高中数学：复数的有关概念

高二数学复数知识点整理_高中数学复数知识点复数的概念：形如a+bi(a，b∈R)的数叫复数，其中i叫做虚数单位。

全体复数所成的集合叫做复数集，用字母C表示。

复数的表示：复数通常用字母z表示，即z=a+bi(a，b∈R)，这一表示形式叫做复数的代数形式，其中a叫复数的实部，b叫复数的虚部。

复数的几何意义：(1)复平面、实轴、虚轴：点Z的横坐标是a，纵坐标是b，复数z=a+bi(a、b∈R)可用点Z(a，b)表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，某轴叫做实轴，y轴叫做虚轴。

显然，实轴上的点都表示实数，除原点外，虚轴上的点都表示纯虚数(2)复数的几何意义：复数集C和复平面内所有的点所成的集合是一一对应关系，即这是因为，每一个复数有复平面内惟一的一个点和它对应;反过来，复平面内的每一个点，有惟一的一个复数和它对应。

这就是复数的一种几何意义，也就是复数的另一种表示方法，即几何表示方法。

复数的模：复数z=a+bi(a、b∈R)在复平面上对应的点Z(a，b)到原点的距离叫复数的模，记为|Z|，即|Z|=虚数单位i：(1)它的平方等于-1，即i2=-1;(2)实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律仍然成立(3)i与-1的关系：i就是-1的一个平方根，即方程某2=-1的一个根，方程某2=-1的另一个根是-i。

(4)i的周期性：i4n+1=i，i4n+2=-1，i4n+3=-i，i4n=1。

复数模的性质：复数与实数、虚数、纯虚数及0的关系：对于复数a+bi(a、b∈R)，当且仅当b=0时，复数a+bi(a、b∈R)是实数a;当b≠0时，复数z=a+bi叫做虚数;当a=0且b≠0时，z=bi叫做纯虚数;当且仅当a=b=0时，z就是实数0。

两个复数相等的定义：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等，即：如果a，b，c，d∈R，那么a+bi=c+dia=c，b=d。

高考复数概念知识点复数是数学中的一个重要概念，也是高中数学考试中常见的题型之一。

掌握好复数的概念和相关知识点，对于考试取得好成绩是至关重要的。

本文将介绍高考复数相关的概念和知识点，希望能够帮助大家更好地理解和运用。

一、复数的定义与表示1. 复数的基本定义：在实数范围内，无法满足平方后为负的数，例如-1，所以引入了虚数单位i（i^2 = -1）。

复数定义为实数与虚数的和，形如a+bi的数就是复数，其中a为实部，b为虚部，i满足i^2 = -1。

2. 复数的表示：复数可以用代数方法表示，也可以用几何方法表示。

代数方法表示时，将a和b视作实数，将虚数单位i视作一个数。

几何方法表示时，将复数a+bi看作是平面直角坐标系中的一个点P(x, y)，其中x=a，y=b，可以通过平面向量的方法进行表示。

二、复数的运算1. 复数的加法与减法：复数的加法与减法可以按照实部与虚部分别进行运算，即(a+bi) +(c+di) = (a+c) + (b+d)i，(a+bi) - (c+di) = (a-c) + (b-d)i。

2. 复数的乘法与除法：复数的乘法可以按照公式展开进行计算，即(a+bi) * (c+di) = (ac-bd) + (ad+bc)i。

复数的除法可以利用共轭复数的性质进行计算，即(a+bi) / (c+di) = [(a+bi) * (c-di)] / [(c+di) * (c-di)]，化简后可得实部和虚部的表达式。

3. 复数的乘方与开方：复数的乘方利用了极坐标的概念，可以通过转化为极坐标形式，进行指数运算，然后再转化回代数形式。

复数的开方可以根据欧拉公式进行计算，即通过将复数表示为指数形式来进行开方运算。

三、复数在方程和函数中的应用1. 复数方程的解：复数方程是指方程中含有复数的方程，例如x^2 + 1 = 0。

对于复数方程，可以根据求根公式进行求解，其中虚数单位i非常重要。

2. 复数函数的性质：复数函数是指函数的自变量与函数值都可以是复数的函数。

高中数学中的复数在高中数学学习中，我们常常会接触到复数这个概念。

复数是由实数部分和虚数部分构成的数，学习和理解复数对于我们深入了解数学的本质和应用具有重要的意义。

本文将介绍复数的定义、性质以及在高中数学中的应用。

一、复数的定义复数是由实数部分和虚数部分构成的数，通常表示为a+bi的形式，其中a为实数部分，b为虚数部分，i为虚数单位，满足i²=-1。

二、复数的性质1. 复数的加法和减法：将实部相加或相减，虚部相加或相减。

2. 复数的乘法：实部和虚部分别相乘得到新的实部和虚部。

3. 复数的除法：分子和分母同时乘以共轭复数，并运用乘法规则进行计算。

4. 复数的模：复数的模等于实数部分和虚数部分的平方和的平方根。

5. 复数的共轭：将复数的虚数部分取相反数得到共轭复数。

6. 复数的指数表示：根据欧拉公式，复数可以表示为e^ix的形式。

三、复数在高中数学中的应用1. 解方程：复数可以用于解决各类方程，包括二次方程、三次方程等。

复数根定理告诉我们，若一个多项式方程没有实数根，则必定存在复数根。

2. 向量运算：复数可以用于表示平面上的向量，利用复数的加法和乘法可以进行向量的运算，如相加、相减、旋转等。

3. 三角函数：复数可以与三角函数建立联系，通过欧拉公式，我们可以将三角函数用复数表示，进而简化三角函数的计算。

4. 矩阵运算：复数在矩阵运算中也有广泛应用，包括复数矩阵的加法、乘法、求逆等。

5. 物理学中的应用：复数在物理学中也有重要应用，如交流电路中的分析、波动学中的表示等。

综上所述，复数在高中数学中扮演着重要的角色。

通过学习和理解复数的定义和性质，我们可以更好地应用复数解决各种数学问题，并将其应用到更广泛的领域中。

在学习过程中，我们应注重对复数概念的理解和运用能力的培养，以提高自己在数学领域的素养和能力。

通过深入研究和探索，我们能够更好地理解数学的本质，并在实际问题中灵活应用数学知识。

7.1.1 数系的扩充和复数的概念【自主学习】一．复数的有关概念1.复数的定义：形如a ＋b i(a ，b ∈R )的数叫做复数，其中i 叫做 ，满足i 2＝ ．2.复数集：全体复数所构成的集合C ＝{a ＋b i|a ，b ∈R }叫做复数集．3.复数的表示方法复数通常用字母z 表示，即 ，其中a 叫做复数z 的实部，b 叫做复数z 的虚部． 二．复数相等的充要条件在复数集C ＝{a ＋b i|a ，b ∈R }中任取两个数a ＋b i ，c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R )，我们规定：a ＋b i 与c ＋d i 相等当且仅当 且 ． 三．复数的分类1.复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )⎩⎨⎧实数（b ＝0），虚数（b ≠0）⎩⎨⎧纯虚数a ＝0，非纯虚数a ≠0Ｗ.2.复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系【小试牛刀】1.思维辨析(对的打“√”，错的打“×”)(1)若a ，b 为实数，则z ＝a ＋b i 为虚数．( )(2)复数z 1＝3i ，z 2＝2i ，则z 1＞z 2.( ) (3)若b 为实数，则z= bi 必为纯虚数．( )(4)实数集与复数集的交集是实数集．( ) 2.若复数(a ＋1)＋(a 2－1)i(a ∈R )是实数，则a ＝( ) A ．－1 B ．1 C ．±1D ．不存在【经典例题】题型一 复数的概念例1 写出下列复数的实部与虚部，并指出哪些是实数，哪些是虚数，哪些是纯虚数：4, 2－3i ，－12＋43i, 5＋2i, 6i.【训练】1若a ∈R ，i 为虚数单位，则“a ＝1”是“复数(a －1)(a ＋2)＋(a ＋3)i 为纯虚数”的( ) A ．充要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分不必要条件 D ．既不充分又不必要条件题型二复数的分类例2 实数m取什么值时，复数z=m+1+(m-1)i是（1）实数；（2）虚数；（3）纯虚数。

高一复数怎么理解知识点高中一年级的学生在英语学习中，会接触到复数这一知识点。

复数是英语中一项基础而重要的语法知识，正确理解和运用复数形式对于语言学习的成功至关重要。

本文将介绍高一复数的概念、形式以及使用方法，并提供一些学习复数的实用技巧。

一、复数的概念和形式复数（plural）是英语中表示多个个体或事物的名词形式。

在大多数情况下，复数形式的名词是通过在单数形式后面加上“-s”或“-es”来构成的。

1. 一般规则大部分名词的复数形式是在单数形式后面加上“-s”。

例如，“book”（书）的复数形式是“books”（书籍），“cat”（猫）的复数形式是“cats”（猫咪）。

2. 特殊规则有一些名词的复数形式比较特殊，需要记住其形式变化。

- 当名词以s、x、ch、sh结尾时，复数形式应在单数形式后加上“-es”。

例如，“box”（盒子）的复数形式是“boxes”（盒子们）。

- 当名词以辅音字母+y结尾时，复数形式将y变为i，再加上“-es”。

例如，“baby”（婴儿）的复数形式是“babies”（婴儿们）。

- 当名词以“-f”或“-fe”结尾时，复数形式将f或fe改为v，再加上“-es”。

例如，“leaf”（叶子）的复数形式是“leaves”（叶子们）。

二、复数的用法除了表达多个个体或事物以外，复数在句子中还有其他几种常见的用法。

1. 表示泛指复数形式的名词可以用来表示一类人或事物的泛指。

例如，“Children should obey their parents.”（孩子们应该服从父母。

）这里的“children”表示所有的孩子。

2. 表示具体数量复数形式的名词可以表示确切的数量。

例如，“There are three boys in the classroom.”（教室里有三个男孩。

）这里的“boys”表示确切的数量为三个。

3. 表示部分整体复数形式的名词还可以表示整体的一部分。

例如，“Some students are good at math.”（有些学生擅长数学。

高中复数知识点总结高中复数知识点总结在高中数学学习中，复数是一个重要的概念和工具。

复数是由一个实数和一个虚数按照一定规则构成的数，可以用于解决很多数学问题，特别是在代数、函数、解析几何和电磁学等领域中。

以下是高中复数知识点的总结：1. 复数的定义：复数是由一个实数和一个虚数相加构成的数，形如a+bi，其中a为实数部分，b为虚数部分。

实数部分a和虚数部分b都是实数。

2. 共轭复数：对于复数a+bi，共轭复数为a-bi，即保持实部不变，虚部取负。

3. 复数的表示形式：复数除了直角坐标形式a+bi，还有极坐标形式r(cosθ+isinθ)，其中r为模，θ为幅角。

4. 模和幅角的关系：模r表示复数与原点的距离，幅角θ表示复数与正实轴的夹角。

r的计算公式为|r|=√(a²+b²)，幅角θ的计算公式为θ=arctan(b/a)。

5. 直角坐标形式与极坐标形式的转换：复数可以在直角坐标系和极坐标系之间互相转换。

直角坐标形式转换为极坐标形式，可利用|r|和θ的公式，极坐标形式转换为直角坐标形式，可将r和θ代入复数的表示公式。

6. 复数的加法和减法：复数的加法和减法按照实部和虚部分别相加和相减的原则。

7. 复数的乘法：复数的乘法按照分配率和乘法公式展开进行计算。

8. 复数的除法：复数的除法通过乘以倒数来进行，其中分母的共轭复数作为分子的共轭复数的倒数。

9. 欧拉公式：欧拉公式是复数的一个重要公式，表示为e^(iθ)=cosθ+isinθ，其中e为自然对数的底数。

10. 复数的指数和对数函数：复数可以进行指数和对数运算，其中指数函数遵循e^(a+bi)=e^a(cosb+isina)，对数函数遵循ln(a+bi)=ln|a+bi|+iθ。

11. 复数的幂运算：复数的幂运算可以通过将复数转换为极坐标形式，并运用指数函数的性质进行计算。

12. 复数的根式运算：复数的根式运算可以通过将复数转换为极坐标形式，并运用根式的性质进行计算。

高中数学知识点总结复数与复平面高中数学知识点总结：复数与复平面一、复数的定义及性质复数是由实数和虚数构成的。

一般表示为z=a+bi，其中a和b分别为实数部分和虚数部分，i为虚数单位，满足i²=-1。

复数的性质如下：1. 加法性质：(a+bi) + (c+di) = (a+c) + (b+d)i2. 减法性质：(a+bi) - (c+di) = (a-c) + (b-d)i3. 乘法性质：(a+bi)(c+di) = (ac-bd) + (ad+bc)i4. 除法性质：(a+bi)/(c+di) = [(ac+bd)/(c²+d²)] + [(bc-ad)/(c²+d²)]i二、复数的共轭及模对于一个复数z=a+bi，它的共轭复数表示为z*=a-bi，共轭复数z*的实部与z的实部相同，虚部与z的虚部相反。

复数的模（绝对值）表示为|z|=√(a²+b²)，它表示复数与原点之间的距离。

三、复平面及复数的表示复平面是一个以实轴和虚轴构成的平面，可以用来表示复数。

实轴表示实数部分，虚轴表示虚数部分。

在复平面上，复数a+bi对应着平面上的一个点，点的横坐标为a，纵坐标为b。

这种表示方式称为直角坐标系表示法。

还有极坐标系表示法，有时候也会用到。

复数a+bi可以表示成模与幅角的形式，其中模表示为|r|=√(a²+b²)，幅角表示为θ=tan⁻¹(b/a)。

四、复数的运算1. 复数的加法和减法可以直接按照实部和虚部相加减的规则进行运算。

2. 复数的乘法可以按照乘法性质计算，然后合并实部与虚部得到结果。

3. 复数的除法可以通过将除数的共轭乘以被除数，再除以除数的模的平方来计算。

五、复数的乘方和根1. 对复数z=a+bi进行乘方运算可以使用指数法则，即z^n =(a+bi)^n = r^n * (cos(nθ) + isin(nθ))，其中r为z的模，θ为z的幅角。

复数的相关概念引言复数是数学中的一种扩展形式，可以表示实数范围之外的数字。

它由实部和虚部组成，并且遵循特定的运算规则。

本文将介绍复数的定义、表示法、运算法则以及它在实际应用中的相关概念。

一、复数的定义复数是指由实部和虚部组成的数。

实部是一个实数，虚部是一个带有虚单位i的实数。

复数可以表示为a + bi，其中a是实部，b是虚部。

二、复数的表示法复数有多种表示法，常见的有直角坐标表示法和极坐标表示法。

1. 直角坐标表示法在直角坐标系中，一个复数被表示为一个有序实数对(a, b)。

其中，a是实部，b是虚部。

该表示法可以将复数视为复平面上的点，其中a沿着实轴表示，b沿着虚轴表示。

2. 极坐标表示法在极坐标系中，一个复数可以被表示为一个模和一个辐角的有序实数对(r, θ)。

其中，r是复数的模，表示复数与原点的距离；θ是辐角，表示复数与正实轴之间的夹角。

该表示法可以将复数视为复平面上的向量。

三、复数的运算法则复数的运算法则基于实数的运算法则，并额外考虑了虚部之间的运算。

1. 加法和减法复数的加法和减法遵循实部和虚部分别相加或相减的原则。

例如，对于复数z1 = a + bi和z2 = c + di，其中a、b、c、d均为实数，则有z1 + z2 = (a + c) + (b +d)i，z1 - z2 = (a - c) + (b - d)i。

复数的乘法涉及到实部和虚部之间的相乘。

例如，对于复数z1 = a + bi和z2 = c + di，则有z1 z2 = (ac - bd) + (ad + bc)i*。

3. 除法复数的除法涉及到实部和虚部的除法运算。

例如，对于复数z1 = a + bi和z2 = c + di，则有z1 / z2 = ( (ac + bd) / (c^2 + d^2) ) + ( (bc - ad) / (c^2 + d^2) )i。

四、复数的相关概念1. 共轭复数共轭复数指的是虚部符号相反的复数。

高二数学复数知识点一、复数的概念与定义复数是实数的扩展，它由一个实部和一个虚部组成，一般形式为a+bi，其中a和b是实数，i是虚数单位，满足i²=-1的条件。

在复数中，当b不等于零时，我们称b为复数的虚部，而a则是实部。

如果b等于零，则复数退化为实数。

复数的引入，极大地丰富了数学的内涵，使得许多在实数范围内无法解决的问题得以解决。

二、复数的几何意义复数不仅仅是一种代数结构，它还具有丰富的几何意义。

在复平面上，每一个复数z=a+bi可以对应一个点(a,b)，其中a是该点在实轴上的位置，b是该点在虚轴上的位置。

这样，复数与平面上的点建立了一一对应的关系。

复数的这种几何解释，使得我们可以用图形的方式直观地理解和处理复数问题。

三、复数的运算规则复数的运算是复数理论中的重要内容。

两个复数的加法、减法、乘法和除法都有明确的规则。

例如，两个复数相加时，只需将对应的实部和虚部分别相加即可；相乘时，则需要使用分配律，即将一个复数的实部与另一个复数的实部和虚部分别相乘，然后再将结果相加。

复数的除法则稍微复杂，需要引入共轭复数的概念，通过乘以分母的共轭来消除虚部，从而简化计算。

四、复数的模与辐角复数的模（或绝对值）是指复数在复平面上对应的点到原点的距离，用符号|z|表示，计算公式为√(a²+b²)。

复数的辐角（或称为相位角）则是复数向量与实轴正方向的夹角，用符号arg(z)表示。

辐角的计算需要使用反三角函数，并且在计算时需要注意角度的范围。

模和辐角是复数的两个重要属性，它们在解决复数问题时具有重要的应用价值。

五、复数的应用复数在数学的许多领域都有广泛的应用，例如在解析几何中，复数可以用来描述和解决平面上的点和直线的问题；在代数中，复数域是实数域的自然扩展，它使得多项式方程的根的个数不再受限于实数范围内；在物理学中，复数用于处理交变电流、波动等现象；在工程学中，复数则用于信号处理和系统分析等领域。

第七章复数1．知识结构：2．基本要求：理解复数的有关概念：复数、虚数、纯虚数，复数的实部、虚部，共轭复数、复数相等；理解复平面的有关概念：复平面、实轴、虚轴，复数的向量表示、复数的模、复平面上两点间的距离．掌握复数的四则运算、平方根，1的立方根；会解实系数一元二次方程．3．重点问题：（1）利用复数的分类、复数相等、复数的运算求解复数问题；（2）掌握复数的模、两复数差的模的几何意义，并解决模的最值问题；（3）掌握实系数一元二次方程的根的问题．4．思想方法与能力：（1）将复数问题转化为实数问题的“化归思想”；（2）通过对实系数一元二次方程的根的问题，把握分类讨论的数学思想；（3）根据复数与复平面内的点的对应关系，注意数与形的转化．1941957.1 复数的概念及运算（一）知识梳理1．复数概念：（1）z a bi =+（a b R ∈、），i 为虚数单位，a 为实部，b 为虚部 （2）共轭复数：z a bi =-（3）复平面：实轴、虚轴，z 对应复平面上的点的坐标为(,)a b （4）复数的模：z =z 对应点到原点的距离2．复数分类： （1）实数：0b = （2）虚数：0b ≠（3）纯虚数：0a =且0b ≠ 3．复数相等：设1z a bi =+，2z c di =+，a b R ∈、、c 、d ，则12z z a c =⇔=且b d = 4．复数的四则运算设111z a b i =+，222z a b i =+（1122a b a b R ∈、、、），则 （1）121212()()z z a a b b i ±=±+± （2）1212121221()()z z a a b b a b a b i =-++ （3）11212211222222()()z a a b b a b a b iz a b ++-=+（分母实数化） 5．共轭复数与模的性质（1）1212z z z z ±=±； 1212z z z z ⋅=⋅； 1122z z z z ⎛⎫=⎪⎝⎭ （2）1212z z z z ⋅=⋅； 1122z z z z = （3）2z z z =⋅； z z =（4）z R z z ∈⇔=； z 为纯虚数z z ⇔=-且0z ≠6．求解复数z 的方法设z a bi =+（a b R ∈、），转化为求实数a b 、的方程组典型例题196【例1】判断下列命题的真假：（1）设12z z C ∈、，若2212z z =，则1122z z z z =；（2）设123z z z C ∈、、，若221223()()0z z z z -+-=，则123z z z ==；（3）设z C ∈，则z 为纯虚数的充要条件是0z z +=； （4）设12z z C ∈、，若120z z ->，则12z z >； （5）设12z z C ∈、，则12z z -= （6）设z C ∈，则()()m nmnz zm n Q =∈，解：（1）为真命题，其余都为假命题【例2】实数m 分别取什么数时，复数2(1)52)615z i m i m i =++-+-（是 （1）实数；（2）虚数；（3）纯虚数；（4）对应的点在第三象限； （5）对应的点在直线40x y ++=上；（6）共轭复数的虚部为12 解：（1）53m m ==-或；（2）53m m ≠≠-且；（3）2m =-； （4）32m -<<-；（5）512m m =-=或【例3】计算下列各式的值： （1）232005i i i i ⋅⋅⋅⋅= （2）232005i i i i ++++=（3）7651212i i i i ---+-- 解：（1）i - （2）i （3）7455i -- 说明：i 的幂运算具有周期性【例4】（1）已知1z i =+，设23(1)4z i ω=+--，求ω （2）若(34)724z i i -=-+，求1z（3）若545(13)(1)(3)i i z i ++=-，求z 的值解：（1）2(1)3(1)41i i i ω=++--=--197（2）72434i z i -+=+，1z =342525i +（3）545455131(13)(1)4(3)3i ii i z i i++++===-- 【备用题1】已知z w C ∈，，(13)i z +为纯虚数，2zw i=+，且w =w 解：(155)z i =±+，则7w i =-或7w i =-+巩固练习1．对于任意虚数z ，z z +的共轭一定是 ，z z -一定是 ，z z ⋅一定是 ，22()z z -一定是2．已知121iz i-=+，则z = ，z = 3．设b R ∈，且1122i bi +++的实部与虚部相等，则b =4．计算2320081i i i i +++++=5．若123421z i z i =--=+，，且12z z z ⋅=，则z =6．若223()1z z f z z -+=+，则(1)f i +=7．计算：2310011111111i i i i i i i i ++++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅⋅⋅⋅ ⎪ ⎪⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭的值为 8．计算： 264(43)(3)(12)i i i --=- 9．复数3()z ai a R =-∈，若5z <，则a 的取值范围是 10．设复数z 满足5z =，且(34)i z +是纯虚数，则z =11．当m 为何值时，22(344)(252)z m m m m i =--+++为：（1）实数；（2）虚数；（3）纯虚数；（4）对应点在第二象限？19812．设m R ∈，虚数22(1)()z m m m i =++-，且2(1)z m i =+-+，求m 的值7.2 复数的概念及运算（二）典型例题【例1】已知1z i =+，若2211z az bi z z ++=--+，求实数,a b 的值. 解：因为2(1)(1)1i z z i --+=+，又22(1)(1)()(2)z az b i a i b a b a i ++=++++=+++ 所以121a b a +=+=，，所以12a b =-=，说明：复数相等的充要条件是解复数问题的重要依据【例2】求复数z ，使4z R z+∈，且22z -= 解一：设z a bi =+（a b R ∈、）由22224444()()a b z a bi a b i R z a bi a b a b +=++=++-∈+++故2240bb a b-=+ 又由22z -=2= 解方程组，可得0z =，4z =，1z = 解二：由4z R z +∈，即441()z z z z z z+=+=+，则2()(4)0z z z--=，即z z =或24z =当z z =且22z -=时，0z =或4z =； 当24z =且22z -=时，0z =或1z =± 综上所述：0z =，4z =，1z =±199【例3】设w 是方程110z z++=的一个根，求： （1）248(1)(1)(1)(1)w w w w ++++ （2）20082008ww -+解：（1）1；（2）1- 【例4】设z 是虚数，1z zω=+是实数，且12ω-<< （1）求z 的值及z 的实部的取值范围； （2）设11zu z-=+，求证u 为纯虚数； （3）求2u ω-的最小值.解：（1）由1z R zω=+∈且z 是纯虚数得1z =，则z z ω=+ 设z a bi =+ (,)a b R ∈，则2a ω=，由12ω-<<知112a -<<则，1Re 12z -<<（2）证明：111()111z z zz z z u u z z z zz z ----=====-++++ 且0u ≠，所以u 为纯虚数（3）因为222121z z z u z z uu a z z zω--+-=++=++++1222(1)3111a a a a a -=+=++-≥++ 当且仅当0a =即z i =±时，2u ω-有最小值为1巩固练习1．复数34i +的平方根为2．若一个复数的平方等于它的共轭复数，则此复数为 3．虚数z 满足1z R z+∈，则z = 4．已知z u C ∈、且z u ≠，1z =，则1z uz u--⋅的值为5．设复数()z x yi x y R x y =+∈≠、，，若222z z P Q z z i-==⋅，，则下列关系式中正确的是（ ）(A) P Q > (B) P Q < (C) P Q = (D) P Q 、不能确定大小2006．如果210w w ++=，则21001w w w ++++=7．设221z z =-则复数z =8．设x y 、为共轭复数，且()326x y xyi i +-=-，求x y 、9．已知2222x y xyi i -+=，求实数x y 、的值10．已知1z R z+∈，且2z -，求复数z .7.3 复数的几何意义与向量表示知识梳理1．复数与复平面内点及位置向量的对应复数z x yi =+（x y R ∈、），对应点(,)P x y ，对应向量(,)OP x y = 2．两复数差的模的几何意义：设复数111z x y i =+，222z x y i =+（1122x y x y R ∈、、、）对应复平面上的点分别为12Z Z 、，则12z z -表示两点12Z Z 、之间的距离，即1221z z Z Z -=3．常见轨迹的复数方程：（1）0(0)z z r r -=>表示以复数0z 对应点为圆心，r 为半径的圆 （2）12z z z z -=-表示以复数12z z 、对应点为端点的线段的垂直平分线 （3）122z z z z a -+-= 12(2)z z a -<表示椭圆 （4）122z z z z a ---= 12(2)z z a ->表示双曲线的一支典型例题201【例1】平行四边形OABC ，各顶点对应的复数分别是00,2,23,2A B az z i z a i ==+=-+ C z b ai =-+ (,)a b R ∈，求AOC ∠大小.解：由题设得(0,0)(2,)(2,3)(,)2a O A B a Cb a --，，， 因0ABC 为平行四边形，故OC 中点与AB 中点重合 故由中点公式，得2,6a b ==此时，OA OC AC ===由余弦定理，得34AOC π∠=说明：注意到复数的几何意义，即复数的实部、虚部对应于复平面内点的横坐标、终坐标【例2】复数z 所对应的点Z ，点Z 的轨迹是什么曲线？ （1）12z i ++= （2）4z i z i ++-= （3）223z i z --=解：（1）是以点(1,1)--为圆心，2为半径的圆（2）是以点(0,1)±为焦点的椭圆，其方程为22134x y += （3）设复数z 对应点为(,)x y ，则(,)z x y i x y R =+∈，代入原式并化简得2288240x y x y +--+=，其轨迹为：以(4,4)为圆心，说明：注意到两复数差的模的几何意义【例3】（1）已知1z =，求2z -的最值；（2）已知11z i --=，求z i +的最值；（3）复数z 满足223z i z --=，求z 的最大值与最小值 （4）若z =2242z z i -++的最小值解：（1）利用单位圆上的点到点(2,0)的距离的最值得最大值为3、最小值为1（2）以(1,1)为圆心，1为半径的圆上的点到(0,1)-1、2021（3）由例2（3）知，max z =min z =（4）设(,)z x yi x y R =+∈，则z对应点的轨迹是：以原点为圆心，为半径的圆 而2222222242(4)(2)2(2)2(1)10z z i x y x y x y -++=-++++=-+++其中22(2)(1)x y -++的最小值为220=所以2242z z i -++的最小值为50说明：一般地，复数z 满足0(0)z z r r -=>，则复数z 对应复平面内点的轨迹是：以复数0z 对应点为圆心，r 为半径的圆【例4】若复数01(0)z mi m =->，对任意复数z 都有0w z z =⋅，2w z =。