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第一章矢量分析

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《电磁场与电磁波》第一章 矢量分析

《电磁场与电磁波》第一章 矢量分析

ey Ay By
ez Az Bz
显然，矢量的矢积不满足交换律。 两个矢量的矢积仍是矢量。
矢积的几何意义 设 则
A A ex
B Bxex By ey
z
A B y B
A B ez A B sin
A
可见，矢积A×B的方向与矢量A及 矢量B构成的平面垂直，由A旋转到B成 右手螺旋关系；大小为 A B sin 。

S
E dS
0
可见，当闭合面中存在正电荷时，通量为正。当闭合面中存在负电 荷时，通量为负。在电荷不存在的无源区中，穿过任一闭合面的通 量为零。
㊀
㊉
二、散度(divergence)
通量仅能表示闭合面中源的总量，不能显示源的分布特性。为 此需要研究矢量场的散度。
如果包围点P的闭合面S所围区域V以任意方式缩小为点P 时, 矢量A通过 该闭合面的通量与该闭合面包围的体积之比的极限称为矢量场A在该点的散度， 以divA表示，即
结合律： ( A B) C A ( B C )
标量乘矢量：
A Ax ex Ay e y Az ez
§1-3 矢量的标积和矢积
一、矢量的标积
A Axex Ay e y Az ez
矢量A与矢量B的标积定义为：
B Bxex By ey Bz ez
则： A A ea ex A cos ey A cos ez A cos 标积的几何意义
y B
设 其中
A A ex
B Bxex By ey

Bx B cos By B cos( ) B sin 2
A
x
所以
A B A B cos

第一章矢量分析

第一章矢量分析

第一章 矢量分析（说明：本章为07电本英语讲义的中译本）电磁场是矢量场，矢量分析是学习电磁场性质的基本数学工具之一。

本章中，我们主要介绍矢量场理论基本知识：矢量运算，标量场的梯度，矢量场的散度和旋度,以及对于矢量场运算有重要作用的称为戴尔（或那布拉）算符∇的运算规则。

稍后，将介绍狄拉克δ函数及一些重要的矢量场定理，它对我们今后学习电磁场理论有重要作用。

1-1 矢量运算我们在电磁场中遇到的大多数量可分为两类：标量和矢量。

仅有大小的量称为标量。

具有大小和方向的量称为矢量。

一矢量A 可写成A A =A e其中A 是矢量A 的大小，e A 是与A 同方向上的单位矢量。

矢量的大小称为矢量的模，单位矢量的模为1。

矢量A 方向上的单位矢量可以这样表示：A A=Ae 矢量将用黑斜体字母表示，单位矢量用e 来表示。

作图时，我们用一有长度和方向的箭头表示矢量，如图1-1-1所示。

如果两矢量A 和B 具有同样的大小和方向，它们是相等的。

如果两矢量A 和B 具有同样的物理的或几何的意义，则它们具有同样的量纲，我们可以对矢量进行比较。

如果一个矢量的大小为零，我们称为零矢量或空矢量。

这是唯一一个不能用箭头表示的矢量。

我们也可以定义面积矢量。

如果有一面积为s 的平面，则面积矢量s 的大小为s ，它的方向按右手螺旋规则确定，如图1-1-2所示。

1-1-1 矢量加和减两矢量A 和B 可彼此相加，其结果给出另一矢量C ，C = A + B 。

矢量三角形或矢量四边形给出了两矢量A 和B 相加的规则，如图1-1-3所示。

由此我们可得出：矢量加法服从加法交换律和加法结合律。

交换律： A + B = B + A (1-1-1) 结合律：(A + B ) + C = A + (B + C ) (1-1-2)由C = A + B ，其也意味着一个矢量C 可以由两个矢量A 和B 来表示，即矢量C 可分解为两个分矢量A 和B （分量）。

也可说，一个矢量可以分解为几个分矢量。

第一章：矢量分析法

第一章：矢量分析法
r x2 y2 z2 x2 y2 arctan z y ar, y , z ) ( , , z) ( r , , )
f ( x, y , z ) f ( , , z) f ( r , , )
点，平行与Z 轴的方向。
r
O
ˆ

Y
X
矢量场的圆柱坐标系分量
ˆ 圆柱坐标轴单位矢量
ˆ
ˆ z
ˆ : 以Z为轴，半径为 的园柱面在 ( , , z ) 点的外法
线方向。
Z
ˆ : 垂直于Z轴及( , , z )
点组成的平面，沿 增大一侧的方向。
ˆ z
ˆ
P( , , z )
ˆ z : 在 ( , , z )
矢量分析法直角坐标系场点的坐标位置xyz圆柱坐标系圆球坐标系12直角坐标系坐标与圆柱坐标系坐标的关系cossinsincossinarctanarctanxxyyzz垂直于z轴及点组成的平面沿增大一侧的方向
第一章：矢量分析法
1.2 三种坐标系
直角坐标系 场点的坐标位置(x,y,z) 圆柱坐标系 ( , , z ) 圆球坐标系 (r , , )

r xx yy zz
f (r )
距离矢量
R r r n ( x x n)dx ( y y n)dy ( z z n)dz
R r r' ( x x' ) 2 ( y y' ) 2 ( z z' ) 2
直角坐标系坐标与圆柱坐标系坐标的关系
x cos y sin z z
x 2 y 2 y arctan x zz

第一章 矢量分析(电磁场与电磁波)

第一章 矢量分析(电磁场与电磁波)

例:已知一矢量场F=axxy-ayzx, 试求: (1) 该矢量场的旋度; (2) 该矢量沿半径为3的四分 之一圆盘的线积分, 如图所 示, 验证斯托克斯定理.
y B r=3
O
A x
四分之一圆盘
第 7,8 学时 , 1.4 标量的方向导数和梯度
1.4.1标量的方向导数和梯度 标量的方向导数和梯度 一个标量场u可以用一个标量函数来表示.在直角坐标 系中, 可将u表示为 u=u(x, y, z) 令 u(x, y, z)=C, C为任意常数.该式在几何上一般表示 一个曲面,在这个曲面上的各点,虽然坐标(x, y, z)不同, 但函数值相等,称此曲面为标量场u的等值面 等值面. 随着C 等值面 的取值不同,得到一系列不同的等值面,如下图所示. 同理,对于由二维函数v=v(x, y)所给定的平面标量场, 可按v(x, y)=C得到一系列不同值的等值线.
S → P
∫ lim
l
A dl
S
称固定矢量R为矢量A 的旋度 旋度,记作 旋度 rotA=R 上式为旋度矢量在n方 向的投影,如图所示, 即
rotA 旋旋旋
n
P l
S → P
∫ lim
l
A dl
S
= rotn A
旋度及其投影
矢量场的旋度 旋度仍为矢量 矢量.在直角坐标系中,旋度的表达式为 旋度 矢量
C C=A× B an aA A (a)
图 1 - 3 矢量积的图示及右手螺旋 (a) 矢量积 (b) 右手螺旋
O
aB B
B A
θ
(b)
矢量积又称为叉积 叉积(Cross Product),如果两个不为零的 叉积 矢量的叉积等于零,则这两个矢量必然相互平行,或者 说,两个相互平行矢量的叉积一定等于零.矢量的叉积 不服从交换律,但服从分配律,即 A×B= -B×A × × A×(B+C)=A×B+A×C × × ×

第一章 矢量分析

第一章 矢量分析
格 林 定 理
立了面积分和线积分的关系。从物理角度可以理解为斯托克 立了面积分和线积分的关系。从物理角度可以理解为斯托克 斯定理建立了区域 S 中的场和包围区域 S 的闭合曲线 l 上的 场之间的关系。因此， 中的场， 场之间的关系。因此，如果已知区域 S 中的场，根据斯托克 上的场，反之亦然。 斯定理即可求出边界 l 上的场，反之亦然。
Ψ = ∫ A ⋅ dS
S
通量可为正、或为负、或为零 当矢量穿出某个闭合面时， 通量可为正、或为负、或为零。当矢量穿出某个闭合面时， 认为该闭合面中存在产生该矢量场的源 认为该闭合面中存在产生该矢量场的源；当矢量进入这个闭合 面时，认为该闭合面中存在汇聚该矢量场的洞 ）。闭合 面时，认为该闭合面中存在汇聚该矢量场的洞（或汇）。闭合
惟 一 性 定 理 亥姆霍兹定理 正交曲面 坐标系
10
第一章 矢量分析
标 积 与 矢 积 方向导数与梯度 通 量 与 散 度 环 量 与 旋 度 环 量 与 旋 度 无散场与无旋场 格 林 定 理
2. 旋度：旋度是一个矢量。若以符号 rot A 表示矢量 A 的旋 旋度：旋度是一个矢量。 具有最大环量强度的方向， 度, 则其方向是使矢量 A 具有最大环量强度的方向， 其大小等于对该矢量方向的最大环量强度， 其大小等于对该矢量方向的最大环量强度，即
惟 一 性 定 理 亥姆霍兹定理 正交曲面 坐标系
1
0 A⋅ B = A B
A⊥B
A // B
第一章 矢量分析
标 积 与 矢 积 方向导数与梯度
2.矢量的失积 2.矢量的失积
矢量的失积：代数定义： 矢量的失积：代数定义：
ex A × B = Ax Bx ey Ay By ez Az Bz

第一章 矢量分析

第一章 矢量分析
法平面方程为： 2( x 2) 2( y 2) 4( z ) 0
工程数学---------矢量分析与场论
矢径函数 r xi y j zk d r d xi d y j d zk 2 2 2 d r (d x) (d y) (d z)
dA dt
或
A(t )
A(t ) Ax (t )i Ay (t ) j Az (t )k
工程数学---------矢量分析与场论
2.导矢的几何意义 A A t A 与A 同 t 0 t 向， A 与 A 反向， t 0 t A 始终指向 t 增大的方向, t (t ) lim A 为切向量， A 始终指向 t 增大的方向. t 0 t
t t0 t t0 t t0 t t0
工程数学---------矢量分析与场论
极限运算法则
工程数学---------矢量分析与场论
4.连续: 设矢性函数
t t0
在点
的某去心邻域内有定义 ,
且 lim A(t ) A(t0 ), 则称
若 连续.
在 连续.
在某区间上每一点都连续 , 则称它在该区间上
工程数学---------矢量分析与场论
4.导数公式
1) (C ) 0 2) ( A B) A B 3) (uA) u A u A 4) ( A B) A B A B 5) ( A B) A B A B dA du d 6) A(u (t )) du dt dt
工程数学---------矢量分析与场论
2.不定积分公式

第1章-矢量分析

第1章-矢量分析

⎝
2⎠
⎝
2⎠
Ay
⎜⎛ x,y+Δy,z ⎟⎞ ⎝ 2⎠
=
Ay
(x,y,z)
+
∂Ay ∂y
(x,y,z)
Δy 2
+
1 2!
∂2 Ay ∂y2
( Δy )2 2
+ ...
得
ΔΨr
=
( Ay
+
∂Ay ∂y
Δy 2
+ .........) ΔxΔz
divA 直角坐标表示式的推导
11
§1.2通量、散度、散度定理
8
§1.2通量、散度、散度定理
作业：1.1-1,1.1-3,1.1-5
S为封闭面时： 若Ψ > 0， 有净通量流出，说明S内有源； 若Ψ < 0， 有净通量流入，说明S内有洞(负源); 若Ψ = 0， 则净通量为零，说明S内无源。
举例：
由《大学物理》知，电通量 Ψe = ∫sD ⋅ ds = Q（高斯定理） 水流的单位时间流量（米3/秒）＝ v ⋅ d s
A 矢量的模：
γ
β o
Ay
α Ax
y
A = A = Ax2 + Ay 2 + Az 2
x
A 的单位矢量：
Aˆ = A = xˆ Ax + yˆ A y + zˆ Az AA AA
= xˆ cosα + yˆ cos β + zˆ cosγ
2
§1.1矢量代数
二、标量积和矢量积
a) 标量积（点乘）
加减乘除
∂y 4π r 5
∂Dz = q r 2 − 3z 2
∂z 4π r 5

第一章 矢量分析

第一章 矢量分析

第一章 矢量分析在这门课程中，我们几乎从头到尾和场打交道。

实际上，人们周围的空间也确实存在着各种各样的场，例如自由落体现象，说明存在一个重力场；人们能感觉到室内外的冷暖，说明我们周围分布着一个温度场，等等。

那么到底什么是场呢？从物理意义上理解，场是遍及一个被界定的或无限扩展的空间内的，能够产生某种物理效应的特殊的物质，场是具有能量的。

从数学意义上理解，场是给定区域内各点数值的集合，这些数值规定了该区域内一个特定量的特性。

例如温度场就由T 描述，只要知道了场中各点T 的大小，该温度场就被确定了，这种只有数值大小的物理量称为标量，该场称为标量场；还有一种场，例如本书中讨论的电磁场，电场强度E 是描述电场的物理量之一，人们不仅需要知道它的数值大小，还要知道它的方向，这样才能完全确定它，这样的物理量称为矢量，该场称为矢量场。

在电磁场和电磁波的学习中，我们始终要用到矢量运算，因此掌握矢量分析是十分必要的。

§1.1 矢量的概念1.1.1 标量在电磁场中遇到的特征量可区分为标量和矢量两类。

一个仅用大小就能够完整描述的物理量称为标量。

如电荷、电位和能量等。

这些量中的每一个量，用单纯的一个数就可以完整地描述。

电荷0.5库伦（C ），电位220伏特（V ）等都是标量的例子。

1.1.2 矢量一个不仅有大小而且有方向的物理量称为矢量。

力、速度、力矩、电场强度和加速度都是矢量。

一个矢量常用一个带箭头的线段来图示，其长度按适当比例表示它的大小，方向则用箭头指示，如图 1.1(a)所示。

其中，R 代表一个从O 点指向P 点的矢量。

图1.1(b)表示几个平行矢量有同样的大小和方向，它们都代表同一个矢量。

一个大小为零的矢量称为空矢或零矢。

一个大小为1的矢量称为单位矢量。

一个矢量A 可以表示为A Aa = (1.1)其中A 是A的大小，称为模，由式(1.2)表示||A A = (1.2)a 是A 的单位矢量，即方向与A 的方向相同，大小为1的矢量，由式(1.3)表示||A a A =(1.3)§1.2 矢量运算1.2.1 矢量加法矢量加法是矢量的几何和，两个矢量的几何和服从平行四边形规则，如图1.2(a)所示。

第一章 矢量分析

第一章 矢量分析
r (u1 , u 2 = c 2 , u 3 = c3 )
e1 =
∂r ∂ u1
∂r ∂ u1
∂r 若记 hi = ，则单位矢量为 ∂ui
∂r
ei =
∂ ui
hi
(i = 1 , 2 , 3 )
hi称为拉梅系数（Lame'）或度量因子 3、求解拉梅系数 直角坐标系 正交坐标系 根据定义式 hi
ˆ ˆ ˆ r = xx + y y + z z
dl = dr = r ( M ′) − r ( M )
z
M ( u1 , u 2 , u 3 )
ห้องสมุดไป่ตู้
M ′( u 1 + d u1 , u 2 + du2 , u 3 + d u3 )
dl (dr )
r (M )
o x 图 1－ 7
r (M )
根据全微分运算法则
dl = d r =
∂r ∂r ∂r du1 + du 2 + du 3 ∂ u1 ∂ u2 ∂ u3
则称，当 t → t0 时矢性函数F (t ) 有极限，记作
lim F ( t ) = F0
t → t0
⑵连续：若矢性函数 F (t )在点 t 0 的某个邻域内有定义，且
lim F ( t ) = F ( t0 )
t → t0
则称F (t ) 在 t = t0 处连续。
2、导数与微分
⑴导数：设矢性函数 F (t ) 在
②矢端曲线
★矢径
r (t ) 或 r (M )
二、基本运算 1、极限和连续 ⑴极限：设 F (t ) 在点 t 0 的某个邻域内有定义（但在 都存在一个正数δ，使得满足

第1章矢量分析

第1章矢量分析

F dS S
S1 F dS1
S2 F dS2
S3 F dS3
S4 F dS4
S5 F dS5
S6 F dS6
aˆx aˆz 0, aˆy aˆy 1,
aˆy aˆz 0 aˆz aˆz 1
A B (Axaˆx Ayaˆy Azaˆz ) (Bxaˆx Byaˆy Bzaˆz )
Ax Bx Ay By Az Bz
•结论: 两矢量点积等于对应分量的乘积之和。
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
其中：dl ,dS 和 dV 称为微分元。
dS
dl
1. 直角坐标系
在直角坐标系中，坐标变量为(x,y,z)，如图，做一微分体元。
线元：dlx dxaˆx
dly dyaˆy
面元： dSx dydzaˆx dSy dxdzaˆy
dlz dzaˆz dl dxaˆx dyaˆy dzaˆz
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
3.乘法：
（1）标量与矢量的乘积：
k 0 方向不变，大小为|k|倍
kA k | A | aˆ
k
0
k 0 方向相反，大小为|k|倍
（2）矢量与矢量乘积分两种定义
a. 标量积（点积）：
B
A B | A| | B | cos
A
两矢量的点积含义： 一矢量在另一矢量方向上的投影与另一矢量模的乘积，
定义： A BC | A|| B || C | sin cos
含义： 标量三重积结果为三矢量构成
的平行六面体的体积 。
h BC
A C
B
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
V A (BC) C (A B) B (C A)

第一章矢量分析

第一章矢量分析

r u ( x, y , z , t ) 、 F ( x , y , z , t )
r u ( x, y, z )、 F ( x, y, z )
第一章 矢量分析
1.1.1 标量场的等值面
标量场空间中，由所有场值相等的点所构成的面，即为等值面。 即若标量函数为 u u( x, y, z) ，则等值面方程为：
第一章 矢量分析
第一章
主 要
矢量分析
内 容
梯度、散度、旋度、亥姆霍兹定理 1. 标量场的方向导数与梯度
2. 矢量场的通量与散度 3. 矢量场的环量与旋度 4. 无散场和无旋场 5. 格林定理
6. 矢量场的惟一性定理
7. 亥姆霍兹定理 8. 正交曲面坐标系
第一章 矢量分析
1.1 矢量代数
1.1.1 标量和矢量
空间中存在任意曲面S，则定义：
v v S A(r ) dS
为矢量 A(r ) 沿有向曲面 S 的通量。
矢量场的通量
第一章 矢量分析
若S 为闭合曲面
s
v v v Ñ A ( r ) dS
物理意义：表示穿入和穿出闭合面S的通量的代数和。 说明：1) 面元矢量 dS 定义：面积很小的有向曲面。
s
第一章 矢量分析
通过闭合面S的通量的物理意义：
0

0
若 0 ，通过闭合曲面有净的矢量线穿出，闭合面内有发 出矢量线的正源； 若 0 ，有净的矢量线进入，闭合面内有汇集矢量线的负源； 若 0 ，进入与穿出闭合曲面的矢量线相等，闭合面内无 源，或正源负源代数和为0。 局限：只能判断闭合曲面中源的正负特性，不能显示源的特 性。如果令包围某点的闭合面无限收缩，那么该点就可以通量 可以表示源的特性。

电磁场与电磁波第1章矢量分析

电磁场与电磁波第1章矢量分析

例：已知一矢量场F=axxy-ayzx, 试求：
（1） 该矢量场的旋度;
（2） 该矢量沿半径为3的四分 之一圆盘的线积分， 如图所 示， 验证斯托克斯定理。
y B
r＝ 3
O
Ax
四分之一圆盘
第 7、8 学时 1.4 标量的方向导数和梯度
1.4.1标量的方向导数和梯度
一个标量场u可以用一个标量函数来表示。在直角坐标 系中， 可将u表示为
lim l A dl
SP S
称固定矢量R为矢量A的 旋度，记作
rotA=R
上式为旋度矢量在n方 向的投影，如图所示， 即
A dl
lim l
SP S
rotn A
ro tA
n
旋涡面
P l
旋度及其投影
矢量场的旋度仍为矢量。在直角坐标系中，旋度的表达式为
rotA
ax
Az y
Ay z
a
y
Ax z
Az x
z
l
式 中 ， 当 Δl→0 时 δ→0 。 将 上 式 两 边 同 除 以 Δl 并 取 极限得到方向导数的计算公式：
u u cos u cos u cos
l x
y
z
ห้องสมุดไป่ตู้
其中，cosα, cosβ, cosγ为l方向的方向余弦。
1.4.4 标量场的梯度
1. 梯度的定义
方向导数为我们解决了函数u(P)在给定点处沿某个方向的 变化率问题。然而从场中的给定点P出发，标量场u在不 同方向上的变化率一般说来是不同的，那么，可以设想，
▽ ·(▽ ×A)≡0
即如果有一个矢量场B的散度等于零，则该矢量B就可 以用另一个矢量A的旋度来表示，即当 ▽ ·B=0 则有

第1章 矢量分析

第1章 矢量分析

体积元
dV dxdydz
z
z
z0
（ 平面） ez
P
ey
ex
o
点P(x0,y0,z0)
y
y y0（平面） x x x0 （平面）
直角坐标系
z dSz ezdxdy
dz
dSy eydxdz
o
dy
dx dSx exdydz
y
x
直角坐标系的长度元、面积元、体积元
第一章 矢量分析
A Axex Ayey Azez
sin cos
0
0 ex
0
e y
1 ez
ex cos
ey
sin
ez 0
sin cos
0
0 e
0
e
1 ez
第一章 矢量分析
2、直角坐标系与球坐标系的关系
er ex sin cos ey sin sin ez cos e cos cos ex cos sin ey sin ez e ex sin ey cos
坐标变量 坐标单位矢量 位置矢量 线元矢量 面元矢量
x, y, z,( x, y, z )
ex , ey , ez
r ex x ey y ez z
dl
exdx
ey
dy
ezdz
dSx exdlydlz exdydz
dSy eydlxdlz eydxdz
dSz ezdlxdly ezdxdy
A B AxBx Ay By Az Bz
ex ey ez
A B Ax Ay Az Bx By Bz
ex
Ay By
Az Bz
ey
Ax Bx

第一章 矢量分析

第一章 矢量分析

第一章 矢量分析§1 场的概念 一. 矢量与标量1.概念标量 实数域内只有大小的量。

如：电压、温度、时间、电荷等。

矢量 实数域内既有大小又有方向的量，且加法运算遵循平行四边形法则。

如：力F 、电场强度E 、磁场强度H、速度等。

常矢：矢量的模和方向都不变。

如：x e 、y e 、z e。

变矢：模和方向或两者之一变化的矢量(在实际问题中遇到的更多)。

如：r e 、θe 、ϕe 、ρe。

物理量 标量或矢量被赋予物理单位，成为有物理意义的量。

2.矢量的表示印刷 黑体 A ；A(白体)表示A的模。

手写 模和方向均表示出。

表示A 的方向(模为1)。

A 表示矢量A 的模。

▪ 零矢（空矢）：模为零的矢量。

0▪单位矢量：模为1的矢量。

如直角坐标系坐标轴方向x e 、y e 、z e （参考书）。

也有用x a、y a 、z a或i 、j 、k 或 x ˆ、y ˆ、z ˆ 等表示。

若三个相互垂直的坐标轴上的分量已知，一个矢量就确定了。

如直角坐标系中，矢量A的三个分量模值分别是A x , A y , A z ，则直角坐标系： A的模为 A的单位矢量为判断以下手写表示是否正确：（矢量≠标量） （标量≠矢量） ☹ 常见手写表示错误： Aa A 0=A A a=0zz y y x x A e A e A e A ++=222z y x A A A A ++=γβcos cos cos ˆ0z y x zz y y x x A e e a e A A e A A e A A e A A a A++=++===5=E 5x e E=5x e E =765zy x e e e E ++= 765z y x e e e E++=二. 矢量的代数运算1.矢量的加减法2.矢量的乘法a.标量积(点乘) 结果为标量！b.矢量积(叉乘) 结果为矢量！直角坐标系：∙ 点乘 垂直 平行点乘符合交换律： ∙ 叉乘平行 垂直注意：z x y e e e-=⨯ 叉乘不符合交换律： 三.矢量场与标量场1.场在某一空间区域内的每一点，都对应着某个物理量的一个确定的值，则称在此区域内确定了该物理量的一个场。

第一章 矢量分析

第一章 矢量分析
第1章 矢量分析
1
第1章 矢量分析
2
本章内容
1.1 三种常用的坐标系
1.2
1.3 1.4 1.5
矢量函数的微积分
标量函数的梯度 矢量函数的散度 矢量函数的旋度
第1章 矢量分析
3
1.1 三种常用的坐标系
三维空间任意一点的位置可通过三条相互正交曲线的交点来 确定。 在电磁场与波理论中，三种常用的正交曲线坐标系为：直角
第1章 矢量分析 2. 矢量场的通量 问题：如何定量描述矢量场的大小？ 引入通量的概念。 通量的概念
20
F ( x, y , z )
n
S
0
d F dS F n 0dS
S
dS
面积元矢量
其中： dS n 0dS ——面积元矢量； 0 ——面积元的法向单位矢量；
sin
ey
sin cos
ez
0
sin cos 0
ex sin cos
sin
0
e
ez 0 0 1 ez cos sin 0
e
ey

e
ex
圆柱坐标与 球坐标系
e
er
e
e
o

单位圆
x
直角坐标系与柱坐标系之间 坐标单位矢量的关系
d S y e y d l x d l z e y d xd z
d d xd yd z
z
dz
dS z ez dxdy
dS y ey dxdz
d S z e z d l x d l y e z d xd y
体积元

第一章 矢量分析

第一章 矢量分析

(
)
( )
( )
(
)
(
)
16
导矢的物理意义 M0
z
s
M
dr dr ds 导矢： 导矢： = ⋅ l dt ds dt o y dr : 点M 处的单位切向矢量τ x ds ds 处质点的速度大小， : 点M 处质点的速度大小，用v 表示 dt dr 质点M 质点M 的速度矢量 = vτ = v dt dv d 2 r w= = 2 质点M 质点M 的加速度矢量 dt dt
d dA dB d A± B = ± C = 0, C为常矢 dt dt dt dt d dA d du dA kA = k , k为常数 uA = A+u dt dt dt dt dt d dB dA d 2 dA A⋅ B = A⋅ + ⋅B 特例： A = 2 A ⋅ dt dt dt dt dt d dB dA A× B = A× + ×B dt dt dt dA dA du = ⋅ 若有复合函数 A＝A ( u ) dt du dt
7
第一章
第二节 矢性函数的导数与微分
1. 矢性函数的导数 定义 设矢性函数 A ( t )在点 t的某一邻 的某一邻 域内有定义， 域内有定义，并设 t +△t 也在这邻域内。 △ 也在这邻域内。 若
M
A (t ) A′ ( t )
∆A
N l
其极限存在， 在 ∆t → 0 时，其极限存在，则称此极限 ∆A=A ( t +∆t ) -A ( t ) 为矢性函数 A ( t ) 在点 处的导数（简称 导数（ 在点t 处的导数 导矢）， ），记作 导矢），记作 dA/dt 或 A′ ( t ) 。
13

第一章 矢量分析

第一章 矢量分析

电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
11
2. 圆柱坐标系
坐标变量
, , z

坐标单位矢量 e , e , ez 位置矢量 线元矢量
r e ez z
dl e d e d ez dz
dS e dl dl z e ddz dS e dl dl z e ddz dS z ez dl dl ez dd
方向有关。 问题：在什么方向上变化率最大、其最大的变化率为多少？
电子科技大学编写 高等教育出版社 & 高等教育电子音像出版社 出版
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
17
3. 标量场的梯度（ gradu 或 u ） 概念：
u u el |max l
，其中el u l
取得最大值的方向
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
1
电子科技大学编写
高等教育出版社 & 高等教育电子音像出版社 出版
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
2
本章内容
1.1 矢量代数 1.2 三种常用的正交曲线坐标系 1.3 标量场的梯度 1.4 矢量场的通量与散度
1.5 矢量场的环流和旋度
1.6 无旋场与无散场 1.7 拉普拉斯运算与格林定理 1.8 亥姆霍兹定理
写成行列式形式为
A B Ax Bx ex ey Ay By ez Az Bz
A B
A B B A 若 A B ，则 A B AB
若 A // B ，则 A B 0
电子科技大学编写
B
0
e
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定理即可求出边界 S 上的场，反之亦然。
例 求空间任一点位置矢量 r 的散度 。
z
r
z
y
O
x
x
y
解 已知
r ? xex ? yey ? zez
求得
? ?r ? ?x ? ?y ? ?z ? 3 ?x ?y ?z
算子
?
?
ex
? ?x
?
ey
? ?y
?
ez
? ?z
标量场的梯度
??
?
ex
?? ?x
? ey
前述的源称为正源，而洞称为负源。
已知真空中的电场强度 E 通过任一闭合曲面的通 量等于该闭合面包围的自由电荷的电荷量 q 与真空 介电常数 ? 0 之比，即，
? E ?dS ? q
S
?0
一
十
当闭合面中存在正电荷时，通量为正。当闭合 面中存在负电荷时，通量为负。在电荷不存在的无 源区中，穿过任一闭合面的通量为零。
?l B ?dl ? ?0I
⊙? I1 I2
式中，电流 I 的正方向与 dl 的方向构成 右旋 关系。
环量可以表示产生具有旋涡特性的源的强度，但 是环量代表的是闭合曲线包围的总的源强度，它不能 显示源的分布特性。为此，需要研究矢量场的旋度。
旋度是一个矢量。以符号 curl A 表示矢量 A 的
旋度，其方向是使矢量 A 具有最大环量强度的方向，
1. 标量场的方向导数与梯度
l
标量场在某点的方向导
Δl P ?
? P
数表示标量场自该点沿某 一方向上的变化率。
标量场 ? 在 P 点沿 l 方向上的方向导数 ?? 定义为
?l P
??
?
?
lim
(P?) ? ?
(P)
?l P Δl ? 0
Δl
梯度是一个矢量。 某点梯度的大小等于该点的最大方向导数，某点 梯度的方向为该点具有最大方向导数的方向。
式中，div 是英文字divergence 的缩写； ? V 为闭合面 S 包围的体积。
? A?dS
div A ? lim S ΔV? 0 ΔV
上式表明，散度是一个标量，它可理解为通过包围 单位体积闭合面的通量。
直角坐标系中散度可表示为
div A ? ?Ax ? ?Ay ? ?Az ?x ?y ?z
在直角坐标系中，标量场 ? 的梯度可表示为
grad?
?
?? ex ?x
? ey
?? ?y
? ez
?? ?z
式中的grad 是英文字 gradient 的缩写。
若引入算符? ，在直角坐标系中该算符 ? 可表
示为
?
?
ex
? ?x
?
ey
? ?y
?
ez
? ?z
则梯度可以表示为
grad? ? ? ?
z P'(x ', y ', z ')
因此散度可用算符 ? 表示为
div A ? ?? A
散度定理
?V div A dV ? ?S A?dS
或者写为
?V ?? Ad V ? ?S A?dS
从数学角度可以认为散度定理建立了面积分和体
积分的关系。 从物理角度可以理解为散度定理建立
了区域 V 中的场和包围区域 V 的边界 S 上的场之间
的关系。因此，如果已知区域 V 中的场， 根据散度
? ? ?S A?dS
通量可为正、负或零。
当矢量穿出某个闭合面时，认为该闭合面中存在产 生该矢量场的源；当矢量进入这个闭合面时，认为该闭 合面中存在汇聚该矢量场的洞（或汇）。
S
? ? ?S A?dS
闭合的有向曲面的方向通常规定为闭合面的外 法线方向。
当闭合面中有源时，矢量通过该闭合面的通量一 定为正；反之，当闭合面中有洞时，矢量通过该闭 合面的通量一定为负。
??x??
ey
??y??
ez
? ?z?
?
?? 1 ?? ?R?
?
?
R R3
?
??? 1 ?? ? ?R?
R R3
? ?? 1 ?? ? ? ? ??? 1 ??
?R?
?R?
P?表示源点，P 表示场点。
2. 矢量场的通量与散度 矢量 A 沿某一有向曲面 S 的面积分称为矢量 A 通过
该有向曲面 S 的通量，以标量 ? 表示，即
r ?? x?e x ? y?e y ? z?ez
r' r
O
P(x, y, z) y
R ? (x ? x?)ex ? ( y ? y?)e y ? (z ? z?)ez
x
R ? (x ? x?)2 ? ( y ? y?)2 ? (z ? z?)2
?
?
ex
? ?x
?
ey
? ?y
?
ez
? ?z
?
??
ex
l
可见，若在闭合有向曲线 l 上，矢量场 A 的方向处 处与线元 dl 的方向保持一致，则环量 ? > 0；若处 处相反，则 ? < 0 。可见，环量可以用来描述矢量 场的旋涡特性。
已知真空中磁通密度 B 沿任一闭合有向曲线 l 的
环量等于该闭合曲线包围的传导电流强度 I 与真空磁
导率 ? 0 的乘积。即
其大小等于对该矢量方向的最大环量强度，url
A
?
en
lim
ΔS ? 0
A?dl
l
max
ΔS
式中 curl 是旋度的英文字；en 为最大环量强度的方 向上的单位矢量，? S 为闭合曲线 l 包围的面积。
第一章 矢量分析
主要内容 梯度、散度、旋度、亥姆霍兹定理
1. 标量场的方向导数与梯度 5. 格林定理
2. 矢量场的通量与散度
6. 矢量场的惟一性定理
3. 矢量场的环量与旋度
7. 亥姆霍兹定理
4. 无散场和无旋场
8. 正交曲面坐标系
标量场（? ）和矢量场（A）
y
y
x
x
以浓度表示的标量场?
以箭头表示的矢量场A
但是，通量仅能表示闭合面中源的总量，它不能 显示源的分布特性。为此需要研究矢量场的散度。
当闭合面 S 向某点无限收缩时，矢量 A 通过该闭 合面 S 的通量与该闭合面包围的体积之比的极限称为 矢量场 A 在该点的散度，以 div A 表示，即
div A ? lim ? S A?dS
ΔV? 0 ΔV
?? ?y
? ez
?? ?z
矢量场的散度
div A ? lim ? S A?dS
ΔV? 0 ΔV
矢量场的旋度？
? ?A ? ?Ax ? ?Ay ? ?Az ?x ?y ?z
3. 矢量场的环量与旋度 矢量场 A 沿一条有向曲线 l 的线积分称为矢量
场 A 沿该曲线的环量，以 ? 表示，即
? ? ?l A ?dl
例 计算 ? ?? 1 ?? 及 ? ??? 1 ??。
?R?
?R?
r – r'
r'
P(x, y, z)
这里 R ? r ? r ? ? 0
O
r
y
? 表示对 x, y, z 运算
x
? ?表示对 x?, y?, z?运算
z P'(x ', y ', z ') r – r'
解
r ? xex ? ye y ? zez