【全国区级联考】北京市海淀区2017-2018学年高二第二学期期中练习数学(理)试题

【解答】解： （1﹣i） （1+i）=1+1=2， ﹣i（1+i）=1﹣i， i（1+i）=﹣1+i， （1+i） （1+i）=2i， 故与 z=1+i 的乘积为实数的是（1﹣i） ， 故选：A． 2． （4 分）已知函数 f（x）=exsinx，则下面各式中正确的是（ A．f′（x）=exsinx C．f′（x）=﹣exco sx ）
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16． （10 分）在各项均为正数的数列{an}中，a1=a 且 （Ⅰ）当 a3=2 时，求 a1 的值； （Ⅱ）求证：当 n≥2 时，an+1≤an． 解： （Ⅰ）
ห้องสมุดไป่ตู้
．
（Ⅱ） 某同学用分析法证明此问， 证明过程如下， 请你在横线上填上合适的内容． 证明：要证 n≥2 时，an+1≤an 只需证 只需证 只需证 只需证 只需证 an≥ 根据均值定理， 所以原命题成立． 17． （10 分）已知曲线 f（x）=x3 在点（1，f（1） ）处的切线为 l，其中 x0≠0． （Ⅰ）求直线 l 的方程； （Ⅱ）求证：直线 l 和曲线 f（x）一定有两个不同的公共点． 18． （12 分）已知函数 f（x）=x2﹣alnx﹣x，其中常数 a≠0． （Ⅰ）若函数 f（x）为单调函数，求实数 a 的最大值；
一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 4 分，共 32 分.在每小题给出的四个选项 中，只有一项是符合题目要求的. 1． （4 分）下列复数中，与 z=1+i 的乘积为实数的是（ A．1﹣i B．﹣i C．i ） D．1+i ）
2． （4 分）已知函数 f（x）=exsinx，则下面各式中正确的是（ A．f′（x）=exsinx C．f′（x）=﹣exco sx

海淀区高二年级第二学期期中练习数学（文科）参考答案及评分标准2018.4一. 选择题.二.填空题. 9.四，210. 211. (,1][e,)-∞+∞12. (0,1)(1,)+∞13.333222，，14.2 说明：9题，每个空2分，11题，两个集合，少写一个减２分，错写则没分13题 第一个，第二空各1分，第三个空2分 三.解答题.15.解: ( I )令242x x -+=，解得11x =-21x =-（舍）…………………2分因为点2(2), (4)A x,x B x,x -+所以2()(42)f x x x x =-+-3224x x x =--+，…………………4分其定义域为(0,1x ∈-+…………………5分（II ）因为2'()344f x x x =--+…………………7分令0'()0f x =，得123x =，22x =-（舍） …………………8分 所以,'(),()x f x f x 的变化情况如下表…………………10分 因为23x =是()f x在(0,1-+上的唯一的一个极大值， 所以在23x =时，()f x 取得最大值4027. …………………12分16.证明：（Ⅰ）因为32a =， 所以232222a a a =+=， 所以22244a a +=，解得22a =， …………………2分同理解得12a =.…………………4分（Ⅱ）证明：要证2n ≥时，1n n a a +≤，只需证 1n n a a +- 0 ≤，…………………6分只需证 2+2n n na a a -0≤，…………………8分 只需证 2402n na a -≤, 只需证n a ≥ 2 ,…………………10分根据均值定理，112=22n n n a a a --+≥= 所以原命题成立.说明：上面的空，答案不唯一, 请老师具体情况具体分析17.解：（I ）因为2'()3f x x =…………………1分所以直线l 的斜率'(1)3k f ==…………………2分所以直线l 的方程为13(1)y x -=-…………………3分化简得到32y x =-…………………4分(Ⅱ)法一：把曲线和直线l 的方程联立得332y x y x ⎧=⎨=-⎩所以332x x =- …………………5分 所以3320x x -+=令3()32g x x x =-+ …………………6分 所以2'()33g x x =-，令'()0g x =，得到得11x =，21x =- …………………7分 所以,'(),()x g x g x 的变化情况如下表…………………8分因为1x =-时，(1)40g -=>，而(3)160g -=-<所以()g x 在(,1)-∞-上有一个零点） …………………9分而1x =时，(1)0g =，所以()g x 在[1,)+∞上只有一个零点又()g x 在(1,1)-上没有零点，…………………10分所以()g x 只有两个不同的零点，即直线l 和曲线()f x 有两个不同的公共点.法二：把曲线和直线l 的方程联立得332y x y x ⎧=⎨=-⎩ 所以332x x =- …………………5分所以3320x x -+=令3()32g x x x =-+ …………………6分 所以32()22(1)(2)g x x x x x x =--+=-+ …………………8分 令()0g x =，得到11x =，22x =- …………………9分 所以()g x 只有两个不同的零点，即直线l 和曲线()f x 有两个不同的公共点.…………………10分 18.解：（Ⅰ）因为222222()'()2a x a x a f x x x x x--=-==，其中0x >…………………1分 当0a ≤时，'()0f x ≥对0x >成立所以函数()f x 的单调递增区间为(0,)+∞…………………3分当0a >时，令'()0f x =，1x =2x =则,'(),()x g x g x 的变化情况如下表所以函数()f x单调递减区间为，单调递增区间为)+∞ …………………5分（Ⅱ）法一：由（Ⅰ）知，当0a ≤时，函数()f x 是单调递增函数，而注意到(1)10f =>，但是当0x →时，()f x →-∞所以函数()f x 在区间(0,1)上存在零点，矛盾…………………7分当0a >时，由（Ⅰ）知道，()f x在x 从而()f x在x =2ln (1ln )f a a a a a a a =--=-当0f >，即1ln 0a ->，即0e a <<时，函数()f x 没有零点，当0f =时，即e a =时，显然不合题意，当0f <时，因为当x →+∞时，()f x →+∞从而()f x在区间)+∞上存在零点，矛盾综上，实数a 的取值范围是0e a <<．…………………10分法二：函数()f x 没有零点，等价于方程22ln 0x a x -=无解显然1x =不是零点，所以等价于22ln x a x=无解…………………7分 设2()2ln x g x x= 则222224ln 4ln 22(2ln 1)'()'()(2ln )(2ln )(2ln )x x x x x x x x x g x g x x x x -⋅--====，…………………8分 令'()0g x =，则12e x =则,'(),()x g x g x 的变化情况如下表所以函数()g x 在12e x =处取得极小值12g(e )e =，而当0x →时，()0g x →当1x <且1x →时，()g x →-∞当1x >且1x →时，()g x →+∞当+x →∞时，()+g x →∞综上，实数a 的取值范围是0e a <<．…………………10分说明：解答题有其它正确解法的请酌情给分.。

x
A.
B.
C.
D.
【答案】C 【解析】
∵函数 f ( x ) = c o s x
x
∴函数 f ( x ) 的定义域为 ( − , 0 ) ( 0 , + )
∴ f ( − x ) = c o s ( − x ) = − c o s x = − f ( x ) ，即函数 f ( x ) 在定义域内奇函数.
B. 当函数 f ( x ) 有两个不同的极值点时， g ( x ) 一定有两个不同的零点
C. a R ，使得函数 g ( x ) 的零点也是函数 f ( x ) 的零点
D. a R ，使得函数 f ( x ) 的极值点也是函数 g ( x ) 的极值点 【答案】D 【解析】若 3 天做完，则有 C 2 种；以此类推，若 9 天做完，则有 C 8 种；若 10 天做完，则有 C 9
9
9
9
9
种；故总数为 . 0
1
2
8
9
9
C + C + C + C + C = 2 = 5 1 2
9
9
9
9
9
.故选 D
7.函数 f ( x ) = c o s x 的部分图像可能是
共点，但是它们相交，故错误. 故选 A.
6.数学老师给校名布置了 10 道数学题，要求小明按照序号从小到大的顺序，每天至少完成一道，如果时间 允许，也可以多做，甚至在一天全部做完，则小明不同的完成方法种数为
A. 55
B. 90
C. 425
D. 512
【答案】D 【解析】
利用隔板法，10 道题中间有 9 个空格，若 1 天做完，有 C 0 种；若 2 天做完，从 9 个空格中插入一个板，分 9

海淀区高二年级第二学期期中考试数 学 （理科） 2017.4一．选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分． 1. 复数13-i 的虚部为（ ）A. 3iB. 1C. 3D. 3- 2.1d x x =⎰（ ）A. 0B.12C. 1D. 12-3. 若复数1z ，2z 在复平面内的对应点关于虚轴对称，且1=1i z +，则12z z ⋅=（ ）A. 2-B. 2C. 2i -D. 2i4. 若,,a b c 均为正实数，则三个数111,,a b c b c a+++这三个数中不小于2的数 （ ）A.可以不存在B.至少有1个C. 至少有2个D. 至多有2个5. 定义在R 上的函数()f x 和()g x ，其各自导函数()f x '和()g x '的图象如图所示，则函数()()()F x f x g x =-极值点的情况是（ ）A. 只有三个极大值点，无极小值点B. 有两个极大值点，一个极小值点C. 有一个极大值点，两个极小值点D. 无极大值点，只有三个极小值点6. 函数()ln f x x =与函数2()g x ax a =-的图象在点(10)，的切线相同，则实数a 的值为（ ）A. 1B. 12-C. 12D. 12或12- 7. 函数(21)xy e x =-的大致图象是 （ ）8.为弘扬中国传统文化，某校在高中三个年级中抽取甲、乙、丙三名同学进行问卷调查。

调查结果显示这三名同学来自不同的年级，加入了不同的三个社团：“楹联社”、“书法社”、“汉服社”，还满足如下条件：（1） 甲同学没有加入“楹联社”; （2） 乙同学没有加入“汉服社”;（3） 加入“楹联社”的那名同学不在高二年级; （4） 加入“汉服社”的那名同学在高一年级; （5） 乙同学不在高三年级。

试问：丙同学所在的社团是 （ ） A.楹联社 B.书法社 C.汉服社 D.条件不足无法判断 二．填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分． 9. 在复平面内，复数1-ii对应的点的坐标为 . 10. 设函数(),()f x g x 在区间(0,5)内导数存在，且有以下数据：x1 2 3 4 ()f x 2 3 4 1 ()f x '3 4 2 1 ()g x 3 1 4 2 ()g x '2413则曲线()f x 在点(1,(1))f 处的切线方程是 ;函数(())f g x 在2x =处的导数值是 ． 11. 如图，()1sin f x x =+，则阴影部分面积是 .12. 如图，函数()f x 的图象经过(0,0),(4,8),(8,0),(12,8)四个点，试用“>，=，<”填空： （1）(4)(2)2f f -______(12)(8)4f f -；（2）(6)f '______(10)f '.13. 已知平面向量 ，，那么 ；空间向量 ，，那么 ．由此推广到 维向量：，，那么 ．14. 函数()e ln xf x a x =-（其中a ∈R ）① a ∃∈R ，使得直线e y x =为函数()f x 的一条切线； ② 对0a ∀<，函数()f x 的导函数()f x '无零点； ③ 对0a ∀<，函数()f x 总存在零点；则上述结论正确的是 ．（写出所有正确的结论的序号）三．解答题：本大题共4小题，共44分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分10分）已知函数32()392f x x x x =--+ （Ⅰ）求函数)(x f 的单调区间；（Ⅱ）求函数)(x f 在区间[2,2]-上的最小值.16．（本小题满分10分）已知数列{}n a 满足11a =，111--+=++n n a a n n ，*n ∈N .（Ⅰ）求234,,a a a ；（Ⅱ）猜想数列{}n a 的通项公式，并用数学归纳法证明． 17．（本小题满分12分）已知函数()(1)ln af x x a x x=-+-，其中a ∈R . （Ⅰ）求证/；当1a =时，函数()y f x =没有极值点； （Ⅱ）求函数()y f x =的单调增区间．18．（本小题满分12分）设(1)() In t x f x e t x -=-，(0)t >（Ⅰ）若1t =，证明1x =是函数()f x 的极小值点； （Ⅱ）求证：()0f x ≥.海淀区高二年级第二学期期中参考答案 2017.4数 学（理科）阅卷须知:1.评分参考中所注分数，表示考生正确做到此步应得的累加分数.2.其它正确解法可以参照评分标准按相应步骤给分.一、选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分.1.D2.B3.A4.B5.C6.C7.A8.A二、填空题:本大题共6小题，每小题4分，共24分.(有两空的小题每空2分)9. (1,1)-- 10. 31y x =-；12 11. 2π+ 12. (1) >； (2) < 13. 1122n n a b a b a b ⋅+++a b = 14. ①②③三、解答题: 本大题共4小题，共44分.15．解：（Ⅰ）解：'2()369f x x x =-- ………………………………（2分） )3)(1(3)32(3 2-+=--=x x x x令'()0f x =，得11-=x .；32=x ……………………………（3分）当x 变化时，)(x f ,'()f x 在区间(,)-∞+∞上的变化状态如下：x()1,-∞-1-()3,1-3()+∞,3'()f x +0 -+)(x f↗极大↘极小↗…………………………………（6分）所以)(x f 的单调递增区间是()1,-∞-，()+∞,3；单调递减区间是()3,1-. ………………………………（7分）…（Ⅱ）因为(2)0f -=，(2)20f =-， ………………………（9分） 再结合)(x f 的单调性可知，函数)(x f 在区间[2,2]-上的最小值为20-. ………………（10分）16．（Ⅰ）由题意11a =，212a a +=，3231a a +=-，4322a a +=-解得：221a =-，332a =-，423a =-………………………（3分）（Ⅱ）猜想：对任意的*n ∈N ，1n a n n =--………………………（4分）① 当1n =时，由11111a ==--,猜想成立. ………………………（5分）② 假设当k n = （∈k N *）时，猜想成立，即1--=k k a k ……………………（6分）则由111--+=++k k a a k k ，得k k a k -+=+11 ………………………（9分）即当1+=k n 时，猜想成立由①、②可知，对任意的*n ∈N ，猜想成立，即数列{}n a 的通项公式为1n a n n =-- ……………………（10分）17.（Ⅰ）证明：函数()y f x =的定义域是()+∞,0． ………………（1分） 当1a =时，1()2In f x x x x=--函数'221()1f x x x =-+ ………………（3分） 2212x x x +-=()0122≥-=xx ， ………………（5分） 所以函数()y f x =在定义域()+∞,0上单调递增.所以当1a =时，函数()y f x =没有极值点. ……………（6分）（Ⅱ）'21()1a af x x x+=-+， ()+∞∈,0x ………………（7分） ()221x a x a x ++-=()()21x a x x --=. 令'()0f x =，得a x x ==21,1 .………………（8分） ① 0≤a 时，由'()0f x >可得1>x ，所以函数()y f x =的增区间是()+∞,1； ………………（9分） ② 当10<<a 时，由'()0f x >可得a x <<0，或1>x ，所以函数()y f x =的增区间是()a ,0，()+∞,1； ……………（10分） ③ 当1>a 时，由'()0f x >可得10<<x ，或a x>，所以函数()y f x =的增区间是()1,0，()+∞,a ； ………………（11分） ④ 当1=a 时，由（Ⅰ）可知函数()y f x =在定义域()+∞,0上单调递增. ………………（12分）综上所述，当0≤a 时，函数()y f x =的增区间是()+∞,1；当10<<a 时，所以函数)(x f y =的增区间是),0(a ，),1(+∞； 当1=a 时，函数()y f x =在定义域()+∞,0上单调递增； 当1>a 时，所以函数()y f x =的增区间是()1,0，()+∞,a .18．解：（Ⅰ）函数()f x 的定义域为(0,)+∞， ………………（ 1分） 若1=t ，则1()ln x f x e x -=-，'11()x f x ex-=-． ………………（2分） 因为'(1)0f =， ………………（3分）且10<<x 时，xe ex 1101<=<-，即'()0f x <，所以()f x 在)1,0(上单调递减； ………………（4分）1>x 时，xe e x 1101>=>-，即'()0f x >，所以()f x 在),1(+∞上单调递增； ………………（5分）所以1=x 是函数)(x f 的极小值点； ………………（6分）（Ⅱ）函数()f x 的定义域为(0,)+∞，0t >.'(1)(1)1()()t x t x t f x te t e x x --=-=-． ………………（7分）令(1)1()t x g x e x -=-，则'(1)21()0t x g x te x-=+>，故()g x 单调递增． ………………（8分）又(1)0g =， ………………（9分） 当1x >时，()g x ＞0，因而'()f x ＞0，()f x 单增，即()f x 的单调递增区间为(1,)+∞；当01x <<时，()g x ＜0，因而'()f x ＜0，()f x 单减，即()f x 的单调递减区间为(0,1)． ………………（11分） 所以()+∞∈,0x 时，()(1)10f x f ≥=≥成立. ………………（12分）。