数学人教版A必修1同步训练3.2.1几类不同增长的函数模型第1课时(附答案

函数模型及其应用3.2.1 几类不同增长的函数模型【选题明细表】题号知识点、方法易中难图象信息迁移问题3、6 7应用函数模型解决问题4、5 9 指数、对数、幂函数模型的比较1、2 8基础达标1.某公司为了适应市场需求对产品结构作了重大调整,调整后初期利润增长迅速,后来增长越来越慢,若要建立恰当的函数模型来反映该公司调整后利润y与时间x 的关系,可选用( D )(A)一次函数 (B)幂函数(C)指数型函数(D)对数型函数解析:初期增长迅速,后来增长越来越慢,可用对数型函数模型来反映y与x的关系,故选D.2.(2012陕西师大附中高一期中)四个物体同时从某一点出发向前运动,其路程f i(x)(i=1,2,3,4)关于时间x(x>1)的函数关系是f1(x)=x2,f2(x)=2x,f3(x)=log2x,f4(x)=2x,如果它们一直运动下去,最终在最前面的物体具有的函数关系是( D )(A)f1(x)=x2 (B)f2(x)=2x(C)f3(x)=log2x (D)f4(x)=2x解析:由增长速度可知,当自变量充分大时,指数函数的值最大,故选D.3.在某种金属材料的耐高温实验中,温度y(℃)随着时间t(min)变化的情况由计算机记录后显示的图象如图所示:现给出下列说法:①前5 min温度增加越来越快;②前5 min温度增加越来越慢;③5 min后温度保持匀速增加;④5 min后温度保持不变.其中说法正确的是( C )(A)①④(B)②④(C)②③(D)①③解析:前5 min,温度y随x增加而增加,增长速度越来越慢;5 min后,温度y随x的变化曲线是直线,即温度匀速增加.故②③正确.故选C. 4.如图,点P在边长为1的正方形边上运动,设M是CD的中点,则当P沿A B C M运动时,点P经过的路程x与△APM的面积y之间的函数y=f(x)的图象大致是( A)解析:依题意,当0<x≤1时,S△APM=×1×x=x; 当1<x≤2时,S△APM=S梯形ABCM-S△ABP-S△PCM=×(1+)×1-×1×(x-1)-××(2-x)=-x+;当2<x≤2.5时,S△APM=S梯形ABCM-S梯形ABCP=×(1+)×1-×(1+x-2)×1=-x+=-x+.∴y=f(x)=--再结合图象知应选A.5.(2012济南高一检测)某林区的森林蓄积量每年比上一年平均增长10.4%,要增长到原来的x倍,需经过y年,则函数y=f(x)的图象大致是( D )解析:设该林区的森林原有蓄积量为a,由题意可得ax=a(1+0.104)y,故y=log1.104x(x≥1).函数为对数函数,所以函数y=f(x)的图象大致为D中图象.故选D.6.如图表示一位骑自行车和一位骑摩托车的旅行者在相距80 km的甲、乙两城间从甲城到乙城所行驶的路程与时间之间的函数关系,有人根据函数图象,提出了关于这两个旅行者的如下信息:(1)骑自行车者比骑摩托车者早出发3 h,晚到1 h;(2)骑自行车者是变速运动,骑摩托车者是匀速运动;(3)骑摩托车者在出发1.5 h后追上了骑自行车者;(4)骑摩托车者在出发1.5 h后与骑自行车者速度一样.其中正确信息的序号是.解析:看时间轴易知(1)正确;骑摩托车者行驶的路程与时间的函数图象是直线,所以是匀速运动,而骑自行车者行驶的路程与时间的函数图象是折线,所以是变速运动,因此(2)正确;两条曲线的交点的横坐标对应着4.5,故(3)正确,(4)错误.答案:(1)(2)(3)能力提升7.(2013山东实验中学高一月考)为了预防流感,某学校对教室用药熏消毒法进行消毒.已知药物释放过程中,室内每立方米空气中的含药量y(毫克)与时间t(小时)成正比;药物释放完毕后,y与t的函数关系式为y=()t-a(a为常数),如图所示,根据图中提供的信息,回答下列问题:(1)从药物释放开始,每立方米空气中的含药量y(毫克)与时间t(小时)之间的函数关系式为 .(2)据测定,当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时,学生方可进教室,那么从药物释放开始,至少需要经过小时后,学生才能回到教室.解析:(1)∵药物释放过程中,室内每立方米空气中的含药量y与时间t成正比,∴设y=kt,代入点(0.1,1),得k=10,∴y=10t(0≤t≤0.1).同理,将点(0.1,1)代入解析式y=()t-a,得a=0.1,综上可知y=≤-(2)令y=0.25,解得t1=0.025,t2=0.6,∴从药物释放开始,至少需要0.6小时后,学生才能回到教室.答案:(1)y=≤-(2)0.68.画出函数f(x)=与函数g(x)=x2-2的图象,并比较两者在[0,+∞)上的大小关系. 解:函数f(x)与g(x)的图象如下.根据图象易得:当0≤x<4时,f(x)>g(x);当x=4时,f(x)=g(x);当x>4时,f(x)<g(x).9.奇瑞曾在2009年初公告:2009年生产目标定为39.3万辆;而奇瑞董事长极力表示有信心达成这个生产目标,并在2009年实现更为平衡的增长.我们不妨来看看近三年奇瑞的政绩吧:2006年,奇瑞汽车年销量8万辆;2007年,奇瑞汽车年销量18万辆;2008年,奇瑞汽车年销量30万辆;如果我们分别将2006年,2007年,2008年,2009年定义为第一,第二,第三,第四年.现在你有两个函数模型:二次函数模型f(x)=ax2+bx+c(a≠0),指数函数模型g(x)=a·b x+c(a≠0,b>0,b≠1),哪个模型能更好地反映奇瑞公司年销量y与年份x 的关系?解:建立年销量y与年份x的函数,可知函数必过点(1,8),(2,18),(3,30).(1)构造二次函数模型f(x)=ax2+bx+c(a≠0),将点坐标代入,可得解得a=1,b=7,c=0,则f(x)=x2+7x,故f(4)=44,与计划误差为4.7.(2)构造指数函数模型g(x)=a·b x+c(a≠0,b>0,b≠1),将点坐标代入,可得解得a=,b=,c=-42,则g(x)=·()x-42,故g(4)=·()4-42=44.4,与计划误差为5.1.由(1)(2)可得,f(x)=x2+7x模型能更好地反映奇瑞公司年销量y与年份x的关系.。

的振幅为0.001,则此次地震的震级为
级;9级地震
的最大振幅是5级地震最大振幅的
倍.
答案:6 10 000
解析:由lg 1 000-lg 0.001=6,得此次地震的震级为6级.因为
标准地震的振幅为0.001,设9级地震最大振幅为A9,则lg A9-lg 0.001=9,解得A9=106,同理5级地震最大振幅A5=102,所以9级
1.指数型函数的形式是什么?它一定是指数函数吗? 提示:指数型函数的形式为f(x)=k·ax+b(k,a,b为常数,a>0,且 a≠1,k≠0),指数型函数不一定是指数函数,它是复合函数,只有
当k=1,b=0时才是指数函数. 2.指数型函数的单调性受什么因素的影响? 提示:除受底数a影响外,还受系数k的影响.
定值,则y是x的一次函数,一次函数的图象为直线. (2)二次函数模型:二次函数是常用的重要模型,y是x或其他 量的二次函数,常用来求最大值或最小值问题,要注意定义域.
(3)幂函数模型:能用幂型函数f(x)=axα+b(a,b,α为常 数,a≠0,α≠1)表达的函数模型,其增长情况由a和α的取值确定.
解:由优惠办法(1)得到的函数关系式为y=0.5x+6(x≥4,且
一二三
知识精要 思考探究 典题例解 迁移应用
二、指数函数模型 在实际中,有关人口增长、银行利率、细胞分裂等增长问 题,常用到指数型函数模型,其增长特点是随着自变量x的增大,
函数值增长的速度越来越快,常称之为“指数爆炸”.
一二三
知识精要 思考探究 典题例解 迁移应用
案例探究 误区警示 思悟升华
错解 错因剖析
忽视根据 x 在几何图形中的意义求出函数的定义
4 32

累计回报表
天数
方案
一
1234 5 6 7
8
9
40 80 120 160 200 240 280 320 360
10 11
400 440
二 10 30 60 100 150 210 280 360 450 550 660
三 0.4 1.2 2.8 6 12.4 25.2 50.8 102 204.4 409.2 816.8
a
1
例1.假设你有一笔资金用于投资，现有三种投 资方案供你选择，这三种方案的回报如下： 方案一：每天回报40元；
方案二：第一天回报10元，以后每天比前 一天多回报10元； 方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回 报比前一天翻一番.
请问：你会选择哪种投资方案？
回报量
日回报 累计回报
a
2
方案一：每天回报40元；
具
列
不
确
体
解 画出图像（形） 同
定
问
析 列出表格（数） 增
模
题
式
长
型
预报和决策 控制和优化
a
11
令 f(x)log7x10.25x,x∈[10,1000],
利用计算机作出函数f(x)的图象
由图可知它是减函数,
因此
f(x)<f(10)≈-0.3167<0
即 log7x0.25x.
所以,当x∈[10,1000]时,
问题1：如何验证y 5? 问题2：如何验证 lao7gx10.25x 9
例2:某公司为了实现1000万元的利润目标，准备制定一个激励销售人员的奖励方案： 在销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金y（单位：万元）随销售利润

高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作函数模型及其应用3.2.1 几类不同增长的函数模型【选题明细表】题号知识点、方法易中难图象信息迁移问题3、6 7应用函数模型解决问题4、5 9 指数、对数、幂函数模型的比较1、2 8基础达标1.某公司为了适应市场需求对产品结构作了重大调整,调整后初期利润增长迅速,后来增长越来越慢,若要建立恰当的函数模型来反映该公司调整后利润y与时间x 的关系,可选用( D )(A)一次函数 (B)幂函数(C)指数型函数(D)对数型函数解析:初期增长迅速,后来增长越来越慢,可用对数型函数模型来反映y与x的关系,故选D.2.(2012陕西师大附中高一期中)四个物体同时从某一点出发向前运动,其路程f i(x)(i=1,2,3,4)关于时间x(x>1)的函数关系是f1(x)=x2,f2(x)=2x,f3(x)=log2x,f4(x)=2x,如果它们一直运动下去,最终在最前面的物体具有的函数关系是( D )(A)f1(x)=x2 (B)f2(x)=2x(C)f3(x)=log2x (D)f4(x)=2x解析:由增长速度可知,当自变量充分大时,指数函数的值最大,故选D.3.在某种金属材料的耐高温实验中,温度y(℃)随着时间t(min)变化的情况由计算机记录后显示的图象如图所示:现给出下列说法:①前5 min温度增加越来越快;②前5 min温度增加越来越慢;③5 min后温度保持匀速增加;④5 min后温度保持不变.其中说法正确的是( C )(A)①④(B)②④(C)②③(D)①③解析:前5 min,温度y随x增加而增加,增长速度越来越慢;5 min后,温度y随x的变化曲线是直线,即温度匀速增加.故②③正确.故选C. 4.如图,点P在边长为1的正方形边上运动,设M是CD的中点,则当P沿A B C M运动时,点P经过的路程x与△APM的面积y之间的函数y=f(x)的图象大致是( A)解析:依题意,当0<x≤1时,S△APM=×1×x=x; 当1<x≤2时,S△APM=S梯形ABCM-S△ABP-S△PCM=×(1+)×1-×1×(x-1)-××(2-x)=-x+;当2<x≤2.5时,S△APM=S梯形ABCM-S梯形ABCP=×(1+)×1-×(1+x-2)×1=-x+=-x+.∴y=f(x)=--再结合图象知应选A.5.(2012济南高一检测)某林区的森林蓄积量每年比上一年平均增长10.4%,要增长到原来的x倍,需经过y年,则函数y=f(x)的图象大致是( D )解析:设该林区的森林原有蓄积量为a,由题意可得ax=a(1+0.104)y,故y=log1.104x(x≥1).函数为对数函数,所以函数y=f(x)的图象大致为D中图象.故选D.6.如图表示一位骑自行车和一位骑摩托车的旅行者在相距80 km的甲、乙两城间从甲城到乙城所行驶的路程与时间之间的函数关系,有人根据函数图象,提出了关于这两个旅行者的如下信息:(1)骑自行车者比骑摩托车者早出发3 h,晚到1 h;(2)骑自行车者是变速运动,骑摩托车者是匀速运动;(3)骑摩托车者在出发1.5 h后追上了骑自行车者;(4)骑摩托车者在出发1.5 h后与骑自行车者速度一样.其中正确信息的序号是.解析:看时间轴易知(1)正确;骑摩托车者行驶的路程与时间的函数图象是直线,所以是匀速运动,而骑自行车者行驶的路程与时间的函数图象是折线,所以是变速运动,因此(2)正确;两条曲线的交点的横坐标对应着4.5,故(3)正确,(4)错误.答案:(1)(2)(3)能力提升7.(2013山东实验中学高一月考)为了预防流感,某学校对教室用药熏消毒法进行消毒.已知药物释放过程中,室内每立方米空气中的含药量y(毫克)与时间t(小时)成正比;药物释放完毕后,y与t的函数关系式为y=()t-a(a为常数),如图所示,根据图中提供的信息,回答下列问题:(1)从药物释放开始,每立方米空气中的含药量y(毫克)与时间t(小时)之间的函数关系式为 .(2)据测定,当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时,学生方可进教室,那么从药物释放开始,至少需要经过小时后,学生才能回到教室.解析:(1)∵药物释放过程中,室内每立方米空气中的含药量y与时间t成正比,∴设y=kt,代入点(0.1,1),得k=10,∴y=10t(0≤t≤0.1).同理,将点(0.1,1)代入解析式y=()t-a,得a=0.1,综上可知y=≤-(2)令y=0.25,解得t1=0.025,t2=0.6,∴从药物释放开始,至少需要0.6小时后,学生才能回到教室.答案:(1)y=≤-(2)0.68.画出函数f(x)=与函数g(x)=x2-2的图象,并比较两者在[0,+∞)上的大小关系. 解:函数f(x)与g(x)的图象如下.根据图象易得:当0≤x<4时,f(x)>g(x);当x=4时,f(x)=g(x);当x>4时,f(x)<g(x).9.奇瑞曾在2009年初公告:2009年生产目标定为39.3万辆;而奇瑞董事长极力表示有信心达成这个生产目标,并在2009年实现更为平衡的增长.我们不妨来看看近三年奇瑞的政绩吧:2006年,奇瑞汽车年销量8万辆;2007年,奇瑞汽车年销量18万辆;2008年,奇瑞汽车年销量30万辆;如果我们分别将2006年,2007年,2008年,2009年定义为第一,第二,第三,第四年.现在你有两个函数模型:二次函数模型f(x)=ax2+bx+c(a≠0),指数函数模型g(x)=a·b x+c(a≠0,b>0,b≠1),哪个模型能更好地反映奇瑞公司年销量y与年份x 的关系?解:建立年销量y与年份x的函数,可知函数必过点(1,8),(2,18),(3,30).(1)构造二次函数模型f(x)=ax2+bx+c(a≠0),将点坐标代入,可得解得a=1,b=7,c=0,则f(x)=x2+7x,故f(4)=44,与计划误差为4.7.(2)构造指数函数模型g(x)=a·b x+c(a≠0,b>0,b≠1),将点坐标代入,可得解得a=,b=,c=-42,则g(x)=·()x-42,故g(4)=·()4-42=44.4,与计划误差为5.1.由(1)(2)可得,f(x)=x2+7x模型能更好地反映奇瑞公司年销量y与年份x的关系.。