2020年宁夏中卫市高考数学二模试卷（理科）
一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，每小题给出的选项中只有一项是符合题目要求的，请将正确的答案涂到答题卡上）
1. 若集合A ＝{x|x 2?2x ?3≤0}，B ＝{x|2x ≥√2}，则A ∩B =( ) A.[1
2,3] B.[1
2,1]
C.[?3,1
2]
D.[2,?3]
2. 若i 为虚数单位，网格纸上小正方形的边长为1，图中复平面内点Z 表示复数z ，则表示复数
2i
z 的点是（ ）
A.E
B.F
C.G
D.H
3. 设x ，y 满足约束条件{x +y ?2≤0
x ?2y ?2≤02x ?y +2≥0 ，则z ＝x ?3y 的最小值为（ ）
A.0
B.?4
C.?8
D.?6
4. 自2019年12月以来，在湖北省武汉市发现多起病毒性肺炎病例，研究表明，该新型冠状病毒具有很强的传染性．各级政府反应迅速，采取了有效的防控阻击措施，把疫情控制在最低范围之内．某社区按上级要求做好在鄂返乡人员体格检查登记，有3个不同的住户属在鄂返乡住户，负责该小区体格检查的社区诊所共有4名医生，现要求这4名医生都要分配出去，且每个住户家里都要有医生去检查登记，则分配方案共有（ ） A.12种 B.24种
C.36种
D.72种
5. 加强体育锻炼是青少年生活学习中非常重要的组成部分．某学生做引体向上运动，处于如图所示的平衡状态时，若两只胳膊的夹角为60°，每只胳膊的拉力大小均为400N ，则该学生的体重（单位：kg ）约为（ ） （参考数据：取重力加速度大小为g ＝10m/s 2，√3≈1.732）
A.63
B.69
C.75
D.81
6. 已知P(1,?√2)在双曲线x 2
a 2?y 2
b 2=1(a >0,?b >0)的渐近线上，则该双曲线的离心率为（ ） A.√10 B.2 C.√5 D.√3
7. 在△ABC′中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知C =2π3
，sin B ＝3sin A ，若△ABC 的面积为6√3，
则c ＝（ ） A.2√2
B.2√26
C.2√14
D.4√7
8. 执行如图所示的程序框图，则输出的S 是（ ）
A.?3
B.?1
C.1
D.3
9. 已知点P 是焦点为F 的抛物线C:y 2=2px(p >0)上的一点，且|PF|=10，点Q 是直线l 1:2x ?y +3=0与l 2:x +2y ?6=0的交点，若PQ ⊥QF ，则抛物线的方程为( ) A.y 2=4x B.y 2=4x 或y 2=36x C.y 2=12x D.y 2=12x 或y 2=28x
10. 给出下列说法：
①“x =π
4”是“tan x ＝1”的充分不必要条件；
②命题“?x >0，e x ?x ?1>0”的否定是“?x 0≤0，e x 0?x 0?1≤0”；
③小赵、小钱、小孙、小李到4个景点旅游，每人只去一个景点，设事件A为“4个人去的景点不相同”，事件
B为“小赵独自去一个景点”，则P(A|B)
=2
9
；
④设X～N(1,
?1)，其正态分布密度曲线如图所示，那么向正方形ABCD
中随机投掷10000个点，则落入阴影
部分的点的个数的估计值是6587．（注：若X～N(μ,?σ2)，则P(μ?σ 其中正确说法的个数为（） A.1 B.2 C.3 D.4 11. 《九章算术》中“勾股容方”问题：“今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何？”魏晋时期数学家刘徽在其《九章算术注》中利用出入相补原理给出了这个问题的一般解法：如图1，用对角线将长和宽分别为b和a 的矩形分成两个直角三角形，每个直角三角形再分成一个内接正方形（黄）和两个小直角三角形（朱、青）．将三种颜色的图形进行重组，得到如图2所示的矩形，该矩形长为a+b，宽为内接正方形的边长d．由刘徽构造的图形可以得到许多重要的结论，如图3．设D为斜边BC的中点，作直角三角形ABC的内接正方形对角线AE，过点A作AF⊥BC于点F，则下列推理正确的是（） ①由图1和图2面积相等可得d=ab a+b ；②由AE≥AF可得√a2+b2 2 ≥a+b 2 ； ③由AD≥AE可得√a2+b2 2≥21 a +1 b ；④由AD≥AF可得a2+b2≥2ab． A.①②③④ B.①②④ C.②③④ D.①③ 12. 已知函数f(x)是定义在[?100,?100]上的偶函数，且f(x+2)＝f(x?2)，当x∈[0,?2]时，f(x)＝(x?2)e x，若方程[f(x)]2?mf(x)+1＝0有300个不同的实数根，则实数m的取值范围为（） A.?e?1 e 2 B.?e?1 e ≤m 2 C.?5 2 e ≤m 二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 二项式(√x?2 x )5的展开式中x?2的系数是________． 函数y＝axe x的图象在x＝0处的切线与直线y＝?x互相垂直，则a＝________． 已知α，β均为锐角，cosα=4 5 ，tan(α?β)=?1 3 ，则cosβ＝________． 古希腊数学家阿波罗尼奥斯发现：平面上到两定点A，B距离之比为常数λ(λ>0且λ≠1)的点的轨迹是一个 圆心在直线AB上的圆，该圆简称为阿氏圆．根据以上信息，解决下面的问题： 如图，在长方体ABCD?A1B1C1D1中，AB＝2AD＝2AA1＝6，点E在棱AB上，BE＝2AE，动点P满足BP= √3PE．若点P在平面ABCD内运动，则点P所形成的阿氏圆的半径为________；若点P在长方体ABCD? A1B1C1D1内部运动，F为棱C1D1的中点，M为CP的中点，则三棱锥M?B1CF的体积的最小值为________9 4 ． 三、解答题：（本大题共5小题，满分60分．解答须写出文字说明，证明过程或演算步骤） 在直四棱柱ABCD?A1B1C1D1中，已知DC＝DD1＝3AD＝3AB＝3，AD⊥DC，AB?//?DC，E为DC上一点， 且DE＝1． （1）求证：D1E?//?平面A1BD； （2）求二面角B?A1D?E的正弦值． 由团中央学校部、全国学联秘书处、中国青年报社共同举办的2018年度全国“最美中学生”寻访活动结果出炉 啦，此项活动于2018年6月启动，面向全国中学在校学生，通过投票方式寻访一批在热爱祖国、勤奋学习、 热心助人、见义勇为等方面表现突出、自觉树立和践行社会主义核心价值观的“最美中学生”．现随机抽取了30名学生的票数，绘成如图所示的茎叶图，若规定票数在65票以上（包括65票）定义为风华组．票数在65票以下（不包括65票）的学生定义为青春组． （1）如果用分层抽样的方法从青春组和风华组中抽取5人，再从这5人中随机抽取2人，那么至少有1人在青 春组的概率是多少？ （2）用样本估计总体，把频率作为概率，若从该地区所有的中学（人数很多）中随机选取4人，用ξ表示所选4人中青春组的人数，试写出ξ的分布列，并求出ξ的数学期望． 甲、乙两同学在复习数列时发现原来曾经做过的一道数列问题因纸张破坏，导致一个条件看不清，具体如下：等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知 ________． （1）判断S 1，S 2，S 3的关系； （2）若a 1?a 3＝3，设b n =n 12|a n |，记{b n }的前n 项和为T n ，证明：T n <4 3． 甲同学记得缺少的条件是首项a 1的值，乙同学记得缺少的条件是公比q 的值，并且他俩都记得第（1）问的答案是S 1，S 3，S 2成等差数列．如果甲、乙两同学记得的答案是正确的，请你通过推理把条件补充完整并解答此题． 如图，椭圆 C:x 2 a 2+y 2 b 2=1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，椭圆C 上一点与两焦点构成的三角形的周长为6，离心率为12． （1）求椭圆C 的方程； （2）过点F 2的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，问在x 轴上是否存在定点P ，使得PA →?PB → 为定值？证明你的结论． 已知函数f(x)＝e x sin x （e 是自然对数的底数）． （1）求f(x)的单调递减区间； （2）记g(x)＝f(x)?ax ，若0 2≈4.8） 选考题：（请考生在第22、23两道题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题记分．作答时请用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑）[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分） 已知直线l 的参数方程为{x =?1?√2 2t y =2+√2 2t （其中t 为参数），以原点为极点，以x 轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为ρ＝2m sin θ(m 为常数，且m >0)，直线l 与曲线C 交于A ，B 两点． （1）若|AB|＝2，求实数m 的值； （2）若点P 的直角坐标为(?1,?2)，且|PA|?|PB|>4，求实数m 的取值范围． [选修4-5：不等式选讲]（10分） 已知a >0，b >0，c >0，且a +b +c ＝2． （1）求a 2+b +c 的取值范围； （2）求证：1 a +4 b +9 c ≥18． 参考答案与试题解析 2020年宁夏中卫市高考数学二模试卷（理科） 一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，每小题给出的选项中只有一项是符合题目要求的，请将正确的答案涂到答题卡上） 1. 【答案】 A 【考点】 交集及其运算 【解析】 可以求出集合A，B，然后进行交集的运算即可． 【解答】 ∵A={x|?1≤x≤3},B={x|x≥1 2 }， ∴A∩B=[1 2 ,3]． 2. 【答案】 C 【考点】 复数的代数表示法及其几何意义 【解析】 由已知求得z，代入2i z ，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案． 【解答】 由图可知，z＝?1+i， 则2i z =2i ?1+i =2i(?1?i) (?1+i)(?1?i) =1?i， ∴表示复数2i z 的点是G． 3. 【答案】 D 【考点】 简单线性规划 【解析】 由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案 【解答】 由约束条件作出可行域如图，化目标函数z＝x?3y为y=1 3 x?1 3 z， 由图可知，当直线y=1 3 x?1 3 z过A(0,?2)时，z有最小值为?6． 4. 【答案】 C 【考点】 排列、组合及简单计数问题 【解析】 先从4名医生中抽取2人，有C42种方法，再将这2人当做一个元素，与其他2人，共3个元素，分别分配到3个不同的住户里，即可求出． 【解答】 根据题意，分配4名医生去3个不同的住户里，要求这4名医生都要分配出去，且每个住户家里都要有医生去检查登记； 则必有2名医生去同一住户检查， 即要先从4名医生中抽取2人，有C42种方法， 再将这2人当做一个元素，与其他2人，共3个元素，分别分配到3个不同的住户里，有A33种情况， 由分步计数原理，可得共C42A33＝36种不同分配方案， 5. 【答案】 B 【考点】 向量在物理中的应用 【解析】 由题意知F1 → =F2 → =400，夹角θ＝60°，计算G → =?(F1 → +F2 → )的模长，再求出体重即可． 【解答】 由题意知，F1 → =F2 → =400，夹角θ＝60°， 所以G → +F1 → +F2 → =0 → ， 即G → =?(F1 → +F2 → )； 所以G → 2=(F1→+F2→)2=4002+2×400×400×cos60°+4002＝3×4002； |G → |＝400√3(N)， 则该学生的体重（单位：kg ）约为40√3=40×1.732≈69(kg)， 6. 【答案】 D 【考点】 双曲线的离心率 【解析】 求出双曲线的渐近线方程，由题意可得b a =√2，由双曲线的离心率公式，计算可得所求值． 【解答】 P(1,?√2)在双曲线x 2a 2? y 2b 2 =1(a >0,?b >0)的渐近线y =b a x 上， 可得b a =√2， 则双曲线的离心率为e =c a =√1+ b 2 a 2=√1+2=√3， 7. 【答案】 B 【考点】 正弦定理 【解析】 由sin B ＝3sin A 可得b ＝3a ，再利用面积公式得到a ，b 的方程组，解出a ，b ，最后利用余弦定理求出c 的值． 【解答】 因为sin B ＝3sin A ，所以b ＝3a ， 又因为C = 2π3 ，△ABC 的面积为6√3， 所以S =1 2ab sin C =3 2a 2×sin 2π3 =6√3， 解得a =2√2,b =6√2， ∴ c 2＝a 2+b 2?2ab cos C =(2√2)2+(6√2)2?2×2√2×6√2cos 2π3 =104． ∴ c =2√26． 8. 【答案】 B 【考点】 程序框图 【解析】 由程序框图得S ＝2+lg 12+lg 23+lg 34+?+lg 999 1000，由此利用对数性质及运算法则能求出S ． 【解答】 由程序框图得： S ＝2+lg 1 2+lg 2 3+lg 3 4+?+lg 999 1000 ＝2+(lg 1?lg 2)+(lg 2?lg 3)+...+(lg 999?lg 1000) ＝2+lg 1?lg 1000 ＝2?3 ＝?1． 9. 【答案】 B 【考点】 抛物线的性质 【解析】 由题意求出Q 的坐标，设P 的坐标，F 的坐标由且|PF|＝10，即PQ ⊥QF 可得P 的坐标及p 的值，进而求出抛物线的方程． 【解答】 解：联立方程组{2x ?y +3=0，x +2y ?6=0， 解得：{x =0， y =3， 即Q(0,?3)， 设P(y 2 2p ,?y)，F(p 2,?0)，又|PF|=10，可得y 2 2p +p 2=10，① 因为PQ ⊥QF ，所以PQ → ?QF → =0， 即(?y 2 2p ,?3?y)?(p 2,??3)=0，即 ?y 24 ?3(3?y)=0，解得，y =6， 代入①可得：36 2p +p 2=10，p >0，所以：p =2或p =18， 所以抛物线的方程为：y 2=4x 或y 2=36x . 故选B . 10. 【答案】 C 【考点】 命题的真假判断与应用 【解析】 根据各选项对应的知识点，逐个分析判断，即可得出． 【解答】 对于①，x = π4 ?tan x ＝1，但是tan x ＝1不能推出x =π4，所以“x =π 4”是“tan x ＝1”的充分不必要条件，①正 确； 对于②，全称命题的否定是特称命题，命题“?x >0，e x ?x ?1>0”的否定是“?x 0>0，e x 0?x 0?1≤0”，②不正确； 对于③，当事件B 发生时，其它3人去景点旅游的基本事件总数为3×3×3＝27种，但是事件A 发生包含的基本事件有A 33=6种， 所以P(A|B)=6 27=2 9 ，③正确； 对于④，根据正态分布曲线，求得正方形空白部分的面积为P(1 2 P(1?1 1 2 ×0.6827＝0.34135 故落入阴影部分的概率为1?0，34135＝0.65865，即落入阴影部分的点的个数的估计值是10000×0.65865≈6587，④正确． 11. 【答案】 A 【考点】 基本不等式及其应用 【解析】 根据题意求出AD，AE，AF，然后可判断②③④对，根据面积相等，可判断①对． 【解答】 解：由图1和图2面积相等ab=(a+b)d，可得d=ab a+b ，①对； 由题意知图3面积为1 2ab=1 2 √a2+b2AF，AF= √a2+b2 ， AD=1 2BC=1 2 √a2+b2， 图3设正方形边长为x，由三角形相似，a?x x =x b?x ， 解之得x=ab a+b ，则AE=√2ab a+b ， 可以化简判断②③④对. 故选A. 12. 【答案】 A 【考点】 函数与方程的综合运用 【解析】 由题意，函数f(x)的周期为4，且关于直线x＝2对称，则方程[f(x)]2?mf(x)+1＝0在[0,?2]内有三个不同的实数根，作出函数f(x)在区间[0,?2]上的图象，令t＝f(x)，结合图象即可建立不等式组，即可求解．【解答】 ∵f(x+2)＝f(x?2)， ∴函数f(x)＝f(x+4)，即周期为4， 而区间[?100,?100]内共有50个周期，方程[f(x)]2?mf(x)+1＝0有300个不同的实数根， 故每个周期内有6个不同的实根，不妨研究周期[0,?4]内， 又函数f(x)为偶函数， ∴f(?x)＝f(x+4)，则函数f(x)关于直线x＝2对称， ∴方程[f(x)]2?mf(x)+1＝0在[0,?2]内有三个不同的实数根， 当x∈[0,?2]时，f(x)＝(x?2)e x，f′(x)＝(x?1)e x，当x∈(0,?1)时，f(x)单减，当x∈(1,?2)时，f(x)单增，f(x)min＝f(1)＝?e，f(0)＝?2， 作出函数图象如图所示， 设t＝f(x)，则t2?mt+1＝0，设?(t)＝t2?mt+1，则?e 要使方程[f(x)]2?mf(x)+1＝0在[0,?2]内有三个不同的实数根，则函数?(t)在(?e,??2)上必有一个根，∴{?(?e)=e2+me+1>0 ?(?2)=4+2m+1<0 ，解得?e? 1 e 2 ． 故选：A． 二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 【答案】 ?80 【考点】 二项式定理及相关概念 【解析】 先求通项公式，再令x的指数为?2即可求解结论． 【解答】 展开式通项C5r(√x)5?r(?2 x )r=C5r(?2)r x5?3r2， 依题意，5?3r 2 =?2，得r＝3， 所以：x?2的系数是C53(?2)3=?80． 【答案】 1 【考点】 利用导数研究曲线上某点切线方程 【解析】 求函数的导数，根据导数的几何意义结合直线垂直的直线斜率的关系建立方程关系进行求解即可． 【解答】 ∵函数y＝axe x在x＝0处的切线与直线y＝?x垂直， ∴函数y＝axe x在x＝0处的切线斜率k＝1， ∵f′(x)＝ae x+axe x， ∴f′(0)＝a＝1， 得a＝1， 【答案】 9√10 50 【考点】 两角和与差的三角函数 【解析】 由已知求得tan α，进一步求得tan β，结合平方关系即可求得cos β． 【解答】 ∵ 0<α<π 2，cos α=4 5，∴ sin α=√1?cos 2α=3 5， ∴ tan α= sin αcos α=3 4 ． ∵ tan (α?β)= tan α?tan β1+tan αtan β= 3 4?tan β1+3 4 tan β=?13，解得tan β= 139 ． 联立{ sin β cos β= 139sin 2 β+cos 2 β=1 ，解得cos β=9√1050 （β为锐角）． 【答案】 2√3, 【考点】 棱柱、棱锥、棱台的体积 【解析】 ①若点P 在平面ABCD 内运动时，如图以A 为原点距离平面直角坐标系，可得E(2,?0)，B(6,?0)．设P(x,?y)，由BP =√3PE 可得BP 2＝3PE 2． 即3(x ?2)2+3y 2＝(x ?6)2+y 2，?x 2+y 2＝12．即可 ②若点P 在长方体ABCD ?A 1B 1C 1D 1内部运动，由①可得点P 在半径为2√3，球心为A 球上．如图建立空间直角坐标系，求得A 到面FCB 1的距离为d ，求得P 到面FCB 1的距离的最小值d ，又M 到面FCB 1的距离的最小值为 d 2 ，利用体积公式即可求解． 【解答】 ①若点P 在平面ABCD 内运动时， 如图以A 为原点距离平面直角坐标系，可得E(2,?0) ，B(6,?0)． 设P(x,?y)，由BP =√3PE 可得BP 2＝3PE 2． 即3(x ?2)2+3y 2＝(x ?6)2+y 2，?x 2+y 2＝12． 则点P 所形成的阿氏圆的半径为2√3，圆心为A ， ②若点P 在长方体ABCD ?A 1B 1C 1D 1内部运动，由①可得点P 在半径为2√3，球心为A 球上． 如图建立空间直角坐标系，可得A(3,?0,?0)，F(0,?3,?3)，C(0,?6,?0)，B 1(3,?6,?3) 则FC → =(0,3,?3),FB 1→ =(3,3,0)，AC → =(?3,6,0) 设面FB 1C 的法向量为m → =(x,y,z)， {m → ?FC → =3y ?3z =0 m →?FB 1→=3x +3y =0 ，可得m →=(1,?1,?1)． A 到面FCB 1的距离为d = |m →?AC → ||m → | = √3 =3√3． ∵ 则P 到面FCB 1的距离的最小值为3√3?2√3=√3， ∵ M 为CP 的中点，∴ M 到面FCB 1的距离的最小值为√3 2． 则三棱锥M ?B 1CF 的体积的最小值为1 3S △FCB 1? √32 =1 3 × √3 4 ×(3√2)2× √32 =9 4 ． 三、解答题：（本大题共5小题，满分60分．解答须写出文字说明，证明过程或演算步骤） 【答案】 证明：∵ AB?//?DC ，AB ＝1，DE ＝1， ∴ 四边形ABED 为平行四边形， 又AD ⊥DC ，AD ＝1， ∴ 平行四边形ABED 为正方形， ∴ AD?//?BE ，且AD ＝BE ＝1， 又四棱柱ABCD ?A 1B 1C 1D 1直四棱柱， ∴ AD?//?A 1D 1，且AD ＝A 1D 1＝1， ∴ A 1D 1=∥ BE ， ∴ 四边形A 1BED 1为平行四边形， ∴ D 1E?//?A 1B ， 又D 1E 不在平面A 1BD 内，A 1B 在平面A 1BD 内， ∴ D 1E?//?平面A 1BD ； 依题意，以点D 为坐标原点，射线DA ，DC ，DD 1分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系， 则B(1,?1,?0)，A 1(1,?0,?3)，D(0,?0,?0)，E(0,?1,?0)， 设平面A 1BD 的一个法向量为m → =(x,y,z)，DA 1→ =(1,0,3),A 1B → =(0,1,?3)， 则{m → ?DA 1→ =x +3z =0 m →?A 1B →=y ?3z =0 ，可取m →=(3,?3,?1)， 设平面A 1DE 的一个法向量为n → =(a,b,c)，DA 1→=(1,0,3),A 1E → =(?1,1,?3)， 则{n → ?DA 1→ =a +3c =0 n →?A 1E →=?a +b ?3c =0 ，可取n → =(3,0,?1)， 设二面角B ?A 1D ?E 的平面角为锐角θ，则cos θ=|cos >|=|m →?n → ||m →||n → | = √9+9+1?√ 9+1 =√190 19 ， ∴ 二面角B ?A 1D ?E 的正弦值为 √171 19 ． 【考点】 直线与平面平行 二面角的平面角及求法 【解析】 （1）先证明四边形A 1BED 1为平行四边形，可得D 1E?//?A 1B ，由此得证D 1E?//?平面A 1BD ； （2）建立空间直角坐标系，求出平面A 1BD 以及平面A 1DE 的法向量，利用向量夹角公式先求得两个法向量的余弦值，进而求得二面角B ?A 1D ?E 的正弦值． 【解答】 证明：∵ AB?//?DC ，AB ＝1，DE ＝1， ∴ 四边形ABED 为平行四边形， 又AD ⊥DC ，AD ＝1， ∴ 平行四边形ABED 为正方形， ∴ AD?//?BE ，且AD ＝BE ＝1， 又四棱柱ABCD ?A 1B 1C 1D 1直四棱柱， ∴ AD?//?A 1D 1，且AD ＝A 1D 1＝1， ∴ A 1D 1=∥ BE ， ∴ 四边形A 1BED 1为平行四边形， ∴ D 1E?//?A 1B ， 又D 1E 不在平面A 1BD 内，A 1B 在平面A 1BD 内， ∴ D 1E?//?平面A 1BD ； 依题意，以点D 为坐标原点，射线DA ，DC ，DD 1分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系， 则B(1,?1,?0)，A 1(1,?0,?3)，D(0,?0,?0)，E(0,?1,?0)， 设平面A 1BD 的一个法向量为m → =(x,y,z)，DA 1→ =(1,0,3),A 1B → =(0,1,?3)， 则{m → ?DA 1→ =x +3z =0 m →?A 1B →=y ?3z =0 ，可取m →=(3,?3,?1)， 设平面A 1DE 的一个法向量为n → =(a,b,c)，DA 1→ =(1,0,3),A 1E → =(?1,1,?3)， 则{n → ?DA 1→ =a +3c =0 n →?A 1E →=?a +b ?3c =0 ，可取n → =(3,0,?1)， 设二面角B ?A 1D ?E 的平面角为锐角θ，则cos θ=|cos >|= |m →?n → ||m →||n →| = 9+9+1?9+1 = √190 19 ， ∴ 二面角B ?A 1D ?E 的正弦值为 √171 19 ． 【答案】 由茎叶图可知，30名学生中青春组有12名，风华组有18名， ∴ 抽取的5人中，青春组有5×12 30=2名，风华组有3名， ∴ 2人都在风华组的概率为 C 32C 5 2= 3 10 ， 故至少有1人在青春组的概率是1?3 10=7 10． 由（1）可知，该地区所有中学中青春组的频率为12 30=2 5，以频率作为概率，则青春组的概率为2 5． 随机变量ξ的可能取值为0，1，2，3，4， P(ξ＝0)=C 40 ?(2 5)0?(3 5)4= 81625，P(ξ＝1)=C 41 ?(2 5 )1?(3 5 )3= 216625， P(ξ＝2)=C 42?(2 5)2?(3 5)2=216 625，P(ξ＝3)=C 43?(2 5)3?(3 5)1=96 625，P(ξ＝4)=C 44 ?(2 5)4?(3 5)0=16 625． ∴ ξ的分布列为 ∵ ξ～B(4,?2 5 )，∴ 数学期望E(ξ)=4×2 5 =8 5 ． 【考点】 离散型随机变量的期望与方差 离散型随机变量及其分布列 【解析】 （1）由茎叶图可知，30名学生中青春组和风华组的人数，根据分层抽样的特点，得到抽取的5人中青春组和风华组的人数，再结合组合数和对立事件的概率即可得解； （2）由（1）可知，该地区所有中学中青春组的概率为2 5，随机变量ξ的可能取值为0，1，2，3，4，再结合 二项分布求概率的方式逐一求出每个ξ的取值所对应的概率即可得分布列，由二项分布的性质可求其数学期望． 【解答】 由茎叶图可知，30名学生中青春组有12名，风华组有18名， ∴ 抽取的5人中，青春组有5×12 30=2名，风华组有3名， ∴ 2人都在风华组的概率为C 3 2C 52=3 10， 故至少有1人在青春组的概率是1?310=7 10． 由（1）可知，该地区所有中学中青春组的频率为12 30=2 5，以频率作为概率，则青春组的概率为2 5． 随机变量ξ的可能取值为0，1，2，3，4， P(ξ＝0)=C 40?(25)0?(35)4=81 625，P(ξ＝1)=C 41?(25)1?(35)3=216 625， P(ξ＝2)= C 4 2? (25)2 ? (35)2 =216 625，P(ξ＝3)= C 4 3? (25)3 ? (35)1 =96 625，P(ξ＝4)= C 4 4? (25)4 ? (35)0 =16 625． ∴ ξ的分布列为 ∵ ξ～B(4,?2 5 )，∴ 数学期望E(ξ)=4×2 5 =8 5 ． 【答案】 由题意可得S 1＝a 1，S 2＝a 1+a 2＝a 1?1 2a 1=1 2a 1，S 3＝a 1+a 2+a 3＝a 1?1 2a 1+1 4a 1=3 4a 1， 可得S 1+S 2＝2S 3，即S 1，S 3，S 2成等差数列； 证明：由a 1?a 3＝3，可得a 1?1 4a 1＝3，解得a 1＝4， b n =n 12|a n |=n 12?|4?(?12)n?1|=23n ?(1 2)n ， 则T n =2 3 (1?1 2 +2?1 4 +3?1 8 +?+n ? 12n )， 12 T n =23 (1?14 +2?18+3? 116 +?+n ? 12n+1)， 上面两式相减可得1 2T n =23(1 2+1 4+1 8+1 16+?+1 2n ?n ?1 2n+1) =2 3[ 12(1?1 2 n )1?12 ??n ?1 2n+1]， 化简可得T n =4 3(1?n+2 2n+1)， 由1?n+2 2n+1<1，可得T n <4 3． 【考点】 等差数列与等比数列的综合 【解析】 （1）可补充公比q 的值，由等比数列的通项公式和等差数列的中项性质，计算可得所求结论； （2）由等比数列的通项公式求得b n =2 3n ?(1 2)n ，再由数列的错位相减法求和，结合等比数列的求和公式，不等式的性质，即可得证． 【解答】 由题意可得S 1＝a 1，S 2＝a 1+a 2＝a 1?12a 1=12a 1，S 3＝a 1+a 2+a 3＝a 1?12a 1+14a 1=3 4a 1， 可得S 1+S 2＝2S 3，即S 1，S 3，S 2成等差数列； 证明：由a 1?a 3＝3，可得a 1?1 4a 1＝3，解得a 1＝4， b n = n 12 |a n |= n 12 ?|4?(?12 )n?1|=23 n ?(1 2 )n ， 则T n =23 (1?12 +2?14 +3?18 +?+n ? 12n )， 1 2T n =2 3(1?1 4+2?1 8+3?1 16+?+n ?1 2)， 上面两式相减可得12T n =23(12+14+18+116+?+12n ?n ?1 2n+1) =2 3[ 12(1?1 2 n )1?12 ??n ? 12n+1 ]， 化简可得T n =43 (1? n+22n+1 )， 由1?n+2 2n+1<1，可得T n <4 3． 【答案】 由椭圆C 上一点与两焦点构成的三角形的周长为6可得2a +2c ＝6，即a +c ＝3， 又离心率e =c a =1 2，b 2＝a 2?c 2，解得：a 2＝4，b 2＝3， 所以椭圆的方程为： x 24 + y 23 =1； 假设存在点P(t,?0)满足条件，由（1）可得：F 2(1,?0)， 显然直线l 的斜率不为0时，设直线l 的方程为：x ＝my +1，设A(x 1,?y 1)，B(x 2,?y 2)， 联立直线与椭圆的方程：{x =my +1x 24+y 23=1 ，整理可得：(4+3m 2)y 2+6my ?9＝0，y 1+y 2=?6m 4+3m 2， y 1y 2= ?94+3m 2 ， PA → ?PB → =(x 1?t,?y 1)?(x 2?t,?y 2)＝(x 1?t)(x 2?t)+y 1y 2＝(my 1+1?t)(my 2+1?t)+y 1y 2 ＝(1+m 2)y 1y 2+m(1?t)(y 1+y 2)+(1?t)2 =?9(1+m 2)4+3m 2+m(1?t)??6m 4+3m 2+(1?t)2?(4+3m 2)4+3m 2 = 3m 2(t 2?8t?2)+(4t 2?8t?5) 3m 2+4 ， 要使PA → ?PB → 为定值，则需t 2?8t?2 1 = 4t 2?8t?5 4 ， 即t =?1 8， 这时PA → ?PB → =?63 64， 综上所述：存在点P(?1 8,?0)满足条件． 【考点】 椭圆的标准方程 椭圆的应用 直线与椭圆的位置关系 【解析】 （1）由三角形的周长及离心率及a ，b ，c 之间的关系求出a ，b 的值，进而求出椭圆的方程； （2）假设存在这样的P 点满足条件，分斜率存在和不存在两种讨论，当直线的斜率存在时设直线l 的方程，与椭圆联立求出两根之和及两根之积，再求PA → ?PB → 的表达式，要使其为定值，需使分子分母对应项的系数成比例，进而求出P 点的坐标．当斜率不存在时也适合． 【解答】 由椭圆C 上一点与两焦点构成的三角形的周长为6可得2a +2c ＝6，即a +c ＝3， 又离心率e =c a =1 2，b 2＝a 2?c 2，解得：a 2＝4，b 2＝3， 所以椭圆的方程为：x 2 4+ y 23 =1； 假设存在点P(t,?0)满足条件，由（1）可得：F 2(1,?0)， 显然直线l 的斜率不为0时，设直线l 的方程为：x ＝my +1，设A(x 1,?y 1)，B(x 2,?y 2)， 联立直线与椭圆的方程：{x =my +1x 24 +y 23 =1 ，整理可得：(4+3m 2)y 2+6my ?9＝0，y 1+y 2=?6m 4+3m 2， y 1y 2= ?94+3m 2 ， PA → ?PB → =(x 1?t,?y 1)?(x 2?t,?y 2)＝(x 1?t)(x 2?t)+y 1y 2＝(my 1+1?t)(my 2+1?t)+y 1y 2 ＝(1+m 2)y 1y 2+m(1?t)(y 1+y 2)+(1?t)2 =?9(1+m 2)4+3m 2+m(1?t)??6m 4+3m 2+(1?t)2?(4+3m 2)4+3m 2 = 3m 2(t 2?8t?2)+(4t 2?8t?5) 3m +4 ， 要使PA → ?PB → 为定值，则需t 2?8t?2 1 = 4t 2?8t?5 4 ， 即t =?1 8， 这时PA →?PB → =?63 64， 综上所述：存在点P(?1 8 ,?0)满足条件． 【答案】 f(x)＝e x sin x 的定义域为R ，f′(x)＝e x (sin x +cos x)=√2sin e x (x +π 4 )， 由f′(x)<0，得sin (x +π4)<0，解得2kπ+3π4 7π4 +2kπ(k ∈Z)， ∴ f(x)的单调递减区间(2kπ+ 3π4 ,? 7π4 +2kπ)(k ∈Z)， 由已知得g(x)＝e x sin x ?ax ，∴ g′(x)＝e x (sin x +cos x)?a ，令?(x)＝g′(x)，则?′(x)＝2e x cos x ， ∵ x ∈(0,?π)，∴ x ∈(0,?π 2 )时，?′(x)>0，x ∈(π 2 ,?π)时，?′(x)<0， ∴ ?(x)在(0,?π2 )上单调递增，在(π 2 ,?π)上单调递减． ∵ g′(0)＝1?a ，g′(π)＝?e π?a <0， ①当1?a ≥0，即0 2)>0， ∴ ?x 0∈(π 2,?π)，使得g′(x 0)＝0， ∴ 当x ∈(0,?x 0)，g′(x 0)>0， 当x ∈(x 0,?π)时，g′(x)<0， ∴ g(x)在(0,?x 0)上单调递增，在(x 0,?π)单调递减； ∵ g(0)＝0，∴ g(x 0)>0， 又∵ g(π)＝?aπ<0，∴ 由零点存在定理得，此时g(x)在(0,?π)上仅有一个零点， ②若1 又∵ g′(x)(0,?π2)上单调递增，在(π2,?π)上单调递减，又g′(π 2)=e π 2 ?a >0， ∴ ?x 1∈(0,?π2)，x 2∈(π 2,?π)，使得g′(x 1)＝0，g′(x 2)＝0， 且当x ∈(0,?x 1)、x ∈(x 2,?π)时，g′(x)<0，当x ∈(x 1,?x 2)时，g′(x)>0， ∴ g(x)在∈(0,?x 1)和(x 2,?π)上单调递减，在(x 1,?x 2)单调递增． ∵ g(0)＝0，∴ g(x 1)<0，∵ g(π 2)=e π2 ?π 2a >e π2 ? 3π2 >0，∴ g(x 2)>0，又∵ g(π)＝?aπ<0， 由零点存在定理可得，g(x)在(x 1,?x 2)和(x 2,?π)内各有一个零点， 即此时g(x)在(0,?π)上有两个零点， 综上所述，当0 利用导数研究函数的单调性 利用导数研究函数的极值 【解析】 （1）由f′(x)＝e x (sin x +cos x)=√2sin e x (x +π 4)<0，可得sin (x +π 4)<0，利用正弦函数的单调性质即可解 得f(x)的单调递减区间； （2）由于g′(x)＝e x(sin x+cos x)?a，令?(x)＝g′(x)，可求得?(x)在(0,?π 2)上单调递增，在(π 2 ,?π)上单调递 减，再对a分0 f(x)＝e x sin x的定义域为R，f′(x)＝e x(sin x+cos x)=√2sin e x(x+π 4 )， 由f′(x)<0，得sin(x+π 4)<0，解得2kπ+3π 4 4 +2kπ(k∈Z)， ∴f(x)的单调递减区间(2kπ+3π 4,?7π 4 +2kπ)(k∈Z)， 由已知得g(x)＝e x sin x?ax，∴g′(x)＝e x(sin x+cos x)?a，令?(x)＝g′(x)，则?′(x)＝2e x cos x， ∵x∈(0,?π)，∴x∈(0,?π 2)时，?′(x)>0，x∈(π 2 ,?π)时，?′(x)<0， ∴?(x)在(0,?π 2)上单调递增，在(π 2 ,?π)上单调递减． ∵g′(0)＝1?a，g′(π)＝?eπ?a<0， ①当1?a≥0，即0 2 )>0， ∴?x0∈(π 2 ,?π)，使得g′(x0)＝0， ∴当x∈(0,?x0)，g′(x0)>0， 当x∈(x0,?π)时，g′(x)<0， ∴g(x)在(0,?x0)上单调递增，在(x0,?π)单调递减； ∵g(0)＝0，∴g(x0)>0， 又∵g(π)＝?aπ<0，∴由零点存在定理得，此时g(x)在(0,?π)上仅有一个零点，②若1 又∵g′(x)(0,?π 2)上单调递增，在(π 2 ,?π)上单调递减，又g′(π 2 )=eπ2?a>0， ∴?x1∈(0,?π 2)，x2∈(π 2 ,?π)，使得g′(x1)＝0，g′(x2)＝0， 且当x∈(0,?x1)、x∈(x2,?π)时，g′(x)<0，当x∈(x1,?x2)时，g′(x)>0，∴g(x)在∈(0,?x1)和(x2,?π)上单调递减，在(x1,?x2)单调递增． ∵g(0)＝0，∴g(x1)<0，∵g(π 2)=eπ2?π 2 a>eπ2?3π 2 >0，∴g(x2)>0，又∵g(π)＝?aπ<0， 由零点存在定理可得，g(x)在(x1,?x2)和(x2,?π)内各有一个零点， 即此时g(x)在(0,?π)上有两个零点， 综上所述，当0 当1 选考题：（请考生在第22、23两道题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题记分．作答时请用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑）[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分） 【答案】 曲线C的极坐标方程为ρ＝2m sinθ(m为常数，且m>0)， 化为直角坐标系下的普通方程为：x2+y2＝2my，即x2+(y?m)2＝m2．直线l的参数方程为{ x=?1?√2 2 t y=2+√2 2 t （其中t为参数），转换为直线l的普通方程为：x+y?1＝0， 而点(0,?m)到直线l的距离为d= √2 ， 由条件可得|AB|=2√m2?( √2 )2=2， 整理得m2+2m?3＝0，结合m>0可得m＝1． 显然点P在直线l上，把{ x=?1?√2 2 t y=2+√2 2 t 代入x2+y2＝2my并整理可得 t2+√2(3?m)t?4m+5=0， 所以t1t2＝?4m+5， 则△＝2(3?m)2?4(?4m+5)>0， 解之得m√2?1． 由|PA|?|PB|>4，解得m>9 4 或m<1 4 ． 而m>0， 所以实数m的取值范围是(9 4 ,+∞)． 【考点】 圆的极坐标方程 参数方程与普通方程的互化 【解析】 （1）直接利用转换关系的应用，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换，进一步利用垂径定理的应用求出m的值． （2）利用一元二次方程根和系数关系式的应用，利用不等式的应用求出结果． 【解答】 曲线C的极坐标方程为ρ＝2m sinθ(m为常数，且m>0)， 化为直角坐标系下的普通方程为：x2+y2＝2my，即x2+(y?m)2＝m2． 直线l的参数方程为{ x=?1?√2 2 t y=2+√2 2 t （其中t为参数），转换为直线l的普通方程为：x+y?1＝0， 而点(0,?m)到直线l的距离为d= 2 ， 由条件可得|AB|=2√m2?( √2 )2=2， 整理得m2+2m?3＝0，结合m>0可得m＝1． 显然点P在直线l上，把{ x=?1?√2 2 t y=2+√2 2 t 代入x2+y2＝2my并整理可得 t2+√2(3?m)t?4m+5=0， 所以t1t2＝?4m+5， 则△＝2(3?m)2?4(?4m+5)>0， 解之得m√2?1． 由|PA|?|PB|>4，解得m >9 4 或m <1 4 ． 而m >0， 所以实数m 的取值范围是(9 4,+∞)． [选修4-5：不等式选讲]（10分） 【答案】 ∵ a >0，b >0，c >0且a +b +c ＝2， ∴ 2?a ＝b +c >0，∴ 0 2)2+7 4， ∴ 7 4≤a 2+b +c <22+(2?2)=4， ∴ a 2+b +c 的取值范围为[7 4,4)． ∵ a >0，b >0，c >0， ∴ (a +b +c)(1 a +4 b +9 c )=14+b a + 4a b +c a + 9a c + 4c b + 9b c ， ≥14+2√b a ?4a b +2√c a ?9a c +2√4c b ?9b c =14+2√4+2√9+2√36=36， 当且仅当a =1 3 ,b =2 3 ,c =1时等号成立， 又a +b +c ＝2，∴ 1a +4b +9 c ≥18． 【考点】 不等式的证明 【解析】 （1）由条件等式将b +c 用a 表示，再从a >0，b >0，c >0，进一步求出a 的范围，将问题转化为求二次函数的取值范围，二次函数配方，即可求解； （2）根据已知条件转化证明(a +b +c)(1 a +4 b +9 c )≥36，利用基本不等式即可得证． 【解答】 ∵ a >0，b >0，c >0且a +b +c ＝2， ∴ 2?a ＝b +c >0，∴ 0 2 )2+74 ， ∴ 7 4≤a 2+b +c <22+(2?2)=4， ∴ a 2+b +c 的取值范围为[7 4,4)． ∵ a >0，b >0，c >0， ∴ (a +b +c)(1 a +4 b +9 c )=14+b a + 4a b +c a + 9a c + 4c b + 9b c ， ≥14+2√b a ?4a b +2√c a ?9a c +2√4c b ?9b c =14+2√4+2√9+2√36=36， 当且仅当a =1 3,b =2 3,c =1时等号成立， 又a +b +c ＝2，∴ 1 a +4 b +9 c ≥18． 黑池中学2018级高三数学期末模拟试题理科（四） 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 1.已知集合{}2,101，， -=A ，{} 2≥=x x B ，则A B =I A ．{}2,1,1- B.{ }2,1 C.{}2,1- D. {}2 2.复数1z i =-,则z 对应的点所在的象限为 A ．第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3 .下列函数中,是偶函数且在区间(0,+∞)上单调递减的函数是 A ．2x y = B ．y x = C ．y x = D ．2 1y x =-+ 4.函数 y=cos 2(x + π4 )－sin 2(x + π4 )的最小正周期为 A. 2π B. π C. π2 D. π 4 5. 以下说法错误的是 （ ） A ．命题“若x 2 -3x+2=0,则x=1”的逆否命题为“若x≠1,则x 2 -3x+2≠0” B ．“x=2”是“x 2 -3x+2=0”的充分不必要条件 C ．若命题p:存在x 0∈R,使得2 0x -x 0+1<0,则﹁p:对任意x∈R,都有x 2 -x+1≥0 D ．若p 且q 为假命题,则p,q 均为假命题 6.在等差数列{}n a 中, 1516a a +=,则5S = A ．80 B ．40 C ．31 D ．-31 7.如图为某几何体的三视图，则该几何体的体积为 A ．π16+ B ．π416+ C ．π8+ D ．π48+ 8.二项式6 21()x x +的展开式中，常数项为 A ．64 B ．30 C ． 15 D ．1 9.函数3 ()ln f x x x =-的零点所在的区间是 A ．(1,2) B ．(2,)e C ． (,3)e D ．(3,)+∞ 10.执行右边的程序框图，若0.9p =，则输出的n 为 A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 开始 10n S ==， S p 2020年高考数学模拟试卷汇编 专题4 立体几何（含答案解析） 1．（2020·河南省实验中学高三二测（理））现有一副斜边长相等的直角三角板.若将它们的斜边AB 重合，其中一个三角板沿斜边折起形成三棱锥A BCD -，如图所示，已知,64DAB BAC ππ∠= ∠=，三棱锥的外接球的表面积为4π，该三棱锥的体积的最大值为 （ ） A 3 B ．36 C 3 D 3 2．（2020·湖南省长沙市明达中学高三二模（理）魏晋时期数学家刘徽在他的著作《九章算术注》中，称一个正方体内两个互相垂直的内切圆柱所围成的几何体为“牟合方盖”，刘徽通过计算得知正方体的内切球的体积与“牟合方盖”的体积之比应为π：4.若正方体的棱长为2，则“牟合方盖”的体积为( ) A ．16 B ．163 C ．163 D ．1283 3．（2020·湖南省长沙市明达中学高三二模（理）关于三个不同平面,,αβγ与直线l ，下列命题中的假命题是（ ） A ．若αβ⊥，则α内一定存在直线平行于β B ．若α与β不垂直，则α内一定不存在直线垂直于β C ．若αγ⊥，βγ⊥，l αβ=I ，则l γ⊥ D ．若αβ⊥，则α内所有直线垂直于β 4．（2020·江西省南昌市第十中学校高三模拟（理））榫卯是我国古代工匠极为精巧的发明， 它是在两个构件上采用凹凸部位相结合的一种连接方式。广泛用于建筑，同时也广泛用于家具。我国的北京紫禁城，山西悬空寺，福建宁德的廊桥等建筑都用到了榫卯结构，榫卯结构 中凸出部分叫榫（或叫榫头），已知某“榫头”的三视图如图所示，则该“榫头”的体积是（ ） A ．36 B ．45 C ．54 D ．63 5．（2020·江西省名高三第二次大联考（理））某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） A ．83π3 B ．4π1633 C 16343π+ D ．43π1636．（2020·江西省名高三第二次大联考（理））在平面五边形ABCD E 中，60A ∠=?，63AB AE ==BC CD ⊥，DE CD ⊥，且6BC DE ==.将五边形ABCDE 沿对角线BE 折起，使平面ABE 与平面BCDE 所成的二面角为120?，则沿对角线BE 折起后所得几何体的外接球的表面积为（ ） A ．63π B ．84π C ．252π D ．126π 7．（2020·陕西省西安中学高三三模（理））某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ） 高考理科数学试题及答案 （考试时间：120分钟试卷满分：150分） 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目 要 求 的 。 1. 31i i +=+（） A ．12i + B ．12i - C ．2i + D ．2i - 2. 设集合{}1,2,4A =，{} 2 40x x x m B =-+=．若{}1A B =，则B =（） A ．{}1,3- B ．{}1,0 C ．{}1,3 D ．{}1,5 3. 我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百 八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（） A ．1盏 B ．3盏 C ．5盏 D ．9盏 4. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某 几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部 分所得，则该几何体的体积为（） A ．90π B ．63π C ．42π D ．36π 5. 设x ，y 满足约束条件2330233030x y x y y +-≤?? -+≥??+≥? ，则2z x y =+的 最小 值是（） A ．15- B ．9- C ．1 D ．9 6. 安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共 有（） A ．12种 B ．18种 C ．24种 D ．36种 7. 甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2位优秀， 2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则（） 绝密★启用前 全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ） 一、选择题：本题共12小题, 每小题5分, 共60分。在每小题给出的四个选项中, 只 有一项是符合题目要求的。 1．已知集合}242{60{}M x x N x x x =-<<=--<，, 则M N I = A ．}{43x x -<< B ．}42{x x -<<- C ．}{22x x -<< D ．}{23x x << 2．设复数z 满足=1i z -, z 在复平面内对应的点为(x , y ), 则 A ．22 +11()x y += B ．221(1)x y +=- C ．22(1)1y x +-= D ．2 2(+1)1y x += 3．已知0.20.32 log 0.220.2a b c ===，，, 则 A ．a b c << B ．a c b << C ．c a b << D ．b c a << 4．古希腊时期, 人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是 512-（ 51 2 -≈0.618, 称为黄金分割比例), 著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外, 最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是 51 -．若某人满足上述两个黄金分割比例, 且腿长为105 cm, 头顶至脖子下端的长度为26 cm, 则其身高可能是 A ．165 cm B ．175 cm C ．185 cm D ．190 cm 5．函数f (x )= 2 sin cos ++x x x x 在[,]-ππ的图像大致为 A ． B ． C ． D ． 6．我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6个 爻组成, 爻分为阳爻“——”和阴爻“— —”, 如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦, 则该重卦恰有3个阳爻的概率是 A ． 516 B ． 1132 C ． 2132 D ． 1116 7．已知非零向量a , b 满足||2||=a b , 且()-a b ⊥b , 则a 与b 的夹角为 A ． π6 B ． π3 C ． 2π3 D ． 5π6 8．如图是求 112122 + +的程序框图, 图中空白框中应填入 高三上期第二次周练 数学（理科） 第Ⅰ卷（选择题，共60分） 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的. 1．设集合{}=0123A ，，，， {}=21B x x a a A =-∈，，则=( )A B ? A. {}12， B. {}13， C. {}01 ， D. {}13-， 2．已知i 是虚数单位，复数z 满足()12i z i +=，则z 的虚部是（ ） A. i - B. i C. 1- D. 1 3．在等比数列{}n a 中， 13521a a a ++=， 24642a a a ++=， 则数列{}n a 的前9项的和9S =（ ） A. 255 B. 256 C. 511 D. 512 4．如图所示的阴影部分是由x 轴，直线1x =以及曲线1x y e =-围成， 现向矩形区域OABC 内随机投掷一点，则该点落在阴影区域的概率是（ ） A. 1e B. 21 e e -- C. 11e - D. 11e - 5．在 52)(y x x ++ 的展开式中，含 2 5y x 的项的系数是（ ） A. 10 B. 20 C. 30 D. 60 6．已知一个简单几何体的三视图如右图所示，则该几何体的 体积为 ( ) A. 36π+ B. 66π+ C. 312π+ D. 12 7．已知函数 ())2log(x a x f -= 在 )1,(-∞上单调递减，则a 的取值范围是( ) A. 11<< 2020全国各地模拟分类汇编（文）：集合 【辽宁抚顺二中2020届高三第一次月考文】1．“lg lg x y >”是“1010x y >”的 （ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 【答案】A 【辽宁省瓦房店市高级中学2020届高三10月月考】已知集合}1|1||{<-=x x M ， )}32(log |{22++==x x y y N 则=N M I （ ） A ．}21||{<≤x x B ．}20||{< 2017年普通高等学校招生全国统一考试（xx卷）数学（理科） 第Ⅰ卷（共50分） 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． （1）【2017年xx，理1，5分】设函数的定义域为，函数的定义域为，则（）（A）（B）（C）（D） 【答案】D 【解析】由得，由得，，故选D． （2）【2017年xx，理2，5分】已知，是虚数单位，若，，则（）（A）1或（B）或（C）（D） 【答案】A 【解析】由得，所以，故选A． （3）【2017年xx，理3，5分】已知命题：，；命题：若，则，下列命题为真命题的是（） （A）（B）（C）（D） 【答案】B 【解析】由时有意义，知是真命题，由可知是假命题， 即，均是真命题，故选B． （4）【2017年xx，理4，5分】已知、满足约束条件，则的最大值是（）（A）0（B）2（C）5（D）6 【答案】C 【解析】由画出可行域及直线如图所示，平移发现， 当其经过直线与的交点时，最大为 ，故选C． （5）【2017年xx，理5，5分】为了研究某班学生的脚长（单位：厘米）和身高（单位：厘米）的关系，从该班随机抽取10名学生，根据测量数据的散点图可以看出与之间有线性相关关系，设其回归直线方程为，已知，，，该班某学生的脚长为24，据此估计其身高为（） （A）160（B）163（C）166（D）170 【答案】C 【解析】，故选C． （6）【2017年xx，理6，5分】执行两次如图所示的程序框图，若第一次输入的值为7，第 二次输入的值为9，则第一次、第二次输出的值分别为（）（A）0，0（B）1，1（C）0，1（D）1，0 【答案】D 【解析】第一次；第二次，故选D． （7）【2017年xx，理7，5分】若，且，则下列不等式成立的是（）（A）（B）（C）（D） 【答案】B 【解析】，故选B． （8）【2017年xx，理8，5分】从分别标有1，2，…，9的9xx卡片中不放回地随机抽取2次，每次抽取1xx，则抽到在2xx卡片上的数奇偶性不同的概率是（） （A）（B）（C）（D） 第 1 页 共 26 页 2021年高考数学模拟试卷汇编：立体几何 1．（2020届安徽省“江南十校”高三综合素质检测）如图，在平面四边形ABCD 中，满足,AB BC CD AD ==，且10,8AB AD BD +==，沿着BD 把ABD 折起，使点A 到达点P 的位置，且使2PC =，则三棱锥P BCD -体积的最大值为（ ） A ．12 B ．2 C ．23 D ．163 2．（2020届河南省六市高三第一次模拟）已知圆锥的高为33，若该圆锥的顶点与底面的圆周都在同一个球面上，则这个球的体积与圆锥的体积的比值为( ) A ． 53 B ．329 C ．43 D ．259 3．已知三棱锥P ABC -中，O 为AB 的中点，PO ⊥平面ABC ，90APB ∠=?，2PA PB ==，则有下列四个结论：①若O 为ABC V 的外心，则2PC =；②ABC V 若为等边三角形，则⊥AP BC ；③当90ACB ∠=?时，PC 与平面PAB 所成的角的范围为0,4π?? ??? ；④当4PC =时，M 为平面PBC 内一动点，若OM ∥平面PAC ，则M 在PBC V 内轨迹的长度为2．其中正确的个数是（ ）． A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 4．（2020届河南省濮阳市高三模拟）在四面体P ABC -中，ABC V 为正三角形，边长为6，6PA =，8PB =，10PC =，则四面体P ABC -的体积为（ ） A ．811B ．10C ．24 D ．1635．（2020届河南省天一大联考“顶尖计划”高三二联）已知三棱锥D ABC -的外接球半径为2，且球心为线段BC 的中点，则三棱锥D ABC -的体积的最大值为（ ） A ．23 B ．43 C ．83 D ．163 6．（2020届河南省天一大联考“顶尖计划”高三一联）已知四棱锥S ABCD -的底面为矩形， 2018年高考数学(理科)模拟试卷(二) (本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分．满分150分，考试时间120分钟) 第Ⅰ卷(选择题满分60分) 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．(2016年北京)已知集合A＝{x||x|<2}，B＝{－1,0,1,2,3}，则A∩B＝() A．{0,1} B．{0,1,2} C．{－1,0,1} D．{－1,0,1,2} 2．已知z为纯虚数，且z(2＋i)＝1＋a i3(i为虚数单位)，则复数a＋z在复平面内对应的点所在的象限为() A．第一象限B．第二象限 C．第三象限D．第四象限 3．(2016年新课标Ⅲ)某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中月平均最高气温和平均最低气温的雷达图M2-1.图中A点表示十月的平均最高气温约为15 ℃，B 点表示四月的平均最低气温约为5 ℃.下面叙述不正确的是() A．各月的平均最低气温都在0 ℃以上 B．七月的平均温差比一月的平均温差大 C．三月和十一月的平均最高气温基本相同 D．平均气温高于20 ℃的月份有5个 图M2-1 图M2-2 4．已知平面向量a ＝(1,2)，b ＝(－2，k )，若a 与b 共线，则||3a ＋b ＝( ) A ．3 B ．4 C.5 D ．5 5．函数y ＝1 2x 2－ln x 的单调递减区间为( ) A ．(－1,1] B ．(0,1] C ．[1，＋∞) D ．(0，＋∞) 6．阅读如图M2-2所示的程序框图，运行相应的程序，则输出的结果为( ) A ．2 B ．1 C ．0 D ．－1 7．(2014年新课标Ⅱ)如图M2-3，网格纸上正方形小格的边长为1(表示1 cm)，图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3 cm ，高为6 cm 的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为( ) 图M2-3 A.1727 B.59 C.1027 D.13 8．已知F 1，F 2分别为双曲线E ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，离心率为5 3，过原点的直线l 交双曲线左、右两支分别于A ，B ，若|BF 1|－|AF 1|＝6，则该双曲线的标准方程为( ) A.x 29－y 216＝1 B.x 218－y 2 32＝1 C.x 29－y 225＝1 D.x 236－y 2 64＝1 9．若函数f (x )＝???? ? x －a 2x ≤0，x ＋1x ＋a x >0的最小值为f (0)，则实数a 的取值范围是( ) A ．[－1,2] B ．[－1,0] C ．[1,2] D ．[0,2] 高考数学高三模拟考试试卷压轴题分项汇编专题03 导数（含解析）理 1. 【高考北京理第7题】直线l过抛物线C：x2＝4y的焦点且与y轴垂直，则l与C所围成的图形的面积等于( )． A．4 3 B ．2 C． 8 3 D． 162 3 【答案】C 考点：定积分. 2. 【高考北京理第12题】过原点作曲线x e y=的切线，则切点的坐标为，切线的斜率为. 【答案】(1,)e e 考点：导数的几何意义。 3. 【高考北京理第12题】如图，函数() f x的图象是折线段ABC， 其中A B C ，，的坐标分别为(04)(20)(64) ，，，，，，则((0)) f f=； 2 B C A y x 1 O 3 4 5 6 1 2 3 4 (1)(1) lim x f x f x ?→+?-=? ．（用数字作答） 【答案】 2 2 考点：函数的图像，导数的几何意义。 4. 【高考北京理第13题】已知函数2 ()cos f x x x =-，对于ππ22??-???? ，上的任意12x x ，，有如下条件： ①12x x >； ②22 12x x >； ③12x x >． 其中能使12()()f x f x >恒成立的条件序号是 ． 【答案】② 考点：导数，函数的图像，奇偶性。 5. 【高考北京理第11题】设()f x 是偶函数，若曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线的斜率为1，则该曲线在(1,(1))f --处的切线的斜率为_________. 【答案】1- 考点：导数的几何意义。 6. 【高考北京理第15题】（本小题共13分） 已知函数.93)(2 3 a x x x x f +++-= （Ⅰ）求)(x f 的单调减区间； （Ⅱ）若)(x f 在区间[－2，2].上的最大值为20，求它在该区间上的最小值. 【答案】 2018年高考数学理科试卷（江苏卷） 数学Ⅰ 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位．．．．．．置上．． ． 1．已知集合{}8,2,1,0=A ，{}8,6,1,1-=B ，那么=?B A ． 2．若复数z 满足i z i 21+=?，其中i 是虚数单位，则z 的实部为 ． 3．已知5位裁判给某运动员打出的分数的茎叶图如图所示，那么这5位裁判打出的分数的平均数为 ． 4．一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，最后输出的S 的值为 ． 5．函数()1log 2-=x x f 的定义域为 ． 6．某兴趣小组有2名男生和3名女生，现从中任选2名学生去参加活动，则恰好选中2名女生的概率为 ． 7．已知函数()??? ??<<-+=22 2sin ππ ?x x y 的图象关于直线3π=x 对称，则?的值 是 ． 8．在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线()0,0122 22>>=-b a b y a x 的右焦点()0,c F 到一条 渐近线的距离为 c 2 3 ，则其离心率的值是 ． 9．函数()x f 满足()()()R x x f x f ∈=+4，且在区间]2,2(-上，()??? ? ???≤<-+≤<=02,2120,2cos x x x x x f π， 则()()15f f 的值为 ． 10．如图所示，正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为 ． 11．若函数()()R a ax x x f ∈+-=122 3 在()+∞,0内有且只有一个零点，则()x f 在[]1,1-上 的最大值与最小值的和为 ． 高考理科数学模拟试卷（含答案） 本试卷分选择题和非选择题两部分. 第Ⅰ卷(选择题)1至2页,第Ⅱ卷 (非选择题)3至4页,共4页,满分150分,考试时间120分钟. 注意事项： 1.答题前,务必将自己的姓名、考籍号填写在答题卡规定的位置上. 2.答选择题时,必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦擦干净后,再选涂其它答案标号. 3.答非选择题时,必须使用0.5毫米黑色签字笔,将答案书写在答题卡规定位置上. 4.所有题目必须在答题卡上作答,在试题卷上答题无效. 5.考试结束后,只将答题卡交回. 第Ⅰ卷 (选择题,共60分) 一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合2 {1,0,1,2,3,4},{|,}A B y y x x A =-==∈,则A B =I (A){0,1,2} (B){0,1,4} (C){1,0,1,2}- (D){1,0,1,4}- 2. 已知复数1 1i z = +,则||z = (A) 2 (B)1 (D)2 3. 设函数()f x 为奇函数,当0x >时,2 ()2,f x x =-则((1))f f = (A)1- (B)2- (C)1 (D)2 4. 已知单位向量12,e e 的夹角为 2π 3 ,则122e e -= (A)3 (B)7 5. 已知双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的渐近线方程为3y x =±,则双曲线的离心率是 (B) 3 (C)10 (D)10 9 6. 在等比数列{}n a 中,10,a >则“41a a <”是“53a a <”的 全国百套高考数学模拟试题分类汇编 08圆锥曲线 二、填空题 1、(启东中学高三综合测试二)已知抛物线ｙ2＝a(x+1)的准线方程是x= 3,那么抛物线的焦点坐标是______. 答案：(1，0) 2、(启东中学高三综合测试三)已知动圆P 与定圆C ：(x+2)2+y2=1相外切，又与定直线L ：x=1相切，那么动圆的圆心P 的轨迹方程是：。答案：y2=－8x 3、(皖南八校高三第一次联考)已知P 为双曲线19 162 2=-y x 的右支上一点，P 到左焦点距离为12，则P 到右准线距离为______；答案： 5 16 4、(北京市东城区高三综合练习一）已知双曲线)0,0(122 22>>=-b a b y a x 的左、右焦点分别为F1，F2，若在 双曲线的右支上存在一点P ，使得|PF1|=3|PF2|，则双曲线的离心率e 的取值范围为. 答案：1＜e≤2 5、(北京市东城区高三综合练习二)已知椭圆122 22=+b y a x 的左、右焦点分别为F1，F2，点P 为椭圆上一点，且 ∠PF1F2=30°，∠PF2F1=60°，则椭圆的离心率e=. 答案：3－1 6、(北京市丰台区4月高三统一练习一)过双曲线M ：2 2 21y x b -=的左顶点A 作斜率为1的直线l,若l 与双曲 线M 的两条渐近线相交于B 、C 两点 , 且AB BC =, 则双曲线M 的离心率为_____________. 答案：10 7、(北京市海淀区高三统一练习一)若双曲线192 22=-y a x ()0a >的一条渐近线方程为023=-y x ，则a=__________. 答案：2 8、(北京市十一学校高三数学练习题)已知双曲线]2,2[),(12222∈∈=-+ e R b a b y a x 的离心率，则一条渐近线 与实轴所构成的角的取值范围是_________． 答案：[π4,π 3 ]. 解析：依题意有2c a ≤≤，∴2224c a ≤≤，即22224a b a -≤≤，∴22 13b a ≤≤，得1b a ≤≤，∴ 4 3 π π θ≤≤ 9、(北京市西城区4月高三抽样测试)已知两点(1 0)A ，，(0)B b ，，若抛物线2 4y x =上存在点C 使ABC ?为等边三角形，则b ＝_________ . ·江西卷(理科数学) 1.[2019·江西卷] z 是z 的共轭复数， 若z ＋z ＝2， (z －z )i ＝2(i 为虚数单位)， 则z ＝( ) A.1＋i B.－1－i C.－1＋i D.1－i 【测量目标】复数的基本运算 【考查方式】给出共轭复数和复数的运算， 求出z 【参考答案】D 【难易程度】容易 【试题解析】 设z ＝a ＋b i(a ， b ∈R )， 则z ＝a －b i ， 所以2a ＝2， －2b ＝2， 得a ＝1， b ＝－1， 故z ＝1－i. 2.[2019·江西卷] 函数f (x )＝ln(2 x －x )的定义域为( ) A.(0， 1] B.[0， 1] C.(－∞， 0)∪(1， ＋∞) D.(－∞， 0]∪[1， ＋∞) 【测量目标】定义域 【考查方式】根据对数函数的性质， 求其定义域 【参考答案】C 【难易程度】容易 【试题解析】由2 x －x >0， 得x >1或x <0. 3.[2019·江西卷] 已知函数f (x )＝|| 5x ， g (x )＝2 ax －x (a ∈R ).若f [g (1)]＝1， 则a ＝( ) A.1 B.2 C.3 D.－1 【测量目标】复合函数 【考查方式】给出两个函数， 求其复合函数 【参考答案】A 【难易程度】容易 【试题解析】由g (1)＝a －1， 由()1f g ????＝1， 得|1| 5 a －＝1， 所以|a －1|＝0， 故a ＝1. 4.[2019·江西卷] 在△ABC 中， 内角A ， B ， C 所对的边分别是a ， b ， c .若2 2 ()c a b ＝－＋6， C ＝π 3 ， 则△ABC 的面积是( ) A.3 D.【测量目标】余弦定理， 面积 【考查方式】先利用余弦定理求角， 求面积 【参考答案】C 【难易程度】容易 【试题解析】由余弦定理得， 222cos =2a b c C ab +-＝262ab ab -＝12， 所以ab ＝6， 所以ABC S V ＝1 sin 2 ab C . 5.[2019·江西卷] 一几何体的直观图如图所示， 下列给出的四个俯视图中正确的是( ) 绝密★启用前 试题类型： 普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5页. 2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置. 3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效. 4. 考试结束后，将本试题和答题卡一并交回. 第Ⅰ卷 一. 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的. （1）设集合{}{} (x 2)(x 3)0,T 0S x x x =--≥=> ，则S I T=（ ） (A) [2，3] (B)（-∞ ，2]U [3,+∞） (C) [3,+∞） (D)（0，2]U [3,+∞） （2）若z=1+2i ，则 41 i zz =-（ ） (A)1 (B) -1 (C) i (D)-i （3）已知向量1(2BA =uu v ,1),2BC =uu u v 则∠ABC=（ ） (A)300 (B) 450 (C) 600 (D)1200 （4）某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图。图中A 点表示十月的平均最高气温约为150 C ，B 点表示四月的平均最低气温约为50 C 。下面叙述不正确的是（ ） (A) 各月的平均最低气温都在00 C 以上 (B) 七月的平均温差比一月的平均温差大 (C) 三月和十一月的平均最高气温基本相同 (D) 平均最高气温高于200 C 的月份有5个 （5）若3 tan 4 α= ，则2cos 2sin 2αα+= （ ） (A) 6425 (B) 4825 (C) 1 (D)1625 （6）已知4 3 2a =，25 4b =，13 25c =，则（ ） （A ）b a c << （B ）a b c <<（C ）b c a <<（D ）c a b << （7）执行下图的程序框图，如果输入的a=4，b=6，那么输出的n=（ ） （A ）3 上海市各区县2015届高三上学期期末考试数学理试题分类汇编 函数 一、填空题 1、（崇明县2015届高三上期末）函数23()lg(31)1x f x x x = ++-的定义域是 2、（奉贤区2015届高三上期末）定义函数34812 2 ()1()2 22 x x f x x f x ?--≤≤??=? ?>??，则函数()()6 g x xf x =-在区间[]8,1内的所有零点的和为 3、（黄浦区2015届高三上期末）函数22log (1)()1x f x x +=-的定义域是 4、（黄浦区2015届高三上期末）若函数2 13()2x ax a f x ++-=是定义域为R 的偶函数，则函数()f x 的 单调递减区间是 5、（嘉定区2015届高三上期末）函数x x y -+ -=21 )1lg(的定义域是____________ 6、（嘉定区2015届高三上期末）已知24=a ，a x =lg ，则=x ___________ 7、（静安区2015届高三上期末）已知11)(+-=x x x f ，4 5 )2(=x f (其中)0>x ，则=x 8、（浦东区2015届高三上期末）已知1 ()y f x -=是函数3()f x x a =+的反函数，且1(2)1f -=， 则实数a = 9、（浦东区2015届高三上期末）定义在R 上的偶函数()y f x =，在),0[+∞上单调递增，则不等式)3()12(f x f <-的解是 10、（普陀区2015届高三上期末）方程1)7lg(lg =-+x x 的解集为 11、（普陀区2015届高三上期末）函数22)(2+-=x x x f （0≤x ）的反函数是 12、（青浦区2015届高三上期末）数()y f x =的反函数为()1 y f x -=，如果函数()y f x =的图 像过点()2,2-，那么函数()1 21y f x -=-+的图像一定过点 . 13、（青浦区2015届高三上期末）已知函数()f x 对任意的x ∈R 满足()()f x f x -=，且当0x ≥时， 2()1f x x ax =-+．若()f x 有4个零点，则实数a 的取值范围是 ． 绝密★启封并使用完毕前 2019年普通高等学校招生全国统一考试 数学（理）（北京卷） 本试卷共5页, 150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上, 在试卷上作答无效。考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题共40分） 一、选择题共8小题, 每小题5分, 共40分。在每小题列出的四个选项中, 选出符合题目要求的一项。（1）若复数（1–i）(a+i)在复平面内对应的点在第二象限, 则实数a的取值范围是 （A）(–∞, 1) （B）(–∞, –1) （C）(1, +∞) （D）(–1, +∞) （2）若集合A={x|–2x1}, B={x|x–1或x3}, 则AB= （A）{x|–2x–1} （B）{x|–2x3} （C）{x|–1x1} （D）{x|1x3} （3）执行如图所示的程序框图, 输出的s值为 （A）2 （B）3 2 （C ）53 （D ）85 （4）若x, y 满足 , 则x + 2y 的最大值为 （A ）1 （B ）3 （C ）5 （D ）9 （5）已知函数1(x)33x x f ?? =- ??? , 则(x)f （A ）是奇函数, 且在R 上是增函数 （B ）是偶函数, 且在R 上是增函数 （C ）是奇函数, 且在R 上是减函数 （D ）是偶函数, 且在R 上是减函数 （6）设m,n 为非零向量, 则“存在负数λ, 使得m n λ=”是“m n 0?＜”的 （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件 （7）某四棱锥的三视图如图所示, 则该四棱锥的最长棱的长度为 2018年高考数学(理科)模拟试卷(一) (本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分．满分150分，考试时间120分钟) 第Ⅰ卷(选择题满分60分) 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．(2016年四川)设集合A＝{x|1≤x≤5}，Z为整数集，则集合A∩Z中元素的个数是( ) A．6 B. 5 C．4 D．3 1.B 解析：由题意，A∩Z＝{1,2,3,4,5}，故其中的元素的个数为5.故选B. 2．(2016年山东)若复数z满足2z＋z＝3－2i, 其中i为虚数单位，则z＝( ) A．1＋2i B．1－2i C．－1＋2i D．－1－2i 2．B 解析：设z＝a＋b i(a，b∈R)，则2z＋z＝3a＋b i＝3－2i，故a＝1，b＝－2，则z＝1－2i.故选B. 3．(2015年北京)某四棱锥的三视图如图M1-1，该四棱锥最长棱的棱长为( ) 图M1-1 A．1 B. 2 C. 3 D．2 3．C 解析：四棱锥的直观图如图D188：由三视图可知，SC⊥平面ABCD，SA是四 棱锥最长的棱，SA ＝SC 2＋AC 2＝SC 2＋AB 2＋BC 2＝ 3.故选C. 图D188 4．曲线y ＝x 3－2x ＋4在点(1,3)处的切线的倾斜角为( ) A.π6 B.π3 C.π4 D.π2 4．C 解析：f ′(x )＝3x 2－2，f ′(1)＝1，所以切线的斜率是 1，倾斜角为π 4 . 5．设x ∈R ，[x ]表示不超过x 的最大整数. 若存在实数t ，使得[t ]＝1，[t 2]＝2，…，[t n ]＝n 同时成立，则正整数n 的最大值是( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 5．B 解析：因为[x ]表示不超过x 的最大整数．由[t ]＝1，得1≤t <2，由[t 2]＝2，得2≤t 2<3.由[t 3]＝3，得3≤t 3<4.由[t 4]＝4，得4≤t 4<5.所以2≤t 2< 5.所以6≤t 5<4 5.由[t 5] ＝5，得5≤t 5<6，与6≤t 5<4 5矛盾，故正整数n 的最大值是4. 6．(2016年北京)执行如图M1-2所示的程序框图，若输入的a 值为1，则输出的k 值为( ) 图M1-2 【山东省日照市2012届高三12月月考文】（3）已知()x f 是定义 在R 上的奇函数，它的最小正周期为T ，则?? ? ??-2T f 的值为 A.0 B.2 T C.T D.2 T - 【答案】（3）答案：A 解析：因为()f x 的周期为T ，所以 T T T f f T f 222??????-=-+= ? ? ???????，又()f x 是奇函数，所以T T f f 22???? -=- ? ?????，所以T T f f ,22????-= ? ?????则T f 0.2??= ??? 【山东省青岛市2012届高三期末检测文】12.在平面直角坐标系中，横坐标、纵坐标均为整数的点称为整点，如果函数()f x 的图象恰好通过*(N )n n ∈个整点，则称函数()f x 为n 阶整点函数.有下列函数 ①1()f x x x =+ (0)x > ② 3()g x x = ③1 ()()3 x h x = ④()ln x x ?= 其中是一阶整点函数的是 A ．①②③④ B ．①③④ C ．④ D ．① ④ 【答案】D 【山东省日照市2012届高三12月月考文】（9）若 ()()()?????≤+??? ? ?-=12241x x a x ＞a x f x ，是R 上的单调递增函数，则实数a 的取值范围为 A.()+∞,1 B.（4，8） C.[)8,4 D.（1，8） 【答案】（9）答案：C 解析：因为()x f 是R 上的增函数，所以??? ? ?? ?? ? ≤+--.224,0241a a ＞a a ＞＞，解得a ≤4＜8. 【山东省日照市2012届高三12月月考文】（10）已知函数()x f 的定义 域 为 R ， ()1 0=f ，对任意 R x ∈都有 ()()()()()()()() =+??????+++=+1091 211101,21f f f f f f x f x f 则 A. 9 10 B. 21 10 C. 10 9 D. 21 11 【答案】（10）答案：B 解析：由 ()()()()(),2121,10=-++=+=n f n f x f x f f 得且().2110=f 所以()() ()().1112111 ??? ? ??+-= +n f n f n f n f 所以 ()()()()()() ()()2110 10101211091 211101=??? ? ??-= +??????++f f f f f f f f . 【山东省日照市2012届高三12月月考文】（11）已知0x 是函数 ()x x x f ln 11 +-= 的一个零点，若()()+∞∈∈,,,10201x x x x ，则 A.() ()0,021＜x f ＜x f B.()()0,021＞x f ＞x f C.()() 0,021＜x f ＞x f D.() ()0,021＞x f ＜x f 【答案】（11）答案：D 解析：令 ().0111 =+-= nx x x f 从而有1 1 1-= x nx ，此方程的解即为函数()x f 的零点. 在同一坐标系中作 创难度之最的1984年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题 （这份试题共八道大题，满分120分 第九题是附加题，满分10分，不计入总分） 一．（本题满分15分）本题共有5小题，每小题选对的得3分;不选，选错或多选得负1分1．数集X = {（2n +1）π，n 是整数}与数集Y = {（4k ±1）π，k 是整数}之间的关系是 （ C ） （A ）X ?Y （B ）X ?Y （C ）X =Y （D ）X ≠Y 2．如果圆x 2+y 2+Gx +Ey +F =0与x 轴相切于原点，那么（ C ） （A ）F =0，G ≠0，E ≠0. （B ）E =0，F =0，G ≠0. （C ）G =0，F =0，E ≠0. （D ）G =0，E =0，F ≠0. 3.如果n 是正整数，那么)1]()1(1[8 1 2---n n 的值 （ B ） （A ）一定是零 （B ）一定是偶数 （C ）是整数但不一定是偶数 （D ）不一定是整数 4.)arccos(x -大于x arccos 的充分条件是 （ A ） （A ）]1,0(∈x （B ）)0,1(-∈x （C ）]1,0[∈x （D ）]2 ,0[π∈x 5．如果θ是第二象限角，且满足,sin 12sin 2cos θ-=θ-θ那么2 θ （ B ） （A ）是第一象限角 （B ）是第三象限角 （C ）可能是第一象限角，也可能是第三象限角 （D ）是第二象限角 二．（本题满分24分）本题共6小题，每一个小题满分4分 1．已知圆柱的侧面展开图是边长为2与4的矩形，求圆柱的体积 答：.84π π或 2.函数)44(log 25.0++x x 在什么区间上是增函数？ 答：x ＜-2. 3．求方程2 1 )cos (sin 2=+x x 的解集 答：},12|{},127|{Z n n x x Z n n x x ∈π+π -=?∈π+π= 4．求3)2| |1 |(|-+x x 的展开式中的常数项 答：-205．求1 321lim +-∞→n n n 的值 答：0 6．要排一张有6个歌唱节目和4个舞蹈节目的演出节目单，任何两个舞蹈节目不得相邻，问有多少种不同的排法（只要求写出式子，不必计算） 答：!647?P 三．（本题满分12分）本题只要求画出图形 1．设???>≤=, 0,1,0,0)(x x x H 当当画出函数y =H (x -1)的图象 2．画出极坐标方程)0(0)4 )(2(>ρ=π -θ-ρ的曲线 解（1） （2）2018年高三数学模拟试题理科
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