九师联盟2020届3月高三在线联考试题 数学(理) Word版含答案

2020届河南省高三下学期3月在线联考数学（理）试卷★祝考试顺利★(解析版)第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知()2221i i z-=+（i 为虚数单位）,则复数z =( ) A. 1i +B. 1i -C. 1i -+D. 1i -- 【答案】D【解析】 由复数的除法可得11i z i i -==--,得解. 【详解】解:由()2221i i z-=+, 则222i z i -=⋅, 即11i z i i-==--, 故选:D.2.设集合{}30log 2A x x =≤≤,{B x y ==,则A B =（ ） A. []13， B. []36-， C. []39， D. []69，【答案】D【解析】 分别解对数不等式,一元二次不等式求出集合A ,B ,直接进行交集运算. 【详解】因为{}{}30log 219A x x x x =≤≤=≤≤,231803x x x --≥⇒≤-或6x ≥,所以[6,9]A B ⋂=.故选：D3.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,且21n n S =+,则10a =( )A. 512B. 1025C. 256D. 1024【答案】A【解析】 由数列的前n 项和与第n 项的关系可得10109a S S =-,代入求解即可.【详解】解：由数列{}n a 的前n 项和为n S ,且21n n S =+,则10910109(21)(21)512a S S =-=+-+=,故选：A.4.已知函数()2cos cos f x x x x =+,则()f x 的单调递减区间为( ) A. ,36k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦,k Z ∈ B. 2,236k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦,k Z ∈ C. 2,63k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦,k Z ∈ D. 22,263k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦,k Z ∈ 【答案】C【解析】先利用正弦、余弦的二倍角公式可得1()sin(2)62f x x π=++,再令3222262k x k πππππ+≤+≤+,k Z ∈,然后解不等式即可得解. 【详解】解：()2cos cos f x x x x+1112cos 2sin(2)2262x x x π=++=++, 令3222262k x k πππππ+≤+≤+,k Z ∈, 得2,63x k k ππππ⎡⎤∈++⎢⎥⎣⎦,k Z ∈. 故()f x 的单调递减区间为2,63k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦,k Z ∈. 故选：C.5.已知偶函数()()3222f x a x bx =-++的定义域为()26,9m m -+,则函数()()2log g x x a m=-+在[]410，上的最大值为( )。

2020届河南九师联盟3月在线公益联考高三数学(理科)考生注意：1.本试卷分选择题和非选择题两部分。

满分150分，考试时间120分钟。

2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。

3.考生作答时，请将答案答在答题卡上。

选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域．．．．．．书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．。

4.本卷命题范围：高考范围。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.若全集U ＝R ，M ＝{x|1x <1}，则U ðM ＝ A.{x|x ≤1} B.{x|0≤x ≤1} C.{x|x ≥0} D.{x|x<0或x>1}2.若13z i i=-+(i 为虚数单位)，则复数z 的共轭复数的模是 A.22 B.20 C.25 D.83.在“新零售”模式的背景下，自由职业越来越流行，诸如淘宝店主、微商等等。

现调研某行业自由职业者的工资收入情况，对该行业10个自由职业者人均年收入y(千元)与平均每天的工作时间x(小时)进行调查统计，得出y 与x 具有线性相关关系，且线性回归方程为ˆy＝12x ＋60、若自由职业者平均每天工作的时间为5小时，估计该自由职业者年收入为A.120千元B.72千元C.60千元D.50千元4.函数f(x)＝()sin x x e e x x--的部分图象大致是5.2020年东京夏季奥运会将设置4×100米男女混合泳接力这一新的比赛项目，比赛的规则是：每个参赛国家派出2男2女共计4名运动员参加比赛，按照仰泳→蛙泳→蝶泳→自由泳的接力顺序，每种泳姿100米且由1名运动员完成，且每名运动员都要出场。

绝密★启用前2020届全国第三次（3月）在线大联考（新课标Ⅲ卷）数学（理）试题注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2、请将答案正确填写在答题卡上 一、单选题1．设复数z 满足|i ||i |z z -=+，i 为虚数单位，且z 在复平面内对应的点为(,)Z x y ，则下列结论一定正确的是 A ．1x = B ．1y = C ．0x = D ．0y =答案:D 解：因为满足|i ||i |z z -=+的点Z 为复平面内到点(0,1)和(0,1)-的距离相等的点的集合，所以(,)Z x y 的轨迹为x 轴，其方程为0y =.故选D ． 2．已知集合{|20}A x x =-≥，{|ln(1)}B x y x =∈=+Z ，则A B =A ．[1,2]-B ．(1,2]-C ．{0,1,2}D ．{1,0,1,2}-答案:C 解：因为{|20}{|2}A x x x x =-≥=≤，{|ln(1)}{|1}B x y x x x =∈=+=∈>-Z Z ，所以{0,1,2}AB =.故选C ．3．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若953S a =，则一定成立的是 A ．46S S = B ．45S S =C ．57S S =D ．56S S =答案:B 解：因为95593S a a ==，所以50a =，则5454S S a S =+=.故选B ．4．国家统计局发布数据显示，2020年1月份全国CPI （居民消费价格指数）同比上涨5.4%，环比上涨1.4%.下图是2019年1月到2020年1月全国居民消费价格同比（与去年同期相比）和环比（与上月相比）涨跌幅，则下列判断错误的是A ．各月同比全部上涨，平均涨幅超过3%B ．各月环比有涨有跌，平均涨幅超过0.3%C ．同比涨幅最大的月份，也是环比涨幅最大的月份D ．环比跌幅最大的月份，也是同比涨幅最小的月份 答案:D 解：由统计图可知，各月同比全部上涨，平均涨幅为(1.7 1.5 2.3 2.5 2.7 2.7 2.8 2.8++++++++3.0 3.84.5 4.55.4)131% 3.09%++++÷⨯≈，超过3%，故A 正确；各月环比有涨有跌，平均涨幅为(0.5+1.00.40.10.00.10.40.70.90.90.40.0 1.4)131%0.446%-++-+++++++÷⨯≈，超过0.3%，故B 正确；同比涨幅最大的是2020年1月，环比涨幅最大的也是2020年1月，故C 正确；环比跌幅最大的是2019年3月，同比涨幅最小的是2019年2月，故D 错误，故选D ．5．已知实数,x y 满足约束条件2202201,1x y x y x y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪≥-≥-⎩，则2x y +的取值范围是A ．(3,6]-B ．[3,6]-C ．3(,6]2-D ．3[,6]2-答案:B 解：作出不等式组2202201,1x y x y x y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪≥-≥-⎩表示的平面区域，如图中阴影部分所示，设2z x y =+，则2y x z =-+，平移该直线，当直线2y x z =-+经过点A 时，z 取到最大值，由220220x y x y -+=⎧⎨--=⎩得22x y =⎧⎨=⎩，即(2,2)A ，则max 426=+=z ；当直线2y x z =-+经过点C 时，z 取到最小值，易得(1,1)C --，则min 213=--=-z ，所以2x y +的取值范围是[3,6]-.故选B ．6．函数52sin ()([π,0)(0,π])33x xx xf x x -+=∈--的图象大致为A ．B ．C ．D ．答案:A 解： 因为5()2sin()52sin ()()3333x x x xx x x xf x f x ---+-+-===--，所以()f x 是偶函数，排除B,D ，因为ππ5π(π)033f -=>-，排除C ，故选A.7．已知向量(1,),(2,)t y =-=a b ，其中22121y t t =-++，则当y 最小时，cos ,=a b A 25B ．25C ．55-D 5答案:B 解： 2222221112(1)32(1)31111y t t t t t t =-+=++-≥+⋅-=-+++，当且仅当22111t t +=+，即0t =时，取等号，y 取得最小值为1-，此时，(1,0),(2,1)=-=-a b ，则225cos ,||||515⋅-===-⋅⨯a b a b a b .故选B ．8．历史上有不少数学家都对圆周率作过研究，第一个用科学方法寻求圆周率数值的人是阿基米德，他用圆内接和外切正多边形的周长确定圆周长的上下界，开创了圆周率计算的几何方法，而中国数学家刘徽只用圆内接正多边形就求得π的近似值，他的方法被后人称为割圆术．近代无穷乘积式、无穷连分数、无穷级数等各种π值的表达式纷纷出现，使得π值的计算精度也迅速增加．华理斯在1655年求出一个公式：π2244662133557⨯⨯⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯⨯⨯，根据该公式绘制出了估计圆周率π的近似值的程序框图，如下图所示，执行该程序框图，已知输出的 2.8T >，若判断框内填入的条件为?k m ≥，则正整数m 的最小值是A ．2B ．3C ．4D ．5答案:B 解：初始：1k =，2T =，第一次循环：2282 2.8133T =⨯⨯=<，2k =，继续循环；第二次循环：8441282.833545T =⨯⨯=>，3k =，此时 2.8T >，满足条件，结束循环， 所以判断框内填入的条件可以是3?k ≥，所以正整数m 的最小值是3，故选B ． 9．已知[]x 表示不超过x 的最大整数，数列{}n a 满足，则数列{}n a的前60项的和为 A ．1830 B ．1830- C ．3660 D ．3660-答案:D 解：当43n k =-或42n k =-时，1[]2(1)1n --=；当41n k =-或4n k =时，1[]2(1)1n --=-，所以4342k k a a --+2222414(43)(42)(41)(4)3212k k a a k k k k k -++=-+----=-+，所以数列{}n a 的前60项和60S =32123215121536602-+-⨯+⨯=-.故选D ．10．将函数2()cos f x x x x =的图象上所有点的横坐标缩短为原来的12，纵坐标不变，得到函数()g x 的图象.对于下列四种说法，正确的是 ①函数()g x 的图象关于点π(,0)3成中心对称②函数()g x 在(π,π)-上有8个极值点③函数()g x 在区间ππ[,]24--，最小值为2-④函数()g x 在区间ππ(,)44-上单调递增 A ．①② B ．②③C ．②③④D ．①③④答案:B 解：21cos2π()cos 2)26x f x x x x x x +=-+，将函数()f x 图象上所有点的横坐标缩短为原来的12，纵坐标不变，得到π())6g x x +的图象.对于①，π4ππ())336g +=()g x 的图象不关于点12{x y =-=成中心对称，所以①错误；对于②，由(π,π)x ∈-得π23π25π4(,)666x +∈-，结合函数图象可得()g x 在(π,π)-上有8个极值点，所以②正确；对于③，由ππ24x -≤≤-，得11ππ5π4666x -≤+≤-，则()g x ≤()g x 的最大值为，最小值为-，所以③正确；对于④，当ππ44x -<<时，5ππ7π4666x -<+<，故函数()g x 在区间ππ(,)44-上不单调，所以④错误.故选B ． 11．如图平面多边形中，四边形ABCD 是边长为2的正方形，外侧4个三角形均为正三角形.若沿正方形的4条边将三角形折起，使顶点1234,,,S S S S 重合为S 点，得到四棱锥S ABCD -，则此四棱锥的外接球的表面积为A ．πB ．2πC ．3πD ．4π答案:D 解：连接,AC BD ，设ACBD H =，连接SH ，根据题意可得SH ⊥平面ABCD .设O为四棱锥S ABCD -的外接球的球心，则O 在SH 上，连接OC ，设此四棱锥的外接球的半径为R ，则OS OC R ==，如图所示.因为正方形ABCD 2，所以1,2,1CH SC SH ===，所以,H O 重合，即四棱锥的外接球的半径为1R =，所以四棱锥的外接球的表面积为24π4πS R ==.故选D ． 12．已知过点(4,0)M 的直线与抛物线C ：24y x =交于点,A B ，设O 为坐标原点，则||||||OA OB AB +的最大值为A ．1B ．2C 2D ．22答案:C 解：设1122(,),(,)A x y B x y ，直线AB 的方程为4x my =+，与24y x =联立得24160y my --=，则124y y m+=，1216y y =-，所以212121212(4)(4)(1)4()1616(1OA OB my my y y m y y m y y ⋅=+++=++++=-22)16160m m +++=，所以OA OB ⊥，则222||||||OA OB AB +=,所以||||OA OB +≤|AB =（当且仅当||||OA OB =时等号成立），所以||||||OA OB AB +.故选C ． 二、填空题13．5(21)x y +-的展开式中22x y 的系数为___________. 答案:120- 解：由题意，5(21)x y +-的展开式中含22x y 的项为2222122531C C (2)C (1)120x y x y ⨯⨯⨯-=-，所以所求系数为120-.14．若π1sin(),(0,π)63αα+=-∈，则πsin(2)3α+=___________.答案:9解：因为(0,π)α∈，所以ππ7π(,)666α+∈，又因为π1sin()063α+=-<，所以π7π(π,)66α+∈，所以πcos()6α+==.则πππ1sin(2)2sin()cos()2()(3663ααα+=++=⨯-⨯=. 15．已知双曲线E ：2221(0)x y a a-=>的左、右焦点分别为12,F F ，M 在E 的右支上，若12ππ[,]43F MF ∠∈，则12MF MF ⋅的最大值为___________.答案:2 解：设12||,||MF m MF n ==，12F MF θ∠=，则22242cos c m n mn θ=+-.又2m n a -=，即22224m n mn a +-=，解得21cos mn θ=-，所以12122cos ||||cos cos 1cos MF MF MF MF mn θθθ=θ⋅=⋅⋅==-211cos θ-，因为ππ[,]43θ∈，所以1cos 2θ≤12cos θ≤≤1111cos θ-≤-≤，则2211cos θ≤≤-2=，所以12MF MF ⋅的最大值为2. 16．若存在直线l 与函数1()(0)f x x x=<及2()g x x a =+的图象都相切，则实数a 的最小值为___________． 答案:解：设直线l 与函数()f x 及()g x 的图象分别相切于1(,)(0)A m m m<，2(,)B n n a +，因为21()f x x'=-，所以函数()f x 的图象在点A 处的切线方程为211()y x m m m -=--，即212y x m m=-+，因为()2g x x '=，所以函数()g x 的图象在点B 处的切线方程为22()y n a n x n --=-，即22y nx n a =-+，因为存在直线l 与函数()f x 及()g x 的图象都相切，所以22122n m n a m ⎧=-⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩，所以4124a m m =+， 令1(0)t t m =<，设41()2(0)4h t t t t =+<，则3()2h t t '=+，当t <()0h t '<，函数()h t单调递减；当0t <时，()0h t '>，函数()h t 单调递增，所以min ()(2h t h ==-，所以实数a的最小值为2-三、解答题17．已知四边形ABCD 中，AB AD ⊥，π6BDC ∠=，2AD =，4DC =.（1）若5cos 3ABD ∠=，求BD ，BC ； （2）若C ADC ∠=∠，求sin CBD ∠.答案:（1）3BD =，25123BC =-（2）15sin CBD +∠= 解：（1）在Rt ABD △中，由5cos ABD ∠=22sin 1cos 3ABD ABD ∠-∠，所以3sin ADBD ABD==∠.在BCD中，由余弦定理得2222232cos 3423425123BC BD CD BD CD BDC =+-⋅∠=+-⨯⨯=-， 所以25123BC =-（2）设CBD x ∠=，由C ADC ∠=∠，π6BDC ∠=可得5π6C x ∠=-，π6ABD x ∠=-，在Rt ABD △中，因为2AD =，所以2πsin sin()6AD BD ABD x ==∠-，在BCD 中，由正弦定理得sin sin BD CDC CBD=∠，即45πsin sin()6BD x x =-，所以24π5πsin sin()sin()66x x x =--，整理得24sin 2sin 10x x --=.由sin 0x >得15sin x +=，所以15sin CBD +∠=. 18．如图所示，正方形ABCD 所在平面与梯形ABMN 所在平面垂直，MB ∥AN ，2NA AB ==，4BM =，23CN =（1）证明：平面DMN ⊥平面BCN ； （2）求二面角C MN D --的余弦值. 答案:（1）证明见解析；（2）22解：（1）因为正方形ABCD 所在平面与梯形ABMN 所在平面垂直，BC AB ⊥，所以BC ⊥平面ABMN ，因为MN ⊂平面ABMN ，BN ⊂平面ABMN ，所以BC MN ⊥，BC BN ⊥，由2,23BC CN ==，得2222BN CN BC =-=，由2NA AB ==，可得AB AN ⊥，在直角梯形ABMN 中,可得22MN =，由4BM =，22BN MN ==，可得222BN MN BM +=，所以BN MN ⊥， 因为BCBN B =，所以MN ⊥平面BCN ，因为MN ⊂平面DMN ，所以平面DMN ⊥平面BCN .（2）如图，以B 为坐标原点，,,BA BM BC 所在直线分别为x,y,z 轴建立空间直角坐标系B-xyz ，则(0,0,0),(0,0,2),(2,0,2)B C D ,(0,4,0),(2,2,0)M N ,(2,2,0)MN =-,(2,2,2)CN =-,(0,2,2)DN =-,设111(,,)x y z =n 是平面CMN 的法向量，则00MN CN ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n ，即111112202220x y x y z -=⎧⎨+-=⎩，取11x =，得(1,1,2)=n .设222(,,)x y z =m 是平面DMN 的法向量，则00MN DN ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩m m ，即2222220220x y y z -=⎧⎨-=⎩， 取21z =，得(1,1,1)=m ， 设二面角C MN D--的平面角为θ，则cos ||||θ⋅===n m n m由图可知二面角C MN D --的余弦值为3. 19．为增强学生的法治观念，营造“学宪法、知宪法、守宪法”的良好校园氛围，某学校开展了“宪法小卫士”活动，并组织全校学生进行法律知识竞赛.现从全校学生中随机抽取100名学生，统计了他们的竞赛成绩，已知这100名学生的竞赛成绩均在[50,100]内，并得到频数分布表（如下）.（1）将竞赛成绩在[70,100]内定义为“合格”，竞赛成绩在[50,70)内定义为“不合格”．请将下面的22⨯列联表补充完整，并判断是否有99%的把握认为“法律知识竞赛成绩是否合格”与“是否是高一新生”有关？（2）根据（1）的数据分析，将频率视为概率，从该校学生中用随机抽样的方法抽取3人，记被抽取的3人中“不合格”的人数为X ，若每次抽取的结果是相互独立的，求X 的分布列和数学期望()E X .附参考公式及临界值表：22(),()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++其中n a b c d =+++.答案:见解析 解：（1）补充完整的22⨯列联表如下：则2K的观测值2()100(24122836)8.654 6.635()()()()60404852n ad bc ka b c d a c b d -⨯⨯-⨯==≈>++++⨯⨯⨯． 因此有99%的把握认为“法律知识的竞赛成绩是否合格”与“是否是高一新生”有关． （2）根据（1）的数据分析，可得随机抽取一人成绩“不合格”的概率为4021005=.根据题意得2(3,)5~X B ，X 的所有可能取值为0，1，2，3， 00332327(0)C ()()55125P X ==⨯⨯=，11232354(1)C ()()55125P X ==⨯⨯=，22132336(2)C ()()55125P X ==⨯⨯=，3303238(3)C ()()55125P X ==⨯⨯=.所以X 的分布列为所以X 的数学期望2()3 1.25E X =⨯=. 20．已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为12，过椭圆C 的左、右焦点12,F F 分别作倾斜角为π3的直线12,l l ，12,l l . （1）求椭圆C 的标准方程；（2）若直线l 与椭圆C 只有一个公共点，求点12,F F 到直线l 的距离之积.答案:（1）22143x y +=；（2）3. 解：（1）设c =12,l l π2sin 3c =1c =，由椭圆C 的离心率为12，得12c a =，所以2a =，b == 所以椭圆C 的标准方程为22143x y +=.（2）当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为2x =±，点12,F F 到直线l 的距离之积为3；当直线l 的斜率存在时，设其方程为y kx m =+，联立y kx m =+及22143x y+=，消去y 得222(34)84120k x kmx m +++-=，因为直线l 与椭圆C 只有一个公共点，所以22222(8)4(34)(412)48(43)0km k m m k ∆=-+-=---=，所以2243m k =+.点1(1,0)F -到直线l ：y kx m =+的距离1d =点2(1,0)F 到直线l ：y kx m =+的距离2d =所以22221222|||43|311m k k k d d k k -+-===++， 综上可得，若直线l 与椭圆C 只有一个公共点，则点12,F F 到直线l 的距离之积为3. 21．已知函数()cos(1)(1ln )f x x x x =-+-. （1）设()()g x f x '=，求证：1()g x x<； （2）讨论()f x 的单调性.答案:（1）证明见解析；（2）()f x 在(0,1]上是增函数，在(1,)+∞上是减函数 解：（1）因为()cos(1)(1ln )f x x x x =-+-，所以()()sin(1)ln (0)g x f x x x x '==--->，设1()ln (0)h x x x x =-->，则22111()xh x x x x-'=-+=，当(0,1)x ∈时，()0h x '>，()h x 是增函数；当(1,)x ∈+∞时，()0h x '<，()h x 是减函数,所以()(1)1h x h ≤=-，即1ln 1x x --≤-，所以1ln 1x x-≤-，当1x =时取等号. 因为sin(1)1x --≤，所以1()sin(1)ln 1ln g x x x x x=---≤-≤，等号不同时成立， 所以1()g x x<. （2）因为()sin(1)ln g x x x =---，所以1()cos(1)g x x x'=---， 当(0,1]x ∈时，1cos(1)0,0x x->>，()0g x '<，所以()g x 在(0,1]上是减函数，当(0,1]x ∈时()(1)0g x g ≥=， 即(0,1]x ∈时()0f x '≥，所以()f x 在(0,1]上是增函数；(1,1π)x ∈+时，1(0,π)x -∈，所以sin(1)0,ln 0x x --<-<，所以()0<g x ，当[1π,)x ∈++∞时,sin(1)1,ln 1x x --≤-<-，所以()0<g x ，所以当(1,)x ∈+∞时()0<g x ，即()0f x '<，所以()f x 在(1,)+∞上是减函数， 综上，可得()f x 在(0,1]上是增函数，在(1,)+∞上是减函数.22．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为8242x tt y t ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩（t 为参数）．以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2sin ρθ=． （1）求直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程； （2）若射线(0)4πθρ=>与l 和C 分别交于点,A B ，求||AB ．答案:(1)直线l 的普通方程为40(0)x y x +-=≠;曲线C 的直角坐标方程为2220x y y +-=;（2）||AB =解： （1）由82x t=+可得0x ≠， 由8242x t t y t ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩，消去参数t ，可得直线l 的普通方程为40(0)x y x +-=≠．由2sin ρθ=可得22sin ρρθ=，将sin y ρθ=，222x y ρ=+代入上式，可得2220x y y +-=，所以曲线C 的直角坐标方程为2220x y y +-=． （2）由（1）得，l 的普通方程为40(0)x y x +-=≠， 将其化为极坐标方程可得cos sin 40()2ρθρθθπ+-=≠，当()04θρπ=>时，A ρ=B ρ=所以|||||A B AB ρρ=-== 23．已知函数()|21||1|f x x ax =+--，a R ∈． （1）当2a =时，求不等式1()1f x -≤≤的解集；（2）当1(,0)2x ∈-时，不等式()2f x x >恒成立，求实数a 的取值范围．答案:(1)11[,]44-；（2）[4,0)-解：（1）当2a =时，12,211()|21||21|4,2212,2x f x x x x x x ⎧-<-⎪⎪⎪=+--=-≤≤⎨⎪⎪>⎪⎩，当21x <-或12x >时，|()|2f x =，所以1()1f x -≤≤可转化为1124211x x -≤-≤≤⎧≤⎪⎨⎪⎩，解得1144x -≤≤，所以不等式1()1f x -≤≤的解集为11[,]44-． （2）因为1(,0)2x ∈-，所以|21|21x x +=+，所以()2f x x >，即21|1|2x ax x +-->，即|1|1ax -<． 当0a ≥时，因为1(,0)2x ∈-，所以|1|1ax -≥，不符合题意． 当0a <时，解|1|1ax -<可得20x a<<， 因为当1(,0)2x ∈-时，不等式()2f x x >恒成立，所以12(,0)(,0)2a -⊆，所以212a ≤-，解得40a -≤<，所以实数a 的取值范围为[4,0)-．。

2020年3月高三第三次在线大联考（新课标Ⅰ卷）理科数学 全解全析1 2 3 4 5 6 7 89 10 11 12 CDBDBBABDBDC1．C 【解析】因为{|20}{|2}A x x x x =-≥=≤，{|ln(1)}{|1}B x y x x x =∈=+=∈>-Z Z ，所以{0,1,2}A B =I .故选C ．2．D 【解析】因为满足|i ||i |z z -=+的点Z 为复平面内到点(0,1)和(0,1)-的距离相等的点的集合，所以(,)Z x y 的轨迹为x 轴，其方程为0y =.故选D ．3．B 【解析】因为95593S a a ==，所以50a =，则5454S S a S =+=.故选B ．4．D 【解析】由统计图可知，各月同比全部上涨，平均涨幅为(1.7 1.5 2.3 2.5 2.7 2.7 2.8 2.8++++++++ 3.0 3.8 4.5 4.5 5.4)131% 3.09%++++÷⨯≈，超过3%，故A 正确；各月环比有涨有跌，平均涨幅为(0.5+ 1.00.40.10.00.10.40.70.90.90.40.0 1.4)131%0.446%-++-+++++++÷⨯≈，超过0.3%，故B 正确；同比涨幅最大的是2020年1月，环比涨幅最大的也是2020年1月，故C 正确；环比跌幅最大的是2019年3月，同比涨幅最小的是2019年2月，故D 错误，故选D ．5．B 【解析】初始：1k =，2T =，第一次循环：2282 2.8133T =⨯⨯=<，2k =，继续循环；第二次循环：8441282.833545T =⨯⨯=>，3k =，此时 2.8T >，满足条件，结束循环， 所以判断框内填入的条件可以是3?k ≥，所以正整数m 的最小值是3，故选B ．6．B 【解析】作出不等式组2202201,1x y x y x y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪≥-≥-⎩表示的平面区域，如图中阴影部分所示，设2z x y =+，则2y x z =-+，平移该直线，当直线2y x z =-+经过点A 时，z 取到最大值，由220220x y x y -+=⎧⎨--=⎩得22x y =⎧⎨=⎩，即(2,2)A ，则max 426z =+=；当直线2y x z =-+经过点C 时，z 取到最小值，易得(1,1)C --，则min 213z =--=-，所以2x y +的取值范围是[3,6]-.故选B ．7．A 【解析】因为5()2sin()52sin ()()3333x x x xx x x xf x f x ---+-+-===--，所以)(x f 是偶函数，排除B,D ，因为ππ5π(π)033f -=>-，排除C ，故选A. 8．B 【解析】2222221112(1)32(1)31111y t t t t t t =-+=++-≥+⋅-=-+++，当且仅当22111t t +=+，即0t =时，取等号，y 取得最小值为1-，此时，(1,0),(2,1)=-=-a b ，则25cos ,||||15⋅===-⋅⨯a b a b a b .故选B ．9．D 【解析】当43n k =-或42n k =-时，1[]2(1)1n --=；当41n k =-或4n k =时，1[]2(1)1n --=-，所以4342k k a a --+2222414(43)(42)(41)(4)3212k k a a k k k k k -++=-+----=-+，所以数列{}n a 的前60项和60S =32123215121536602-+-⨯+⨯=-.故选D ．10．B 【解析】2261cos22π()6sin cos 2cos sin 222sin(2)26x f x x x x x x +=+-=+⋅-=+，将函数()f x 图象上所有点的横坐标缩短为原来的12，纵坐标不变，得到π()2sin(4)6g x x =+的图象.对于①，π4ππ()2sin()2336g =+=-，故函数()g x 的图象不关于点π(,0)3成中心对称，所以①错误；对于②，由(π,π)x ∈-得π23π25π4(,)666x +∈-，结合函数图象可得()g x 在(π,π)-上有8个极值点，所以②正确；对于③，由ππ24x -≤≤-，得11ππ5π4666x -≤+≤-，则2()2g x -≤≤，所以()g x 的最大值为2，最小值为2-，所以③正确；对于④，当ππ44x -<<时，5ππ7π4666x -<+<，故函数()g x 在区间ππ(,)44-上不单调， 所以④错误.故选B ．11．D 【解析】连接,AC BD ，设AC BD H =I ，连接SH ，根据题意可得SH ⊥平面ABCD .设O 为四棱锥S ABCD -的外接球的球心，则O 在SH 上，连接OC ，设此四棱锥的外接球的半径为R ，则OS OC R ==，如图所示.因为正方形ABCD 21,2,1CH SC SH ===，所以,H O 重合，即四棱锥的外接球的半径为1R =，所以四棱锥的外接球的表面积为24π4πS R ==.故选D ．12．C 【解析】设1122(,),(,)A x y B x y ，直线AB 的方程为4x my =+，与24y x =联立得24160y my --=，则124y y m +=，1216y y =-，所以212121212(4)(4)(1)4()1616(1OA OB my my y y m y y m y y ⋅=+++=++++=-u u u r u u u r22)16160m m +++=，所以OA OB ⊥，则222||||||OA OB AB +=,所以||||OA OB +≤|AB =（当且仅当||||OA OB =时等号成立），所以||||||OA OB AB +.故选C ．13．120- 【解析】由题意，5(21)x y +-的展开式中含22x y 的项为2222122531C C (2)C (1)120x y x y ⨯⨯⨯-=-，所以所求系数为120-. 14．9【解析】因为(0,π)α∈，所以ππ7π(,)666α+∈，又因为π1sin()063α+=-<，所以π7π(π,)66α+∈，所以πcos()63α+=-.则πππ1sin(2)2sin()cos()2()(3663ααα+=++=⨯-⨯. 15．2 【解析】设12||,||MF m MF n ==，12F MF θ∠=，则22242cos c m n mn θ=+-.又2m n a -=，即22224m n mn a +-=，解得21cos mn θ=-，所以12122cos ||||cos cos 1cos MF MF MF MF mn θθθ=θ⋅=⋅⋅==-u u u u r u u u u r u u u u r u u u u r211cos θ-，因为ππ[,]43θ∈，所以1cos 2θ≤12cos θ≤≤1111cos θ≤-≤，则2211cos θ≤≤-2=，所以12MF MF ⋅u u u u r u u u u r的最大值为2+. 16．【解析】设直线l 与函数()f x 及()g x 的图象分别相切于1(,)(0)A m m m <，2(,)B n n a +，因为21()f x x '=-，所以函数()f x 的图象在点A 处的切线方程为211()y x m m m -=--，即212y x m m=-+，因为()2g x x '=，所以函数()g x 的图象在点B 处的切线方程为22()y n a n x n --=-，即22y nx n a =-+，因为存在直线l 与函数()f x 及()g x 的图象都相切，所以22122n mn a m ⎧=-⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩，所以4124a m m =+， 令1(0)t t m =<，设41()2(0)4h t t t t =+<，则3()2h t t '=+，当t <()0h t '<，函数()h t单调递减；当0t <时，()0h t '>，函数()h t 单调递增，所以min()(h t h ==，所以实数a的最小值为 17．（本小题满分12分）【解析】（1）在Rt ABD △中，由cos ABD ∠2sin 3ABD ∠，所以3sin ADBD ABD==∠.（3分）在BCD △中，由余弦定理得2222232cos 3423425123BC BD CD BD CD BDC =+-⋅∠=+-⨯⨯⨯=-，所以25123BC =-.（6分）（2）设CBD x ∠=，由C ADC ∠=∠，π6BDC ∠=可得5π6C x ∠=-，π6ABD x ∠=-， 在Rt ABD △中，因为2AD =，所以2πsin sin()6AD BD ABD x ==∠-，（8分）在BCD △中，由正弦定理得sin sin BD CDC CBD =∠，即45πsin sin()6BD x x =-， 所以24π5πsin sin()sin()66xx x =--，整理得24sin 2sin 10x x --=.（10分） 由sin 0x >得15sin x +=，所以15sin CBD +∠=.（12分） 18．（本小题满分12分）【解析】（1）因为正方形ABCD 所在平面与梯形ABMN 所在平面垂直，BC AB ⊥，所以BC ⊥平面ABMN ， 因为MN ⊂平面ABMN ，BN ⊂平面ABMN ，所以BC MN ⊥，BC BN ⊥，由2,23BC CN ==，得2222BN CN BC =-=，由2NA AB ==，可得AB AN ⊥，（3分） 在直角梯形ABMN 中, 可得22MN =，由4BM =，22BN MN ==，可得222BN MN BM +=，所以BN MN ⊥， 因为BC BN B =I ，所以MN ⊥平面BCN ，因为MN ⊂平面DMN ，所以平面DMN ⊥平面BCN .（6分）（2）如图，以B 为坐标原点，,,BA BM BC 所在直线分别为x ,y ,z 轴建立空间直角坐标系B-xyz ，则(0,0,0),(0,0,2),(2,0,2)B C D ,(0,4,0),(2,2,0)M N ,(2,2,0)MN =-u u u u r ,(2,2,2)CN =-u u u r ,(0,2,2)DN =-u u u r,设111(,,)x y z =n 是平面CMN 的法向量，则00MN CN ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u u r u u u r n n ，即111112202220x y x y z -=⎧⎨+-=⎩， 取11x =，得(1,1,2)=n .（8分）设222(,,)x y z =m 是平面DMN 的法向量，则0MN DN ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u u ru u u r m m ，即2222220220x y y z -=⎧⎨-=⎩，取21z =，得(1,1,1)=m ，（10分）设二面角C MN D --的平面角为θ，则cos ||||θ⋅===n m n m由图可知二面角C MN D --.（12分） 19．（本小题满分12分）【解析】（1）设c =，由12,l lπ2sin 3c 1c =，（2分） 由椭圆C 的离心率为12，得12c a =，所以2a =，b 所以椭圆C 的标准方程为22143x y +=.（5分）（2）当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为2x =±，点12,F F 到直线l 的距离之积为3；（6分） 当直线l 的斜率存在时，设其方程为y kx m =+，联立y kx m =+及22143x y +=，消去y 得222(34)84120k x kmx m +++-=，（8分） 因为直线l 与椭圆C 只有一个公共点，所以22222(8)4(34)(412)48(43)0km k m m k ∆=-+-=---=， 所以2243m k =+.点1(1,0)F -到直线l ：y kx m =+的距离1d =点2(1,0)F 到直线l ：y kx m =+的距离2d =，所以22221222|||43|311m k k k d d k k -+-===++，（11分） 综上可得，若直线l 与椭圆C 只有一个公共点，则点12,F F 到直线l 的距离之积为3.（12分） 20．（本小题满分12分）【解析】（1）（ⅰ）样本的平均数为1(23212219221917192117)2010⨯+++++++++=，样本的标准2=，因此20μ=，2σ=.（2分）（ⅱ）学校7点30分上课，若该学生7点04分准时从家出发，则该学生到达教室所花时间最多为26分钟，若该学生7点06分准时从家出发，则该学生到达教室所花时间最多为24分钟，由于11(26)(3)1[(1(33)]1(10.9974)0.998722P X P X P X μσμσμσ<=<+=-⨯--<<+=-⨯-=，11(24)(2)1[(1(22)]1(10.9544)0.977222P X P X P X μσμσμσ<=<+=-⨯--<<+=-⨯-=.（4分）所以该学生上学不迟到的概率的范围是(0.9772,0.9987).（6分）（2）把该学生这10天早上从家出发到教室所花的时间从小到大排列为17，17，19，19，19，21，21，22，22，23.在这10天中任取2天，所花时间的差的绝对值为Y ，则Y 的可能值为0,1,2,3,4,5,6，且22222322210C C C C 62(0)C 4515P Y +++====，11112221210C C C C 62(1)C 4515P Y +====， 111111232321210C C C C C C 14(2)C 45P Y ++===，1132210C C 62(3)C 4515P Y ====，11112231210C C C C 7(4)C 45P Y +===， 1122210C C 4(5)C 45P Y ===，1121210C C 2(6)C 45P Y ===，（10分）所以Y 的分布列是Y 的数学期望是22142742112()01234561515451545454545E Y =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.（12分） 21．（本小题满分12分）【解析】（1）因为()cos(1)(1ln )f x x x x =-+-，所以()()sin(1)ln (0)g x f x x x x '==--->，（1分） 设1()ln (0)h x x x x =-->，则22111()xh x x x x-'=-+=，当(0,1)x ∈时，()0h x '>，()h x 是增函数；当(1,)x ∈+∞时，()0h x '<，()h x 是减函数, 所以()(1)1h x h ≤=-，即1ln 1x x --≤-，所以1ln 1x x-≤-，当1x =时取等号.（4分） 因为sin(1)1x --≤，所以1()sin(1)ln 1ln g x x x x x=---≤-≤，等号不同时成立， 所以1()g x x<.（6分） （2）因为()sin(1)ln g x x x =---，所以1()cos(1)g x x x'=---， 当(0,1]x ∈时，1cos(1)0,0x x->>，()0g x '<，所以()g x 在(0,1]上是减函数，当(0,1]x ∈时()(1)0g x g ≥=， 即(0,1]x ∈时()0f x '≥，所以()f x 在(0,1]上是增函数；（8分）(1,1π)x ∈+时，1(0,π)x -∈，所以sin(1)0,ln 0x x --<-<，所以()0g x <，当[1π,)x ∈++∞时,sin(1)1,ln 1x x --≤-<-，所以()0g x <，所以当(1,)x ∈+∞时()0g x <，即()0f x '<，所以()f x 在(1,)+∞上是减函数， 综上，可得()f x 在(0,1]上是增函数，在(1,)+∞上是减函数.（12分） 22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程【解析】（1）由82x t=+可得0x ≠， 由8242x t t y t ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩，消去参数t ，可得直线l 的普通方程为40(0)x y x +-=≠．（2分）由2sin ρθ=可得22sin ρρθ=，将sin y ρθ=，222x y ρ=+代入上式，可得2220x y y +-=， 所以曲线C 的直角坐标方程为2220x y y +-=．（5分） （2）由（1）得，l 的普通方程为40(0)x y x +-=≠，将其化为极坐标方程可得cos sin 40()2ρθρθθπ+-=≠，（7分）当()04θρπ=>时，A ρ=B ρ=所以|||||A B AB ρρ=-==（10分） 23．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲【解析】（1）当2a =时，12,211()|21||21|4,2212,2x f x x x x x x ⎧-<-⎪⎪⎪=+--=-≤≤⎨⎪⎪>⎪⎩，（2分）当12x <-或12x >时，|()|2f x =，所以1()1f x -≤≤可转化为1124211x x -≤-≤≤⎧≤⎪⎨⎪⎩，解得1144x -≤≤，所以不等式1()1f x -≤≤的解集为11[,]44-．（5分）（2）因为1(,0)2x ∈-，所以|21|21x x +=+，所以()2f x x >，即21|1|2x ax x +-->，即|1|1ax -<．当0a ≥时，因为1(,0)2x ∈-，所以|1|1ax -≥，不符合题意．（7分）当0a <时，解|1|1ax -<可得20x a<<，（8分） 因为当1(,0)2x ∈-时，不等式()2f x x >恒成立，所以12(,0)(,0)2a-⊆，所以212a ≤-，解得40a -≤<，所以实数a 的取值范围为[4,0)-．（10分）。

九师联盟2023届高三下学期3月联考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、未知1．若复数z 满足2(1i)34i z +=+，则在复平面内z 的共阨复数所对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限二、单选题2．已知全集{}29100U x x x =∈--<Z∣，集合()(){}{}180,1,2,4,5,7,8A x x x B =∈--≥=Z ∣，则集合{}0,3,6,9为（ ）A ．()U AB ⋂ð B ．()U A B ∩ðC ．()U A B U ðD ．()U A B ⋂ð3．在平面直角坐标系xOy 中，角α的顶点为O ，始边与x 轴的非负半轴重合，终边与圆229x y +=相交于点t ⎫⎪⎪⎝⎭，则πsin 22α⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A ．45-B ．35-C D 4．将半径为6的半圆卷成一个无底圆锥（钢接处不重合），则该无底圆锥的体积为（ ）A ．B ．27πC ．D ．9π5．计算机是20世纪最伟大的发明之一，被广泛地应用于工作和生活之中，在进行计算和信息处理时，使用的是二进制.已知一个十进制数()*n n ∈N 可以表示成二进制数()()0122k a a a a k ∈N L，且1200122222k k k k n a a a a --=⨯+⨯+⨯++⨯L ，其中{}()01,0,11,2,3,,i a a i k =∈=L .记012,,,,k a a a a L 中1的个数为()f n ，若9k =，则满足()6f n =的n 的个数为（ ） A ．126B ．84C ．56D ．36三、未知6．纯电动汽车是以车载电源为动力，用电机驱动车轮行驶，符合道路交通､安全法规各项要求的车辆，它使用存储在电池中的电来发动.因其对环境影响较小，逐渐成为当今世界的乘用车的发展方向.研究发现电池的容量随放电电流的大小而改变，1898年Peukert 提出铅酸电池的容量C ､放电时间t 和放电电流I 之间关系的经验公式：C I t λ=，其中λ为与蓄电池结构有关的常数（称为Peukert 常数），在电池容量不变的条件下，当放电电流为15A 时，放电时间为30h ；当放电电流为50A 时，放电时间为7.5h ，则该萻电池的Peukert 常数λ约为（ ）（参考数据：lg20.301,lg30.477≈≈） A ．1.12B ．1.13C ．1.14D ．1.15四、单选题7．已知F 是抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点，过点F 且斜率为2的直线l 与C 交于,A B 两点，若20AF BF ⋅=，则p =（ ） A ．4B ．3C ．2D ．1五、未知8．已知函数()f x 的定义域D 关于原点对称，14f π⎛⎫=- ⎪⎝⎭且()f x 满足：①当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x <；（2）1x ∀，2x D ∈且12x x ≠，()()()()()1212211f x f x f x x f x f x +-=-，则下列关于()f x 的判断错误的是（ ） A ．()f x 为奇函数 B ．02f ⎛⎫= ⎪⎝⎭πC ．π是()f x 的一个周期D ．()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减9．甲、乙两城市某月初连续7天的日均气温数据如图所示，则在这7天中，下列判断正确的是（ ）A ．甲城市日均气温的中位数与平均数相等B ．甲城市的日均气温比乙城市的日均气温稳定C ．乙城市日均气温的极差为3C ︒D ．乙城市日均气温的众数为5C ︒10．已知函数()f x = ） A ．π为()f x 的一个周期 B ．()f x 的图象关于直线2x π=对称C ．()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增D ．()f x 的值域为⎤⎦11．设双曲线()2222:10,0x y E a b a b-=>>的焦距为2c ，离心率为e ，且a ，c ，a c +成等比数列，A 是E 的一个顶点，F 是与A 不在y 轴同侧的焦点，B 是E 的虚轴的一个端点，PQ 为E 的任意一条不过原点且斜率为()0k k ≠的弦，M 为PQ 中点，O 为坐标原点，则（ ）A ．EB ．AB BF ⊥C ．OM PQ k k e ⋅=（OM k ，PQ k 分别为直线OM ，PQ 的斜率）D ．若OP OQ ⊥，则2211e OPOQ+=恒成立12．若02b a π<<<，则（ ）A ．e e e e a b b a b a -<-B ．11e 2e 2e e b aa ba b ++>++ C ．sin sin a b b b a a +<+D ．sin cos sin b a a >六、填空题13．已知平面向量,a b r r 满足2,1,a a b a b =⋅=+=r r r r r ,a b r r夹角的大小为__________.14．已知直线:cos sin 2l x y θθ+=与圆22:(3)(4)16-+-=C x y 相切，则满足条件的直线l 的条数为__________.15．已知函数()31(0xf x a x a =++>且1)a ≠，若曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线与直线210x y +-=垂直，则()f x 在[]1,2-上的最大值为__________.七、双空题16．在数列{}n a 中，21a =，52a =，0n a ≥，对*n ∀∈N ，222212n n n a a a +++=恒成立，则{}n a的通项公式为________；若()()()11222n n n n n n n b a a a a a a ++++=+++，则数列{}n b 的前n项和n S =________．八、未知17．已知数列{}n a 满足11a =，()()12121n n n a n a +-=+． (1)求{}n a 的通项公式；(2)若12n an b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，设数列{}n n a b 的前n 项和n S ，证明：109n S <．九、解答题18．在ABC V 中，角,,A B C 的对边分别为2222,,,cos cos a b c a B ab A c a b +-=-. (1)求B ；(2)若2,1a c =>，延长AB 到D ，使得2BD c =，当CDAC取得最大值时，求c . 19．2023年春节期间，科幻电影《流浪地球2》上映，获得较好的评价，也取得了很好的票房成绩．某平台为了解观众对该影片的评价情况（评价结果仅有“好评”“差评”），从平台所有参与评价的观众中随机抽取400人进行调查，数据如下表所示（单位：人）：(1)把22⨯列联表补充完整，试根据小概率值0.005α=的独立性检验分析对该部影片的评价是否与性别有关；(2)若将频率视为概率，从抽取的400人中所有给出“好评”的观众中随机抽取3人，用随机变量X 表示被抽到的女性观众的人数，求X 的分布列和数学期望． 参考公式：()()()()()22n ad bc a b c d a c b d χ-=++++，其中n a b c d =+++．参考数据：十、未知20．在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，四边形ABCD 为平行四边形，平面1D BC ⊥平面1D BD .(1)求证：BC BD ⊥；(2)若1224AA BD BC ===，探索在棱1AA 上是否存在一点E ，使得二面角1E BD D --的大小为30o ？若存在，求出1AEAA 的值；若不存在，请说明理由. 21．已知F 为椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点，M 为右顶点，N 为上顶点，离心，直线l 与C 相切于点A ，与y 轴相交于点B （异于点A ），OA OB =（O 为坐标原点），且OAB V(1)求NF MN；(2)求C 的方程.22．已知()()ln cos sin f x x ax x a x a =+-∈R . (1)证明：当0a …时，()f x 在(]0,π上单调递增； (2)当1a =时，关于x 的不等式()ln cos e x kx x x x f x +-…在0,2π⎛⎤⎥⎝⎦上恒成立，求实数k 的取值范围.。

2020年河南省、河北省九师联盟高考数学模拟试卷(理科)(3月份)一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知全集U=R，集合M={x||x−1|≤2}，则∁U M=()A. {x|−1<x<3}B. {x|−1≤x≤3}C. {x|x<−1，或x>3}D. {x|x≤−1，或x≥3}2.已知i为虚数单位，则2−4i1+3i=()A. −1−iB. −1+iC. 1−iD. 1+i3.某考察团对10个城市的职工人均工资x(千元)与居民人均消费y(千元)进行调查统计，得出y与x具有线性相关关系，且回归方程为ŷ=0.6x+1.2.若某城市职工人均工资为5千元，估计该城市人均消费额占人均工资收入的百分比为()A. 66%B. 67%C. 79%D. 84%4.函数f(x)=e−x−e xx2的图象大致为()A. B.C. D.5.某省运动队从5名男乒乓球运动员和3名女乒乓球运动员中各选出两名，进行一场男女混合双打表演赛，对阵双方各有一名男运动员和一名女运动员，则不同的分组方法有()A. 60种B. 90种C. 120种D. 180种6.现有3本不同的数学书，2本不同的语文书，从中任意取出2本，取出的书恰好都是数学书的概率为()A. 13B. 112C. 29D. 3107. 执行如图所示的程序框图，则输出的结果是( )A. 14B. 15C. 16D. 178. 在△ABC 中，∠ABC =90°，AB =6，点D 在边AC 上，且2AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的值是( ) A. 48B. 24C. 12D. 69. 函数y =5sin (25x +π6)的最小正周期为( )．A. 2π5B. 5π2C.D.10. 已知三棱锥S −ABC 中，底面ABC 为边长等于√3的等边三角形，SA 垂直于底面ABC ，SA =1，那么三棱锥S −ABC 的外接球的表面积为( )A. 2πB. 4πC. 6πD. 5π11. 已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的左，右焦点分别为F 1，F 2，以线段F 1F 2为直径的圆与C 右支的一个交点为P ，若|OP|=√2b(O 为坐标原点)，则C 的离心率为A. √2B. √3C. √6D. √6212. 已知数列{a n }为正项的递增等比数列，a 1+a 5=82，a 2⋅a 4=81，记数列{2a n}的前n 项和为T n ，则使不等式2018|13T n −1|>1成立的最大正整数的值为( )A. 5B. 6C. 7D. 8二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 若随机变量X ～N(3,σ2)，且P(X ≥5)=0.2，则P(1<X <5)=______14. 公差不为零的等差数列{a n }的前n 项和为S n .若a 4是a 3与a 7的等比中项，S 8=32，则S 10= . 15. 抛物线C ：y 2=2px 上一点(1,y 0)到其焦点的距离为3，则抛物线C 的方程为______． 16. 若曲线y =e x −ae x (a >0)上任意一点处的切线的倾斜角的取值范围是[π3,π2)，则a =________． 三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 在△ABC 中，A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且cos 2B −3cos(A +C)=1．(1)求B的大小．(2)若sin A=2sin C，b=√3，求△ABC的面积．18.甲乙两班级进行数学测试，每班45人，统计学生成绩，乙班优秀率为20％，甲班优秀人数比乙班多三人．(Ⅰ)根据所给数据完成下列2×2列联表：(Ⅱ)能否在犯错误的概率不超过0.010的前提下，认为成绩与班级有关系?参考公式：K2=n(ad−bc)2其中n=a+b+c+d；临界值表供参考：(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)19.如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，BA⊥平面ACC1A1，∠A1AC=90°，AA1=AB=AC=2．(1)求二面角B−CB1−A1的大小；(2)设P是线段A1C的中点，H是棱BC的中点，求证：PH⊥平面AB1C.20.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为√32，a=2b2，A，B分别为椭圆C的上、下顶点，点M(t,2)(t≠0)．(1)求椭圆C的方程；(2)若直线MA，MB与椭圆C的另一交点分别为P，Q，证明：直线PQ过定点．21.已知函数f(x)=x2+2x，g(x)=xe x．(1)求f(x)−g(x)的极值；(2)当x∈(−2,0)时，f(x)+1≥ag(x)恒成立，求实数a的取值范围．(t为参数).以坐标原点O为极点，x轴的正22.在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为{x=√2ty=t2半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρsinθ=4，M为曲线C2上的动点，点P在线段OM上，且满足|OM|⋅|OP|=16.(Ⅰ)求点P的轨迹C3的直角坐标方程；(Ⅱ)设C1与C3的交点为A，B，求△AOB的面积．23.若x，y，z为实数，且x2+4y2+9z2=6，求x+2y+6z的最大值．【答案与解析】1.答案：C解析：解：因为集合M={x||x−1|≤2}={x|−1≤x≤3}，全集U=R，∴C U M={x|x<−1，或x>3}．故选C．由题意全集U=R，集合M={x||x−1|≤2}，然后根据交集的定义和运算法则进行计算．本题考查集合的补集运算，以及简单的含绝对值的不等式的求解，属容易题．2.答案：A解析：本题考查复数的运算，属基础题．化简复数即可得解．依题意，2−4i1+3i =(2−4i)(1−3i)(1+3i)(1−3i)=−1−i，故选A．3.答案：D解析：本题考查线性回归方程，基础题．把x=5代入回归直线方程可求出人均消费额，进而可求人均消费额占人均工资收入的百分比．解：∵y与x具有线性相关关系，满足回归方程y=0.6x+1.2，该城市居民人均工资水平为x=5，∴可以估计该市的职工人均消费额y=0.6×5+1.2=4.2，∴可以估计该城市人均消费额占人均工资收入的百分比约为4.25=84%，故选D．4.答案：D解析：本题考查函数的图象的判断，函数的奇偶性以及函数的值的符号，属于基础题．判断函数的奇偶性，利用函数值的符号判断解：函数f(x)=e −x−e xx2，可得：f(−x)=e x−e−xx2=−e−x−e xx2=−f(x)，则函数f(x)是奇函数，排除A；∵f(1)=e−1−e1<0，故排除B，C故选：D．5.答案：A解析：解：根据题意，分2步进行分析：①，从5名男运动员和6名女运动员中选出两名男运动员和两名女运动员，共有C52C32种结果，②，要求对阵双方各有一名男运动员和一名女运动员，则将两名女运动员全排列，对应2名男运动员，有A22种情况，则共有C52C32A22=60种分组方法；故选：A．根据题意，分2步进行分析：①，从5名男运动员和6名女运动员中选出两名男运动员和两名女运动员，②，将两名女运动员全排列，对应2名男运动员，由分步计数原理计算可得答案．本题考查排列、组合的应用，注意要先分组，再进行排列．6.答案：D解析：本题考查古典概型概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式的合理运用．先求出基本事件总数n=C52，再求出取出的书恰好都是数学书包含的基本事件个数m=C32，由此能求出取出的书恰好都是数学书的概率．解：书架上有2本不同的语文书，3本不同的数学书，从中任意取出2本，基本事件总数n =C 52=10，取出的书恰好都是数学书包含的基本事件个数m =C 32=3，∴取出的书恰好都是数学书的概率为P =m n=310．故选D ．7.答案：C解析：本题考查程序框图，理解程序的功能是解题的关键． 根据程序框图，，当n =14时，，所以到n =15得到S <−3，因此将输出n =15+1=16． 故选C ．8.答案：B解析：解：∵2AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ) =BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +13AC⃗⃗⃗⃗⃗ ) =BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +13(BC ⃗⃗⃗⃗⃗ −BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ))=23BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +13BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 又∵∠ABC =90°，AB =6， ∴BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =36，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =0， 故BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =23×36=24． 故选B ．由平面向量的线性运算化简可得BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=23BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +13BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，从而求得．本题考查了平面向量的化简与运算，同时考查了学生的转化能力．9.答案：D解析：本题考查y=Asin(ωx+φ)的周期的求法，利用T=2π|ω|即得，属容易题．解：，故选D．10.答案：D解析：解：根据已知中底面△ABC是边长为√3的等边三角形，SA垂直于底面ABC，可得此三棱锥外接球，即为以△ABC为底面以SA为高的正三棱柱的外接球∵△ABC是边长为√3的正三角形，∴△ABC的外接圆半径r=1，球心到△ABC的外接圆圆心的距离d=12故球的半径R=√r2+d2=√52故三棱锥P−ABC外接球的表面积S=4πR2=5π．故选：D．由已知结合三棱锥和正三棱柱的几何特征，可得此三棱锥外接球，即为以△ABC为底面以SA为高的正三棱柱的外接球，分别求出棱锥底面半径r，和球心距d，代入R=√r2+d2，可得球的半径R，即可求出三棱锥S−ABC的外接球的表面积．本题考查的知识点是球内接多面体，求出球的半径R=√r2+d2是解答的关键．11.答案：A解析：本题主要考查了双曲线的方程、定义和简单性质．考查了解直角三角形的知识，考查运算能力，属于中档题．解：设|F1F2|=2c，由于P是以F1F2为直径的圆与该双曲线的一个交点则△F1F2P是直角三角形，∠F1PF2=90°，若|OP|=√2b，2c=2√2b，∴a=be=√c2a2=√1+(ba)2=√2故选A．12.答案：B解析：解：设正项的递增等比数列{a n}的公比为q>1，∵a1+a5=82，a2⋅a4=81=a1a5，联立解得a1=1，a5=81．∴q4=81，解得q=3．∴a n=3n−1．∴数列{2a n }的前n项和为T n=2+23+232+⋯…+23n−1=2(1+13+132+⋯…+13n−1)=2×1−13n1−13=3(1−13n).则不等式2018|13T n−1|>1化为：2018×13n>1，即3n<2018．∵36=729，37=2187．∴使不等式2018|13T n−1|>1成立的最大正整数的值为6．故选：B．设正项的递增等比数列{a n}的公比为q>1，由a1+a5=82，a2⋅a4=81=a1a5，联立解得a1，a5.解得q.可得a n.利用等比数列的求和公式可得：数列{2an }的前n项和为T n.代入不等式2018|13T n−1|>1，即可得出．本题考查了等比数列的通项公式求和公式、数列的单调性、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．13.答案：0.6解析：解：因为随机变量X～N(3,σ2)，且P(X≥5)=0.2，所以则P(1<X<5)=1−2P(X≥5)= 1−2×0.2=0.6．故填：0.6．正态分布有一些很特殊的性质，本题根据正态分布的对称性处理即可．本题考查了正态分布的对称性，用好正态分布的对称性时解决正态分布概率问题的关键．本题属基础题．14.答案：60解析：本题考查等差数列的基本运算，利用通项公式与求和公式求得首项与公差，再由前n 项和公式求解． 解：由题意得{(a 1+3d)2=(a 1+2d)(a 1+6d)8a 1+28d =32，解得a 1=−3，d =2， 所以S 10=10×(−3)+10×92×2=60，故答案为60．15.答案：y 2=8x解析：解：抛物线C ：y 2=2px 的准线方程为：x =−p2，由抛物线的定义以及抛物线C ：y 2=2px 上一点(1,y 0)到其焦点的距离为3，可得1−(−p2)=3，解得p =4，所以抛物线方程为：y 2=8x ． 故答案为：y 2=8x ．求出抛物线的准线方程，利用已知条件以及抛物线的定义，列出方程，求出p 即可得到抛物线方程． 本题考查抛物线的简单性质以及抛物线的定义的应用，是基本知识的考查．16.答案：34解析：本题考查导数的几何意义，属于较易题．解：y′=f(x)′=e x +ae x ≥2√a ，当且仅当e x =ae x 时取等号，因为曲线y =e x −ae x (a >0)上任意一点处的切线的倾斜角的取值范围是[π3,π2), 所以2√a =√3,a =34． 故答案为34．17.答案：解：(1)由cos 2B −3cos(A +C)=1，可得2cos 2B +3cos B −2=0，解得cosB=12或cos B=−2(舍去)；又∵B∈(0,π)，∴B=π3．(2)因为sin A=2sin C，所以a=2c，由(1)得，B=π3，b=√3．由余弦定理得：b2=a2+c2−2ac·cos B，∴3=4c2+c2−4c2⋅12=3c2，∴c=1，∴a=2，∴S▵ABC=12ac⋅sinB=12×2×1×sinπ3=√32．解析：本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面积公式在解三角形中的综合应用，考查了运算求解能力和转化思想，属于中档题．(1)利用倍角公式化为cos B的等式，进而求得B.(2)利用已知及正弦定理可求a=2c，利用余弦定理可求c.进而求得a，c的值，利用三角形面积公式即可计算得解．18.答案：解：(Ⅰ)根据所给数据完成下列2×2列联表；甲，乙每班个45人，乙班优秀人数45×20％=9人，甲班优秀人数9+3=12人，∴甲班不优秀人数45−12=33人，乙班不优秀人数45−9=36人，综上可得：(II)假设“成绩与班级无关”，据列联表计算得：k =90(12×36−33×9)245×45×21×69≈0.559<6.635，在犯错误的概率不超过0.01的前提下，不能认为“成绩与班级有关系”．解析：本题考查了独立性检验的应用，考查学生的计算能力和理解能力，属于基础题．(I)根据题意即可得乙班优秀人数，甲班优秀人数，甲乙两班的不优秀人数，即可得2×2列联表； (II)利用独立性检验的应用计算得结论．19.答案：解：∵BA ⊥平面ACC 1A 1，∠A 1AC =90°，∴AA 1，AC ，AB 两两垂直，故以A 为原点，以AC ，AA 1，AB 所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系． ∵AA 1=AB =AC =2.则A(0,0，0)，C(2,0，0)，A 1(0,2，0)，B(0,0，2)，B 1(0,2，2)．(1)∴BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,0,−2)，BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2,0)，A 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,−2,0)，A 1B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,0,2)． 设面BCB 1的法向量为m⃗⃗⃗ =(x,y,z)，面A 1B 1C 的法向量为n ⃗ =(a,b,c)． 由{m ⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2x −2z =0m ⃗⃗⃗ ⋅BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2y =0⇒m ⃗⃗⃗ =(1,0,1)． 由{n ⃗ ⋅A 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2a −2b =0n ⃗ ⋅A 1B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2c =0⇒m ⃗⃗⃗ =(1,1,0)． ∴cos <m ⃗⃗⃗ ,n ⃗ >=√2×√2=12．∴二面角B −CB 1−A 1的大小为1200；(2)∵P 是线段A 1C 的中点，H 是棱BC 的中点，∴P(1,1，0)，H(1,0，1)． ∴PH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,−1,1)． ∵{PH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC⃗⃗⃗⃗⃗ =0PH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，且AC ∩AB 1=A ．∴PH ⊥平面AB 1C .解析：以A 为原点，以AC ，AA 1，AB 所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系． (1)求得面BCB 1的法向量为m ⃗⃗⃗ =(x,y,z)，面A 1B 1C 的法向量为n ⃗ =(a,b,c).，可得二面角B −CB 1−A 1的大小为1200；(2)由PH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,PH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，即可得PH ⊥平面AB 1C .本题考查直线和平面垂直关系的判定与二面角的计算，考查空间想象、转化、计算、论证能力．20.答案：解：(l)由题意知{ca =√32a =2b 2a 2=b 2+c 2，解得{a =2b =1c =√3， 所以椭圆C 的方程为x 24+y 2=1．(2)证明：易知A(0,1)，B(0,−1)，则直线MA 的方程为y =1t x +1，直线MB 的方程为y =3t x −1． 联立{y =1t x +1x 24+y 2=1，得(4t 2+1)x 2+8t x =0．于是x P =−8t t 2+4，y P =t 2−4t 2+4．同理可得x Q =24t t +36，y Q =36−t 2t 2+36，所以直线PQ 的斜率k =t 2−4t 2+4−36−t 2t 2+36−8t t 2+4−24tt 2+36=2(t 2−144)−8t(4t 2+48)=12−t 216t．所以直线PQ 的方程为y −t 2−4t 2+4=12−t 216t(x +8tt 2+4)．即y =12−t 216tx +12，所以直线PQ 过定点(0,12)．解析：(1)根据椭圆的性质即可求得，a 和b 的值，求得椭圆方程；(2)设直线MA 和MB 的方程，分别代入椭圆方程，求得P 和Q 点坐标，根据直线斜率公式和直线的点斜式方程，即可证明直线PQ 过定点．本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，考查直线的点斜式方程的应用，考查定点问题，考查转化思想，考查计算能力，属于中档题．21.答案：解：(1)令ℎ(x)=f(x)−g(x)，则ℎ′(x)=(x +1)(2−e x )，∴ℎ(x)极小值=ℎ(−1)=1e −1， ∴ℎ(x)极大值=ℎ(ln2)=ln 22；(2)由已知，当x ∈(−2,0)时，x 2+2x +1≥axe x 恒成立 即a ≥x 2+2x+1xe =x+2+x −1e 恒成立，令t(x)=x+2+x −1e x，则t′(x)=−(x 2+1)(x+1)x 2e x，∴当x ∈(−2,−1)时，t′(x)>0，t(x)单调递增， 当x ∈(−1,0)时，t′(x)<0，t(x)单调递减， 故当x ∈(−2,0)时，t(x)max =t(−1)=0，∴a ≥0．解析：本题主要考查了利用导数研究函数的单调性等基础知识，考查恒成立问题的等价转化能力及计算能力，属于中档题．(1)令ℎ(x)=f(x)−g(x)，求导数，确定函数的单调性，即可求f(x)−g(x)的极值； (2)当x ∈(−2,0)时，x 2+2x +1≥axe x 恒成立，即a ≥x 2+2x+1xe x=x+2+x −1e x恒成立，求出右边的最大值，即可求实数a 的取值范围．22.答案：解：(Ⅰ)根据题意，设M(ρ0,θ0)，P(ρ,θ)，则|OM|=ρ0，|OP|=ρ，易知ρ≠0．由题意，得{ρρ0=16ρ0sinθ0=4θ=θ0，解得ρ=4sinθ．故轨迹C 3的直角坐标方程为x 2+(y −2)2=4(y ≠0)．(Ⅱ)将曲线C 1的参数方程{x =√2ty =t 2(t 为参数)，转化为普通方程为y =x 22．联立{x 2+(y −2)2=4(y ≠0)y =x 22，可得A(2,2)，B(−2,2)． 所以|AB|=4，所以S △AOB =12×2×|AB|=4．解析：本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，极径的应用，三角形面积公式的应用，属于基础题型．(Ⅰ)直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换． (Ⅱ)将参数方程化为直角坐标方程，联立方程求解交点坐标，从而可得出面积．23.答案：解：由柯西不等式得：[x 2+(2y)2+(3z)2](12+12+22)≥(x +2y +6z)2，则(x +2y +6z)2≤36，即−6≤x +2y +6z ≤6， 当且仅当x1=2y 1=3z 2时取等号，此时x =1，y =12，z =23或x =−1，y =−12，z =−23， 所以x +2y +6z 的最大值为6．解析：本题考查柯西不等式的应用，根据柯西不等式求出最值即可，属于中档题．。

2020届高三第一次在线大联考数学 （新课标Ⅱ卷）理科 2020年3月（满分：150分 考试时间：120分钟）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的） 1．若21i iz =-+，则z 的虚部是 A ．3B ．3-C ．3iD ．3i -2．已知集合2{|1}A x x =<,2{|log 1}B x x =<，则 A ．{|02}A B x x =<<I B ．{|2}A B x x =<I C ．{|2}A B x x =<UD ．{|12}A B x x =-<<U3．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，262,21a S ==，则5a = A ．3B ．4C ．5D ．64．刘徽是我国魏晋时期伟大的数学家，他在《九章算术》中对勾股定理的证明如图所示.“勾自乘为朱方，股自乘为青方，令出入相补，各从其类，因就其余不移动也．合成弦方之幂，开方除之，即弦也”.已知图中网格纸上小正方形的边长为1，其中“正方形ABCD 为朱方，正方形BEFG 为青方”，则在五边形AGFID 内随机取一个点，此点取自朱方的概率为A ．1637B ．949C ．937D ．3115．根据国家统计局发布的数据，2019年11月全国CPI （居民消费价格指数）同比上涨4.5%，CPI 上涨的主要因素是猪肉价格的上涨，猪肉加上其他畜肉影响CPI 上涨3.27个百分点.下图是2019年11月CPI 一篮子商品所占权重，根据该图，下列结论错误的是A ．CPI 一篮子商品中所占权重最大的是居住B ．CPI 一篮子商品中吃穿住所占权重超过50%C ．猪肉在CPI 一篮子商品中所占权重为2.5%D ．猪肉与其他畜肉在CPI 一篮子商品中所占权重约为0.18% 6．函数cos ()cos x xf x x x+=-在[2,2]-ππ的图象大致为A BC D7．2019年10月1日，中华人民共和国成立70周年，举国同庆.将2,0,1,9,10这5个数字按照任意次序排成一行，拼成一个6位数，则产生的不同的6位数的个数为 A ．96B ．84C ．120D ．3608．0y m -+=过双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点F ，且与双曲线C 在第二象限交于点A ，若||||FA FO =（O 为坐标原点），则双曲线C 的离心率为 A ．2B 1 CD 19．如图，已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，点P 在线段1CB 上，且12B P PC =，平面α经过点1,,A P C ，则正方体1111ABCD A B C D -被平面α截得的截面面积为A ．B ．C ．5D10．已知1F ，2F 是椭圆22221(0)x y C a b a b+=>>：的左、右焦点，过2F 的直线交椭圆于,P Q 两点.若2211||,||,||,||QF PF PF QF 依次构成等差数列，且1||PQ PF =，则椭圆C 的离心率为A ．23B ．34C D11．为了研究国民收入在国民之间的分配，避免贫富过分悬殊，美国统计学家劳伦茨提出了著名的劳伦茨曲线，如图所示.劳伦茨曲线为直线OL 时，表示收入完全平等.劳伦茨曲线为折线OKL 时，表示收入完全不平等.记区域A 为不平等区域，a 表示其面积，S 为OKL △的面积，将Gini aS=称为基尼系数.对于下列说法：①Gini 越小，则国民分配越公平；②设劳伦茨曲线对应的函数为()y f x =，则对(0,1)x ∀∈，均有()1f x x >； ③若某国家某年的劳伦茨曲线近似为2([0,1])y x x =∈，则1Gini 4=；④若某国家某年的劳伦茨曲线近似为3([0,1])y x x =∈，则1Gini 2=.其中正确的是： A ．①④B ．②③C ．①③④D ．①②④12．定义：{}()()N f x g x ⊗表示不等式()()f x g x <的解集中的整数解之和.若2()|log |f x x =，2()(1)2g x a x =-+，{}()()6N f x g x ⊗=，则实数a 的取值范围是A ．(,1]-∞-B ．2(log 32,0)-C ．2(2log 6,0]-D ．2log 32(,0]4- 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知单位向量,a b 的夹角为2π3,则|2|-a b =_________. 14．若π1sin(),(0,π)63αα+=-∈，则πcos()12α-=_________.15．已知数列{}n a 中，n S 为其前n 项和，11a =，12nn n a a +=，则6a =_________，200S =_________.16．一个长、宽、高分别为1、2、2的长方体可以在一个圆柱形容器内任意转动，则容器体积的最小值为_________.三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分12分）已知ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且满足22cos a bB c-=. （1）求角C 的大小；（2）若ABC △，求ABC △的周长的最小值. 18．（本小题满分12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，PAB △是等边三角形，BC ⊥AB ，BC CD ==2AB AD ==. （1）若3PB BE =，求证：AE ∥平面PCD ； （2）若4PC =，求二面角A PC B --的正弦值．19．（本小题满分12分）已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，直线l 交C 于,A B 两点（异于坐标原点O ）.（1）若直线l 过点F ,12OA OB ⋅=-u u u r u u u r，求C 的方程； （2）当0OA OB ⋅=u u u r u u u r时，判断直线l 是否过定点，若过定点，求出定点坐标；若不过定点，说明理由.20．（本小题满分12分）手工艺是一种生活态度和对传统的坚持，在我国有很多手工艺品制作村落，村民的手工技艺世代相传，有些村落制造出的手工艺品不仅全国闻名，还大量远销海外.近年来某手工艺品村制作的手工艺品在国外备受欢迎，该村村民成立了手工艺品外销合作社，为严把质量关，合作社对村民制作的每件手工艺品都请3位行家进行质量把关，质量把关程序如下：（i）若一件手工艺品3位行家都认为质量过关，则该手工艺品质量为A级；（ii）若仅有1位行家认为质量不过关，再由另外2位行家进行第二次质量把关，若第二次质量把关这2位行家都认为质量过关，则该手工艺品质量为B级，若第二次质量把关这2位行家中有1位或2位认为质量不过关，则该手工艺品质量为C级；（iii）若有2位或3位行家认为质量不过关，则该手工艺品质量为D级.已知每一次质量把关中一件手工艺品被1位行家（1）求一件手工艺品质量为B级的概率；（2）若一件手工艺品质量为A,B,C级均可外销，且利润分别为900元，600元，300元，质量为D级不能外销，利润记为100元.①求10件手工艺品中不能外销的手工艺品最有可能是多少件；②记1件手工艺品的利润为X元，求X的分布列与期望.21．（本小题满分12分）已知函数ln()e x xf xa=-.（1）若()f x在[1,2]上是减函数，求实数a的最大值；（2）若01a<<，求证：2ln ()a f xa+≥.请考生在第22、23两题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一个题目计分．22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为1cos |sin |x y ϕϕ=+⎧⎨=⎩(ϕ为参数).在以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为πsin()36ρθ-=. （1）求曲线C 的普通方程及直线l 的直角坐标方程； （2）求曲线C 上的点到直线l 的距离的最大值与最小值. 23．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知()|||2|f x x x =+-. （1）求()f x 的最小值； （2）求不等式|4|()x f x x>的解集.全解全析1．B 【解析】因为1i 2i 13i z =--=-，所以z 的虚部是3-.故选B ．2．D 【解析】因为2{|1}{|11}A x x x x =<=-<<,2{|log 1}{|02}B x x x x =<=<<,所以{|01}A B x x =<<I ,{|12}A B x x =-<<U ,故选D ．3．C 【解析】方法一：设等差数列{}n a 的公差为d ，则112656212a d a d +=⎧⎪⎨⨯+⨯=⎪⎩，解得111a d =⎧⎨=⎩，所以51(51)15a =+-⨯=.故选C ．方法二：因为166256()3()2a a S a a +==+，所以53(2)21a +=，则55a =.故选C ． 4．C 【解析】由题图得，3,4AB BG CI ===，根据题意得5DI =.五边形AGFID 的面积为112534343722AGFID S =+⨯⨯+⨯⨯=五边形，正方形ABCD 的面积为9，因此，所求概率为937P =.故选C ．5．D 【解析】CPI 一篮子商品中，居住所占权重为23.0%，最大，选项A 正确；吃穿住所占权重为19.9%+8.0%+23.0%=50.9%>50%，选项B 正确；猪肉在CPI 一篮子商品中所占权重为2.5%，选项C 正确；猪肉与其他畜肉在CPI 一篮子商品中所占权重为4.6%，选项D 错误.故选D ．6．A 【解析】因为(0)1f =，所以排除C 、D ．当x 从负方向趋近于0时，0cos cos x x x x <+<-，可得0()1f x <<.故选A ．7．B 【解析】2,0,1,9,10按照任意次序排成一行，得所有不以0开头的排列数共444A 96=个，其中含有2个10的排列数共24A 12=个，所以产生的不同的6位数的个数为961284-=.故选B ．8．B 【解析】0y m -+=的倾斜角为π3，易得||||FA FO c ==．设双曲线C 的右焦点为E ，可得AFE △中，90FAE ∠=o，则||AE =，所以双曲线C的离心率为1e =.故选B ．9．B 【解析】延长1C P 与BC 交于点E ，则点E 为BC 中点，连接AE ，取11A D 中点F ，连接AF ，1C F ，则四边形1AEC F 就是正方体1111ABCD A B C D -被平面α截得的截面,四边形1AEC F 是的菱形，连接1,AC EF ，所以1AC EF ⊥，且1AC EF ==1AEC F的面积为故选B ．10．D 【解析】如图所示，设2211||,||,||,||QF PF PF QF 依次构成等差数列{}n a ，其公差为d .根据椭圆定义得12344a a a a a +++=，又123a a a +=，则1111111()(2)(3)4()2a a d a d a d aa a d a d ++++++=⎧⎨++=+⎩，解得25d a =，12342468,,,5555a a a a a a a a ====.所以18||5QF a =，16||5PF a =，24||5PF a =，6||5PQ a =.在12PF F △和1PF Q △中，由余弦定理得2222221246668()()(2)()()()55555cos 4666225555a a c a a a F PF a a a a +-+-∠==⋅⋅⋅⋅，整理解得c e a ==故选D ． 11．A 【解析】对于①，根据基尼系数公式Gini aS=，可得基尼系数越小，不平等区域的面积a 越小，国民分配越公平，所以①正确.对于②，根据劳伦茨曲线为一条凹向横轴的曲线，由图得(0,1)x ∀∈，均有()f x x <，可得()1f x x<，所以②错误.对于③，因为1223100111()d ()|236a x x x x x =-=-=⎰，所以116Gini 132a S ===，所以③错误.对于④，因为1324100111()d ()|244a x x x x x =-=-=⎰，所以114Gini 122a S ===，所以④正确.故选A ． 12．D 【解析】由题意得，{}()()6N f x g x ⊗=表示不等式22|log |(1)2x a x <-+的解集中整数解之和为6.当0a >时，数形结合（如图）得22|log |(1)2x a x <-+的解集中的整数解有无数多个，22|log |(1)2x a x <-+解集中的整数解之和一定大于6.当0a =时，()2g x =，数形结合（如图），由()2f x <解得144x <<.在1(,4)4内有3个整数解，为1，2，3，满足{}()()6N f x g x ⊗=，所以0a =符合题意.当0a <时，作出函数2()|log |f x x =和2()(1)2g x a x =-+的图象，如图所示.若{}()()6N f x g x ⊗=，即22|log |(1)2x a x <-+的整数解只有1，2，3.只需满足(3)(3)(4)(4)f g f g <⎧⎨≥⎩，即2log 342292a a <+⎧⎨≥+⎩，解得2log 3204a -<≤，所以2log 3204a -<<. 综上，当{}()()6N f x g x ⊗=时，实数a 的取值范围是2log 32(,0]4-.故选D. 13【解析】因为单位向量,a b 的夹角为2π3，所以2π1||||cos 32⋅=⋅=-a b a b ，所以|2|-a b==14【解析】因为πππ()()6124αα++-=，所以πππ()1246αα-=-+.因为(0,π)α∈，所以ππ7π(,)666α+∈，又π1sin()063α+=-<，所以π7π(π,)66α+∈，所以πcos()6α+=.πππππππcos()cos[()]cos cos()sin sin()12464646αααα-=-+=+++1(()3-=. 15．8，100323⨯-（写为100101223+-也得分） 【解析】由11a =，12nn n a a +=得，22a =.当2n ≥时，112n n n a a --=，所以112n n a a +-＝，所以{}n a 的奇数项是以1为首项，以2为公比的等比数列；其偶数项是以2为首项，以2为公比的等比数列.则26228a =⨯=，1001001001011002001(12)2(12)2233231212S ⨯-⨯-=+=+-=⨯---.16．27π4【解析】一个长、宽、高分别为1、2、2的长方体可以在一个圆柱形容器内任意转动,则圆柱形容器的底面直径及高的最小值均等于长方体的体对角线的长,长方体的体对角,所以容器体积的最小值为2327ππ()3=24⨯⨯. 17．（本小题满分12分）【解析】（1）因为22cos a bB c-=，所以2cos 2b c B a +=，（1分） 由余弦定理得222222a c b b c a ac+-+⋅=，化简得222a b c ab +-=，可得222122a b c ab +-=，解得1cos 2C =，（4分）又因为(0,)C ∈π，所以π3C =.（6分）（2）因为1sin 2ABC S ab C ===△6ab =，（8分）则a b +≥（当且仅当a b =时，取等号）.（9分）由（1）得22226c a b ab ab ab ab =+-≥-==（当且仅当a b =时，取等号），解得c ≥.（11分）所以a b c ++≥a b c ===， 所以ABC △的周长的最小值为（12分） 18．（本小题满分12分）【解析】（1）如图，作EF PC ∥，交BC 于F ，连接AF . 因为3PB BE =，所以E 是PB的三等分点，可得BF =. 因为2AB AD ==，BC CD ==AC AC =，所以ABC ADC △≌△， 因为BC ⊥AB ，所以90ABC ∠=︒，（1分）因为tan AB ACB BC ∠===，所以30ACB ACD ∠=∠=︒，所以60BCD ∠=︒，（2分）因为tan AB AFB BF ∠==60AFB ∠=︒，所以AF CD ∥，（3分） 因为AF ⊄平面PCD ，CD ⊂平面PCD ，所以AF ∥平面PCD .（4分） 又EF PC ∥，EF ⊄平面PCD ，PC ⊂平面PCD ，所以EF ∥平面PCD .（5分）因为AF EF F =I ，AF 、EF ⊂平面AEF ，所以平面AEF ∥平面PCD ，所以AE ∥平面PCD .（6分）（2）因为PAB △是等边三角形，2AB =，所以2PB =. 又因为4PC =，BC =，所以222PC PB BC =+，所以BC PB ⊥. 又BC ⊥AB ，,AB PB ⊂平面PAB ，AB PB B =I ，所以BC ⊥平面PAB .因为BC ⊂平面ABCD ，所以平面PAB ⊥平面ABCD .在平面PAB 内作Bz ⊥平面ABCD .（7分） 以B 点为坐标原点，分别以,,BC BA Bz 所在直线为,,x y z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系B xyz -，则C ，(0,2,0)A，P ，所以BC =u u u r，BP =u u u r，2,0)AC =-u u u r，(0,AP =-u u u r.（8分） 设111(,,)x y z =m 为平面BPC 的法向量，则00BC BP ⎧⎪⎨⎪⎩⋅=⋅=u u u ru u u rm m，即11100y ⎧==⎪⎨⎪⎩， 令11z =-，可得1)=-m .（9分）设222(,,)x y z =n 为平面APC 的法向量，则00AC AP ⎧⎪⎨⎪⎩⋅=⋅=u u u ru u u r n n，即222220y y -=-+=⎧⎪⎨⎪⎩， 令21z =，可得=n .（10分）所以,cos ==m n，则n s ,i ==m n所以二面角A PC B --.（12分） 19．（本小题满分12分）【解析】设1122(,),(,)A x y B x y .（1）由题意知(,0)2p F ，221212(,),(,)22y y A y B y p p .设直线l 的方程为()2px ty t =+∈R ，（1分）由222y pxp x ty ⎧=⎪⎨=+⎪⎩得2220y pty p --=，则222440p t p ∆=+>， 由根与系数的关系可得212122,y y pt y y p +==-，（3分）所以22212122344y y OA OB y y p p ⋅=+=-u u u r u u u r .（4分） 由12OA OB ⋅=-u u u r u u u r ，得23124p -=-，解得4p =.（5分）所以抛物线C 的方程为28y x =.（6分）（2）设直线l 的方程为(,0)x ny m n m =+∈≠R ，（7分）由22y px x ny m ⎧=⎨=+⎩得2220y pny pm --=，由根与系数的关系可得122y y pm =-，（9分）所以2221212121222(2)2044y y pm OA OB x x y y y y pm p p -⋅=+=+=-=u u u r u u u r ，解得2m p =.（11分） 所以直线l 的方程为2()x ny p n =+∈R ，所以0OA OB ⋅=u u u r u u u r时，直线l 过定点(2,0)p .（12分）20．（本小题满分12分）分）设10件手工艺品中不能外销的手工艺品可能是ξ件，则7~(10,)27B ξ， （5分） 则1010720()C ()()2727k k kP k ξ-==,119101010720C ()()(1)7072727720()2020C ()()2727k k k k k k P k k P k k ξξ++--=+-===+. 由70712020k k ->+得5027k <，所以当1k =时，(2)1(1)P P ξξ=>=，即(2)(1)P P ξξ=>=，由70712020k k -<+得5027k >，所以当2k ≥时，(1)()P k P k ξξ=+<=，所以当2k =时，()P k ξ=最大，即10件手工艺品中不能外销的手工艺品最有可能是2件.（8分）②由上可得一件手工艺品质量为所以X 的分布列为21．（本小题满分12分）【解析】（1）1()e (0)x f x x ax'=->，（1分） 在[1,2]上，因为()f x 是减函数，所以1()e 0xf x ax'=-≤恒成立， 即1e x x a ≥恒成立，只需max 1(e )xx a≥.（3分）令()e x t x x =，[1,2]x ∈，则()e e x xt x x '=+，因为[1,2]x ∈，所以()0t x '>.所以()e x t x x =在[1,2]上是增函数，所以2max (e )2e x x =， 所以212e a ≥，解得2102ea <≤.（4分） 所以实数a 的最大值为212e .（5分） （2）ln ()e (0)xx f x x a =->，1()e x f x ax'=-. 令1()e (0)xg x x ax =->，则21()e x g x ax'=+， 根据题意知()0g x '>，所以()g x 在(0,)+∞上是增函数.（7分）又因为11()e 10a g a=->，当x 从正方向趋近于0时，1ax趋近于+∞，e x 趋近于1，所以1()e 0xg x ax =-<，所以存在01(0,)x a ∈，使01()e 0x g x ax =-=， 即001e x ax =，000ln()ln ln x ax a x =-=--，（9分） 所以对任意0(0,)x x ∈，()0g x <，即()0f x '<，所以()f x 在0(0,)x 上是减函数； 对任意0(,)x x ∈+∞，()0g x >，即()0f x '>，所以()f x 在0(,)x +∞上是增函数， 所以当0x x =时，()f x 取得最小值，最小值为0()f x .（10分）由于001e x ax =，00ln ln x x a -=+，则0000000ln ln 11ln ln 2ln ()e xx x a x a a af x a ax a ax a a a a a+=-=+=++≥=+== 2ln a a +，当且仅当001x ax a ==，即01x =时取等号，所以当01a <<时，2ln ()af x a+≥．（12分） 22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程【解析】（1）曲线C 的参数方程为1cos |sin |x y ϕϕ=+⎧⎨=⎩，消去参数ϕ得曲线C 的普通方程为22(1)1(01)x y y -+=≤≤，（2分） 直线l 的极坐标方程为πsin()36ρθ-=sin cos 60θρθ--=， 由cos x ρθ=,sin y ρθ=得直线l60x --=.（5分） （2）曲线C 是以(1,0)为圆心，以1为半径的上半圆，（6分） 圆心到直线l751122=-=， 点(2,0)到直线l4=，（9分） 所以曲线C 上的点到直线l 的距离的最大值为4，最小值为52.（10分） 23．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲【解析】（1）因为()|||2||(2)|2f x x x x x =+-≥--=，当02x ≤≤时取等号，所以()f x 的最小值为2.（5分） （2）当0x <时，|4|()x f x x>等价于|||2|4x x +->-，该不等式恒成立； 当02x <≤时，|4|()x f x x>等价于24>，该不等式不成立； 当2x >时，|4|()x f x x >等价于224x x x >⎧⎨+->⎩，解得3x >，（8分）所以不等式|4|()x f x x>的解集为(,0)(3,)-∞+∞U .（10分）。

2020年九师联盟2020届3月高三在线公益联考数学（理）试卷★祝考试顺利★考生注意：1.本试卷分选择题和非选择题两部分。

满分150分,考试时间120分钟。

2.答题前,考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。

3.考生作答时,请将答案答在答题卡上。

选择题每小题选出答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效．．．．．．．．．．．．．,．在试题卷、草稿．．．．．．．纸上作答无效．．．．．．。

4.本卷命题范围：高考范围。

一、选择题：本题共12小题,每小题5分,共60分。

在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

1.若全集U ＝R,M ＝{x|1x<1},则U ðM ＝ A.{x|x ≤1} B.{x|0≤x ≤1} C.{x|x ≥0} D.{x|x<0或x>1}2.若13z i i=-+(i 为虚数单位),则复数z 的共轭复数的模是3.在“新零售”模式的背景下,自由职业越来越流行,诸如淘宝店主、微商等等。

现调研某行业自由职业者的工资收入情况,对该行业10个自由职业者人均年收入y(千元)与平均每天的工作时间x(小时)进行调查统计,得出y 与x 具有线性相关关系,且线性回归方程为ˆy＝12x ＋60、若自由职业者平均每天工作的时间为5小时,估计该自由职业者年收入为A.120千元B.72千元C.60千元D.50千元4.函数f(x)＝()sin x x e e x x--的部分图象大致是5.2020年东京夏季奥运会将设置4×100米男女混合泳接力这一新的比赛项目,比赛的规则是：每个参赛国家派出2男2女共计4名运动员参加比赛,按照仰泳→蛙泳→蝶泳→自由泳的接力顺序,每种泳姿100米且由1名运动员完成,且每名运动员都要出场。

若中国队确定了备战该项目的4名运动员名单,其中女运动员甲只能承担仰泳或者自由泳,男运动员乙只能承担蝶泳或者蛙泳,剩下的2名运动员四种泳姿都可以承担,则中国队参赛的安排共有A.144种B.8种C.24种D.12种6.《算经十书》是指汉、唐一千多年间的十部著名的数学著作,它们曾经是隋唐时代国子监算学科的教科书。

2020届高三数学3月线上联考试题理考生注意：1.本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分，共150分。

考试时间120分钟。

2.请将各题答案填写在答题卡上。

3.本试卷主要考试内容：高考全部内容。

第I卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合A＝{x|x<0}，B＝{x|x2＋mx－12＝0}，若A∩B＝{－2}，则m＝A.4B.－4C.8D.－82.已知a，b∈R，3＋ai＝b－(2a－1)i，则|3a＋bi|＝A. B.2 C.3 D.43.若x，y满足约束条件，则x＝4x＋y的取值范围为A.[－5，－1]B.[－5，5]C.[－1，5]D.[－7，3]4.如图所示的程序框图，当其运行结果为31时，则图中判断框①处应填入的是A.i≤3?B.i≤4?C.i≤5?D.i≤6?5.设双曲线，，的离心率分别为e1，e2，e3，则A.e3<e2<e1B.e3<e1<e2C.e1<e2<e3D.e2<e1<e36.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为CC1，DD1的中点，则异面直线AF，DE所成角的余弦值为A. B. C. D.7.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有一个“引葭赴岸”问题：“今有池方一丈，葭生其中央。

出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐。

问水深、葭长各几何?”其意思为“今有水池1丈见方(即CD＝10尺)，芦苇生长在水的中央，长出水面的部分为1尺。

将芦苇向池岸牵引，恰巧与水岸齐接(如图所示)。

试问水深、芦苇的长度各是多少?假设θ＝∠BAC，现有下述四个结论：①水深为12尺；②芦苇长为15尺；③；④。

其中所有正确结论的编号是A.①③B.①③④C.①④D.②③④8.将函数f(x)＝sin(3x＋)的图象上各点的横坐标伸长到原来的6倍(纵坐标不变)，再将所得到的图象向右平移m(m>0)个单位长度，得到函数g(x)的图象.若g(x)为奇函数，则m的最小值为A. B. C. D.9.一个由两个圆柱组合而成的密闭容器内装有部分液体，小圆柱底面半径为r1，大圆柱底面半径为r2，如图1放置容器时，液面以上空余部分的高为h1，如图2放置容器时，液面以上空余部分的高为h2，则A. B. C. D.10.已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)＝f(－x)，且在[0，＋∞)上是增函数，不等式f(ax＋2)≤f(－1)对于x∈[1，2]恒成立，则a的取值范围是A.[－，－1]B.[－1，－]C.[－，0]D.[0，1]11.第七届世界军人运动会于2019年10月18日至27日在中国武汉举行，中国队以133金64银42铜位居金牌榜和奖牌榜的首位。