九章算术卷一方田割圆术

古代算术与现代高考1、“竹九节”问题1．《算法统宗》是中国古代数学名著，由明代数学家程大位编著．《算法统宗》对我国民间普及珠算和数学知识起到了很大的作用，在这部著作中，许多数学问题都是以歌诀形式呈现的，“竹筒容米”就是其中一首：家有九節竹一莖，為因盛米不均平；下頭三節三升九，上梢四節貯三升；唯有中間二節竹，要將米數次第盛；若是先生能算法，也教算得到天明!大意是：用一根9节长的竹子盛米，每节竹筒盛米的容积是不均匀的．下端3节可盛米3.9升，上端4节可盛米3升．自下而上盛米容积相差同一数量的方式盛米，中间两节可盛米多少升？由以上条件，计算出中间两节（自下而上第4、5节）的容积为（ ）A ．2.1升 B ．2.2升 C ．2.3升 D ．2.4升 2、“女子织布”问题2．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有女子善织，日益功，疾，初日织五尺，今一月织九匹三丈（1匹=40尺，一丈=10尺），问日益几何？”其意思为：“有一女子擅长织布，每天比前一天更加用功，织布的速度也越来越快，从第二天起，每天比前一天多织相同量的布，第一天织5尺，一月织了九匹三丈，问每天增加多少尺布？”若一个月按30天算，则每天增加量为（ ）A ．21尺B ．158尺 C ．2916尺 D ．3116尺 3、“走步”问题 3．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请君仔细算相还．”其大意为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地．”则该人最后一天走的路程为（ ）A ．24里B ．12里C ．6里D ．3里4、“分钱”问题4．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等．问各得几何．”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列．问五人各得多少钱？”（“钱”是古代的一种重量单位）．这个问题中，甲所得为（ ）A ．45钱B ．34钱C ．23钱 D ．35钱 5、两鼠穿墙问题5．《九章算术》中的“两鼠穿墙题”是我国数学的古典名题：“今有垣厚若干尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠也日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问何日相逢，各穿几何？”题意是：“有两只老鼠从墙的两边打洞穿墙，大老鼠第一天进一尺，以后每天加倍；小老鼠第一天也进一尺，以后每天减半．”如果墙足够厚，S n 为前n 天两只老鼠打洞长度之和，则S n = 尺．6、宝塔问题6．在明朝程大位《算法统宗》中有这样的一首歌谣：“远看巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯”． 这首古诗描述的这个宝塔古称浮屠，本题说它一共有7层，每层悬挂的红灯数是上一层的2倍，共有381盏灯，问塔顶有几盏灯？你算出顶层有（ ）盏灯．A ．2B ．3C ．5D ．67、欧阳修《卖油翁》7．欧阳修《卖油翁》中写道“（翁）乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿．可见“行行出状元”，卖油翁的技艺让人叹为观止．若铜钱是直径为6cm 的圆，中间有边长为3cm 的正方形孔，若随机向铜钱上滴一滴油（油滴的直径忽略不计），则正好落入孔中的概率是 ．8、弧田面积8．《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验方式为：弧田面积=21（弦×矢+矢2），弧田（如图）由圆弧和其所对弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之 差，现有圆心角为32 ，半径等于4米的弧田， 按照上述经验公式计算所得弧田面积约是（）A ．6平方米B ．9平方米C ．12平方米D ．15平方米9、辗转相除法9．我国古代名著《九章算术》用“更相减损术”求两个正整数的最大公约数是一个伟大的创举，这个伟大创举与古老的算法﹣﹣“辗转相除法”实质一样，如图的程序框图源于“辗转相除法”．当输入a=6102，b=2016时，输出的a=（ ）A ．6B ．9C ．12D ．1810、牟合方盖相关10．我国古代数学家利用“牟合方盖”（如图甲）找到了球体体积的计算方法．它是由两个圆柱分别从纵横两个方向嵌入一个正方体时两圆柱公共部分形成的几何体．图乙所示的几何体是可以形成“牟合方盖”的一种模型，其直观图如图丙，图中四边形是为体现其直观性所作的辅助线．当其正视图和侧视图完全相同时，它的正视图和俯视图分别可能是（ ）A ．a ，bB ．a ，dC ．c ，bD ．c ，d11、类比推理（割圆术）11．在《九章算术》方田章圆田术（刘徽注）中指出：，“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣．”注述中所用的割圆术是一种无限与有限的转化过程，比如在⋅⋅⋅+++222中“…”即代表无限次重复，但原式却是个定值x ，这可以通过方程=x 确定出来x=2，类似地不难得到⋅⋅⋅+++11111= 。

（四）建议将3月14日定为祖冲之纪念日 建议将 月 日定为祖冲之纪念日
美国麻省理工学院首先倡议将3日 日 寓意3﹒ ） 美国麻省理工学院首先倡议将 日14日（寓意 ﹒14）定为国际 圆周率日(National p Day)。1736年，瑞士数学家歐拉 (Euler， 圆周率日 。 年 ， 1707 – 1783) 提倡以希腊字母 p (音：pi) 来表示圓周率，p是圓周 来表示圓周率， 是圓周 音 的字頭。直到現在， 的希腊文 perijereia (英文为 periphery) 的字頭。直到現在，p 已 英文为 成为圓周率的专用符號。在这一天，学生们会彼此祝福“ 成为圓周率的专用符號。在这一天，学生们会彼此祝福“圆周率日 快乐！ 快乐！”用大家熟悉的生日歌旋律唱起 happy pi day to you！学 ！ 院众多对圆周率有兴趣的人聚在一起讨论圆周率问题，吃馅饼(英 院众多对圆周率有兴趣的人聚在一起讨论圆周率问题，吃馅饼 英 同音)以及其他各种以圆周率为主题的食物 文pie，与圆周率英文 同音 以及其他各种以圆周率为主题的食物， ，与圆周率英文pi同音 以及其他各种以圆周率为主题的食物， 举行圆周率背诵比赛。 举行圆周率背诵比赛。 全球各地的一些著名大学的数学系，也在3月 日举行 日举行Party庆 全球各地的一些著名大学的数学系，也在 月14日举行 庆 在圓周率日當天， 祝。在圓周率日當天，加拿大滑铁庐大学还会以供應免費的餡餅来 庆祝。而3月14日恰好又是著名的物理学家爱因斯坦 (Albert 庆祝。 月 日恰好又是著名的物理学家爱因斯坦 Einstein，1879 – 1955) 的生日。所以他们还会「择时辰」以庆祝 的生日。所以他们还会「择时辰」 ， 圆周率日：选择在下午1時 分开始庆祝 分开始庆祝， 圆周率日：选择在下午 時59分开始庆祝，它代表 3.14159 (准确至 准确至 六位小数) 的圓周率近似值。 六位小数 的圓周率近似值。

由于
恰好是四边形 ABCD 的面积（见图二），所以上述的论断是正确的，
刘徽算出
又称 S192-S96=105/62500 为差幂，它的两倍 210/62500 称为正 96 边形的外弧田，即
这样的面积已经「出圆之表（超出圆面积）」了，显然圆幂（面积）S 满足：
这里的 S192=3.14+64/62500=3.14+0.001024=3.141024，相当于求得的 π 值为 3.141024。请注 意：在半径为一单位长的情形下，圆面积和半圆周长的度量是相等的（都是 π）。刘徽在此处 显然引用了这个事实。但他并没有特别指明。
按着，我们再加入图解（希望不是添足）如图三，
图三 100 方寸 － 25 方寸 ＝ 75 方寸，
（最后这个近似值原注文没有给出，是我们另加上去的。） 刘徽的注文中还有割 12 边为 24 边，割 24 边为 48 边，割 48 边为 96 边，及割 96 边为 192 边，此处不赘，有兴趣的读者请自行去查阅。 四、有了正 2n 边形的边长 l2n，则按《九章算术》中的「半周、半径相乘」公式，可以算 出正 4n 边形的面积，为：
个公式「指验半圆之幂耳，若不满半圆者，益复疏阔。」意即在 π=3（九章算术的圆率）的情
形下，A 是半圆的面积；若针对一般的弓形，则 A 的公式就更显得粗陋了。因此，刘徽先用「以
弧弦折半自乘，矢除之，加矢以为圆径」 注10 ，把圆（直）径的值求出来。「既知圆径，则弧
可割分也。割之者半弧田之弦，以为股，其矢为句，为之求弦，即小弧之弦也。以半小弧之弦为
二部著作，的确是他不朽声名的最佳脚注。
刘徽的割圆术记载在九章算术第一卷方田章的第 32 题关于圆面积计算的注文里。我们把它

因为《缀术》失传了，祖冲之究竟是用什么方法将π算 到小数点后第七位，又是怎样找到既精确又方便的密 率的呢？这至今仍是困惑数学家的一个谜。
祖冲之曾写过一本数学著作《缀术》，记录了他 对圆周率的研究和成果。但当时“学官莫能究其 深奥，是故废而不理”，以致后3表示π的近似值，是 一项了不起的贡献。密率355／113传到了日本后， 1913年日本数学史家三上一夫建议将祖冲之圆周 率的密率数值命名为“祖率”，得到一致赞同。 祖冲之对圆周率的求索，超过了世界水平整整 1000年！直到16世纪德国人V· 奥托和荷兰人A· 安 托尼斯才发现了圆周率的密率355/113。 但是“祖 率”的妙处，和给今人留下的困惑，不少人却说 不出来。
第五，刘徽指出：“割之弥细，所失 弥少。割之又割，以至于不可割，则与 圆周合体而无所失矣。”（《九章算术》 方田章圆田术刘徽注）这就是说，圆内 接正多边形的边数无限增加的时候，它 的周长的极限是圆周长，它的面积的极 限是圆面积。
刘徽根据割圆术从圆内接正六边形 算起，边数逐渐加倍，相继算出正十二边 形，正二十四边形，……以至于正九十六 边形每边的长，并且求出正一百九十二边 形的面积。 这相当于求得 π=3.14 1024。他在实际计算中，采用了 π=157/50=3.14 ， 不仅这样，刘徽还继续求到圆内 接正 三千零七十二边形的面积，验证了前面的 结果，并且得出更精确的圆周率值 π=3927/1250=3.1416
（一）刘徽简介
（二）“割圆术”的含义 （三）刘徽割圆术的主要内容和根据 （四）刘徽“割圆术”的意义
（一）刘徽简介
刘徽（约公元225年—295年），汉族， 山东临淄人，魏晋期间伟大的数学家，中国古 典数学 理论的奠基者之一。是中国数学史上一 个非常伟大的数学家，他的杰作《九章算术注》 和《海岛算经》，是中国最宝贵的数学遗产。 刘徽思想敏捷，方法灵活，既提倡推理又主张 直观．他是中国最早明确主张用逻辑推理的方 式来论证数学命题的人．刘徽的一生是为数学 刻苦探求的一生．他虽然地位低下，但人格高 尚．他不是沽名钓誉的庸人，而是学而不厌的 伟人，他给我们中华民族留下了宝贵的财富。