5.1.2复数的有关概念 教案(北师大版选修2-2)

复数的概念范例讲解例1 在复平面内，若i i m i m z 6)4()1(2-+-+=所对应的点在第二象限，则实数m 的取值范围是（ ）A ．)(3,0B ．)(2,-∞-C ．)(0,2-D ．)(4,3解：可用直推法，∵i m m m m z )6()4(22--+-=z 所对应的点在第二象限∴042<-m m 且062>--m m ∴40<<m 且23-<>m m 或∴m∈(3,4) 故选D例2 设复数z=lg （m 2－2m －2）＋（m 2＋3m ＋2）i ，试求实数m 取何值时，(1)z 是纯虚数；(2)z 是实数；(3)z 对应的点位于复平面的第二象限剖析：利用复数的有关概念易求得解：(1)由lg （m 2－2m －2）=0，m 2＋3m ＋2≠0，得m=3(2)由m 2＋3m ＋2=0，得m=－1或m=－2(3)由 lg （m 2－2m －2）＜0，m 2＋3m ＋2＞0，得－1＜m ＜1－3或1＋3＜m ＜3点评：对复数的分类条件要注意其充要性，对复数相等、共轭复数的概念的运用也是这样例3． 实数m 分别取什么数时，复数z=(1+i)m 2+(5－2i)m+6－15i 是①实数；②虚数；③纯虚数；④对应的点在第三象限；⑤对应的点在直线x+y+4=0上；⑥共轭复数的虚部为12.分析:本题是一道考查复数概念的题目.解题的关键是把复数化成z=a+bi(a 、b ∈R)的形式，然后根据复数的分类标准对其实部与虚部进行讨论，由其满足的条件进行解题.解:z=(1+i)m 2+(5－2i)m+6－15i=(m 2+5m+6)+(m 2－2m －15)i.∵m ∈R ,∴z 的实部为m 2+5m+6,虚部为m 2－2m －15. ①要使z 为实数，必有⎩⎨⎧∈=--R,m m m ,01522∴m=5或m=－3.②要使z 为虚数，必有m 2－2m －15≠0,∴m ≠5且m ≠－3.③要使z 为纯虚数，必有⎪⎩⎪⎨⎧≠--=++,0152,06522m m m m即⎩⎨⎧≠-≠-=-=,53,23m m m m 且或 ∴m=－2.④要使z 对应的点在第三象限，必有⎪⎩⎪⎨⎧<--<++015206522m m m m ⇒⎩⎨⎧<<--<<-,53,23m m ∴－3<m<－2.⑤要使z 对应的点在直线x+y+4=0上，必有点(m 2+5m+6,m 2－2m －15)满足方程x+y+4=0，∴(m 2+5m+6)+(m 2－2m －15)+4=0.解得m=－25或m=1. ⑥要使z 的共轭复数的虚部为12，则－(m 2－2m －15)=12,∴m=－1或m=3.评注: 复数问题实数化是解决复数问题的最基本也是最重要的思想方法，其依据是复数的有关概念和两个复数相等的充要条件.方法是按照题设条件把复数整理成z=a+bi(a 、b ∈R)的形式，明确复数的实部与虚部，由复数相等的充要条件或实部与虚部满足的条件，列出方程(组)或不等式(组)，通过解方程(组)或不等式(组)达到解决问题之目的.。

教学重难点
重点：复数的基本概念以及复数相等的充要条件．
难点：复数的基本概念以及复数相等的充要条件．
教学手段运用
教学资源选择
PPT
教 学 过 程
复习：
1．复数的定义
2．复数集的分类
3．两复数相等的充要条件
探究新知：
一、探究以下问题
1．实数与数轴上点有什么关系？类比实数，复数是否也可以用点来表示吗？
2．复数与从原点出发的向量的是如何对应的？
石泉中学课时教案
科目：高二数学教师：张艳琴授课时间：第4周 星期五2016年3月18日
单元（章节）ห้องสมุดไป่ตู้题
第四章《数系的扩充与复数的导入》
本节课题
1.2复数的有关概念
三维目标
1. 理解复数与复平面的点之间的一一对应关系
2.理解复数的几何意义并掌握复数模的计算方法．
3、培养学生数形结合能力。
提炼的课题
复数的基本概念以及复数相等的充要条件．
3．复数的几何意义你是怎样理解的？
4．复数的模与向量的模有什么联系？
二、带着以上问题阅读教材P74~P75相关内容，并完成下面题目
1. 复平面：复数z=a+bi(a、b∈R)与有序实数对(a，b)是叫做复平面，x轴叫做，y轴叫做．
实轴上的点都表示虚轴上的点除原点外，虚轴上的点都表示
2. 复数的几何意义：复数集C和复平面内所有的点所成的集合是一一对应关系，即复数 复平面内的点 平面向量
3. 复数的模：复数z=a+bi(a、b∈R)的模
三、例题
例1 已知复数 试比较它们模的大小；
例2 满足条件 的复数z在复平面上对应点的轨迹是（ ）
A.一条直线B.两条直线C.圆D.椭圆

[例 3] 1＋3i，求 z.
已知 z∈C，z 为 z 的共轭复数，若 z· －3i z ＝ z
[精解详析]
设z＝a＋bi(a，b∈R)，
则 z ＝a－bi(a，b∈R)， 由题意得(a＋bi)(a－bi)－3i(a－bi)＝1＋3i， 即a2＋b2－3b－3ai＝1＋3i，
a2＋b2－3b＝1， 则有 －3a＝3， a＝－1， 解得 b＝0， a＝－1， 或 b＝3.
1 2
观察下列三组复数 (1)z1＝2＋i；z2＝2－i； (2)z1＝3＋4i；z2＝3－4i； (3)z1＝4i；z2＝－4i.
问题1：每组复数中的z1与z2有什么关系？
提示：实部相等，虚部互为相反数． 问题2：试计算每组中的z1z2，你发现了什么规律吗？ 提示：z1与z2的积等于z1的实部与虚部的平方和．
共轭复数 当两个复数的 实部 相等， 虚部 互为相反数时，这样的 两个复数叫做 共轭复数 ．复数z的共轭复数用 z 来表示，也
a－bi .于是z z ＝a2＋b2＝ |z|2 . 就是当z＝a＋bi时， z ＝
我们知道实数的除法是乘法的逆运算，类似地，复数的 除法也是复数乘法的逆运算，给出两个复数 a＋bi，c＋di(c a＋bi ＋di≠0)．若(c＋di)(x＋yi)＝a＋bi，则 x＋yi＝ 叫做复 c＋di 数 a＋bi 除以 c＋di 的商．
[一点通]
（1）复数的乘法可以把i看作字母，按多项式的乘
法法则进行，注意把i2化成－1，进行最后结果的化简； 复数的除法先写成分式的形式，再把分子与分母都乘 以分母的共轭复数，并进行化简． （2）im(m∈N＋)具有周期性，且最小正周期为4，
则：
①i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＝1(n∈ N＋)； ②i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0(n∈N＋)．

第五章 复数§1 复数的概念及其几何意义1．1 复数的概念1．2 复数的几何意义必备知识基础练知识点一 复数的概念与分类1．1－i 的虚部为( )A ．iB ．－iC ．1D ．－12．当实数m 取什么值时，复数(m 2－3m ＋2)＋(m 2－4)i ：①是实数？②是虚数？③是纯虚数？④在复平面内对应点位于第四象限？知识点二 复数相等3．若复数4－3a －a 2i 与复数a 2＋4a i 相等，则实数a ＝( )A ．1B ．1或－4C ．－4D ．0或－44．如果(x ＋y )i ＝x －1，则实数x ，y 的值分别为( )A ．x ＝1，y ＝－1B ．x ＝0，y ＝－1C ．x ＝1，y ＝0D ．x ＝0，y ＝0知识点三 复数的模与几何意义的应用5．已知复数z ＝1＋i ，其中i 为虚数单位，则|z |＝( )A ．12B ．22C ．2D ．2 6．(多选题)已知复数z ＝(cos α＋sin α)＋(cos α－sin α)i ，则下列说法正确的是( )A ．当α∈(0，π4)时，复数z 在复平面内对应的点在第一象限内 B ．当α∈(π4 ，π2)时，复数z 在复平面内对应的点在第一象限内 C ．复数z 的模的最大值为2D ．复数z 的模长为定值7．在复平面内，复数6＋5i ，－2＋3i 对应的点分别为A ，B .若C 为线段AB 的中点，则点C 对应的复数是( )A ．4＋8iB ．8＋2iC ．2＋4iD ．4＋i关键能力综合练一、选择题1．当m <1时，复数1＋(m －1)i 在复平面内对应的点位于( )A ．第四象限B ．第三象限C ．第二象限D ．第一象限2．已知i 为虚数单位，m ∈R ，复数z ＝(－m 2＋2m ＋8)＋(m 2－8m )i ，若z 为负实数，则m 的取值集合为( )A ．{0}B ．{8}C ．{x |－2<x <4}D ．{x |－4<x <2}3．若复数(m 2－m )＋3i 是纯虚数，则实数m ＝( )A ．1B ．0或1C ．1或2D ．1或34．设a ，b 为实数，若复数1＋2i ＝(a －b )＋(a ＋b )i ，则( )A ．a ＝32 ，b ＝12B ．a ＝3，b ＝1C ．a ＝12 ，b ＝32D ．a ＝1，b ＝3 5．(易错题)设复数z ＝(2t 2－5t ＋3)＋(t 2－2t ＋3)i ，t ∈R ，则以下结论中正确的是( )A ．复数z 对应的点在第二象限B ．复数z 一定不是纯虚数C ．复数z 对应的点在实轴上方D ．复数z 一定是实数二、填空题6．若复数z 在复平面内对应的点位于第二象限，且|z |＝2，则z ＝________．(写出一个即可)7．若z 1＝－3－4i ，z 2＝(n 2－3m －1)＋(n 2－m －6)i ，且z 1＝z 2，则实数m ＝________，n ＝________．8．若复数z 1＝m 2＋1＋(m 3＋3m 2＋2m )i ，z 2＝4m －2＋(m 2－5m )i ，m 为实数，且z 1>z 2，则实数m 的取值集合为________．三、解答题9．(探究题)(1)若复数z ＝2a －1a ＋2＋(a 2－a －6)i(a ∈R )是实数，求z 1＝(a －1)＋(1－2a )i 的模；(2)已知复数z ＝3＋a i(a ∈R )，且|z |<4，求实数a 的取值范围．学科素养升级练1.关于复数，下列说法错误的是( )A ．若|z |＝1，则z ＝±1或±iB ．复数6＋5i 与－3＋4i 分别对应向量OA → 与OB → ，则向量AB → 对应的复数为9＋iC ．若z 是复数，则z 2＋1>0D ．若复数z 满足1≤|z |<2 ，则复数z 对应的点所构成的图形面积为π2．(学科素养——数学抽象)已知复数z 在复平面内对应的点位于第四象限．(1)若z 的实部与虚部之和为7，且|z |＝13，求z ；(2)若|z |＝6 ，且z 2＋z 的实部不为0，讨论z 2＋z 在复平面内对应的点位于第几象限．§1 复数的概念及其几何意义1．1 复数的概念1．2 复数的几何意义必备知识基础练1．答案：D解析：由复数虚部定义可知，1－i 的虚部为－1.故选D.2．解析：设z ＝(m 2－3m ＋2)＋(m 2－4)i.①要使z 为实数，必须有m 2－4＝0，得m ＝－2或m ＝2，即m ＝－2或m ＝2时，z 为实数．②要使z 为虚数，必有m 2－4≠0，即m ≠－2且m ≠2.故m ≠－2且m ≠2时，z 为虚数．③要使z 为纯虚数，必有⎩⎪⎨⎪⎧m 2－4≠0，m 2－3m ＋2＝0， 所以⎩⎪⎨⎪⎧m ≠－2且m ≠2，m ＝1或m ＝2. 所以m ＝1，故m ＝1时，z 为纯虚数．④由已知得⎩⎪⎨⎪⎧m 2－3m ＋2>0，m 2－4<0， 解得－2<m <1. 3．答案：C解析：由复数相等的充要条件得⎩⎪⎨⎪⎧4－3a ＝a 2，－a 2＝4a ，∴a ＝－4.故选C. 4．答案：A解析：∵(x ＋y )i ＝x －1，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝0，x －1＝0， ∴x ＝1，y ＝－1.故选A. 5．答案：C解析：因为复数z ＝1＋i ，所以根据复数模的运算公式可得，|z |＝12＋12 ＝2 .故选C.6．答案：AD解析：因为cos α＋sin α＝2 sin (α＋π4)，cos α－sin α＝2 cos (α＋π4 )， 所以z ＝2 [sin (α＋π4 )＋icos (α＋π4)]. 当α∈(0，π4 )时，α＋π4 ∈(π4 ，π2)， 所以sin (α＋π4 )＞0，cos (α＋π4)＞0，所以z 在复平面内对应的点在第一象限，故A 正确；当α∈(π4 ，π2 )时，α＋π4 ∈(π2 ，3π4)， 所以sin (α＋π4 )＞0，cos (α＋π4)＜0，所以z 在复平面内对应的点在第四象限，故B 错误；复数z 的模为2 × sin 2（α＋π4）＋cos 2（α＋π4） ＝2 ，故C 错误，D 正确．故选AD.7．答案：C解析：由题意知A (6，5)，B (－2，3)，则AB 中点C (2，4)对应的复数为2＋4i.关键能力综合练1．答案：A解析：∵m <1，∴m －1<0，∴复数1＋(m －1)i 在复平面内对应的点位于第四象限．故选A.2．答案：B 解析：由题意得－m 2＋2m ＋8<0，m 2－8m ＝0，解得m ＝8.即m 的取值集合为{8}．故选B.3．答案：B解析：因为复数(m 2－m )＋3i 是纯虚数，所以m 2－m ＝0，解得：m ＝0或m ＝1.故选B.4．答案：A解析：由1＋2i ＝(a －b )＋(a ＋b )i ，得⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＝1，a ＋b ＝2， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝32，b ＝12． 故选A. 5．答案：C解析：∵z 的虚部t 2－2t ＋3＝(t －1)2＋2恒为正，∴z 对应的点在实轴上方，且z 一定是虚数，排除D.又z 的实部2t 2－5t ＋3＝(t －1)(2t －3)可为正、为零、为负，∴选项A 、B 不正确．故答案为C.6．答案：－1＋3 i(答案不唯一)解析：设z ＝a ＋b i ，a ，b ∈R ，因为复数z 在复平面内对应的点在第二象限，所以a <0，b >0，又因为|z |＝2，所以a 2＋b 2＝4，显然当a ＝－1，b ＝3 时，符合题意，故答案为－1＋3 i(答案不唯一).7．答案：2 ±2解析：两个复数相等，则实部和虚部分别相等，所以⎩⎪⎨⎪⎧n 2－3m －1＝－3，n 2－m －6＝－4， 解得m ＝2，n ＝±2.8．答案：{0}解析：∵z 1>z 2，∴⎩⎪⎨⎪⎧m 3＋3m 2＋2m ＝0，m 2－5m ＝0，m 2＋1>4m －2，解得m ＝0，∴实数m 的取值集合为{0}．9．解析：(1)∵z 为实数，∴a 2－a －6＝0，∴a ＝－2或3.∵a ＝－2时，z 无意义，∴a ＝3，∴z 1＝2－5i ，∴|z 1|＝29 .(2)方法一 ∵z ＝3＋a i(a ∈R )，∴|z |＝32＋a 2 ，由已知得32＋a 2<42，∴a 2<7，∴a ∈(－7 ，7 ).方法二 利用复数的几何意义，由|z |<4知，z 在复平面内对应的点在以原点为圆心，以4为半径的圆内(不包括边界)，由z ＝3＋a i 知z 对应的点在直线x ＝3上，所以线段AB (除去端点)为动点Z 的集合．由图可知：－7 <a <7 .学科素养升级练1．答案：ABC解析：取z ＝12 ＋32 i ，则|z |＝1，故A 错误；AB → ＝OB → －OA → ＝－3＋4i －(6＋5i)＝－9－i ，故B 错误；取z ＝i ，但i 2＝－1，z 2＋1＝0，知C 错误；设复数z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，则由1≤|z |<2 可知1≤x 2＋y 2<2，故复数z 对应的点所构成的图形面积为π×2－π×1＝π，故D 正确．故选ABC.2．解析：(1)依题意可设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R ，a >0，b <0)，因为z 的实部与虚部之和为7，且|z |＝13，所以⎩⎨⎧a >0，b <0，a ＋b ＝7，a 2＋b 2＝13， 解得a ＝12，b ＝－5，故z ＝12－5i.(2)依题意可设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，因为z 2＋z ＝a 2－b 2＋a ＋(2ab ＋b )i(a >0，b <0)，所以a 2－b 2＋a ≠0，且2ab ＋b ＝b (2a ＋1)<0.因为|z |＝6 ，所以a 2＋b 2＝6，所以a 2－b 2＋a ＝a 2－(6－a 2)＋a ＝2a 2＋a －6.当0<a <32时，2a 2＋a －6<0，z 2＋z 在复平面内对应的点位于第三象限； 当a >32时，2a 2＋a －6>0，z 2＋z 在复平面内对应的点位于第四象限．。