1 第三节 连续型随机变量及其分布
上一节我们研究了离散型随机变量，这类随机变量的特点是它的可能取值及其相对应的概率能被逐个地列出.这一节我们将要研究的连续型随机变量就不具有这样的性质了.连续型随机变量的特点是它的可能取值连续地充满某个区间甚至整个数轴.例如，测量一个工件长度，因为在理论上说这个长度的值X可以取区间（0，+∞）上的任何一个值.此外，连续型随机变量取某特定值的概率总是零（关于这点将在以后说明）.例如，抽检一个工件其长度X丝毫不差刚好是其固定值（如1.824cm）的事件{X=1.824}几乎是不可能的，应认为P{X=1.824}=0.因此讨论连续型随机变量在某点的概率是毫无意义的.于是，对于连续型随机变量就不能用对离散型随机变量那样的方法进行研究了.为了说明方便我们先来看一个例子.
例2.8 一个半径为2米的圆盘靶，设击中靶上任一同心圆盘上的点的概率与该圆盘的面积成正比，并设射击都能中靶，以X表示弹着点与圆心的距离，试求随机变量X的分布函数.
解 1°若x＜0，因为事件{X≤x}是不可能事件，所以
F（x）=P{X≤x}=0.
2°若0≤x≤2，由题意P{0≤X≤x}=kx2，k是常数，为了确定k的值，取x=2，有P{0≤X≤2}=22k，但事件{0≤X≤2}是必然事件，故P{0≤X≤2}=1，即22k=1，所以k=1/4，即
P{0≤X≤x}=x2/4.
于是
F（x）=P{X≤x}=P{X＜0}+P{0≤X≤x}= x2/4.
3°若x≥2，由于{X≤2}是必然事件，于是
F（x）=P{X≤x}=1.
综上所述
F（x）=,2,1,20,41,0,02xxxx
它的图形是一条连续曲线如图22所示.
图22
另外，容易看到本例中X的分布函数F（x）还可写成如下形式：
F(x)=ttfxd)(，
其中 f（t）=.,0,20,21其他tt
1.均匀分布 密度分布函数
其他,0,1)(bxaabxf
2.指数分布 密度分布函数 其他,00,)(xexfx
3.伽玛分布 密度分布函数
0,00,)()(1xxexxfx
4.正态分布 密度分布函数 222)(21)(xexf
5.对数正态分布 密度分布函数
elsexexxfx,00,21)(222)(ln
6.贝塔分布 密度分布函数
elsexxxrrrrxfrr,010,)1()()()()(11212121
7.爱尔兰分布 密度分布函数
0,00,)!1()(1xxexrxfxrr
8.拉普拉斯分布 密度分布函数
xexf21)(
%泊松分布概率密度作图：
x=0:20;
y1=poisspdf(x,2.5);
y2=poisspdf(x,5);
y3=poisspdf(x,10);
hold on
plot(x,y1,':r*')
plot(x,y2,':b*')
plot(x,y3,':g*')
hold off
title('Poisson分布') 正态分布标准差意义的图示
mu=3; sigma=0.5;
x=mu+sigma*[-3:-1,1:3];yf=normcdf(x,mu,sigma);
P=[yf(4)-yf(3),yf(5)-yf(2),yf(6)-yf(1)];
xd=1:0.1:5;yd=normpdf(xd,mu,sigma);
%
for k=1:3
xx{k}=x(4-k):sigma/10:x(3+k);
yy{k}=normpdf(xx{k},mu,sigma);
第三章 连续型随机变量
1. 设随机变量 在区间 上取值，且对每个 ， 落入 内的概率与 成正比。（1）求 的分布函数 ；（2）求 的密度函数 ；（3）计算 落在区间 的概率。（例题、一维、连续型、分布函数）
解：（1）根据题意，
当 时， ，当 时，
当 时，
。由连续型随机变量分布函数的连续性，有 ，得到 。故
（2）
（3） 。
2. 已知随机变量 的密度函数为 ， ，求 的分布函数 。（例题、一维、连续型、分布函数）
解：当 时， 。
当 时，
所以
3. 设 的密度函数为 求 的分布函数。（例题、分布函数）
解：当 时， ；
当 时， ；
当 时， ；
当 时， ；
所以，
4. 设 ，利用正态分布计算下列概率：（1） ；（2）
。（例题、标准正态分布、计算） 解：（1）
（2）
5. 设 ，计算下列概率：（1） ；（2） 。（例题、正态分布、标准正态分布、计算）
解：（1）
；
（2）
6. 某校抽样调查表明，该校考生外语成绩（百分制）服从正态分布 ，已知96分以上的占考生总数的2.3%，求考生的外语成绩在60分到84分之间的概率。（例题、正态分布）
解：设 是外语成绩，则 ，但是
，故，
，即 ，但
，于是 ，得到 。所以
7. 设成年男子身高服从正态分布 （单位：厘米），（1）求成年男子身高大于160cm的概率；（2）公共汽车应设计多高，才能使成年男子上车时碰头的概率不大于5％；（3）在这个设计之下，求100个成年男子上车时，至少有2个人发生碰头的概率。（例题、正态分布）
解：（1）
（2）设应设计为 厘米高，则应有 ，但是
，从而有 ，查表得到 ，于是有 ，即 。
（3）记 为100成年男子上车时，发生碰头的人数，则
（设 取186.45厘米，故
8. 设二维随机变量 的密度函数为
概率论连续型随机变量
概率论是数学的一个分支，主要研究随机现象的概率规律和统计规律。在概率论中，随机变量是一种可以随机取不同值的变量。连续型随机变量是指取值范围为连续的变量，其概率分布函数可以用密度函数来描述。
连续型随机变量的概率密度函数（Probability Density Function，简称PDF）是描述随机变量取值概率的函数。对于一个连续型随机变量X，其概率密度函数f(x)满足以下两个条件：1）f(x)≥0，对于所有的x；2）∫f(x)dx=1，即概率密度函数在整个取值范围上的积分等于1。
概率密度函数的性质决定了连续型随机变量的一些特点。首先，连续型随机变量的概率是通过对其概率密度函数进行积分得到的。例如，对于一个连续型随机变量X，其取值在[a,b]之间的概率可以表示为P(a≤X≤b)=∫f(x)dx。其次，连续型随机变量的概率密度函数可以用来计算随机变量落在某个区间的概率。例如，对于一个连续型随机变量X，可以计算P(X≥a)=∫f(x)dx。
对于连续型随机变量，我们也可以计算其期望值和方差。连续型随机变量X的期望值E(X)表示随机变量的平均取值，可以通过对X乘以其概率密度函数f(x)后积分得到。方差Var(X)表示随机变量取值的离散程度，可以通过计算E((X-E(X))^2)得到。
连续型随机变量常见的概率分布有正态分布、指数分布、均匀分布等。其中，正态分布是最重要的连续型概率分布之一。正态分布的概率密度函数是一个钟形曲线，其均值和标准差决定了曲线的位置和形状。正态分布在自然界和社会科学中都有广泛的应用，如身高、体重、考试成绩等。
指数分布是描述事件发生时间间隔的概率分布。指数分布的概率密度函数是单峰递减的曲线，其形状由参数λ决定。指数分布在可靠性工程、排队论、风险分析等领域有广泛应用。
均匀分布是描述随机变量在一个区间内取值的概率分布。均匀分布的概率密度函数是一个常数，区间内所有取值的概率相等。均匀分布在随机抽样、模拟实验等领域有重要应用。
