江西省八所重点高中2012届高三4月高考模拟联考数学(理)试题

江西省八所重点中学2015届高三联考数学（理科）试卷一、选择题(本题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)．1. 已知集合{-=2x x A }02≤-x ，{==y x B })1ln(x -，则=⋂B A （ ）A ．)21(， B ．]21(， C ．)11[，- D ．)11(，- 2. 如果iaiz +-=11为纯虚数，则实数a 等于（ ） A.0 B. -1或1 C. -1 D. 13. 在△ABC 中, AB AC BA BC ⋅=⋅“” 是 AC BC =“”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 4.数列{n a }的前n 项和)(322+∈-=N n n n S n ，若p-q=5,则q p a a -= （ ）A. 10B. 15C. -5D.20 5.对任意非零实数a 、b ,若a b ⊗的运算原理如图所示，则12)31(4log -⊗的值为（ ）A.31 B.1 C.34D.26.在某次联考数学测试中，学生成绩ξ服从正态分布()()2100,,0σσ>，若ξ在()80,120内的概率为0.8，则落在()0,80内的概率为（ ）A. 0.05B. 0.1C. 0.15D.0.27.函数()sin (0,0)f x A x A ωω=>>的部分图象如图所示， 则`)1(f +)2(f +)3(f ++)2015(f 的值为（ ）8.若)1(x +8822107)21(x a x a x a a x ++++=- ，则721a a a +++ 的值是（ ） A ．-2 B.-3 C.125 D.-1319.已知圆1C ：0222=++y cx x ，圆2C ：0222=+-y cx x ，椭圆C ：22221x y a b+=，若圆12,C C 都在椭圆内，则椭圆离心率的范围是（ ）A. )1,21[B.]21,0(C. )1,22[D. ]22,0( 10.定义在R 上的函数)(x f 对任意1x 、)(212x x x ≠都有0)()(2121<--x x x f x f ，且函数(1)y f x =-的图象关于(1,0)成中心对称，若s ，t 满足不等式22(2)(2)f s s f t t -≤--．则当14s ≤≤时，t s st +-2的取值范围是（ ） A ．21,3[-- B ．]21,3[-- C ．)21,5[-- D ．]21,5[--11.正三角形ABC 的边长为2，将它沿高AD 翻折，使点B 与点C 面体ABCD 外接球表面积为（ ） A ．π7 B ．π19 C ．π767 D ．π1961912.在平面直角坐标系中，点P 是直线21:-=x l 上一动点，定点1,02F ⎛⎫⎪⎝⎭,点Q 为PF 的中点，动点M 满足0=⋅PF MQ ,OF MP λ=)(R ∈λ,过点M 作圆2)3(22=+-y x 的切线，切点分别为T S ,,则MT MS ⋅的最小值是（ ） A ．53 B ． 935 C ．310 D ．31-二、填空题（本题共4个小题，每小题5分，共20分） 13.计算：⎰-333)cos (dx x x = .14.已知点(,)(0,4)(2,0)P x y A B -到和的距离相等，则24x y+的最小值为 .15.如图，圆O 与x 轴的正半轴的交点为A ，点C 、B 在圆O 上，且点C 位于第一象限，点B 的坐标为（135,1312-），A O C α∠=．若1BC =2sin cos 222ααα-的值为 .16.用)(n g 表示自然数n 的所有因数中最大的那个奇数，例如:9的因数有1,3,9,(9)9g =，10的因数有1,2,5,10,(10)5g =,那么)12()3()2()1(2015-++++g g g g = .三、解答题(本题共6小题，共70分，解答题应写出文字说明、证明过程和演算步骤．)17.（本小题12分）已知x x f 2sin2)(π=，集合M =(){}2,0x f x x =>，把M 中的元素从小到大依次排成一列，得到数列{}n a ，*∈N n . （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）记211+=n n a b ，设数列{}n b 的前n 项和为n T ，求证41<n T .18. (本题12分)如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是直角梯形，90DAB ∠=，//AD BC ，AD ⊥侧面PAB ，△PAB 是等边三角形，2DA AB ==， 12BC AD =，E 是线段AB 的中点．（1）求证：PE CD ⊥；（2）求PC 与平面PDE 所成角的正弦值．19. (本题12分)已知集合{1,2,3,4}A =，函数()f x 的定义域、值域都是A ，且对于任意i A ∈，i i f ≠)(. 设4321,,,a a a a 是4,3,2,1的任意一个排列，定义数表12341234()()()()a a a a f a f a f a f a ⎛⎫⎪⎝⎭，若两个数表的对应位置上至少有一个数不同，就说这是两张不同的数表.（1）求满足条件的不同的数表的张数;(2)若i a i =(4,3,2,1=i )，从所有数表中任意抽取一张，记ξ为表中)(i f a i >的个数，求ξ的分布列及期望.20．(本题12分)已知椭圆C:12222=+by a x （0>>b a ）的离心率e =21，且过点M （1，23）（1）求椭圆C 的方程；（2）椭圆C 长轴两端点分别为A 、B,点P 为椭圆上异于A 、B 的动点，定直线4=x 与直线PA 、PB 分别交于M 、N 两点，又E(7，0)，过 E 、M 、N 三点的圆是否过x 轴上不同于点E 的定点？若经过，求出定点坐标；若不经过，请说明理由.21. (本题12分)已知x ax x x f 2sin)(2π++= )1,0(∈x（1）若)(x f 在定义域内单调递增，求a 的取值范围;（2）当a =-2时，记)(x f 得极小值为)(0x f 。

1高三年级数学（理）第八次月考卷一、选择题（每小题5分，共50分）2．两个命题p ：对任意x ∈R ，都有3sin co s2xx +≤；q ：若a ，b ，c 为实数，则b 2=ac 是a ，b ，c 成等比数列的充要条件，则（ ） A ．p 且q 为真 B ．p 或q 为假 C ．“非p ”且q 为真 D ．p 且“非q ”为真4．已知α，β表示两个平面，a ，b 表示两条直线，则下列正确的是（ ）A ．//,//,////a b a b αβαβ⇒B ．//,,a b a b αβαβ⊥⊥⇒⊥C ．,//,//a b a b αβαβ⊥⇒⊥D ．,,a b a b αβαβ⊥⊥⊥⇒⊥5．下列框图中，若输出的结果为919，则①中应填入（ ）A ．i ≥9B ．i ≥10C ．i ≤9D ．i ≤106．已知数列｛a n ｝为等差数列，若11101a a <-，且它们的前n 项和为S n 有最大值，则使得S n＜0的n 的最小值为（ ） A ．11 B ．19C ．20D ．217．若2*31(1)()()nx x x n N x+++∈的展开式中没有常数项，则n 的可能取值是（ ）A ．7B ．8C ．9D ．108．已知F 1、F 2是双曲线22221(0,0)x y a b ab-=>>的左右焦点，过F 1的直线与左支交于A 、B 两点，若220,4||3||A B A F A B A F ⋅==，则该双曲线的离心率是为（ ）A ．3B ．3C ．2D ．210、已知矩形ABCD 中，AB ＝2，AD ＝4，动点P 在以点C 为圆心，1为半径的圆上，若(,)A P A B A D R λμλμ=+∈，则2λμ+的取值范围是（ ）A ．[33-+B ．[3322-+C ．[331010-+D ．[331010-+二、填空题（每空5分，共25分）11．正弦曲线y=sinx 与余弦曲线y=cosx 及直线x=0和直线x=π所围成区域的面积为 。

数学（文科）答案二.填空题11.40 12.20 13.4 14. .①)'34(3R π.42R π= ②球的体积函数的导数等于球的表面积函数。

15. 7-三.16．解：(1)表中的①的数据为6，②的数据为0.35。

………………………２分 作图………………………………………4分(2)记身高在180～185的人编号,,,,,a b c d e f身高在185～190的人编号1,2,3 从中抽取2人的所有可能情况为：(,),(,),(,),(,),(,),(,1),(,2),(,3)a b a c a d a e a f a a a (,),(,),(,),(,),(,1),(,2),(,3)b c b d b e b f b b b (,),(,),(,),(,1),(,2),(,3)c d c e c f c c c (,),(,),(,1),(,2),(,3)d e d f d d d (,),(,1),(,2),(,3)e f e e e (,1),(,2),(,3)f f f (1,2),(1,3)(2,3)身高在185cm 以上的有21种，故概率为2173612P == ………………………………12分 17解：(1)1)(=x f m x x -+2c o s 32s i n2sin(2)3x m π=+-………………………………３分max ()2,f x m =-所以1m =，………………………………４分令222()232k x k k Z πππππ-+≤+≤+∈得到单调增区间为5(,)1212k k k Z ππππ-+∈………………………………６分(2)因为()1f B =，则2sin(2)113B π+-=，6B π=…………８分b c =+sin sin A B C =+15sin()26A A π=+-……10分1sin()62A π-=，3A π=，所以2C π=，故ABC ∆为直角三角形……………………12分18.解：设原正六边形中，,'ACBE O DF BE O ==，由正六边形的几何性质可知OA OC ==,AC BE DF BE ⊥⊥………2分222(1)6OA OC AC OA OC OA BCDE OA OB OA ABEF ⎫⎫+==⇒⊥⇒⊥⎪⎬⊥⎬⎭⎪⊂⎭面面ABEF BCDE ⇒⊥面面…6分（2）由,'BE AOC BE FO D ⊥⊥面面知，面AOC ∥面'FO D ，故'AOC FO D -是侧棱长（高）为2的直三棱柱，且三棱锥'B AOC E FO D --和为大小相同的三棱锥…9分'2ABCDEF B AOC AOC FO D V V V --∴=+22111211322=⋅⋅⋅+⋅………11分52=………12分 19.解：（1）1a =时1()ln 1(0)x e F x x x x -=--> 则22(1)1(1)(1)'()x x x xe e x e F x x x x----=-=………3分 令'()0F x ≥有：0()1x x ≤≥舍去或；令'()001F x x ≤≤≤有………5分 故()F x 的单增区间为[)1,+∞；单减区间为(]0,1.………6分（2）构造()()()(1)F x f x g x x =->，即()ln (1)x e aF x a x a x x -=--> 则2(1)()'()x x e a F x x --=.①当a e ≤时，0xe a ->成立，则1x >时，'()0F x >，即()F x 在(1,)+∞上单增，………7分 令：1(1)02F e a a a e =--≥⇔≤，故12a e ≤………8分②a e >时 , '()011F x x x lna ===>有或令'()01F x x x lna ≥≤≥有或；令'()01F x x lna ≤≤≤有………9分即()F x 在(]1,lna 上单减；在[)ln ,a +∞上单增………10分故1min ()(ln )ln(ln )0eF x F a a a a a e ==-->⇔<，舍去………11分 综上所述，实数a 的取值范围12a e ≤………12分20.解：（1）因为15815S a =，设{}n a 的公差为d ，则有 ………2分①1410a d ⇔--≤-③，②+③有：7373d d <⇔<,2d ∴=，………3分 代入①、②有： 11123,2a a a ≥<∴=且………4分故*2(1)2,2,n n a n a n n N =+-⨯=∈即………5分（2）由（1）可知132,6,a a ==∴公比313a q a ==,………6分 (2)1112323,(1)22n n n n b b n n a a a b b +-+∴=⋅=⋅=+-⨯=又,………8分112323n n n n b b ++∴⋅=⇔=，故1314n n c +-=.………9分此时当1,3,5n =时符合要求；当2,4n =时不符合要求.由此可猜想：当且仅当*21,n k k N =-∈时，n C 为正整数.证明如下：………10分逆用等比数列的前n 项和公式有：121131(1333)2132n n n c +-=⨯=++++-……11分当*2,n k k N =∈时，上式括号内为奇数个奇数之和，为奇数，此时*n c N ∉………12分 当*21,n k k N =-∈时，上式括号内为偶数个奇数之和，为偶数，此时*n c N ∈故满足要求的所有n 为*21,n k k N =-∈.………13分 注：也可以用二项式定理证明.21.解：(1) 因为2OB OA = , 8OA OC =，则22a a c =且38a c=，得2,1a c ==则 椭圆方程为：22143x y +=………4分(2)设直线:(1)l y k x =-，1122(,),(,)M x y N x y 则22(1)3412y k x x y =-⎧⎨+=⎩消去y 得222(34)84120k x k x k +-+-=，所以221212228412,3434k k x x x x k k-+==++………6分 由于11(8,)P x y -，1122(4,),(4,)BP x y BN x y =-=- 因为1221(4)(4)x y x y ---=1212124()y y x y y x +--1212124(2)2()k x x kx x k x x =+--++222222841284(2)20343434k k k k k k k k k-=--+=+++………8分 当l x ⊥轴时，也满足故,BP BN 共线，所以N B P 、、三点共线………9分 (3)记d 为B 到l的距离，则d =10分MN =所以1322S d MN ==92<………12分 当l x ⊥轴时，92S =，………13分 所以BMN ∆的面积.的最大值为92………14分。

2012 •江西卷（数学理科）1. [2012 •江西卷]若集合 A = { - 1,1} , B = {0,2},则集合{z|z = x + y , x € A , y € B}中的元素的个数为()A. 5 B . 4 C . 3 D . 21. C ［解析］考查集合的含义与表示；解题的突破口为列出所有结果，再检验元 素的互异性.当 x =— 1, y = 0 时，z =— 1,当 x =— 1, y = 2 时，z = 1,当 x = 1, y = 0时，z = 1,当x = 1, y = 2时，z = 3,故集合｛z|z = x + y , x € A, y € B ｝中的元素个数 为3,故选C.2. D ［解析］考查函数的定义域解不等式等；解题的突破口为列出函数解析式所 1 1 满足的条件，再通过解不等式达到目的.函数y = 的定义域为｛x| x 工0｝. y =—的sin xln xsin x定义域为｛x| X M k n ｝, y = 的定义域为｛x| x>0｝, y = xe x 的定义域为，y = 的定义x x 域为｛x|x 工0｝，故选D.- 2x + 1, x < 1,3. [2012 •江西卷]若函数f (x) =*Jgx , x>1,2. [2012 •江西卷]1F 列函数中，与函数y 二 定义域相同的函数为（3xA.1In xy二五 B .y 二 VxC. y = xe D .y = sin x x则 f(f(10))二()A. lg101 B . 2 C . 1 D . 03. B ［解析］考查分段函数的定义对数的运算分类讨论思想；解题的突破口是根据自变量取值范围选择相应的解析式解决问题••••10>1,.・. f(10) = lg10 = K 1, ••• f(f(10)) = f (1) = 12+ 1= 2,故选 B.14- [2012•江西卷]若tan 6+冇=4,则Sin2 6=()1111A.5B. 4C. 3D. 24. D ［解析］考查同角三角函数的关系二倍角公式，以及“ 1”的代换及弦切互化等方法.解题的突破口是通过“ 1”的代换，将整式转化为齐次分式，再通过同除以cos1 tan 0 + 1B 达到化切目的.I tan 0 + = = 4，二sin2 0 = 2sin 0 cos 0 =tan 0 tan 02sin 0 cos 0 2tan 0 2 1sin 70 + cos20= tan20 + 1= 4 —2，选D5. ［2012 •江西卷］下列命题中，假命题为()A. 存在四边相等的四边形不.是正方形B. Z1，Z2€，乙+ Z2为实数的充分必要条件是Z1，Z2互为共轭复数C. 若x，y€，且x + y>2，则x，y至少有一个大于1D•对于任意n€*，C S+ C+-+ U都是偶数5. B ［解析］考查命题的真假的判断含量词命题真假的判断组合数性质以及逻辑推理能力等；•••菱形四边相等，但不是正方形，••• A为真命题；：Z1, Z2为任意实数时，乙+ Z2为实数，二B为假命题；T x, y都小于等于1时，x+ y< 2,二C为真命题；：C：+ C+ C?+…+ C= 2n，又n€*, A D为真命题.故选B.6 C ［解析］考查归纳推理，以及观察能力；解题的突破口是通过观察得到后一项与前两项结果之间的关系.由于a+ b= 1, a2+ b2= 3, a3+ b3= 4, a4+ b4= 7, a5+ b56. ［2012 •江西卷］观察下列各式：a+ b= 1, a2+ b2= 3, a3+ b3=4, a4+ b4= 7, a5+ b5= 11,…，则a10+ b10=( )A. 28 B . 76 C . 123 D . 199二11,…，通过观察发现，从第三项起，等式右边的常数分别为其前两项等式右边的常数的和.因此，a6+ b6= 11 + 7= 18, a7+ b7= 18+ 11 = 29, a8+ b8= 29+ 18= 47, a9+ b9=47+ 29= 76，a10+ b10= 76 + 47= 123,故选 C.7. ［2012 •江西卷］在直角三角形ABC中，点D是斜边AB的中点，点P为线段CD 的中点,A. 2 B . 4 C . 5 D . 107. D ［解析］考查向量基本定理向量的线性运算向量的数量积及其应用，考查化归转化能力.解题的突破口是建立平面直角坐标系转化为平面向量坐标运算问题求解，或利用平面向量基本定理，将问题转化为只含基底的两个向量的运算问题求解.1 1方法一：••• D是AB中点，二2(C A+ CB . v P 是CD中点，•••4(C A+ CB ,••• A P= C P-C A=-|CA+1CB B P= C P-也1C A-|CB••• CA-屁o「辰挣A+器克，範1^+猪狙吐16沁川克，IPC2方法二：T D是AB中点，二PA+ P fe= 2P D, PA- P fe= BA 二PA+ 2PA- PB+ P B= 4P D 2, PA —2PA- PB+ PB= B A,A 2(| PA2+ |PB2) = 4|PD2+ |AB 2. T D 是AB 的中点，二2| CD = | AB. T P是CD中点，••• I CD = 2| pq , /. |PA|2+1 PB 2= 10| CP2,故I 卩^諾耳=10. 方法三:设A(a,0),以C为坐标原点，AC, BC所在的直线为x轴，y轴，建立平面直角坐标系，b 2 2 9a2 b2 9b2 a2，4，1P A +1PB= 76 + 76+76 +16=10 a2+ b216 B(0 , b)，则D 2, b, P ，而|PC2=害，故日/ = 10. ipq2金不超过54万元，假设种植黄瓜和韭菜的产量成本和售价如下表:年产量/亩年种植成本/亩每吨售价黄瓜4吨 1.2万元0.55万元韭菜6吨0.9万元0.3万元为使一年的种植总利润（总利润二总销售收入一总种植成本）最大，那么黄瓜和韭菜的种植面积（单位：亩）分别为（）A. 50,0 B . 30,20 C . 20,30 D . 0,508. B ［解析］考查二元一次不等式组表示的平面区域线性规划的实际应用数形结合思想，以及阅读理解和数学建模能力；解题的突破口是按照线性规划解决实际问题的步骤求解，即①设出xyz :②列出约束条件，确定目标函数；③画出可行域；④判断最优解；⑤求出目标函数的最值，并回到原问题中作答.设种植黄瓜x亩，种植韭菜y'x+ y< 50， 1.2 x + 0.9 y< 54，亩，因此，原问题转化为在条件' c c 下，求z = 0.55.x>0，y>0x 4x + 0.3 x 6y- 1.2x —0.9y = x + 0.9y的最大值.画出可行域如图.利用线性规划知］x + y = 50，识可知，当x，y取L2x + 09y-54的交点（30,20）时，z取得最大值.故选B.9. ［2012 •江西卷］样本（x i，X2，…，X n）的平均数为x，样本（y i，y?，…，y n）的平均数为y （ x工y ）.若样本（x i，X2，…，X n，y i，y2，…，y n）的平均数z = a x +1（1 —a ） y，其中0<a <2，则n，m的大小关系为（）A. nvm B . n>m C . n = m D .不能确定9. A ［解析］考查平均数的计算不等式的性质等；解题的突破口是利用样本平均1 —— n —数的计算公式，建立m n, a之间的关系后求解.••• z =n^m(nx + my) = x' n 、一n 1 n 1 「，丄1 ——:—I y，二一:—=a , v 0< a <-,二0<—■—，二n<m 故选A.I n+ mF ' n+ m ，2n+ m210. ［2012 •江西卷］如图1—2,已知正四棱锥S— ABCD^有棱长都为1,点E是侧棱SC上一动点，过点E垂直于SC的截面将正四棱锥分成上下两部分，记SE= x(0<x<1)，截面下面部分的体积为V(x)，贝U函数y= V［x)的图像大致为()10. A ［解析］考查空间中的线面位置关系的转化空间几何体体积的计算函数的表示法导数的几何意义等，考查分类讨论思想化归转化思想数形结合思想函数与方程思想等；解题的突破口是将所求几何体的体积通过“割补法”求解•设AC, BD交于0,当E1为SC中点时，v S吐SD= BC= CD ••• SE X BE, SE X DE 二SE丄面BDE当x =?时，截面为三角形EBDc D又v SA= SC= 1 , AC= 2, SO^-22.当2< x<1 时,设截面交CD于H,交CB于I ,«x) = V E —CHI= 3^X 2 — 2x 3~2(1 — x)= 言(1 一x) 1 当 0<x <2时，设截面交 SD于F ,交SB 于G,交AD 于H,交AB 于I ，连接SH SI ，由于S 五边形EFHIG = S 三角形EFG ^ S 矩形、［2FHIG= 2x 2+ 2 2x(1 — 2x) = 2 2x — 3 2x 2, V(x) = V CDHIB— VS -EFHIG=_6(1 — 2x 2)—(2 2x — 3 2x 2)x = 2x 3— 2x 2 +¥，故选A.11.211.3 ［解析］考查定积分的计算诱导公式，以及运算能力；解题的突破口是通过12. ［2012 •江西卷］设数列｛a n ｝，｛b n ｝都是等差数列.若 @ + 4= 7，a s + b a = 21, 贝卩 a 5 + b 5= ________________ .12.35 ［解析］考查等差数列的定义性质；解题的突破口是利用等差数列的性质， 将问题转化为研究数列的项与项数之间的关系求解.方法一：设C n = a n + b n ,V ｛刘,｛b n ｝是等差数列，.｛ C n ｝是等差数列，设其公差为 d ,贝U 6= 7, C 3= C 1 + 2d = 21,解得 d = 7,因此，C 5= a 5 + b 5= 7+ (5 — 1) X 7 = 35.故填 35.方法二：设C n = a n + b n ,V ｛时,｛b n ｝是等差数列，.｛ C n ｝是等差数列，2( a 3+ b a ) = (a 1 + bj + (a 5 + b 5)，即 42= 7 + (a 5 + b 5)，因此 a 5 + b 5=42— 7= 35. 故填35.别是F i , F 2,若| AF|F 1F 2IF i B|成等比数列，贝吐匕椭圆的离心率为 _________ .3 2基本初等函数的导数公式的逆向使用确定被积函数的原函数1— 1(x 2+ sin x) dx =x 1 1 ( ——Cos —1 = ： — Cos1 <33 <23. ［2012 •江西卷］计算定积分 2+ sin x) dx =3 + cos( — 1)13. * ［解析］考查椭圆的定义和性质等比数列的性质等；解题的突破口是建立关于a, c的齐次等式，然后转化为离心率e的方程求解•由椭圆的定义知，|AF|二a—C, IF1F2I = 2c, |BF|= a+ c, v |A冋，| 卩冋,| BF| 成等比数列，因此4c2= (a —c)( a + c)，整理得5C2= a2,两边同除以a2得5e2= 1,解得e =14. ［2012 •江西卷］如图1—3为某算法的程序框图，则程序运行后输出的结果是14. 3 ［解析］考查算法框图诱导公式特殊角的三角函数值；解题的突破口是列出n每一次循环后各变量的结果•当k = 1时，此时sinq = 1>sinO = 0成立，因此a= 1, Tn=0+ 1= 1, k = 1 + 1= 2, k<6成立，再次循环；因sin n = 0>sinq = 1不成立，因此a3 n=0, T= 1 + 0= 1, k= 2+ 1= 3,此时k<6 成立，再次循环；因sin 万=—1> sin n =0不成立，因此a= 0, T= 1 + 0= 1, k = 3+ 1= 4,此时k<6成立，再次循环；因sin23 nn = 0>si门三=—1成立，因此a= 1, T= 1 + 1= 2, k = 4+ 1= 5,此时k<6成立，再次5 n循环；因sin ~2~= 1> sin2 n = 0 成立，因此a= 1, T = 2+ 1 = 3, k = 5+ 1 = 6,此时k<6 不成立，退出循环，此时T= 3.15. ［2012 •江西卷］(1)(坐标系与参数方程选做题)曲线C的直角坐标方程为x2+ y2—2x= 0,以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，贝U曲线C的极坐标方程为 ________ .(2)(不等式选做题)在实数范围内，不等式|2x —1| + |2x + 1| < 6的解集为实用文案15. （1） p = 2cos 0 ［解析］考查极坐标方程与普通方程的转化；解题的突破口是 利用点P 的直角坐标（x ，y ）与极坐标（p ，0）的关系转化.由于p 4 5=x 2+ y 2, p cos 0 =X ,因此x 2 + y 2— 2x = 0的极坐标方程为p = 2cos 0 .［解析］考查绝对值不等式的解法，以及分类讨论思想；解 题的突破口是利用零点讨论法去掉绝对值符号，将不等式转化为一般不等式（组）求1 3 13 1解.当x>2时，原不等式可化为2x — 1 + 2x + K 6,解得x <㊁，此时-<x <2；当x<—㊁时, 3 3 111原不等式可化为一2x + 1 — 2x — 1W 6，解得x > —㊁，此时一2=x<—刁 当—2^x w ㊁时, 1 1原不等式可化为1— 2x + 2x + 1w 6,解得x €，此时—2<x w 2.综上，原不等式的解集 为！— 3 31 为］2, 2一.416. ［2012 •江西卷］已知数列｛a n ｝的前n 项和S =—刃2+如（其中k € *），且S 的 最大值为8.（1）确定常数k ，并求a n ；⑵求数列9 —2a n 2n的前n 项和T n . 3 3-产 x < 3实用文案1 2 1 2 2 1 216. 解：（1）当 n = k €+时，S= — ?n + kn 取最大值，即 8 = S =-~k + k = ?k ,故 k 2 = 16,因此 k = 4,79又 a 1= S =2，所以 a n = ~ — n. ⑵因为b n = 9—2色=夬,2 3 n — 1 nT n = b 1 + b+…+ b n = 1 + 2+ 2?+…+ 2“- 2 +—1,^从'而 a n = S — S n =所以 T n = 2T n — T n = 2+ 1+ 舟+ …+n17. [2012 •江西卷]在厶ABC 中，角A , B , C 的对边分别为a , b , c.已知An(1)求证：B — C =_2；⑵ 若a = ,2,求厶ABC 的面积.17. 解：⑴ 证明：由bsin 牙+ C )— csin 片+ Bbsin'n 二a ,应用正弦定理，得2n —nsin Bsin n +C —sin Csin 忆+B 卜sinA ,sin B '乎sin C+*cosC 1- sin吟sinB +孑cosB : 整理得 sin BcosC — cosBsin C = 1, 即 sin （ B — C = 1,3 n由于 0<B , Cq n,从而 B- C^-^.n3 n ⑵由（1）知 B — C = ~，又 B + C =n — A = ~4，因此 … 5 n 小 nB = T , C= 7.由a = 2,，得 b = 孙叮 =2s “号, v 4 sin A 8asi n c =石人仝2sin nn ，1 5 n 所以△ ABC 的面积 S = 2bcsinA = 2sin n 一 n n 1a sin 7「2co 在sin § 二 218. [2012 •江西卷]如图1—4,从A(1,0,0) , A(2,0,0) , B(0,1,0) , B(0,2,0), C i(o,o,1) , C2(0 , 0,2)这6个点中随机选取3个点，将这3个点及原点O两两相连构成一个“立体”，记该“立体”的体积为随机变量V(如果选取的3个点与原点在同一个平面内，此时“立体”的体积V= 0).(1) 求V= 0的概率；(2) 求V的分布列及数学期望EV18. 解：⑴ 从6个点中随机取3个点总共有C l = 20种取法，选取的3个点与原点12 3在同一个平面内的取法有12种，因此V= 0的概率为P(V= 0)= .20 5112 4⑵V的所有可能取值为0，6，3，3，3，因此V的分布列为V016132343P 313_3_1 520202020由V的分布列可得3 1 1 1 3 2 34 1 9 5十6 2013 201 3 2013 20 —40'19. [2012 •江西卷]如图1—5,在三棱柱ABC—ABC中，已知A吐AC—AA—越，BC—4,点A在底面ABC的投影是线段BC的中点Q(1)证明在侧棱AA上存在一点E,使得OEL平面BBCC,并求出AE的长;⑵求平面ABC与平面BBCC夹角的余弦值.EV= 0X以0巳BB.因为A0丄平面ABC 所以A i O 丄BC 因为 AB= AC 0B= 0C 所以 AC L BC 所以BC L 平面AAQ 所以BC L 0E所以0巳平面BBCC,又Ad Ag — B0= 1, 作 A 0 J 5 得 AE — 一^得AE —AA 一 5 .令 y — 1,得 x 一2, z —- 1,即一 (2,1，— 1)，所以即平面BBC i C 与平面AiBC 的夹角的余弦值是密.20. [2012 •江西卷]已知三点0(0,0) , A — 2,1) , B(2 , 1)，曲线C 上任意一点 M(x , y)满足郦 一 0M (0A + 0B + 2.(1)求曲线C 的方程；⑵ 动点Q(x 0, y °)( — 2<x c <2)在曲线C 上，曲线C 在点Q 处的切线为I ，问：是否19.解：⑴证明：连接AQ 在厶AOA 中，作0巳AA 于点E ,因为AA // BB ,所⑵如图，分别以0A 0B 0A 所在直线为x ,y , z 轴，建立空间直角坐标系，则A(1,0,0) , B(0,2,0) , qo ,—由⑴ 得平2 ,设平面r• AB= 0,,n • AQ — -X + 2y = 0, y +z 二 0,0E- ncos〈治一盂爲一好1由社5AA 得点E 的坐标是2存在定点P(o, t)(t<0)，使得I与PA, PB都相交，交点分别为D,丘，且厶QABf A PDE 的面积之比是常数？若存在，求t的值；若不存在，说明理由.20. 解：⑴由族(—2-x, 1-y)，竝(2 —x, 1-y)，得| 祸術= .2x—6 + 2-2y—2，O M (OA^OB = (x，y) • (0,2) = 2y，由已知得一・2x—2 + 2-2y—2= 2y + 2，化简得曲线C的方程：x2= 4y.⑵假设存在点P(0，t)(t <0)满足条件，t - 1 1 -1则直线PA的方程是y = 〒X +1，PB的方程是y二「厂x+1.x x2f x2、曲线C在Q处的切线I的方程是y= ^x—寸，它与y轴交点为F 0，-4 •x由于一2<x0<2，因此一1<2<1.t 一1 1 X n t —1①当一1<t<0时，一1<寸<-2■，存在x°€ ( -2,2)使得2即I与直线PA平行，故当—1<t <0时不符合题意.6X。