1矢量分析

天津大学电子信息工程学院

二零一四年

目 录

一、标量场和矢量场 ............................................................................................................. 1

二、矢量的通量 散度 ......................................................................................................... 6

三、矢量的环流 旋度 ......................................................................................................... 9

四、标量场的梯度 ............................................................................................................... 12

五、亥姆霍兹定理 ............................................................................................................... 15

小 结 ................................................................................................................................... 16

习 题 ................................................................................................................................... 18

个人收集整理 仅供参考学习

1 / 17 矢量分析与场论

矢量分析是矢量代数和微机分运算的结合和推广，主要研究矢性函数的极限、连续、导数、微分、积分等。而场论则是借助于矢量分析这个工具，研究数量场和矢量场的有关概念和性质。通过这一部分的学习，可使读者掌握矢量分析和场论这两个数学工具，并初步接触到算子的概念及其简单用法，为以后学习有关专业课程和解决实际问题，打下了必要的数学基础。

第一章 矢量分析

一 内容概要

1 矢量分析是场论的基础，本章主要包括以下几个主要概念：矢性函数及其极限、连续，有关导数、微分、积分等概念。与高等数学研究过的数性函数的相应概念完全类似，可以看成是这些概念在矢量分析中的推广。文档来自于网络搜索

2 本章所讨论的，仅限于一个自变量的矢性函数tA，但在后边场论部分所涉及的矢性函数，则完全是两个或者三个自变量的多元矢性函数yx,A或者zyx,,A，对于这种多元矢性函数及其极限、连续、偏导数、全微分等概念，完全可以仿照本章将高等数学中的多元函数及其有关的相应概念加以推广而得出。文档来自于网络搜索

3 本章的重点是矢性函数及其微分法，特别要注意导矢t'A的几何意义，即t'A是位于tA的矢端曲线上的一个切向矢量，其起点在曲线上对应t值的点处，且恒指向t值增大的一方。文档来自于网络搜索

如果将自变量取为矢端曲线的弧长s，即矢性函数成为sAA，则dsdsAA'不仅是一个恒指向s增大一方的切向矢量，而且是一个单位切向矢量。这一点在几何和力学上都很重要。文档来自于网络搜索

4 矢量tA保持定长的充分必要条件是tA与其导矢t'A互相垂直。因此单位矢量与其导矢互相垂直。比如圆函数jietttsincos为单位矢量，故有tt'ee，此外又由于tt1'ee，故tt1ee。（圆函数还可以用来简化较冗长的公式，注意灵活运用）。文档来自于网络搜索

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第1章 矢量分析

在矢量代数中，曾经讨论过模和方向都保持不变的矢量，这种矢量称为常矢。然而，在科学和技术的许多问题中，也常遇到模和方向改变或其中之一会改变的矢量，这种矢量称为变矢。如非等速及非直线运动物体的速度就是变矢量的典型例子。变矢量是矢量分析研究的重要对象。本章主要讨论变矢与数性变量之间的对应关系——矢函数及微分、积分和它们的一些主要性质。

§1.1 矢函数

与普通数量函数的定义类似，我们引进矢性函数（简称矢函数）的概念，进而结出矢函数的极限与连续性等概念。

1、矢函数的概念

定义1.1.1 设有数性变量t和变矢A，如果对于t在某个范围D内的每一个数值，A都以一个确定的矢量和它对应，则称A为数性变量t的矢量函数，记作

A=A)(t

（1.1.1）

并称D为矢函数A的定义域。

在Oxyz直角坐标系中，用矢量的坐标表示法，矢函数可写成

A)(),(),()(tAtAtAtzyx

（1.1.2）

其中)(),(),(tAtAtAzyx都是变量t的数性函数，可见一个矢函数和三个有序的数性函数构成一一对应关系。即在空间直角坐标系下，一个矢函数相当于三个数性函数。

本章所讲的矢量均指自由矢量，所以，以后总可以把A)(t的起点取在坐标原点。这样当t变化时，A)(t的终点M就描绘出一条曲线l（图1.1），这样的曲线称为矢函数A)(t的矢端曲线，也称为矢函数A)(t的图形。同时称（1.1.1）式或（1.1.2）式为此曲线的矢量方程。愿点O也称为矢端曲线的极。

由于终点为),,(zyxM的矢量OM对于原点O的矢径为

zkyjxiOMr

当把A)(t的起点取在坐标原点时，A)(t实际上就成为其终点),,(zyxM的矢径，因此)(tA的三个坐标)(),(),(tAtAtAzyx就对应地等于其终点M的三个坐标zyx,,，即

第0章 绪言

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绪 言

§0.1 工科大学物理基本内容 物理学发展史简述

一、 工科大学基本内容

力学

经典物理学 热学

电磁学

光学

近代物理学 狭义相对论

量子物理学

二、物理学发展史简述

三、大学物理与中学物理的区别

常量→变量，代数→微积分 第0章 绪言

2

§0.2 数学预备知识——矢量分析初步

一、 矢量

矢量的定义：既有确定方向，又有确定数值的量叫矢量，记为A。

单位矢量A：长度为一个单位的矢量。

AAA

二、矢量在直角坐标系下的表示

1、基矢量

是一组互相垂直的单位矢量，用kji,,表示，其方向分别沿zyx,,轴。

2、矢量的表示

jAiAAyx

讨论：1）iAx与xA的区别？

2）0,0xxAA的意义？

3、矢量的模及方向

矢量的模：22yxAAAA

矢量的方向：矢量A与x轴的夹角

yxAAtg

三、矢量的代数运算

设有矢量：jBiBBjAiAAyxyx,

1、 矢量的加减法

jBAiBABAyyxx)()(

2、 矢量的点积 第0章 绪言

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定义：

cosABBA

yyxxBABABA

基矢量的点积：

01ikkjjikkjjii

3、 矢量的叉积

定义： BAC

大小：sinABC

方向：由右手定则确定。

基矢量的叉积：

jikikjkjikkjjii,,0

四、矢量的微积分

矢量的微积分运算化为相应标量的微积分运算。

1、矢性函数

)()()()()(tAAtAAjtAitAtAAyyxxyx

2、矢量的改变量

设t时刻矢量为：)(tAA

tt时刻矢量为：)('ttAA，则称矢量：)()(tAttAA为矢量)(tAA，当t变为tt时的增量。 第0章 绪言