常微分方程课程教学大纲知识分享

218．111．1常微分方程教学大纲<Ordinary Differential Equations>学分数 3 周学时 3+1一.说明1.课程名称: 常微分方程 <一学期课程>一学期： 4*18.2.教学目的和要求:<1>课程性质:本课程是数学系二年级必修课.本课程是数学系的一门基础课,一般安排在第三学期.它的前续课程是：数学分析、高等代数、解析几何、普通物理等.本课程是数学应用于物理、力学等的桥梁,是运用数学工具解决实际问题的重要工具和基础.也是加深理解数学分析、高等代数等课程的重要课程.<2>基本内容:本课程主要内容为常微分方程的理论与计算.包括以下内容:常微分方程问题的来源,简单常微分方程的初等解法,常系数线性方程解的结构〔以及解法〕,线性微分方程组理论与解法,微分方程基本理论,微分方程定性理论初步.<3>基本要求: 通过本课程的学习,学生对微分方程在实际问题〔包括数学本身以及物理、力学、经济、生物等各个领域〕中的应用有较好的认识,熟练掌握简单常微分方程的初等解法、常系数线性方程的解法和线性微分方程组的知识〔对于低阶方程组、简单的高阶方程组要会解〕,掌握微分方程〔组〕的基本理论,对微分方程〔组〕的定性理论有一定的了解.3.教学方式:课堂授课.4.考试方式:考试〔笔试〕.5.教材: 《常微分方程》,金福临,李训经等编,##科学技术,1984.参考书:《常微分方程》 V. I. 阿诺尔德著, 沈家骐,周宝熙,卢亭鹤译,科学, 2001.其他院校,例如大学、南京大学编写的常微分方程教材.二.讲授纲要第一章引论<10学时+4学时>§1.1. 常微分方程问题的来源<1学时>§1.2. 简单常微分方程的初等解法<4学时>§1.3. 高阶方程的降阶<3学时>§1.4. 两体问题 <2学时>本章教学要求:对微分方程在实际问题〔包括数学本身以及物理、力学、经济、生物等各个领域〕中的应用有较好的认识,熟练掌握简单常微分方程的初等解法和一些可以利用降阶解决的高阶常微分方程的求解.注：4学时为习题课第二章常系数线性微分方程 <6学时+2学时>§2.1. 一阶、二阶方程<2学时>§2.2. n阶常系数线性方程 <2学时>§2.3. 算子方法 <2学时>本章教学要求:熟练掌握常系数线性方程的解法.注：2时为习题课第三章线性方程组<12学时+4学时>§3.1. 向量值与矩阵值函数,线性微分方程组的矩阵向量表示.<1学时>§3.2. 线性微分方程组初值问题的存在唯一性定理 <2学时>§3.3. 线性微分方程组解的结构 <2学时>§3.4. 非齐次线性常微分方程 <1学时>§3.5. 常系数线性微分方程组的求解 <4学时>§3.6. 二阶变系数常微分方程 <2学时>本章教学要求:掌握线性微分方程组的知识,对于低阶方程组、简单的高阶方程组要具体会求解.注：4学时为习题课第四章微分方程的基本理论<10学时+3学时>§4.1. 初值问题解的纯在存在唯一性定理 <2学时>§4.2. 微分方程组的初值问题 <2学时>§4.3. 动力系统的基本概念 <2学时>§4.4. 微分方程组解关于初值和参数的可微性定理 <2学时>本章教学要求:掌握微分方程〔组〕的基本理论.注意把握逐次逼近法.注：3学时为习题课第五章微分方程定性理论初步<14学时+5学时>§5.1. 平面上初等奇点及其分类 <2学时>§5.2. 平面定性理论的基础—非线性二阶方程的周期解和极限圈 <4学时>§5.3. 非线性常微分方程解的稳定性定义 <2学时>§5.4. 稳定性的李雅普诺夫定理 <4学时>§5.5. 一次近似理论 <2学时>本章教学要求:对微分方程〔组〕的定性理论有一定的了解注：5学时为习题课学时安排说明: 本课程共需72学时, 在教学过程中,某些章节的学时可以根据学生的接受情况略有增减.另外,时间允许时,在第三章可以介绍周期系数的常微分方程.在第四章可以介绍连续右端的常微分方程.本纲要编写者: 楼红卫。

常微分方程知识点整理常微分方程是数学中的一个重要分支，研究描述自然界中各种变化规律的微分方程。

在物理、工程、经济学等领域具有广泛的应用。

本文将对常微分方程的基本概念、分类、求解方法等知识点进行整理。

一、常微分方程的基本概念常微分方程是指未知函数的导数及其自变量的关系式。

一般形式为dy/dx = f(x, y)，其中y是未知函数，x是自变量，f是已知的函数。

常微分方程可以分为一阶常微分方程和高阶常微分方程。

1. 一阶常微分方程：一阶常微分方程是指方程中只涉及到一阶导数的微分方程。

常见形式为dy/dx = f(x, y)。

其中f(x, y)是已知的函数，也可以是常数。

2. 高阶常微分方程：高阶常微分方程是指方程中涉及到二阶及以上导数的微分方程。

常见形式为d^n y/dx^n = f(x, y, dy/dx, ..., d^(n-1)y/dx^(n-1))，其中n为方程的阶数，f是已知的函数。

二、常微分方程的分类根据方程的形式和性质，常微分方程可以分为线性常微分方程、非线性常微分方程、齐次线性常微分方程等多种类型。

1. 线性常微分方程：线性常微分方程是指方程中未知函数及其导数之间的关系是线性的微分方程。

常见形式为a_n(x) d^n y/dx^n + a_(n-1)(x) d^(n-1)y/dx^(n-1) + ... + a_1(x) dy/dx + a_0(x) y = f(x)，其中a_n(x)、a_(n-1)(x)、...、a_1(x)、a_0(x)是已知的函数。

2. 非线性常微分方程：非线性常微分方程是指方程中未知函数及其导数之间的关系是非线性的微分方程。

常见形式为dy/dx = f(x, y)，其中f(x, y)是已知的非线性函数。

3. 齐次线性常微分方程：齐次线性常微分方程是指方程中没有常数项的线性常微分方程。

常见形式为a_n(x) d^n y/dx^n + a_(n-1)(x) d^(n-1)y/dx^(n-1) + ... + a_1(x) dy/dx + a_0(x) y = 0。

《常微分方程》教学大纲课程编号：121013A课程类型：□通识教育必修课□通识教育选修课□专业必修课□专业选修课□√学科基础课总学时：48 讲课学时：32 实验（上机）学时：16学分：3适用对象：数学与应用数学（金融方向）先修课程：微积分、线性代数毕业要求：1.掌握数学、统计及计算机的基本理论和方法2.建立数学、统计等模型解决金融实际问题3.具备国际视野，能够与同行及社会公众进行有效沟通和交流一、课程的教学目标《常微分方程》是本科生二年级的基础课。

常微分方程有着悠久的发展历史和极其丰富的内容，一种基本的数学工具，常微分方程在数学学科与其他学科领域，诸如数值分析、优化理论、微分方程、概率统计、运筹学、控制论、系统工程等学科都有广泛的应用，甚至在经济管理中，常微分方程的理论和方法也起着十分重要的作用。

现代科学技术的发展，特别是计算机技术的发展，为常微分方程的应用开辟了更广阔的前景，因此，学习和(掌握)常微分方程的基本理论和方法，对于学生运用数学方法解决经济问题具有极大帮助。

二、教学基本要求本课程系统介绍求解各类微分方程的方法、常微分方程的基本理论与方法等；采用“少而精”的原则，通过循序渐进的方法，使学生对常微分方程的基本理论与方法具有较为系统的概略认识；贯彻理论与实际相结合的原则，培养学生分析问题和解决问题的能力。

本课程以教师讲授为主，辅以课堂讨论，课后学生自主学习、推荐参考教材及参考书目。

重视师生的互动，做到课上课下有交流，注意培养学生的自主性学习能力和创造性思维。

课程讲授一学期，周课时为3学时，共51学时。

期末考试采用闭卷形式。

平时成绩（包括作业和课堂讨论、答问情况）、出勤率占总评成绩的百分之二十；期末考试成绩占总评成绩的百分之八十。

三、各教学环节学时分配以表格方式表现各章节的学时分配，表格如下：教学课时分配四、教学内容第一章绪论微分方程与解 (1) 微分方程、阶、解。

(掌握)(2) 隐式解、通解与特解。

常微分方程课程教学大纲课程代码：课程中英文名称：常微分方程/ Ordinary Differential Equations开课学期：4学分/学时：3.5/64课程类別：必修课；专业核心课程适用专业/开课对象：数学与应用数学/二年级本科生先修/后修课程：数学分析、高等代数、解析几何/数学物理方程、动力系统初步开课单位：数理与信息工程学院团队负责人：陈凤娟执笔人：赵晓华核准系主任：杨敏波一．课程性质、教学目标和毕业要求《常微分方程》是大学数学与应用数学专业的核心课程。

常微分方程是由自变量、未知函数及其未知函数导数组成的方程式，是数学学科的重要研究对象，也是描述现实世界运动过程中变量与变量之间关系的重要数学模型。

《常微分方程》课程与数学分析、高等代数、解析几何等前期课程密切相关，后者为前者提供了必要概念、方法等分析研究基础。

通过本课程的系统学习，使学生了解常微分方程的发展概况，深刻理解常微分方程的基本概念，掌握基本理论和主要方法；提高学生分析问题、解决问题的水平，培养严密的逻辑思维能力，为进一步学习后续偏微分方程和动力系统等相关课程打下扎实的基础。

其具体的课程教学目标为：课程教学目标1：了解常微分方程的产生背景、基本思想、以及发展历程；理解常微分方程在整个科学发展历史中的意义；掌握常微分方程的基本概念、基本方法和基本结论。

了解常微分方程与中学数学相关概念的联系。

课程教学目标2：通过该课程的学习和训练，增强学生综合运用数学分析、高等代数、解析几何等前置课程的基本概念、方法和结果的能力，培养严密的逻辑思维和综合解题的能力。

课程教学目标3：初步具备从实际问题出发，以常微分方程为基础建立数学模型的能力。

能借助数学软件工具分析常微分方程模型解决问题的实践过程中，体会到常微分方程等数学理论方法的应用价值。

本课程重点支持以下2个毕业要求指标点：毕业要求指标3-2 掌握分析学科基础的理论知识和思想方法，具备优良的分析功底和逻辑推理能力、数学表达能力。

《常微分方程》知识点常微分方程，又称ODE（Ordinary Differential Equation），是研究未知函数的导数与自变量之间的关系的数学学科。

常微分方程在科学和工程领域中有着广泛的应用，涉及到许多重要的数学原理和方法。

下面将介绍常微分方程的一些重要知识点。

1.基本概念-常微分方程的定义：常微分方程是描述未知函数在其中一区域上的导数与自变量之间的关系的方程。

-方程的阶数：常微分方程中最高阶导数的阶数称为方程的阶数。

-解和解集：满足常微分方程的未知函数称为方程的解，所有满足方程的解的集合称为方程的解集。

2.常微分方程的分类-分离变量法：适用于可以通过变量分离的常微分方程，将所有含有未知函数的项移到方程的一边，其他项移到方程的另一边，然后两边同时积分求解。

-齐次方程：适用于可以化为齐次方程的常微分方程，通过进行变量的代换，将方程转化为一个只含有未知函数的项的齐次方程，然后求解。

-线性齐次方程：适用于可以化为线性齐次方程的常微分方程，通过变量的代换，将方程转化为一个只包含未知函数和其导数的项的线性齐次方程，然后求解。

-非齐次方程：适用于非齐次方程的常微分方程，可以通过对应的齐次方程的解和特解的叠加，得到非齐次方程的解。

-可降阶的方程：这类方程具有特殊的形式，通过进行变量的代换，可以将高阶常微分方程转化为一阶或者低阶的方程，然后求解。

3.常微分方程的解法-解析解：指通过直接计算得到的解析表达式，能够准确地求得方程的解。

-数值解：指通过数值计算的方法，例如欧拉法、龙格-库塔法等，近似求解方程的解。

4.常用的一阶常微分方程- 可分离变量的方程：形如dy/dx = f(x)g(y)，通过将变量分离，然后积分求解得到解析解。

- 齐次方程：形如dy/dx = f(y/x)，通过进行变量的代换，将方程转化为一个只含有未知函数的项的齐次方程，然后求解。

- 线性方程：形如dy/dx + p(x)y = q(x)，通过变量的代换，将方程转化为一个只包含未知函数和其导数的项的线性齐次方程，然后求解。

《常微分方程》教学大纲一、课程基本信息课程代码：课程名称：常微分方程英文名称：Ordinary differential equation课程类别：专业课学时：54学分：3适用对象: 数学类本科生考核方式：考试先修课程：数学分析、高等代数二、课程简介常微分方程是高等师范院校数学系各专业的重要基础课，也是应用性很强的一门数学课。

微分方程课的目的一方面使学生学好作为数学基础的常微分方程课，以便为后行课数理方程、微分几何、泛函分析作好准备；另一方面培养学生理论联系实际和分析问题解决问题的能力。

三、课程性质与教学目的1、本课程是数学类专业的基础之一，授课对象为本科数学类专业学生。

在讲授和学习时，应注重提高学生分析问题和解决问题的能力，培养学生良好的逻辑思维习惯，让学生掌握全面考虑问题的思维方法，这将有助于学生们顺利地学习其他专业理论课。

2、本课程主要内容包括：⑴一阶微分方程的解法；⑵二阶微分方程的初等解法；⑶一阶微分方程的解的存在定理；(4) 高阶微分方程与线性微分方程组；(5) 线性微分方程和稳定性理论。

3、本大纲的教学总时数为54学时（含习题课），各章节教学时数的具体分配，请参考附表。

4、本课程以课堂讲授为主，讨论辅导为辅，课堂练习与课外作业相结合。

5、在制定本教学大纲时，为了明确对教学大纲中所列具体内容的要求程度，将本要求分为由低到高的三个等级，即对概念和理论性的知识，由低到高分别用“知道”、“了解”、“理解”三级区分，对运算、方法和应用方面的知识，由低到高分别用“会或能”、“掌握”、“熟练掌握”三级区分。

四、理论教学内容与教学基本要求1、第一章绪论（4学时）(1)某些物理过程的数学模型(2)基本概念：常微分方程，偏微分方程，阶、线性、非线性，特解，通解，初始条件，定解问题，一阶微分方程的几何意义，方向场，积分曲线。

教学目的及要求：向学生介绍微分方程的轮廓。

教学重点与难点：基本概念、导出微分方程的例子。

教学大纲一、教学目的、任务常微分方程历来是综合性大学数学系各专业的核心基础课程，不仅是进一步学习泛函分析、数理方程、微分几何的必要准备，本身也在工程力学、流体力学、天体力学、电路振荡分析、工业自动控制以及化学、生物、经济等领域有广泛的应用. 通过本课程学习，不仅为后行课程打下基础，而且以穿插其中的在历史上成功利用微分方程解释实际现象的著名范例来培养学生用数学理论解决实际问题的意识和初步能力. 实行中英双语教学，适时穿插工程实践背景的应用分析，培养学生的动手能力和创新意识.二、教学内容的结构分为六章内容讲解，具体地：1.微分方程建模（8学时）;2.初等积分法(12学时);3.线性系统(8学时);4.常系数线性系统(12学时，包括若干振动问题4学时);5.一般理论(12学时);6.定性理论初步(12学时).三、单元教学目标与任务第一章绪论1、基本内容(1) 常微分方程模型（含Duffing机械振动、Van de Pol电磁震荡、天文二体问题、生态种群竞争系统、物理化学系统）;(2) 微分方程求解思想（解的定义、高阶方程与一阶方程组的互化，微分方程的几何解释，包括等倾线与方向场分析等）;(3) 微分方程的基本问题（通解的概念，“线性”与“非线性”微分方程）.2、基本要求(1) 了解微分方程的背景和建模过程;(2) 理解微分方程的定解条件，尤其是初值条件;(3) 掌握高阶方程与一阶方程组的互化;(4) 理解等倾线与方向场与解的关系.3、建议课时（8学时）(1) 常微分方程模型(2学时);(2) 微分方程求解思想(4学时);(3) 基本问题(1学时);(4) 习题课(1学时).第二章初等积分法1、基本内容(1) 变量分离形式（含初等变换应用、一阶线性方程、伯努里方程、齐次方程和线性分式方程求解）;(2) 恰当方程形式（对恰当方程求通积分，以及积分因子法）;(3) 隐式方程（微分法与参数法）;(4) 初等积分法的一些应用（奇解与包络并引伸出解的存在唯一性问题，Clairaut方程，高阶微分方程，平面保守系统，Riccati方程）.2、基本要求(1) 掌握分离变量法和积分因子法;(2) 理解恰当方程的条件;(3) 掌握一阶线性方程和伯努里方程求解，掌握求解隐式微分方程微分法与参数法;(4) 了解奇解与包络.3、建议课时（12学时）(1) 变量分离形式及习题课(4学时);(2) 恰当方程形式及习题课(3学时);(3) 隐式方程(2学时);(4) 初等积分法的一些应用及习题课(3学时).第三章线性方程1、基本内容(1) 存在性与唯一性;(2) 齐次线性方程组的通解结构（含叠加原理、Wronsky行列式及Liouville定理）;(3) 非齐次线性方程组的通解（含通解结构、常数变易法和常数变易公式）;(4) 高阶线性方程;(5) 复值解和级数解法（为常系数问题的特征理论打基础）.2、基本要求(1) 掌握叠加原理、Wronsky行列式及Liouville定理;(2) 掌握非齐次线性方程组通解结构、常数变易法和常数变易公式;(3) 理解线性方程组的复值解和高阶线性方程线性理论;(4) 了解级数解法.3、建议课时（8学时）(1) 存在性与唯一性(2学时);(2) 齐次线性方程组的通解结构(2学时);(3) 非齐次线性方程组的通解及习题课(2学时);(4) 高阶线性方程(1学时);(5) 复值解和级数解法(1学时).第四章常系数线性方程1、基本内容(1) 齐次问题（常系数高阶齐次线性方程及其特征值与基本解组的关系）;(2) 非齐次问题（非齐次方程特解算子解法、算子与逆算子思想）;(3) 常系数线性方程组（Euler待定指数函数法，基本解矩阵，重特征根情形的基本解矩阵，矩阵指数函数exp(At)、Jordan标准型）;(4) 应用: 机械振动（机械振动问题，谐振、共振、拍振等各种振动现象）.2、基本要求(1) 掌握基本解矩阵和Euler待定指数函数法;(2) 理解重特征根情形的基本解矩阵的计算思想并掌握计算方法;(3) 掌握常系数高阶线性方程的算子解法;(4) 了解机械振动问题.3、建议课时（12学时）(1) 齐次问题(2学时);(2) 非齐次问题(2学时);(3) 习题课(1学时);(4) 常系数线性方程组(3学时);(5) 应用: 机械振动及习题课（4学时）.第五章一般理论1、基本内容(1) Picard存在唯一性定理（含Lipschitz条件、Picard迭代序列、一维压缩计算实验）;(2) Peano存在性定理（含Euler折线法、等度连续性、介绍Ascoli-Arzela引理）;(3) 解的延拓（含延拓基本定理、整体存在性条件、有限时间爆破）;(4) 微分不等式与比较定理;(5) 解对初值和参数的依赖性（连续依赖性，可微性，对初值和参数的导数满足的微分方程）;(6) 微分方程数值解（数值计算和仿真实验）.2、基本要求(1) 掌握Picard存在唯一性定理的结论及证明;(2) 理解解的延拓定理和解对初值和参数的连续依赖性和可微性;(3) 理解Peano存在性定理;(4) 了解解的数值逼近.3、建议课时（12学时）(1) Picard存在唯一性定理（2学时）;(2) Peano存在性定理（2学时）;(3) 解的延拓及习题课（2学时）;(4) 微分不等式与比较定理（2学时）;(5) 解对初值和参数的依赖性（2学时）;(6) 微分方程数值解及习题课（2学时）.第六章定性理论初步1、基本内容(1) 动力系统概念（含自治系统轨道基本性质、极限点集）;(2) Liapunov稳定性（Liapunov稳定性概念、用特征值和Gronwall不等式判断）;(3) Liapunov直接法（构造Liapunov函数）;(4) 平面平衡点分析;(5) 周期轨道与Poincare映射（含离散周期现象介绍）;(6) 平面Hamilton系统.2、基本要求(1) 了解动力系统概念;(2) 掌握稳定性概念和特征值判定;(3) 理解李雅普诺夫直接法和轨道基本性质及极限点集性质;(4) 掌握平面初等奇点判定;(5) 了解极限环与周期现象;(6) 了解平面Hamilton系统.3、建议课时（12学时）(1) 动力系统概念（2学时）;(2) Liapunov稳定性（2学时）;(3) Liapunov直接法及习题课（2学时）;(4) 平面平衡点分析（2学时）;(5) 周期轨道与Poincare映射（2学时）;(6) 平面Hamilton系统及习题课（2学时）.四、教学活动以及教学方法上的基本要求1．采用“大班授课、小班研讨”的教学模式，即由主讲教师设计课程改革方案并承担大班教学工作，研究生助教负责组织小班研讨及其他辅助工作。

《常微分方程》教学大纲课程名称：常微分方程学时：54学分：课程性质：专业必修课考核方式：考试开课对象：一、教学目的常微分方程是数学各专业必修的基础课之一，目的是要学习和逐步掌握常微分方程的基本理论和方法，学习建立和解决确定性数学模型的思想方法，把数学理论和方法运用到解决实际问题中去。

本课程要求学生能熟练掌握各类微分方程的基本解法，理解和掌握常微分方程的基本理论：存在唯一性定理和线性常微分方程的基本理论。

二、课程内容及学时分配第一章初等积分法（16学时）了解微分方程的背景和基本概念，熟练掌握各类一阶方程(变量分离方程、齐次方程、一阶线性方程、全微分方程、隐式微分方程)、高阶方程的基本解法。

第二章基本定理 (12学时)理解并掌握存在唯一性定理及证明方法—逐次逼进法，掌握解的延拓定理和解的存在区间。

理解解对初始值与参数的连续性，了解解对初始值的可微性。

了解奇解概念和会求奇解。

会应用存在唯一性定理。

第三章一阶线性微分方程（12学时）理解并掌握线性方程与方程组的基本理论：齐次和非齐次线性方程解的性质、函数线性关系、Wronsky行列式、基本解组、齐次和非齐次线性方程的通解结构定理、Liouville公式。

方程组基解方阵的性质。

第四章 n阶线性微分方程（14学时）熟练掌握常系数线性方程与方程组的解法（高阶非齐次可只讲待定系数法，算子法，Laplace 变换可不讲）。

高阶方程的特征方程方法，方程组的基解矩阵求法，指数矩阵exp(At)求法，通解。

三、教材及教学参考书教材：东北师范大学微分方程教研室，常微分方程（第二版），北京：高等教育出版社.2005教学参考书：常微分方程讲义，王柔怀、伍卓群编，高教出版社。

常微分方程讲义，叶彦谦编，人教出版社。

常微分方程稳定性理论，许松庆编，上海科技出版社。

常微分方程定性理论，张芷芬等编，科学出版社。

四、说明本课程成绩评定方法：平时成绩30%；期末成绩70%。

《常微分方程》知识点整理常微分方程是微分方程的一种，是研究一个独立变量和一个或多个其导数（常见的是一阶或二阶导数）之间关系的方程。

常微分方程在物理、工程、生物学等领域起着重要作用，广泛应用于实际问题的建模和求解过程中。

1.常微分方程的基本定义常微分方程是指未知函数及其导数之间的一个或多个方程。

它可以是一个方程或一组方程，通常描述了函数值与其导数之间的关系，而不涉及到偏导数。

常微分方程可以分为线性常微分方程、非线性常微分方程等多种类型。

2.常微分方程的阶数常微分方程的阶数是指方程中导数的最高阶数。

常见的常微分方程有一阶常微分方程和二阶常微分方程。

一阶常微分方程形式为dy/dx = f(x, y)，二阶常微分方程形式为d^2y/dx^2 = f(x, y, dy/dx)。

3.常微分方程的初值问题常微分方程的初值问题是指在给定一定条件下求解微分方程的解的过程。

它通常通过确定未知函数在其中一点的值以及其导数在该点的值来确定微分方程的解。

求解初值问题需要借助于初值条件和积分常数等概念。

4.常微分方程的解法常微分方程的解法主要包括分离变量法、常数变易法、特征方程法、变量代换法等。

这些方法能够将微分方程转化为容易求解的形式，从而得到微分方程的解析解。

5.常微分方程的数值解法对于复杂的微分方程或无法求得解析解的微分方程，可以采用数值解法进行求解。

常见的数值解法包括欧拉法、改进的欧拉法、龙格-库塔法等，通过数值逼近的方式得到微分方程的近似解。

6.常微分方程的应用常微分方程广泛应用于物理学、工程学、生物学等领域的建模和分析过程中。

例如，牛顿第二定律、振动系统、生物种群动力学等问题都可以用常微分方程来描述和求解。

7.常见的常微分方程问题常见的常微分方程问题包括一阶线性微分方程、二阶线性微分方程、常系数微分方程、非齐次微分方程等。

这些问题在实际应用中经常遇到，求解这些问题需要掌握基本的微分方程理论和方法。

总的来说，常微分方程是微分方程理论中的一个重要分支，它研究了函数与导数之间的关系，并在实际问题的建模和求解中发挥着关键作用。

常微分方程课程教学大纲及实施意见一、课程的性质与任务常微分方程是数学的一个重耍分支，也是数学理论联系实际的重耍渠道之一，它是与微积分同时产生和发展起來的。

随着科学技术和数学各分支的发展，常微分方程的理论FI益丰富多采，富有生命力。

常微分方程是大学数学专业的一门皋础课，在教学计划屮是选修课，它在解析几何、数学分析、高等代数之后开课,本课程着重讲授常微分方程理论中一些最皋本、最重要的经典问题和一些简单的应用，例如初等解法，解的理论，线性方程的理论和解法，一阶线性和拟线性偏微分方程的理论和解法，为了使学生对常微分方程的进一步内容有所了解，本课程也简略地介绍了常微分方程定性理论和稳定性理论。

通过本课程的学习，使学生正确理解常微分方程的基本概念,掌握基本理论和主耍方法,具冇一定的解题能力，为学习本学科的近代内容和后继课程打下基础C二、课稈内容、要求与说明（一）初等积分法（学吋数26）内容1.基本概念：常微分方程和偏微分方程，线性方程和非线性方程，阶，解（通解、特解、隐式解），初值条件，初值问题。

2.可分离变量的方程。

3.齐次方程dy/dx=ip（y/x）4.一阶线性方程,常数变易法,伯努力方程。

5.全微分方程与积分因子。

6.方向场，微分方程的几何意义。

7.一阶隐式微分方程（可解出dy/dx的方程，克莱洛方程，奇解）8.几种可降阶的二阶方程:d2y/dx2=f（x, dy / dx）, d 2 y / dx 2 =f （y, dy / dx）。

9.微分方程的应用举例（物理与几何方面的简单应用）教学要求1.理解线性方程与井线性方稈，阶，解（通解，特解，隐式解），初值条件，初值问题等概念。

2.熟练掌握可分离变量的方程，齐次方程，一阶线性方程；们努力方程，全微分方程的求解方法。

3.掌握常数变易法，记住一阶线性方程的通解表达式。

4.了解变量变换和积分因子在求解微分方程屮的作用，会作简单的变量变换和会用简单的积分因子解微分方程。

教学大纲1、课程基础：本课程是数学学科的专业基础课，需要数学分析，线性代数和普通物理中的力学部分作为学习基础。

2、教材及主要参考书：教材：[1] 常微分方程，伍卓群、李勇，高等教育出版社, 2004。

主要参考书：[2] 常微分方程讲义，王柔怀、伍卓群，高等教育出版社，1963。

[3] 常微分方程讲义(第二版)，叶彦谦，人民教育出版社，1982。

[4] 常微分方程教程，丁同仁、李承治，高等教育出版社，1991。

3、教学内容和要点：第一章初等积分法一、学习目的要求掌握微分方程的相关概念；能熟练应用初等积分法求解典型类型方程；能灵活应用各种变换求方程的解；掌握一阶隐方程的解法。

二、主要教学内容1. 例子与概念2. 典型方程的解法3. 解题的灵活性4. 一阶隐方程，高阶方程与黎卡提方程第二章线性方程一、学习目的要求理解并掌握线性方程的一般理论，包括初值问题解的存在与唯一性、齐次和非齐次线性方程的通解的结构、边值问题解的存在性和马赛拉准则，掌握求解高阶线性微分方程的降阶法和复值解的概念。

二、主要教学内容1. 解的存在性与唯一性2. 齐次线性方程的通解的结构3. 非齐次线性方程的通解的结构4. 边值问题和周期解5. 线性微分方程的一些求解方法6. 线性方程的复值解第三章常系数线性方程一、学习目的要求掌握常系数齐次线性方程（组）的解法；能熟练应用算子解法求解非齐次线性方程；了解拉氏变换法；二、主要教学内容1. 常系数齐次线性方程的解法2. 常系数齐次线性方程组的解法3. 算子解法4. 拉氏变换法*第四章一般理论一、学习目的要求理解并掌握一般非线性微分方程的一般理论：包括初值问题的皮卡存在与唯一性定理、皮亚诺存在定理、柯西存在与唯一性定理、解的延展与解的整体存在性以及解对初值与参数的连续性与可微性，了解求解非线性方程的连续性方法。

二、主要教学内容1. 皮卡存在与唯一性定理2. 皮亚诺存在定理3. 柯西存在与唯一性定理*4. 解的延展与解的整体存在性5. 解对初值与参数的连续性6. 解对初值与参数的可微性7. 解非线性方程的连续性方法*第五章定性理论一、学习目的要求理解李雅普诺夫意义下解的稳定性定义，会运用第一近似方法和李雅普诺夫第二方法判别方程平衡解的稳定性；掌握一般定性理论的基本概念；掌握平面动力系统的奇点类型和闭轨附近的动力学行为；了解系统的结构稳定性，分支与浑沌等概念；掌握首次积分的定义和性质；了解守恒系统的基本性质。

《常微分方程》课程大纲《常微分方程》课程大纲一、课程简介课程名称：常微分方程学时/学分：3/54先修课程：数学分析，高等代数,空间解析几何，或线性代数（行列式，矩阵与线性方程组，线性空间F n，欧氏空间R n，特征值与矩阵的对角化）, 高等数学（多元微积分，无穷级数）。

面向对象：本科二年级或以上学生教学目标：围绕基本概念与基本理论、具体求解和实际应用三条主线开展教学活动，通过该课程的教学，希望学生正确理解常微分方程的基本概念，掌握基本理论和主要方法，具有一定的解题能力和处理相关应用问题的思维方式，如定性分析解的性态和定量近似求解等思想，并希望学生初步了解常微分方程的近代发展，为学习动力系统学科的近代内容和后续课程打下基础。

二、教学内容和要求常微分方程的教学内容分为七部分，对不同的内容提出不同的教学要求。

(数字表示供参考的相应的学时数，第一个数为课堂教学时数，第二个数为习题课时数)第一章基本概念（2，0）（一）本章教学目的与要求：要求学生正确掌握微分方程，通解，线性与非线性，积分曲线，线素场（方向场），定解问题等基本概念。

本章教学重点解释常微分方程解的几何意义。

（二）教学内容：1．由实际问题：质点运动即距离与时间关系（牛顿第二运动定律），放射性元素衰变过程，人口总数发展趋势估计等，通过建立数学模型，导出微分方程。

2．基本概念（常微分方程，偏微分方程，阶，线性，非线性，解，定解问题，特解，通解等）。

3．一阶微分方程组的几何定义，线素场（方向场），积分曲线。

4．常微分方程所讨论的基本问题。

第二章初等积分法（4，2）（一）本章教学目的与要求：要求学生熟练掌握分离变量法，常数变易法，初等变换法，积分因子法等初等解法。

本章教学重点对经典的几类方程介绍基本解法，勾通初等积分法与微积分学基本定理的关系。

并通过习题课进行初步解题训练，提高解题技巧。

（二）教学内容：１. 恰当方程（积分因子法）; ２. 分离变量法３. 一阶线性微分方程（常数变易法）４. 初等变换法（齐次方程，伯努利方程，黎卡提方程）5．应用举例第三章常微分方程基本定理（10，2）（一）本章教学目的与要求：要求学生正确掌握存在和唯一性定理及解的延伸的含义，熟记初值问题的解存在唯一性条件，正确理解解对初值和参数的连续依赖性和可微性的几何含意。

《常微分方程》课程教学大纲（数学类各专业）泉州师范学院理工学院数学专业2008．01．20（修订）《常微分方程》课程教学大纲学时数：68（其中讲授52学时，习作课16学时）适应专业：数学类各专业先修课程：数学分析高等代数解析几何一、课程的地位、性质和任务：该课程是数学与应用数学专业、信息与计算科学专业的一门必修的专业基础课，也是数学联系实际的最重要的一门课程。

通过本课程的学习，使学生正确理解常微分方程的基本概念，掌握基本理论和主要方法，提高分析问题和解决问题的能力，培养学生应用数学知识解决实际问题的初步能力和创新精神，而且为后继的数学专业各课程准备解决问题的方法和工具，更是通向物理、力学、经济、金融等学科和工程技术的桥梁，为学生今后进一步学习和研究打下基础。

二、课程教学的基本要求：该课程在数学类各专业的第四学期开设，每周4课时，总学时数为68课时。

课堂上重点讲授常微分方程的基本概念、基本理论和研究的主要方法，重视把基本理论和主要方法应用于实际问题的研究。

习题课上注重基本解题能力的训练，配备一定数量的习题训练与讨论，并注意基本理论的应用与提高。

配备一定数量的课外作业以配合课堂教学，通过适量的课后练习，使学生充分理解并熟练掌握有关课堂教学内容。

教学中应重视介绍来源于实际的有关例子与问题，以培养学生应用数学知识解决实际问题的意识和创新精神。

三、课程主要内容及学时安排：课时分配表（一）、绪论（讲授4学时）1、教学要求：正确理解基本概念，了解微分方程来源于生产实际及其基本模型，了解常微分方程所要讨论的基本问题以及一阶微分方程解的几何意义。

2、教学内容：（1）实际问题导出微分方程模型举例；（2）基本概念：常微分方程与偏微分方程；微分方程的阶；线性与非线性；微分方程的解；特解与通解；初始条件；初值问题；（3）一阶微分方程的几何意义、方向场、积分曲线；（4）常微分方程所讨论的基本问题及近代发展简介。

（二）、一阶微分方程的初等解法（讲授10学时，习作课4学时）1、教学要求：熟练地求解变量分离方程、齐次方程（可化为齐次方程的方程）、线性方程、伯努利方程、恰当方程；掌握一阶隐式方程的几种可求解类型；初步会用变量变换思想与积分因子技巧解一些复杂的方程。

常微分方程教学大纲第一部分大纲说明一、课程的作用与任务“常微分方程”课程是中央广播电视大学本科开放教育数学与应用数学专业的统设必修课。

常微分方程是一门与微积分一起成长起来的学科，是自然学科中表述各种基本规律的根本工具之一，已经成为数学联系实际问题的重要手段之一。

近些年来，常微分方程的研究与应用已经深入到自然科学和社会科学的众多领域，并且成功地揭示了许多自然和社会现象的内在规律。

本课程的任务是要使学生掌握常微分方程的基本理论和方法，增强运用数学手段解决实际问题的能力。

学习本课程，学生应具备微积分和高等代数的基础知识。

通过本课程的学习，还能为其它后继课，如微分几何、数学物理方程和泛函分析初步等课程的学习做好必要的准备。

二、课程的目的与要求1.学习常微分方程基本理论时，学生要注意了解学科的理论特征，理解其思维方式，掌握基本的推理方法。

2.常微分方程的求解方法主要包含在初等积分法，线性方程与线性方程组的代数解法中，这是学习常微分方程的基本功，要求学生熟练掌握。

3.线性系统理论是常微分方程理论中不多见的比较完整的理论，其内容与线性代数的有关知识有密切关系，通过这部分内容的学习，使学生在高等代数有关理论的框架下，对常微分方程线性系统理论有更深层次的理解，有助于学生对数学理论的统一性加深理解。

4.定性理论是常微分方程近代理论中重要的研究方向，本课程简略介绍问题的背景、解决问题的方法和重要结果，以此引发学生进一步深入学习常微分方程的兴趣。

5.由于常微分方程是一门与实际问题联系紧密的学科，在教学中，尽量多安排一些在物理、化学、生态学及几何学中常见的与之有关的实际问题，培养学生把实际问题转化成为数学问题的能力。

三、课程的教学要求层次教学要求中，有关定义、定理、性质、特征等概念的内容按“知道、了解和理解”三层次要求；有关计算、解法、公式和法则等方法的内容按“会、掌握、熟练掌握”三个层次要求。

第二部分学时、教学安排、教材与教学环节一、学时和学分1．本课程共54学时，学时分配为：章号内容课内学时电视学时IP学时备注1 初等积分法14 5 72 基本定理93 43 线性微分方程组9 3 54 线性微分方程145 75 定性理论简介8 2 4合计54 18 272.学分本课程共3学分。

《常微分方程》课程教学大纲（Ordinary Differential Equation）一、课程说明课程编码：07100090、课程总学时（理论总学时/实践总学时）60（45/15）、周学时（理论学时/实践学时）4（3/1）、学分4、开课学期四。

1．课程性质：学科公共必修课2．适用专业与学时分配：适用于数学与应用数学专业。

教学内容与时间安排表3．课程教学目的与要求：本课程是数学类专业一门学科专业必修课，授课对象为数学专业二年级本科生。

通过常微分方程的教学，要求学生掌握建立常微分方程模型的基本过程和方法，正确理解常微分方程的基本概念，掌握基本理论和基本方法，获得比较熟练的基本运算技能，对常微分方程的定性理论有初步的理解。

开设此课程的目的是在学生学习与掌握常微分方程的基本理论与方法的基础上，培养学生逻辑推理能力、分析问题和解决问题的能力，为学生学习数学的其它课程和物理学等有关课程打下基础，从而有助于学生胜任中学数学教学，为实施素质教育提供建模思想方面的训练和准备。

4．本门课程与其它课程关系：先修课程为数学分析，高等代数。

学生应掌握数学分析，高等代数的基本理论和方法；并为数学物理方法奠定基础。

5．推荐教材及参考书：[1]东北师范大学微分方程教研室编，常微分方程。

北京，高等教育出版社，2005[2]周义仓等编，《常微分方程及其应用》，科学出版社，2003年。

[3]张晓梅等编，《常微分方程》，复旦大学出版社，2010年6．课程教学方法与手段：传统教学与现代多媒体技术相结合。

7．课程考试方法与要求：平时成绩与期末成绩相结合。

总成绩=平时成绩*20%+期末考试（闭卷）试卷成绩*80%。

平时成绩满分100（出勤60%+平时作业20%+平时测验20%）8．实践教学内容安排：学生分组讨论解决相关的课程内容及习题。

二、教学内容纲要第一章初等积分法（20学时）1.教学目的与要求熟练掌握变量分离方程、齐次方程及可化为齐次方程的方程、一阶线性方程、伯努利方程、全微分方程、几种特殊类型的一阶隐方程和可降阶的高阶方程的求解方法。