复数的有关概念

复数的知识点总结与题型归纳一、知识要点 1．复数的有关概念我们把集合C ＝{}a ＋b i|a ，b ∈R 中的数，即形如a ＋b i(a ，b ∈R)的数叫做复数，其中i 叫做虚数单位．全体复数所成的集合C 叫做复数集．复数通常用字母z 表示，即z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)，这一表示形式叫做复数的代数形式．对于复数z ＝a ＋b i ，以后不作特殊说明都有a ，b ∈R ，其中的a 与b 分别叫做复数z 的实部与虚部．说明：(1)复数集是最大的数集，任何一个数都可以写成a ＋b i(a ，b ∈R)的形式，其中0＝0＋0i.(2)复数的虚部是实数b 而非b i.(3)复数z ＝a ＋b i 只有在a ，b ∈R 时才是复数的代数形式，否则不是代数形式． 2．复数相等在复数集C ＝{}a ＋b i|a ，b ∈R 中任取两个数a ＋b i ，c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R)，我们规定：a ＋b i 与c ＋d i 相等的充要条件是a ＝c 且b ＝d .3．复数的分类对于复数a ＋b i ，当且仅当b ＝0时，它是实数；当且仅当a ＝b ＝0时，它是实数0；当b ≠0时，叫做虚数；当a ＝0且b ≠0时，叫做纯虚数．这样，复数z ＝a ＋b i 可以分类如下：复数z ⎩⎪⎨⎪⎧实数(b ＝0)，虚数(b ≠0)(当a ＝0时为纯虚数).说明：复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系4．复数的几何意义(1)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)―――――――→一一对应复平面内的点Z (a ，b ) (2)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R) ――――→一一对应平面向量OZ ――→. 5．复数的模(1)定义：向量OZ 的模r 叫做复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)的模． (2)记法：复数z ＝a ＋b i 的模记为|z |或|a ＋b i|. (3)公式：|z |＝|a ＋b i|＝r ＝a 2＋b 2(r ≥0，r ∈R)． 说明：实轴、虚轴上的点与复数的对应关系实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数，原点对应的有序实数对为(0,0)，它所确定的复数是z ＝0＋0i ＝0，表示的是实数．6．复数的加、减法法则设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R)，则z 1＋z 2＝(a ＋c )＋(b ＋d )i ，z 1－z 2＝(a －c )＋(b －d )i. 7．复数加法运算律设z 1，z 2，z 3∈C ，有z 1＋z 2＝z 2＋z 1，(z 1＋z 2)＋z 3＝z 1＋(z 2＋z 3)． 8．复数加、减法的几何意义设复数z 1，z 2对应的向量为OZ 1――→，OZ 2――→，则复数z 1＋z 2是以OZ 1――→，OZ 2――→为邻边的平行四边形的对角线OZ ――→ 所对应的复数，z 1－z 2是连接向量OZ 1――→与OZ 2――→的终点并指向OZ 1――→的向量所对应的复数．它包含两个方面：一方面是利用几何意义可以把几何图形的变换转化为复数运算去处理，另一方面对于一些复数的运算也可以给予几何解释，使复数作为工具运用于几何之中．9．复数代数形式的乘法法则设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R)，则z 1·z 2＝(a ＋b i)(c ＋d i)＝(ac －bd )＋(ad ＋bc )i.10．复数乘法的运算律 对任意复数z 1，z 2，z 3∈C ，有11.共轭复数已知z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i ，a ，b ，c ，d ∈R ，则 (1)z 1，z 2互为共轭复数的充要条件是a ＝c 且b ＝－d . (2)z 1，z 2互为共轭虚数的充要条件是a ＝c 且b ＝－d ≠0. 12．复数代数形式的除法法则： (a ＋b i)÷(c ＋d i)＝a ＋b ic ＋d i ＝ac ＋bd c 2＋d 2＋bc －adc 2＋d 2i(c ＋d i ≠0)． 说明：在进行复数除法时，分子、分母同乘以分母的共轭复数c －d i ，化简后即得结果，这个过程实际上就是把分母实数化，这与根式除法的分母“有理化”很类似．二、题型总结题型一：复数的概念及分类[典例] 实数x 分别取什么值时，复数z ＝x 2－x －6x ＋3＋(x 2－2x －15)i 是(1)实数？(2)虚数？(3)纯虚数？[解] (1)当x 满足⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x －15＝0，x ＋3≠0，即x ＝5时，z 是实数．(2)当x 满足⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x －15≠0，x ＋3≠0，即x ≠－3且x ≠5时，z 是虚数．(3)当x 满足⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －6x ＋3＝0，x 2－2x －15≠0，x ＋3≠0，即x ＝－2或x ＝3时，z 是纯虚数．复数分类的关键(1)利用复数的代数形式，对复数进行分类，关键是根据分类标准列出实部、虚部应满足的关系式．求解参数时，注意考虑问题要全面，当条件不满足代数形式z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)时应先转化形式.(2)注意分清复数分类中的条件设复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)，则①z 为实数⇔b ＝0，②z 为虚数⇔b ≠0，③z 为纯虚数⇔a ＝0，b ≠0.④z ＝0⇔a ＝0，且b ＝0题型二、复数相等[典例] 已知关于x 的方程x 2＋(1－2i)x ＋(3m －i)＝0有实数根，则实数m 的值为________，方程的实根x 为________．[解析] 设a 是原方程的实根，则a 2＋(1－2i)a ＋(3m －i)＝0， 即(a 2＋a ＋3m )－(2a ＋1)i ＝0＋0i ，所以a 2＋a ＋3m ＝0且2a ＋1＝0， 所以a ＝－12且⎝ ⎛⎭⎪⎫－122－12＋3m ＝0，所以m ＝112.题型三：复数与点的对应关系[典例] 求实数a 分别取何值时，复数z ＝a 2－a －6a ＋3＋(a 2－2a －15)i(a ∈R)对应的点Z 满足下列条件：(1)在复平面的第二象限内． (2)在复平面内的x 轴上方．[解](1)点Z 在复平面的第二象限内，则⎩⎪⎨⎪⎧a 2－a －6a ＋3＜0，a 2－2a －15＞0，解得a ＜－3.(2)点Z 在x 轴上方，则⎩⎪⎨⎪⎧a 2－2a －15＞0，a ＋3≠0，即(a ＋3)(a －5)＞0，解得a ＞5或a ＜－3.题型四：复数的模[典例] (1)若复数z 对应的点在直线y ＝2x 上，且|z |＝5，则复数z ＝( ) A ．1＋2i B ．－1－2i C ．±1±2iD ．1＋2i 或－1－2i(2)设复数z 1＝a ＋2i ，z 2＝－2＋i ，且|z 1|＜|z 2|，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，－1)∪(1，＋∞) B ．(－1,1) C ．(1，＋∞)D ．(0，＋∞)[解析] (1)依题意可设复数z ＝a ＋2a i(a ∈R)，由|z |＝5得 a 2＋4a 2＝5，解得a ＝±1，故z ＝1＋2i 或z ＝－1－2i. (2)因为|z 1|＝ a 2＋4，|z 2|＝4＋1＝5，所以a 2＋4＜5，即a 2＋4＜5，所以a 2＜1，即－1＜a ＜1. [答案] (1)D (2)B题型五：复数与复平面内向量的关系[典例] 向量OZ 1――→对应的复数是5－4i ，向量OZ 2――→对应的复数是－5＋4i ，则OZ 1――→+OZ 2――→对应的复数是( )A ．－10＋8iB ．10－8iC ．0D ．10＋8i[解析] 因为向量OZ 1――→对应的复数是5－4i ，向量OZ 2――→对应的复数是－5＋4i ，所以OZ 1――→＝(－5, 4), OZ 2――→＝(5, －4)，所以OZ 2――→＝(5，－4)＋(－5,4)＝(0,0)，所以OZ 1――→+OZ 2――→对应的复数是0.[答案] C题型六：复数代数形式的加、减运算[典例] (1)计算：(2－3i)＋(－4＋2i)＝________.(2)已知z 1＝(3x －4y )＋(y －2x )i ，z 2＝(－2x ＋y )＋(x －3y )i ，x ，y 为实数，若z 1－z 2＝5－3i ，则|z 1＋z 2|＝________.[解析] (1)(2－3i)＋(－4＋2i)＝(2－4)＋(－3＋2)i ＝－2－i.(2)z 1－z 2＝[(3x －4y )＋(y －2x )i]－[(－2x ＋y )＋(x －3y )i]＝[(3x －4y )－(－2x ＋y )]＋[(y －2x )－(x －3y )]i ＝(5x －5y )＋(－3x ＋4y )i ＝5－3i ，所以⎩⎪⎨⎪⎧5x －5y ＝5，－3x ＋4y ＝－3，解得x ＝1，y ＝0，所以z 1＝3－2i ，z 2＝－2＋i ，则z 1＋z 2＝1－i ，所以|z 1＋z 2|＝ 2. [答案] (1)－2－i (2)2题型七：复数加减运算的几何意义[典例] 如图所示，平行四边形OABC 的顶点O ，A ，C分别表示0,3+2i ，-2+4i.求：(1) AO ――→表示的复数； (2)对角线CA ――→表示的复数； (3)对角线OB ――→表示的复数．[解] (1)因为AO ――→＝－OA ――→，所以AO ――→表示的复数为－3－2i.(2)因为CA ――→＝OA ――→－－OC ――→，所以对角线CA ――→表示的复数为(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i.(3)因为对角线OB ――→＝OA ――→＋OC ――→，所以对角线OB ――→表示的复数为(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i.题型八：复数模的最值问题[典例] (1)如果复数z 满足|z ＋i|＋|z －i|＝2，那么|z ＋i ＋1|的最小值是( ) A ．1 B.12 C ．2D. 5(2)若复数z 满足|z ＋3＋i|≤1，求|z |的最大值和最小值．[解析] (1)设复数-i ，i ，-1-i 在复平面内对应的点分别为Z 1，Z 2，Z 3， 因为|z+i|+|z-i|=2，|Z 1Z 2|=2，所以点Z 的集合为线段Z 1Z 2.问题转化为：动点Z 在线段Z 1Z 2上移动，求|ZZ 3|的最小值，因为|Z 1Z 3|=1. 所以|z+i+1|min=1. [答案] A(2)解：如图所示， |OM ――→|＝(－3)2＋(－1)2＝2.所以|z |max ＝2＋1＝3，|z |min ＝2－1＝1.题型九：复数代数形式的乘法运算[典例](1)已知i 是虚数单位，若复数(1＋a i)(2＋i)是纯虚数，则实数a 等于( )A ．2 B.12 C ．－12D ．－2(2)(江苏高考)复数z ＝(1＋2i)(3－i)，其中i 为虚数单位，则z 的实部是________． [解析] (1)(1＋a i)(2＋i)＝2－a ＋(1＋2a )i ，要使复数为纯虚数，所以有2－a ＝0,1＋2a ≠0，解得a ＝2.(2)(1＋2i)(3－i)＝3－i ＋6i －2i 2＝5＋5i ，所以z 的实部是5.题型十：复数代数形式的除法运算[典例] (1)若复数z 满足z (2－i)＝11＋7i(i 是虚数单位)，则z 为( ) A ．3＋5i B ．3－5i C ．－3＋5iD ．－3－5i(2)设i 是虚数单位，复数1＋a i2－i为纯虚数，则实数a 为( ) A ．2 B ．－2 C ．－12D.12[解析] (1)∵z (2－i)＝11＋7i ，∴z ＝11＋7i2－i ＝(11＋7i)(2＋i)(2－i)(2＋i)＝15＋25i5＝3＋5i.(2)1＋a i2－i ＝(1＋a i)(2＋i)(2－i)(2＋i)＝2－a 5＋1＋2a 5i ，由1＋a i 2－i 是纯虚数，则2－a 5＝0，1＋2a 5≠0，所以a ＝2.[答案] (1)A (2)A题型十一：i 的乘方的周期性及应用[典例] (1)(湖北高考)i 为虚数单位，i 607的共轭复数为( ) A ．iB ．－iC．1 D．－1(2)计算i1＋i2＋i3＋…＋i2 016＝________.[解析](1)因为i607＝i4×151＋3＝i3＝－i，所以其共轭复数为i，故选A.(2)法一：原式＝i(1－i2 016)1－i＝i[1－(i2)1 008]1－i＝i(1－1)1－i＝0.法二：∵i1＋i2＋i3＋i4＝0，∴i n＋i n＋1＋i n＋2＋i n＋3＝0(n∈N)，∴i1＋i2＋i3＋…＋i2 016，＝(i1＋i2＋i3＋i4)＋(i5＋i6＋i7＋i8)＋…＋(i2 013＋i2 014＋i2 015＋i2 016)＝0. [答案](1)A(2)0说明：虚数单位i的周期性(1)i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＝1(n∈N*)(2)i n＋i n＋1＋i n＋2＋i n＋3＝0(n∈N)。

复数的知识点总结一、复数概述复数是数学中的一个重要概念，它由实数和虚数部分组成。

虚数单位i定义为i² = -1，其中i是一个虚数。

复数可表示为a + bi的形式，其中a是实数部分，bi 是虚数部分。

二、复数运算1. 复数加法和减法复数的加法和减法按照实部和虚部分别进行运算，即将实部相加或相减，并将虚部相加或相减。

例如，给定复数z₁ = a₁ + b₁i和z₂ = a₂ + b₂i，它们的和可以表示为z₁ + z₂ = (a₁ + a₂) + (b₁ + b₂)i，差可以表示为z₁ - z₂ = (a₁ - a₂) + (b₁ - b₂)i。

2. 复数乘法复数乘法采用分配律和虚数单位的平方等于-1的性质进行计算。

例如，给定复数z₁ = a₁ + b₁i和z₂ = a₂ + b₂i，它们的乘积可以表示为z₁ * z₂ = (a₁ * a₂ - b₁ * b₂) + (a₁ * b₂ + a₂ * b₁)i。

3. 复数除法复数除法是将分子和分母同乘以分母的共轭，并利用虚数单位的平方等于-1的性质进行计算。

例如，给定复数z₁ = a₁ + b₁i和z₂ = a₂ + b₂i，它们的除法可以表示为z₁ / z₂ = ((a₁ * a₂ + b₁ * b₂) / (a₂² + b₂²)) + ((a₂ * b₁ - a₁ * b₂) / (a₂² + b₂²))i。

三、复数的共轭和模1. 复数的共轭复数的共轭是保持实部相同而虚部变号的操作。

复数a + bi的共轭可以表示为a - bi，其中a是实部，b是虚部。

2. 复数的模复数的模是复数到原点的距离，可以用勾股定理计算。

复数a + bi的模可以表示为√(a² + b²)。

四、复数的指数形式和三角形式1. 复数的指数形式复数可以用指数形式表示为re^(iθ)，其中r是模，θ是辐角。

2. 复数的三角形式复数的三角形式是指使用三角函数表示复数。

1．2 复数的有关概念1．两个复数相等的充要条件设a ，b ，c ，d 都是实数，则a ＋b i ＝c ＋d i ，当且仅当a ＝c ，且b ＝d ．(1)分清两复数的实、虚部．(2)能把复数问题化为实数问题． (3)a ＋b i ＝0⇔a ＝0且b ＝0.(4)虚数不能比较大小，有大小关系的两个数一定是实数．2．复平面与复数的几何意义(1)复平面的定义：当用直角坐标平面内的点来表示复数时，我们称这个直角坐标平面为复平面．实轴：x 轴称为实轴． 虚轴：y 轴称为虚轴． (2)复数的几何意义①复数与复平面内的点一一对应，复数a ＋b i(a ，b ∈R )可以用复平面内的点(a ，b )表示． ②复数与以原点为起点的向量一一对应，复数a ＋b i 可以用向量OZ →表示，其中O (0，0)，Z (a ，b )．实轴上的点均表示实数，虚轴上的点除原点外均表示纯虚数，不在实轴虚轴上的点均表示非纯虚数．3．复数的模若z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则|z |＝a 2＋b 2．(1)复数的模为非零实数，可比较大小．(2)两个复数当且仅当都是实数时才能比较大小，否则不能比较大小．判断下列说法是否正确．(在题后标注“√”或“×”) (1)原点是实轴、虚轴的公共点．( ) (2)虚轴上的点都表示纯虚数．( ) (3)3i>i.( )答案：(1)√ (2)× (3)×若OZ →＝(0，－3)，则OZ →对应的复数为( ) A ．0 B ．－3 C ．－3iD ．3解析：选C.复数的实部为0，虚部为－3，所以对应的复数为－3i.已知z ＝(m ＋3)＋(m －1)i 在复平面内对应的点在第四象限，则实数m 的取值范围是( )A ．(－3，1)B ．(－1，3)C ．(1，＋∞)D ．(－∞，－3)解析：选 A.由已知可得复数z 在复平面内对应的点的坐标为(m ＋3，m －1)，所以⎩⎪⎨⎪⎧m ＋3＞0，m －1＜0，解得－3＜m ＜1，故选A. 如果复数z ＝1＋a i 满足条件|z |<2，那么实数a 的取值范围是________． 解析：由z ＝1＋a i ，|z |<2，a ∈R 得 a 2＋1<2，解得－3<a < 3.答案：(－3，3)1．对复数概念的理解(1)当两个复数不全是实数时，不能比较大小，只可判定相等或不相等，但两个复数都是实数时，可以比较大小．(2)利用复数相等，可以把复数问题转化成实数问题进行解决，并且一个复数等式可得到两个实数等式，为应用方程思想提供了条件．2．探究复数的几何意义根据复数与复平面内的点一一对应，复数与平面向量一一对应，可知复数z ＝a ＋b i 、复平面内的点Z (a ，b )和平面向量OZ →之间的关系可用下图表示：复数相等(1)设x ，y ∈R ，且(2x －3y ＋7)＋(x －y )i ＝(3x －2y )i ＋x ＋y .求x ，y .(2)已知A ＝{1，2，a 2－3a －1＋(a 2－5a －6)i}，B ＝{－1，3}，A ∩B ＝{3}，求实数a 的值．【解】 (1)因为x ，y ∈R ，由复数相等的条件得⎩⎪⎨⎪⎧2x －3y ＋7＝x ＋y ，x －y ＝3x －2y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2. (2)由题意知，a 2－3a －1＋(a 2－5a －6)i ＝3(a ∈R )，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 2－3a －1＝3，a 2－5a －6＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4或a ＝－1，a ＝6或a ＝－1，所以a ＝－1.复数相等的充要条件(1)在两个复数相等的充要条件中，注意前提条件是a ，b ，c ，d ∈R ，即当a ，b ，c ，d ∈R 时，a ＋b i ＝c ＋d i ⇔a ＝c 且b ＝d .若忽略前提条件，则结论不能成立．(2)利用该条件把复数的实部和虚部分离出来，达到“化虚为实”的目的，从而将复数问题转化为实数问题来求解．1.(1)若a i ＋2＝b －i(a ，b ∈R )，i 为虚数单位，则a 2＋b 2＝( )A ．0B ．2C ．52D ．5(2)已知x 2＋y 2－6＋(x －y －2)i ＝0，求实数x ，y 的值． 解：(1)选D.因为a i ＋2＝b －i(a ，b ∈R )，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝2，所以a 2＋b 2＝(－1)2＋22＝5.故选D.(2)由复数相等的意义，得方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－6＝0，①x －y －2＝0.②由②得x ＝y ＋2，代入①得y 2＋2y －1＝0. 解得y 1＝－1＋2，y 2＝－1－2， 代入②得x 1＝1＋2，x 2＝1－ 2.即⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝1＋2，y 1＝－1＋2，⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝1－2，y 2＝－1－ 2.复数的几何意义已知复数z ＝(a 2－1)＋(2a －1)i ，其中a ∈R .当复数z 在复平面内对应的点Z 满足下列条件时，求a 的值(或取值范围)．(1)在实轴上； (2)在第三象限．【解】 (1)若对应的点在实轴上，则有2a －1＝0，解得a ＝12.(2)若z 对应的点在第三象限，则有⎩⎪⎨⎪⎧a 2－1<0，2a －1<0.解得－1<a <12.故a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－1，12.本例中复数z 不变，若点Z 在抛物线y 2＝4x 上，求a 的值．解：若z 对应的点(a 2－1，2a －1)在抛物线y 2＝4x 上，则有(2a －1)2＝4(a 2－1)，即4a 2－4a ＋1＝4a 2－4，解得a ＝54.利用复数与点的对应解题的步骤(1)找对应关系：复数的几何表示法即复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )可以用复平面内的点Z (a ，b )来表示，是解决此类问题的根据．(2)列出方程：此类问题可建立复数的实部与虚部应满足的条件，通过解方程(组)或不等式(组)求解．2.(1)已知复数z ＝a ＋a 2i(a <0)，则复数z 在复平面内对应的点在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限(2)已知平面直角坐标系中O 是原点，向量OA →，OB →对应的复数分别为2－3i ，－3＋2i ，那么向量BA →对应的复数是( )A ．－5＋5iB ．5－5iC ．5＋5iD ．－5－5i解析：(1)选B.因为a <0，所以复数z ＝a ＋a 2i 对应的点(a ，a 2)位于第二象限． (2)选B.向量OA →，OB →对应的复数分别记作z 1＝2－3i ，z 2＝－3＋2i ，根据复数与复平面内的点一一对应，可得向量OA →＝(2，－3)，OB →＝(－3，2)．由向量减法的坐标运算可得向量BA →＝OA →－OB →＝(2＋3，－3－2)＝(5，－5)， 根据复数与复平面内的点一一对应，可得向量BA →对应的复数是5－5i.复数的模及其计算在复平面内画出复数z 1＝12＋32i ，z 2＝－1，z 3＝12－32i 对应的向量OZ 1→，OZ 2→，OZ 3→，求出各复数的模，同时判断各复数对应的点在复平面上的位置关系．【解】 向量OZ 1→，OZ 2→，OZ 3→如图所示．|z 1|＝⎝⎛⎭⎫122＋⎝⎛⎭⎫322＝1， |z 2|＝|－1|＝1， |z 3|＝⎝⎛⎭⎫122＋⎝⎛⎭⎫－322＝1. 点Z 1，Z 3关于实轴对称，且点Z 1，Z 2，Z 3在以原点为圆心的单位圆上．计算复数的模时，应先找出复数的实部和虚部，然后再利用模的公式进行计算，两个虚数不能比较大小，但它们的模可以比较大小．3.(1)已知复数z ＝(x －1)＋(2x －1)i 的模小于10，则实数x 的取值范围是( )A ．－45<x <2B ．x <2C ．x >－45D ．x <－45或x >2(2)已知复数z ＝x ＋1＋(y －2)i(x ，y ∈R )，且|z |＝3，则点P (x ，y )的轨迹是________． (3)设z 为纯虚数，且|z －1|＝|－1＋i|，求复数z . 解：(1)选A.依题意应有（x －1）2＋（2x －1）2<10，即5x 2－6x ＋2<10，解得－45<x <2，故选A.(2)因为|z |＝3，所以（x ＋1）2＋（y －2）2＝3，即(x ＋1)2＋(y －2)2＝32.故点P (x ，y )的轨迹是以(－1，2)为圆心，以3为半径的圆．故填以(－1，2)为圆心，以3为半径的圆．(3)因为z 为纯虚数，所以可设z ＝b i(b ∈R ，且b ≠0)． 则|z －1|＝|b i －1|＝ 1＋b 2.又|－1＋i|＝2，由已知|z －1|＝|－1＋i|，得 1＋b 2＝2，解得b ＝±1，所以z ＝±i.规范解答利用复数在复平面内对应的点求参数的范围(本题满分12分)设复数z ＝log 2(1＋m )＋i log 12(3－m )(m ∈R )， (1)若复数z 在复平面内对应的点在第三象限，求m 的取值范围； (2)若复数z 在复平面内对应的点在直线x －y －1＝0上，求m 的值．【解】(1)由已知，得⎩⎪⎨⎪⎧log 2（1＋m ）<0，log 12（3－m ）<0，1＋m >0，3－m >0，(2分)解得－1<m <0，故不等式组的解集为{m |－1<m <0}， (5分)所以m 的取值范围是－1<m <0.(6分)(2)由已知得点(log 2(1＋m )，log 12(3－m ))在直线x －y －1＝0上，即log 2(1＋m )－log 12(3－m )－1＝0，(8分)所以log 2[(1＋m )(3－m )]＝1， 所以(1＋m )(3－m )＝2， 即m 2－2m －1＝0， 所以m ＝1±2，(10分)且当m ＝1±2时都能使1＋m >0，3－m >0， 所以m ＝1±2.(12分)(1)处忽视对数式中真数大于零这个条件，则会导致第(1)问的结果错误，造成失分． (2)处漏掉对方程根的验证，则会导致本例的解题步骤不完整，造成失分． (3)处理此类问题，复数的相关概念及结论必须牢记准确．1．设a ，b 为实数，若复数1＋2i ＝(a －b )＋(a ＋b )i ，则( ) A ．a ＝32，b ＝12B ．a ＝3，b ＝1C ．a ＝12，b ＝32D ．a ＝1，b ＝3解析：选A.由1＋2i ＝(a －b )＋(a ＋b )i 得⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＝1，a ＋b ＝2，解得a ＝32，b ＝12.2．复数z ＝1＋(2－sin θ)i 在复平面内对应的点所在的象限为( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 解析：选A.因为1>0，2－sin θ>0， 所以复数对应的点在第一象限．3．若复数z ＝(m －2)＋(m ＋1)i 为纯虚数(i 为虚数单位)，其中m ∈R ，则|z |＝________． 解析：复数z ＝(m －2)＋(m ＋1)i 为纯虚数(i 为虚数单位)，所以m －2＝0且m ＋1≠0， 解得m ＝2，所以z ＝3i ， 所以|z |＝3.答案：34．若方程x 2＋(m ＋2i)x ＋(2＋m i)＝0至少有一个实数根，试求实数m 的值． 解：方程化为(x 2＋mx ＋2)＋(2x ＋m )i ＝0.所以⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋mx ＋2＝0，2x ＋m ＝0，所以x ＝－m 2，m 24－m 22＋2＝0.所以m 2＝8.所以m ＝±2 2.[A 基础达标]1．满足x －3i ＝(8x －y )i 的实数x 、y 的值为( ) A ．x ＝0且y ＝3 B ．x ＝0且y ＝－3 C ．x ＝5且y ＝3 D ．x ＝3且y ＝0解析：选A.依题意得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，－3＝8x －y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝3，故选A.2．下列复数模大于3，且对应的点位于第三象限的为( ) A ．z ＝－2－i B ．z ＝2－3i C ．z ＝3＋2i D ．z ＝－3－2i解析：选D.选项B 和C 中的复数对应的点分别为(2，－3)，(3，2)，都不在第三象限，选项A 中的复数对应的点为(－2，－1)，在第三象限，但它的模为5<3，故选D.3．向量OZ →1对应的复数是5－4i ，向量OZ →2对应的复数是－5＋4i ，则OZ →1＋OZ →2对应的复数是( )A ．－10＋8iB ．10－8iC ．0D ．10＋8i解析：选C.因为向量OZ →1对应的复数是5－4i ，向量OZ →2对应的复数是－5＋4i ，所以OZ→1＝(5，－4)，OZ →2＝(－5，4)，所以OZ →1＋OZ →2＝(5，－4)＋(－5，4)＝(0，0)，所以OZ →1＋OZ →2对应的复数是0.4．在复平面内，O 为原点，向量OA →对应的复数为－1＋2i ，若点A 关于直线y ＝－x 的对称点为点B ，则向量OB →对应的复数为( )A ．－2－iB ．－2＋iC ．1＋2iD ．－1＋2i解析：选B.因为点A (－1，2)关于直线y ＝－x 的对称点为B (－2，1)，所以OB →对应的复数为－2＋i ，故选B.5．已知复数z 满足|z |2－3|z |＋2＝0，则复数z 对应点的轨迹是( ) A ．一个圆 B ．两个圆 C ．两点 D ．线段解析：选B.由|z |2－3|z |＋2＝0，得(|z |－1)·(|z |－2)＝0，所以|z |＝1或|z |＝2.由复数模的几何意义知，z 对应点的轨迹是两个圆．6．复数z ＝sin 40°＋isin 230°的模等于________． 解析：|z |＝sin 240°＋sin 2230°＝sin 240°＋sin 250°＝sin 240°＋cos 240°＝1.答案：17．在复平面内表示复数z ＝(m －3)＋2m i 的点在直线y ＝x 上，则实数m 的值为________．解析：由表示复数z ＝(m －3)＋2m i 的点在直线y ＝x 上，得m －3＝2m ，解得m ＝9，m ＝1(舍去)．答案：9 8．使⎪⎪⎪⎪log 12x －4i ≥|3＋4i|成立的实数x 的取值范围是________．解析：由已知，得⎝⎛⎭⎫log 12x 2＋（－4）2≥32＋42，所以⎝⎛⎭⎫log 12x 2≥9，即log 12x ≤－3或log 12x ≥3，解得x ≥8或0<x ≤18.答案：⎝⎛⎦⎤0，18∪[8，＋∞) 9．已知关于x ，y 的方程组⎩⎪⎨⎪⎧（2x －1）＋i ＝y －（3－y ）i ，①（2x ＋ay ）－（4x －y ＋b ）i ＝9－8i ②有实数解，求实数a ，b 的值． 解：由①，得⎩⎪⎨⎪⎧2x －1＝y ，1＝－（3－y ），解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝52，y ＝4.代入②，得(5＋4a )－(10－4＋b )i ＝9－8i.所以⎩⎪⎨⎪⎧5＋4a ＝9，6＋b ＝8.所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝2.10．已知O 为坐标原点，OZ 1→对应的复数为－3＋4i ，OZ 2→对应的复数为2a ＋i(a ∈R )．若OZ 1→与OZ 2→共线，求a 的值．解：因为OZ 1→对应的复数为－3＋4i ，OZ 2→对应的复数为2a ＋i ，所以OZ 1→＝(－3，4)，OZ 2→＝(2a ，1)．因为OZ 1→与OZ 2→共线，所以存在实数k 使OZ 2→＝kOZ 1→，即(2a ，1)＝k (－3，4)＝(－3k ，4k )，所以⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝－3k ，1＝4k ，解得⎩⎨⎧k ＝14，a ＝－38.即a 的值为－38.[B 能力提升]11．设复数z 满足z ＋|z |＝2＋i ，那么z 等于( ) A ．－34＋iB ．34－iC ．－34－iD ．34＋i解析：选D.设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )， 则a ＋b i ＋a 2＋b 2＝2＋i.于是⎩⎪⎨⎪⎧a ＋a 2＋b 2＝2，b ＝1.解得a ＝34，b ＝1.所以z ＝34＋i.故选D. 12．已知复数z 满足|z |＝ 2，则|z ＋3－4i|的最小值是( )A ．5B ．2C ．7D ．3解析：选D.|z |＝2表示复数z 在以原点为圆心，以2为半径的圆上，而|z ＋3－4i|表示圆上的点到(－3，4)这一点的距离，故|z ＋3－4i|的最小值为（－3）2＋42－2＝5－2＝3.13．已知复数z 1＝cos θ＋isin 2θ，z 2＝3sin θ＋icos θ，求当θ为何值时，(1)z 1，z 2在复平面内对应的点关于实轴对称；(2)|z 2|< 2.解：(1)在复平面内，z 1与z 2对应的点关于实轴对称，则⎩⎪⎨⎪⎧cos θ＝3sin θ，sin 2θ＝－cos θ⇒ ⎩⎨⎧θ＝k π＋π6，θ＝2k π＋76π或2k π＋116π或k π＋π2(k ∈Z )， 所以θ＝2k π＋76π(k ∈Z )． (2)由|z 2|<2，得（3sin θ）2＋cos 2θ<2， 即3sin 2θ＋cos 2θ<2，所以sin 2θ<12， 所以k π－π4<θ<k π＋π4(k ∈Z )． 14．(选做题)设全集U ＝C ，A ＝{z |||z |－1|＝1－|z |，z ∈C }，B ＝{z ||z |<1，z ∈C }，若z ∈A ∩(∁U B )，求复数z 在复平面内对应的点的轨迹．解：因为z ∈C ，所以|z |∈R ，所以1－|z |∈R ，由||z |－1|＝1－|z |得1－|z |≥0，即|z |≤1，所以A ＝{z ||z |≤1，z ∈C }．又因为B ＝{z ||z |<1，z ∈C }，所以∁U B ＝{z ||z |≥1，z ∈C }．因为z ∈A ∩(∁U B )等价于z ∈A ，且z ∈∁U B ，所以⎩⎨⎧|z |≤1，|z |≥1⇒|z |＝1，由复数模的几何意义知，复数z 在复平面内对应的点的轨迹是以原点为圆心，以1为半径的圆．。

数系的扩充与复数的引入1．复数的有关概念 (1)复数的概念：形如a ＋b i(a ，b ∈R )的数叫做复数，其中a ，b 分别是它的实部和虚部。

若b ＝0，则a ＋b i 为实数；若b ≠0，则a ＋b i 为虚数；若a ＝0且b ≠0，则a ＋b i 为纯虚数。

(2)复数相等：a ＋b i ＝c ＋d i ⇔a ＝c 且b ＝d (a ，b ，c ，d ∈R )。

(3)共轭复数：a ＋b i 与c ＋d i 共轭⇔a ＝c ，b ＝－d (a ，b ，c ，d ∈R )。

(4)复平面：建立直角坐标系来表示复数的平面，叫做复平面。

x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴。

实轴上的点都表示实数；除原点外，虚轴上的点都表示纯虚数；各象限内的点都表示非纯虚数。

(5)复数的模：向量OZ →的模r 叫做复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )的模，记作|z |或|a ＋b i|，即|z |＝|a ＋b i|＝a 2＋b 2。

2．复数的几何意义 (1)复数z ＝a ＋b i――→一一对应复平面内的点Z (a ，b )(a ，b ∈R )。

(2)复数z ＝a ＋b i ――→一一对应平面向量OZ →(a ，b ∈R )。

3．复数的运算(1)复数的加、减、乘、除运算法则设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R )则： ①加法：z 1＋z 2＝(a ＋b i)＋(c ＋d i)＝(a ＋c )＋(b ＋d )i 。

②减法：z 1－z 2＝(a ＋b i)－(c ＋d i)＝(a －c )＋(b －d )i 。

③乘法：z 1·z 2＝(a ＋b i)·(c ＋d i)＝(ac －bd )＋(ad ＋bc )i 。

④除法：z 1z 2＝a ＋b i c ＋d i ＝(ac ＋bd )＋(bc －ad )i c 2＋d 2(c ＋d i ≠0)。

(2)复数加法的运算定律复数的加法满足交换律、结合律，即对任何z 1，z 2，z 3∈C ，有z 1＋z 2＝z 2＋z 1，(z 1＋z 2)＋z 3＝z 1＋(z 2＋z 3)。

高考复数知识点总结一、复数的概念1. 定义：在数学中，复数是由一个实数和一个虚数单位i构成的数，表示为a+bi，其中a 和b都是实数，而i是虚数单位，满足i²=-1。

2. 实部和虚部：复数a+bi中，a称为实部，bi称为虚部，其中a和b都是实数。

二、复数的表示形式1. 代数形式：a+bi2. 幅角形式：r(cosθ+isinθ)，其中r为复数的模，θ为复数的幅角。

3. 指数形式：re^(iθ)，其中e^(iθ)为指数函数。

三、复数的运算1. 加法与减法：实部相加，虚部相加2. 乘法：根据分配律和虚数单位i的性质计算3. 除法：乘以共轭复数，然后根据除法的定义计算4. 幂运算：通过指数形式进行计算四、复数的性质1. 共轭复数：a+bi的共轭复数是a-bi2. 模：复数a+bi的模是√(a²+b²)3. 幅角：复数a+bi的幅角是θ=tan^(-1)(b/a)五、复数的应用1. 代数方程式：一元二次方程的解2. 三角函数：通过复数的幅角形式可以求解三角函数的和差角公式3. 电路学：用复数解决交流电路中的问题六、复数的解析几何1. 复数的几何意义：复平面上的点2. 复数的模和幅角：向量的模和方向3. 复数的乘法和除法：向量的缩放和旋转七、复数的解1. 一元二次方程的解：通过求根公式得到解2. 复数的根：开方运算的应用总结：复数是数学中的一个重要概念，它由一个实部和一个虚部构成，可以通过代数形式、幅角形式和指数形式进行表示。

复数的运算包括加法、减法、乘法、除法和幂运算，通过这些运算可以得到复数的性质如共轭复数、模和幅角。

复数还具有广泛的应用，包括代数方程式、三角函数和电路学等方面。

此外，复数还可以通过解析几何的方式进行理解，它在平面上对应着一个点，并且具有向量的性质。

复数的解可以用于一元二次方程的求解以及复数的根的求解。

通过学习和掌握复数的知识，可以更好地理解数学中的各种概念和问题，并且对于后续的学习和应用具有重要的意义。

复数知识点总结复数是我们在数学和物理中经常遇到的一个概念。

所谓复数，就是实数与虚数的结合，而虚数则是以i为单位的平方根。

本文将对复数的基本概念、计算方法、图像表示和应用等进行详细阐述。

一、基本概念复数一般写作z = a + bi，其中a和b都是实数。

a成为实部，b称为虚部。

实部和虚部可以用图像来表示，其中实部在横轴上方，虚部在竖轴右侧。

复数也可以写成极坐标形式：z = r(cosθ + i sinθ)。

二、计算方法复数的计算方法与实数类似。

加减、乘法和除法都可以通过实部和虚部进行计算。

加减法直接进行实部和虚部分别相加减即可。

乘法时，可以将复数表示成模长和相角的形式，再应用公式计算即可。

除法时，需要将分母的复数取共轭（虚部变号），再应用乘法公式。

另外，复数的幂运算和开方运算也需要一些特殊的方法。

幂运算时，可以使用欧拉公式e^(iθ) = cosθ + i sinθ，将复数转换成指数形式进行计算。

开方运算则需要求解解析式或图形法来解决。

三、图像表示复数可以用平面上带有横纵坐标轴的图形来表示。

具体来说，实部在x轴上方，虚部在y轴右侧。

若把复数z看成一个点，则它距离原点的距离称为模长，而向量与正半轴的夹角称为相角。

模长和相角可以用三角函数的定义表示，因此可以通过三角函数表格来确定复数的值。

四、应用复数在物理和工程学中有着广泛的应用。

在物理学中，复数用于描述波动现象中的振幅和相位差，如电磁场、声波和光波等。

在工程学中，复数有着重要的应用，如网络分析、信号处理、机器学习等。

总之，复数是经典数学领域中的一个重要概念。

通过对基本概念、计算方法、图像表示和应用等的了解，我们可以更好地理解和应用复数，将其运用到更多的实际问题中。

复数的考点知识点归纳总结复数的考点知识点归纳总结复数是基础数学中的重要概念，广泛应用于数学、物理、工程等领域。

掌握复数的概念、性质和运算规则对于建立数学思维、解决实际问题具有重要意义。

本文将从复数的基本概念、运算法则和实际应用等方面进行归纳总结。

一、复数的基本概念1. 复数的定义：复数是由实部和虚部组成的数，形式为a+bi，其中a为实数部分，bi为虚数部分，i为虚数单位，满足i²=-1。

2. 复数的实部和虚部：复数a+bi中，a为实部，bi为虚部。

3. 复数的共轭复数：设复数z=a+bi，其共轭复数记为z*，则z*的实部与z相同，虚部的符号相反。

4. 复数的模：复数z=a+bi的模定义为|z|=√(a²+b²)。

5. 复数的辐角：复数z=a+bi的辐角定义为复数与正实轴正半轴的夹角，记作arg(z)。

6. 三角形式：复数z=a+bi可以写成三角形式r(cosθ+isinθ)，其中r为模，θ为辐角。

二、复数的运算法则1. 复数的加法和减法：复数的加法和减法运算与实数类似，实部与实部相加减，虚部与虚部相加减。

2. 复数的乘法：复数的乘法运算使用分配律和虚数单位的性质，即(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i。

3. 复数的除法：复数的除法运算需要将分子分母同时乘以共轭复数，即(a+bi)/(c+di)=[(a+bi)(c-di)]/[(c+di)(c-di)]。

4. 复数的乘方和开方：复数的乘方和开方运算需要使用三角函数的性质和欧拉公式，即z^n=r^n[cos(nθ)+isin(nθ)]，√z=±√r[cos(θ/2)+isin(θ/2)]。

三、复数的性质和应用1. 复数的性质：复数具有加法和乘法的封闭性、交换律、结合律、分配律等性质。

2. 复数平面：复数可以用平面上的点来表示，实部为横坐标，虚部为纵坐标，构成复数平面。

3. 复数与向量：复数可以看作是向量的延伸，复数的运算有时可以用向量的加法和旋转来理解。

复数的相关概念引言复数是数学中的一种扩展形式，可以表示实数范围之外的数字。

它由实部和虚部组成，并且遵循特定的运算规则。

本文将介绍复数的定义、表示法、运算法则以及它在实际应用中的相关概念。

一、复数的定义复数是指由实部和虚部组成的数。

实部是一个实数，虚部是一个带有虚单位i的实数。

复数可以表示为a + bi，其中a是实部，b是虚部。

二、复数的表示法复数有多种表示法，常见的有直角坐标表示法和极坐标表示法。

1. 直角坐标表示法在直角坐标系中，一个复数被表示为一个有序实数对(a, b)。

其中，a是实部，b是虚部。

该表示法可以将复数视为复平面上的点，其中a沿着实轴表示，b沿着虚轴表示。

2. 极坐标表示法在极坐标系中，一个复数可以被表示为一个模和一个辐角的有序实数对(r, θ)。

其中，r是复数的模，表示复数与原点的距离；θ是辐角，表示复数与正实轴之间的夹角。

该表示法可以将复数视为复平面上的向量。

三、复数的运算法则复数的运算法则基于实数的运算法则，并额外考虑了虚部之间的运算。

1. 加法和减法复数的加法和减法遵循实部和虚部分别相加或相减的原则。

例如，对于复数z1 = a + bi和z2 = c + di，其中a、b、c、d均为实数，则有z1 + z2 = (a + c) + (b +d)i，z1 - z2 = (a - c) + (b - d)i。

复数的乘法涉及到实部和虚部之间的相乘。

例如，对于复数z1 = a + bi和z2 = c + di，则有z1 z2 = (ac - bd) + (ad + bc)i*。

3. 除法复数的除法涉及到实部和虚部的除法运算。

例如，对于复数z1 = a + bi和z2 = c + di，则有z1 / z2 = ( (ac + bd) / (c^2 + d^2) ) + ( (bc - ad) / (c^2 + d^2) )i。

四、复数的相关概念1. 共轭复数共轭复数指的是虚部符号相反的复数。

复数的有关概念[重点难点]1．复数的定义:形如a+bi(a,b∈R）的数叫做复数。

a叫做复数的实部，b叫做复数的虚部。

复数的分类如下:a+bi(a,b∈R)2．复数相等的充要条件设a,b,c,d∈R, 则a+bi=c+di a=c且b=d。

特别地:a+bi=0 a=b=0。

应当理解:（1）一个复数一旦实部、虚部确定，那么这个复数就唯一确定；反之一样。

（2）复数相等的充要条件是将复数转化为实数解决问题的基础。

3．复数的几何表示（1）坐标表示:在复平面内以(a,b)为坐标的点Z表示复数z=a+bi。

（2）向量表示:以原点O为起点，点Z(a,b)为终点的向量表示复数z=a+bi。

向量的长度叫做复数a+bi的模，记作|a+bi|。

V=||=|z|=≥0。

应当理解:10向量可以平移，只有位置向量零向量除外可以与点Z(a,b)以及复数z=a+bi有一一对应的关系。

20两个复数不全是实数时不能比较大小，但它们的模可以比较大小。

例题选讲:例1．实数m取何值时，复数z=(m2-m-2)+(m2-3m+2)i是（1）实数；（2）虚数；（3）纯虚数。

解:（1）当m2-3m+2=0即m=1或m=2时，z为实数；（2）当m2-3m+2≠0即m≠1且m≠2时，z为虚数；（3）当即m=-1时，z为纯虚数。

例2．已知复数z=(3m2-5m+2)+(m-1)i (m∈R) 若所对应的点在第四象限，求m的取值范围。

解:∵=(3m2-5m+2)-(m-1)i∴解得m>1。

∴m∈(1,+∞)为所求。

例3．已知方程2x2-(2i-1)x+m-i=0有实根，求实数m。

解:设实根为x0, 则2x02-(2i-1)x0+m-i=0,即2x02+x0+m-(2x0+1)i=0∴解得∴m=0为所求。

例4．已知z1=3-4i, z2=2-x-1+4i(x∈R), 且|z2|≤|z1|，求x的取值范围。

解:∵|z1|==5,|z2|=。

∴≤5, 解之得x≥-2。