2020年北京市海淀区数学高二(下)期末调研试题含解析

北京市海淀区2023-2024学年高二下学期期末考试数学试卷本试卷共6页，共两部分。

19道题，共100分。

考试时长90分钟。

试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，请将答题卡交回。

第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1.5(1)x -的展开式中，所有二项式的系数和为A.0B.52C.1D.622.已知函数sin (),cos xf x x=则(0)f '的值为A.0B.1C.1- D.π3.若等比数列{}n a 的前n 项和21n n S =-，则公比q =A.12B.12-C.2D.2-4.下列函数中，在区间[]1,0-上的平均变化率最大的时A.2y x = B.3y x = C.12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭D.2xy =5.将分别写有2,0,2,4的四章卡片，按一定次序排成一行组成一个四位数（首位不为0），则组成的不同四位数的个数为A.9B.12C.18D.246.小明投篮3次，每次投中的概率为0.8，且每次投篮互不影响，若投中一次的2分，没投中得0分，总得分为X ，则A.() 2.4E X = B.() 4.8E X = C.()0.48D X = D.()0.96D X =7.已知一批产品中，A 项指标合格的比例为80%，B 项指标合格的比例为90%，A 、B 两项指标都合格的比例为60%，从这批产品中随机抽取一个产品，若A 项指标合格，则该产品的B 项指标也合格的概率是A.37B.23C.34D.568.已知等差数列n a 的前n 项和为n S ，若10a <、则“n S 有最大值”是“公差0d <”的A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件9.设函数()()ln 1sin f x x a x =-+.若()()0f x f ≤在()1,1-上恒成立，则A.0a =B.1a ≥C.01a <≤ D.1a =10.在经济学中，将产品销量为x 件时的总收益称为收益函数，记为()R x ，相应地把()R x '称为边际收益函数，它可以帮助企业决定最优的生产或销售水平.假设一个企业的边际收益函数()1000R x x '=-(注:经济学中涉及的函数有时是离散型函数，但仍将其看成连续函数来分析).给出下列三个结论:①当销量为1000件时，总收益最大;②若销量为800件时，总收益为T ，则当销量增加400件时，总收益仍为T ;③当销量从500件增加到501件时，总收益改变量的近似值为500.其中正确结论的个数为A.0B.1C.2D.3第二部分（非选择题共60分）二、填空题共5小题，每小题4分，共20分。

北京市海淀区2020年高二第二学期数学期末综合测试试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．已知定义在R 上的奇函数f （x ）满足()32f x f x ⎛⎫-=⎪⎝⎭，f （－2）＝－3，数列{a n }是等差数列，若a 2＝3，a 7＝13，则f （a 1）＋f （a 2）＋f （a 3）＋…＋f （a 2018）＝（ ） A ．－2 B ．－3C ．2D ．3【答案】B 【解析】 【分析】 【详解】分析：利用函数的奇偶性和对称性推出周期，求出前三项的值，利用周期化简式子即可． 详解：定义在R 上的奇函数()f x 满足()32f x f x ⎛⎫-=⎪⎝⎭，故周期T 3=,()()()()()()213,300,523f f f f f f -==-==== 数列{}n a 是等差数列，若23a =，713a =,故21n a n =-，所以：()()()()()()1231350f f f f a f a f a ++=++=，()()()()()()1232018133f a f a f a f a f f +++⋯+=+=-点睛：函数的周期性，对称性，奇偶性知二推一，已知()y f x =奇函数，关于轴x a =对称，则()()()()f x f x 1f 2a x f x 2-=-+=-L L ，，令x x 2a =-代入2式，得出()()f x f x 2a =--，由奇偶性()()()()()f 2a x f x f x f x 2a f x 2a ⎡⎤+=-=-=---=-⎣⎦，故周期T 4a =.2．已知1F ，2F 是双曲线的左、右焦点，点1F 关于渐近线的对称点恰好落在以2F 为圆心，2OF 为半径的圆上，则该双曲线的离心率为（ ）A B C ．2D ．3【答案】C 【解析】 【分析】设点1F 关于渐近线的对称点为点G ，该渐近线与1F G 交点为H ，由平面几何的性质可得2OF G ∆为等边三角形，设1F OH α∠=，则有tan b a α=；又223F OG ππα∠=-=，可得3πα=，代入离心率e =.【详解】设点1F 关于渐近线的对称点为点G ，该渐近线与1F G 交点为H ，所以OH 为线段1F G 的中垂线，故122OF OG OF F G ===，所以2OF G ∆为等边三角形，设1F OH α∠=，则有tan b a α=；又223F OG ππα∠=-=，可得3πα=， 所以离心率2211tan 23b e a π⎛⎫⎛⎫=+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选:C 【点睛】本题主要考查了双曲线的几何性质以及渐近线和离心率，考查了学生逻辑推理与运算求解能力.3．已知1F 、2F 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两焦点，以线段12F F 为边作正三角形12MF F ，若边1MF 的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是（ ） A ．423+ B 31C 31D 31+ 【答案】C 【解析】 【分析】设P 为边1MF 的中点，由双曲线的定义可得122PF PF a -=，因为正三角形12MF F 的边长为2c ，所以32c c a -=，进而解得答案。

2022-2023学年北京市海淀区高二下学期期末学业水平调研数学试题一、单选题1．已知集合{}{}33,3,0,1,2A x x B =-<<=-，则A B = （）A ．{}0,1B ．{}0,1,2C ．{}3,0,1,2-D ．{}2,1,0,1,2--【答案】B【分析】直接根据交集的定义计算即可.【详解】由题意，{}{}33,3,0,1,2A x x B =-<<=-，则{0,1,2}A B ⋂=.故选：B2．已知命题:3,21p x x ∃≤-≤，则p ⌝为（）A ．3,21x x ∃≤->B ．3,21x x ∃>-≤C ．3,21x x ∀≤->D ．3,21x x ∀>->【答案】C【分析】根据特称命题的否定为全称命题即可求解.【详解】p ⌝为3,21x x ∀≤->,故选：C3．已知{}n a 为等比数列，公比23150,12,81q a a a a >+=⋅=，则5a =（）A ．81B ．27C ．32D ．16【答案】A【分析】根据等比数列基本量的计算即可求解.【详解】根据1581⋅=a a 可得()2111428181a q a a q ⋅=⇒=，所以39a =或39a =-，若39a =-，则32321221,0a a a q a +===<-不符合要求，若39a =，则3232123,30a a a q a +=-===>符合要求，故25381a a q ==，故选：A4．下列四个函数中，在区间[]0,1上的平均变化率最大的为（）A ．y x =B ．e x y =C ．sin y x =D ．11y x =+【答案】B【分析】根据平均变化率的计算即可比较大小求解.【详解】对于A ，y x =在[]0,1上的平均变化率为10110-=-，对于B ，e x y =在[]0,1上的平均变化率为e 1e 110-=--，对于C,sin y x =在[]0,1上的平均变化率为sin10sin110-=-，对于D ，11y x =+在[]0,1上的平均变化率为1112102-=--，由于1e 11sin12->>>-，故e x y =在[]0,1上的平均变化率最大，故选：B5．已知a b <，则（）A ．22a b <B ．e e a b --<C ．()()ln 1ln 1a b +<+D ．a a b b<【答案】D【分析】根据反例可判断AC ，根据不等式的性质，结合函数的单调性即可判断BD.【详解】对于A ，若1,0a b =-=，显然满足a b <，但不能得到22a b <，故A 错误，对于B ，由于a b <，所以a b ->-，又e x y =为单调递增函数，所以e e a b -->，故B 错误，对于C ，若1,0a b =-=，显然满足a b <，()()ln 1ln 2ln 1ln10a b +=>+==，故C 错误，对于D ，若0a b <<，则22,a a a b b b =-=-，函数2y x =-在(),0∞-上单调递增，所以22a a a b b b =-<=-，当0a b ≤<，则22,a a a b b b ==，函数2y x =在[)0,∞+上单调递增，所以22a a ab b b =<=，当0a b <≤，则22a a ab b b =-<=，综上可知D 正确，故选：D6．已知函数()2sin f x x x =⋅，则π2f ⎛⎫' ⎪⎝⎭的值为（）A ．0B ．πC ．2π4D ．2π4-【答案】B【分析】由基本函数的求导公式以及求导法则求导，即可代入求值.【详解】()22sin cos f x x x x x '=⋅+，所以ππ2f ⎛⎫'= ⎪⎝⎭，故选：B7．从,,,A B C D 这4本不同的文学读物中选出3本分给甲、乙、丙3名学生（每人一本）．如果甲不得A 读物，则不同的分法种数为（）A ．24B ．18C ．6D ．4【答案】B【分析】按照A 读物是否被选出来进行分类讨论即可.【详解】若A 读物没被选出，则选出的,,B C D 读物直接全排列分给3人，有33A 6=种方法；若A 读物被选出，然后选其他的读物，有23C 种，甲有2种读物可选，其余两本书全排列分给乙丙有22A 种方法，共22322C A 12=种.故一共有18种.故选：B8．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差为d ，则“n S 有最大值”是“0d <”的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】根据等差数列项的符号特点和前n 项和最值的关系进行分析.【详解】若0d <，当10a ≤时，则等差数列从第二项开始都是负数，显然1S 取到最大值，当10a >，则等差数列的项必然先正后负，不妨设10,0m m a a +≥<，则m S 取到最大值，故0d <可以推出n S 有最大值；若n S 有最大值，当0d =时，1n S na =，若10a <，则1S 取到最大值,充分性不成立.于是“n S 有最大值”是“0d <”的必要不充分条件.故选：B9．学校要从8名候选人中选4名同学组成学生会．已知恰有3名候选人来自甲班，假设每名候选人都有相同的机会被选中，则甲班恰有2名同学被选中的概率为（）A ．14B ．23C ．37D ．415【答案】C【分析】根据组合数的计算，结合古典概型的概率计算公式即可求解.【详解】从8名候选人中选4名同学，共有48C 70=种选择，甲班有3名候选人，非甲班有5名候选人，故甲班恰有2名同学被选中的个数有2235C C 30=，所以概率为303707=，故选：C10．已知函数()323f x x x bx c =+++．若函数()()e xg x f x -=有三个极值点,1,m n ，且1m n <<，则mn的取值范围是（）A ．(),1-∞B ．1,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C ．(),1-∞-D ．(),2-∞-【答案】D【分析】根据极值点的条件，先可推出,b c 的关系，然后根据二次函数根的分布知识求出b 的范围，最后利用韦达定理求解.【详解】()()32ee (3)xx g x f x x x bx c --==+++，则3()e (6)x g x x b x c b -'⎡⎤=---+-⎣⎦，由题意(1)0g '=，得到5c =，从而3()e(6)5xg x x b x b -'⎡⎤=---+-⎣⎦，而332(6)5(5)(1)(1)(1)(5)(1)(5)(1)x b x b x x b x x x x b x x x b x --+-=----=+----=++--，故2()e (1)(5)x g x x x x b -'=--++-，令2()5h x x x b =++-，由2()0(1)(5)0(1)()g x x x x b x h x '=⇔-++-==-，于是()0h x =有两个根,m n ，满足1m n <<，注意到二次函数()h x 开口向上，对称轴为112x =-<，故Δ2140(1)30b h b =->⎧⎨=-<⎩，解得3b <，于是()0h x =有两个根,m n ，满足1m n <<，根据韦达定理，52mn b =-<-.故选：D二、填空题11．在4(13)x +的展开式中，2x 的系数为．（用数字作答）【答案】54【分析】利用二项展开式的通项求解.【详解】4(13)x +展开式的通项为：14C (3)rrr T x +=，0,1,2,3,4r =，由题意，取2r =，22234C (3)54T x x ==.故答案为：5412．不等式111xx-<+的解集是．【答案】{1x x <-或}0x >.【分析】将分式不等式化为一元二次不等式求解即可.【详解】111xx -<+等价于1101x x --<+，即201x x-<+，等价于()10x x +>，解得：1x <-或0x >.即不等式111xx-<+的解集是{1x x <-或}0x >.故答案为：{1x x <-或}0x >.13．已知函数()2e 1xf x ax =+-在()0,∞+上是增函数，则a 的取值范围是．【答案】2a e ≥-【分析】将单调性转化为e 2xa x-≤在()0,∞+上恒成立，构造函数()e ,x g x x =利用导数求解最值即可求解.【详解】由题意可知()e 20xf x ax '=+≥在()0,∞+上恒成立，所以e 2x a x-≤在()0,∞+上恒成立，记()()()221ee e e ,xx x x x x g x g x x x x --'===，当()()1,0,x g x g x '>>单调递增，当()()10,0,x g x g x '>><单调递减，故当()1,x g x =取极小值也是最小值，且()1e g =，故()min 2a g x -≤，即2e a -≤，所以2a e≥-，故答案为：2a e ≥-14．随着大数据时代的到来，越来越多的网络平台开始使用推荐系统来给用户提供更加个性化的服务．某公司在研发平台软件的推荐系统时发现，当收集的数据量为()2x x ≥万条时，推荐系统的准确率约为1x p x =+，平台软件收入为40000p 元．已知每收集1万条数据，公司需要花费成本100元，当收集的数据量为万条时，该软件能获得最高收益．【答案】19【分析】由()40000100,21xy x x x =-≥+结合导数得出答案.【详解】设收益为y 元，则()40000100,21xy x x x =-≥+，()()()210019211x x y x --+'=+.当0'>y 时，219x <<；当0'<y 时，19x >.即函数()40000100,21xy x x x =-≥+在()2,19上单调递增，在()19,+∞上单调递减.即当收集的数据量为19万条时，该软件能获得最高收益．故答案为：1915．已知各项均不为零的数列{}n a ，其前n 项和是1,n S a a =，且()11,2,n n n S a a n +==⋅⋅⋅．给出下列四个结论：①21a =；②{}n a 为递增数列；③若*1,n n n a a +∀∈>N ，则a 的取值范围是()0,1；④*m ∃∈N ，使得当k m >时，总有102211e kk a a --<+．其中所有正确结论的序号是．【答案】①③④【分析】根据,n n S a 的递推关系可得21n n a a +-=，所以{}n a 的奇数项和偶数项分别为公差为1的等差数列，进而得212(1,)n n a n n a a -=+-=，即可结合选项求解.【详解】由()11,2,n n n S a a n +==⋅⋅⋅得121n n n S a a +++=，相减可得()1211112n n n n n n n n n n S a a S a a a a a a +++++++--=⇒=-，由于{}n a 各项均不为零，所以21n n a a +-=，所以{}n a 的奇数项和偶数项分别为公差为1的等差数列，对于①，121121a a S a a ==⇒=，故正确；对于②，由于1a a =，21a =，无法确定21,a a 的大小关系，所以无法确定{}n a 为递增数列；故错误，对于③，由于{}n a 的奇数项和偶数项分别为公差为1的等差数列，所以212(1,)n n a n n a a -=+-=，若*1,n n n a a +∀∈>N ，则需要*21221(1),n n n a n n a a a n a n +-∀>⇒+>+∈>->N ，则a 的取值范围是()0,1；故正确，对于④，若10221111e 11k k a k a a a k a k ---+==+<++-+-，则10111ea a k -+<+-，只要k 足够大，一定会有10a k +->，此时1k a >-时，此时只需要()101e1a k a +->-,即()()10e 11k a >+-，所以存在*m ∃∈N ，当*m ∈N 且m 比()()101,e 11a a -+-大的正整数时，此时k m >时，总有102211e kk a a --<+，故正确故答案为：①③④【点睛】本题考查了数列的递推公式，数列单调性及与数列有关的比较大小问题．根据数列前n 项和与数列的项的递推关系求通项公式时，注意分析1,2n n =≥，在处理涉及隔项数列问题，一般要考虑分n 为奇数和偶数来分类讨论，含参的的恒成立或者存在类问题，先分离参数，转化为求式子的最大值或最小值问题来处理．三、解答题16．已知等差数列{}n a 前n 项和为n S ，满足438,12a S ==．(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)若等比数列{}n b 前n 项和为n T ，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知，设n n n c a b =+，求数列{}n c 的前n 项和n M ．条件①：1238b b b =；条件②：22T S =；条件③：639T T =．【答案】(1)2n a n =(2)见解析【分析】（1）根据等差数列基本量的计算即可求解；（2）根据等比数列的基本量计算，等差等比数列的求和公式，利用分组求和即可求解.【详解】（1）设等差首项和公差分别为1,a d ，由438,12a S ==得11183,12332a d a d a d =+=+⇒==，所以()112n a a n d n =+-=；（2）设等比首项和公差分别为1,b q ，若选①②，由1238b b b =得32282b b =⇒=；由22T S =得1112264a b b b a =⇒+==+，所以公比为2112b q b ==，故1142n n b -=⨯，故11242n n n n c a n b -=⨯+=+，故()21122824812212n n n nn n n M S T n n -+=+=+⨯=++--；若选②③，由639T T =可知公比不为1，所以3663392111T q qq T q -==+⇒-==，由22T S =得111226b b b ⇒+==，所以2nn b =，故22nn n n c a b n =+=+，故()()2+12122222212n n n n nM n n S T n n -+=+=+=++--；若选①③，由639T T =可知公比不为1，所以3663392111T q qq T q -==+⇒-==，由1238b b b =得32282b b =⇒=；所以12n n b -=，故122n n n n c a b n -++==，故()2221221212n n n nn M n n S T n n +-=+=+=++--.17．某企业产品利润依据产品等级来确定：其中一等品、二等品、三等品的每一件产品的利润分别为100元、50元、50元．为了解产品各等级的比例，检测员从流水线上随机抽取了100件产品进行等级检测，检测结果如下表：产品等级一等品二等品三等品样本数量（件）503020(1)若从流水线上随机抽取2件产品，估计2件产品中恰有1件一等品、1件二等品的概率；(2)若从流水线上随机抽取3件产品，记X 为这3件产品中一等品的件数，Y 为这3件产品的利润总额．①求X 的分布列；②直接写出Y 的数学期望()E Y ．【答案】(1)310(2)①分布列略；②225【分析】（1）利用乘法公式得出所求概率；（2）①由13,2X B ⎛⎫⎪⎝⎭得出X 的分布列；②先得出Y 的分布列，进而得出数学期望()E Y ．【详解】（1）记()1,2i A i =表示“第i 件产品是一等品”；记()1,2i B i =表示“第i 件产品是二等品”；记C 表示“2件产品中恰有1件一等品、1件二等品”；此时1221C A B A B =+，易知()()13,210i i P A P B ==，则()()()()122113133()21021010P C P A P B P A P B =+=⨯+⨯=；（2）①若从流水线上随机抽取3件产品，则X 的所有可能取值为0,1,2,3，此时1111(0)2228P X ==⨯⨯=；131113(1)C 2228P X ==⨯⨯⨯=；231113(2)C 2228P X ==⨯⨯⨯=；1111(3)2228P X ==⨯⨯=；所以X 的分布列如下：X0123P18383818②由①可得，Y 的分布列如下：Y150200250300P18383818则()13115020025030022588838E Y =⨯+⨯+⨯+⨯=.18．已知函数()1ln f x a x x=+．(1)当2a =时，求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程；(2)当2a =时，求函数()f x 的零点个数；(3)若对任意的[)1,x ∞∈+，都有()f x x ≤，求实数a 的最大值．【答案】(1)0x y -=(2)0(3)(,2]-∞【分析】（1）当2a =时，求得()212f x x x'=-+，得到()11f '=且()11f =，即可求得切线方程；（2）当2a =时，求得()221x f x x -'=，求得函数()f x 的单调性与最小值1()02f >，即可得到函数()f x 的零点个数；（3）转化为任意的[)1,x ∞∈+，不等式1ln 0a x x x +-≤成立，令()1ln x a x x xϕ=+-，求得()211ax x xϕ'=-+-，结合()10ϕ=，要使得()0x ϕ≤恒成立，则满足()10ϕ'≤，得到2a ≤，根据()12ln x x x x ϕ≤+-，令()[)12ln ,1,h x x x x x=+-∈+∞，利用导数求得函数的单调性与最大值，即可求解.【详解】（1）解：当2a =时，函数()12ln =+f x x x，可得()212f x x x '=-+，所以()11f '=且()11f =，即切线的斜率为1k =且切点坐标为(1,1)，所以切线方程为11y x -=-，即0x y -=.（2）解：当2a =时，函数()12ln =+f x x x，可得()221,0x f x x x -'=>，当1(0,)2x ∈时，()0f x '<，()f x 单调递减；当1(,)2x ∈+∞时，()0f x ¢>，()f x 单调递增，所以当12x =时，函数()f x 取得极小值，也为最小值11()22ln 22ln 2022f =+=->，所以()0f x >，所以函数()f x 没有零点，即函数()f x 的零点个数为0.（3）解：由对任意的[)1,x ∞∈+，都有()f x x ≤成立，即1ln 0a x x x +-≤成立，令()[)1ln ,1,x a x x x x ϕ=+-∈+∞，可得()211a x x xϕ'=-+-，因为()10ϕ=，要使得()0x ϕ≤恒成立，则满足()10ϕ'≤，即2a ≤，下面证明：当2a ≤时，符合题意，此时()[)12ln ,1,x x x x x ϕ≤+-∈+∞，令()[)12ln ,1,h x x x x x=+-∈+∞，可得()22212(1)10x h x x x x--'=-+-=≤，所以()h x 为单调递减函数，因为[)1,x ∞∈+，所以()()10h x h ≤=，即12ln 0x x x+-≤所以()12ln 0x x x xϕ≤+-≤恒成立，即当2a ≥时，对任意的[)1,x ∞∈+，都有1ln 0a x x x +-≤成立，综上可得，实数a 的取值范围为(,2]-∞.【点睛】方法技巧：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略：1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．19．给定整数2n ≥，对于数列12:,,,n A a a a L 定义数列B 如下：{}112min ,b a a =，{}{}{}223111min ,,,min ,,min ,n n n n n b a a b a a b a a --=== ，其中{}12min ,,,k x x x 表示12,,x x ，k x 这k 个数中最小的数．记1212,n n n n S a a a T b b b =+++=+++ ．(1)若数列A 为①1，0，0，1；②1，2，3，4，5，6，7，分别写出相应的数列B ；(2)求证：若n n T S =，则有12n a a a === ；(3)若0n S =，常数n C 使得{}12min ,,,n n n T C a a a ≤⋅ 恒成立，求n C 的最大值．【答案】(1)0,0,0,1；1,2,3,4,5,6,1(2)证明见解析；(3),(2,N )1n n n n *≥∈-.【分析】（1）根据题意，逐项计算，即可求得数列B ；（2）由,1,2,3,,i i b a i n ≤= 时，可得n n T S ≤，当且仅当i i b a =时等号成立，结合n n S T =，即可得证；（3）不妨设{}112min ,,,n a a a a = ，当10a ≥，得到n C 取任意实数都满足条件；当10a <时，转化为1n n T C a ≤，假设{}12max ,,,n j a a a a = ，求得111j n a a T a ≥-，结合111j a a n ≤--，即可求解.【详解】（1）解：根据题意，若数列A 为1,0,0,1，可得12340,0,0,1b b b b ====，即数列B 为：0,0,0,1；若数列A 为1,2,3,4,5,6,7，可得12345671,2,3,4,5,6,1b b b b b b b =======，即数列B 为：1,2,3,4,5,6,1.（2）证明：由题设条件知，若,1,2,3,,i i b a i n ≤= 时，可得n n T S ≤，当且仅当,1,2,3,,i i b a i n == 时，等号成立，所以1231n a a a a a ≤≤≤≤≤ ，所以当n n S T =，则1234,N n a a a a a n *=====∈ 成立.（3）解：不妨设{}112min ,,,n a a a a = ，若10a ≥，因为0n S =，所以120n a a a ==== ，此时显然n C 取任意实数都满足条件；下面设10a <，则{}12min ,,,n n n T C a a a ≤⋅ 的充分必要条件时1n n T C a ≤，假设{}12max ,,,,2n j a a a a j n =≤≤ ，因为0n S =，所以0j a >，当2j n ≤≤时，由1122111121,,,,,,j j j j j j n n n n b a b a b a b a b a b a b a --+++-=≤≤≤≤≤= ，所以11n n j j T S a a a a ≤-+=-，当j n =时，有112211,,,,n n n n b a b a b a b a --=≤≤= ，仍然有11n n j j T S a a a a ≤-+=-成立，所以11111j n j a a a a a T a -≥=-，因为1(1)0j n a n a S +-≥=，所以111ja a n ≤--，所以11n T a n n ≥-，取1231,1n a n a a a =-==== ，所以1n n C n ≥-，所以n C 的最大值为,(2,N )1n n n n *≥∈-.。

2022-2023学年北京市海淀区育英学校高二（下）期末数学练习试卷一、选择题。

（每小题4分，共40分）1．已知集合A ＝{x |log 2x ＞1}，B ＝{x |x ≥1}，则A ∪B ＝（ ） A ．（1，2]B ．（1，+∞）C ．（1，2）D ．[1，+∞）2．已知等差数列{a n }中，a 1＝3，a 2＝6．若b n ＝a 2n ，则数列{b n }的前5项和等于（ ） A ．30B ．45C ．90D ．1863．函数f(x)=x2−(12)x 的零点的个数为（ ） A ．0B ．1C ．2D ．34．在平面直角坐标系中，记d 为点P （cos θ，sin θ）到直线x ﹣my ﹣2＝0的距离．当θ、m 变化时，d 的最大值为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．45．如图，正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱长为2√3，动点P 在对角线BD 1上，过点P 作垂直于BD 1的平面α，记这样得到的截面多边形（含三角形）的周长为y ，设BP ＝x ，则当x ∈[1，5]时，函数y ＝f （x ）的值域为（ ）A ．[2√6，6√6]B ．[2√6，18]C ．[3√6，18]D ．[3√6，6√6]6．设{a n }是公差为d 的等差数列，S n 为其前n 项和，则“d ＞0”是“{S n }为递增数列”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件7．已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在椭圆C 上，且PF 2⊥F 1F 2，过P 作F 1P 的垂线交x 轴于点A ，若|AF 2|=12c ，记椭圆的离心率为e ，则e 2＝（ ） A ．3−√52B ．3−√5C ．√2−1D ．128．教室的图书角摆放了一些阅读书目，其中有3本相同的论语、6本互不相同的近代文学名著，现从这9本书中选出3本，则不同的选法种数为（ ） A ．84B ．42C ．41D ．359．在股票买卖过程中，经常会用各种曲线来描述某一只股票的变化趋势，其中一种曲线是即时价格曲线y ＝f （x ），一种是平均价格曲线y ＝g （x ）．例如：f （2）＝3表示开始交易后2小时的即时价格为3元，g （2）＝4表示开始交易后2小时内所有成交股票的平均价格为4元．下列给出的四个图象中，实线表示y ＝f （x ），虚线表示y ＝g （x ）．其中可能正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．10．已知点M 在圆C 1：（x ﹣1）2+（y ﹣1）2＝1上，点N 在圆C 2：（x +1）2+（y +1）2＝1上，则下列说法错误的是（ ）A ．OM →⋅ON →的取值范围为[−3−2√2，0] B ．|OM →+ON →|取值范围为[0，2√2]C ．|OM →−ON →|的取值范围为[2√2−2，2√2+2]D ．若OM →=λON →，则实数λ的取值范围为[−3−2√2，−3+2√2] 二、填空题。

北京市海淀区2019-2020学年数学高二第二学期期末经典试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．函数32()3f x x x m =-+在区间[]1,1-上的最大值是2，则常数m =（ ） A ．-2B ．0C ．2D ．42．在复平面内，复数1ii -的对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．已知直线ax by c 10(b ++-=、c 0)>经过圆22x y 2y 50+--=的圆心，则41b c+的最小值是( )A ．9B ．8C ．4D ．24．由数字0，1，2，3组成的无重复数字且能被3整除的非一位数的个数为（ ） A ．12B ．20C ．30D ．315．已知某几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图都由半圆及矩形组成，俯视图由正方形及其内切圆组成，则该几何体的表面积等于（ ）A ．488π+B ．484π+C ．648π+D ．644π+6．在等差数列{}n a 中，34567450a a a a a ++++=，则28a a +=（ ） A ．45B ．75C ．180D ．3607．已知数列{}n a 满足12a =，11n n na a a +-=，则2019a =（ ） A ．-1B ．0C ．1D ．28．用反证法证明命题“关于x 的方程30ax b +=至少有一个实根”时，要做的假设是（ ） A ．方程30ax b +=至多有一个实根 B ．方程30ax b +=至少有两个实根 C ．方程30ax b +=至多有两个实根D ．方程30ax b +=没有实根9．已知复数，则（ ）A ．2B ．-2C ．D ．10．已知i 是虚数单位, 复数()1z a R a i=∈-在复平面内对应的点位于直线2y x =上, 则a =（ ） A ．12B ．2C ．2-D ．12-11．函数()()()2f x x ax b =-+为偶函数，且在()0,∞+单调递增，则()20f x ->的解集为 A ．{}|22x x -<< B ．{|2x x >或}2x <- C ．{}|04x x <<D ．{|4x x >或}0x <12．将一枚质地均匀的硬币连续抛掷5次，正面向上的次数为X ，则（ ） A ．(5,1)X B : B ．(0.5,5)X B : C ．(2,0.5)X B :D ．(5,0.5)X B :二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分）13．将一边长为a 的正方形铁片的四角截去四个边长均为x 的小正方形，然后做成一个无盖的方盒，当x 等于__________时，方盒的容积最大．14．已知直线l 经过点(2,1)P -，且点(1,2)A --到l 的距离等于5，则直线l 的方程为____ 15．设变量满足约束条件，则的最大值是__________.16．在平面直角坐标系xOy 中，已知P 为圆()()22:528C x y -+-=上的一个动点，()1,0A -，则线段AP 的中点Q 的轨迹方程是______.三、解答题（本题包括6个小题，共70分） 17．（1）已知a R ∈，i 是虚数单位，若z a i =-，1zi+是纯虚数，写出一个以z 为其中一根的实系数一元二次方程；（2）求纯虛数4i 的平方根． 18．设函数()bf x ax x=-，曲线y=f （x ）在点（2，f （2））处的切线方程为7x-4y-12=1． （1）求y=f （x ）的解析式；（2）证明：曲线y=f （x ）上任一点处的切线与直线x=1和直线y=x 所围成的三角形面积为定值，并求此定值．19．（6分）如图，在等腰梯形ABCD 中，//AB CD ，62)CD =，22BC =，BF BC <，梯形ABCD 31，E 是CD 的中点，分别以,C D 为圆心，CE ，DE 为半径作两条圆弧，交AB 于,F G 两点.（1）求∠BFC 的度数；（2）设图中阴影部分为区域Ω，求区域Ω的面积.20．（6分）如图，已知A 、B 两个城镇相距20公里，设M 是AB 中点，在AB 的中垂线上有一高铁站P ，PM 的距离为10公里.为方便居民出行，在线段PM 上任取一点O （点O 与P 、M 不重合）建设交通枢纽，从高铁站铺设快速路到O 处，再铺设快速路分别到A 、B 两处.因地质条件等各种因素，其中快速路PO 造价为1.5百万元/公里，快速路OA 造价为1百万元/公里，快速路OB 造价为2百万元/公里，设rad OAM θ∠=，总造价为y (单位：百万元).（1）求y 关于θ的函数关系式，并指出函数的定义域； （2）求总造价的最小值，并求出此时θ的值.21．（6分）已知定义域为R 的函数，12()2x x b f x a+-+=+是奇函数.（1）求a ，b 的值；（2）若对任意的t R ∈，不等式22(2)(2)0f t t f t k -+-<恒成立，求实数k 的取值范围.22．（8分）如图, 平面PAC ⊥平面,,ABC AC BC PAC ⊥∆为等边三角形,PE BC P , 过BC 作平面交,AP AE 分别于点,N M ,设AM ANAE APλ==.（1）求证：MN P 平面ABC ；（2）求λ的值, 使得平面ABC 与平面MNC 所成的锐二面角的大小为45o .参考答案一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．C 【解析】分析：求出函数的导数，得到函数的单调区间，求出函数的最大值是0f m =（），则m 值可求． 详解：32f x x x '=-（）（），令0f x '（）＞，解得：2x ＞或0x ＜， 令0f x '（）＜，解得：02x ＜＜， ∴()f x 在[10-，）递增，在[]01，递减，02max f x f m ∴===（）（） ， 故答案为：2点睛：本题考查利用导数求函数在闭区间上的最值，考查了导数的综合应用，属于基础题． 2．D 【解析】 【分析】化简复数，再判断对应象限. 【详解】1111222i i i i -+==---，对应点位于第四象限. 故答案选D 【点睛】本题考查了复数的计算，属于简单题. 3．A 【解析】 【分析】由圆的一般方程22250x y y +--=得圆的标准方程为22(1)6x y +-=，所以圆心坐标为(0,1)，由直线10ax by c ++-=过圆心，将圆心坐标代入得1b c +=，所以41414()()59c bb c b c b c b c +=++=++≥，当且仅当4c b b c =时，即223b c ==时，等号成立，所以41b c+最小值为1 【详解】圆22x y 2y 50+--=化成标准方程，得22x (y 1)6+-=，∴圆22x y 2y 50+--=的圆心为()C 0,1，半径r =Q 直线ax by c 10++-=经过圆心C ，a 0b 1c 10∴⨯+⨯+-=，即b c 1+=，因此，()41414c b b c 5b c b c b c⎛⎫+=++=++ ⎪⎝⎭，b Q 、c 0>，4c b 4b c ∴+≥=，当且仅当4c b 2b c ==时等号成立．由此可得当b 2c =，即2b 3=且1c 3=时，414c b 5b c b c +=++的最小值为1． 故选A ． 【点睛】若圆的一般方程为220x y Dx Ey F ++++=22(40)D E F +->，则圆心坐标为(,)22D E--，半径r =4．D 【解析】 【分析】分成两位数、三位数、四位数三种情况，利用所有数字之和是3的倍数，计算出每种情况下的方法数然后相加，求得所求的方法总数. 【详解】两位数：含数字1，2的数有22A 个，或含数字3，0的数有1个. 三位数：含数字0，1，2的数有1222C A 个，含数字1，2，3有33A 个. 四位数：有1333C A 个. 所以共有212313222333131A C A A C A ++++=个.故选D.【点睛】本小题主要考查分类加法计数原理，考查一个数能被3整除的数字特征，考查简单的排列组合计算，属于基础题. 5．D 【解析】 【分析】由三视图可知，该几何体由上下两部分组成，下面是一个底面边长为4的正方形，高为2的直四棱柱，上面是一个大圆与四棱柱的底面相切的半球，据此可以计算出结果. 【详解】解：由三视图可知，该几何体由上下两部分组成，下面是一个底面边长为4的正方形， 高为2的直四棱柱，上面是一个大圆与四棱柱的底面相切的半球.∴S 表面积224421644222644πππ=⨯+⨯+⨯-⨯+⨯=+.【点睛】本题考查三视图求解几何体的表面积，属于基础题. 6．C 【解析】 【分析】由34567450a a a a a ++++=，利用等差数列的性质求出5a ，再利用等差数列的性质可得结果. 【详解】由345673746555450a a a a a a a a a a a ++++=++++==（）（）， 得到590a =，则2852180a a a +==．故选C. 【点睛】本题主要考查等差数列性质的应用，属于基础题. 解与等差数列有关的问题时，要注意应用等差数列的性质：若2p q m n r +=+=，则2p q m n r a a a a a +=+=. 7．A 【解析】分析：先根据已知推算出数列的周期，再求2019a 的值. 详解：11n n n a a a +-=因为，所以111,n na a +=-因为12a =，234111,121,112,22a a a =-==-=-=+= 所以20193 1.a a ==-点睛：（1）本题主要考查数列的递推和周期，意在考查学生对这些知识的掌握水平.(2)求数列的某一项n a 时，如果n 的取值比较大，一般与数列的周期有关，所以要推算数列的周期. 8．D 【解析】 【分析】结论“至少有一个”的反面是“至多有0个”即“一个也没有”． 【详解】假设是“关于x 的方程30ax b +=没有实根”． 故选：D.本题考查反证法．掌握命题的否定是解题关键．在有“至多”“至少”等词语时，其否定要注意．不能弄错． 9．A 【解析】 解：因为，所以，故选A10．A 【解析】 【分析】 【详解】分析：等式分子分母同时乘以()a i +，化简整理，得出z ，再将z 的坐标代入2y x =中求解a 即可. 详解：2221111a i a i z a i a a a +===+-+++，所以221211a a a =++． 解得12a = 故选B点睛：复数的除法运算公式()()22c di ac bd ad bc iz a bi a b ++-+==++，在复平面内点在直线上，则坐标满足直线方程． 11．D 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性得到2b a =，在()0,+∞单调递增，得0a >，再由二次函数的性质得到()200f x f ->=（），【详解】函数()()222f x ax b a x b =+--为偶函数，则20b a -=，故()()()2422f x ax a a x x =-=-+，因为在()0,+∞单调递增，所以0a >. 根据二次函数的性质可知，不等式()202f x f ->=（），或 者()202f x f ->=-（），的解集为{2222}{|04}x x x x x x --<-=或或，【点睛】此题考查了函数的对称性和单调性的应用，对于抽象函数，且要求解不等式的题目，一般是研究函数的单调性和奇偶性，通过这些性质将要求的函数值转化为自变量的大小比较，直接比较括号内的自变量的大小即可. 12．D 【解析】分析：将一枚硬币连续抛掷5次，正面向上的次数152X B ～（，） ，由此能求出正面向上的次数X 的分布列详解：将一枚硬币连续抛掷5次，正面向上的次数152X B ～（，）. 故选D.点睛：本题考查离散型随机变量的分布列的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意二项分布的合理运用．二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分） 13．6a 【解析】 【分析】先求出方盒容积的表达式，再利用导数根据单调性求最大值. 【详解】方盒的容积为：2()(2)()2a V x a x x x =-<2'()4(2)(2)(2)(6)=0()2aV x a x x a x a x a x x =--+-=--<6a x =当26a a x >>时函数递减，当06ax >>时函数递增 max ()()6aV x V =故答案为6a【点睛】本题考查了函数的最大值的应用，意在考查学生的应用能力和计算能力. 14．250x y -+=或20x y += 【解析】 【分析】当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为2x=-，不成立；当直线l的斜率存在时，直线l的方程为210kx y k-++=，由点(1,2)A--到l的距离等于5，解得2k=或12k=-，由此能求出直线l的方程。

2023北京海淀高二（下）期末数 学一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1．已知集合A ＝{x |﹣3＜x ＜3}，B ＝{﹣3，0，1，2}，则A ∩B ＝（ ）A ．{0，1}B ．{0，1，2}C ．{﹣3，0，1，2}D ．{﹣2，﹣1，0，1，2}2．已知命题p ：∃x ≤3，|x ﹣2|≤1，则¬p 为（ ）A ．∃x ≤3，|x ﹣2|＞1B ．∃x ＞3，|x ﹣2|≤1C ．∀x ≤3，|x ﹣2|＞1D ．∀x ＞3，|x ﹣2|＞13．已知{a n }为等比数列，公比q ＞0，a 2+a 3＝12，a 1•a 5＝81，则a 5＝（ ）A ．81B ．27C ．32D ．164．下列四个函数中，在区间[0，1]上的平均变化率最大的为（ ）A ．y ＝xB ．y ＝e xC ．y ＝sin xD ．11y x =+5．已知a ＜b ，则（ ）A ．a 2＜b 2B ．e ﹣a ＜e ﹣bC ．ln （|a |+1）＜ln （|b |+1）D ．a |a |＜b |b |6．已知函数f （x ）＝x 2•sin x ，则'(2f π的值为（ ）A ．0B ．πC ．24πD ．24π-7．从A ，B ，C ，D 4本不同的文学读物中选出3本分给甲、乙、丙3名学生（每人一本）．如果甲不得A 读物，则不同的分法种数为（ ）A ．24B ．18C ．6D ．48．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，公差为d ，则“S n 有最大值”是“d ＜0”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件9．学校要从8名候选人中选4名同学组成学生会．已知恰有3名候选人来自甲班，假设每名候选人都有相同的机会被选中，则甲班恰有2名同学被选中的概率为（ ）A ．14B ．23C ．37D ．41510．已知函数f （x ）＝x 3+3x 2+bx +c ．若函数g （x ）＝e ﹣x f （x ）有三个极值点m ，1，n ，且m ＜1＜n ，则mn 的取值范围是（ ）A ．（﹣∞，1）B ．（﹣∞，14）C ．（﹣∞，﹣1）D ．（﹣∞，﹣2）二、填空题共5小题，每小题4分，共20分。

【全国百强校】北京海淀区北京大学附属中学2020-2021学年高二下学期期末考试数学（理）试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．设i 是虚数单位，则311i =-（ ）． A ．11i 22- B ．11i 22+ C ．1i - D ．1i + 2．在极坐标系中，点π1,4⎛⎫ ⎪⎝⎭与点3π1,4⎛⎫ ⎪⎝⎭的距离为（ ）． A ．1 BCD3．已知直线y=x+1与曲线y ln()x a =+相切，则α的值为A ．1B ．2C ．-1D ．-24．圆1,1x y ⎧=-+θ⎪⎨=θ⎪⎩（θ为参数）被直线0y =截得的劣弧长为（ ）（A）2（B ）π （C） （D ）4π 5．直线πsin 44ρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭与圆π4sin 4ρθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的位置关系是（ ）． A ．相交但不过圆心 B ．相交且过圆心 C ．相切 D ．相离 6．某光学仪器厂生产的透镜，第一次落地打破的概率为0.3；第一次落地没有打破，第二次落地打破的概率为0.4；前两次落地均没打破，第三次落地打破的概率为0.9．则透镜落地3次以内（含3次）被打破的概率是（ ）．A ．0.378B ．0.3C ．0.58D ．0.958 7．若函数21()ln 2f x x x =-在其定义域的一个子区间(1,1)k k -+上不是单调函数，则实数k 的取值范围是（ ）．A ．(1,2)B ．[1,2)C ．[0,2)D ．(0,2) 8．几个孩子在一棵枯树上玩耍，他们均不慎失足下落．已知（1）甲在下落的过程中依次撞击到树枝A ，B ，C ；（2）乙在下落的过程中依次撞击到树枝D ，E ，F ；（3）丙在下落的过程中依次撞击到树枝G ，A ，C ；（4）丁在下落的过程中依次撞击到树枝B ，D ，H ；（5）戊在下落的过程中依次撞击到树枝I ，C ，E ．倒霉和李华在下落的过程中撞到了从A 到I 的所有树枝，根据以上信息，在李华下落的过程中，和这9根树枝不同的撞击次序有（ ）种．A ．23B ．24C ．32D ．33二、填空题9．若5()x a -的展开式中2x 项的系数是10，则实数a 的值是__________．10．在复平面上，一个正方形的三个项点对应的复数分别是0、12i +、2i -+，则该正方形的第四个顶点对应的复数是__________．11．设随机变量~(2,)B p ξ，~(4,)B p η，若5(1)9p ξ≥=，则(2)p η≥的值为__________．12．设1a >，1b >，若ln 2ln 3a a b b -=-，则a ，b 的大小关系为__________．三、双空题13．抛物线2:4C x y =与经过其焦点F 的直线l 相交于A ，B 两点，若||5AF =，则||AB = __________，抛物线C 与直线l 围成的封闭图形的面积为__________．14．对于有n 个数的序列01:A a ，2a ，，(*)n a n ∈N ，实施变换T 得新序列112:A a a +，23a a +，，1n n a a -+，记作10()A T A =；对1A 继续实施变换T 得新序列210()(())A T A T T A ==，记作220()A T A =；，110()n n A T A --=．最后得到的序列1n A -只有一个数，记作0()S A ．（1）若序列0A 为1，2，3，4，则序列2A 为__________．（2）若序列0A 为1，2，，n ，则序列0()S A =__________．四、解答题15．已知函数2()f x ax bx c =++，[0,6]x ∈的图象经过和两点，如图所示，且函数的值域为.过该函数图象上的动点(,())P t f t 作轴的垂线，垂足为，连接.（I ）求函数的解析式；（Ⅱ）记OAP ∆的面积为，求的最大值.16．某保险公司开设的某险种的基本保费为1万元，今年参加该保险的人来年继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人的下一年度的保费与其与本年度的出险次数的关联如下：设今年初次参保该险种的某人准备来年继续参保该险种，且该参保人一年内出险次数的概率分布列如下：（1）求此续保人来年的保费高于基本保费的概率．（2）若现如此续保人来年的保费高于基本保费，求其保费比基本保费高出60%的概率．（3）求该续保人来年的平均保费与基本保费的比值．参考答案1．A【解析】分析：利用复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轭复数，化简即可得结果. 详解：3221111i 11i 1i 1i i 1i 1i 22-====---⋅+-，故选A . 点睛：复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.2．B【解析】 分析：将极坐标π1,4⎛⎫ ⎪⎝⎭与31,π4⎛⎫ ⎪⎝⎭化成直角坐标，利用两点间距离公式可得结果. 详解：将极坐标π1,4⎛⎫ ⎪⎝⎭与31,π4⎛⎫ ⎪⎝⎭化成直角坐标22⎛ ⎝⎭与,22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭,两点的距离d == 故选B ．点睛： 本题主要考查极坐标与直角坐标的互化，以及两点间距离公式的应用，属于简单题. 3．B【解析】设切点00(,)P x y ，则，又001|1x x y x a===+' 00010,12x a y x a ∴+=∴==-∴=，故答案选B ．4．A【解析】试题分析：圆的标准方程为2)1()1(22=-++y x ，圆心到直线0y =的距离为1，故圆心角为2π，故劣弧长为=⨯22π2考点：直线与圆的位置关系、弧长公式5．C【解析】 分析：直线πsin 44ρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭化为直角坐标方程，圆π4sin 4ρθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭化为直角坐标方程，求出圆心到直线距离，与半径比较即可得结论. 详解：直线πsin 44ρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭可化成cos 422sin ρθρθ+= ,4x y =,0y x +-=， 圆π4sin 4ρθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭可化成2cos sin ρθθ=+, 22((4x y -+-=，圆心到直线的距离2d r ===，所以圆与直线相切．故选C ．点睛：利用关系式cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩可以把极坐标与直角坐标互化，这类问题一般我们可以先把曲线方程化为直角坐标方程，用直角坐标方程解决相应问题．6．D【解析】分析：分别利用独立事件的概率公式求出恰在第一次、恰在第二次、恰在第三次落地打破的概率，然后由互斥事件的概率公式求解即可.详解：透镜落地3次，恰在第一次落地打破的概率为10.3P =，恰在第二次落地打破的概率为20.70.40.28P =⨯=，恰在第三次落地打破的概率为30.70.60.90.378P =⨯⨯=，∴落地3次以内被打破的概率1230.958P P P P =++=．故选D ．点睛：本题主要考查互斥事件、独立事件的概率公式，属于中档题. 解答这类综合性的概率问题一定要把事件的独立性、互斥性结合起来，要会对一个复杂的随机事件进行分析，也就是说能把一个复杂的事件分成若干个互斥事件的和，再把其中的每个事件拆成若干个相互独立的事件的积，这种把复杂事件转化为简单事件，综合事件转化为单一事件的思想方法在概率计算中特别重要.7．B【解析】【分析】求出函数的定义域和导数，判断函数的单调性和极值，即可得到结论．【详解】解：函数的定义域为（0，+∞），∴函数的f′（x）＝x211xx x--=，由f′（x）＞0解得x＞1，此时函数单调递增，由f′（x）＜0解得0＜x＜1，此时函数单调递减，故x＝1时，函数取得极小值．①当k＝1时，（k﹣1，k+1）为（0，2），函数在（0，1）上单调减，在（1，2）上单调增，此时函数在（0，2）上不是单调函数，满足题意；②当k＞1时，∵函数f（x）在其定义域的一个子区间（k﹣1，k+1）内不是单调函数，∴x＝1在（k﹣1，k+1）内，即1111kk-⎧⎨+⎩＜＞，即2kk⎧⎨⎩＜＞，即0＜k＜2，此时1＜k＜2，综上1≤k＜2，故选B．【点睛】本题主要考查函数的单调性的应用，求函数的导数和极值是解决本题的关键．8．D【解析】分析：由题可判断出树枝部分顺序GABCEF，还剩下D，H，I，先看树枝I在C之前，有4种可能，而树枝D在BE之间，H在D之后，若I在BC之间，利用分类计数加法原理求解即可.详解：由题可判断出树枝部分顺序GABCEF ，还剩下D ，H ，I ，先看树枝I 在C 之前，有4种可能，而树枝D 在BE 之间，H 在D 之后，若I 在BC 之间，D 有3种可能：①若D 在BI 之间，H 有5种可能，②若D 在IC 之间，H 有4种可能，③若D 在CE 之间，H 有3种可能．若I 不在BC 之间，则I 有3种可能，此时D 有2种可能，D 可能在BC 之间，H 有4种可能，D 可能在CE 之间，H 有3种可能，综上共有5433(43)122133++++=+=．故选D ．点睛：本题主要考查分类计数原理的应用，属于难题.有关排列组合的综合问题，往往是两个原理及排列组合问题交叉应用才能解决问题，解答这类问题理解题意很关键，一定多读题才能挖掘出隐含条件.解题过程中要首先分清“是分类还是分步”、“是排列还是组合”，在应用分类计数加法原理讨论时，既不能重复交叉讨论又不能遗漏，这样才能提高准确率. 9．1-【解析】分析：求出5()x a -展开式的通项，令x 的系数为2可得2x 项的系数，列方程求解即可. 详解：5()x a -展开式的通项为55C ()r r r xa --令523r r -=⇒=， 可得2x 系数为2335C ()1010a a -=-=，可得1a =-．故答案为1-.点睛：本题主要考查二项展开式定理的通项与系数，属于简单题. 二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二项展开式的通项公式1C r n r r r n T a b -+=；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）（2）考查各项系数和和各项的二项式系数和；（3）二项展开式定理的应用.10．13i -+【分析】设第4个顶点为(),a b ，利用向量相等列方程求解即可.【详解】因为正方形的三个项点对应的复数分别是0、12i +、2i -+，所以正方形三个顶点对应的坐标为()0,0，()1,2，()2,1-，设第4个顶点为(),a b ，则()()()1,220,102,1a b --=---=-，∴1a =-，3b =，即第4个顶点为()1,3-．所以第4个顶点对应的复数为13i -+【点睛】本题主要考查复数的几何意义，向量相等，属于基础题..11．1127【分析】由()519p ξ≥=可得13p =，从而可得222344443412211(2)C C C 333112733p η⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫≥=+⨯+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 【详解】∵随机变量~(2,)B p ξ，5(1)9p ξ≥=， ∴022(C 9151p --=）， ∴13p =， ∴1~4,3B η⎛⎫ ⎪⎝⎭， ∴222344443412211(2)C C C 333112733p η⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫≥=+⨯+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故答案为1127. 【点睛】本题主要考查二项分布、独立重复试验概率公式、对立事件的概率公式，意在考查综合应用所学知识解答问题的能力以及计算能力，属于中档题.12．b a <【解析】分析：构造函数()ln 2(1)f x x x x =->，则()()1f b f a b -=>，利用导数可得()f x 在(1,)+∞单调递减，从而可得结果.详解：∵ln 2ln 2a a b b b -=--，令()ln 2(1)f x x x x =->，∴()()f a f b b =-，∴()()1f b f a b -=>，∴()()f b f a >， ∵1()20f x x'=-<，即 ∴b a <．故答案为b a <.点睛：本题出题意图在于通过构造函数，并判断其单调性，进而比较代数式的大小.其中恰当的构造函数是本题的关键，也是本题的难点，至于函数的单调性常用判断方法有定义法，求导法，基本函数的单调性法，复合函数的单调性法，图像法等.13．25412524 【解析】分析：利用焦半径公式可求得A 的纵坐标，可得(4,4)A ±，从而可得直线AB 的方程，求得B 坐标，由两点间距离公式可得AB ，利用微积分基本定理可得结果.详解：∵抛物线24x y =的焦点为(0,1)，||5AF =，由抛物线性质可知，A 点到准线1y =-距离为5，设A 的纵坐标A y ，则15A y +=，∴(4,4)A ±，当A 为(4,4)时，413404AB k -==-，∴直线AB 为314y x =+， 联立直线与抛物线，解得另一交点B 坐标为11,4⎛⎫- ⎪⎝⎭，∴254AB ==， 根据定积分的几何意义可得 所围成的封闭面积42131[1]d 44S x x x -⎛⎫=+- ⎪⎝⎭⎰ 234131125|81224x x -⎛⎫=-= ⎪⎝⎭．故答案为(1). 254 (2). 12524 点睛：本题主要考查抛物线的定义和几何性质，以及微积分基本定理的应用，属于难题.与焦点、准线有关的问题一般情况下都与拋物线的定义有关，解决这类问题一定要注意点到点的距离与点到直线的距离的转化：（1）将抛线上的点到准线距离转化为该点到焦点的距离；(2)将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，使问题得到解决14．8，12 ()1 22n n -+⨯ 【解析】分析：（1）由题意1:12A +，23+，34+，2:1223A +++，2334+++，即2A 为8，12；（2）根据归纳推理可得01210111()C 1C 2C 3C C (1)n n n n n n n S A n n ----=⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+，利用倒序相加法，化简即可得结果.详解：（1）由题意1:12A +，23+，34+， 2:1223A +++，2334+++，即2A 为8，12．（2）1n =时，0()123S A =+=，2n =时，0()1223233412333420S A =+++++++=+⨯+⨯+=，联1n -时，01221011111()C 1C 2C 3C (1)C n n n n n n n S A n n -------=⋅+⋅+⋅+-+⋅， 联n 时，01210111()C 1C 2C 3C C (1)n n n n n n n S A n n ----=⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+，利用倒序相加可得：102()2(2)22n n n S A n -+=⨯=+⋅．故答案为8，12；()122n n -+⨯. 点睛：本题考查归纳推理、倒序相加法的应用、新定义问题及数形结合思想，属于难题.新定义题型的特点是：通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的.遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决.15．（I ）2()6,[0,6]f x x x x =-∈；（II ）三角形面积的最大值为16.【解析】试题分析：（I ）用待定系数法.由抛物线的对称性及题设可知，函数的对称轴为，顶点为. 将顶点坐标及点（0，0），（0，6）的坐标代入解析式得关于a,b,c 方程组，解此方程组，便可得 的解析式.（II ）用三角形面积公式求得三角形的面积与t 之间的函数关系式，然后利用导数可求得OAP ∆的面积为，求的最大值.试题解析：（I ）由已知可得函数的对称轴为，顶点为. 2分方法一：由⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-=-=944320)0(2a b ac a b f得0,6,1==-=c b a 5分得2()6,[0,6]f x x x x =-∈ 6分 方法二：设9)3()(2+-=x a x f 4分 由0)0(=f ，得1-=a 5分2()6,[0,6]f x x x x =-∈ 6分（II ）)6,0(),6(2121)(2∈-=⋅=t t t t AP OA t S 8分)4(23236)('2t t t t t S -=-= 9分列表得：11分由上表可得时，三角形面积取得最大值即2max 1()(4)4(644)162S t S ==⨯⨯-= 13分考点：1、二次函数；2、导数16．（1）0.55．（2）311．（3）1.23． 【解析】分析：（1）由互斥事件的概率公式可得此续保人来年的保费高于基本保费的概率为0.200.200.100.050.55+++=；（2）根据条件概率公式可得保费比基本保费高出60%的概率为0.10.0530.5511+=；（3）利用离散型随机变量的去期望公式可得平均保费()0.850.30.150.2 1.250.2 1.50.1 1.7520.05 1.23E A =⨯++⨯+⨯+++⨯=，从而可得结果.详解：（1）设出险次数为事件X ，一续保人本年度的保费为事件A ，则续保人本年度保费高于基本保费为事件C ，则()()P C P A a =>，()()()()()2345P C P x P x P x P x ==+=+=+≥0.200.200.100.050.55=+++=．（2）设保费比基本保费高出60%为事件B ，()()()()()()450.10.053/0.5511P BC P x P x P B C P C P C =+=+====．（3）平均保费()0.850.30.150.2 1.250.2 1.50.1 1.7520.05E A=⨯++⨯+⨯+++⨯1.23=，∴平均保费与基本保费比值为1.231.23 1=．详解：本题主要考查互斥事件、条件概率的应用以及离散型随机变量的期望公式，属于中档题.解答这类综合性的概率问题一定要把事件的独立性、互斥性结合起来，要会对一个复杂的随机事件进行分析，也就是说能把一个复杂的事件分成若干个互斥事件的和，再把其中的每个事件拆成若干个相互独立的事件的积，这种把复杂事件转化为简单事件，综合事件转化为单一事件的思想方法在概率计算中特别重要.。

北京市海淀区2020年高二(下)数学期末综合测试试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意）1．将函数())cos2sin 0222x x x f x ωωωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭的图象向左平移3πω个单位，得到函数()y g x =的图象，若()y g x =在0,12π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为增函数，则ω的最大值为（ ）A ．2B ．4C ．6D ．82．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x ≥时，()()2f 21x log x =+-，则()6f -=（ ） A ．2B ．4C ．-2D ．-43．10(e 2)x x dx -=⎰( ) A ．e B ．e 1-C ．e 2-D ．2e -4．函数()()21x f x x e =-（e 为自然对数的底数）的递增区间为（ ）A ．(),-∞+∞B ．1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭C ．1,2⎛⎫-∞-⎪⎝⎭D ．1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭5．若曲线x y e =在0x =处的切线，也是ln y x b =+的切线，则b =（ ） A ．1-B ．1C ．2D ．e6．已知等比数列{}n a 的前n 项和为12n n S k -=+，则()3221f x x kx x =--+的极大值为（ ）A ．2B ．3C ．52D ．727．设非零向量a b c 、、满足a b c ==，a b c +=，则向量a b 、间的夹角为( ) A ．150° B ．60° C ．120°D ．30°8．若函数y =R ，则a 的取值范围为（ ） A ．(0,4]B ．[4,)+∞C ．[0,4]D ．(4,)+∞9．设抛物线26y x =的焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线上一点，PA l ⊥，垂足为A ，如果APF 为正三角形，那么PF 等于（ ）A ．B ．C ．6D ．1210．如图是函数()y f x =的导函数'()f x 的图象，则下面判断正确的是（ ）A ．在(3,1)-上()f x 是增函数B ．在(1,3)上()f x 是减函数C ．在(1,2)上()f x 是增函数D ．在4x =时，()f x 取极大值11．干支纪年法是中国历法上自古以来就一直使用的纪年方法，主要方式是由十天干（甲、乙、丙、丁、戊、己、废、辛、壬、朵）和十二地支（子、丑、卯、辰、已、午、未、中、百、戊、）按顺序配对，周而复始，循环记录．如：1984年是甲子年，1985年是乙丑年，1994年是甲戌年，则数学王子高斯出生的1777年是干支纪年法中的（ ） A ．丁申年B ．丙寅年C ．丁酉年D ．戊辰年 12．已知随机变量服从正态分布，且，则实数的值为（）A ．B ．C ．D ．二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分）13．6位同学在一次聚会活动中进行纪念品的交换，任意两位同学之间最多交换一次，进行交换的两位同学互赠一份纪念品。

北京市海淀区2020年高二(下)数学期末综合测试试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意）1．已知函数()f x 是定义在R 上的函数，且满足()()0f x f x '+>，其中()f x '为()f x 的导数，设()0a f =，()22b f ln =，()1c ef =，则a 、b 、c 的大小关系是( ) A ．c b a >> B ．a b c >> C ．c a b >> D ．b c a >>【答案】A 【解析】 【分析】构造函数()()xg x e f x =，根据()g x 的单调性得出结论．【详解】解：令()()xg x e f x =，则()[()()]0x g x e f x f x '=+'>，()g x ∴在R 上单调递增，又021ln <<，()()()021g g ln g ∴<<，即()()()0221f f ln ef <<，即c b a >> 故选：A ． 【点睛】本题考查了导数与函数的单调性，考查函数单调性的应用，属于中档题． 2．命题“对任意的x ∈R ，3210x x -+≤”的否定是 A ．不存在x ∈R ，3210x x -+≤ B ．存在x ∈R ，3210x x -+≤ C ．存在x ∈R ，3210x x -+> D ．对任意的x ∈R ，3210x x -+>【答案】C 【解析】 【分析】 【详解】注意两点：1）全称命题变为特称命题；2）只对结论进行否定．“对任意的x ∈R ，3210x x -+≤”的否定是:存在x ∈R ，3210x x -+> 选C.3．为了考察两个变量x 和y 之间的线性相关性，甲、乙两位同学各自独立地做10次和15次验，并且利用线性回归方程，求得回归直线分别为1l 和2l ．已知两个人在试验中发现对变x 的观测数据的平均值都是s ，对变量y 的观测数据的平均值都为t ，那么下列说法正确的（ ） A ．1l 与2l 相交于点（s ，t ）B ．1l 与2l 相交，交点不一定是（s ，t ）C ．1l 与2l 必关于点（s ，t ）对称D ．1l 与2l 必定重合 【答案】A 【解析】 【分析】根据线性回归方程l 1和l 2都过样本中心点（s ，t ），判断A 说法正确． 【详解】解：根据线性回归方程l 1和l 2都过样本中心点（s ，t ）， ∴1l 与2l 相交于点(),s t ，A 说法正确． 故选：A ． 【点睛】本题考查了线性回归方程过样本中心点的应用问题，是基础题． 4．已知集合{0,1,2},{0,}A B x ==，若B A ⊆，则x ＝( )A ．0或1B ．0或2C ．1或2D ．0或1或2【答案】C 【解析】1B A x ⊆∴=Q 或2x =．故选C ．点睛：1、用描述法表示集合，首先要弄清集合中代表元素的含义，再看元素元素的限制条件，明确集合的类型，是数集，是点集还是其它集合．2、求集合的交、交、补时，一般先化简，再由交、并、补的定义求解．3、在进行集合的运算时要尽可能地借助Venn 图和数轴使抽象问题直观化，一般地，集合元素离散时用Venn 图；集合元素连续时用数轴表示，用数轴表示时要注意端点值的取舍． 5．在空间给出下列四个命题：①如果平面α内的一条直线a 垂直于平面β内的任意一条直线，则α⊥β； ②如果直线a 与平面β内的一条直线平行，则a ∥β； ③如果直线a 与平面β内的两条直线都垂直，则a ⊥β；④如果平面α内的两条直线都平行于平面β，则a ∥β．其中正确的个数是 A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】本题考查空间线面关系的判定和性质．解答：命题①正确，符合面面垂直的判定定理．⊄条件．命题②不正确，缺少aα命题③不正确，缺少两条相交直线都垂直的条件．命题④不正确，缺少两条相交直线的条件．6．设是两条不同的直线,是两个不同的平面,下列命题中正确的是（）A．若,,则B．若，，，则C．若,,则D．若,,则【答案】C【解析】【分析】结合空间中点线面的位置关系，对选项逐个分析即可选出答案.【详解】对于选项A，当,，有可能平行，也有可能相交，故A错误；对于选项B，当，，，有可能平行，也可能相交或者异面，故B错误；对于选项C，当,,根据线面垂直的判定定理可以得到，故C正确；对于选项D，当,,则或者，故D错误；故答案为选项C.【点睛】本题考查了空间中直线与平面的位置关系，考查了学生的空间想象能力，属于基础题.7．从不同号码的双鞋中任取只，其中恰好有双的取法种数为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】此题考查的是排列组合思路：先从五双鞋中选出一双，有种。

北京市海淀区重点名校2019-2020学年高二下学期期末综合测试数学试题一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.若me N*,m<27 ,则(27-w)(28-w) (34-m)等于( )A p8R p27—m c pl n p8八. L Tl-m °- 134-m—234-m 134-m【答案】D【解析】【分析】(27-/77)>(28-m)> 、(34-/力)中最大的数为(34 - 冲，(27-/力)、(28-》7)、、(34-/力)包含(34 — 27 + 1) = 8个数据，且8个数据是连续的正整数，由此可得到(27-W)(28-/77) (34-W)的表示.【详解】因为(27 — m)(28 —m) (34 — m) = (34 —m) (28 — m)(27 — m),所以表示从(34 - m)连乘到(27 -m),一共是8个正整数连乘，所以(27 5)(28 -闵(34-m)=.故选：D.【点睛】p n g本题考查排列数的表示，难度较易.注意公式：P；；' = , "~ 的运用.^n — my. ^n — my.2.由数字0, 1, 2, 3组成的无重复数字且能被3整除的非一位数的个数为( )A. 12B. 20C. 30D. 31【答案】D【解析】【分析】分成两位数、三位数、四位数三种情况，利用所有数字之和是3的倍数，计算出每种情况下的方法数然后相加，求得所求的方法总数.【详解】两位数：含数字1, 2的数有定个，或含数字3, 0的数有1个.三位数：含数字0, 1, 2的数有C；总个,含数字1, 2, 3有定个.四位数：有个.所以共有1 + &+C；出+g + C；定=31个.故选D.【点睛】本小题主要考查分类加法计数原理，考查一个数能被3整除的数字特征，考查简单的排列组合计算，属于基础题.3.若关于X的不等式甘刀|>|x-2|恰好有4个整数解，则实数k的范围为（）B. 2 35J5C. D.【答案】C【解析】【分析】依题意可得，0<k<l,结合函数y=k|x|与y=-|x-2|的图象可得4个整数解是2, 3, 4, 5,由y = kx2/i 3 2cnx = rc（5,6]，即可得y — x— 2 1 — k 5 3【详解】解：依题意可得，0<k<l,函数y=k|x|与y= - |x- 2|的图象如下，由0<k<l,可得x A>l, A关于X的不等式k|x| - |x- 2|> 0恰好有4个整数解，他们是2, 3, 4, 5, \y = kx 2 / 1 3 2由｛=>x B = -— c（5,6],故—< k< —；y — x— 2 1 — k 5 3故选：c【点睛】本题主要考查根据含参绝对值不等式的整数解的个数，求参数范围问题，着重考查了数形结合思想，属于中档题.4.对于椭圆。

北京市海淀区2020年高二下数学期末综合测试试题一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，若1AB BC ==，12BB =，则异面直线1A B 和1AD 所成角的余弦值为（ ）A ．1010B ．35C ．22D ．45【答案】D 【解析】 【分析】连结1D C ，可证明11A BCD 是平行四边形，则11//A B D C ，故1AD C ∠的余弦值即为异面直线1A B 和1AD 所成角的余弦值，利用余弦定理可得结果. 【详解】连结1D C ，由题得11//A D BC ，故11A BCD 是平行四边形，11//A B D C ，则1AD C ∠的余弦值即为所求，由1AB BC ==，12BB =可得115AD DC ==2AC =2221(2)(5)(5)255ADC =+-∠，解得14cos 5AD C ∠=，故选D . 【点睛】本题考查异面直线的夹角的余弦值和余弦定理，常见的方法是平移直线，让两条直线在同一平面中，再求夹角的余弦值. 2．用数学归纳法证明11112321n n +++⋅⋅⋅+<-（*n N ∈，2n ≥）时，第一步应验证（ ） A ．1122+< B ．111223++< C ．111323++< D ．11113234+++< 【答案】B 【解析】 【分析】直接利用数学归纳法写出2n =时左边的表达式即可． 【详解】解：用数学归纳法证明1111(2321nn n N++++⋯+<∈-，2)n≥时，第一步应验证2n=时是否成立，即不等式为：111223++<；故选：B．【点睛】在数学归纳法中，第一步是论证2n=时结论是否成立，此时一定要分析不等式左边的项，不能多写也不能少写，否则会引起答案的错误．3．某篮球队甲、乙两名运动员练习罚球，每人练习10组，每组罚球40个.命中个数的茎叶图如下图，则下面结论中错误．．的一个是（）A．甲的极差是29 B．甲的中位数是24C．甲罚球命中率比乙高D．乙的众数是21【答案】B【解析】【分析】通过茎叶图找出甲的最大值及最小值求出极差判断出A对；找出甲中间的两个数，求出这两个数的平均数即数据的中位数，判断出D错；根据图的数据分布，判断出甲的平均值比乙的平均值大，判断出C对．【详解】由茎叶图知甲的最大值为37，最小值为8，所以甲的极差为29，故A对甲中间的两个数为22，24，所以甲的中位数为2224232+=故B不对甲的命中个数集中在20而乙的命中个数集中在10和20，所以甲的平均数大，故C对乙的数据中出现次数最多的是21，所以D对故选B．【点睛】茎叶图的优点是保留了原始数据，便于记录及表示，能反映数据在各段上的分布情况．茎叶图不能直接反映总体的分布情况，这就需要通过茎叶图给出的数据求出数据的数字特征，进一步估计总体情况．4．已知高为3的正三棱柱ABC-A1B1C1的每个顶点都在球O的表面上，若球O的表面积为21π，则此正三棱柱ABC-A1B1C1的体积为()A 2732B．272C2734D．18【答案】C【解析】 【分析】根据体积算出球O 的半径r,再由几何关系求出地面三角形的边长，最后求出其体积即可。

市海淀区清华志清中学2020-2021学年高二数学下学期期末考试试题（含解析）一、选择题（共10小题，共40分．）1．集合A＝{x∈Z|﹣2＜x＜2}的子集个数为（）A．4B．6C．7D．82．设a，b是实数，则“a＞b”是“a2＞b2”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件3．设函数f（x）＝，则f（f（3））＝（）A．B．3C．D．4．下列函数中，在区间（0，+∞）上单调递增的是（）A．y＝x B．y＝2﹣x C．y＝log x D．y＝5．在△ABC中，若∠A＝60°，∠B＝45°，BC＝3，则AC＝（）A．B．C．D．6．将函数的图象向左平移个单位长度，得到的图象的函数解析式为（）A．B．C．D．7．已知a，b＝log0.3，c，则（）A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．a＜c＜b D．b＜c＜a8．若sinα＝，则cos2α＝（）A．B．C．﹣D．﹣9．函数f（x）＝sin2（2x）的最小正周期是（）A．B．C．πD．2π10．函数f（x）＝的零点个数为（）A．0B．1C．2D．3二、填空题（共5小题，每小题4分，共20分．）11．命题p：“∀x≥0，都有e x≥﹣x+1”，则命题p的否定为．12．已知函数f（x）＝lgx，若f（ab）＝1，则f（a2）+f（b2）＝．13．已知二次函数f（x）＝x2﹣ax+4，若f（x）是偶函数，则实数a的值为．14．设x，y∈R且x+y＝5，则3x+3y的最小值是．15．已知sinα+cosβ＝1，cosα+sinβ＝0，则sin（α+β）＝．三、解答题（共4小题，每小题10分，共40分．）16．已知函数f（x）＝2sinωx cosωx+cos2ωx（ω＞0）的最小正周期为π．（1）求ω的值；（2）求f（x）的单调递增区间．17．已知在△ABC中，c＝2b cos B，．（1）求B的大小；（2）若，求BC边上的中线长度．18．已知函数f（x）＝．（1）若a＝0，求y＝f（x）在（1，f（1））处的切线方程；（2）若函数f（x）在x＝﹣1处取得极值，求f（x）的单调区间，以及最大值和最小值．19．某学校组织一项益智游戏，要求参加该益智游戏的同学从8道题目中随机抽取3道回答，至少答对2道可以晋级．已知甲同学能答对其中的5道题．（1）设甲同学答对题目的数量为X，求X的分布列及数学期望：（2）求甲同学能晋级的概率．参考答案一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分．）1．集合A＝{x∈Z|﹣2＜x＜2}的子集个数为（）A．4B．6C．7D．8解：∵A＝{x∈Z|﹣2＜x＜2}＝{﹣1，0，1}，∴集合A的子集个数为23＝8个，故选：D．2．设a，b是实数，则“a＞b”是“a2＞b2”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解：因为a，b都是实数，由a＞b，不一定有a2＞b2，如﹣2＞﹣3，但（﹣2）2＜（﹣3）2，所以“a＞b”是“a2＞b2”的不充分条件；反之，由a2＞b2也不一定得a＞b，如（﹣3）2＞（﹣2）2，但﹣3＜﹣2，所以“a＞b”是“a2＞b2”的不必要条件．故选：D．3．设函数f（x）＝，则f（f（3））＝（）A．B．3C．D．解：∵函数f（x）＝，∴f（3）＝，f（f（3））＝＝（）2+1＝．故选：A．4．下列函数中，在区间（0，+∞）上单调递增的是（）A．y＝x B．y＝2﹣x C．y＝log x D．y＝解：在（0，+∞）上单调递增，和在（0，+∞）上都是减函数．故选：A．5．在△ABC中，若∠A＝60°，∠B＝45°，BC＝3，则AC＝（）A．B．C．D．解：根据正弦定理，，则故选：B．6．将函数的图象向左平移个单位长度，得到的图象的函数解析式为（）A．B．C．D．解：将函数的图象向左平移个单位长度，得到的图象的函数解析式为y＝cos（3x++）＝sin（3x+），故选：D．7．已知a，b＝log0.3，c，则（）A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．a＜c＜b D．b＜c＜a解：∵0＜a0＝1，b＝log0.3＜log1＝0，c0＝1，∴b＜a＜c．故选：B．8．若sinα＝，则cos2α＝（）A．B．C．﹣D．﹣解：∵sinα＝，∴cos2α＝1﹣2sin2α＝1﹣2×＝．故选：B．9．函数f（x）＝sin2（2x）的最小正周期是（）A．B．C．πD．2π解：∵f（x）＝sin2（2x）＝﹣cos4x即ω＝4∴T＝＝＝故选：B．10．函数f（x）＝的零点个数为（）A．0B．1C．2D．3解：当x≤0时，由f（x）＝0得x2+2x﹣3＝0，解得x＝1或x＝﹣3，函数的零点是x ＝﹣3，当x＞0时，由f（x）＝0得﹣2+lnx＝0，即lnx＝2，解得x＝e2．所以函数f（x）的零点个数为2个．故选：C．二、填空题（共5小题，每小题4分，共20分．）11．命题p：“∀x≥0，都有e x≥﹣x+1”，则命题p的否定为∃x0≥0，使得e＜﹣x0+1 ．解：命题p：“∀x≥0，都有e x≥﹣x+1”，则命题p的否定为：“∃x0≥0，都有e＜﹣x0+1”．故答案为：∃x0≥0，都有e＜﹣x0+1．12．已知函数f（x）＝lgx，若f（ab）＝1，则f（a2）+f（b2）＝ 2 ．解：∵函数f（x）＝lgx，f（ab）＝lg（ab）＝1，f（a2）+f（b2）＝lga2+lgb2＝lg（ab）2＝2lg（ab）＝2．故答案为：2．13．已知二次函数f（x）＝x2﹣ax+4，若f（x）是偶函数，则实数a的值为0 ．解：∵二次函数f（x）＝x2﹣ax+4是偶函数，∴f（﹣x）＝f（x），即x2+ax+4＝x2﹣ax+4，即a＝﹣a，解得a＝0故答案为：0．14．设x，y∈R且x+y＝5，则3x+3y的最小值是．解：由3x＞0，3y＞0，∴3x+3y≥2 ＝18所以3x+3y的最小值为18故答案为：15．已知sinα+cosβ＝1，cosα+sinβ＝0，则sin（α+β）＝．解：sinα+cosβ＝1，两边平方可得：sin2α+2sinαcosβ+cos2β＝1，①，cosα+sinβ＝0，两边平方可得：cos2α+2cosαsinβ+sin2β＝0，②，由①+②得：2+2（sinαcosβ+cosαsinβ）＝1，即2+2sin（α+β）＝1，∴2sin（α+β）＝﹣1．∴sin（α+β）＝．故答案为：．三、解答题（共4小题，每小题10分，共40分．）16．已知函数f（x）＝2sinωx cosωx+cos2ωx（ω＞0）的最小正周期为π．（1）求ω的值；（2）求f（x）的单调递增区间．解：f（x）＝2sinωx cosωx+cos2ωx，＝sin2ωx+cos2ωx，＝，由于函数的最小正周期为π，则：T＝，解得：ω＝1．（2）由（1）得：函数f（x）＝，令（k∈Z），解得：（k∈Z），所以函数的单调递增区间为：[]（k∈Z）．17．已知在△ABC中，c＝2b cos B，．（1）求B的大小；（2）若，求BC边上的中线长度．解：（1）∵c＝2b cos B，由正弦定理可得sin C＝2sin B cos B，即sin C＝sin2B，∵，∴当C＝2B时，B＝，即C+B＝π，不符合题意，舍去，∴C+2B＝π，∴2B＝，即B＝．（2）∵面积为，∵A＝B＝，∴a＝b，∴S△ABC＝ab sin C＝a2×＝，解得a＝，由题意，如图，设BC边上的中线为AD，则由余弦定理可得AD2＝AC2+CD2﹣2×AC×CD×cos＝3++×＝，可得AD＝．18．已知函数f（x）＝．（1）若a＝0，求y＝f（x）在（1，f（1））处的切线方程；（2）若函数f（x）在x＝﹣1处取得极值，求f（x）的单调区间，以及最大值和最小值．解：（1）f（x）＝的导数为f′（x）＝＝，可得y＝f（x）在（1，1）处的切线的斜率为﹣4，则y＝f（x）在（1，f（1））处的切线方程为y﹣1＝﹣4（x﹣1），即为y＝﹣4x+5；（2）f（x）＝的导数为f′（x）＝，由题意可得f′（﹣1）＝0，即＝0，解得a＝4，可得f（x）＝，f′（x）＝，当x＞4或x＜﹣1时，f′（x）＞0，f（x）递增；当﹣1＜x＜4时，f′（x）＜0，f（x）递减．函数y＝f（x）的图象如右图，当x→﹣∞，y→0；x→+∞，y→0，则f（x）在x＝﹣1处取得极大值1，且为最大值1；在x＝4处取得极小值﹣，且为最小值﹣．所以f（x）的增区间为（﹣∞，﹣1），（4，+∞），减区间为（﹣1，4）；f（x）的最大值为1，最小值为﹣．19．某学校组织一项益智游戏，要求参加该益智游戏的同学从8道题目中随机抽取3道回答，至少答对2道可以晋级．已知甲同学能答对其中的5道题．（1）设甲同学答对题目的数量为X，求X的分布列及数学期望：（2）求甲同学能晋级的概率．解：（1）甲同学答对题目的数量X的可能取值为0，1，2，3，P（X＝0）＝＝，P（X＝1）＝＝，P（X＝2）＝＝，P（X＝3）＝＝，∴X的分布列为：X 0 1 2 3 PE（X）＝＝．（2）甲同学能晋级的概率为：P＝P（X＝2）+P（X＝3）＝＝．。

2020-2021学年北京市海淀区中关村中学高二（下）期末数学试卷1.（单选题，5分）若集合A={x|0＜x＜1}，B={x|x2-2x＜0}，则下列结论中正确的是（）A.A∩B=∅B.A∪B=RC.A⊆BD.B⊆A2.（单选题，5分）在复平面内，复数z= 1+2ii对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.（单选题，5分）设甲、乙两个厂家生产同一款产品的市场占有率分别为34和14，且甲、乙两厂生产该款产品的合格率分别为80%和90%．则从市场上买到一个合格品的概率为（）A. 740B. 910C. 3340D. 784.（单选题，5分）双曲线x2a2−y2=1（a＞0）的一条渐近线的方程为2x+y=0，则双曲线的实轴长为（）A.1B. 12C.2D. 145.（单选题，5分）盒中有10只螺丝钉，其中有3只是坏的，现从盒中随机地抽取4个，那么概率是310的事件为（）A.恰有1只是坏的B.4只全是好的C.恰有2只是好的D.至多有2只是坏的6.（单选题，5分）设函数f（x）=cosx+bsinx（b为常数），则“b=0”是“f（x）为偶函数”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件7.（单选题，5分）中长跑是一项对学生身体锻炼价值较高的运动项目，在某校的一次中长跑比赛中，全体参赛学生的成绩近似地服从正态分布N（80，100），已知成绩在90分以上（含90分）的学生有32名．则参赛的学生总数约为（）（参考数据：P（μ-σ＜ξ≤μ+σ）≈0.683，P（μ-2σ＜ξ≤μ+2σ）≈0.954，P（μ-3σ＜ξ≤μ+3σ）≈0.997）A.208B.206C.204D.2028.（单选题，5分）已知函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象如图所示，将该函数的图象向左平移t（t＞0）个单位长度，得到函数y=f（x）的图象．若函数y=f（x）的图象关于原点对称，则t的最小值（）A. π12B. π6C. π4D. π39.（单选题，5分）期末考试结束后，某班要安排6节课进行试卷讲评，要求课程表中要排入语文、数学、英语、物理、化学、生物共六节课，如果第一节课只能排语文或数学，最后一节不能排语文，则不同的排法共有（）A.192种B.216种C.240种D.288种10.（单选题，5分）在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别为BD1，B1C1的中点，点P在正方体的表面上运动，且满足MP⊥CN，则下列说法正确的是（）A.点P可以是棱BB1的中点B.线段MP的最大值为√32C.点P的轨迹是正方形D.点P轨迹的长度为2+√511.（填空题，5分）二项式（1+x）n的展开式中x2的系数为15，则n=___ （用数字作答）．12.（填空题，5分）数列{a n}是公差为-2的等差数列，记{a n}的前n项和为S n，且a1，a3，a4成等比数列，则a1=___ ；S n=___ ．13.（填空题，5分）函数f（x）=xsinx+cosx的一个单调递减区间是 ___ ．14.（填空题，5分）已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，过点M（-1，4）作y轴的垂线交抛物线C于点A，且满足|AF|=|AM|，则抛物线C的方程为 ___ ；设直线AF交抛物线C于另一点B，则点B的纵坐标为 ___ ．15.（填空题，5分）已知函数f（x）=2x2-e|x|，关于函数f（x）给出下列命题：① 函数f（x）为偶函数；② 函数f（x）在区间[1，1]单调递增；2③ 函数f（x）存在两个零点；④ 函数f（x）存在极大值和极小值．其中正确命题的序号是 ___ ．16.（填空题，5分）炎炎夏日，冰激凌成为非常受欢迎的舌尖上的味道．某商店统计了一款冰激凌6月份前6天每天的供应量和销售量，结果如表：6月1日6月2日6月3日6月4日6月5日6月6日供应量90 100 90 100 90 100销售量80 90 85 80 90 85×100%，（n≥1，n∈N）来评价从6月t 30．用销售指数P(t，n)=W(t)+W(t+1)+⋯+W(t+n−1)V(t)+V(t+1)+⋯+V(t+n−1)日开始连续n天的冰激凌的销售情况．当n=1时，P（t，1）表示6月t日的日销售指数．给出下列四个结论：① 在6月1日至6日这6天中，P（4，1）最小，P（5，1）最大；② 在6月1日至6日这6天中，日销售指数越大，说明该天冰激凌的销售量越大；③ P（1，3）=P（4，3）；④ 如果6月7日至12日冰激凌每天的供应量和销售量与6月1日至6日每天的供应量和销售量对应相等，则对任意t∈{1，2，3，4，5，6，7}，都有P（t，6）=P（1，12）．其中所有正确结论的序号是___ ．17.（问答题，12分）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bsinA=√3acosB．（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）在以下三组条件中选择一组作为已知条件，使三角形存在且唯一确定，并求其面积．① b=3，sinC=2sinA；② b=√21，a=5；③ AB边上的高ℎ=√3，b=2．18.（问答题，13分）在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为直角梯形，BC || AD，∠ADC=90°，AD=1，E为线段AD的中点．PE⊥底面ABCD，点F是棱长PC的中点，平面BEF BC=CD= 12与棱PD相交于点G．（Ⅰ）求证：BE || FG；，求直线PB与平面BEF所成角的正弦值．（Ⅱ）若PC与AB所成的角为π319.（问答题，15分）高铁和航空的飞速发展不仅方便了人们的出行，更带动了我国经济的巨大发展．据统计，在2018年这一年内从A市到B市乘坐高铁或飞机出行的成年人约为50万人次．为了解乘客出行的满意度，现从中随机抽取100人次作为样本，得到如表（单位：人次）：满意度老年人中年人青年人乘坐高铁乘坐飞机乘坐高铁乘坐飞机乘坐高铁乘坐飞机（2）在2018年从A市到B市乘坐高铁的所有成年人中，随机选取2人次，记其中老年人出行的人次为X．以频率作为概率，求X的分布列和数学期望；（3）如果甲将要从A市出发到B市，那么根据表格中的数据，你建议甲是乘坐高铁还是飞机？并说明理由．20.（问答题，15分）已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的长轴长为4，离心率为√22，点P在椭圆C上．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）已知点M（4，0），点N（0，n），若以PM为直径的圆恰好经过线段PN的中点，求n的取值范围．21.（问答题，15分）已知函数f（x）=（1+ ax）e x，其中a＞0．（Ⅰ）求函数f（x）的零点；（Ⅱ）讨论y=f（x）在区间（-∞，0）上的单调性；（Ⅲ）在区间（-∞，- a2]上，f（x）是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由．。

北京市海淀区八一学校2020-2021学年高二数学下学期期末考试试题（含解析）一、选择题(共10小题，每小题4分，共40分).1．若集合A＝{x|1＜x＜3}，B＝{x|﹣1＜x＜2}，则A∩B＝（）A．{x|﹣1＜x＜3} B．{x|﹣1＜x＜1} C．{x|1＜x＜2} D．{x|2＜x＜3} 2．下列函数中，值域为〖0，+∞）的是（）A．y＝2x B．C．y＝tanx D．y＝cosx3．实数a，b，c在数轴上对应的点如图所示，则下列式子中正确的是（）A．a+c＜b+c B．a﹣c＞b﹣c C．ac＞bc D．4．已知a＝3﹣2，b＝log0.42，c＝log23，则（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．b＞c＞a D．c＞a＞b5．已知f（x）是R上的奇函数，当x＞0时，f（x）＝log x，则f（x）＞0的解集是（）A．（﹣1，0）B．（0，1）C．（﹣∞，﹣1）∪（0，1）D．（﹣1，0）∪（0，1）6．某学习小组有3名男生和2名女生，现从该小组中先后随机抽取两名同学进行成果展示，则在抽到第1个同学是男生的条件下，抽到第2个同学也是男生的概率为（）A．B．C．D．7．“lna＞lnb”是“3a＞3b”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件8．已知曲线：①y2＝x②x2+y2＝1③y＝x3④x2﹣y2＝1．上述四条曲线中，满足：“若曲线与直线有且仅有一个公共点，则他们必相切”的曲线条数是（）A．1 B．2 C．3 D．49．已知函数f（x）＝给出下列三个结论：①当a＝﹣2时，函数f（x）的单调递减区间为（﹣∞，1）；②若函数f（x）无最小值，则a的取值范围为（0，+∞）；③若a＜1且a≠0，则∃b∈R，使得函数y＝f（x）﹣b恰有3个零点x1，x2，x3，且x1x2x3＝﹣1．其中，所有正确结论的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．310．已知函数f（x）在定义域（0．+∞）上是单调函数，若对于任意x∈（0，+∞），都有f（f（x）﹣）＝2，则f（）的值是（）A．5 B．6 C．7 D．8二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分.11．已知函数f（x）＝，那么f（f（﹣2））＝．12．（2x+）4的展开式中的常数项为．13．小明计划周六去长沙参加会议，有飞机和火车两种交通工具可供选择，它们能准时到达的概率分别为0.95、0.8，若当天天晴则乘飞机，否则乘火车，天气预报显示当天天晴的概率为0.8．则小明能准时到达的概率为；若小明当天准时到达，则他是乘火车去的概率为．（结果保留两位小数）14．不等式的解集为．15．已知集合A＝{a1，a2，…，a n，n∈N*且n＞2}，令T A＝{x|x＝a i+a j}，a i∈A，a j∈A，1≤i≤j≤n，card（T A）表示集合T A中元素的个数．①若A＝{2，4，8，16}，则card（T A）＝；②若a i+1﹣a i＝c（1≤i≤n﹣1，c为非零常数），则card（T A）＝．三、解答题：本大题共4小题，共40分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16．甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一球，约定甲先投且先投中者获胜，一直到有人获胜或每人都已投球3次时投篮结束．设甲每次投篮投中的概率为，乙每次投篮投中的概率为，且各次投篮互不影响．（Ⅰ）求甲获胜的概率；（Ⅱ）求投篮结束时甲的投球次数ξ的分布列和期望．17．已知函数f（x）＝x3﹣3x2，g（x）＝ax2﹣4．（1）求函数f（x）的极值；（2）若对任意的x∈〖0，+∞），都有f（x）≥g（x），求实数a的取值范围．18．某社区超市购进了A，B，C，D四种新产品，为了解新产品的销售情况，该超市随机调查了15位顾客（记为a i，i＝1，2，3，…，15）购买这四种新产品的情况，记录如下（单位：件）：a1a2a3a4a5a6a7a8a9a10a11a12a13a14a15顾客产品A 1 1 1 1 1B 1 1 1 1 1 1 1 1C 1 1 1 1 1 1 1D 1 1 1 1 1 1（Ⅰ）若该超市每天的客流量约为300人次，一个月按30天计算，试估计产品A的月销售量（单位：件）；（Ⅱ）为推广新产品，超市向购买两种以上（含两种）新产品的顾客赠送2元电子红包．现有甲、乙、丙三人在该超市购物，记他们获得的电子红包的总金额为X，求随机变量X 的分布列和数学期望；（Ⅲ）若某顾客已选中产品B，为提高超市销售业绩，应该向其推荐哪种新产品？（结果不需要证明）19．已知函数f（x）＝x2﹣alnx﹣x，其中常数a≠0．（Ⅰ）若函数f（x）为单调函数，求实数a的最大值；（Ⅱ）如果函数f（x）只有一个零点，求实数a的取值范围．▁▃▅▇█参 *考 *答 *案█▇▅▃▁一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合愿要求的.1．若集合A＝{x|1＜x＜3}，B＝{x|﹣1＜x＜2}，则A∩B＝（）A．{x|﹣1＜x＜3} B．{x|﹣1＜x＜1} C．{x|1＜x＜2} D．{x|2＜x＜3} 解：∵集合A＝{x|1＜x＜3}，B＝{x|﹣1＜x＜2}，∴A∩B＝{x|1＜x＜2}．故选：C．2．下列函数中，值域为〖0，+∞）的是（）A．y＝2x B．C．y＝tanx D．y＝cosx解：A，y＝2x的值域为（0，+∞），故A错B，y＝的定义域为〖0，+∞），值域也是〖0，+∞），故B正确．C，y＝tanx的值域为（﹣∞，+∞），故C错D，y＝cosx的值域为〖﹣1，+1〗，故D错．故选：B．3．实数a，b，c在数轴上对应的点如图所示，则下列式子中正确的是（）A．a+c＜b+c B．a﹣c＞b﹣c C．ac＞bc D．解：由数轴可以看出a＜b＜0＜c．对于A，∵a＜b，∴a+c＜b+c，故A正确；对于B，∵a＜b，∴a﹣c＜b﹣c，故B错误；对于C，∵a＜b，c＞0，∴ac＜bc，故C错误；对于D，∵a＜b＜0＜c，∴＞0＞，故D错误．故选：A．4．已知a＝3﹣2，b＝log0.42，c＝log23，则（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．b＞c＞a D．c＞a＞b解：0＜3﹣2＜1，log0.42＜log0.41＝0，log23＞log22＝1，∴c＞a＞b．故选：D．5．已知f（x）是R上的奇函数，当x＞0时，f（x）＝log x，则f（x）＞0的解集是（）A．（﹣1，0）B．（0，1）C．（﹣∞，﹣1）∪（0，1）D．（﹣1，0）∪（0，1）解：因为f（x）是R上的奇函数，当x＞0时，f（x）＝log x，当x＜0时，﹣x＞0，则f（﹣x）＝﹣f（x）＝log（﹣x），所以f（x）＝﹣log（﹣x），又f（0）＝0，则由f（x）＞0可得，或，解可得0＜x＜1或x＜﹣1．故选：C．6．某学习小组有3名男生和2名女生，现从该小组中先后随机抽取两名同学进行成果展示，则在抽到第1个同学是男生的条件下，抽到第2个同学也是男生的概率为（）A．B．C．D．解：某学习小组有3名男生和2名女生，现从该小组中先后随机抽取两名同学进行成果展示，设事件A表示“抽到的第1个同学是男生”，事件B表示“抽到的第2个同学也是男生”，则P（A）＝，P（AB）＝＝，则在抽到第1个同学是男生的条件下，抽到第2个同学也是男生的概率：P（B|A）＝＝＝．故选：C．7．“lna＞lnb”是“3a＞3b”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解：“3a＞3b”⇔“a＞b”，“lna＞lnb”⇔“a＞b＞0”，∵“a＞b＞0”是“a＞b”的充分而不必要条件，故“lna＞lnb”是“3a＞3b”的充分而不必要条件，故选：A．8．已知曲线：①y2＝x②x2+y2＝1③y＝x3④x2﹣y2＝1．上述四条曲线中，满足：“若曲线与直线有且仅有一个公共点，则他们必相切”的曲线条数是（）A．1 B．2 C．3 D．4解：①当直线和抛物线y2＝x对称轴平行时，曲线与直线有且仅有一个公共点，但此时直线不是切线，故①错误，②当直线和圆x2+y2＝1只有一个公共点时，直线与圆相切，故②正确，③当直线和x轴平行时，直线和y＝x3只有一个交点，但此时直线和曲线不相切，故③错误，④当直线和双曲线x2﹣y2＝1的渐近线平行时，直线和双曲线有一个交点，但此时直线和双曲线不相切，故④错误，故正确的只有②，故选：A．9．已知函数f（x）＝给出下列三个结论：①当a＝﹣2时，函数f（x）的单调递减区间为（﹣∞，1）；②若函数f（x）无最小值，则a的取值范围为（0，+∞）；③若a＜1且a≠0，则∃b∈R，使得函数y＝f（x）﹣b恰有3个零点x1，x2，x3，且x1x2x3＝﹣1．其中，所有正确结论的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3解：对于①：当a＝﹣2时，由0＜e﹣2＜1，f（0）＝1＜f（e﹣2）＝|lne﹣2|＝2，所以函数f（x）在区间（﹣∞，1）上不单调递减，故①错误；对于②：若函数可转换为，画出函数的图象，如图所示：所以函数f（x）无最小值，则a的取值范围为（0，+∞）．故②正确．对于③令y＝f（x）﹣b＝0，结合函数我的图象，不妨设x1＜0＜x2＜1＜x3，则ax1+1＝﹣lnx2＝lnx3＝b，所以，，所以，令＝﹣1，即b＝﹣a+1，当a＜0时，b＝﹣a+1＞1，故y＝f（x）﹣b＝0有三个零点，且x1•x2•x3＝﹣1，符合题意，当0＜a＜1时，0＜b＝﹣a+1＜1，故y＝f（x）﹣b＝0有三个零点，且x1•x2•x3＝﹣1，符合题意，故③正确．故正确答案为：②③，故选：C．10．已知函数f（x）在定义域（0．+∞）上是单调函数，若对于任意x∈（0，+∞），都有f（f（x）﹣）＝2，则f（）的值是（）A．5 B．6 C．7 D．8解：∵函数f（x）在定义域（0，+∞）上是单调函数，且f（f（x）﹣）＝2，∴f（x）﹣为一个常数，令这个常数为n，则有f（x）﹣＝n，①f（n）＝2，②由①得f（x）＝n+，③②代入③，得＝2，解得n＝1，因此f（x）＝1+，所以f（）＝6．故选：B．二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分.11．已知函数f（x）＝，那么f（f（﹣2））＝8 ．解：根据题意，函数f（x）＝，则f（﹣2）＝2，则f（f（﹣2））＝f（2）＝2×22﹣4＝8，故答案为：8．12．（2x+）4的展开式中的常数项为24 ．解：由通项公式得：T r+1＝C（2x）4﹣r（）r＝24﹣r C x4﹣2r，令r＝2，得展开式的常数项为：24﹣2C＝24，故答案为：2413．小明计划周六去长沙参加会议，有飞机和火车两种交通工具可供选择，它们能准时到达的概率分别为0.95、0.8，若当天天晴则乘飞机，否则乘火车，天气预报显示当天天晴的概率为0.8．则小明能准时到达的概率为0.92 ；若小明当天准时到达，则他是乘火车去的概率为0.17 ．（结果保留两位小数）解：记“小明能准时到达”为事件A，“小明乘坐火车去”为事件B，则小明能准时到达的概率为P（A）＝0.8×0.95+0.2×0.8＝0.92，P（AB）＝0.2×0.8＝0.16，若小明当天准时到达，则他是乘火车去的概率为：P（B|A）＝＝≈0.17．故答案为：0.92，0.17．14．不等式的解集为（1，+∞）．解：不等式，当x＞1时，原不等式等价为x﹣1＞lnx，由f（x）＝lnx﹣x+1的导数为f′（x）＝﹣1，当x＞1时，f′（x）＜0，f（x）递减；可得f（x）＜f（1）＝0，即有lnx＜x﹣1；当0＜x＜1时，f′（x）＞0，f（x）递增，可得f（x）＜f（1），即为lnx＜x﹣1；这与0＜x＜1时，原不等式等价为x﹣1＜lnx，矛盾，综上可得，原不等式的解集为（1，+∞），故答案为：（1，+∞）．15．已知集合A＝{a1，a2，…，a n，n∈N*且n＞2}，令T A＝{x|x＝a i+a j}，a i∈A，a j∈A，1≤i≤j≤n，card（T A）表示集合T A中元素的个数．①若A＝{2，4，8，16}，则card（T A）＝ 6 ；②若a i+1﹣a i＝c（1≤i≤n﹣1，c为非零常数），则card（T A）＝2n﹣3 ．解：①若A＝{2，4，8，16}，则T A＝{6，10，18，12，20，24}，∴card（T A）＝6；②若a i+1﹣a i＝c（ 1≤i≤n﹣1，c为非零常数），说明数列a1，a2，…，a n，构成等差数列，取特殊的等差数列进行计算，取A＝{1，2，3，…，n}，则T A＝{3，4，5，…，2n﹣1}，由于（2n﹣1）﹣3+1＝2n﹣3，∴T A中共2n﹣3个元素，利用类比推理可得若a i+1﹣a i＝c（ 1≤i≤n﹣1，c为非零常数），则card（T A）＝2n﹣3．故答案为：6；2n﹣3．三、解答题：本大题共4小题，共40分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16．甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一球，约定甲先投且先投中者获胜，一直到有人获胜或每人都已投球3次时投篮结束．设甲每次投篮投中的概率为，乙每次投篮投中的概率为，且各次投篮互不影响．（Ⅰ）求甲获胜的概率；（Ⅱ）求投篮结束时甲的投球次数ξ的分布列和期望．解：（1）设A k，B k分别表示甲、乙在第k次投篮投中，则P（A k）＝，P（B k）＝，k∈（1，2，3）．记“甲获胜”为事件C，由互斥事件有一个发生的概率与相互独立事件同时发生的概率计算公式知：P（C）＝P（A1）+P（）+P（）＝+＝＝．﹣﹣﹣﹣（2）ξ的所有可能为：1，2，3，由独立性知：P（ξ＝1）＝P（A1）+P（）＝＝，P（ξ＝2）＝P（）+P（）＝+（）2（）2＝，P（ξ＝3）＝P（）＝（）2（）2＝，综上知，ξ的分布列为：ξ 1 2 3P﹣﹣﹣﹣﹣﹣∴Eξ＝＝（次）﹣﹣﹣﹣﹣﹣∴甲获胜的概率为；甲的投篮次数的期望为次．﹣﹣﹣﹣﹣﹣17．已知函数f（x）＝x3﹣3x2，g（x）＝ax2﹣4．（1）求函数f（x）的极值；（2）若对任意的x∈〖0，+∞），都有f（x）≥g（x），求实数a的取值范围．解：（1）f′（x）＝3x2﹣6x，令f′（x）＝0，得x＝0或x＝2，f′（x），f（x）随x变化情况如下表：x （﹣∞，0） 0 （0，2） 2 （2，+∞） f′（x）+ 0 ﹣ 0 + f（x）↑极大值↓极小值↑所以，当x＝0时，f（x）有极大值0，当x＝2时，f（x）有极小值﹣4．（2）令F（x）＝f（x）﹣g（x）＝x3﹣（3+a）x2+4，F′（x）＝3x2﹣2（3+a）x，由F′（x）＝0，得：x＝0或x ＝，当≤0时，即a≤﹣3时F′（x）≥0在（0，+∞）上恒成立，所以此时F（0）＝4为最小值，所以F（x）≥0恒成立，即f（x）≥g（x）．当＞0，即a＞﹣3时，x 0 （0，）（，+∞）f′（x） 0 ﹣ 0 +f（x）↓极小值↑所以当x ＝时，F（x）取得最小值，若要满足f（x）≥g（x），则F （）≥0，即〖〗3﹣（3+a）〖〗2+4＝﹣（3+a）3+4≥0，解得a≤0，所以﹣3＜a≤0，综上所述，a的取值范围是a≤0．18．某社区超市购进了A，B，C，D四种新产品，为了解新产品的销售情况，该超市随机调查了15位顾客（记为a i，i＝1，2，3，…，15）购买这四种新产品的情况，记录如下（单位：件）：a1a2a3a4a5a6a7a8a9a10a11a12a13a14a15顾客产品A 1 1 1 1 1B 1 1 1 1 1 1 1 1C 1 1 1 1 1 1 1D 1 1 1 1 1 1（Ⅰ）若该超市每天的客流量约为300人次，一个月按30天计算，试估计产品A的月销售量（单位：件）；（Ⅱ）为推广新产品，超市向购买两种以上（含两种）新产品的顾客赠送2元电子红包．现有甲、乙、丙三人在该超市购物，记他们获得的电子红包的总金额为X，求随机变量X 的分布列和数学期望；（Ⅲ）若某顾客已选中产品B，为提高超市销售业绩，应该向其推荐哪种新产品？（结果不需要证明）解：（I）由题意可得：5××30＝3000（件）．因此产品A的月销售量约为3000（件）．（II ）一位顾客购买两种以上（含两种）新产品的概率＝＝．现有甲、乙、丙三人在该超市购物，记他们获得的电子红包的个数为ξ，则ξ～B（3，）．P（ξ＝k ）＝．随机变量X＝2ξ的分布列为：X 0 2 4 6PEX＝＝．（III）某顾客已选中产品B，为提高超市销售业绩，应该向其推荐D种新产品．19．已知函数f（x）＝x2﹣alnx﹣x，其中常数a≠0．（Ⅰ）若函数f（x）为单调函数，求实数a的最大值；（Ⅱ）如果函数f（x）只有一个零点，求实数a的取值范围．解：（Ⅰ）根据题意，函数f（x）＝x2﹣alnx﹣x，因为，其中x＞0因为f（x）是单调函数，所以f'（x）≥0或f'（x）≤0对x＞0成立当f'（x）≥0对x＞0成立时，，即2x2﹣x﹣a≥0对x＞0成立所以2x2﹣x≥a，根据二次函数的性质得到，当f'（x）≤0对x＞0成立时，，即2x2﹣x﹣a≤0对x＞0成立所以2x2﹣x≤a，根据二次函数的性质这种情形不成立；综上，，所以实数a的最大值为．（Ⅱ）根据题意，由（Ⅰ），当时，函数f（x）是单调递增函数，而f（1）＝0，则函数f（x）只有一个零点，当时，令，得，当时，0＜x1＜x2所以x，f'（x），f（x）的变化情况如下表x（0，x1）x1（x1，x2）x2（x2，+∞）f'（x）+ 0 ﹣0 + f（x）↗极大↘极小↗因为而，所以注意到x1＜x2＜1所以，所以所以在x∈（0，x2）时，f（x）≤f（x1）＜0，所以函数f（x）在区间（0，x2）上没有零点，而当x→+∞时，f（x）→+∞，所以函数f（x）在区间（x2，+∞）上有一个零点，当a＞0，其中（舍）所以x，f'（x），f（x）的变化情况如下表x（0，x2）x2（x2，+∞）f'（x）﹣0 +f（x）↘极小↗当时，即a＝1时，f（x2）＝0函数f（x）的唯一的一个极小值，即最小值为f（1）＝0，符合题意，当时，即a＞1时，则f（x2）＜f（1）＝0，而当x→+∞时，f（x）→+∞，所以函数f（x）在区间（x2，+∞）上还有一个零点，矛盾当，即a＜1时则f（x2）＜f（1）＝0，而此时x→0时，f（x）→+∞，所以函数f（x）在区间（0，x2）上还有一个零点，矛盾，综上，实数a的取值范围是{a|a＜0或a＝1}．。