常微分方程教案1
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1 第一讲 基本概念 常微分方程是研究许多自然科学问题和技术问题的有力工具，因而具有重要的实用价值；它们在力学、天文学、物理学中，在许多化学和生物学问题中，有着广泛的应用．这是因为大量现象、过程所服从的客观规律往往能够写成常微分方程的形式，因此这些方程本身就是相应客观规律的定量表示.
定义 1 如果在一个(或者一组 m(有限个))方程中，未知的 (unknown) 量是一个(或一组 m 有限个))函数，并且在方程中含有未知函数只关于某一个自变量 (independent variable) 的导数或微分，则称这方程为常微分方程 (ordinary differential equation) (或者常微分方程组( ODE's)), 简称常微分方程(组)为微分方程(DE)(组(DE's))或方程(组). (提示 1.1)
1.1 常微分方程之例: 若 x 是自变量 t 的未知函数，其他的量都是已知的，则下列方程
(一阶线性齐次方程)(正规形式)
，(一阶线性非齐次方程)(正规形式) ， (二阶线性齐次方程) ， (二阶线性非齐次方程) ， (Riccati方程)(一阶非线性方程) 都是常微分方程，微分方程中可以不出现未知函数 x 本身，但必须实质上含有未知函数 x 的导数．注意，在本教程中不讨论延迟 (retarded) 常微分方程：
常微分方程组之例: 记 为 m 维列矢量 (column vector)，，其中 ， 是自变量 t 的函数，用， 简记 个变量 的已知函数， (以后都这样表示，不要误解为矢量 x 的函数)，则矢量 (vector) 方程 是常微分方程组．
n 阶微分方程 2
可以通过变换 ，， …，， 化为 n 个一阶方程的方程组:
定义 2 微分方程中实质上含有的未知函数 x 的最高阶导数的阶数称为这微分方程关于 x 的阶.
微分方程组中各个未知函数 的最高阶导数的阶数 之和称为微分方程组的阶 (计算阶数时把未知函数本身认为是未知函数的零阶导数)．(提示1.2)
1.2 方程组的阶: 1.1 例中的方程组是 n 阶方程组. 注意：但是如果我们把例 2 中的方程组看成是一个矢量 x 的方程，而且其中关于 x 的每个分量的阶都是一阶的，因此也可称它(关于 x 是一阶的)．
n 阶微分方程的一般形式为：，其中函数 F 在其变量的某一区域 (domain) 中有定义，并且一定含有未知函数 x 对自变量 t 的 n 阶导数.
定义 3 假设有在区间 I 上有直到 n 阶的连续导数的函数：(可以是由隐式或参数形式决定的)在区间 I 上满足恒等式
， 我们就说该函数是在区间 I 上方程 的解 (solution)．称区间 I 是解的定义区间．微分方程的解根据函数的形式可分为显式 (explicit) 解，隐式 (implicit) 解和参数形式解. (提示1.3)
1.3 n 阶微分方程 的解可由对方程逐次进行 n 次积分得到： ，其中 为 n 个任意独立的实常数， 是 的 n 次累次积分． 3
例: 一阶方程 的通解可以写成 ，其中 c 是非零实常数．定义区间是：当 时为 ；当 时为 ．严格而言不能写成
的形式，因为后者的定义域不是一个区间．但是可以写成在不同区间上的两个通解： 和 ．如果把这些解写成形式 ，和 ．则称为隐式解，这种隐式解也称为方程的积分．
定义 4 微分方程的解 ，或隐式解 在 t - x 平面上的几何图形是一条曲线，称为微分方程的积分曲线 (integral curve). 如果在积分曲线上函数 等于常数，则 也称为微分方程的一个 积分 (integral)
定义 5 已就最高阶导数解出的微分方程
称为微分方程的正规形式 (normal form).(提示1.1) 1.1 常微分方程之例: 若 x 是自变量 t 的未知函数，其他的量都是已知的，则下列方程
(一阶线性齐次方程)(正规形式)
，(一阶线性非齐次方程)(正规形式) ， (二阶线性齐次方程) ， (二阶线性非齐次方程) ， (Riccati方程)(一阶非线性方程) 都是常微分方程，微分方程中可以不出现未知函数 x 本身，但必须实质上含有未知函数 x 的导数．注意，在本教程中不讨论延迟 (retarded) 常微分方程： 4
常微分方程组之例: 记 为 m 维列矢量 (column vector)，，其中 ， 是自变量 t 的函数，用， 简记 个变量 的已知函数， (以后都这样表示，不要误解为矢量 x 的函数)，则矢量 (vector) 方程 是常微分方程组．
n 阶微分方程
可以通过变换 ，， …，， 化为 n 个一阶方程的方程组:
定义 6 若微分方程 中的函数关于未知函数及其导数 是一次有理整式，则称方程是线性的 (linear)，称它是 n 阶线性 (微分)方程．一般形式为：
， 若其中 ，则称它是 n 阶线性齐次 (homogeneous) 方程；否则称为线性非齐次 (inhomogeneous) 方程．这时称 为线性方程的非齐次项. (提示1.1) 1.1 常微分方程之例: 若 x 是自变量 t 的未知函数，其他的量都是已知的，则下列方程
(一阶线性齐次方程)(正规形式)
，(一阶线性非齐次方程)(正规形式) ， (二阶线性齐次方程) ， (二阶线性非齐次方程) 5
， (Riccati方程)(一阶非线性方程) 都是常微分方程，微分方程中可以不出现未知函数 x 本身，但必须实质上含有未知函数 x 的导数．注意，在本教程中不讨论延迟 (retarded) 常微分方程：
常微分方程组之例: 记 为 m 维列矢量 (column vector)，，其中 ， 是自变量 t 的函数，用， 简记 个变量 的已知函数， (以后都这样表示，不要误解为矢量 x 的函数)，则矢量 (vector) 方程 是常微分方程组．
n 阶微分方程
可以通过变换 ，， …，， 化为 n 个一阶方程的方程组:
定义 7 不是线性的微分方程称为非线性 (nonlinear) 方程．(提示1.1) 1.1 常微分方程之例: 若 x 是自变量 t 的未知函数，其他的量都是已知的，则下列方程
(一阶线性齐次方程)(正规形式)
，(一阶线性非齐次方程)(正规形式) ， (二阶线性齐次方程) ， (二阶线性非齐次方程) ， (Riccati方程)(一阶非线性方程) 都是常微分方程，微分方程中可以不出现未知函数 x 本身，但必须实质上含有未知函数 x 的导数．注意，在本教程中不讨论延迟 (retarded) 常微分方程： 6
常微分方程组之例: 记 为 m 维列矢量 (column vector)，，其中 ， 是自变量 t 的函数，用， 简记 个变量 的已知函数， (以后都这样表示，不要误解为矢量 x 的函数)，则矢量 (vector) 方程 是常微分方程组．
n 阶微分方程
可以通过变换 ，， …，， 化为 n 个一阶方程的方程组:
定义 8 满足 n 阶微分方程(组)的一个(一组)依赖于 n 个 任意(arbitrary)独立常数 的解 ，，(其中矢量 x 和 的维数为未知函数的个数 m 不一定与阶数 n 相同)称为 n 阶微分方程(组)的通解 (general solution). (提示1.4)
1.4 任意常数的独立性：解 中任意常数的独立性是指函数行列式 (jacobian)
常数的任意性是指在参数 空间中某区域中常数 可以任意变动． 7
反过来，可以由一个含 n 个独立的任意常数的函数族 ，(设 x 关于 t 有直到 n 阶的连续导数)来建立微分方程，使 是
这微分方程的通解．
一般的方法是：对等式两边关于 t 求导 n 次，依次得到 ， 由任意常数的独立性，函数行列式
， 因此 可用 来表示，从而 可用 来表示．即得到所求的 n 阶微分方程．
定义 9 不含任意常数的确定的微分方程(组)的解称为特解． 定义 10 为了确定微分方程的一个特解所给出这个解必须满足的条件称为微分方程的定解条件：常见的有：初始条件 (initial condition)、边界条件 (boundary condition)．
定义 11 n 阶常微分方程的初始条件：指定方程 的解在时刻 以及 x 及其直到 阶导数应取的初始值 (initial value).
． 定义 12 定解问题：求微分方程满足定解条件的解．当定解条件为初始条件时，相应的问题称为初值问题 (initial value problem)，或称为 Cauchy 问题．本教程只讨论初值问题．
方向场: 对于一阶正规型微分方程 ，，它的解是 t-x 平面上的一条曲线，在其每一点上都具有切线，切线的斜率为 . 如
