资本预算约束条件下的决策模型分析
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龙源期刊网 http://www.qikan.com.cn 资本预算约束条件下的决策模型分析 作者：周国良 来源：《商业时代》2008年第04期
◆中图分类号：F830.9文献标识码：A 内容摘要：本文就资本预算限制下的投资组合决策问题建立了一个理论数学模型，并与EXCEL电子表格技术相结合，提供了技术上的解决方案。本文研究表明，应用电子表格软件处理模型可为我国企业决策提供技术支持，并可通过电子表格处理模型来实现企业支持决策管理，以期对企业决策支持系统的建设和完善提供借鉴。
关键词：资本预算约束 投资项目组合 最优决策
目前，我国经济发展正处于一个持续快速增长的阶段。但是根据世界其它国家经济发展的经验和教训，其中可能存在巨大的风险，尤其对我国企业来讲，如何审慎地进行投资非常重要。在企业的投资活动中，由于受社会和企业资源的稀缺限制，这类投资有以下几个特点：涉及金额较大，影响时间较长；要求以尽量少的投资得到尽可能多的回报收益；企业要对每一个投资项目进行投资决策分析，选择合适的决策标准来决定并采用一个尽可能最优的投资方案。
企业在进行投资决策分析时，首先是寻找多个投资项目，然后收集信息并对投资项目进行比较分析，最后决定一个尽可能最优的投资项目。但是企业实际的情况并非如此，企业经常的要做的一种决策是在对这多个投资项目进行评价分析的基础上，要将企业资源在这多个投资项目之间进行恰当的分配，以求达到整个企业的最优，而不仅是某一个投资项目的最优。
如何将企业稀缺资源在各个投资项目之间进行分配以实现企业决策的最优，是本文研究的重点。由于企业的资金量会受到一定的限制，并且资金要在多个投资项目之间进行分配进行组合投资，本文将这一问题称为“预算限制条件下投资项目组合决策”问题。本文采用了进行决策分析时通常采用的净现值评价指标。同时，在后面的研究中会发现，要解决此类复杂的决策组合问题，会涉及较多的决策变量，需要借助于计算机技术的帮助。本文采用现在市场占有率最高的并且功能丰富强大的电子表格处理软件，即Microsoft Excel来处理此问题。
资本预算限制条件下多投资项目组合决策问题
龙源期刊网 http://www.qikan.com.cn 企业的运作与管理，离不开投资、离不开决策。一般来讲，企业经常要做的一种决策是在对多个投资项目进行评价分析的基础上，由于企业的资金量会受到一定的限制，并且资金要在多个投资项目之间进行分配，同时进行组合投资。
（一）研究假设 本文研究的是一种特殊的决策：受资本预算限制的确定型投资决策问题。所谓确定型，是指假定资本的预算、投资项目（或称投资方案）的未来现金流可以确切的获得，或取一个确定的值。为方便研究，本文先作如下假设及相关的数学符号表示。
假设一。能确定地获得具体的预算金额：假定未来m年中的预算是行向量B（b1，b2，……，bm），其中bi≥0，1≤i≤m。
假设二。投资是在n个方案中进行选择，贴现率为r。 假设三。每一个投资方案的投资期限均为m年，也即在m年内有现金流；若第i个投资方案的投资期限为mi，取m＝MAX｛mi｝，1≤i≤n。
假设四。能确切地获得每一个投资方案未来现金流量。第i个投资方案的现金流是一个m维行向量Ci（c1，c2，……，cm），1≤i≤n。则n个投资方案的现金流组成了一个m×n的矩阵Wm×n（C1T，C2T，……，CnT）。如果某一投资方案只在p（p≤m）年内有现金流，假设Ci＝0（p≤i≤m）。
假设五。选择投资方案的标准是整个企业的npv（现金流量的净现值）最大。尽管最近的一些研究指出，净现值规则由于忽略了投资中的不可逆性及延误的选择而可能给出错误的答案。考虑到这一点，本文将研究的投资决策问题限为确定型决策，仍然采用净现值规则，并认为在投资方案的评价上企业现金流量的净现值最大化可实现股东利益的最大化。
假设六。在n个投资方案中进行选择，则存在两种可能性： 情况一：每一个被选的方案只能按方案的现金流100％的进行投资，不能部分投资。即根据方案自身的现金流，只能全部满足，不允许部分满足。如：某一投资方案在未来2年有现金流（－10，15）（单位：千元）。根据假设，在第一年只能100％投资，即投资10千元，而不允许投资部分，如只投资5千元。在这种情况下，受预算B的限制，n个投资方案中每一个方案要么100％投资，要么就不投资。
情况二：而如果选择的方案允许部分投资，并成比例地产生现金净流量。设某一投资方案现金流为Ci，净现值为npvi，若只投资50%，相应的现金流为50%×Ci，净现值为50%×npvi（1≤i≤n）。如果是对向量Ci的不同分量乘上一个不同的比例数，笔者认为这是一种新的方案。 龙源期刊网 http://www.qikan.com.cn （二）模型建立 根据上述的分析及假定，此类问题实际是一种在资源约束限制条件下，典型的最优求解问题。首先要建立这类问题的数学模型，首先要明确问题所涉及的决策变量（或选择变量）与目标变量，再建立约束条件。根据问题的特征，目标变量是各投资方案的净现值之和：
SUM of npvi＝∑npvi（1≤i≤n）。 本文的决策目标是如何在各个投资方案中分配预算资金，使目标变量最大化。在本文所研究的决策问题中，我们假定决策变量是预算资金在各投资方案间的投资比例。用向量X＝（x1，x2，……，xn）来表示。因此xi的取值介入0和1之间。
根据假设六，决策变量的取值存在两种可能性。如果是假设六中的第一种情况，则向量X只由0和1组成，是典型的二分类变量；如果是假设六中的第二种情况，则向量X的取值是介入0到1之间的实数：0≤xi≤1。明确了目标变量与决策变量后，我们再根据假设来建立模型的约束条件。根据决策变量的定义，第一个约束条件是决策向量的取值范围：对于假设六的第一种情况是只能取0或1；第二种情况是大于等于0但小于等于1的一个实数；第二个约束条件就是预算的限制。考虑到投资决策在前面几年为投资的支出，是现金的流出，则产生的现金流Ci（1≤i≤m）在前面的数值应该是负数，而在后面的年度产生现金流入，Ci（1≤i≤m）为正数。
因此可将约束条件描述为：Wm×n·X＋BT≥0T 此约束条件可简单表述为每一年现金流出不超过当年的预算金额。这样，完整的数学模型为：
目标变量：MAX｛各个方案的npv组成的行向量×XT ｝ 决策变量：各投资方案间的投资比例组成的向量X 约束条件：Wm×n·X＋BT≥0X=0或1（第一种情况）或0≤X≤1（第二种情况） 龙源期刊网 http://www.qikan.com.cn 这是一个约束最优化的问题，属于在约束条件下典型的规划求解问题。在传统的线性规划问题中，比较好处理第二种情况。拉格朗日方法提供了解决此类问题的理论基础，管理科学与运筹学（MS/OR）提供了专门的处理技术。但是，对于第一种情况解决起来就很复杂，值得庆幸的是，由于计算机技术的飞速发展，现在市场上存在很多专门的线性规划软件（如Frontline System，Inc.提供的Solvers/Optimizers）可用来解决类似的问题。本文采用Microsoft 的电子表格软件Excel的加载宏（由Frontline System，Inc.提供）来实现这类问题的解决。
解决方案与模型求解
本文通过具体的例子来研究Solver是如何求解上述模型的：假如某公司有10个可供选择的方案。每个方案的现金流如表1所示，其中用括号括起的数字表示是负数。
在表1的问题中，预算向量B T＝（72，28，20，0，0，0）T 依据上述的Solver求解问题的步骤。我们在Excel的工作表中输入如下数据： 如表1所示，在B15单元格输入公式=B4*B$12，然后复制到B15：K20单元格中；在B22中输入公式=B10*B12，然后将其复制到B22：K22单元格中；在L15单元格中输入公式=SUM(B15：K15)，然后将其复制到L15：L20单元格中；在N15单元格中输入公式=L15+M15，然后将其复制到N15：N20单元格中；在L22单元格中输入公式=SUM(B22：K22)。
在表1中，目标变量存放在单元格L22中，决策变量则存放在单元格B12：K12中，而单元格N15：N20则对应于上述数学模型中约束条件的左边向量。布置好了数据，并通过公式建立了目标变量与决策变量之间的联系。接下来可使用Solver进行规划求解。在Excel工作环境下，可选择〔工具〕菜单中的〔规划求解〕菜单项，跳出〔规划求解参数〕对话框。
针对第一种情况，在对话框中设置的约束条件如下：$B$12：$K$12=二进制，表示决策变量等于0或1；和$N$15：$N$20>=0，表示现金流出不超出预算。
针对第二种情况，在对话框设置的约束条件如表1。在表1中，有了三个约束条件：$N$15：$N$20>=0；$B$12：$K$12>=0，表示决策变量非负；也可以通过“选项”来定义决策变量为非负；$B$12：$K$12 龙源期刊网 http://www.qikan.com.cn 设置好〔规划求解参数〕对话框后，可求解结果。表1显示了情况一时的结果；表2显示了情况二时的结果。
本文结论及进一步研究方向
本文对资本预算限制下的投资组合决策问题建立了一个理论数学模型，并提供了技术上的解决方案，通过易用的电子表格模型来实现。正由于电子表格看不起软件的易用性，为增强用此类软件实现模型的可读性，方便模型的可移植和易于审计，应遵循一定的电子表格模型的设计规则。
尽管作为一种研究及解决问题的尝试，将复杂问题理想化并建立理论模型未尝不是一条好的途径，但本文研究的主要局限也正在于此，将此类决策问题理想化，限定在确定型的决策问题上。笔者认为，可进一步的改进之处：数学模型的拓展及电子表格软件处理模型的实现。未来研究的主要拓展方向：不确定的引进、如果能根据历史数据获得主观概率，可在本文的基础上进行进一步的研究。应用领域的创新电子表格软件处理模型为我国企业决策支持的应用研究。通过电子表格处理模型来实现企业支持决策管理的企业决策支持系统。
