q 值的平均值0.870.18Q =>乙，所以甲生产线上Q 值的平均值明显比乙小，所以甲生产线上的产品质量更好．其它理由：计算甲生产品的Q 值小于乙的概率744+5+5+4+3+5+2+691810162++=>⨯（注：答案不唯一，理由需要支撑相应结论，只计算甲乙方差不能作为理由。

北京市海淀区高中课改水平监测高二数学卷一(共90分)一、选择题：本大题共10小题, 每小题4分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1．复数2z i =-+，则复数z 在复平面内对应的点位于 （ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限2．函数sin y x =的图象上一点3(,)32π处的切线的斜率为（ ）A ．1B ．32C ． 22D ．123．由直线1,2x x ==，曲线2y x =及x 轴所围图形的面积为 （ ） A ．3 B ．7 C ．73 D ． 134．物体运动方程为4134S t =-，则2t =时瞬时速度为（ ）A ．2B ．4C ． 6D ．8 5．复数1z i =+的共轭复数z =（ ）A ．1i +B ． 1i -C ．1122i +D ．1122i - 6．已知函数f (x )的导函数()f x '的图象如右图所示， 那么函数f (x )的图象最有可能的是( )yxO 1 2 -1()f x 'yxO12-2 A yxO12-2 B yxO12-2 C y xO 1 2-2D7． 若000(2)()lim1x f x x f x x∆→+∆-=∆，则0()f x '等于（ ）A ．2B ．－2C ． 12D ．12-8．有一段“三段论”推理是这样的：对于可导函数()f x ，如果0()0f x '=，那么0x x =是函数()f x 的极值点，因为函数3()f x x =在0x =处的导数值(0)0f '=，所以，0x =是函数3()f x x =的极值点. 以上推理中（ ）A ．大前提错误B ． 小前提错误C ．推理形式错误D ．结论正确9．函数2()1x f x x =-（ ）A ．在(0,2)上单调递减B ．在(,0)-∞和(2,)+∞上单调递增C ．在(0,2)上单调递增D ．在(,0)-∞和(2,)+∞上单调递减 10．平面上有n 个圆，其中每两个都相交于两点，每三个都无公共点，它们将平面分成()f n 块区域，有(1)2,(2)4,(3)8f f f ===，则()f n 的表达式为 （ ）A.2nB. 2nC. 22n n -+D. 2(1)(2)(3)n n n n ----二、填空题：本大题共4小题, 每小题4分,共16分.把答案填在题中横线上. 11．已知平行四边形OABC 的顶点A 、B 分别对应复数1342i i -+，.O 为复平面的原点，那么顶点C 对应的复数是____________12．若103()2x k dx -=⎰，则实数k 的值为 .13. 观察以下不等式222222131,221151,233111712344+<++<+++<⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 可归纳出对大于1的正整数n 成立的一个不等式2221111()23f n n+++<L ，则不等式右端()f n 的表达式应为_________14．下列是关于复数的类比推理：①复数的加减法运算可以类比多项式的加减法运算法则； ②由实数绝对值的性质22||x x =类比得到复数z 的性质22||z z =；③已知,a b ∈R ，若0a b ->，则a b >类比得已知12,z z ∈C ，若120z z ->，则12z z >; ④由向量加法的几何意义可以类比得到复数加法的几何意义. 其中推理结论正确．．的是三、解答题:本大题共3小题,共34分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.15．(本小题共12分)已知函数3()395f x x x =-+.（Ⅰ）求函数()f x 的单调递增区间；（Ⅱ）求函数()f x 在[2,2]-上的最大值和最小值. 16．(本小题共12分)用数学归纳法证明: 2222(1)(21)123 (6)n n n n ++++++=17．(本小题共10分)把边长为a 的等边三角形铁皮剪去三个相同的四边形（如图阴影部分）后,用剩余部分做成一个无盖的正三棱柱形容器(不计接缝)，设容器的高为x ，容积为()V x .（Ⅰ）写出函数()V x 的解析式，并求出函数的定义域； （Ⅱ）求当x 为多少时，容器的容积最大？并求出最大容积.卷二(共30分)一、填空题:本大题共4小题, 每小题4分,共16分.把答案填在题中横线上.1．已知复数12z i =+（i 为虚数单位），2z 在复平面上对应的点在直线x=1上，且满足12z z ⋅是纯虚数，则|2z |=_______．2．函数()ln(1)f x x ax =+-在(1,2)上单调递增，则实数a 的取值范围是 . 3．已知正弦函数x y sin =具有如下性质: 若),0(,...,21π∈n x x x ,则)...sin(sin ...sin sin 2121nx x x n x x x nn +++≤+++(其中当n x x x ===...21时等号成立). 根据上述结论可知,在ABC ∆中,C B A sin sin sin ++的最大值为_______.4．对于函数2()(2)xf x x x e =-（1）(2,2)-是()f x 的单调递减区间；（2）(2)f -是()f x 的极小值，(2)f 是()f x 的极大值； （3）()f x 有最大值，没有最小值； （4）()f x 没有最大值，也没有最小值． 其中判断正确的是________________.二、解答题:本大题共2小题,共14分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.5．(本小题共8分) 给定函数x a ax x x f )1(3)(223-+-=和xa x x g 2)(+= (I)求证: )(x f 总有两个极值点;(II)若)(x f 和)(x g 有相同的极值点,求a 的值.6．(本小题共6分)设函数2()()x a f x x-=．（I ）证明：01a <<是函数()f x 在区间(1,2)上递增的充分而不必要的条件； （II ）若(,0)x ∈-∞时，满足2()26f x a <-恒成立，求实数a 的取值范围．。