振动理论06(1-2)-非线性振动

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振动理论06(1-2)-非线性振动

6.1 非线性系统的举例●在粘性阻尼条件下，系统的运动微分方程为线性二阶常微分方程⏹线性振动理论能表征很多实际问题⏹对于不能用常系数线性微分方程来描述的物理系统，需要讨论非线性微分方程●忽略质量变化，单自由度系统的运动方程的一般形式可以写为⏹带有非线性特征的系统称为非线性系统，其运动称为非线性振动或者非线性响应⏹叠加原理不适用于非线性系统⏹通常，非线性振动不是简谐的，其频率随振幅改变非线性现象的一个重要类型是弹性恢复力与变形不成比例硬化弹簧软化弹簧32014/11/14质量附在长度为的拉直的弦AB 的中部，弦的初始张力用表示。

令质量在弦的横向上离开平衡位置的距离为，弦中产生的弹性恢复力如图(b )所示该系统自由振动方程：对称硬化弹簧的例子2014/11/144由几何关系代入运动方程显然这是一个非线性方程如果认为是小振动，有，因此52014/11/14●单摆，重，长度。

单摆离开竖直位置的夹角为, 单摆关于轴的回复力矩为，绕轴的转动方程为●代入质量的惯性矩, 有●小振幅情况为简谐振动，●振幅较大，对称软化弹簧的例子2014/11/14 6对比两种情况的非线性方程72014/11/14硬化情形分段线性化恢复力2014/11/148软化情形92014/11/14●如果动力荷载使结构或机器部件变形时超出了材料弹性范围，造成的运动称为非弹性响应●一建筑的二维矩形钢框架，受横向力作用于屋顶。

如果柱的弯曲刚度小于梁的弯曲刚度，随着荷载无限增加，在柱的两端会形成所谓的塑性铰。

102014/11/14●对应的载荷-位移曲线●实验表明，最大的正力和最大的负力在数值上是相等的●滞后回线关于原点对称2014/11/1411线性软化弹性卸载反向加载弹性卸载●曲线部分常常用直线代替，用以模拟真实的材料行为●双线性非弹性恢复力2014/11/1412双线性●理想弹塑性恢复力●滞后回线表示的能量耗散在这里被假定通过塑性铰损失掉，结构的其余部分依然保持能量守恒●这种能量耗散机制称为滞后阻尼2014/11/1413刚塑形带有摩擦抗力的单自由度系统及其滞后回线142014/11/14●下图两个问题在数学上是相同的⏹前者是属于刚塑形恢复力的情况，弹性变形与塑形范围相比很小⏹后者是没有弹簧的质量在摩擦力的阻滞下运动⏹除粘性阻尼外，其它类型的耗散机制均导致非线性⏹通常，假定质量、阻尼和刚度特征不随位移、速度和加速度而改变。

(振动理论课件)非线性振动概述

➢ 由于处理非线性振动问题的数学工具尚不完备，数值方法起着非常重要甚至是不可替代的作用。数值方法在非线性振动中的突出作用是发现新现象，这已成为非线性振动现代发展的突出特点。
气象学家洛伦兹教授在科学上是敏锐的，他并没有在经典科学中寻找问题的答案，而是另辟蹊径地解答现象背后的深层次的科学问题。他认为天气的变化是一个庞大而又复杂的非线性动力学系统，用传统的线性动力学模型是无法描述那些非周期性和对初始条件的敏感依赖性。
在复杂系统中，常常存在着系统发生的临界点。用著名的耗散结构理论的创始人普里高津的话来说，系统存在着分叉点和涨落机制，任何一个从经典科学来看不足为奇的小小干扰，往往会导致系统从稳定转向不稳定，或从不稳定趋向稳定
非线性世界的发现
非线性世界是由一位气象学家发现的。
➢千百年以来,关于明天是晴还是雨，人们都是通过对云彩的观察凭借经验估计。科学家一直希望天气变化的预报，能像日月食和潮汐那样可以预言。
➢20世纪60年代初，美国麻省理工学院著名气象学家洛伦兹教授最早尝试用计算机模拟天气。这种尝试完全是凭借着一种信念：自然是有规律的，规律是可以认识的。一旦人们掌握了这种规律，知道了初始条件，就可以通过逻辑和数学必然性的桥梁，模拟过去，预见未来。
➢ 而上述各种实际现象在现代工程技术中愈来愈频繁地出现。早在 1940 年美国塔可马 (Tacoma)吊桥因风载引起振动而坍塌的事故就是典型的非线性振动引起破坏的例子。
➢ 有必要发展非线性振动理论，研究对非线性系统的分析和计算方法，解释各种非线性现象的物理本质，以分析和解决工程技术中实际的非线性振动问题。
非线性振动概述
➢几何方法—研究非线性振动的定性分析方法
❖ 传统的几何方法在常微分方程定性理论的基础上，根据相轨迹的几何性质判断微分方程解的性质。利用相平面内的奇点和极限环作为平衡状态和孤立周期运动的几何表述。

振动理论作业答案y-作业

小质量m的绝对速度为： 2 & & & & & & && va = x12 + y12 = 4R2θ 2 + x2 + 4x2θ 2 + 4Rxθ cos3θ −8Rxθ 2 sin3θ
3
第5章分析力学基础
习题
第5章分析力学基础
习题
r sinα = Rcos3θ 方法2： ΔOBA中 2 2 2 有：r = R + x − 2 Rx cos(90° − 3θ ) = R 2 + x 2 − 2 Rx sin 3θ 小质量m的绝对速度
ω
2 2
2+ 2 k = J 2
ω
2 R
k = 3J
3k ω′ = 10 J
2 R
ω
2 1
2 1
k ≈ 4J
⎫ 2 θ2 )⎪ ⎪ 2 ⎬ 2 θ2 )⎪ ⎪ 2 ⎭
方法1：广义坐标、频率和主振型都与题3－3相同。待定常数由初始角速度为零，初始转角为[0, 0.01]T，代入下式得到。（ ω 不等于 ω1和 ω2）
1 ⎤ ⎧ A1 cos (ω1t − ϕ1 ) ⎫ ⎧θ1 ⎫ ⎡ 1 ⎨ ⎬=⎢ ⎬ ⎥⎨ ⎩θ 2 ⎭ ⎣ 2 − 2 ⎦ ⎩ A2 cos (ω 2t − ϕ 2 )⎭
+
kT sin ω t ⎧ ⎫ 1 ⎬ 2 2 2 ⎨ 2 J ω − 4 Jk ω + k ⎩ ( 2 k − 2 J ω )T sin ω t ⎭
习题
⎧1 ⎪ (θ1 + θ ⎪2 1 ⎤ ⎧ y1 ⎫ −1 ⎧ 1 ⎫ 1 ⎤ 1 ⎡ 1 ⎡1 ⎨ ⎬ = [u ] ⎨ ⎬ = ⎨ [u ] = [u] = ⎢ ⎢ ⎥ ⎩θ 2 ⎭ ⎪ 1 2 J ⎣ 2 − 2 ⎦ ⎩ y2 ⎭ 2 − 2⎥ ⎣ ⎦ ⎪ 2 (θ1 − ⎩

非线性振动_绪论

0.4 非线性振动的主要研究问题
• (1) 确定平衡点及周期解；（系统响应） • (2) 研究平衡点及周期解的稳定性；（局部性态） • (3) 研究方程参数变化时，平衡点及周期解个数的变化及形态（稳定性）变化，即分岔与混沌运动； • (4) 研究在一定初始条件下系统长期发展的结果。（解的全局形态）
3非线性振动系统的共振曲线不同于线性振动系统存在跳跃和滞后现象非线性振动系统的共振曲线不同于线性振动系统存在跳跃和滞后现象4某些有阻尼的非线性振动系统会出现自激振动振幅不衰减某些有阻尼的非线性振动系统会出现自激振动振幅不衰减?线性系统中自由振动总是衰减的esinntxat??5强迫振动系统有超谐波响应和次谐波响应成分?简谐激振力作用下的非线性系统响应波形除了与激振力频率相同的谐波外还含有频率为激振频率的几分之一即频率为的次谐波响应及频率为激振频率的整数倍即频率为的超谐波响应nm为正整数?由于存在次谐波与超谐波振动非线性系统共振频率的数目将多于系统的自由度nm6多个简谐激振力作用下的组合振动?如激励为?响应中的频率含mnnm12为正整数ftft1122coscos和7存在频率俘获现象?在非线性振动系统中当系统以振动受到另一激励时系统可能以其中之一的频率振动即频率俘获128在一定条件会出现分叉现象与混沌运动duffing方程的倍周期分叉现象与混沌运动03非线性振动问题的研究方法????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????等价线性化法谐波平衡法伽辽金法多尺度法渐进法平均法小参数法摄动法近似法解析法
6 闻邦椿等.非线性振动理论中的解析方法及工程应用. 东北大学出版社，2001年 7 刘延柱，陈立群.非线性振动.北京：高等教育出版社，2001年 8 陈予恕.非线性振动. 北京：高等教育出版社，2002年 9 闻邦椿等.工程非线性振动. 北京：科学出版社， 2007年

(振动理论课件)非线性振动概述

而线性常微分方程的数学理论已十分完善，因此将非线性系统以线性系统代替是工程中常用的有效方法，但仅限于一定的范围。 ➢ 至于什么属于线性振动问题，在未说明该系统预期工作范围之前没有明确答复。因为系统中某些部件响应与其激励之间的关系可能会依赖与其工作范围
非线性振动概述
➢ 当非线性因素较强时，用线性理论得出的结果不仅误差过大，而且无法对自激振动、参数振动、多频响应、超谐和亚谐共振、跳跃现象等实际现象作出解释。
A
几何非线性
➢几何非线性—例2
单摆振动方程 gsin 0
l 这是一个非线性方程，对于小偏角，sin
可以得到足够精确的线性方程 g 0
l
可得单摆的固有振动周期为 T 2 l 与摆角无关，具有等时性
g
但是对于较大的偏角，必须考虑动非线性的影响。如果偏角并不十分大，可以对sinθ展开成泰勒级数只取前两项，
非线性振动概述
➢几何方法—研究非线性振动的定性分析方法
❖ 传统的几何方法是利用相平面内的相轨迹作为对运动过程的直观描述。
❖ 在常微分方程定性理论的基础上，根据相轨迹的几何性质判断微分方程解的性质。利用相平面内的奇点和极限环作为平衡状态和孤立周期运动的几何表述。
❖ 因此，关于奇点的类型和稳定性的研究，关于极限环的存在性和稳定性的研究，以及稳定性随参数变化的研究，是传统几何方法讨论的主要内容。
➢ 在工程问题中，稳态运动往往对应于机械系统的正常工作状态。这种工作状态必须是稳定的，因为只有稳定的运动才是可实现的运动。
非线性振动的定性分析方法
➢ 相平面法是最直观的定性分析方法，它只适用于单自由度系统
➢ 相平面法利用相轨迹描绘系统的运动性态。相轨迹的奇点和极限环分别对应于系统的平衡状态和周期运动。

非线性振动概述

非线性振动概述
一、关于非线性振动
1、什么是非线性振动：指不能用线性微分方程所能描述的运动。
2、发生非线性振动的根本原因是：振动系统由于某种因素而处于非线性状态。
（1）内在的非线性因素
※ 例如振动系统由于振幅过大，而出现了非线性恢复力
例如单摆：恢复力矩为
当 50 时
sin 1 3 1 5
2、参数振动：漏摆，荡秋千等可作为参数振动的实例；而航天器液体燃料
自由面的振荡对飞行的影响则是当代科研的前沿；对圆柱容器中的水面上、下铅直振动时所发生的参量振动既是古老的话题，（1831年法拉第研究过）也是当今热极一时的“混沌”的一个例子。
4
0
A x
X 0/
/
例10－12 轻质弹簧下挂一个小盘，小盘
以小物体与盘相碰时为计时零点，以新平衡位置为原点，即当t=0时，x>0, v>0。可知，与之对应的位相角在第四相象限，所以选（D）
6
例10－11 一质点在x轴上作简谐振动，振幅A＝4cm，周期 T＝2s，其平衡位置取作坐标原点。若t＝0时质点第一次通过x＝－2cm处且向X轴负方向运动，则质点第二次通过x＝－2cm处的时刻为
F x, x2 v, v2
对以上所述的非线性因素中，只要出现其中一种，系统的振动就是非线性的。即使振动系统本身是线性的（或说所有内在的非线性因素都可忽略），若受到外来的非线性策动力的作用，其振动也是非线性的。
针对具体的非线性因素，系统的振动形式是完全不同的。 3、非线性系统的本质特点是：
3! 5!
M mgl sin mgl( 1 3 1 5)
6 120
弹簧振子，当振幅过大，亦出现非线性现恢复力，即
F k1x k2 x 2 k3 x3

频率分裂原理相关书籍

关于频率分裂原理的研究，通常涉及到物理学中的振动理论、波动理论以及相关的数学方法。

这个概念在机械工程、物理学和电子工程等领域中都有应用。

以下是一些可能会涉及到频率分裂原理或相关内容的书籍：1. 《振动理论》（Mechanical Vibrations）- S. Rao这本书详细介绍了振动理论的基础知识，包括单自由度系统、多自由度系统、连续系统的振动分析等内容，可能会涉及到频率分裂的概念。

2. 《波动物理》（The Physics of Waves）- Howard Georgi波动物理是频率分裂现象的理论基础，本书将帮助你理解波动的基本概念，以及频率如何在不同的物理环境中发生变化。

3. 《应用谐振理论》（Applied Resonance Theory）- 不同作者这类书籍通常会讨论共振现象，其中可能包含频率分裂原理的内容，尤其是在探讨系统的自然频率和受迫频率时。

4. 《固体物理学》（Solid State Physics）- Ashcroft & Mermin对于材料科学和凝聚态物理感兴趣的读者，这本经典教材提供了晶体结构、电子性质、晶格振动等方面的深入讨论，其中晶格振动部分可能会讨论到频率分裂现象。

5. 《非线性振动》（Nonlinear Vibrations）- 不同作者当系统的振动行为偏离线性时，可能会出现复杂的频率分裂现象，这类书籍将讨论非线性系统的动力学行为。

6. 《电磁波理论与应用》（Electromagnetic Waves & Applications）- 不同作者在电磁学领域，频率分裂可能与波导、腔体和天线的设计相关，这类书籍可能会涉及到相关的理论和应用。

7. 《量子力学》（Quantum Mechanics）- 不同作者在量子力学中，能级分裂是一个重要概念，它与频率分裂有着密切联系。

这类书籍会讨论量子系统的性质和测量结果，其中可能包括频率分裂的量子版本。

请注意，以上推荐的书籍可能需要一定的物理学和数学背景才能充分理解。

2024大学物理力学第八章机械振动

动contents •简谐振动•阻尼振动与受迫振动•振动的合成与分解•振动在介质中的传播•多自由度系统的振动•非线性振动与混沌目录01简谐振动简谐振动的定义与特点定义简谐振动是最基本、最简单的振动形式，指物体在跟偏离平衡位置的位移成正比，并且总是指向平衡位置的回复力的作用下的振动。

特点简谐振动的物体所受的回复力F与物体偏离平衡位置的位移x成正比，且方向始终指向平衡位置；振动过程中，系统的机械能守恒。

动力学方程根据牛顿第二定律，简谐振动的动力学方程可以表示为F=-kx，其中F为回复力，k为比例系数，x为物体偏离平衡位置的位移。

运动学方程简谐振动的运动学方程可以表示为x=Acos(ωt+φ)，其中A为振幅，ω为角频率，t为时间，φ为初相。

势能与动能在简谐振动过程中，系统的势能Ep和动能Ek都在不断变化，但它们的总和保持不变，即机械能守恒。

能量转换在振动过程中，势能和动能之间不断相互转换。

当物体向平衡位置运动时，势能减小、动能增加；当物体远离平衡位置时，势能增加、动能减小。

同方向同频率简谐振动的合成当两个同方向、同频率的简谐振动同时作用于同一物体时，它们的合振动仍然是一个简谐振动，其振幅等于两个分振动振幅的矢量和，其初相等于两个分振动初相的差。

同方向不同频率简谐振动的合成当两个同方向、不同频率的简谐振动同时作用于同一物体时，它们的合振动一般不再是简谐振动，而是比较复杂的周期性振动。

在某些特定条件下（如两个分振动的频率成简单整数比），合振动可能会呈现出一定的规律性。

相互垂直的简谐振动的合成当两个相互垂直的简谐振动同时作用于同一物体时，它们的合振动轨迹一般是一条复杂的曲线。

在某些特定条件下（如两个分振动的频率相同、相位差为90度），合振动轨迹可能会呈现出一定的规律性，如圆形、椭圆形等。

02阻尼振动与受迫振动阻尼振动的定义与分类定义阻尼振动是指振动系统在振动过程中，由于系统内部摩擦或外部介质阻力的存在，使振动幅度逐渐减小，能量逐渐耗散的振动。

振动理论及工程应用9 第十章非线性振动

从研究方法上或是振动过程的变化规律上，非线性振动与线性振动之间有本质区别。
研究非线性振动有两种基本方法
定性方法：
定性方法关心的是在已知解的邻域内系统的一般稳定性特征，并非寻求与时间相关的解。
定量方法：
定量方法关心的是运动的时间历程，一般应用摄动法来求得这类方程的近似解析解。
10.1 非线性振动的例子
x3
0
如果不再假设位移x很小，那么弹簧的弹性恢复
力一般地是位移x的非线性函数
一般非线性系统的运动微分方程可表示为
mx Fx 0
如果 xFx 0
则称弹性恢复力为硬特性恢复力（称为硬弹簧）；
如果 xFx 0
则称弹性恢复力为软特性恢复力（称为软弹簧）
例如
F x x x3 , 0
当 0 时表示硬弹簧；
1 2
稳定结点
1 2 稳定非正常结点
1 2
稳定星形结点
（2）两特征值均为正实数(p＜0 , p2≥ 4q＞0)，则平衡点是不稳定结点。分别称为不稳定结点，不稳定非正常结点和不稳定星形结点。图形分别与上图相似，但箭头方向相反。
（3）特征值为相异实数（q＜0），则平衡点称为鞍点，如图所示。
运动微分方程为
mx 2 S AEl sin 0
l
其中A, E和l分别表示钢丝的横截面积，弹性模量和长度增量；为钢丝与竖直线的偏角。
运动微分方程为
其中
mx 2 S AEl sin 0
l
l l 2 x2 l x2 2l
代入整理得
sin
x
x
l2 x2 l
mx
2S l
x
AE l3
微分方程式的一个解x=x(t), y=y(t)对应于相平面上的一条曲线，称为相轨迹，简称轨迹。

第一章非线性振动初步讲解

2 任意角度无阻尼单摆振动
单摆周期数学表达式
对方程
d 2 2 sin 0 0 2 dt
双曲点
乘以 d / dt 后积分其中 E 2 2 cos 0 0
d 2 E 20 cos dt
2
积分 d [2(cos cos )1 / 2 0 0
势能曲线
• 基本方程若取 0 1后积分得
d 2 2 sin 0 0 dt2
2
1 d cos E 2 dt 左边第一项是单摆动能 K，左边第二项是势能 V 右边积分常数E是单摆总能
势能曲线是余弦函数
V ( ) cos
3 无阻尼单摆的相图与势能曲线
2 dt 2
2 任意角度无阻尼单摆振动
单摆周期
周期与摆角无关？看看实验结果：
T/T0
双曲点
T0 2 / 0 2 l g ? T
0 1.0000 5 1.0005 10 1.0019 20 1.0077 30 1.0174 45 1.0369
定性结论： 1. 周期随摆角增加而增加 2. 随摆角增加波形趋于矩形
dt
0t
d [2(cos cos0 )]1/ 2
设t = 0时， 0 ，周期为 T，在 t T / 4时应有 0 ，故有：
0T / 4
0
0
2 sin 2 0 / 2 sin得：
1 2 2 0 1 3 2 4 0 T T0 1 sin sin 2 2 4 2 2
0 0
该式是振幅为P，角频率为 0 的简谐振动，其振动波形为正弦曲线。角频率只与摆线 l 得长度有关，与摆锤质量无关，称为固有角频率。

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振动理论(6-1)第6章具有非线性特征的系统陈永强北京大学力学系6.1 非线性系统的举例●在粘性阻尼条件下，系统的运动微分方程为线性二阶常微分方程⏹线性振动理论能表征很多实际问题⏹对于不能用常系数线性微分方程来描述的物理系统，需要讨论非线性微分方程●忽略质量变化，单自由度系统的运动方程的一般形式可以写为⏹带有非线性特征的系统称为非线性系统，其运动称为非线性振动或者非线性响应⏹叠加原理不适用于非线性系统⏹通常，非线性振动不是简谐的，其频率随振幅改变非线性现象的一个重要类型是弹性恢复力与变形不成比例硬化弹簧软化弹簧32014/11/14质量附在长度为的拉直的弦AB 的中部，弦的初始张力用表示。

如果柱的弯曲刚度小于梁的弯曲刚度，随着荷载无限增加，在柱的两端会形成所谓的塑性铰。

2014/11/14 15刚塑形理想弹塑性6.2 速度和周期的直接积分法具有非线性对称恢复力的无阻尼系统的自由振动或表示单位质量的弹性恢复力加速度表示为代入运动方程(c) 162014/11/14●假定单位质量的恢复力为如图所示●积分方程(c)，注意最大位移对应的速度为零(d)m(e)积分方程(e)，可得一周期之内任意部分的时间172014/11/14●一个完整周期为⏹给定恢复力解析表达式，上述积分可得系统固有周期●振动系统在任一点的单位质量的动能等于图中阴影部分表示的势能●平衡位置的动能为182014/11/14m几种特殊情况●弹性恢复力为的奇次幂的情况：●代入运动方程，并进行积分，有时，；时，●相应地，可以通过积分得到周期表达式192014/11/14●对于的线性情况()●时，恢复力正比于积分数值求解的结果为，周期这种情况下，振动周期与振幅成反比202014/11/14●如果弦的初始张力不为零，可设单位质量的恢复力有以下形式式中，,则相应的平衡位置最大速度可以表示为●自由振动的周期或212014/11/14把等式右边的椭圆积分转化为标准形式，令根据椭圆积分表是第一类椭圆积分，,222014/11/14对于本问题，有因此，周期可以用第一类椭圆积分记为232014/11/14●如果弹性性质偏离线性很小，可设，对应于线性恢复力的情况。

●如果及很大，的第一项可以忽略，, 因此的表达式为●其他属于两种极端之间的情况，必须数值计算, 并进一步查表确定响应椭圆积分的值242014/11/14软化弹簧的情形,252014/11/14●不同的可以近似模拟不同的硬化和软化弹簧●对于更一般的情况，可以用多项式来表征恢复力，仍然可以用椭圆积分来处理。

262014/11/14●运动方程●动能方程m m●周期积分方程●最大速度●周期mmm单摆问题2014/11/1427椭圆积分的标准形式引入记号，以及新的变量, 使得(v)可以求得(w)代入周期方程，即可得标准的第一类椭圆积分查表可以求得任意对应的方程的值最大转动位移很小时，的值也很小，在方程中可以忽略, 积分将等于, 即得小转动情况下的固有频率。

282014/11/14例题一包裹质量为m，包裹内有弹簧，从高处落到混凝土地板上。

根据实验，弹簧作用在质量上的恢复力可以近似表示为,是包裹内弹簧和质量之间的相对位移。

假定包裹与地板之间为非弹性冲击，确定其最大相对位移。

解下落的包裹受冲击的瞬间，其单位质量的动能为. 由单位质量的恢复力, 再由方程(6.9),所以有292014/11/146.3 自由振动的近似方法-Ritz平均法●考虑无阻尼系统的自由振动，其运动方程为●左侧两项分别代表单位质量的惯性力和弹性恢复力. 由D’Alembert原理，方程看成是两个力互相平衡的动力学平衡方程●令系统发生虚位移, 所有力的功等于零，因此有●首先假定一个自由振动的近似解式中，, 为选定的时间函数，为权系302014/11/14●虚位移为(t)●在一周内对虚功积分，有●并有以上n个代数方程联立求解，可得312014/11/14●考虑准线性方程●取自由振动的近似函数（一项）解解得从中解出，●更精确的满足对称性的近似结果可以通过假设以下的两项级数形式：322014/11/14332014/11/14振动理论(6-2)第6章具有非线性特征的系统陈永强北京大学力学系6.4 非线性受迫振动●假定系统具有与函数成比例的阻尼力，与函数成比例的弹性力，并受周期性激励的作用●采用Ritz法求解●先假定一个级数形式的稳态振动的近似解一周内的虚功为零，有352014/11/14●对于无阻尼情形，方程为称为Duffing方程。

⏹Duffing方程是非线性理论中常用的代表性微分方程，尽管是从简单物理模型中得出来的非线性振动模型，但是其模型具有代表性。

工程实际中的许多非线性振动问题的数学模型都可以转化为该方程。

●取一项近似的方程为●代入并积分q给出了稳态响应的与激励频率之间的关系362014/11/14硬化弹簧软化弹簧●上面两个方程可以看成是两个曲线的交点⏹等号左面的的立方函数和右面的线性函数⏹不同的对应不同的线性函数及两条曲线交点表示的解⏹可以建立横坐标为频率的谱分布372014/11/14●：在图(a)中标为斜线与曲线交于点，对应于图(b)中的竖直线 ,与曲线交于●：在图(a)中标为的斜线与曲线交于点，对应于图(b)中●: 在图(a)中标为●的水平线，在线性系统中代表共振，在这种情况下，仅仅是对应两个点对：点和硬化弹簧情况2014/11/14 38●随频率比继续增加，斜线的斜率增加，会达到一个临界条件：斜线与曲线上部相交()，同时在曲线的下部某点()相切；在图(b)中对应的响应谱上的两点()均发生于临界频率(), 即响应谱具有无限大斜率()。

●图(a)中比较陡的线，与曲线有三个交点()，在响应谱中分别对应().●利用以上方法，可构造出图(b)中的实线392014/11/14●图(b)中的虚线为硬化弹簧响应谱中的双曲渐近线⏹对应着非线性自由振动⏹令，得到自由振动的振幅-频率关系为●不同荷载值对应的一族响应谱曲线如图中的细实线所示●其临界点的连线如图中的点划线所示，其方程为⏹可以通过对方程微分得到●外荷载变化，即外载幅值和频率变化，系统振幅随之变化●对于硬化弹簧，幅值越大，或者频率越接近，导致的越大，弹簧愈刚硬，固有频率越大, 图(b)中的渐近虚线向频率轴的正方向弯曲●临界点处振幅随频率变化增加最快402014/11/14●线和均与立方曲线有三个交点；●线●与曲线有一个交点，并与曲线相切；●线❍和⏹与曲线各有一个交点●图(a)中的点在图(b)中有对应点.●响应谱在点有一个竖直切线⏹临界频率发生在受迫频率小于线性系统的共振频率软化弹簧2014/11/14 41中令, 得图(b)虚线对应的方程：是一个表示自由振动的椭圆。

422014/11/14不同荷载对应的响应谱曲线(细实线)的临界点的连线如图6.12(b)点划线所示，对应的方程为(对方程微分可得)432014/11/1412345-1-2-3-41无阻尼受迫振动响应谱●硬化弹簧和软化弹簧的响应谱表征跳跃现象(drop-jump)的数学模型⏹在非线性力学系统受简谐力函数的试验中可以观察到6.4.2 非线性系统的跳跃现象2014/11/1445●从开始逐渐增大受迫频率，其稳态振幅由图中响应曲线左分支确定●直到到达某点(如点), 由于外部扰动，振幅会突然从曲线的点跌落到点，此时的相位角会从变为180°●随后继续增大受迫频率，响应会沿着响应谱的右侧分支逐渐消失的部分变化●如果受迫频率从一个比较高的值（大于）缓慢减小，稳态响应也会逐渐增大，直到达到临界点. 然后振幅会从跳到,相位角会从180°→0°●继续减小受迫频率，响应会沿着变化直至消失●当受迫频率减小时，振幅一定会从跳到,因为在时，解是唯一的硬化弹簧的情况2014/11/1446●Klotter*曾经证明，图中的虚线和点划线确定描述了一个不稳定区域●曲线上的表示在物理上不能观察到的条件●点把响应谱的右侧分支分成两个部分⏹不稳定的上部⏹稳定的下部.2014/11/1447*K Klotter,E Pinney.A comprehensive stabilitycriterion for the forced vibrations of non-linearsystems.J Appl Mech.1953,20,P9●从0→缓慢增加受迫频率, 其稳定振幅沿着路径发展⏹从发生跳跃，相位角从0°转变为180°●如果从逐渐减小受迫频率，其响应会沿着变化⏹从发生突然跌落，相位角从180°→0°●不稳定区域由竖直线以及虚线和点划线围成●点把响应谱的左面的分支分为两个部分：不稳定的上部和稳定的下部。

软化弹簧的情况2014/11/14486.4.3 有粘性阻尼的情况，运动方程可以表示为假定其稳态受迫振动的一阶近似为(b)为了用Ritz法确定两个常数和, 要满足：492014/11/14把(b)代入上式并进行积分，利用和, 有(e)(f) 502014/11/14。

振动理论06(1-2)-非线性振动

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