数学建模抢渡长江问题
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抢渡长江的另一种数学模型 问题：“渡江”是武汉城市的一张名片。1934年9月9日，武汉警备旅官兵与体育界人士联手，在武汉第一次举办横渡长江游泳竞赛活动，起点为武昌汉阳门码头，终点设在汉口三北码头，全程约5000米。有44人参加横渡，40人达到终点，张学良将军特意向冠军获得者赠送了一块 银盾，上书“力挽狂澜”。 2001年，“武汉抢渡长江挑战赛”重现江城。2002年正式命名为“武汉国际抢渡长江挑战赛”，定于每年的5月1日进行。由于水情、水性的不可预测性，这种竞赛更富有挑战性和观赏性。 2002年5月1日，抢渡的起点设在武昌汉阳门码头，终点设在汉阳南岸咀，江面宽约 1160米。当日的平均水温16.8℃，江水的平均流速为1.89米/秒。参赛的国内外选手共186人（其中专业人员将近一半），仅34人到达终点，第一名的成绩为14分8秒。除了气象条件外，大部分选手由于路线选择错误，被滚滚的江水冲到下游，而未能准确到达终点。 假设在竞渡区域两岸为平行直线, 两岸的垂直距离为 1160 米, 从武昌汉阳门的正对岸到汉阳南岸咀的距离为 1000米，见图1。下面借助数学模型解决如下问题： （1）假定在竞渡过程中游泳者的速度大小和方向不变，且竞渡区域每点的流速均为 1.89 米/秒。如果2002年第一名是按最优路径游泳的，试说明她是沿着怎样的路线前进的，求她游泳速度的大小和方向。 （2）在（1）的假设前提下，试为一个速度能保持在1.5米/秒的人选择最佳的游泳方向，并估计他的成绩。 （3）在（1）的假设下，如果游泳者始终以和岸边垂直的方向游, 他(她)们能否到达终点并说明为什么 1934年和2002 年能游到终点的人数的百分比有如此大的差别；给出能够成功到达终点的选手的条件。
1160m
1000m 长江水流方向
终点: 汉阳南岸咀
图1 起点: 武昌汉阳门 （4）流速沿离岸边距离的分布为 (设从武昌汉阳门垂直向上为 y轴正向)： 米米秒，米米米秒，米米米秒，米1160960/47.1960200/11.22000/47.1)(yyyyv (1) 游泳者的速度大小（1.5米/秒）仍全程保持不变，试为他选择游泳方向和路线，估计他的成绩。 （5）流速沿离岸距离为连续分布
米米秒，米米米秒，米米米秒，米1160960/)1160(20028.2960200/28.22000/20028.2)(yyyyyyv
游泳者的速度大小（1.5米/秒）仍全程保持不变，试为他选择游泳方向和路线，估计他的成绩。 一、 模型分析（略） 二、 模型假设 （1）在游泳过程中，游泳者的速度可以保持恒定不变 （2）竞渡区域内各点水流速度不变 （3）两岸是保持平行的 （4）游泳过程中游泳者之间互不影响 三、 模型建立 1.设游泳者的速度大小和方向均不随时间变化，即令)sincos()(uutu，
，而流速
)0,()(vtv， 其中u 和 v 为常数, 为游泳者和x 轴正向间的夹角。于是游泳者的路线
(x(t), y(t)) 满足
cos,(0)0,()sin,(0)0,()dxuvxxTLdtdyuyyTHdt
(1)
T是到达终点的时刻。 令cosz，如果 (1) 有解, 则
221,1)()(,)()(zTuHtzutyvuzTLtvuztx
（2）
y
x L
0
H u v
图1 因为21)()(zuvuzHLtytx 所以游泳者的路径一定是连接起、终点的直线，且 2222221LHHLTuzvuuzvvuz
（3）
若已知L, H, v, T, 由（3）可得 zTvTLuvTLHvTLz,
)(22 （4）
由（3）消去 T 得到 )(12vuzHzLu （5）
给定L, H, u , v的值，z满足二次方程 02)222222222uLvHuvzHzuLH（ （6）
（6）的解为 2222221222()()HvLHLuHvzzHLu， （7） 方程有实根的条件为 22LHHvu（8）为使（3）表示的T最小，由于当L, u, v 给定时, 0dzdT， 所以(7) 中z 取较大的根, 即取正号。将（7）的z1代入（3）即得T，或可用已知量表示为
2222222)(vuLvvHuLHT
（9）
以H = 1160 m, L = 1000 m, v= 1.89 m/s 和第一名成绩T=848 s 代入（4），得z= , 即 =，u=1.54 m/s。 2. 以H = 1160 m, L = 1000 m, v= 1.89 m/s 和u=1.5 m/s代入（7），（3），得z= , 即 =1220，T=910s，即15分10秒。 3. 游泳者始终以和岸边垂直的方向（y轴正向）游, 即 z = 0, 由（3）得T =L/v≈529s, u= H/T≈2.19 m/s。游泳者速度不可能这么快，因此永远游不到终点, 被冲到终点的下游去了。 式（8）给出 了能够成功到达终点的选手的速度，其几何意义为：以速度向量v的终点为圆心，u 为半径做半圆，O与半圆上任意一点的连线为可能的合速度方向，当u小于v到OA的距离时，合速度方向一定指向终点A的下游，游泳者无法到达终点。反之，当u为半径的半圆与有唯一交点时，合速度方向就是最优的游泳方向。当u为半径的半圆与有两个交点时，合速度大的方向就是最优速度。对于2002年的数据，H = 1160 m, L = 1000 m, v= 1.89 m/s，只要u >1.43 m/s就能到达终点。假设1934年竞渡的直线距离为5000 m, 垂直距离仍为H = 1160 m, 则L=4864 m, 仍设v= 1.89 m/s，则游泳者的速度只要满足 u >0.44 m/s，就可以选到合适的角度游到终点。两次游到终点人数百分比差别的主要原因是游泳者路线（速度方向与水流方向的夹角）选择错误，被流水冲到下游。 4. 如图2，H分为H=H1+H2+H3 3段，H1= H3=200 m, H2=760 m, v1= v3=1.47 m/s，v2= 2.11m/s, 游泳者的速度仍为常数 u=1.5 m/s, 有v1，v3< u, v2> u, 相应的游泳方向1，2为常数。路线为ABCD, AB平行CD。L分为
L=L1+L2+L3, L1=L3, 据（8），对于v2> u, L2应满足
)752222222muuvHL（ （10）
因为v1< u, 故对L1无要求。 对于确定的L1，L2，仍可用1中的公式计算游泳的方向和时间。 因为L1=L3= ( L -L2)/2，由 (9) 知所需要的总时间为
21212212122221222222222222222/))4/)(2)(vuvLLvHuLLHvuvLvHuLHT（（
（11） ,180))arcsin((1131uTH 180))arcsin((222uTH
用枚举法作近似计算：将L2从760 m到1000 m每20 m一段划分，相应的L1，L3从120 m到0 m每10 m一段划分。用Matlab编程计算，可知L1=L3=100(m)，L2 =800(m) 时T=(s)最小，即成绩为15分5秒，相应的游泳方向1=3=，2=。 用求解带有边界条件的一元函数的最优解方法求解可得：
L1
C D B 2 1
H3
H1
u u A
3
u
L2
H2
v2
v1
v3
图2 L1 当1=3=，2= ，L1=L3=(m)，L2 =(m) 时T=(s) 方法二：
21sin760sin400minuu
. 21222111001000sin760)cos(sin400)cos(uuvuuv 解法：非线性约束优化问题的解法，结果同上 5. H仍分为3段，对于流速连续变化的第1段H1=200 m，方程（1）变为
11111)(,0)0(,sin)(,0)0(,cosHTyyudt
dy
LTxxyHvudt
dx
（12）
其中v（=2.28m/s）为常数, 仍设游泳者的速度大小和方向均不随时间变化，及cosz，若(1) 有解，则
)(,1)()(,21)(11211212TyHtzutyTxLuzttHzuvtx （13）
是一条抛物线。类似于1中的作法得到，给定L, H, u , v的值，z满足二次方程 044)422122121222121uLvHuvzHzuLH（ （14）
取绝对值较小的根，为
uLHvHuLHLvHz)(2)(4212122122121121 （15）
有实根的条件为
2121
12LHHvu
（16）将（15）的z代入（13）得第1段的时间
