常微分方程教案(王高雄)第二章
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常微分方程教案(王高雄)ch1-绪论1常微分方程一、微分方程的概念方程对于学过中学数学的人来说是比较熟悉的;在初等数学中就有各种各样的方程,比如线性方程、二次方程、高次方程、指数方程、对数方程、三角方程和方程组等等。
这些方程都是要把研究的问题中的已知数和未知数之间的关系找出来,列出包含一个未知数或几个未知数的一个或者多个方程式,然后去求方程的解。
但是在实际工作中,常常出现一些特点和以上方程完全不同的问题。
比如:物质在一定条件下的运动变化,要寻求它的运动、变化的规律;某个物体在重力作用下自由下落,要寻求下落距离随时间变化的规律;火箭在发动机推动下在空间飞行,要寻求它飞行的轨道,等等。
物质运动和它的变化规律在数学上是用函数关系来描述的,因此,这类问题就是要去寻求满足某些条件的一个或者几个未知函数。
也就是说,凡是这类问题都不是简单地去求一个或者几个固定不变的数值,而是要求一个或者几个未知的函数。
解这类问题的基本思想和初等数学解方程的基本思想很相似,也是要把研究的问题中已知函数和未知函数之间的关系找出来,从列出的包含未知函数的一个或几个方程中去求得未知函数的表达式。
但是无论在方程的形式、求解的具体方法、求出解的性质等方面,都和初等数学中的解方程有许多不同的地方。
在数学上,解这类方程,要用到微分和导数的知识。
因此,凡是表示未知函数的导数以及自变量之间的关系的方程,就叫做微分方程。
微分方程差不多是和微积分同时先后产生的,苏格兰数学家耐普尔创立对数的时候,就讨论过微分方程的近似解。
牛顿在建立微积分的同时,对简单的微分方程用级数来求解。
后来瑞士数学家雅各布·贝努利、欧拉、法国数学家克雷洛、达朗贝尔、拉格朗日等人又不断地研究和丰富了微分方程的理论。
常微分方程的形成与发展是和力学、天文学、物理学,以及其他科学技术的发展密切相关的。
数学的其他分支的新发展,如复变函数、李群、组合拓扑学等,都对常微分方程的发展产生了深刻的影响,当前计算机的发展更是为常微分方程的应用及理论研究提供了非常有力的工具。
《常微分方程》教学大纲课程名称:常微分方程课程性质:专业必修课程代码:学分:4分总学时:72 学时适用专业:数学与应用数学专业先修课程:数学分析高等代数一、课程性质、目的与任务性质:常微分方程是高等师范院校数学专业的一门重要的基础课,是数学理论联系实际的重要学科之一。
目的与任务:通过常微分方程的教学,使学生掌握建立常微分方程模型的基本过程和方法,正确理解常微分方程的基本概念,掌握基本理论和基本方法,获得比较熟练的基本运算技能,对常微分方程的定性理论有初步的理解,培养学生分析问题和解决问题的能力,为学生学习数学的其它课程和物理学等有关课程打下基础,从而有助于学生胜任中学数学教学,为实施素质教育提供建模思想方面的训练和准备。
二、教学内容与教学基本要求第一章序言(4学时)第二章一阶常微分方程的初等解1、教学内容第一节变量分离方程与变量变换(5学时)第二节线性方程与常数变易法(3学时)第三节恰当方程与积分因子(6学时)第四节一阶隐方程与参数表示(2学时)第五节一阶常微分方程应用举例(可以分散在以上各节之中讲授)(2学时)2、教学要求理解变量分离方程,恰当方程,一阶隐方程与参数方程;、掌握变量变换法,积分因子法第三章一阶常微分方程的解的基本理论1、教学内容第一节一阶常微分方程初值问题的解的存在唯一性定理与逐步逼近法(6学时)第二节解的延拓(1学时)第三节解对初值的连续性和可微性(3学时)第四节奇解与曲线的包络(1学时)2、教学要求理解解的延拓,齐解熟练掌握解的存在唯一性定理与逐步逼近法掌握解对初值的连续性和可微性定理第四章高阶常微分方程1、教学内容第一节线性微分方程的一般理论(6学时)第二节常系数齐次线性微分方程的解法和欧拉方程(3学时)第三节非齐次线性微分方程的特解的求法(3学时)第四节高阶常微分方程的降价解法(1学时)第五节幂级数解法(1学时)第六节应用(振动问题)(2学时)2、教学要求理解高阶微分方程降阶和幂级数解法;掌握线性微分方程的一般理论;熟练掌握常系数线性方程的解法;第五章线性微分方程组1、教学内容第一节基本概念,线性微分方程组的向量,矩阵表示法(2学时)第二节线性微分方程组的一般理论(5学时)第三节常系数线性微分方程组的解法与矩阵指数(5学时)第四节基解矩阵的计算(4学时)2、教学要求理解存在唯一性定理;掌握线性微分方程组的一般理论;熟练掌握矩阵指数的定义和性质,理解矩阵的计算公式第六章常微分方程的定性理论初步1、教学内容第一节非线性微分方程的基本理论的叙述和运动稳定性概念(1学时)第二节二维线性微分方程孤立奇点的分类(2学时)第三节按线性近似决定奇点的分类与稳定性(1学时)第四节李雅普诺夫第二方法(1学时)第五节周期解与极限环(1学时)2、教学要求理解理解非线性微分方程的基本理论的叙述和运动稳定性概念,二维线性微分方程孤立奇点的分类,按线性近似决定奇点的分类与稳定性,李雅普诺夫第二方法,周期解与极限环。
《常微分方程》课程教学大纲一、课程基本信息课程代码:110044课程名称:常微分方程英文名称:Ordinary Differential Equation课程类别:专业必修课学时:45学 分:2.5适用对象: 信息与计算科学本科考核方式:考试先修课程:数学分析、高等代数二、课程简介本课程是信息与计算科学专业的专业必修课程。
常微分方程(ODE)涉及经济学、管理学、生物学、工程技术等很多学科,是各学科紧密相连综合交叉的一门新学科。
This course is information and the professional professional required course of calculation science. Often the differential calculus square distance(ODE) involve economics, management to learn, biology, engineering technique's etc. is a lot of academicses, is each academics is close and conjoint comprehensive cross of a new academics.三、课程性质与教学目的通过本课程的理论学习和实践训练,提高学生的常微分方程水平,加深微积分训练,加强与其他数学课、物理、化学、生态学等方面的横向联系,能够全面正确地分析常微分方程在几何、物理、化学等学科应用过程中所出现的问题。
培养学生初步建模的能力,为后续课程的学习打下良好的基础,将来能综合运用所学知识解决问题。
四、教学内容及要求第一章初等积分法(一)目的与要求介绍常微分方程的相关概念,阐述其基本功能、相应的解法和应用等。
1.掌握常微分方程的基本概念;2.掌握可分离变量方程、齐次方程的概念及它们的联系和解法;3.掌握一阶线性微分方程、伯努利方程的概念及它们的联系和解法;4. 掌握全微分方程与积分因子的概念和解法;5. 掌握可降阶的二阶微分方程的解法;6. 掌握微分方程的应用方法,能建立一些简单的模型。
《常微分方程》课程教学大纲(数学类各专业)泉州师范学院理工学院数学专业2008.01.20(修订)《常微分方程》课程教学大纲学时数:68(其中讲授52学时,习作课16学时)适应专业:数学类各专业先修课程:数学分析高等代数解析几何一、课程的地位、性质和任务:该课程是数学与应用数学专业、信息与计算科学专业的一门必修的专业基础课,也是数学联系实际的最重要的一门课程。
通过本课程的学习,使学生正确理解常微分方程的基本概念,掌握基本理论和主要方法,提高分析问题和解决问题的能力,培养学生应用数学知识解决实际问题的初步能力和创新精神,而且为后继的数学专业各课程准备解决问题的方法和工具,更是通向物理、力学、经济、金融等学科和工程技术的桥梁,为学生今后进一步学习和研究打下基础。
二、课程教学的基本要求:该课程在数学类各专业的第四学期开设,每周4课时,总学时数为68课时。
课堂上重点讲授常微分方程的基本概念、基本理论和研究的主要方法,重视把基本理论和主要方法应用于实际问题的研究。
习题课上注重基本解题能力的训练,配备一定数量的习题训练与讨论,并注意基本理论的应用与提高。
配备一定数量的课外作业以配合课堂教学,通过适量的课后练习,使学生充分理解并熟练掌握有关课堂教学内容。
教学中应重视介绍来源于实际的有关例子与问题,以培养学生应用数学知识解决实际问题的意识和创新精神。
三、课程主要内容及学时安排:课时分配表(一)、绪论(讲授4学时)1、教学要求:正确理解基本概念,了解微分方程来源于生产实际及其基本模型,了解常微分方程所要讨论的基本问题以及一阶微分方程解的几何意义。
2、教学内容:(1)实际问题导出微分方程模型举例;(2)基本概念:常微分方程与偏微分方程;微分方程的阶;线性与非线性;微分方程的解;特解与通解;初始条件;初值问题;(3)一阶微分方程的几何意义、方向场、积分曲线;(4)常微分方程所讨论的基本问题及近代发展简介。
(二)、一阶微分方程的初等解法(讲授10学时,习作课4学时)1、教学要求:熟练地求解变量分离方程、齐次方程(可化为齐次方程的方程)、线性方程、伯努利方程、恰当方程;掌握一阶隐式方程的几种可求解类型;初步会用变量变换思想与积分因子技巧解一些复杂的方程。
第二章目录内容提要及其它 (1)第二章一阶微分方程的初等解法(初等积分) (2)第一节变量分离方程与变量变换 (2)一、变量分离方程 (2)二、可化为变量分离方程的类型 (6)1、齐次方程 (6)2、可化为变量分离方程 (7)三、应用例题选讲 (10)第二节线性方程与常数变易法 (11)第三节恰当方程与积分因子 (15)一、恰当方程 (15)二、积分因子 (20)第四节一阶隐含方程与参数表示 (23)一、可以解出y(或x)的方程 (24)二、不显含y(或x)的方程 (25)本章小结及其它 (27)内容提要及其它授课题目(章、节)第二章:一阶微分方程的初等解法教材及主要参考书(注明页数)教材:常微分方程(第三版),王高雄等,高等教育出版社,2006年,p30-74主要参考书:[1]常微分方程,东北师范大学微分方程教研室编,高等教育出版社,2005,p1-70[2]常微分方程教程,丁同仁等编,高等教育出版社,1991,p1-20[3]偏微分方程数值解法(第2版),陆金甫关治,清华大学出版社,2004,p1-12[4]常微分方程习题解,庄万主编,山东科学技术出版社,2003,p28-169[5]微分方程模型与混沌,王树禾编著,中国科学技术大学出版社,1999,p15-158[6]差分方程和常微分方程,阮炯编著,复旦大学出版社,2002,p38-124目的与要求:掌握变量分离方程、齐次方程、线性方程、伯努利方程和恰当方程的解法.理解变量变换思想方法和积分因子方法,并能应用于求解一些特殊的常微分方程.掌握四类典型的一阶隐方程的解法.能熟练求解变量分离方程、齐次方程、线性方程、伯努利方程、恰当方程和四类典型的一阶隐方程.领会变量变换思想方法和积分因子方法,并能应用于求解一些特殊的常微分方程.教学内容与时间安排、教学方法、教学手段:教学内容:第1节变量分离方程与变量变换;第2节线性方程与常数变易法;第3节恰当方程与积分因子;第4节一阶隐方程与参数表示:可以解出(或y x)的方程、不显含(或y x)的方程.时间安排:8学时教学方法:讲解方法教学手段:传统教学方法与多媒体教学相结合。
第二章目录内容提要及其它 (1)第二章一阶微分方程的初等解法(初等积分) (2)第一节变量分离方程与变量变换 (2)一、变量分离方程 (2)二、可化为变量分离方程的类型 (6)1、齐次方程 (6)2、可化为变量分离方程 (7)三、应用例题选讲 (10)第二节线性方程与常数变易法 (11)第三节恰当方程与积分因子 (15)一、恰当方程 (15)二、积分因子 (20)第四节一阶隐含方程与参数表示 (23)一、可以解出y(或x)的方程 (24)二、不显含y(或x)的方程 (25)本章小结及其它 (27)内容提要及其它授课题目(章、节)第二章:一阶微分方程的初等解法教材及主要参考书(注明页数)教材:常微分方程(第三版),王高雄等,高等教育出版社,2006年,p30-74主要参考书:[1]常微分方程,东北师范大学微分方程教研室编,高等教育出版社,2005,p1-70[2]常微分方程教程,丁同仁等编,高等教育出版社,1991,p1-20[3]偏微分方程数值解法(第2版),陆金甫关治,清华大学出版社,2004,p1-12[4]常微分方程习题解,庄万主编,山东科学技术出版社,2003,p28-169[5]微分方程模型与混沌,王树禾编著,中国科学技术大学出版社,1999,p15-158[6]差分方程和常微分方程,阮炯编著,复旦大学出版社,2002,p38-124目的与要求:掌握变量分离方程、齐次方程、线性方程、伯努利方程和恰当方程的解法.理解变量变换思想方法和积分因子方法,并能应用于求解一些特殊的常微分方程.掌握四类典型的一阶隐方程的解法.能熟练求解变量分离方程、齐次方程、线性方程、伯努利方程、恰当方程和四类典型的一阶隐方程.领会变量变换思想方法和积分因子方法,并能应用于求解一些特殊的常微分方程.教学内容与时间安排、教学方法、教学手段:教学内容:第1节变量分离方程与变量变换;第2节线性方程与常数变易法;第3节恰当方程与积分因子;第4节一阶隐方程与参数表示:可以解出(或y x)的方程、不显含(或y x)的方程.时间安排:8学时教学方法:讲解方法教学手段:传统教学方法与多媒体教学相结合。
教学重点分析:熟悉各种类型方程的初等解法,并且能正确而又敏捷地判断方程的类型,从而用初等方法求解。
教学难点分析:本章的教学难点是判断微分方程的类型,以及方程的转化(即把能转化为用初等方法求解的方程)。
第二章 一阶微分方程的初等解法(初等积分)一阶微分方程的初等解法,即把微分方程的求解问题化为积分问题。
用数学方法经过有限次代数运算和作有限次不定积分,将微分方程的解用初等函数或初等函数的待积式来表达,这种方法,习惯上称为初等积分法或求积法。
能用初等积分法求解的微分方程称为可积方程。
初等积分法的实质,就是尽可能设法把所遇到的微分方程之求解问题转化为积分(求原函数)问题。
应当指出,只有少数特殊类型的微分方程,才可能用初等积分法求解,在多数情况下,初等积分法是不适用的。
因此,对于微分方程中常见的类型在什么情况下能用初等积分法求解,是一个很重要而又有实际意义的问题。
本章将着重研究一阶微分方程),('y x f y =中几类可积方程的求解问题。
同时对一阶隐式方程和高阶方程中的某些特殊可积函数类型的求解问题,也可作适当地介绍。
第一节 变量分离方程与变量变换一、变量分离方程形如)()('y x f y ϕ= (2.1)的方程,称为变量分离方程,这里)(),(y x f ϕ分别是y x ,的连续函数。
下面讨论方程(2.1)的解法。
如果0)(≠y ϕ,可将(2.1)改写为dx x f y dy)()(=ϕ 这样,变量就“分离”出来了。
两边积分,得到c dx x f y dy+=∫∫)()(ϕ (2.2)这里把积分常数明确写出来,而把c ∫∫dx x f y dy )(,)(ϕ分别理解为)(,)(1x f y ϕ的某一个原函数。
把(2.2)作为确定是y x 的隐函数的关系式。
于是,对于任一常数c ,微分(2.2)的两边,就知(2.2)所确定的隐函数满足方程(2.1),因而,(2.2)是(2.1)的通解。
注:如果存在,使0y 0)(0=y ϕ,直接代入,可知0y y =也是(2.1)的解,可能它不包含在方程的通解(2.2)中,必须予以补上。
例1 求解方程yx dx dy −= 解:将变量分离,得到:xdx ydy −=两边积分,有:22222cx y +−= 因而,通解为:c y x =+22这里是任意正常数,或者,解出c y ,写出显函数形式的解2x c y −±=例2 求解方程x y dxdycos 2=,并求满足初始条件:当0=x 时,1=y 的特解。
解:将变量分离,得到:xdx ydycos 2= 两边积分,有:c x y+−=sin 1因而,通解为:cx y +−=sin 1这里是任意正常数,此外,方程还有解c 0=y把初始条件当时,代入通解中,得:0=x 1=y 1−=c ,因而,所求特解为:xy sin 11−=例3 求y x p dxdy)(=的通解。
其中是)(x p x 的连续函数。
解:将原方程进行变量分离,得到dx x p ydy)(= 两边积分,即得:cdx x p y ~)(ln +=∫ 这里是任意常数,由对数定义,即有c dx x p e y ~)(+∫=即∫±=dx x p c e e y )(~令c e c ~±=,得到∫=dx x p ce y )( (2.4)此外,显然也是(2.3)的解,如果在(2.4)中允许0=c ,则0=y 也就包括在(2.4)中,其中c 是任意常数. 例4 求方程xydx dy = (2.5) 的通解.解 将方程(2.5)改写为(对称)形式0=−xdy ydx (2.6)当时,分离变量后积分,依次得:,x y ≠≠00xdx y dy = 1ln c x dxy dy +=∫∫ ()01>c1ln ln ln c x y += ()01>c取指数函数,得到:x c y 1= ()01>c或 cx x c y =±=1 (2.7)其中可以取正值也可以取负值,但不能为零。
因为在积分过程中的积分常数时无意义.c 01=c 讨论:和的情形.)0(0≠=x y )0(0≠=y x从方程(2.6)或(2.5)不难看出,0=y 是它的一个解,这个解是由于分离变量时用除而失掉的.如果认定常数可以取值0=c ,那么失掉的解0=y 就包含在解(2.7)中,故方程(2.6)即(2.5)的通解为cx y = (2.8)其中是任意常数,它可以在c 1R 上任意取值,这样一来,虽然在积分过程中,对积分常数作了一定限制,但最终结果表明,这个限制将被取消而不影响积分常数的任意性.当时,方程(2.5)的右端无意义,应该考虑方程0=x yxdy dx = 此方程的(对称)形式仍然是方程(2.6).显然也是方程(2.6)的一个解,而这个解不能从通解(2.7)中得到,因为只有0=x ∞→c 时才有.然而积分常数c 虽然可以任意取值,但所取的值都必须是有限制,所以说通解(2.7)中不包括解,如果允许c ,那么也就包括在通解(2.7)中.0=x 0=x ∞→所以,这个结果与用积分曲线方法求的解一样. 例5 R-L 电路(参见本书P4例2)如图(1.2)的R-L 电路,它包含电感L 电阻R 和电源E 。
设0=t 时,电路中没有电流。
问题:当开关K 合上后,电流I 应该满足的微分方程。
基本假定:假定R 、L 、E 都是常数。
解:第一步建立微分方程分析:引用关于电路的基尔霍夫(Kirchhoff )第二定律:在闭合回路中,所有支路上的电压的代数和等于零。
又有电学中的基本知识得:经过电阻R 的电压降是RI ,而经过电感L 的电压降是dtdI L , 于是,由基尔霍夫(Kirchhoff )第二定律得到:0=−−RI dtdILE (1.8) 或: LEI L R dt dI =+ (1.8’)求出的应当满足的条件:)(t I I =当时, (1.9)0=t 0=I 如果假定在时,,电源突然短路,因而E 变为零,此后亦保持为零,那么电流I 满足方程0t t =0I I =0=+I LRdt dI (1.10) 及条件:当时, (1.11) 0t t =0I I =第二步:利用分离变量方法求解微分方程仿例1的方法,利用分离变量法,联合(1.10)和(1.11)可以求解得到:t LR eC I −=0,其中,00LR eC =二、可化为变量分离方程的类型有的微分方程从表面上看,不是可分离变量的微分方程,但是,通过适当的变量替换,就可以很容易地化为“变量分离方程”,在这里,介绍两类这样的方程。
1、齐次方程形如(xyg dx dy = (2.9) 的方程,称为齐次方程,这里是的连续函数。
下面讨论齐次(2.9)的求解方法。
该方法的要点是:利用变量代换将(2.9)化为变量分离方程。
利用变换来解微分方程是一种常用的技巧。
作变量变换xyu =(2.10) 即ux y =,于是(求复合函数的导数)u dx du x dxdy += (2.11)将(2.10)和(2.11)代入(2.9),则原方程变为)(u g u dxdux=+ 整理后,得到xuu g dx du −=)( (2.12) 于是方程(2.12)就是一个分离变量方程。
例6 求解方程tan(xy x y dx dy +=。
解:解题要点: z 作变量变换xy u =z 求复合函数的导数; z 整理z 分离变量微分方程z 利用分离变量方法求解该微分方程注意:讨论零解是否在通解中?结果表明零解在通解中。
例7 求解方程)0(2<=+x y xy dxdyx 解:解题要点:z 改写原方程为齐次微分方程 z 作变量变换xy u =z 求复合函数的导数; z 整理z 分离变量微分方程z 利用分离变量方法求解该微分方程注意:讨论零解是否在通解中?结果表明零解不在所求通解中,于是要把零解补充完备。
例8 求解方程)0()ln('>=+xy xy y y xy 解:解题要点:z 变形:改写原方程为齐次微分方程:)0()ln()(>=xy xy y xy dxdz 变量变换:xy u =,则xuy =,代入原方程即可得到可分离变量方程: u u dxdu x ln = 分离变量后积分,依次得到:xdxu u du =ln cx u =lncx e u =原方程的通解为:cxcxe xy e xy 1==或下面再介绍一个可分离变量方程的应用。
2、可化为变量分离方程形如:222111c y b x a c y b x a dx dy ++++= (2.13) 的方程经过适当地变量变换可转化为变量分离方程。