2020年4月荆门市高考模拟考试数学(理)试题含答案

2020年高考数学（4月份）模拟试卷（理科）一、选择题（共12小题）.1．已知实数集R，集合A＝{x|﹣1＜x＜5}，集合B ＝，则A∩（∁R B）＝（）A．{x|﹣1＜x≤2}B．{x|x＞﹣1}C．{x|﹣1＜x≤0}D．{x|0≤x＜5} 2．已知z∈C ，若，则z＝（）A ．B ．C ．D ．3．若（1﹣2x）2020＝a0+a1x+a2x2+…+a2020x2020，则a1+a2+a3+…+a2020＝（）A．0B．1C．﹣1D．24．中国历法推测遵循以测为辅、以算为主的原则．例如《周髀算经》和《易经》里对二十四节气的晷（guǐ）影长的记录中，冬至和夏至的晷影长是实测得到的，其它节气的晷影长则是按照等差数列的规律计算得出的．下表为《周髀算经》对二十四节气晷影长的记录，其中寸表示115寸分（1寸＝10分）．节气冬至小寒（大雪）大寒（小雪）立春（立冬）雨水（霜降）惊蛰（寒露）春分（秋分）清明（白露）谷雨（处暑）立夏（立秋）小满（大暑）芒种（小暑）夏至晷影长（寸）135125115.1105.295.375.566.545.735.825.916.已知《易经》中记录某年的冬至晷影长为130.0寸，夏至晷影长为14.8寸，按照上述规律那么《易经》中所记录的春分的晷影长应为（）A．91.6寸B．82.0寸C．81.4寸D．72.4寸5．我国著名数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休．在数学的学习和研究中，常用函数的图象研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数的图象特征．如函数的图象大致为（）A．B．C．D．6．已知，则（）A．y＜x＜z B．z＜y＜x C．z＜x＜y D．y＜z＜x7．设等比数列{a n}的公比为q，前n项和为S n，则“|q|＝1”是“S6＝3S2”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件8．如图，在平行四边形ABCD中，DE＝EC，F为BC的中点，G为EF上的一点，且，则实数m的值为（）A．B．C．D．9．已知函数f（x）＝，若存在x1，x2∈R且x1≠x2，使得f（x1）＝f（x2）成立，则实数a的取值范围是（）A．[3，+∞）B．（3，+∞）C．（﹣∞，3）D．（﹣∞，3] 10．已知双曲线的左右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与C的两条渐近线分别交于A、B两点，若以F1F2为直径的圆过点B，且A为F1B的中点，则C的离心率为（）A．B．2C．D．11．一竖立在水平地面上的圆锥形物体的母线长为2m，一只蚂蚁从圆锥的底面圆周上的点P出发，绕圆锥表面爬行一周后回到P点，蚂蚁爬行的最短路径为m，则圆锥的底面圆半径为（）A．m B．1m C．m D．m12．已知函数f（x）＝cos（ωx）（ω＞0），x1，x2，x3∈[0，π]，且∀x∈[0，π]都有f （x1）≤f（x）≤f（x2），满足f（x3）＝0的实数x3有且只有3个，给出下述四个结论：①满足题目条件的实数x1有且只有1个；②满足题目条件的实数x2有且只有1个；③f（x）在（0，）上单调递增；④ω的取值范围是[）．其中所有正确结论的编号是（）A．①④B．②③C．①②③D．①③④二、填空题：共4小题，每小题5分，共20分．13．设曲线y＝e x+1上点P处的切线平行于直线x﹣y﹣1＝0，则点P的坐标是．14．某学校选拔新生补进“篮球”、“电子竞技”、“国学”三个社团，根据资料统计，新生通过考核选拔进入这三个社团成功与否相互独立．2019年某新生入学，假设他通过考核选拔进入该校“篮球”、“电子竞技”、“国学”三个社团的概率依次为m，，n，已知这三个社团他都能进入得慨率为，至少进入一个社团的概率为，则m+n ＝．15．自湖北爆发新型冠状病毒肺炎疫情以来，湖北某市医护人员和医疗、生活物资严重匮乏，全国各地纷纷驰援．某运输队接到从武汉送往该市物资的任务，该运输队有8辆载重为6t的A型卡车，6辆载重为10t的B型卡车，10名驾驶员，要求此运输队每天至少运送240t物资．已知每辆卡车每天往返的次数为A型卡车5次，B型卡车4次，每辆卡车每天往返的成本A型卡车1200元，B型卡车1800元，则每天派出运输队所花的成本最低为．16．已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，M为椭圆上异于长轴端点的动点，△MF1F2的内心为I，则＝．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17题～第21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22题～第23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分17．在△ABC中，角A、B、C所对的边为a、b、c，且满．（1）求角B的值；（2）若，求的取值范围，18．如图，在四棱锥S﹣ABCD中，侧面SCD为钝角三角形且垂直于底面ABCD，CD＝SD，点M是SA的中点，AD∥BC，∠ABC＝90°，AB＝AD＝BC．（1）求证：BD⊥平面SCD；（2）若直线SD与底面ABCD所成的角为60°，求平面MBD与平面SBC所成的锐二面角的余弦值．19．线段AB为圆M：x2+y2+2x﹣10y+6＝0的一条直径，其端点A，B在抛物线C：x2＝2py （p＞0）上，且A，B两点到抛物线C焦点的距离之和为11．（1）求抛物线C的方程及直径AB所在的直线方程；（2）过M点的直线l交抛物线C于P，Q两点，抛物线C在P，Q处的切线相交于N 点，求△PQN面积的取值范围．20．已知函数f（x）＝x2+πcos x．（1）求函数f（x）的最小值；（2）若函数g（x）＝f（x）﹣a在（0，+∞）上有两个零点x1，x2，且x1＜x2，求证：x1+x2＜π．21．2020年春节期间爆发的新型冠状病毒（2019﹣nCoV），是一种可以借助飞沫和接触传播的变异病毒．某定点医院为筛查某些人是否感染该病毒，需要检验血液是否为阳性，现有n份血液样本，有以下两种检验方式：（a）逐份检验，则需要检验n次；（b）混合检验，将其中k（k∈N*且k≥2）份血液样本分别取样混合在一起检验．若检验结果为阴性，这k份的血液全为阴性，因而这k份血液样本只要检验一次就够了；如果检验结果为阳性，为了明确这k份血液究竟哪几份为阳性，就要对这k份再逐份检验，此时这k份血液的检验次数总共为k+1次．假设在接受检验的血液样本中，每份样本的检验结果是阳性还是阴性都是独立的，且每份样本是阳性结果的概率为p（0＜p＜1）．（1）假设有6份血液样本，其中只有2份样本为阳性，若采用逐份检验方式，求恰好经过4次检验就能把阳性样本全部检验出来的概率；（2）现取其中k（k∈N*且k≥2）份血液样本，记采用逐份检验方式，样本需要检验的总次数为ξ1，采用混合检验方式，样本需要检验的总次数为ξ2．（i）试运用概率统计的知识，若Eξ1＝Eξ2，试求p关于k的函数关系式p＝f（k）；（ii）若，采用混合检验方式可以使得样本需要检验的总次数的期望值比逐份检验的总次数期望值更小，求k的最大值．参考数据：ln2≈0.6931，ln3≈1.0986，ln5≈1.6094，In7≈1.9459（二）选考题：共10分．请考生在22，23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．作答时写清题号．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（θ为参数），以原点为极点，x轴非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为．（1）求曲线C1的极坐标方程以及曲线C2的直角坐标方程；（2）若直线l：y＝kx与曲线C1、曲线C2在第一象限交于P、Q，且|OQ|＝|PQ|，点M 的直角坐标为（1，0），求△PMQ的面积．[选修4-5：不等式选讲]23．已知实数a、b满足a2+b2﹣ab＝3．（1）求a﹣b的取值范围；（2）若ab＞0，求证：++≥．参考答案一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知实数集R，集合A＝{x|﹣1＜x＜5}，集合B＝，则A∩（∁R B）＝（）A．{x|﹣1＜x≤2}B．{x|x＞﹣1}C．{x|﹣1＜x≤0}D．{x|0≤x＜5}【分析】可以求出集合B，然后进行交集和补集的运算即可．解：∵A＝{x|﹣1＜x＜5}，B＝{y|y＞0}，∴∁R B＝{y|y≤0}，A∩（∁R B）＝{x|﹣1＜x≤0}．故选：C．2．已知z∈C，若，则z＝（）A．B．C．D．【分析】设z＝a+bi（a，b∈R）．由，可得﹣（a﹣bi）＝1+2i，﹣a＝1，b＝2，解得b，a．解：设z＝a+bi（a，b∈R）．∵，∴﹣（a﹣bi）＝1+2i，∴﹣a＝1，b＝2，解得b＝2，a＝．则z＝+2i，故选：B．3．若（1﹣2x）2020＝a0+a1x+a2x2+…+a2020x2020，则a1+a2+a3+…+a2020＝（）A．0B．1C．﹣1D．2【分析】令x＝0求得a0，再令x＝1即可求解结论．解：因为：（1﹣2x）2020＝a0+a1x+a2x2+…+a2020x2020，令x＝0可得：1＝a0；令x＝1可得：a0+a1+a2+a3+…+a2020＝（1﹣2×1）2020＝1；故a1+a2+a3+…+a2020＝1﹣1＝0．故选：A．4．中国历法推测遵循以测为辅、以算为主的原则．例如《周髀算经》和《易经》里对二十四节气的晷（guǐ）影长的记录中，冬至和夏至的晷影长是实测得到的，其它节气的晷影长则是按照等差数列的规律计算得出的．下表为《周髀算经》对二十四节气晷影长的记录，其中寸表示115寸分（1寸＝10分）．节气冬至小寒（大雪）大寒（小雪）立春（立冬）雨水（霜降）惊蛰（寒露）春分（秋分）清明（白露）谷雨（处暑）立夏（立秋）小满（大暑）芒种（小暑）夏至晷影长（寸）135125115.1105.295.375.566.545.735.825.916.已知《易经》中记录某年的冬至晷影长为130.0寸，夏至晷影长为14.8寸，按照上述规律那么《易经》中所记录的春分的晷影长应为（）A．91.6寸B．82.0寸C．81.4寸D．72.4寸【分析】由题意，晷影长则是按照等差数列的规律计算得出的，冬至晷影长为130.0寸，设为a1＝130，夏至晷影长为14.8寸，则为a13＝14.8，春分的晷影长为a7，根据等差数列的性质即可求解．解：由题意，晷影长则是按照等差数列的规律计算得出的，冬至晷影长为130.0寸，设为a1＝130，夏至晷影长为14.8寸，则为a13＝14.8，春分的晷影长为2a7＝a1+a13；∴a7＝72.4；即春分的晷影长为72.4．故选：D．5．我国著名数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休．在数学的学习和研究中，常用函数的图象研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数的图象特征．如函数的图象大致为（）A．B．C．D．【分析】根据题意，设f（x）＝，分析函数的奇偶性可以排除A、D，结合复合函数单调性的判断方法分析可得函数y＝f（x）为增函数，排除C；即可得答案．解：根据题意，设f（x）＝，有f（﹣x）＝f（x），即函数f（x）为偶函数，排除A、D；设t＝cos x，则y＝﹣2t2+t+1，在区间[0，]上，t＝cos x为减函数，且0≤t≤1，y＝﹣2t2+t+1，其对称轴为t＝，开口向下，在区间（﹣∞，）上为增函数，（，+∞）上为减函数，在区间（0，arccos）上，t＝cos x为减函数，此时＜t＜1，函数y＝﹣2t2+t+1为减函数，故函数y＝f（x）为增函数，排除C；故选：B．6．已知，则（）A．y＜x＜z B．z＜y＜x C．z＜x＜y D．y＜z＜x【分析】利用对数函数和指数函数的性质求解．解：∵20.1＞20＝1，∴x＞1，∵，∴0 ，∴0 ，∵，∴，∴y＜z＜x，故选：D．7．设等比数列{a n}的公比为q，前n项和为S n，则“|q|＝1”是“S6＝3S2”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【分析】根据等比数列的前n项和为S n．结合充分条件和必要条件的定义进行判断．解：若q＝1时，S6＝6a1＝3S2＝3•2a1＝6a1，q＝﹣1时，S6＝3S2＝0，符合题意，是充分条件；反之也成立，故“|q|＝1”是“S6＝3S2”的充要条件，故选：C．8．如图，在平行四边形ABCD中，DE＝EC，F为BC的中点，G为EF上的一点，且，则实数m的值为（）A．B．C．D．【分析】可根据条件得出，并可设，然后根据向量加法的几何意义和向量的数乘运算即可得出＝，从而根据平面向量基本定理即可得出，解出m即可．解：∵，F为BC的中点，∴，，设＝＝＝，又，∴，解得m＝．故选：A．9．已知函数f（x）＝，若存在x1，x2∈R且x1≠x2，使得f（x1）＝f（x2）成立，则实数a的取值范围是（）A．[3，+∞）B．（3，+∞）C．（﹣∞，3）D．（﹣∞，3]【分析】当＜1，即a＜2时，由二次函数的图象和性质，可知存在x1，x2∈（﹣∞，1]且x1≠x2，使得f（x1）＝f（x2）成立；当≥1，即a≥2时，若存在x1，x2∈R且x1≠x2，使得f（x1）＝f（x2）成立，则﹣1+a＞3a﹣7，由此能求出实数a的取值范围．解：函数f（x）＝，存在x1，x2∈R且x1≠x2，使得f（x1）＝f（x2）成立，当＜1，即a＜2时，由二次函数的图象和性质，可知：存在x1，x2∈（﹣∞，1]且x1≠x2，使得f（x1）＝f（x2）成立，当≥1，即a≥2时，若存在x1，x2∈R且x1≠x2，使得f（x1）＝f（x2）成立，则﹣1+a＞3a﹣7，解得a＜3，∴2≤a＜3，综上所述：实数a的取值范围是（﹣∞，3）．故选：C．10．已知双曲线的左右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与C的两条渐近线分别交于A、B两点，若以F1F2为直径的圆过点B，且A为F1B的中点，则C的离心率为（）A．B．2C．D．【分析】由题意画出图形，结合已知可得F1B⊥OA，写出F1B的方程，与y＝联立求得B点坐标，再由斜边的中线等于斜边的一半求解．解：如图，因为A为F1B的中点，所以，又因为B在圆上，所以＝0，故OA⊥F1B，则F1B：y＝（x+c），联立，解得B（，），则OB2＝（）2+（）2＝c2，整理得：b2＝3a2，∴c2﹣a2＝3a2，即4a2＝c2，∴＝4，e＝＝2．故选：B．11．一竖立在水平地面上的圆锥形物体的母线长为2m，一只蚂蚁从圆锥的底面圆周上的点P出发，绕圆锥表面爬行一周后回到P点，蚂蚁爬行的最短路径为m，则圆锥的底面圆半径为（）A．m B．1m C．m D．m【分析】由题意画出图形，沿母线SP剪开再展开，由圆锥的底面周长等于展开后扇形的弧长相等列式求解．解：如图，在圆锥SO中，已知SP＝2，沿SP剪开再展开，由题意可得PP′＝，可得∠PSP′＝．设圆锥的底面圆半径为r，则2πr＝，得r＝m．故选：A．12．已知函数f（x）＝cos（ωx）（ω＞0），x1，x2，x3∈[0，π]，且∀x∈[0，π]都有f （x1）≤f（x）≤f（x2），满足f（x3）＝0的实数x3有且只有3个，给出下述四个结论：①满足题目条件的实数x1有且只有1个；②满足题目条件的实数x2有且只有1个；③f（x）在（0，）上单调递增；④ω的取值范围是[）．其中所有正确结论的编号是（）A．①④B．②③C．①②③D．①③④【分析】由f（x）＝0，解方程，讨论k＝﹣1，0，1，2，由题意可得ω的取值范围，可判断④；由x∈（0，），可得ωx的范围，结合余弦函数的单调区间，可判断③；再由题意可得f（x）的极大值为f（x2），极小值为f（x1），结合余弦函数的图象可判断①、②．解：函数f（x）＝cos（ωx）（ω＞0），x1，x2，x3∈[0，π]，满足f（x3）＝0的实数x3有且只有3个，由cos（ωx）＝0，可得ωx＝kπ+，k∈Z，由k＝0可得x＝；k＝﹣1可得x＝；k＝1可得x＝；k＝2可得x＝，由x3∈[0，π]，可得＞π，且≤π，解得≤ω＜；故④正确；由x∈（0，），可得ωx∈（﹣，﹣），由≤ω＜，可得﹣∈（﹣，﹣），由y＝cos x在（﹣π，0）递增，可得f（x）在（0，）上单调递增，故③正确；由∀x∈[0，π]都有f（x1）≤f（x）≤f（x2），可得f（x）的极大值为f（x2），极小值为f（x1），由y＝cos x的图象可得f（x）在[0，π]的极大值有两个，极小值一个，故①正确，②错误．其中正确的为①③④．故选：D．二、填空题：共4小题，每小题5分，共20分．13．设曲线y＝e x+1上点P处的切线平行于直线x﹣y﹣1＝0，则点P的坐标是（0，2）．【分析】先对函数求导数，然后根据切点处的导数值等于切线斜率，列出切点横坐标满足的方程即可．解：由题意得y′＝e x，且切线斜率为1．设切点为P（x，y），则e x＝1，所以x＝0，∴y＝e0+1＝2．故切点坐标为（0，2）．故答案为：（0，2）14．某学校选拔新生补进“篮球”、“电子竞技”、“国学”三个社团，根据资料统计，新生通过考核选拔进入这三个社团成功与否相互独立．2019年某新生入学，假设他通过考核选拔进入该校“篮球”、“电子竞技”、“国学”三个社团的概率依次为m，，n，已知这三个社团他都能进入得慨率为，至少进入一个社团的概率为，则m+n＝．【分析】利用相互独立事件及对立事件的概率公式求解．解：因为通过考核选拔进入三个社团的概率依次为m，，n，且相互独立，所以0≤m≤1，0≤n≤1，又因为三个社团他都能进入的概率为，所以①，因为至少进入一个社团的概率为，所以一个社团都不能进入的概率为1＝，所以（1﹣m）（1﹣n）＝，即1﹣m﹣n+mn＝②，联立①②得：m+n＝．故答案为：．15．自湖北爆发新型冠状病毒肺炎疫情以来，湖北某市医护人员和医疗、生活物资严重匮乏，全国各地纷纷驰援．某运输队接到从武汉送往该市物资的任务，该运输队有8辆载重为6t的A型卡车，6辆载重为10t的B型卡车，10名驾驶员，要求此运输队每天至少运送240t物资．已知每辆卡车每天往返的次数为A型卡车5次，B型卡车4次，每辆卡车每天往返的成本A型卡车1200元，B型卡车1800元，则每天派出运输队所花的成本最低为9600．【分析】设每天派出A型卡车x辆，B型卡车y辆，运输队所花成本为z元，根据题意把实际问题数学化，列出需要满足的不等式组，注意x∈N，y∈N，把运输队所花成本z 看作目标函数，画出可行域，根据目标函数平移得到最值的取法．解：设每天派出A型卡车x辆，B型卡车y辆，运输队所花成本为z元，则，且x∈N，y∈N，目标函数z＝1200x+1800y，画出满足条件的可行域如图中阴影部分所示：由图可知，当直线z＝240x+378y经过点B（8，0）时，截距z最小，∵在可行域的整数点中，点（8，0）使z取得最小值，即z min＝1200×8+1800×0＝9600，∴每天排除A型卡车8辆，B型卡车0辆，运输队所花的成本最低，最低成本为9600元，答：每天派出A型卡车8辆，B型卡车0辆，运输队所花的成本最低，最低成本为9600元．16．已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，M为椭圆上异于长轴端点的动点，△MF1F2的内心为I，则＝﹣1．【分析】运用椭圆的定义和圆切线的性质，以及内心的定义，结合解直角三角形的知识，即可求得．解：设△MF1F2的内切圆与△MF1F2相切于D，E，F，设MD＝u，DF1＝v，FF2＝t，则MD＝MF＝u，DF1＝EF1＝v，EF2＝FF2＝t，由椭圆的定义，可得，MF1+MF2＝2a＝2，F1F2＝2c＝2，即有2u+v+t＝2，v+t＝2，即有：2u＝2﹣2，即u＝﹣1，再由＝|MI|cosθ＝|MF|＝u＝﹣1，故答案为：﹣1．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17题～第21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22题～第23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分17．在△ABC中，角A、B、C所对的边为a、b、c，且满．（1）求角B的值；（2）若，求的取值范围，【分析】（1）由已知利用三角函数恒等变换的应用可求cos B＝±，结合范围B∈（0，π），可求B的值．（2）由，可求得B＝，由正弦定理，三角函数恒等变换的应用可求a﹣c ＝sin（A﹣），由已知可求范围≤A﹣＜，利用正弦函数的性质即可求解其取值范围．解：（1）∵＝2（cos A+sin A）（cos A+sin A）＝2（cos2A﹣sin2A）＝×﹣＝+cos2A，∴解得cos2B＝﹣，可得2cos2B﹣1＝﹣，∴可得cos2B＝，∴cos B＝±，∵B∈（0，π），∴B＝或．（2）∵，∴由（1）可得B＝，由正弦定理＝＝2，可得a＝2sin A，c ＝2sin C，∴a﹣c＝2sin A﹣sin C＝2sin A﹣sin（﹣A）＝2sin A﹣sin cos A+cos sin A＝sin A﹣cos A＝sin（A﹣），∵b≤a，∴≤A＜，≤A﹣＜，∴a﹣c∈[，）．18．如图，在四棱锥S﹣ABCD中，侧面SCD为钝角三角形且垂直于底面ABCD，CD＝SD，点M是SA的中点，AD∥BC，∠ABC＝90°，AB＝AD＝BC．（1）求证：BD⊥平面SCD；（2）若直线SD与底面ABCD所成的角为60°，求平面MBD与平面SBC所成的锐二面角的余弦值．【分析】（1）取BC中点E，连接DE，设AB＝AD＝a，BC＝2a，由已知可得BD2+CD2＝BC2，则BD⊥CD，又平面SCD⊥底面ABCD，由面面垂直的性质可得BD⊥平面SCD；（2）过点S作CD的垂线，交CD延长线于点H，连接AH，可得SH⊥CD，则SH⊥底面ABCD，故DH为斜线SD在底面ABCD内的射影，求解三角形可得AH2+DH2＝AD2，从而∠AHD＝90°，过点D作DF∥SH，则DF⊥底面ABCD，可得DB、DC、DF两两垂直，以点D为坐标原点，为x轴正方向，为y轴正方向，为z轴正方向建立空间直角坐标系，然后分别求出平面BMD与平面SBC的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得平面MBD与平面SBC所成的锐二面角的余弦值．【解答】（1）证明：取BC的中点E，连接DE，设AB＝AD＝a，BC＝2a，依题意，四边形ABED为正方形，且有BE＝DE＝CE＝a，BD＝CD＝，∴BD2+CD2＝BC2，则BD⊥CD．又平面SCD⊥底面ABCD，平面SCD⊥底面ABCD＝CD，∴BD⊥平面SCD；（2）解：过点S作CD的垂线，交CD延长线于点H，连接AH，∵平面SCD⊥底面ABCD，平面SCD∩底面ABCD＝CD，SH⊥CD，SH⊂平面SCD，∴SH⊥底面ABCD，故DH为斜线SD在底面ABCD内的射影，∠SDH为斜线SD与底面ABCD所成的角，即∠SDH＝60°．由（1）得，SD＝a，∴在Rt△SHD中，SD＝a，DH＝a，SH＝a，在△ADH中，∠ADH＝45°，AD＝a，DH＝a，由余弦定理得AH＝，∴AH2+DH2＝AD2，从而∠AHD＝90°，过点D作DF∥SH，∴DF⊥底面ABCD，∴DB、DC、DF两两垂直，如图，以点D为坐标原点，为x轴正方向，为y轴正方向，为z轴正方向建立空间直角坐标系，则B（a，0，0），C（0，a，0），S（0，﹣a，a），A（a，﹣a，0），M（a，﹣a，a），设平面MBD的法向量＝（x，y，z），由，取z＝1，得＝（0，，1）；设平面SBC的一个法向量为，由，取x1＝1，得．∴cos＜＞＝＝＝．∴平面MBD与平面SBC所成的锐二面角的余弦值为．19．线段AB为圆M：x2+y2+2x﹣10y+6＝0的一条直径，其端点A，B在抛物线C：x2＝2py （p＞0）上，且A，B两点到抛物线C焦点的距离之和为11．（1）求抛物线C的方程及直径AB所在的直线方程；（2）过M点的直线l交抛物线C于P，Q两点，抛物线C在P，Q处的切线相交于N 点，求△PQN面积的取值范围．【分析】（1）利用抛物线的定义可求出p＝1，再利用点差法求出直线AB的斜率，结合直线AB过圆心M，利用点斜式即可求出直线AB的方程：（2）不妨设P（x1，y1），Q（x2，y2），N（x0，y0），直线l的方程为y＝k（x+1）+5，与抛物线方程联立，利用韦达定理和弦长公式可求出|PQ|，再利用导数的几何意义求出抛物线C在P（x1，y1）的切线方程，把点N（x0，y0）代入切线PN的方程得，同理可得：，故x1，x2为一元二次方程x2﹣2x0x+2y0＝0的两根，再次利用韦达定理得x0＝k，y0＝﹣k﹣5，所以点N到直线PQ 的距离d＝，所以S△PQN＝＝，故当k＝﹣1时，△PQN的面积取得最小值，最小值为27，解：（1）设A（x1，y1），B（x2，y2），抛物线的焦点为F，则|AF|+|BF|＝y1+y2+p，又y1+y2＝10，∴10+p＝11，∴p＝1，∴抛物线C的方程为：x2＝2y，由，两式相减得：＝＝﹣1，∴直线AB的斜率为﹣1，圆M方程：x2+y2+2x﹣10y+6＝0化为坐标方程为：（x+1）2+（y﹣5）2＝20，∴直线AB过圆心（﹣1，5），∴直线AB的方程为：y﹣5＝﹣（x+1），即x+y﹣4＝0；（2）不妨设P（x1，y1），Q（x2，y2），N（x0，y0），直线l的方程为y＝k（x+1）+5，联立方程，消去y得：x2﹣2kx﹣2k﹣10＝0，∴x1+x2＝2k，x1x2＝﹣2k﹣10，∴|PQ|＝＝2，∵抛物线C的方程为x2＝2y，∴，∴y'＝x，∴抛物线C在P（x1，y1）的切线方程为：y﹣y1＝x1（x﹣x1），又∵点N（x0，y0）在切线PN上，则y0﹣y1＝x1（x0﹣x1），即，同理可得：，故x1，x2为一元二次方程x2﹣2x0x+2y0＝0的两根，∴x1+x2＝2x0，x1x2＝2y0，又x1+x2＝2k，x1x2＝﹣2k﹣10，∴x0＝k，y0＝﹣k﹣5，∴点N到直线PQ的距离d＝＝＝，∴S△PQN＝＝2×＝＝，∴当k＝﹣1时，△PQN的面积取得最小值，最小值为27，∴△PQN面积的取值范围为：[27，+∞）．20．已知函数f（x）＝x2+πcos x．（1）求函数f（x）的最小值；（2）若函数g（x）＝f（x）﹣a在（0，+∞）上有两个零点x1，x2，且x1＜x2，求证：x1+x2＜π．【分析】（1）由于函数f（x）为偶函数，故只需求x∈[0，+∞）时f（x）的最小值，利用f′（x）＝2x﹣πsin x，对x分x∈（0，）及x∈（，+∞），两类讨论，即可求得函数f（x）的最小值；（2）只需证＜，其中x1∈（0，），x2∈（，+∞），构造函数F（x）＝f（x）﹣f（π﹣x），x∈（0，），利用导数结合题意可证得x1+x2＜π．解：（1）由于函数f（x）＝x2+πcos x为偶函数，要求函数f（x）的最小值，只需求x∈[0，+∞）时f（x）的最小值即可．因为f′（x）＝2x﹣πsin x，所以，当x∈（0，）时，设h（x）＝2x﹣πsin x，h′（x）＝2﹣πcos x，显然h′（x）单调递增，而h′（0）＜0，h′（）＞0，由零点存在定理，存在唯一的x0∈（0，），使得h′（x0）＝0，…2分当x∈（0，x0），h′（x）＜0，h（x）单减，当x∈（x0，），h′（x）＞0，h（x）单增，而h（0）＝0，h（）＝0，x∈（0，），h（x）＜0，即x∈（0，），f′（x）＜0，f（x）单减，…4分又当x∈（，+∞），2x＞π＞πsin x，f′（x）＞0，f（x）单增，所以f（x）min＝f（）＝；…5分（2）只需证＜，其中x1∈（0，），x2∈（，+∞），构造函数F（x）＝f（x）﹣f（π﹣x），x∈（0，），F′（x）＝f′（x）+f′（π﹣x）＝2π﹣2πsin x＞0，即F（x）单增，所以，F（x）＜F（）＝0，即当x∈（0，）时，f（x）＜f（π﹣x），而x1∈（0，），所以，f（x1）＜f（π﹣x1），又f（x1）＝f（x2），即f（x2）＜f（π﹣x1），此时x2，π﹣x2∈（，+∞），由第（1）问可知，f（x）在（，+∞）上单增，所以，x2＜π﹣x1，x1+x2＜π，即证…12分21．2020年春节期间爆发的新型冠状病毒（2019﹣nCoV），是一种可以借助飞沫和接触传播的变异病毒．某定点医院为筛查某些人是否感染该病毒，需要检验血液是否为阳性，现有n份血液样本，有以下两种检验方式：（a）逐份检验，则需要检验n次；（b）混合检验，将其中k（k∈N*且k≥2）份血液样本分别取样混合在一起检验．若检验结果为阴性，这k份的血液全为阴性，因而这k份血液样本只要检验一次就够了；如果检验结果为阳性，为了明确这k份血液究竟哪几份为阳性，就要对这k份再逐份检验，此时这k份血液的检验次数总共为k+1次．假设在接受检验的血液样本中，每份样本的检验结果是阳性还是阴性都是独立的，且每份样本是阳性结果的概率为p（0＜p＜1）．（1）假设有6份血液样本，其中只有2份样本为阳性，若采用逐份检验方式，求恰好经过4次检验就能把阳性样本全部检验出来的概率；（2）现取其中k（k∈N*且k≥2）份血液样本，记采用逐份检验方式，样本需要检验的总次数为ξ1，采用混合检验方式，样本需要检验的总次数为ξ2．（i）试运用概率统计的知识，若Eξ1＝Eξ2，试求p关于k的函数关系式p＝f（k）；（ii）若，采用混合检验方式可以使得样本需要检验的总次数的期望值比逐份检验的总次数期望值更小，求k的最大值．参考数据：ln2≈0.6931，ln3≈1.0986，ln5≈1.6094，In7≈1.9459【分析】（1）设恰好经过4次检验就能把阳性样本全部检验出来的事件为A，求出概率即可；（2）（i）由已知得Eξ1＝k，ξ2可能的取值为1，k+1，由Eξ1＝Eξ2，求出k的关系式即可；（ii）由题意Eξ1＜Eξ2，所以，两边取对数得lnk＞，设g （x）＝lnx﹣，x≥2，根据函数的单调性结合题目给的条件判断即可．解：（1）设恰好经过4次检验就能把阳性样本全部检验出来的事件为A，则P（A）＝，故恰好经过4次检验就能把阳性样本全部检验出来的概率为；（2）（i）由已知得Eξ1＝k，ξ2可能的取值为1，k+1，所以P（ξ2＝1）＝（1﹣p）k，P（ξ2＝k+1）＝1﹣（1﹣p）k，所以Eξ2＝（1﹣p）k+（k+1）[1﹣（1﹣p）k]＝k+1﹣k（1﹣p）k，由Eξ1＝Eξ2，所以k＝k+1﹣k（1﹣p）k，即1＝k（1﹣p）k，（1﹣p），得p＝1﹣，故p关于k的函数关系式为f（k）＝1﹣，（k∈N*，且k≥2）；（ii）由题意Eξ1＜Eξ2，所以k＜k+1﹣k（1﹣p）k，，由，所以，两边取对数得lnk＞，设g（x）＝lnx﹣，x≥2，由g'（x）＝，当x＞4时，g'（x）＜0，函数递减，当2≤x≤4时，g'（x）＞0，函数递增；ln2≈0.6931＞，ln3≈1.0986，ln5≈1.6094＞，ln6≈1.7917，In7≈1.9459，ln8＝2ln3≈2.0793，ln9≈2.1972＜，故满足条件的k最大为8．（二）选考题：共10分．请考生在22，23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．作答时写清题号．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（θ为参数），以原点为极点，x轴非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为．（1）求曲线C1的极坐标方程以及曲线C2的直角坐标方程；（2）若直线l：y＝kx与曲线C1、曲线C2在第一象限交于P、Q，且|OQ|＝|PQ|，点M 的直角坐标为（1，0），求△PMQ的面积．【分析】（1）直接利用转换关系的应用，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．（2）利用极径的应用和三角函数关系式的恒等变换的应用及面积公式的应用求出结果．解：（1）曲线C1的参数方程为（θ为参数），转换为直角坐标方程为x2+y2﹣4x＝0，转换为极坐标方程为ρ＝4cosθ．曲线C2的极坐标方程为．转换为直角坐标方程为．（2）直线l：y＝kx转换为极坐标方程为θ＝θ0，代入，解得．代入ρ＝4cosθ，得到ρP＝4cosθ0，由于|OQ|＝|PQ|，所以ρP＝2ρQ，故：，解得，，所以，．则．[选修4-5：不等式选讲]23．已知实数a、b满足a2+b2﹣ab＝3．（1）求a﹣b的取值范围；（2）若ab＞0，求证：++≥．【分析】（1）由已知得a2+b2＝3+ab≥2|ab|．①当ab≥0时，3+ab≥2ab，解得ab≤3，即0≤ab≤3；②当ab＜0时，3+ab≥﹣2ab，解得ab≥﹣1，即﹣1≤ab＜0，得0≤3﹣ab≤4，即0≤（a﹣b）2≤4，即﹣2≤a﹣b≤2；（2）由（1）知0＜ab≤3，可得＝＝即．解：（1）因为a2+b2﹣ab＝3，所以a2+b2＝3+ab≥2|ab|．①当ab≥0时，3+ab≥2ab，解得ab≤3，即0≤ab≤3；②当ab＜0时，3+ab≥﹣2ab，解得ab≥﹣1，即﹣1≤ab＜0，所以﹣1≤ab≤3，则0≤3﹣ab≤4，而（a﹣b）2＝a2+b2﹣2ab＝3+ab﹣2ab＝3﹣ab，所以0≤（a﹣b）2≤4，即﹣2≤a﹣b≤2；（2）由（1）知0＜ab≤3，因为＝＝当且仅当ab＝2时取等号，所以．。

（全国卷）2020届高考4月联考试题理（数学） 一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知复数z 满足1(i i i z -=-为虚数单位),则2z =() A.1+ i B.1-iC.2iD. -2i 2.已知集合A=2{|13},{|2940},x x B y y y -≤<=-+≤则A∩B=()A.{x|-1≤x≤4} 1.{|3}2B x x ≤< C.{x|-1≤x<3} D.∅3.实数x,y 满足不等式组1,22,22,x y x y x y +≤⎧⎪-≥-⎨⎪+≥-⎩则目标函数z=2x+ y 的最大值为()A.3B.4C.5D.64.三只小松鼠小芳、小松和点点住在同一-棵大松树上,一天它们在一起玩智力游戏.小芳说:今天我们三个有的吃了松子;小松说:今天我们三个有的没吃松子;点点说:今天我没吃松子.已知它们三个中只有一个说的是真的，则以下判断正确的是()A.全吃了B.全没吃C.有的吃了D.有的没吃 5.已知3sin(15),5α︒+=则cos(30)α︒-=() 72.10A 2.10B - 72.10C 210 72.10D 210- 6.已知函数||sin ()x x f x e =,则函数y= f(x)的大致图象是7.志愿者团队安排去甲、乙、丙、丁四个精准扶贫点慰问的先后顺序,一位志愿者说:不能先去甲，甲的困难户最多;另一位志愿者说:不能最后去丁，丁离得最远.他们总共有多少种不同的安排方法( ) A.14 B.12 C.24 D.288.已知函数()sin()f x A x ωϕ=+(其中A 0,0,||)2πωϕ>>≤离原点最近的对称轴为0,x x =若满足0||,6x π≤,则称f(x)为“近轴函数”.若函数y = 2sin(2x -φ )是"近轴函数" ,则φ的取值范围是( ) [,]62A ππ⋅ .[,]26B ππ-- .[,][,]2662C ππππ--⋃ .[,0][0,]66D ππ-⋃ 9.北宋徽宗在崇宁年间(1102年一1106 年)铸造崇宁通宝钱,因为崇宁通宝版别多样、铜质细腻、铸工精良,钱文为宋徽宗亲笔书写的“瘦金体”，所以后人写诗赞美日:“风流天子书崇观，铁线银钩字字端”.崇宁通宝被称为我国钱币铸造史上的一个巅峰铜钱直径3.5厘米,中间穿口为边长为0.9厘米的正方形.用一根细线把铜钱悬挂在树枝上,假定某位射手可以射中铜钱，但是射在什么位置是随机的(箭头的大小不计).这位射手射中穿口的概率最接近() 1.6A 1.8B 1.10C 1.12D第9题图 第10题图 10.已知四棱锥S- ABCD 的底面是等腰梯形,AB// CD,AD= DC= BC= 1,AB =SA=2,且SA ⊥平面ABCD ，则四棱锥S - ABCD 的外接球的体积为( )A.8π 82.3B π .82C π 2.3D π 11.已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>，直线220x -=与椭圆E 交于点P,与直线2(a x c c ==22a b -交于点Q,O 为坐标原点,且2,OQ OP =u u u r u u r 则椭圆E 的离心率为() 1.2A 1.4B 34C 32D12.已知函数32()3f x x ax ax b =+++的图象在点(1,f(1))处的切线方程为y= -12x+ m,若函数f(x)至少有两个不同的零点，则实数b 的取值范围是()A.( -5,27)B.[-5,27]C.(-1,3]D.[-1,3] 二、填空题:本题共4小题，每小题5分,共20分.13.已知函数2,0,()(2),0,x e x f x f x x ⎧+≤=⎨->⎩则f(2020)=____ 14.已知点O 为坐标原点,向量(1,2),(,),OA OB x y ==u u u r u u u r 且10,OA OB ⋅=u u u r u u u r ||OB uuu r 的最小值____15.已知△ABC 中,角A,B,C 所对的边分别为a,b,c.满足2230,a c b ABC -+=V 的面积53S =且A= 60°,则△ABC 的周长为____16.已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左、右焦点分别为1212,,||10.F F F F =P 为双曲线右支上的一点,直线1PF 交y 轴于点M,交双曲线C 的一条渐近线于点N,且M 是1PF 的中点MN =u u u u r 2,NP uuu r 则双曲线C 的标准方程为____三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22,23题为选考题，考生根据要求作答.(一)必考题:共60分.17.(12分)已知正项数列{}n a 的前n 项和为,n S 满足242n n n S a a =+.等比数列{}n b 满足1122,.a b a b ==( I )求数列{}n a 与数列{n b }的通项公式;(II )若,n n n c a b =⋅,求数列{}n c 的前n 项和.n T18.(12分)如图,已知四棱锥S- ABCD 的底面ABCD 为直角梯形,AB// CD,AD ⊥CD,且AB= AD= 1, SC =5,2,6,SD CD SA ===E 为SC 的中点.( I )求证: BE//平面SAD;(II)求平面SAD 与平面SBC 所成的锐二面角的正弦值.19.(12分)已知抛物线2:2(0)C x py p =>与直线l:y= kx+2交于A,B 两点,O 为坐标原点.当k= 1时,OA ⊥OB. ( I )求抛物线C 的标准方程;(II)点F 为抛物线C 的焦点,求△FAB 面积的最小值.20.(12分) 已知函数2()2(1)1x e x e f x x e x e--=+-++ (I)求函数f(x)的单调区间; (II)设函数2ln(1)()()2(1)1x F x f x x e x m x -=-++++-,若F(x)≤0对任意x> 1恒成立,求实数m 的取值范围.21.(12分)2019年6月6日,中国商务部正式下发5G 商用牌照,中国正式进入5G 商用元年.在5G 基站的建设中对零部件的要求非常严格,一次质检人员发现有1个次品部件混入了5个正品部件中.从外观看这6个部件是完全一-样的,5 个正品部件一样重,1 个次品部件略轻一些现有两个方案通过用电子秤称重的办法把次品部件挑出来.A 方案:逐一称重，称重一次不能确定是否是次品部件,称重两次,若重量相同则都是正品部件如果有1个较轻，则是次品部件，结束称重.依次进行,直到挑出次品部件. B 方案:把6个部件任意分成3组,每组2个，然后称重.(I)分析A,B两个方案,分别求出恰好称重3次挑出次品部件的概率;(II)如果称重一次需要2分钟,试比较A, B两个方案哪一个用时更少,并说明原因.(二)选考题:共10分.请考生在第22,23题中任选一题作答，如果多做,则按所做的第一题记分，作答时，请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.22.[选修4-4:坐标系与参数方程](10分)在平面直角坐标系x0y中,已知直线l的参数方程为1cos1sinx ty tαα=+⎧⎨=+⎩(α∈R,t为参数).以坐标原点O为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为ρ+2cosθ=0.( I )求曲线C的直角坐标方程;(II)若曲线C上的点到直线l51,求tanα的值.23.[选修4-5:不等式选讲](10分)已知函数f(x)= |x+a| +|x-1|.( I )当a=2时,解关于x的不等式f(x)- x≥8;(II )若关于x的不等式f(x)≤|x-5|在[0,2]上恒成立,求实数a的取值范围. .。

2020届湖北省荆门市高三下学期4月模拟考试数学（理）试卷★祝考试顺利★(解析版)全卷满分150分,考试用时120分钟一、选择题：本题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知i 是虚数单位,若复数321i z i=-,则z =（ ） A. 1i -B. 1i +C. 1i --D. 1i -+【答案】B【解析】 根据复数运算化简复数z ,再求共轭复数即可. 【详解】3211i z i i==--,1z i ∴=+． 故选：B ．2.已知集合11A x x ⎧⎫=>⎨⎬⎩⎭,(){}lg 3B x y x ==-,则（ ） A. (),1A B =-∞B. ()0,3A B =C. R A C B =∅D. [)1,R C A B =+∞【答案】C【解析】 求解分式不等式和对数函数的定义域,解得集合,A B ,则问题得解. 【详解】{}01A x x =<<,{}3B x x =<,R A C B ∴=∅．故选：C ．3.已知等差数列{}n a ,其前n 项和为n S ,且1593a a a m ++=,则6792a a S -=（ ） A. 5m B. 9m C. 15 D. 19【答案】D【解析】根据等差数列的前n 项和性质,即可容易求得结果. 【详解】676595521999a a a d a S a a --===． 故选：D ．4.已知0,0a b >>,则“1ab >”是“2a b +>”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】先由1ab >判断是否能推出2a b +>,再由2a b +>判断是否能推出1ab >,即可得出结果.【详解】已知a 0,b 0>>充分性： 若1ab ，>因为22a b 2ab +≥,所以()2a b 4ab +≥,所以()2a b 4+>,所以2a b +>；必要性：若2a b +>,则当133a b ==，时,1ab =,所以必要性不成立； 因此“1ab >”是“2a b +>”的充分不必要条件.5.2019冠状病毒病（CoronaVirus Disease 2019（COVID -19））是由新型冠状病毒（2019-nCoV ）引发的疾病,目前全球感染者以百万计,我国在党中央、国务院、中央军委的坚强领导下,已经率先控制住疫情,但目前疫情防控形势依然严峻,湖北省中小学依然延期开学,所有学生按照停课不停学的要求,居家学习．小李同学在居家上购买了一套高考数学冲刺模拟试卷,快递员计划在下午4：00～5：00之间送货到小区门口的快递柜中,小李同学父亲参加防疫志愿服务,按规定,他换班回家的时间在下午4：30～5：00,则小李父亲收到试卷无需等待的概率为（ ） A. 18B. 14C. 34D. 78 【答案】C【解析】。

2020年湖北省高考数学模拟试卷（理科）（4月份）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知实数集R ，集合，集合，则A. B.C. D.2.已知，若，则A. B. C. D.3.若，则A. 0B. 1C.D. 24.中国历法推测遵循以测为辅、以算为主的原则．例如周髀算经和易经里对二十四节气的晷影长的记录中，冬至和夏至的晷影长是实测得到的，其它节气的晷影长则是按照等差数列的规律计算得出的．下表为周髀算经对二十四节气晷影长的记录，其中寸表示115寸分寸分．节气冬至小寒大雪大寒小雪立春立冬雨水霜降惊蛰寒露春分秋分清明白露谷雨处暑立夏立秋小满大暑芒种小暑夏至晷影长寸135已知易经中记录某年的冬至晷影长为寸，夏至晷影长为寸，按照上述规律那么易经中所记录的春分的晷影长应为A. 寸B. 寸C. 寸D. 寸5.我国著名数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休．在数学的学习和研究中，常用函数的图象研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数的图象特征．如函数的图象大致为A. B.C. D.6.已知，则A. B. C. D.7.设等比数列的公比为q，前n项和为，则“”是“”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件8.如图，在平行四边形ABCD中，，F为BC的中点，G为EF上的一点，且，则实数m的值为A. B. C. D.9.已知函数，若存在，且，使得成立，则实数a的取值范围是A. B. C. D.10.已知双曲线的左右焦点分别为，，过的直线与C的两条渐近线分别交于A、B两点，若以为直径的圆过点B，且A为的中点，则C的离心率为A. B. 2 C. D.11.一竖立在水平地面上的圆锥形物体的母线长为2m，一只蚂蚁从圆锥的底面圆周上的点P出发，绕圆锥表面爬行一周后回到P点，蚂蚁爬行的最短路径为，则圆锥的底面圆半径为A. B. 1m C. D.12.已知函数，，，，且都有，满足的实数有且只有3个，给出下述四个结论：满足题目条件的实数有且只有1个；满足题目条件的实数有且只有1个；在上单调递增；的取值范围是其中所有正确结论的编号是A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.设曲线上点P处的切线平行于直线，则点P的坐标是______．14.某学校选拔新生补进“篮球”、“电子竞技”、“国学”三个社团，根据资料统计，新生通过考核选拔进入这三个社团成功与否相互独立．2019年某新生入学，假设他通过考核选拔进入该校“篮球”、“电子竞技”、“国学”三个社团的概率依次为m，，n，已知这三个社团他都能进入得慨率为，至少进入一个社团的概率为，则______．15.自湖北爆发新型冠状病毒肺炎疫情以来，湖北某市医护人员和医疗、生活物资严重匮乏，全国各地纷纷驰援．某运输队接到从武汉送往该市物资的任务，该运输队有8辆载重为6t的A型卡车，6辆载重为10t的B型卡车，10名驾驶员，要求此运输队每天至少运送240t物资．已知每辆卡车每天往返的次数为A型卡车5次，B型卡车4次，每辆卡车每天往返的成本A型卡车1200元，B型卡车1800元，则每天派出运输队所花的成本最低为______．16.已知椭圆的左、右焦点分别为，，M为椭圆上异于长轴端点的动点，的内心为I，则______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.在中，角A、B、C所对的边为a、b、c，且满．求角B的值；若，求的取值范围，18.如图，在四棱锥中，侧面SCD为钝角三角形且垂直于底面ABCD，，点M是SA的中点，，，．求证：平面SCD；若直线SD与底面ABCD所成的角为，求平面MBD与平面SBC所成的锐二面角的余弦值．19.线段AB为圆M：的一条直径，其端点A，B在抛物线C：上，且A，B两点到抛物线C焦点的距离之和为11．求抛物线C的方程及直径AB所在的直线方程；过M点的直线l交抛物线C于P，Q两点，抛物线C在P，Q处的切线相交于N点，求面积的取值范围．20.已知函数．求函数的最小值；若函数在上有两个零点，，且，求证：．21.2020年春节期间爆发的新型冠状病毒，是一种可以借助飞沫和接触传播的变异病毒．某定点医院为筛查某些人是否感染该病毒，需要检验血液是否为阳性，现有n份血液样本，有以下两种检验方式：逐份检验，则需要检验n次；混合检验，将其中且份血液样本分别取样混合在一起检验．若检验结果为阴性，这k份的血液全为阴性，因而这k份血液样本只要检验一次就够了；如果检验结果为阳性，为了明确这k份血液究竟哪几份为阳性，就要对这k份再逐份检验，此时这k份血液的检验次数总共为次．假设在接受检验的血液样本中，每份样本的检验结果是阳性还是阴性都是独立的，且每份样本是阳性结果的概率为．假设有6份血液样本，其中只有2份样本为阳性，若采用逐份检验方式，求恰好经过4次检验就能把阳性样本全部检验出来的概率；现取其中且份血液样本，记采用逐份检验方式，样本需要检验的总次数为，采用混合检验方式，样本需要检验的总次数为．试运用概率统计的知识，若，试求p关于k的函数关系式；若，采用混合检验方式可以使得样本需要检验的总次数的期望值比逐份检验的总次数期望值更小，求k的最大值．参考数据：，，，22.在平面直角坐标系xOy中，曲线的参数方程为为参数，以原点为极点，x 轴非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．求曲线的极坐标方程以及曲线的直角坐标方程；若直线l：与曲线、曲线在第一象限交于P、Q，且，点M的直角坐标为，求的面积．23.已知实数a、b满足．求的取值范围；若，求证：．-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析：解：，，，．故选：C．可以求出集合B，然后进行交集和补集的运算即可．本题考查了描述法的定义，交集和补集的运算，考查了计算能力，属于基础题．2.答案：B解析：解：设．，，，，解得，．则，故选：B．设由，可得，，，解得b，a．本题考查了复数的运算性质、复数相等，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3.答案：A解析：解：因为：，令可得：；令可得：；故．故选：A．令求得，再令即可求解结论．本题主要考查二项式定理的应用，注意根据题意，分析所给代数式的特点，通过给二项式的x赋值，求展开式的系数和，可以简便的求出答案，属于基础题．4.答案：D解析：解：由题意，晷影长则是按照等差数列的规律计算得出的，冬至晷影长为寸，设为，夏至晷影长为寸，则为，春分的晷影长为；；即春分的晷影长为．由题意，晷影长则是按照等差数列的规律计算得出的，冬至晷影长为寸，设为，夏至晷影长为寸，则为，春分的晷影长为，根据等差数列的性质即可求解．本题考查了等差数列的应用，属于基础题．5.答案：B解析：解：根据题意，设，有，即函数为偶函数，排除A、D；设，则，在区间上，为减函数，且，，其对称轴为，开口向下，在区间上为增函数，上为减函数，在区间上，为减函数，此时，函数为减函数，故函数为增函数，排除C；故选：B．根据题意，设，分析函数的奇偶性可以排除A、D，结合复合函数单调性的判断方法分析可得函数为增函数，排除C；即可得答案．本题考查函数的图象分析，涉及函数的奇偶性的分析，属于基础题．6.答案：D解析：解：，，，，，，，，故选：D．利用对数函数和指数函数的性质求解．本题考查三个数的大小的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对数函数和指数函数的性质的合理运用．7.答案：C解析：解：若时，，时，，符合题意，是充分条件；反之也成立，故“”是“”的充要条件，故选：C．根据等比数列的前n项和为结合充分条件和必要条件的定义进行判断．本题主要考查充分条件和必要条件的应用，利用等比数列的性质是解决本题的关键．解析：解：，F为BC的中点，，，设，又，，解得．故选：A．可根据条件得出，并可设，然后根据向量加法的几何意义和向量的数乘运算即可得出，从而根据平面向量基本定理即可得出，解出m即可．本题考查了向量加法和数乘的几何意义，向量的数乘运算，平面向量基本定理，考查了计算能力，属于基础题．9.答案：C解析：【分析】本题考查分段函数，函数的单调性的应用，是中档题．当，即时，由二次函数的图象和性质，可知存在，且，使得成立；当，即时，若存在，且，使得成立，则，由此能求出实数a的取值范围．【解答】解：函数，存在，且，使得成立，当，即时，由二次函数的图象和性质，可知：存在，且，使得成立，当，即时，若存在，且，使得成立，则，解得，，综上所述：实数a的取值范围是．故选：C．10.答案：B解析：解：如图，因为A为的中点，所以，又因为B在圆上，所以，故，则：，联立，解得，则，整理得：，，即，，．故选：B．由题意画出图形，结合已知可得，写出的方程，与联立求得B点坐标，再由斜边的中线等于斜边的一半求解．本题考查双曲线的简单性质，考查数形结合的解题思想方法，考查计算能力，是中档题．11.答案：A解析：解：如图，在圆锥SO中，已知，沿SP剪开再展开，由题意可得，可得．设圆锥的底面圆半径为r，则，得故选：A．由题意画出图形，沿母线SP剪开再展开，由圆锥的底面周长等于展开后扇形的弧长相等列式求解．本题考查多面体与旋转体表面上的最短距离问题，考查弧长公式的应用，是基础题．12.答案：D解析：解：函数，，，，满足的实数有且只有3个，由，可得，，由可得；可得；可得；可得，由，可得，且，解得；故正确；由，可得，由，可得，由在递增，可得在上单调递增，故正确；由都有，可得的极大值为，极小值为，由的图象可得在的极大值有两个，极小值一个，故正确，错误．其中正确的为．故选：D．由，解方程，讨论，0，1，2，由题意可得的取值范围，可判断；由，可得的范围，结合余弦函数的单调区间，可判断；再由题意可得的极大值为，极小值为，结合余弦函数的图象可判断、．本题考查三角函数的图象和性质，考查转化思想和化简运算能力、推理能力，属于中档题．13.答案：解析：解：由题意得，且切线斜率为1．设切点为，则，所以，．故切点坐标为．故答案为：先对函数求导数，然后根据切点处的导数值等于切线斜率，列出切点横坐标满足的方程即可．本题考查了利用导数的几何意义的应用，本题利用切点处的导数等于切线斜率构造方程求解，注意掌握．14.答案：解析：解：因为通过考核选拔进入三个社团的概率依次为m，，n，且相互独立，所以，，又因为三个社团他都能进入的概率为，所以，因为至少进入一个社团的概率为，所以一个社团都不能进入的概率为，所以，即，联立得：．故答案为：．利用相互独立事件及对立事件的概率公式求解．正确使用相互独立事件及对立事件的概率公式进行计算，是解决此题的关键．15.答案：9600解析：解：设每天派出A型卡车x辆，B型卡车y辆，运输队所花成本为z元，则，且，，目标函数，画出满足条件的可行域如图中阴影部分所示：由图可知，当直线经过点时，截距z最小，在可行域的整数点中，点使z取得最小值，即，每天排除A型卡车8辆，B型卡车0辆，运输队所花的成本最低，最低成本为9600元，答：每天派出A型卡车8辆，B型卡车0辆，运输队所花的成本最低，最低成本为9600元．设每天派出A型卡车x辆，B型卡车y辆，运输队所花成本为z元，根据题意把实际问题数学化，列出需要满足的不等式组，注意，，把运输队所花成本z看作目标函数，画出可行域，根据目标函数平移得到最值的取法．本题主要考查了简单的线性规划问题，根据题意列出不等式组是解题关键，本题属于中档题．16.答案：解析：解：设的内切圆与相切于D，E，F，设，，，则，，，由椭圆的定义，可得，，，即有，，即有：，即，再由，故答案为：．运用椭圆的定义和圆切线的性质，以及内心的定义，结合解直角三角形的知识，即可求得．本题考查椭圆的方程的定义，考查切线的性质，内心的定义，属于难题．17.答案：解：，解得，可得，可得，，，或．，由可得，由正弦定理，可得，，，，，，解析：由已知利用三角函数恒等变换的应用可求，结合范围，可求B的值．由，可求得，由正弦定理，三角函数恒等变换的应用可求，由已知可求范围，利用正弦函数的性质即可求解其取值范围．本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，正弦定理，正弦函数的性质的应用，考查了转化思想和函数思想，属于中档题．18.答案：证明：取BC的中点E，连接DE，设，，依题意，四边形ABED为正方形，且有，，，则．又平面底面ABCD，平面底面，平面SCD；解：过点S作CD的垂线，交CD延长线于点H，连接AH，平面底面ABCD，平面底面，，平面SCD，底面ABCD，故DH为斜线SD在底面ABCD内的射影，为斜线SD与底面ABCD所成的角，即．由得，，在中，，，，在中，，，，由余弦定理得，，从而，过点D作，底面ABCD，、DC、DF两两垂直，如图，以点D为坐标原点，为x轴正方向，为y轴正方向，为z轴正方向建立空间直角坐标系，则0，，，，，，设平面MBD的法向量y，，由，取，得；设平面SBC的一个法向量为，由，取，得．．平面MBD与平面SBC所成的锐二面角的余弦值为．解析：取BC中点E，连接DE，设，，由已知可得，则，又平面底面ABCD，由面面垂直的性质可得平面SCD；过点S作CD的垂线，交CD延长线于点H，连接AH，可得，则底面ABCD，故DH为斜线SD在底面ABCD内的射影，求解三角形可得，从而，过点D作，则底面ABCD，可得DB、DC、DF两两垂直，以点D为坐标原点，为x轴正方向，为y轴正方向，为z轴正方向建立空间直角坐标系，然后分别求出平面BMD 与平面SBC的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得平面MBD与平面SBC所成的锐二面角的余弦值．本题考查直线与平面垂直的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用空间向量求解空间角，是中档题．19.答案：解：设，，抛物线的焦点为F，则，又，，，抛物线C的方程为：，由，两式相减得：，直线AB的斜率为，圆M方程：化为坐标方程为：，直线AB过圆心，直线AB的方程为：，即；不妨设，，，直线l的方程为，联立方程，消去y得：，，，，抛物线C的方程为，，，抛物线C在的切线方程为：，又点在切线PN上，则，即，同理可得：，故，为一元二次方程的两根，，，又，，，，点N到直线PQ的距离，，当时，的面积取得最小值，最小值为27，面积的取值范围为：．解析：利用抛物线的定义可求出，再利用点差法求出直线AB的斜率，结合直线AB过圆心M，利用点斜式即可求出直线AB的方程：不妨设，，，直线l的方程为，与抛物线方程联立，利用韦达定理和弦长公式可求出，再利用导数的几何意义求出抛物线C在的切线方程，把点代入切线PN的方程得，同理可得：，故，为一元二次方程的两根，再次利用韦达定理得，，所以点N到直线PQ的距离，所以，故当时，的面积取得最小值，最小值为27，本题主要考查了抛物线的定义，以及直线与抛物线的位置关系，是中档题．20.答案：解：由于函数为偶函数，要求函数的最小值，只需求时的最小值即可．因为，所以，当时，设，，显然单调递增，而，，由零点存在定理，存在唯一的，使得，分当，，单减，当，，单增，而，，，，即，，单减，分又当，，，单增，所以；分只需证，其中，，构造函数，，，即单增，所以，，即当时，，而，所以，，又，即，此时，，由第问可知，在上单增，所以，，，即证分解析：由于函数为偶函数，故只需求时的最小值，利用，对x分及，两类讨论，即可求得函数的最小值；只需证，其中，，构造函数，，利用导数结合题意可证得．本题考查利用导数来求曲线某点的切线方程及利用导数研究函数的单调性，考查函数与方程思想、分类讨论思想及等价转化思想的综合运用，考查逻辑推理与运算能力，属于难题．21.答案：解：设恰好经过4次检验就能把阳性样本全部检验出来的事件为A，则，故恰好经过4次检验就能把阳性样本全部检验出来的概率为；由已知得，可能的取值为1，，所以，，所以，由，所以，即，，得，故p关于k的函数关系式为，，且；由题意，所以，，由，所以，两边取对数得，设，，由，当时，，函数递减，当时，，函数递增；，，，，，，，故满足条件的k最大为8．解析：设恰好经过4次检验就能把阳性样本全部检验出来的事件为A，求出概率即可；由已知得，可能的取值为1，，由，求出k的关系式即可；由题意，所以，两边取对数得，设，，根据函数的单调性结合题目给的条件判断即可．本题考查了求事件的概率，考查了数学期望与函数求导的综合，考查运算能力和实际应用能力，中档题．22.答案：解：曲线的参数方程为为参数，转换为直角坐标方程为，转换为极坐标方程为．曲线的极坐标方程为转换为直角坐标方程为．直线l：转换为极坐标方程为，代入，解得．代入，得到，由于，所以，故：，解得，，所以，．则．解析：直接利用转换关系的应用，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．利用极径的应用和三角函数关系式的恒等变换的应用及面积公式的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，极径的应用，一元二次方程根和系数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．23.答案：解：因为，所以．当时，，解得，即；当时，，解得，即，所以，则，而，所以，即；由知，因为当且仅当时取等号，所以．解析：由已知得．当时，，解得，即；当时，，解得，即，得，即，即；由知，可得即．本题考查了不等式的性质，不等式的证明，属于中档题．。

2020年湖北省高考数学模拟试卷(理科)(4月份)一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. R 是实数集，A ={x|3≤x <7}，B ={x|4<x <10}，则(∁R A)∩B =( )A. [3,10)B. (4,7)C. [7,10)D. [3,4]2. 若复数z 满足|z|⋅z .=20−15i ，则z 的虚部为( )A. 3B. −3C. 3iD. −3i3. 记(2−x)7=a 0+a 1(1+x)+⋯…+a 7(1+x)7，则a 0+a 1+a 2+⋯…+a 6的值为( )A. 1B. 2C. 129D. 21884. 已知函数f(x)=log 21−x1+x ，若f(a)=12，则f(−a)=( )．A. 2B. −2C. 12D. −125. 函数f(x)=sinx +cosx x的大致图象为( )A.B.C.D.6. 如果log 12x <log 12y <0，那么( ) A. y <x <1 B. x <y <1 C. y >x >1 D. x >y >17. 已知p ：f(x +1)是偶函数，q ：函数f(x)关于直线x =1对称，则p 是q 的( )A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件8. 在平行四边形ABCD 的边AD 上一点E 满足AE =14AD ，且AC ∩BD =F ，若AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ,AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，则EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =( ) A. 12a⃗ +14b ⃗ B. 12a⃗ −14b ⃗ C. −12a⃗ +14b ⃗ D. 14a⃗ +14b ⃗ 9. 已知函数f(x)={x 2−2ax +8,x ≤12x,x >1，f(x)在定义域上单调递减，则实数a 的范围为( )A. (1,72)B. (1,+∞)C. [1,72]D. (−∞,72]10. 双曲线C ：x 2a 2−y 2b2=1(a >0,b >0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 在C 上，△PF 1F 2为等腰直角三角形，则双曲线的离心率为( )A. √2−1B. √2+1C. √3D. √3+111. 如图，圆锥顶点为P ，底面圆心为O ，过轴PO 的截面PAB ，C 为PA 中点，PA =4√3，PO =6，则从点C 经圆锥侧面到点B 的最短距离为( )A. 2√15B. 2√15−6√2C. 6D. 2√15−6√312. 已知函数f(x)=sin(2x +φ)，其中φ为实数，若f(x)≤|f(π6)|对x ∈R 恒成立，且f(π2)<f(π).则下列结论正确的是( )A. f(1112π)=−1 B. f(7π10)>f(π5) C. f(x)是奇函数D. f(x)的单调递增区间是[kπ−π3,kπ+π6](k ∈Z)二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知曲线y =13x 3+x 2上点P 处切线的斜率为3，则点P 的坐标为____________14. 北京大学为响应习近平总书记寄语青年人“忠于祖国不负时代，放飞青春梦想实现中华民族伟大复兴”新建立3个社团，若每位同学参加各个社团的可能性相同，每位同学必须参加社团且只能参加其中一个社团，则甲、乙两位同学参加同一社团的概率为_____．15. 已知满足{x ≥2x +y ≤42x −y −m ≤0 ，若目标函数z =3x +y 的最大值为10，则z 的最小值为______．16. 已知F 1，F 2分别为椭圆C ：x 29+y 25=1的左、右焦点，M 是椭圆上位于第一象限的一点，|MF 1|=133，A 、B 是椭圆C 上异于M 的两点，且△AMB 的重心为F 2，则直线AB 的斜率为________． 三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足(2c −a)cosB −bcosA =0．(Ⅰ)求角B 的大小；(Ⅱ)求√3sinA +sin(C −π6)的取值范围．18. 如图，在四棱锥P −ABCD 中，底面ABCD 为矩形且AD =2AB ，侧面PAD ⊥底面ABCD ，且侧面PAD 是正三角形，E 是AD 中点．(1)证明：CE ⊥平面PBE ； (2)求二面角D −PC −B 的余弦值．19. 已知A ，B 两点在抛物线C ：x 2=4y 上，点M(0,4)满足MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λBM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ．(1)若线段|AB|=12√2，求直线AB 的方程；(2)设抛物线C过A、B两点的切线交于点N.求证：点N在一条定直线上．20.设函数f(x)=ln(2x+3)+x2，求f(x)在(−1,+∞)上的最小值．21.五一期间，某商场决定从2种服装、3种家电、4种日用品中，选出3种商品进行促销活动．(1)试求选出3种商品中至少有一种是家电的概率；(2)商场对选出的某商品采用抽奖方式进行促销，即在该商品现价的基础上将价格提高60元，规定购买该商品的顾客有3次抽奖的机会：若中一次奖，则获得数额为n元的奖金；若中两次奖，则获得数额为3n元的奖金；若中三次奖，则共获得数额为 6n元的奖金．假设顾客每次抽奖中奖的概率都是1，请问：商场将奖金数额n最高定为多少元，才能使促销方案对商场利益无4损害？22. 在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为{x =cosαy =1+sinα(α为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系． (Ⅰ)求曲线C 的极坐标方程；(Ⅱ)设A ，B 为曲线C 上两点(均不与O 重合)，且满足∠AOB =π3，求|OA|+|OB|的最大值．23. 若a >b >0，求证：a +1(a−b)b ≥3．【答案与解析】1.答案：C解析：解：∁R A ={x|x <3，或x ≥7}； ∴(∁R A)∩B =[7,10)． 故选：C ．进行补集、交集的运算即可．考查描述法、区间的定义，以及补集、交集的运算．2.答案：A解析：解：设z =a +bi(a,b ∈R)，由|z|⋅z .=20−15i ，得√a 2+b 2(a −bi)=20−15i ， ∴{√a 2+b 2b =15√a 2+b 2a=20，解得a =4，b =3．∴z 的虚部为3． 故选：A ．设z =a +bi(a,b ∈R)，代入|z|⋅z .=20−15i ，由复数相等的条件列式求得a ，b 得答案． 本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数模的求法，是基础的计算题．3.答案：C解析：解：记(2−x)7=a 0+a 1(1+x)+⋯+a 7(1+x)7=−[−3+(x +1)]7，∴a 7=−C 77=−1，则令x =0，可得a 0+a 1+a 2+⋯+a 6+a 7=a 0+a 1+a 2+⋯+a 6−1=27=128， 则a 0+a 1+a 2+⋯+a 6=129， 故选：C ．二项式即−[−3+(x +1)]7，求得a 7 的值，可得a 0+a 1+a 2+⋯+a 6的值．本题主要考查二项式定理的应用，注意分析所给代数式的特点，通过给二项式的x 赋值，求展开式的系数和，属于基础题．4.答案：D解析：由已知得函数的定义域为(−1,1)且f(−x)=log21−(−x)1+−x =−log21−x1+x=−f(x)，所以函数f(x)是奇函数，故f(−a)=−f(a)=−12，故选D．5.答案：B解析：本题考查函数的图象的判断，函数的奇偶性，属于简单题．利用函数的奇偶性排除错误选项，然后再利用函数值的正负判断即可．解：函数f(x)=sinx+cosxx ，定义域关于原点对称，满足函数f(−x)=−sinx−cosxx=−f(x)，所以函数为奇函数，排除A、C，因为x∈(0,π2)时，sinx>0，cosxx>0，此时f(x)>0，所以排除D，故选：B．6.答案：D解析：本题考查对数函数的性质，属于基础题.根据题意，结合对数函数的性质求解即可．解：log12x<log12y<0=log121，因为log12x为减函数，则x>y>1．故选D．7.答案：C解析：解：若f(x+1)是偶函数，则f(−x+1)=f(x+1)，则函数f(x)关于直线x=1对称，则p是q的充要条件，故选：C根据函数的性质以及充分条件和必要条件的定义即可得到结论．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据函数奇偶性和对称性的性质是解决本题的关键．8.答案：A解析：解：根据题意得AE ⃗⃗⃗⃗⃗=14AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，F 为AC 和BD 的交点，∴F 为AC 的中点， ∴AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =12AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =12(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=12(a ⃗ +b ⃗ )，∴EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =AF ⃗⃗⃗⃗⃗ −AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =12a ⃗ +12b ⃗ −14b ⃗ =12a ⃗ +14b ⃗ ，故选：A ．AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =14AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =12(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )由向量的减法得EF ⃗⃗⃗⃗⃗ 本题考查平面向量基本定理及向量的表示．9.答案：C解析：本题考查分段函数的单调性，注意函数单调性的定义，属于基础题．由分段函数的解析式知，当x >1时，f(x)单调递减，f(x)<2，当x ⩽1时，f(x)在(−∞,a )上单调递减，则{a ⩾1f (1)=1−2a +8⩾2，求解即可．解：∵函数f(x)={x 2−2ax +8,x ≤12x,x >1，当x >1时，f(x)=2x ，函数f(x)单调递减，则f(x)<2， 当x ⩽1时，f(x)=x 2−2ax +8=(x −a )2+8−a 2，函数f(x)的图象开口向上，对称轴为x =a ，f(x)在(−∞,a )上单调递减， ∵f(x)在定义域上单调递减，则{a ⩾1f (1)=1−2a +8⩾2，解得1⩽a ⩽72． ∴实数a 的范围为．故选C ．10.答案：B解析：本题考查了双曲线的性质，离心率的计算，属于中档题． 根据F 1F 2=PF 2列方程得出a ，b ，c 的关系，从而得出答案． 解：不妨设P 在第一象限，∵△PF 1F 2为等腰直角三角形，F 1F 2=PF 2，且F 1F 2⊥PF 2，把x=c代入双曲线方程得y=b2a ，即PF2=b2a，∴2c=b2a =c2−a2a，即c2−2ac−a2=0，∴e2−2e−1=0，解得e=√2+1或e=−√2+1(舍)，故选：B．11.答案：A解析：本题考查旋转体表面上的最短距离问题，考查弧长公式的应用，是基础题．由题意画出图形，得到圆锥沿母线剪开再展开的图形，由勾股定理求解．解：如图，沿圆锥母线PA剪开再展开，∵PA=4√3，PO=6，∴OA=2√3，则圆锥底面周长为4√3π，展开后所得扇形为半圆，B到B′处，则从点C经圆锥侧面到点B的最短距离为√(2√3)2+(4√3)2=2√15．故选：A．12.答案：D解析：根据题意首先判断φ的取值，然后逐条验证．对A，代入求值即可；对B，代入比较大小即可；对C，根据奇函数定义，验证是否适合；对D，通过解不等式求单调区间的方法求解．本题借助考查命题的真假判断，考查三角函数的性质．解：∵f(x)≤|f(π6)|对x∈R恒成立，∴2×π6+φ=kπ+π2⇒φ=kπ+π6，k∈Z．∵f(π2)<f(π)⇒sin(π+φ)=−sinφ<sin(2π+φ)=sinφ⇒sinφ>0．∴φ=2kπ+π6，k∈Z.不妨取φ=π6f(11π12)=sin2π=0，∴A×；∵f(7π10)=sin(7π5+π6)=sin47π30=−sin17π30<0，f(π5)=sin(2π5+π6)=sin17π30>0，∴B×；∵f(−x)≠−f(x)，∴C×；∵2kπ−π2≤2x+π6≤2kπ+π2⇒kπ−π3≤x≤kπ+π6，k∈Z.∴D√；故选D．13.答案：(1,43)或(−3,0)解析：本题考查导数的几何意义，设P的坐标，然后利用导数的几何意义求解即可．解：设P(x0,y0)，又y=13x3+x2，所以y′=x2+2x，由已知有x02+2x0=3，所以x0=1或−3，所以点P的坐标为(1,43)或(−3,0)．故答案为(1,43)或(−3,0)．14.答案：13解析：本题考查相互独立事件同时发生的概率计算，属于基础题目．先得出甲乙参加A 社团的概率，求出甲乙都参加A 社团的概率，进而得出答案．解：记3个社团分别为A,B,C ，依题意甲参加A 社团的概率为13，乙参加A 社团的概率为13， 所以甲和乙都参加A 社团的概率为13×13=19，同理可得甲和乙都参加B 社团的概率为19，甲和乙都参加C 社团的概率为19， 所以甲、乙两位同学参加同一社团的概率为19+19+19=13．故答案为：13．15.答案：5解析：解：不等式组对应的平面区域如图： 由z =3x +y 得y =−3x +z平移直线y =−3x +z ，则由图象可知当直线y =−3x +z 经过点C 时，直线y =−3x +z 的截距最大，此时z 最大，为3x +y =10由{3x +y =10x +y =4，解得{x =3y =1，即C(3,1)，此时C 在2x −y −m =0上， 则m =5．当直线y =−3x +z 经过点A 时，直线y =−3x +z 的截距最小，此时z 最小， 由{x =22x −y −5=0，得{x =2y =−1，即A(2,−1)， 此时z =3×2−1=5， 故答案为：5．作出不等式组对应的平面区域，根据z 的几何意义，利用数形结合即可得到m 的值．然后即可得到结论．本题主要考查线性规划的应用，根据z 的几何意义，利用数形结合是解决本题的关键．16.答案：43解析：本题考查椭圆的性质和几何意义，属于中档题．根据椭圆的定义求出|MF 2|的长，根据焦半径的公式得到MF 2⊥F 1F 2，再结合重心的坐标公式，得到A 、B 的横、纵坐标之和，联想到点差法求出直线AB 的斜率． 解：易知F 2(2,0).∵|MF 1|=133，∴|MF 2|=2×3−133=53=b 2a，根据焦半径公式可得MF 2⊥F 1F 2，M(2,53)． 设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)， 由题知x 1+x 2+23=2，y 1+y 2+533=0，则x 1+x 2=4，y 1+y 2=−53． 又∵A 、B 在椭圆C 上，∴x 129+y 125=1，x 229+y 225=1，相减得y 1−y 2x 1−x 2=−59⋅x 1+x2y 1+y 2=−59×4−53=43．故答案为：43．17.答案：解：(Ⅰ)在△ABC 中，∵(2c −a)cosB −bcosA =0，∴2sinCcosB −sinAcosB −sinBcosA =0， 即2sinCcosB −sin(A +B)=0， 又sin(A +B)=sinC ，∴2sinCcosB −sinC =0即sinC(2cosB −1)=0， ∵C 是三角形的内角，sinC ≠0， ∴cosB =12，且B 是三角形内角， ∴B =π3．(Ⅱ)由(Ⅰ)可得√3sinA+sin(C−π6)=√3sinA+cosA=2sin(A+π6)，∵A∈(0,2π3)，∴A+π6∈(π6,5π6)，∴sin(A+π6)∈(12,1]，∴2sin(A+π6)∈(1,2]，即√3sinA+sin(C−π6)的取值范围是(1,2]．解析：本题主要考查正弦定理、两角和差的正弦公式，正弦函数的定义域和值域，考查了计算能力与推理能力，属于中档题．(Ⅰ)在△ABC中，由条件利用正弦定理、两角和差的正弦公式可得sinC(2cosB−1)=0，故有cosB=12，由此求得B的值．(Ⅱ)由(Ⅰ)可得√3sinA+sin(C−π6)=2sin(A+π6)，根据A∈(0,2π3)，利用正弦函数的定义域和值域求得√3sinA+sin(C−π6)的取值范围．18.答案：解：(1)证明：∵侧面△PAD是正三角形，E是AD中点，∴PE⊥AD，∵侧面PAD⊥底面ABCD，侧面PAD∩底面ABCD=AD，∴PE⊥底面ABCD，∴PE⊥CE，∵底面ABCD是矩形且AD=2AB，∴AE=DE=AB=CD，∴∠AEB=∠DEC=45°，∴∠AEB+∠DEC=90°，∴∠BEC=90°，∴BE⊥CE，∵PE∩BE=E，∴CE⊥平面PBE．(2)解：以E 为原点，以ED ，EP 所在直线，AD 的垂直平分线为x ，z ，y 轴，建立空间直角坐标系， 设AD =2AB =2，则点D(1,0，0)，C(1,1，0)，P(0,0，√3)，B(−1,1，0)， ∴PD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0，−√3)，PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1，−√3)，PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,1，−√3)， 设平面PCB 的法向量m⃗⃗⃗ =(x,y ，z)， 则{m ⃗⃗⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =−x +y −√3z =0m ⃗⃗⃗ ⋅PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =x +y −√3z =0，取z =1，得m ⃗⃗⃗ =(0,√3,1)， 设平面PCD 的法向量n ⃗ =(a,b ，c)， 则{n ⃗ ⋅PD ⃗⃗⃗⃗⃗ =a −√3c =0n ⃗ ⋅PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =a +b −√3c =0，取c =1，得n ⃗ =(√3,0,1)，设二面角D −PC −B 的平面角为θ，则θ为钝角， ∴二面角D −PC −B 的余弦值为：cosθ=−|m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ ||m⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗⃗ |=−14．解析：本题考查线面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．(1)推导出PE ⊥AD ，从而PE ⊥底面ABCD ，PE ⊥CE ，AE =DE =AB =CD ，BE ⊥CE ，由此能证明CE ⊥平面PBE ．(2)以E 为原点，以ED ，EP 所在直线，AD 的垂直平分线为x ，z ，y 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角D −PC −B 的余弦值．19.答案：解：(1)设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，l AB ：y =kx +4与x 2=4y 联立得x 2−4kx −16=0， △=(−4k)2−4(−16)=16k 2+64>0， x 1+x 2=4k ，x 1x 2=−16，|AB|=√1+k 2⋅√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=√1+k 2⋅4√k 2+4， 又|AB|=12√2，即√1+k 2⋅4√k 2+4=12√2，解得：k 2=2，k 2=−7(舍)，所以直线的方程y =±√2x +4 (2)证明：过点A 的切线：y =12x 1(x −x 1)+y 1=12x 1x −14x 12，①， 过点B 的切线：y =12x 2x −14x 22，②，联立①②得点N(x 1+x 22,−4)，所以点N 在定直线y =−4上．解析：(1)设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，根据韦达定理表示出x 1+x 2=4k ，x 1x 2=−16，根据弦长公式计算即可(2)先表示出过点A 的切线和过点B 的切线，然后两直线联立可求出点N 的坐标，即可得到点N 在定直线y =−4上．本题主要考查了抛物线的应用．涉及了抛物线的性质，向量的计算，属于中档题20.答案：ln2+14．解析：依题意知函数f(x)的定义域为(−32,+∞)，f′(x)=2(2x+1)(x+1)2x+3，当−1<x <−12时，f′(x)<0恒成立；当x >−12时，f′(x)>0恒成立，∴f(x)在(−1,−12)上递减，在(−12,+∞)上递增，∴f(x)在(−1,+∞)上的最小值为f(−12)=ln2+14．21.答案：解：(1)设选出的3种商品中至少有一种是家电为事件A ，从2种服装、3种家电、4种日用品中，选出3种商品，一共有C 93种不同的选法， 选出的3种商品中，没有家电的选法有C 63种，所以选出的3种商品中至少有一种是家电的概率为 P(A)=1−C 63C 93=1−521=1621；(2)设顾客三次抽奖所获得的奖金总额为随机变量ξ， 其所有可能的取值为0，n ，3n ，6n ；(单元：元) ξ=0表示顾客在三次抽奖都没有获奖，所以P(ξ=0)=C 3(14)0(1−14)3=2764， 同理P(ξ=n)=C 31(14)1(1−14)2=2764； P(ξ=3n)=C 32(14)2(1−14)=964； P(ξ=6n)=C 33(14)3(1−14)0=164；顾客在三次抽奖中所获得的奖金总额的期望值是： Eξ=0×2764+n ×2764+3n ×964+6n ×164=15n 16，由15n16≤60，解得n ≤64，所以n 最高定为64元，才能使促销方案对商场利益无损害．解析：本题考查了古典概型的概率以及离散型随机变量的分布列和数学期望的计算问题，是中档题． (1)设选出的3种商品中至少有一种是家电为事件A ，利用对立事件的概率求出A 的概率值； (2)设顾客三次抽奖所获得的奖金总额为随机变量ξ，写出ξ的所有可能取值，求出对应的概率值，计算数学期望，利用数学期望值列不等式，求出奖金数额n 的最高值．22.答案：解：(I)曲线C 的参数方程为{x =cosαy =1+sinα(α为参数)，转换为直角坐标方程为x 2+(y −1)2=1，整理得x 2+y 2−2y =0，转换为极坐标方程为ρ=2sinθ． (II)设A(ρ1,θ)，则B(ρ2,θ+π3)， 故ρ1=2sinθ，ρ2=2sin(θ+π3)，所以|OA|+|OB|=ρ1+ρ2=2sinθ+2sin(θ+π3)=2√3sin(θ+π6)． 当θ=π3时，|OA|+|OB|的最大值为2√3．解析：(Ⅰ)直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换求出结果． (Ⅱ)利用三角函数关系式的恒等变换和极径的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，三角函数关系式的恒等变换，极径的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．23.答案：见解析解析：a +1(a−b)b =(a −b)+b +1(a−b)b ，∵a >b >0，∴a −b >0，b >0，1(a−b)b >0，∴(a −b)+b +1(a−b)b≥3√(a −b)⋅b ⋅1(a−b)b3=3，∴a +1(a−b)b ≥3，当且仅当a −b =b =1(a−b)b ，即a =2，b =1时等号成立．。

湖北省“荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟”2020 届高三数学 4 月联考试题 理（含解析）第Ⅰ卷（共 60 分） 一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的.1.已知全集,集合,则（）A.B.C.D.【答案】B【解析】分析：由全集 及 ，求出补集 ，找出集合 的补集与集合 的交集即可.详解：，集合，，又，故选 B.点睛：研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性. 研究两集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，本题实质是求满足属于集合 或不属于集合 的元素的集合.2.欧拉公式( 是自然对数的底, 是虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发现的.它将三角函数的定义域扩大到复数,建立了三角函数和指数函数的关系,它在复变函数论里占有非常重要的地位，当 时,就有.根据上述背景知识试判断表示的复数在复平面对应的点位于（ ）A. 第一象限B. 第二象限【答案】C【解析】【分析】C. 第三象限D. 第四象限根据欧拉公式可得，通过化简可得到它在复平面对应的点，从而可选出答案。

【详解】由题意，，则表示的复数在复平面对应的点为，位于第三象限。

故答案为 C.【点睛】本题考查了复平面知识，考查了三角函数的化简，考查了转化思想，属于基础题。

3.向量 在正方形网格中的位置如图所示.若向量与 共线,则实数 （ ）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】由图像，根据向量的线性运算法则，可直接用 表示出 ，进而可得出 .【详解】由题中所给图像可得：，又，所以 .故选 D【点睛】本题主要考查向量的线性运算，熟记向量的线性运算法则，即可得出结果，属于基础题型.4.若数列 是公比不为 1 的等比数列,且,则（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】先求出，可得，然后利用等比数列的性质可求出的值。

【详解】由题意，，则，设等比数列 的公比为 ，则，故.故答案为 C. 【点睛】本题考查了等比数列的性质，考查了定积分的几何意义，考查了逻辑推理能力与计 算求解能力，属于基础题。

2020年湖北省“荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟”高考数学模拟试卷（一）（4月份）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.集合A={x|3≤x≤10}，B={x|2＜x＜7}，A∩B=（）A. {x|2＜x≤10}B. {x|2＜x＜10}C. {x|3≤x＜7}D. {x|3≤x≤7}2.复数，（i为虚数单位），z在复平面内对应的点在（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3.命题，则￢p为（）A. B.C. D.4.已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，过F2的直线与椭圆C交于A，B两点．若△F1AB的周长为8，则椭圆方程为（）A. B. C. D.5.等边三角形△ABC的边长为1，则=（）A. 0B. -3C.D. -6.若x，y满足，则2x+y的最大值为（）A. 0B. 3C. 4D. 57.设a是一个各位数字都不是0且没有重复数字的三位数，将组成a的3个数字按从小到大排成的三位数记为I（a），按从大到小排成的三位数记为D（a），（例如a=746，则I（a）=467，D（a）=764）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，任意输入一个a，输出的结果b=（）A. 693B. 594C. 495D. 7928.已知函数，则下列说法错误的是（）A. f（x）的最小正周期是πB. y=f（x）关于对称C. f（x）在上单调递减D. f（x）的最小值为9.“斗拱”是中国古代建筑中特有的构件，从最初的承重作用，到明清时期集承重与装饰作用于一体．在立柱顶、额枋和檐檩间或构架间，从枋上加的一层层探出成弓形的承重结构叫拱，拱与拱之间垫的方形木块叫斗．如图所示，是“散斗”（又名“三才升”）的三视图，则它的体积为（）A. B. C. 53 D.10.在平面直角坐标系中，A（-4，0）、B（-1，0），点P（a，b）（ab≠0）满足|AP|=2|BP|，则的最小值为（）A. 4B. 3C.D.11.设F1（-c，0），F2（c，0）是双曲线的左右焦点，点P是C右支上异于顶点的任意一点，PQ是∠F1PF2的角平分线，过点F1作PQ的垂线，垂足为Q，O为坐标原点，则|OQ|的长为（）A. 定值aB. 定值bC. 定值cD. 不确定，随P点位置变化而变化12.已知函数f（x）=e x-e，g（x）=ln x+1，若对于∀x1∈R，∃x2∈（0，+∞），使得f（x1）=g（x2），则x1-x2的最大值为（）A. eB. 1-eC. 1D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.函数f（x）==______．14.掷两颗均匀的骰子，则点数之和为6的概率等于______．15.已知圆C经过直线x+y+2=0与圆x2+y2=4的交点，且圆C的圆心在直线2x-y-3=0上，则圆C的方程为______．16.如图，在凸四边形ABCD中，，则四边形ABCD的面积最大值为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.数列{a n}是单调递增的等差数列，a1，a2是方程e2x-6e x+8=0的两实数根；（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设，求{b n}的前n项和S n．18.如图1，矩形ABCD中，AB=2，BC=1，M是AB边上异于端点的动点，MN⊥CD于点N，将矩形AMND沿MN折叠至A1MND1处，使面A1MND1⊥面MBCN（如图2）．点E，F满足，．（1）证明：EF∥面A1BC；（2）设AM=x，当x为何值时，四面体CMEF的体积最大，并求出最大值．19.为积极响应国家“阳光体育运动”的号召，某学校在了解到学生的实际运动情况后，发起以“走出教室，走到操场，走到阳光”为口号的课外活动倡议．为调查该校学生每周平均体育运动时间的情况，从高一高二基础年级与高三三个年级学生中按照4：3：3的比例分层抽样，收集300位学生每周平均体育运动时间的样本数据（单位：小时），得到如图所示的频率分布直方图．（已知高一年级共有1200名学生）（1）据图估计该校学生每周平均体育运动时间，并估计高一年级每周平均体育运动时间不足4小时的人数；（2）规定每周平均体育运动时间不少于6小时记为“优秀”，否则为“非优秀”，在样本数据中，有30位高三学生的每周平均体育运动时间不少于6小时，请完成下列2×2列联表，并判断是否有99%的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间是否“优秀”与年级有关”．基础年级高三合计优秀非优秀合计300P（K2≥k0）0.100.050.0100.005k0 2.706 3.841 6.6357.879附：K2=20.已知点F（0，1），点A（x，y）（y≥0）为曲线C上的动点，过A作x轴的垂线，垂足为B，满足|AF|=|AB|+1．（1）求曲线C的方程；（2）直线l与曲线C交于两不同点P，Q（非原点），过P，Q两点分别作曲线C 的切线，两切线的交点为M．设线段PQ的中点为N，若|FM|=|FN|，求直线l的斜率．21.设f（x）=xe x-ax2，．（1）求g（x）的单调区间；（2）讨论f（x）零点的个数；（3）当a＞0时，设h（x）=f（x）-ag（x）≥0恒成立，求实数a的取值范围．22.在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为，以坐标原点为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ=4cosθ．（1）直线l的参数方程化为极坐标方程；（2）求直线l与曲线C交点的极坐标（ρ，θ）（ρ≥0，0≤θ＜2π）．23.已知函数f（x）=|x+1|+2|x-1|．（1）求不等式f（x）≥3的解集；（2）若不等式的解集包含[1，3]，求实数m的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析：解：集合A={x|3≤x≤10}，B={x|2＜x＜7}，A∩B{x|3≤x＜7}，故选：C．由A与B，找出两集合的交集即可．此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2.答案：B解析：解：∵=，∴z在复平面内对应的点的坐标为（，），在第二象限．故选：B．直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．3.答案：C解析：解：因为全称命题的否定是特称命题，所以：命题，则￢p为：．故选：C．直接利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可．本题考查命题的否定．特称命题与全称命题的否定关系，基本知识的考查．4.答案：A解析：解：∵过F2的直线与椭圆交于A、B两点，△ABF1的周长为8，∴4a=8，解得a=2．∵离心率e==，a2=b2+c2，解得c=1，b=．∴椭圆C的标准方程为：．故选：A．由过F2的直线与椭圆交于A、B两点，△ABF1的周长为8，可得4a=8，又离心率e==，a2=b2+c2，联立解出即可．本题考查了圆与椭圆的标准方程及其性质的应用，是基本知识的考查．5.答案：D解析：【分析】由平面向量数量积的性质及其运算得：=||||cos（）+||||cos（）+||||cos（）=3×=-，得解．本题考查了平面向量数量积的性质及其运算，属中档题．【解答】解：因为等边三角形△ABC的边长为1，则=||||cos（）+||||cos（）+||||cos（）=3×=-，故选：D．6.答案：C解析：【分析】作出不等式组对应的平面区域，目标函数的几何意义是直线的纵截距，利用数形结合即可求z的取值范围．本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．设z=2x+y得y=-2x+z，平移直线y=-2x+z，由图象可知当直线y=-2x+z经过点A时，直线y=-2x+z的截距最大，此时z最大．由，解得，即A（1，2），代入目标函数z=2x+y得z=1×2+2=4．即目标函数z=2x+y的最大值为4．故选：C．7.答案：C解析：解：由程序框图知：不妨取a=123，第一次循环a=123，b=321-123=198；第二次循环a=198，b=981-189=792；第三次循环a=792，b=972-279=693；第四次循环a=693，b=963-369=594；第五次循环a=594，b=954-459=495；第六次循环a=495，b=954-459=495，满足条件b=a，跳出循环体，输出b=495．故选：C．给出一个三位数的a值，实验模拟运行程序，直到满足条件，确定输出的a值即可．本题主要考查程序框图的识别和应用，根据条件进行模拟运算是解决本题的关键．8.答案：B解析：【分析】本题考查了三角函数的化简和性质的应用．属于基础题.根据二倍角和辅助角公式化简，结合三角函数的性质即可求解.【解答】解：函数=sin2x-cos2x=sin（2x）∴最小正周期T=；当x=时，可得f（）=，可知y=f（x）关于对称是错误的；令2x≤，k∈Z．可得≤x≤2kπ，k∈Z．∴f（x）在上单调递减正确；当sin（2x）=-1时，可得f（x）的最小值为故选：B．9.答案：B解析：解：由题意可知几何体的直观图如图：下部是四棱台，上部是棱柱挖去一个小棱柱的组合体．几何体的体积为：4×1.5×4-1×2×4+×1×（16+9+）=．故选：B．画出几何体的直观图利用柱体的体积，转化求解即可．本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，解决本题的关键是得到该几何体的形状．10.答案：D解析：解：A（-4，0）、B（-1，0），点P（a，b）且ab≠0；由|AP|=2|BP|，得=2，化简得a2+b2=4，则=（+）••（a2+b2）=•（4+1++）≥•（5+2）=，当且仅当a2=2b2时取等号，所以+的最小值为．故选：D．根据|AP|=2|BP|求得a2+b2=4，再利用基本不等式求得的最小值．本题考查了两点间的距离公式应用问题，也考查了基本不等式应用问题，是基础题．11.答案：A解析：解：过点F1作PQ的垂线，垂足为Q，交PF2的延长线于M，由三角形PF1M为等腰三角形，可得Q为F1M的中点，由双曲线的定义可得|PF1|-|PF2|=|F2M|=2a，由三角形的中位线定理可得|OQ|=|F2M|=a，故选：A．先画出双曲线和焦点三角形，由题意可知PQ是MF1的中垂线，再利用双曲线的定义和中位线定理，数形结合即可得结果．本题考查双曲线的定义的运用，解题时要善于运用等腰三角形的定义和中位线定理，数形结合的思想解决问题的关键．12.答案：D解析：解：令f（x1）=g（x2）=t＞-e，则e-e=t，ln x2+1=t，x1=ln（e+t），x2=e t-1，令h（t）=x1-x2=ln（e+t）-e t-1，（t＞-e），∴h′（t）=-e t-1，h″（t）=--e t-1＜0在（-e，+∞）上恒成立，∴h′（t）为（-e，+∞）上的减函数，又h′（0）=-e-1=0，∴-e＜t＜0时，h′（t）＞h′（0）=0，x＞0时，h′（t）＞h′（0）=0，∴h（t）在（-e，0）上递增，在（0，+∞）上递减，∴t=0时，h（t）取得最大值h（0）=ln（e+0）-e0-1=1-．即x1-x2的最大值为1-．故选：D．令f（x1）=g（x2）=t＞-e，则e-e=t，ln x2+1=t，x1=ln（e+t），x2=e t-1，令h（t）=x1-x2=ln （e+t）-e t-1，（t＞-e），再通过二次求导可求得最大值．本题考查了函数与方程的综合运用，属难题．13.答案：1解析：解：∵f（x）=，f[f（x）]=10，∴当x≤0时，f（x）=x2+1＞0，f[f（x）]=f（x2+1）=-3x2-3=10，无解；当x＞0时，f（x）=-3x＜0．f[f（x）]=（-3x）2+1=9x2+1=10，解得x=1或x=-1（舍）．故x=1．故答案为：1．当x≤0时，f（x）=x2+1＞0，f[f（x）]=f（x2+1）=-3x2-3=10，无解；当x＞0时，f（x）=-3x＜0．f[f（x）]=（-3x）2+1=9x2+1=10，由此能求出x的值．本题考查函数值的求法及应用，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．14.答案：解析：解：掷两颗均匀的骰子共有6×6=36种基本事件，点数之和为6包含（1，5），（2，4），（3，3），（4，2），（5，1）共5个基本事件，故点数之和为6的概率p=，故答案为．掷两颗均匀的骰子，共有36个基本事件，点数之和为6的有5种，代入求概率公式即可．本题考查古典概型的概率计算，可以采用分步乘法原理计算基本事件的总数，列举事件点数之和为6包含的基本事件数，再代入公式计算．属于基础题．15.答案：x2+y2-6x-6y-16=0解析：解：根据题意，圆C经过直线x+y+2=0与圆x2+y2=4的交点，设圆C的方程为（x2+y2-4）-λ（x+y+2）=0，变形可得：x2+y2-λx-λy-4-2λ=0，则其圆心为（，），又由圆C的圆心在直线2x-y-3=0上，则有2×--3=0，解可得：λ=6，故圆C的方程为x2+y2-6x-6y-16=0，故答案为：x2+y2-6x-6y-16=0．根据题意，设圆C的方程为（x2+y2-4）-λ（x+y+2）=0，变形分析可得其圆心为（，），将圆心坐标代入直线2x-y-3=0的方程，分析可得2×--3=0，解可得λ的值，将λ的值代入圆C的方程即可得答案．本题考查直线与圆的方程的应用，注意设出圆C的方程，属于综合题．16.答案：解析：解：由题意，连接AC，可得ABC是等边三角形，设AC=x，∠ADC=θ，在ADC中，由余弦定理得：cosθ=可得x=．四边形ABCD的面积S=x2sin60°+sinθ=+4sinθ=5+4sinθcosθ=5+8sin（θ-60°）,∴当θ-60°=90°时，即θ=150°时，四边形ABCD的面积最大值为：，故答案为：．连接AC，可得ABC是等边三角形，设AC=x，∠ADC=θ，在三角形ADC利用余弦定理建立关系，即可求解面积．本题考查三角形的面积的求法，解题时要注意余弦定理的合理运用．17.答案：解：（1）数列{a n}是单调递增的等差数列，a1，a2是方程e2x-6e x+8=0的两实数根；所以：x1=ln2，x2=2ln2，又{a n}是递增的等差数列，所以a1=ln2，a2=2ln2，公差d=a2-a1=ln2，所以a n=n ln2．（2）由于a n=n ln2．所以：，故：．解析：（1）直接利用一元二次方程根和系数关系的应用求出数列的首项和公差，进一步求出数列的通项公式．（2）利用（1）的结论，进一步求出数列的和．本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，等比数列的前n项和公式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．18.答案：证明：（1）在面A1MND1内，过点F作FG∥NM交A1M于点G，连接GE．∵NM∥BC，∴FG∥BC，又BC⊂面A1BC，FG⊄面A1BC，∴FG∥面A1BC．由===，得GE∥A1B，同理可证得GE∥面A1BC．又FG∩GE=G，FG，GE⊂面FGE，∴面FGE∥面A1BC，∴EF∥面A1BC……（6分）解：（2）AM=x，则BM=2-x，GM=．∵面AMND1⊥面MBCN，面A1MND1∩面MBCN=NM，A1M⊂面A1MND1，A1M⊥MN，∴A1M⊥面A1MND1，∴GF⊥面MEC．………………（8分），x∈（0，2）当x=1时，V F-MEC取得最大值．………………（12分）解析：（1）过点F作FG∥NM交A1M于点G，推导出FG∥面A1BC．，GE∥面A1BC，从而面FGE∥面A1BC，由此能证明EF∥面A1BC．（2）AM=x，则BM=2-x，GM=．推导出A1M⊥面A1MND1，从而GF⊥面MEC．，x∈（0，2），由此能求出结果．本题考查线面平行的证明，考查四面体体积的最大值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．19.答案：解：（1）该校学生每周平均体育运动时间为；………（3分）样本中高一年级每周平均体育运动时间不足4小时的人数为：y=300××（0.025×2+0.100×2）=30（人）；又样本中高一的人数有120人，所以高一年级每周平均体育运动时间不足4小时的人数为1200×=300（人）；………（6分）（2）由题意填写列联表如下：基础年级高三合计优秀10530135非优秀10560165合计21090300假设该校学生的每周平均体育运动时间是否优秀与年级无关，则，又P（K2≥6.635）=0.01，所以有99%的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间是否“优秀”与年级有关”．………（12分）解析：（1）利用频率分布直方图计算该校学生每周平均体育运动时间，求出样本中高一年级每周平均体育运动时间不足4小时的频数与频率，由此估计总体；（2）由题意填写列联表，计算观测值，对照临界值得出结论．本题考查了频率分布直方图与独立性检验的应用问题，是基础题．20.答案：解：（1）由|AF|=|AB|+1得：化简得曲线C的方程为x2=4y．（2）设直线l的方程为：y=kx+b，联立x2=4y得：x2-4kx-4b=0，设P（x1，y1），Q（x2，y2），则x1+x2=4k，x1+x2=-4b，设N（x0，y0），则x0==2k，y0=2k2+b，过P点的切线斜率为，切线方程为y-y1=（x-x1），即y=x-x12，同理，过Q点的切线方程为y=x-x22，联立两切线可得交点M的坐标为，y M=x1x2=-b，所以x M=x0，又因为|FM|=|FN|，所以MN中点纵坐标为1，即2k2+b-b=2，所以k2=1，即k=±1，故直线l的斜率为k=±1．解析：（1）由|AF|=|AB|+1得：化简得曲线C的方程为x2=4y．（2）设直线l的方程为：y=kx+b，联立x2=4y得：x2-4kx-4b=0，根据韦达定理和求出切线方程，即可求出点M点的坐标，即可求出直线的斜率本题考查了抛物线的方程，直线和抛物线的位置关系，切线方程，直线的斜率，考查了运算求解能力和转化与化归能力，属于中档题21.答案：解：（1），当x∈（0，1）时，g'（x）＞0，g（x）单调递增，当x∈（1，+∞）时，g′（x）＜0，g（x）单调递减．故g（x）的单调递增区间为（0，1），单调递减区间为（1，+∞）．（2）x=0是f（x）的一个零点，当x≠0时，由f（x）=0得，，，当x∈（-∞，0）时，F（x）递减且F（x）＜0．当x＞0时，F（x）＞0，且x∈（0，1）时，F（x）递减，x∈（1，+∞）时，F（x）递增，故，F（x）min=F（1）=e．分析图象可得，当0≤a＜e时，f（x）有1个零点当a=e或a＜0时，f（x）有2个零点；当a＞e时，f（x）有3个零点．（3）h（x）=f（x）-ag（x）=xe x-a ln x-ax-a+e，所以：，=，当a＞0时，设h′（x）=0的根为x0，即有，可得，x0=ln a-ln x0，当x∈（0，x0）时，h′（x）＜0，h（x）递减．当x∈（x0，+∞）时，h'（x）＞0，h（x）递增．所以：，=e-a lna≥0，∴0＜a≤e．解析：（1）直接利用函数的导数求出函数的单调区间．（2）利用函数的导数和赋值法求出函数的零点．（3）利用函数的单调性和函数的最值求出结果．本题考查的知识要点：函数的导数的应用，利用函数的导数求函数的单调区间和最值，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．22.答案：解：（1）∵直线l的参数方程为，∴直线l的普通方程为：x+y-4=0，∴直线l的极坐标方程为ρcosθ+ρsinθ=4．…………………（5分）（2）联立，又ρ≥0，0≤θ＜2π，解得或，∴直线与圆交点的极坐标为．…………………（10分）解析：（1）由直线l的参数方程，求出直线l的普通方程，由此能求出直线l的极坐标方程．（2）联立，能求出直线与圆交点的极坐标．本题考查直线的极坐标方程的求法，考查直线与圆的交点的极坐标的求法，考查直角坐标方程、参数方程、极坐标方程的互化等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．23.答案：解：（1）当x≥1时，f（x）=3x-2≥3，解得；当-1＜x＜1时，f（x）=3-x≥3，解得x≤0，故-1≤x≤0；当x≤-1时，f（x）=1-3x≥3，解得，故x≤-1；综上，不等式的解集为．…………………（5分）（2）由题意得在[1，3]上恒成立，化简整理得在[1，3]上恒成立所以，即得m的取值范围为．…………………（10分）解析：（1）通过当x≥1时，当-1＜x＜1时，当x≤-1时，去掉绝对值符号，转化求解不等式即可．（2）由题意得在[1，3]上恒成立，化简整理得在[1，3]上恒成立，求解函数的最值，即可推出m的取值范围．本题考查绝对值不等式的解法，不等式恒成立条件的应用，考查转化首项以及计算能力．。

湖北省荆门市2020高三元月调考试题数学（理）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

请将正确的答案填涂在答题卡上。

1．已知集合}0lg |{<=x x A ，}13|{<=x x B ，则A.{|0}A B x x =< B ．A B =R C.{|1}A B x x =< D ．A B =∅ 2．设i 是虚数单位，则i2i 1--等于 A ．0 B ．2 C ．2 D ．4 3．下列各式中错误．．的是 A ．330.80.7> B. lg1.6lg1.4> C. 6.0log 4.0log 5.05.0> D. 0.10.10.750.75-<4．设双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的右焦点与抛物线28y x =的焦点相同，双曲线C 的一条渐近线方程为30x y +=，则双曲线C 的方程为A ．2213x y -=B ．2213y x -= C ．221412x y -= D ．221124x y -=5．已知函数()()sin f x A x ωϕ=+（0A >，0ω>，π2ϕ<） 的部分图象如图所示，则ωϕ⋅=A ．π6 B ．π4 C ．π3 D ．2π36．已知1tan 4,tan θθ+=则2sin ()4πθ+=A ．15B ．14C ．12 D ．347．太极图被称为“中华第一图”．从孔庙大成殿粱柱，到楼观台、三茅宫标记物；从道袍、卦摊、中医到气功、武术等等，太极图无不跃居其上．这种广为人知的太极图，其形状如阴阳两鱼互抱在一起，因而被称为“阴阳鱼太极图”．在如图所示的阴阳鱼图案中，阴影部分可表示为()()()2222 224 ,1111x yx y x y x yx⎧⎫⎧+≤⎪⎪⎪⎪⎪⎪Ω=+-≤++≥⎨⎨⎬⎪⎪⎪≤⎪⎪⎪⎩⎩⎭或，设点(,)x y A∈，则2z x y=+的取值范围是A．15,25⎡⎤--⎣⎦ B．25,25⎡⎤-⎣⎦ C．25,15⎡⎤-+⎣⎦ D．4,15⎡⎤-+⎣⎦8．某班元旦晚会由6个节目组成，演出顺序有如下要求：节目甲必须排在前两位、节目乙不能排在第一位，节目丙必须排在最后一位，该台晚会节目演出顺序的编排方案共有A．36种 B．42种 C．48种 D．54种9．灯会，是中国一种古老的民俗文化，一般指春节前后至元宵节时，由官方举办的大型的灯饰展览活动，并常常附带有一些猜灯谜等活动，极具传统性和地方特色。

2020年荆门市高三年级高考模拟考试理科数学试题全卷满分150分，考试用时120分钟一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知i 是虚数单位，若复数ii z -=123，则z =（ ） A.i -1 B.i +1 C.i --1 D.i +-12．已知集合{})3lg(,11x y x B x x A -==⎭⎬⎫⎩⎨⎧>=，则（ ） A.)1,(-∞=B A I B.)3,0(=B A Y C.φ=B C A R I D.),1[+∞=B A C R Y3.已知等差数列{}n a ，其前n 项和为n S ，且m a a a =++9513，则9762S a a -=（ ） A.5m B.9m C.51 D.91 4．已知+∈R b a ,，则“1>ab ”是“2>+b a ”的（ ）A.充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件5．2019冠状病毒病（ CoronaVirus Disease2019（COVID -19））是由新型冠状病毒（2019-nCoV ）引发的疾病，目前全球感染者以百万计，我国在党中央、国务院、中央军委的坚强领导下，已经率先控制住疫情，但目前疫情防控形势依然严峻，湖北省中小学依然延期开学，所有学生按照停课不停学的要求，居家学习。

小李同学在居家学习期间，从网上购买了一套高考数学冲刺模拟试卷，快递员计划在下午4:00～5:00之间送货到小区门口的快递柜中，小李同学父亲参加防疫志愿服务，按规定，他换班回家的时间在下午4:30～5:00，则小李父亲收到试卷无需等待的概率为（ ） A.81 B.41 C.43 D.876．已知][x 表示不超过x 的最大整数，（如1]5.0[,1]2,1[-=-=），执行如图所示的程序框图输出的结果为（ ）A ，49850B ．49950 C. 50000 D ．500507.在二项式721)21(xx +的展开式中有理项的项数为（ ） A.1 B.2 C.3 D.48．函数x x x x f sin )(2+=的图像大致为（ ）9．已知定义在R 上的函数y=f （x ）是偶函数，且图像关于点（1，0）对称.若当)1,0[∈x 时，x x f 2sin )(π=，则函数x e x f x g --=)()(在区间]2020,2019[-上的零点个数为（ ）A ．1009B ．2019 C.2020 D.403910．已函数],0[,cos sin )(2a x x x x f ∈+=的值域为]45,1[，则实数a 的取值范围是（ ） A.]6,0(π B.]3,0(π C.]2,6[ππ D.]2,3[ππ11．已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的右焦点为F ，直线034=-y x 与双曲线右支交于点M ，若OF OM =,|则该双曲线的离心率为（ ） A.3 B.2 C.5 D.612．已知正方体1111D C B A ABCD -的棱长为1，P 是空间中任意一点，下列正确命题的个数是（ ）①若P 为棱1CC 中点，则异面直线AP 与CD 所成角的正切值为25； ②若P 在线段B A 1上运动，则1PD AP +的最小值为226+； ③若P 在半圆弧CD 上运动，当三棱锥ABC P -ABC P -的体积最大时，三棱锥ABC P -外接球的表面积为π2；④若过点P 的平面α与正方体每条棱所成角相等，则α截此正方体所得截面面积的最大值为433 A ．1个 B ．2个 C. 3个 D ．4个二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13．已知)3,0(),2,1(-==，则向量在向量方向上的投影为 ．14．一般都认为《九章算术》是中国现存最古老的数学著作。

2020年湖北省高考数学模拟试卷（理科）（4月份）题号一二三总分得分一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）1.已知集合M={x|-3＜x＜2}，N={x|（）x≤4}，则（）A. M∩N=（-2，2）B. M∩N=（-3，-2）C. M∪N=[-2，+∞）D. M∪N=（-3，+∞）2.已知复数z=-1+2i，则下列关系式中正确的是（）A. |z|＜2B. |z|＞3C. |z|≠|1+2i|D. |z|=|1-2i|3.已知sin x+cos x=，则cos（x-）=（）A. B. C. D.4.已知双曲线C：-=1（a＞0，b＞0）的离心率为，则双曲线C的渐近线方程为（）A. 2x±y=0B. x±2y=0C. ±y=0D. ±y=05.如图，网格纸上的小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A. B. 1 C. D.6.已知函数f（x）是定义域为R的奇函数，当x≥0时，f（x）=ln（1+x2）+x，则不等式f（2x+1）＞1+ln2的解集为（）A. {x|x＞0}B. {x|x＜0}C. {x|x＞1}D. {x|x＜1}7.甲乙2人从4门课程中各自选修2门课程，并且所选课程中恰有1门课程相同，则不同的选法方式有（）A. 36种B. 30种C. 24种D. 12种8.如图，圆O是边长为2的等边三角形ABC的内切圆，其与BC边相切于点D，点M为圆上任意一点，=x+y（x，y∈R），则2x+y的最大值为（）A.B.C. 2D. 29.在△ABC中，给出下列说法：①若A＞B，则一定有sin A＞sin B；②恒有cos A+cos B＞0；③若sin A＜cos B，则△ABC为锐角三角形．其中正确说法的个数有（）A. 0B. 1C. 2D. 310.已知函数f（x）=sin（ωx+φ），其中ω＞0，0＜φ＜π，f（x）≤f（）恒成立，且f（x）在区间（0，）上恰有两个零点，则ω的取值范围是（）A. （6，10）B. （6，8）C. （8，10）D. （6，12）11.生活中人们常用“通五经贯六艺”形容一个人才识技艺过人，这里的“六艺”其实源于中国周朝的贵族教育体系，具体包括“礼、乐、射、御、书、数”．为弘扬中国传统文化，某校在周末学生业余兴趣活动中开展了“六艺”知识讲座，每艺安排一节，连排六节，则满足“数”必须排在前两节，“礼”和“乐”必须分开安排的概率为（）A. B. C. D.12.已知不等式x-3ln x+1≥m ln x+n（m，n∈R，且m≠-3）对任意实数x恒成立，则的最大值为（）A. -2ln2B. -ln2C. 1-ln2D. 2-ln2二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）13.在的展开式中的系数为______．14.已知实数x，y满足约束条件，则z=2x-y的最大值为______．15.已知正三棱锥P-ABC的底面边长为3，外接球的表面积为16π，则正三棱锥P-ABC的体积为______．16.如图，过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F作两条互相垂直的弦AB、CD，若△ACF与△BDF面积之和的最小值为16，则抛物线的方程为______．三、解答题（本大题共7小题，共84.0分）17.已知数列{a n}满足a2-a1=1，其前n项和为S n，当n≥2时，S n-1-1，S n，S n+1成等差数列（1）求证{a n}为等差数列；（2）若S n=0，S n+1=4，求n．18.已知四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB=AD=3，BC=4，AC=5．（1）当AP变化时，点C到平面PAB的距离是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由；（2）当直线PB与平面ABCD所成的角为45°时，求二面角A-PD-C的余弦值．19.已知椭圆Γ：+=1（a＞b＞0）的离心率为，椭圆上的点到左焦点的最小值为2-．（1）求椭圆Γ的方程；（2）已知直线x=1与x轴交于点M，过点M的直线AB与Γ交于A、B两点，点P为直线x=1上任意一点，设直线AB与直线x=4交于点N，记PA，PB，PN的斜率分别为k1，k2，k0，则是否存在实数λ，使得k1+k2=λk0恒成立？若是，请求出λ的值；若不是，请说明理由．20.近年来，随着网络的普及，数码产品早已走进千家万户的生活，为了节约资源，促进资源循环利用，折旧产品回收行业得到迅猛发展，电脑使用时间越长，回收价值越低，某二手电脑交易市场对2018年回收的折旧电脑交易前使用的时间进行了统计，得到如图所示的频率分布直方图，在如图对时间使用的分组中，将使用时间落入各组的频率视为概率．（1）若在该市场随机选取3个2018年成交的二手电脑，求至少有2个使用时间在（4，8]上的概率；（2）根据电脑交易市场往年的数据，得到如图所示的散点图，其中x（单位：年）表示折旧电脑的使用时间，y（单位：百元）表示相应的折旧电脑的平均交易价格．（ⅰ）由散点图判断，可采用y=e a+bx作为该交易市场折旧电脑平均交易价格与使用年限x的回归方程，若t=ln y i，，选用如下参考数据，求y关于x的回归方程5.58.5 1.9301.479.75385（ⅱ）根据回归方程和相关数据，并用各时间组的区间中点值代表该组的值，估算该交易市场收购1000台折旧电脑所需的费用附：参考公式：对于一组数据（u i，v i）（i=1，2，……，n），其回归直线=+βu的斜率和截距的最小二乘估计分别为：．参考数据：e3.25≈26，e2.65≈14，e2.05≈7.8，e1.45≈4.3，e0.85≈2.3．．21.已知f（x）=x-（ln x）2-k ln x-1（k∈R）．（1）若f（x）是（0，+∞）上的增函数，求k的取值范围；（2）若函数f（x）有两个极值点，判断函数f（x）零点的个数．22.在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α是参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ=4sinθ．（1）求曲线C1的极坐标方程和曲线C2的直角坐标方程；（2）若射线θ=β（0＜β）与曲线C1交于O，A两点，与曲线C2交于O，B两点，求|OA|+|OB|取最大值时tanβ的值．23.已知函数f（x）=|x-3|-t，t∈R．（1）当t=3时，解不等式|f（x）|≥3；（2）若不等式f（x+2）≤0的解集为[-1，3]，正数a，b满足ab-2a-8b=2t-2，求a+2b的最小值．-------- 答案与解析 --------1.答案：D解析：解：∵集合A={x|-3＜x＜2}，N={x|（）x≤4}={x|x≥-2}，∴M∩N={x|-2≤x＜2}，M∪N={x|x＞-3}．故选：D．分别求出集合M和集合N，由此能求出M∩N，M∪N，从而能判断命题真假．本题考查交集、并集的求法，考查交集、并集定义、不等式性质等基础知识，是基础题．2.答案：D解析：解：∵z=-1+2i，∴|z|=，而|1-2i|=．∴|z|=|1-2i|．故选：D．利用复数模的计算公式求得|z|，可得|z|=|1-2i|．本题考查复数模的求法，是基础题．3.答案：B解析：解：∵已知sin x+cos x=2sin（x+）=，即sin（x+）=，则cos（x-）=sin（x+）=，故选：B．由题意利用同角三角函数的基本关系、诱导公式，求得cos（x-）的值．本题主要考查同角三角函数的基本关系、诱导公式的应用，属于基础题．4.答案：B解析：解：双曲线C：-=1（a＞0，b＞0）的离心率为，可得：，即，可得，则双曲线C的渐近线方程为：x±2y=0．故选：B．通过双曲线的离心率求出b与a的关系，然后求解双曲线的渐近线方程．本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查．5.答案：C解析：解：由三视图还原原几何体如图，可知该几何体为四棱锥P-ABCD，底面ABCD是边长为2的正方形，侧棱PA⊥底面ABCD，PA=1．∴该几何体的体积为．故选：C．由三视图还原原几何体，可知该几何体为四棱锥P-ABCD，底面ABCD是边长为2的正方形，侧棱PA⊥底面ABCD，PA=1．再由棱锥体积公式求解．本题考查由三视图求面积、体积，关键是由三视图还原原几何体，是中档题．6.答案：A解析：解：根据题意，当x≥0时，f（x）=ln（1+x2）+x，易得f（x）在[0，+∞）上为增函数，又由f（x）为定义在R上的奇函数，则f（x）在R上为增函数，且f（1）=ln（1+1）+1=1+ln2，则f（2x+1）＞1+ln2⇒f（2x+1）＞f（1）⇒2x+1＞1，解可得x＞0，即不等式f（2x+1）＞1+ln2的解集为{x|x＞0}；故选：A．根据题意，由函数的解析式分析可得f（x）在[0，+∞）上为增函数，结合函数的单调性可得f（x）在R上为增函数，又由f（1）=1+ln2，据此可得f（2x+1）＞1+ln2⇒f（2x+1）＞f（1）⇒2x+1＞1，解可得x的取值范围，即可得答案．本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，注意分析f（x）的单调性，属于基础题．7.答案：C解析：解：所选课程中恰有1门课程相同，有4种，然后从剩余3门，选1门有A=3，共有4×6=24，故选：C．根据排列组合的公式进行计算即可．本题主要考查排列组合的应用，先确定1门课程相同，然后则在从剩余3分进行选择是解决本题的关键．8.答案：C解析：解：如图以D为原点，BC，AD所在的直线为x，y轴建立如图所示的直角坐标系，则A（0，3），B（-，0），D（0，0），∴，，∵圆O是边长为2的等边三角形ABC的内切圆，∴圆O的方程为：x2+（y-1）2=1，设点M的坐标为（cosθ，sinθ+1），∵=x+y（x，y∈R），∴（cosθ+，sinθ+1）=x（，3）+y（，0），∴，∴，∴2x+y==，∴当时，2x+y的最大值为2．故选：C．建立直角坐标系，设点M的坐标为（cosθ，sinθ+1），然后根据条件建立2x+y，与sinθ，cosθ的关系式，再利用三函数的性质即可求出2x+y的最值．本题考查了向量的坐标运算以及圆的方程和三角函数的性质，考查了学生的运算能力和转化能力，属于中档题．9.答案：C解析：【分析】由三角形的正弦定理和边角公式可判断①；由余弦函数的单调性可判断②；可取A=120°，B=15°，可判断③．本题考查三角形的正弦定理和边角关系、三角形的形状判断，考查余弦函数的性质，判断能力和推理能力，属于基础题．【解答】解：在△ABC中，①，若A＞B，可得a＞b，即2R sin A＞2R sin B，（R为△ABC的外接圆的半径），则一定有sin A＞sin B，故正确；②，由0＜A＜π-B＜π，可得cos A＞cos（π-B）=-cos B，恒有cos A+cos B＞0，故正确；③，若sin A＜cos B，由sin A＞0，可得cos B＞0，即B为锐角，可取A=120°，B=15°，满足sin120°=，cos15°=，满足sin A＜cos B，则△ABC为钝角三角形．故错误．故选：C．10.答案：A解析：解：依题意得f（）为f（x）的最大值1，∴ω+φ=2kπ+，k∈Z，∵φ∈（0，π），∴ω∈（8k-2，8k+2）k∈Z①又f（x）在区间（0，）上恰有两个零点，∴0≥-T，且0＜-T，即≤T＜，即≤＜，解得6＜ω≤10，②∴由①②ω∈（6，10）．故选：A．f（x）≤f（）恒成立⇔ω+φ=2kπ+，k∈Z；f（x）在区间（0，）上恰有两个零点⇔⇔0≥-T，且0＜-T，将T=代入可得．本题考查了三角函数的最值，属中档题．11.答案：B解析：解：“六艺”其实源于中国周朝的贵族教育体系，具体包括“礼、乐、射、御、书、数”．为弘扬中国传统文化，某校在周末学生业余兴趣活动中开展了“六艺”知识讲座，每艺安排一节，连排六节，基本事件总数n==720，满足“数”必须排在前两节，“礼”和“乐”必须分开安排包含的基本事件个数：第一节是数，有：=36种排法，第二节是数，有：=84种排法，∴m=36+84=120，则满足“数”必须排在前两节，“礼”和“乐”必须分开安排的概率p==．故选：B．基本事件总数n==720，满足“数”必须排在前两节，“礼”和“乐”必须分开安排包含的基本事件个数：第一节是数，有：=36种排法，第二节是数，有：=84种排法，从而m=36+84=120，由此能求出满足“数”必须排在前两节，“礼”和“乐”必须分开安排的概率．本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．12.答案：B解析：解：令f（x）=x-3ln x+1-m ln x-n，则f′（x）=1-（x＞0），若m+3＜0，则f′（x）＞0，f（x）单调递增，由当x→0时，f（x）→-∞，不合题意；∴m+3＞0，由f′（x）=0，得x=m+3，当x∈（0，m+3）时，f′（x）＜0，当x∈（m+3，+∞）时，f′（x）＞0，∴当x=m+3时，f（x）有最小值，则f（m+3）=m+3-3ln（m+3）+1-m ln（m+3）-n≥0，即n-3≤m+4-（m+3）ln（m+3），≤，令g（x）=，则g′（x）=．当x∈（-3，-1）时，g′（x）＞0，当x∈（-1，+∞）时，g′（x）＜0，∴当x=-1时，g（x）有最大值为-ln2．即的最大值为-ln2．故选：B．令f（x）=x-3ln x+1-m ln x-n，利用导数可得当x=m+3（m+3＞0）时，f（x）有最小值，则f（m+3）=m+3-3ln （m+3）+1-m ln（m+3）-n≥0，即n-3≤m+4-（m+3）ln（m+3），≤，令g（x）=，利用导数求其最大值得答案．本题考查利用导数求最值，考查数学转化思想方法，考查逻辑思维能力与推理运算能力，属中档题．13.答案：-84解析：【分析】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于-1，求出r的值，即可求得展开式中的系数．【解答】解：（2x2-）7的通项公式T r+1=•（-1）r•27-r•x14-3r，令14-3r=-1，求得r=5，可得展开式中的系数为×（-1）×4=-84.故答案为-84．14.答案：2解析：解：实数x，y满足约束条件的可行域如图：z=2x-y经过可行域的A时，取得最大值，由可得A（2，2）z=2x-y的最大值为：4-2=2，故答案为：2．画出约束条件的可行域，利用目标函数的几何意义，求解即可．本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决本题的关键．15.答案：或解析：解：∵正三棱锥P-ABC的外接球的表面积为16π，则其外接球的半径为2，底面三角形ABC的外接圆的半径AG=．设正三棱锥P-ABC的高为h，当球心在正三棱锥内部时，如图，则22=（h-2）2+3，解得h=3，正三棱锥P-ABC的体积为V=；同理，当球心在正三棱锥外部时，则22=（2-h）2+3，解得h=1．∴正三棱锥P-ABC的体积为V=．故答案为：或．由三棱锥外接球的表面积求出三棱锥外接球的半径，然后分类求三棱锥的高，代入体积公式求解．本题考查多面体外接球的表面积与体积的求法，考查数形结合的解题思想方法与分类讨论得数学思想方法，是中档题．16.答案：解析：解：设直线AB的倾斜角为锐角θ，则直线CD的倾斜角为，由焦半径公式得，，，，∴△ACF的面积为====，同理可得△BDF的面积为，令，则△ACF与△BDF面积之和为，再令x=t2+1∈[1，2），则△ACF与△BDF面积之和为，由双勾函数的单调性可知，当x=1时，△ACF与△BDF面积之和取到最小值，即2p2=16，由于p＞0，得，因此，抛物线的方程为．故答案为：．设直线AB的倾斜角为锐角θ，则直线CD的倾斜角为，利用焦半径公式分别求出|AF|、|BF|、|CF|、|DF|，并求出△ACF与△BDF面积之和的表达式，通过不断换元，并利用双勾函数的单调性求出两个三角形面积之和的最小值，求出p的值，于是得出抛物线的方程．本题考查直线与抛物线的综合问题，考查抛物线的定义，考查计算能力与推理能力，属于中等题．17.答案：解：（1）证明：根据题意，当n≥2时，S n-1-1，S n，S n+1成等差数列，则2S n=（S n-1-1）+（S n+1），变形可得：S n-S n-1=（S n+1-S n）-1，即a n+1-a n=1，则数列{a n}是公差为1的等差数列；（2）由（1）的结论，数列{a n}是公差为1的等差数列，则a n=a1+（n-1），又由S n=0，S n+1=4，则a n+1=S n+1-S n=4，则有a n+1=a1+n=4，①又由S n=0，可得S n==0，变形可得2a1+（n-1）=0，②联立①②可得：n=7．解析：（1）根据题意，根据等差中项的性质可得2S n=（S n-1-1）+（S n+1），变形可得：S n-S n-1=（S n+1-S n）-1，即a n+1-a n=1，由等差数列的定义分析可得答案；（2）由（1）的结论可得a n=a1+（n-1），又由S n=0，S n+1=4，则a n+1=S n+1-S n=4，则有a n+1=a1+n=4，又由S n=0，可得S n==0，变形可得2a1+（n-1）=0，联立两个式子求出n的值，即可得答案．本题考查等差数列的性质的应用，涉及等差数列的通项公式的应用，属于基础题．18.答案：解：（1）由AB=3，BC=4，AC=5，知AB2+BC2=AC2，则AB⊥BC，由PA⊥面ABCD，BC⊂面ABCD，得PA⊥BC，由PA∩AB=A，PA，AB⊂面PAB，则BC⊥面PAB，则点C到平面PAB的距离为一个定值BC=4．（2）由PA⊥面ABCD，AB为PB在平面ABCD上的射影，则∠PBA为直线PB与平面ABCD所成的角，则∠PBA=45°，所以PA=AB=3．由AD∥BC，AB⊥BC，得AB⊥AD，故直线AB、AD、AP两两垂直，因此，以点A为坐标原点，以AB、AD、AP所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，P（0，0，3），D（0，3，0），C（3，4，0），=（0，-3，3），=（3，1，0），设平面PDC的法向量为=（x，y，z），则，取x=1，则=（1，-3，-3），平面PAD的一个法向量=（1，0，0），cos＜＞===，由题意得A-PD-C的平面角为钝角，∴二面角A-PD-C的余弦值为-．解析：（1）根据几何关系得到BC⊥面PAB，进而得到点面距离．（2）根据线面角得到∠PBA=45°，所以PA=AB=3，建立坐标系求得面的法向量由向量夹角的计算公式，进而得到二面角的余弦值．这个题目考查了空间中的直线和平面的位置关系，线面角的找法，平面和平面的夹角．求线面角，一是可以利用等体积计算出直线的端点到面的距离，除以线段长度就是线面角的正弦值；还可以建系，用空间向量的方法求直线的方向向量和面的法向量，再求线面角即可．面面角一般是定义法，做出二面角，或者三垂线法做出二面角，利用几何关系求出二面角，也可以建系来做．19.答案：解：（1）椭圆上的左顶点到左焦点的距离最小为2-，结合题干条件得到，解得a=2，b=1，故椭圆Γ的方程为：．（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），P（1，t），M（1，0），若直线AB与x轴不重合时，设直线AB的方程为x=my+1，点N（4，），，将直线代入椭圆方程整理得：（m2+4）y2+2my-3=0，△＞0，则y1+y2=-，，+======2•=2k0，若直线AB与x轴重合时，则B（-2，0），A（2，0），N（4，0），此时k1+k2==-t，而k0=-t，故k1+k2=2k0．综上所述，存在实数λ=2符合题意．解析：（1）根据题干列出式子2-=a-c，结合求解即可；（2）设出直线方程，联立直线和椭圆方程，设A（x1，y1），B（x2，y2），P（1，t），+，根据韦达定理化简得到结果．当直线AB与x轴重合时验证即可．本题主要考查直线与圆锥曲线位置关系，所使用方法为韦达定理法：因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用．20.答案：解：（1）由频率分布直方图可知一台电脑使用时间在（4，8]上的概率为：P=（0.14+0.06）×2=0.4=，设“任取3台电脑，至少有两台使用时间在（4，8]”为事件A，则P（A）=••+•=；（2）（ⅰ）由y=e a+bx得ln y=a+bx，即t=a+bx，===-0.3=-=1.9-（-0.3）×5.5=3.55，即t=-0.3x+3.55，所以=e-0.3x+3.55；（ⅱ）根据频率分布直方图对成交的二手折旧电脑使用时间在（0，2]，（2，4]，（4，6]，（6，8]，（8，10]上的频率依次为：0.2，0.36，0.28，0，12，0.04：根据（1）中的回归方程，在区间（0，2]上折旧电脑价格的预测值为e3.55-0.3×1=e3.25≈26，在区间（2，4]上折旧电脑价格的预测值为e3.55-0.3×3=e2.65≈14，在区间（4，6]上折旧电脑价格的预测值为e3.55-0.3×5=e2.05≈7.8，在区间（6，8]上折旧电脑价格的预测值为e3.55-0.3×7=e1.45≈4.3，在区间（8，10]上折旧电脑价格的预测值为e3.55-0.3×9=e0.85≈2.3，于是，可以预测该交易市场一台折旧电脑交易的平均价格为：0.2×26+0.36×14+0.28×7.8+0.12×4.3+0.04×2.3=13.032（百元）故该交易市场收购1000台折旧电脑所需的费用为：1000×13.032=1303200（元）．解析：（1）由频率分布直方图知一台电脑使用时间在（4，8]上的概率值，再计算满足题意的概率值；（2）（ⅰ）根据公式计算得到其中的回归系数，即可写出回归方程；（ⅱ）根据频率分布直方图对成交的二手折旧电脑使用时间在（0，2]，（2，4]，（4，6]，（6，8]，（8，10]上的频率值，再得到各个区间上的相应的估计值，进而得到平均值．本题考查了回归分析回归方程的计算，频率分布直方图的应用问题，在一组具有相关关系的变量的数据间，这样的直线可以画出许多条，而其中的一条能最好地反映x与y之间的关系，这条直线过样本中心点．线性回归方程适用于具有相关关系的两个变量，对于具有确定关系的两个变量是不适用的，线性回归方程得到的预测值是预测变量的估计值，不是准确值．21.答案：解：（1）由f（x）=x-，得f'（x）=，由题意知f'（x）≥0恒成立，即x-ln x-k≥0，设F（x）=x-ln x-k，F'（x）=1-，x∈（0，1）时F'（x）＜0，F（x）递减；x∈（1，+∞）时，F'（x）＞0，F（x）递增；故F（x）min=F（1）=1-k≥0，∴k≤1，故k的取值范围是：（-∞，1]；（2）当k≤1时，f（x）单调，无极值；当k＞1时，F（1）=1-k＜0，一方面，F（e-k）=e-k，且F（x）在（0，1）递减，∴F（x）在区间（e-k，1）有一个零点，另一方面，F（e k）=e k-2k，设g（k）=e k-2k（k＞1），则g'（k）=e k-2＞0，从而g（k）在（1，+∞）递增，则g（k）＞g（1）=e-2＞0，即F（e k）＞0，又F（x）在（1，+∞）递增，∴F（x）在区间（1，e k）有一个零点，因此，当k＞1时，f'（x）在（e-k，1）和（1，e k）各有一个零点，将这两个零点记为x1，x2（x1＜1＜x2），当x∈（0，x1）时F（x）＞0，即f'（x）＞0；当x∈（x1，x2）时F（x）＜0，即f'（x）＜0；当x∈（x2，+∞）时F（x）＞0，即f'（x）＞0，从而f（x）在（0，x1）递增，在（x1，x2）递减，在（x2，+∞）递增；于是x1是函数的极大值点，x2是函数的极小值点，下面证明：f（x1）＞0，f（x2）＜0，由f'（x1）=0得x1-ln x1-k=0，即k=x1-ln x1，由得=，令，则m'（x）=，①当x∈（0，1）时m'（x）＜0，m（x）递减，则m（x）＞m（1）=0，而x1＜1，故f（x1）＞0；②当x∈（1，+∞）时m'（x）＜0，m（x）递减，则m（x）＜m（1）=0，而x2＞1，故f（x2）＜0；一方面，因为f（e-2k）=e-2k-1＜0，又f（x1）＞0，且f（x）在（0，x1）递增，∴f（x）在（e-2k，x1）上有一个零点，即f（x）在（0，x1）上有一个零点．另一方面，根据e x＞1+x（x＞0）得e k＞1+k，则有f（e4k）=e4k-12k2-1＞（1+k）4-12k2-1=，又f（x2）＜0，且f（x）在（x2，+∞）递增，故f（x）在（x2，e4k）上有一个零点，故f（x）在（x2，+∞）上有一个零点，又f（1）=0，故f（x）有三个零点．解析：（1）由题意知f′（x）≥0恒成立，构造函数F（x）=x-ln x -k，对函数求导，求得函数最值，进而得到结果；（2）当k＞1时先对函数求导研究函数的单调性可得到函数有两个极值点，再证f（x1）＞0，f（x2）＜0本题考查函数的零点与导数的综合应用，关键是利用导数研究新函数的单调性与极值，从而得出函数的变化趋势，属难题．22.答案：解：（1）由（α是参数），得，∴，即，∴曲线C1的极坐标方程为．由ρ=4sinθ，得ρ2=4ρsinθ，将ρ2=x2+y2，y=ρsinθ代入得：x2+y2=4y，故曲线C2的直角坐标方程为x2+y2-4y=0．（2）设点A、B的极坐标分别为（ρ1，θ），（ρ2，θ），将θ=β（0＜β）分别代入曲线C1、C2极坐标方程得：，ρ2=4sinβ，则|OA|+|OB|=+4sinβ=（β+φ），其中φ为锐角，且满足sinφ=，cosφ=，当β+φ=时，|OA|+|OB|取最大值，此时φ，tanβ=tan（φ）===．解析：（1）先得到C1的一般方程，再由极坐标化直角坐标的公式得到一般方程，将ρ2=x2+y2，y=ρsinθ代入得x2+y2=4y，得到曲线C2的直角坐标方程；（2）设点A、B的极坐标分别为（ρ1，θ），（ρ2，θ），将θ=β（0＜β）分别代入曲线C1、C2极坐标方程得：，ρ2=4sinβ，可得|OA|+|OB|=+4sinβ，化简可得到最值，此时φ，可求解．本题考查了参数方程化为普通方程的方法，极坐标化为直角坐标的方法，以及极坐标中极径的几何意义，极径代表的是曲线上的点到极点的距离，在参数方程和极坐标方程中，能表示距离的量一个是极径，一个是t的几何意义，其中极径多数用于过极点的曲线，而t的应用更广泛一些，是中档题．23.答案：解（1）当t=3时，由|f（x）|≥3得||x-3|-3|≥3，即|x-3|-3≥3或|x-3|-3≤-3，⇔|x-3|≥6或|x-3|≤0⇔x-3≥6或x-3≤-6或x=3解之得：x≥9或x≤-3或x=3．（2）由f（x+2）≤0得|x-1|-t≤0，即-t+1≤x≤t+1，故，所以t=2，由ab-2a-8b=2t-2得ab-2a-8b=2，则（a-8）（b-2）=18，a+2b=（a-8）+2（b-2）+12≥2+12=2×6+12=24，当且仅当a-8=2（b-2）即a=14，b=5时取等号．解析：（1）原式子等价于||x-3|-3|≥3，即|x-3|-3≥3或|x-3|-3≤-3，由绝对值不等式的几何意义求解即可；（2）由原式得|x-1|-t≤0，即-t+1≤x≤t+1，故，再由均值不等式得解即可这个题目考查了含有绝对值的不等式的解法，以及均值不等式的应用，属于中档题．。

A. B. C. D.
12.定义域为R的函数满足，当时，则当时，函数恒成立，则实数的取值范围为（）
A.B.C.D.
第II卷（非选择题共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．
13.若函数在点处的切线为，则直线与轴的交点坐标为_________.
14.已知（为自然对数的底数），函数，则__________.
A.120种B.216种C.720种D.540种
4.已知向量若，则的最小值为（）
A．2B．4C．D．
5.已知双曲线的一个焦点与抛物线的焦点重合，则此双曲线的离心率为（）
A．B．C．D．
6.已知变量满足约束条件，则目标函数的最小值为（）
A．32B．4C．8 D．2
7.已知数列满足，，，若数列满足，则（）
15.若展开式中的所有二项式系数和为512，则该展开式中的系数为______.
16.对于函数和，下列说法正确的是.
（1）函数的图像关于直线对称；
（2）的图像关于直线对称；
（3）两函数的图像一共有10个交点；
（4）两函数图像的所有交点的横坐标之和等于30；
（5）两函数图像的所有交点的横坐标之和等于24.
三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17.（本小题满分12分）
已知函数 ，其图象过点
（1）求的值；
（2）将函数图象上各点向左平移个单位长度，得到函数的图象，求函数在上的单调递增区间.
18.（本小题满分12分）xx年10月莫言获得诺贝尔文学奖后，其家乡山东高密政府准备投资6.7亿元打造旅游带，包括莫言旧居周围的莫言文化体验区，红高粱文化休闲区，爱国主义教育基地等；为此某文化旅游公司向社会公开征集旅游带建设方案，在收到的方案中甲、乙、丙三个方案引起了专家评委的注意，现已知甲、乙、丙三个方案能被选中的概率分别为，且假设各自能否被选中是无关的.

2020年荆门市高三年级高考模拟考试理科数学试题全卷满分150分，考试用时120分钟一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知i 是虚数单位，若复数，则=（ ）ii z -=123z A.B. C. D.i -1i +1i --1i +-12．已知集合，则（ ）{})3lg(,11x y x B x x A -==⎭⎬⎫⎩⎨⎧>=A.B. C. D.)1,(-∞=B A )3,0(=B A φ=B C A R ),1[+∞=B A C R 3.已知等差数列，其前n 项和为，且，则=（ ）{}n a n S m a a a =++95139762S a a -A. B. C. D.5m 9m 51914．已知，则“”是“”的（ ）+∈R b a ,1>ab 2>+b a A.充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件5．2019冠状病毒病（ CoronaVirus Disease2019（COVID-19））是由新型冠状病毒（2019-nCoV ）引发的疾病，目前全球感染者以百万计，我国在党中央、国务院、中央军委的坚强领导下，已经率先控制住疫情，但目前疫情防控形势依然严峻，湖北省中小学依然延期开学，所有学生按照停课不停学的要求，居家学习。

小李同学在居家学习期间，从网上购买了一套高考数学冲刺模拟试卷，快递员计划在下午4:00～5:00之间送货到小区门口的快递柜中，小李同学父亲参加防疫志愿服务，按规定，他换班回家的时间在下午4:30～5:00，则小李父亲收到试卷无需等待的概率为（ ）A. B. C. D.814143876．已知表示不超过x 的最大整数，（如），执行如图所示的程序框图输出的结果为][x 1]5.0[,1]2,1[-=-=（ ）A ，49850B ．49950 C. 50000 D ．500507.在二项式的展开式中有理项的项数为（ ）72121(x x +A.1B.2C.3D.48．函数的图像大致为（ ）x x x x f sin )(2+=9．已知定义在R 上的函数y=f （x ）是偶函数，且图像关于点（1，0）对称.若当时，)1,0[∈x ，则函数在区间上的零点个数为（ ）x x f 2sin )(π=x ex f x g --=)()(]2020,2019[-A ．1009B ．2019 C.2020 D.403910．已函数的值域为，则实数a 的取值范围是（ ）],0[,cos sin )(2a x x x x f ∈+=]45,1[A. B. C. D.]6,0(π]3,0(π]2,6[ππ2,3[ππ11．已知双曲线的右焦点为F ，直线与双曲线右支交于点M ，若)0,0(12222>>=-b a by a x 034=-y x ,|则该双曲线的离心率为（ ）OF OM =A. B.2 C. D.35612．已知正方体的棱长为1，P 是空间中任意一点，下列正确命题的个数是（ ）1111D C B A ABCD -①若P 为棱中点，则异面直线AP 与CD 所成角的正切值为；1CC 25②若P 在线段上运动，则的最小值为；B A 11PD AP +226+③若P 在半圆弧CD 上运动，当三棱锥的体积最大时，三棱锥外接球的表面ABC P -ABC P -ABC P -积为；π2④若过点P 的平面与正方体每条棱所成角相等，则截此正方体所得截面面积的最大值为αα433A ．1个 B ．2个 C. 3个 D ．4个二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13．已知，则向量在向量方向上的投影为 ．)3,0(),2,1(-==b a 14．一般都认为《九章算术》是中国现存最古老的数学著作。