跨维贝叶斯反演在地球物理中的研究进展
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第15卷第4期2018年7月
J且li弗吉~4如究唔音在VoL 15,No. 4
luly. , 2018
申立喜I用格式李承瑾，郭荣立，柳建新，等.跨维贝叶斯反演在地球物理中的研究进展[JJ.工程地球物理学报，2018.15(的~501-508.英立引用格式LiCh回因in.GuoRongwen,Liu Jianxin, et al. Research progressof trans-dimensiona1 bayesian inversion in geophysics
[JJ. Chinese Joumal of Engineering Geophysics.2018.15(4) 1501-508
跨维贝叶斯反演在地球物理中的研究进展李承瑾1，2，郭荣文1，2，柳建新1，2，刘黎明1，2O.中甫大学地球科学与信息物理学院，湖南长沙410083，2.中南大学有色资源与地质灾害探查湖南省重点实验室，湖南长沙410083)
摘要:贝叶斯反演不仅能够得到最佳的模型参数估计，还可以提取丰富的模型参数统计信息，从不同的角度分析数据所包含的模型参数信息.跨维贝叶斯反演将模型参数维数以未知数包含在反演中，根据数据信息和先验信息确定其维数大小，并将模型参数维数的不确定度信息包含在模型参数误差估计中，该方法已经广泛应用于地球物理反溃。为了理清该方法在地球物理中的应用情况和全面认识现阶段该方法理论发展水平，通过最新的文献综述，从跨维贝叶斯反演基本理论、起始模型选取、采样方法、数据噪声处理等方面介绍跨维贝叶斯反演，阐述了一维跨维贝叶斯反演的基本原理、发展历程以及研究现状，高维地球物理跨维贝叶斯反演的研究现状，最后探讨了跨维贝叶斯反演的发展趋势。关键词:跨维贝叶斯反演;rjMCMC;初始模型g噪声相关性s高维s参数化中图分类号:P631 文献标识码:A文章编号:1672--7940(2018)04--0501--08doi: 10. 3969/j. issn. 1672-7940. 2018. 04. 015
Research Progress of Trans-dimensional Bayesian Inversion in Geophysics
Li Chengjin'•2, Guo Rongwen'•2, Liu Jianxin'•2, Liu Liming'•
2
O. School 0/ Geosciences and Info-Physics. Central South Uni四m巾•Changsha Hunan 410083. China;
2. Hunan Key Laboratory 0/ Nonfe厅.OUSResDurces and Geological Hazards Exploration, Central South University, Changsha Hunan 410083, China)
Abstract: Bayesian inversion can not only obtain the best estimation of model parameters, but also extract abundant statistical information of model parameters, and analyze the mod el parameter information from different angles. In trans-dimensional Bayesian inversion,
the dimension of the model space is included in the inversion as an unknown number, and it is determined by the data information and the prior information. The uncertainty of the
收稿日期:2018-02-28 基金项目国家自然科学基金〈编号=41674079，编号=41674080)第一作者李章瑾(1992一)，男，硕士研究生，主要研究方向为电磁法的正反演.E-mail:466486120@qq.com
通讯作者z郭荣立(1980-).男，副教授，悔士生导师，主要研究方向为电磁法的正反演.E-mail =573377360@qq.com 502 工程地球物理学报(ChíneseJournal of Engíneeríng Geophysícs)
第15卷
model parameterization is inc1uded in the estimation of model parameter error, It has been widely used in geophysical inversion. To provide an overview on its application and tech-nique development. this paper reviews the trans -dimensional Bayesian inversion in geo physics in terms of the theory development, the method to obtain the original model, the sampling algorithm, the noise treatment to describe the basic principle, development course and research status of one -dimensional cross -Bayesian inversion and to discuss the re-search status of high -dimensional geophysical cross -Bayesian inversion. At the end, it gives some perspective sights in its future application. Key words: trans -dimensional Bayesian inversion; rj MCMC; original model; noise corre-lation; high dimension; parametrization
1引地球物理反演是根据观测数据求取满足某种要求的地球物理模型.在传统的地球物理反演中，通常将非线性反演问题线性化，然后采用线性反演方法进行求解，该方法的优点就是反演效率高.然而由于数据存在噪声干扰和观测数据量有限，地球物理反演问题具有非唯一性。传统反演方法得到的只是最佳单点估计模型，难以全面反映数据所包含的模型信息大小，获得反演结果不确定度等信息。贝叶斯反演为解决该类问题提供了天然的框架，在己知参数维数的贝叶斯反演中，将观测数据和模型参数视为随机变量，已有的模型先验信息可以全部包含在后验概率密度函数中，通过贝叶斯准则进行关联，反演问题转化为对后验概率密度函数的信息提取。这样通过对后验概率密度函数积分，人们不仅可以得到最佳的模型参数估计，还可以提取丰富的模型统计信息，从不同的角度分析数据所包含的模型信息.目前固定维贝叶斯反演已经广泛应用于地球物理反演口-31.然而，实际地球物理勘探中，模型参数维数通常是未知的，人为假定模型维数大小自然会使反演结果产生偏差甚至错误。跨维贝叶斯反演将模型参数化包含在反演中，通过数据和先验信息确定模型参数维数的大小，并将参数化的不确定度包含在模型参数的不确定度估计中。由于该方法避免了人为主观选择特定模型参数化，近10年，在地球物理反演中得到了广泛的应用[刊].本文基于前人对于跨维贝叶斯反演的研究，阐述了地球物理中跨维贝叶斯反模的基本原理和方法及研究现状，并展望了该方法的未来发展方向。2 跨维贝叶斯基本理论跨维贝叶斯反演把参数化也当成是一个随机变量"分级"包含在贝叶斯反演中。d表示N维观测数据(合成数据〉向量。假设一个可量化数集K.其中k表示特定的某一参数选择，对应的参数维数为M矗，模型参数向量为m".那么非物理参数的模型参数化品可以包含在分级贝叶斯公式中，公式如下PCk,m" I d) =
P(是)PCm"I k)PCd I k,m,,)
2..:，，'E俨K儿川
(1) 式中PCωk)PCm叫"I kω)是状态(ωhι，m叫，，)的先验概率，PCωdlk，m叫hρ〉是(ωk，m叫kρ〉下d发生的条件概率，当d已知时，它可以看戚是(ωk，m叫")的似然函数，写成L(ωk，m叫矗ρ).P(k,m" I d)定义在维数可变的模型空间上的后验概率密度函数。等式(1)右边分母(归一化)表示模型的所有统计证据.由于跨维贝叶斯反演中参数化(参数空间的选择)是变化的，因此反演结果与固定维空间贝叶斯反演的结果表示方式不同，不是计算某个特定模型参数的积分，而是计算某深度上感兴趣的属性。例如，对于1维层状地电结构，电性只随深度的变化，在侧向元变化，这时考虑的是某一深度地电参数的平均值，方差和深度边缘概率密度。这些属性的计算如下平均值E
g(z) =只…Ig Ck' .叭';z)P(k'，叭，I -'C且JM旷
d)dm'是(2)第4期李承瑾，等z跨维贝叶斯反演在地球物理中的研究进展503 方差zvar(g(z)) = ~.'rJ (g(k'，m飞，;z)一
-II:III::'.ßt.JMIl'
g(Z))2 P(k' ，m飞，1 d)dm' i' (3)
深度边缘概率密度E
P(g(z) I d) = ) ~ h v Iδ(g(k' ,m' i' ; z)一
-..二且JMA，g(z))P(k' ，m'是，1 d)dm'是!
(4)
其中g(k，mi;z)表示在(是，mi)状态下g(z)的值F所以这些剖面的一般形式可以表达成
=艺…I!(g(k'，叭';z))P(k'
,
-.‘E且JMA,
m'i;'
1 d)dm飞!
(5)
采用跨维蒙特卡洛识分法对一般积分表达式(5)进行积分，需要对可变参数空间进行后验概率密度函数的采样，马尔可夫链必须能够在不同维数的参数模型空间之间跃迁，同时满足细致平衡pω，mi; I d) T(k' ，m飞，I k,mi;) = P(k' ，m飞，I
d)Tω，mi; 1ν，m飞，)(6)
其中T(k'，m气，I k，mi;)表示从当前状态(k，mi;)到新状态(k'，m'是!)的跃迁概率。对于这些跃迁过程，可以把固定维Metropolis-Hastings接受准则一般化为如下跨维Metropolis-Hastings
