极化恒等式
等于（）
例2:（2014江苏）在平行四边形中，已知,2
,
3
,5
,8=
∙
=
=
=AD
AB则AD
AB∙的值
的取值范围是
1111
PN
PM
例5：.△ABC中，∠C=,AC=4,BC=3,D是AB的中点，E,F分别是边BC，AC上的动点，且EF=1，则
一、求数量积的值
1.（2016年高考江苏卷第13题）如图，在ABC
∆中，D是BC的中点，F
E,是AD的两
个三等分点，1
,4-
=
∙
=
∙CF
BF
CA
BA，则=
∙ .
2.（2012年高考浙江卷理科第15题）在ABC
∆中，M是BC的中点，,
10
,3=
=BC
AM
则=
∙ .
3.（2011年高考上海卷理科第11题）在正ABC
∆中，D是BC上的点，,1
,3=
=BD
AB
则=
∙AD
AB .
4.（2015年全国高中数学联赛四川赛区预赛第11题）在矩形ABCD中，
,4
,3=
=AD
AB P为矩形ABCD所
在平面上一点，满足,
21
,2=
=PC
PA则=
∙ .
二、界定数量积的取值范围
5.（2015年郑州市高三第一次质量预测理科第11题）在ABC
Rt∆中，N
M
CB
CA,
,3
=
=是斜边AB上的两个
动点，且,2
=
MN则∙的取值范围为（）
A.⎥
⎦
⎤
⎢⎣
⎡
2
5
,2 B. []4,2 C. []6,3 D. []6,4
三、探求数量积的最值
6.（2017年高考全国II卷理科第12题）已知ABC
∆是边长为2的等边三角形，P为平面内一点，则
()
+
∙的最小值是（）
A.2
- B.
2
3
- C.
3
4
- D. 1
-
7.（2018•天津）如图，在平面四边形ABCD中，AB⊥BC，AD⊥CD，∠BAD=120°，
AB=AD=1．若点E为边CD上的动点，则的最小值为（）
A．B．C．D．3
8.（2016年高考浙江卷理科第15题）已知向量,2
,1
,
,=
=b
a
b
a若对任意单位向量e，
均有,6
≤
∙
+
∙e
b
e
a则b
a∙的最大值是 .
四、处理长度问题
9.（2008年高考浙江卷理科第9题）已知b
a,是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c满足
()(),0=
-
∙
-c
b
c
a则c的最大值是（）
A.1
B. 2
C. 2
D. 2
2
10.（2013年高考重庆卷理科第10题）在平面内，.
,1
2
1
2
1
AB
AB
AB
AB+
=
=
=
⊥
2
1
<,
的取值范围是（）
A. ⎪⎪
⎭
⎫
⎢
⎣
⎡
2
5
,0 B. ⎥
⎦
⎤
⎝
⎛
2
7
,
2
5
C. ⎥
⎦
⎤
⎝
⎛
2
,
2
5
D. ⎥
⎦
⎤
⎝
⎛
2
,
2
7
11.（2017年高考浙江卷理科第15题）已知向量b
a,满足：,2
,1=
=b
a则b
a
b
a-
+
+的最小值是，最
大值是 .
12.（2013年高考天津卷文（理）科第12题）在平行四边形ABCD中，E
BAD
AD,
60
,1︒
=
∠
=为CD的中点.
若1
=
∙，则=
AB .
13.（2012年全国高中数学联赛湖南赛区预赛第11题）若边长为4的正方形ABCD沿对角线BD折成平面角大
小为︒
60的二面角，则边BC的中点与点A的距离为 .
14.（2012年全国高中数学联赛黑龙江预赛题）设P是椭圆1
9
16
2
2
=
+
y
x
上异于长轴端点的任意一点，2
1
,F
F分秒杀秘籍：极化恒等式：()()
[].
12
2
b
a
b
a
b
a
-
-
+
=
∙
