周练(五) 平面向量的基本定理及坐标表示
- 格式：doc
- 大小：114.50 KB
- 文档页数：6
周练(五) 平面向量的基本定理及坐标表示
(时间：80分钟 满分：100分)
一、选择题(每小题5分，共40分)
1．如果e1、e2是平面α内两个不共线的向量，那么在下列各说法中错误的有
( )．
①λe1＋μe2(λ，μ∈R)可以表示平面α内的所有向量；②对于平面α内的任一向量a，使a＝λe1＋μe2成立的λ，μ有无数多对；③若向量λ1e1＋μ1e2与λ2e1＋μ2e2共线，则有且只有一个实数k，使λ2e1＋μ2e2＝k(λ1e1＋μ1e2)；④若实数λ，μ使λe1＋μe2＝0，则λ＝μ＝0.
A．①② B.②③
C．③④ D.②
解析 ②λ，μ只有一对；③λ1e1＋μ1e2可能为0，则k可能不存在或有无数个．
答案 B
2．下列向量中，能作为表示它们所在平面内所有向量的基底的是( )．
A．e1＝(0,0)，e2＝(1，－2)
B．e1＝(－1,2)，e2＝(5,7)
C．e1＝(3,5)，e2＝(6,10)
D．e1＝(2，－3)，e2＝12，－34
解析 在选项A中，e1＝0，它与平面内任意向量共线，不能作为基底，在选项C中，e2＝2e1，它们共线，不能作为基底；在选项D中，e1＝4e2，它们共线，不能作为基底．故选B.
答案 B
3．已知三点A(－1,1)，B(0,2)，C(2,0)，若AB→和CD→是相反向量，则D点坐标是
( )．
A．(1,0) B.(－1,0)
C．(1，－1) D.(－1,1) 解析 设D(x，y)，
AB→＝(0,2)－(－1,1)＝(1,1)，
CD→＝(x，y)－(2,0)＝(x－2，y)．
∵AB→＋CD→＝0，
∴(1,1)＋(x－2，y)＝(0,0)，
∴ x－1＝0，y＋1＝0，∴ x＝1，y＝－1，即D(1，－1)．
答案 C
4．已知向量a＝(2,3)，b＝(－1,2)，若ma＋4b与a－2b共线，则m的值为( )．
A.12 B.2
C．－12 D.－2
解析 ma＋4b＝(2m－4,3m＋8)，a－2b＝(4，－1)，
由－(2m－4)－4(3m＋8)＝0，得m＝－2.
答案 D
5．已知△ABC的两个顶点A(3,7)和B(－2,5)．若AC的中点在x轴上，BC的中点在y轴上，则顶点C的坐标是( )．
A．(2，－7) B.(－7,2)
C．(－3，－5) D.(5,3)
解析 设C(x，y)，则根据中点公式，有x－22＝0，y＋72＝0，解得x＝2，y＝－7.
答案 A
6．已知a＝(3,4)，b＝(sin α，cos α)，且a∥b，则tan α＝( )．
A.34 B.－34
C.43 D.－43 解析 由已知得，3cos α－4sin α＝0，所以tan α＝34，故选A.
答案 A
7．(2012·厦门高一检测)若OP1→＝a，OP2→＝b，P1P→＝λPP2→(λ≠－1)，则OP→等于
( )．
A．a＋λb B.λa＋(1－λ)b
C．λa＋b D.11＋λa＋λ1＋λb
解析 ∵OP→＝OP1→＋P1P→＝OP1→＋λPP2→
＝OP1→＋λ(OP2→－OP→)＝OP1→＋λOP2→－λOP→，
∴(1＋λ)OP→＝OP1→＋λOP2→，
∴OP→＝11＋λOP1→＋λ1＋λOP2→＝11＋λa＋λ1＋λb.
答案 D
8．已知OA→＝a，OB→＝b，∠AOB的平分线OM交AB于点M，则向量OM→可表示为
( )．
A.a|a|＋b|b| B.λa|a|＋b|b|
C.a＋b|a＋b| D.|b|a＋|a|b|a|＋|b|
解析 由向量加法的平行四边形法则知，向量OM→和分别与OA→、OB→同向的单位向量之和共线，∴OM→可表示成λa|a|＋b|b|.(与OA→同向的单位向量即a|a|，与OB→同向的单位向量即b|b|)
答案 B
二、填空题(每小题5分，共20分) 9．在平行四边形ABCD中，E和F分别是边CD和BC的中点，若AC→＝λAE→＋μAF→，其中λ、μ∈R，则λ＋μ＝________.
解析 设AB→＝a，AD→＝b，
则AE→＝12a＋b，
AF→＝a＋12b，
又∵AC→＝a＋b，
∴AC→＝23(AE→＋AF→)，即λ＝μ＝23，∴λ＋μ＝43.
答案 43
10．已知向量a＝(x,1)，b＝(1，x)方向相反，则x＝________.
解析 由题意知a与b共线，则x2＝1，
∴x＝±1，又∵a与b反向，
∴x＝－1.
答案 －1
11．在△ABC中，AE→＝15AB→，EF∥BC，EF交AC于F.设AB→＝a，AC→＝b，则BF→可以用a、b表示的形式是BF→＝________.
解析 由题意，得AF→＝15AC→＝15b，BF→＝BA→＋AF→＝－a＋15b.
答案 －a＋15b
12．已知A(2,3)，B(1,4)且12AB→＝(sin α，cos β)，α，β∈－π2，π2，则α＋β＝________.
解析 由题意，得AB→＝(－1,1)． 又∵12AB→＝(sin α，cos β)，∴sin α＝－12，cos β＝12.
又∵α，β∈－π2，π2，∴α＝－π6，β＝π3或－π3，
∴α＋β＝π6或－π2.
答案 π6或－π2
三、解答题(每小题10分，共40分)
13．(2012·保定高一检测)设e1，e2为两个不共线的向量，a＝－e1＋3e2，b＝4e1＋2e2，c＝－3e1＋12e2，试用b，c为基底表示向量a.
解 设a＝λ1b＋λ2c，λ1，λ2∈R，则－e1＋3e2＝λ1(4e1＋2e2)＋λ2(－3e1＋12e2)，
即－e1＋3e2＝(4λ1－3λ2)e1＋(2λ1＋12λ2)e2，
∴ 4λ1－3λ2＝－1，2λ1＋12λ2＝3，∴ λ1＝－118，λ2＝727，
∴a＝－118b＋727c.
14．设a＝(6,3a)，b＝(2，x2－2x)，且满足a∥b的实数x存在， 求实数a的取值范围．
解 由a∥b得6(x2－2x)－3a×2＝0，
即x2－2x－a＝0.
根据题意，上述方程有实数解，故有Δ＝4＋4a≥0.
即a≥－1.
15．已知点O(0,0)，A(1,2)，B(4,5)，且OP→＝OA→＋tAB→，试问：
(1)t为何值时，P在x轴上？P在y轴上？P在第二象限？
(2)四边形OABP能否成为平行四边形？若能，求出相应的t值；若不能，请说明理由．
解 OA→＝(1,2)，AB→＝(3,3)， OP→＝(1,2)＋t(3,3)＝(1＋3t,2＋3t)．
(1)若P在x轴上，则有2＋3t＝0，t＝－23；
若P在y轴上，则有1＋3t＝0，t＝－13；
若P在第二象限，则有 1＋3t<0，2＋3t>0，解得－23 (2)PB→＝(3－3t,3－3t)，若四边形OABP是平行四边形，则有OA→＝PB→，即有3－3t＝1，且3－3t＝2，这显然是不可能的，因此，四边形OABP不可能是平行四边形． 16．已知A(－1，－1)，B(1,3)，C(4,9)． (1)求证：A，B，C三点共线； (2)若AC→＝λ1CB→，BA→＝λ2AC→，求λ1、λ2的值，并解释λ1，λ2的几何意义． (1)证明 ∵AB→＝(2,4)，AC→＝(5,10)，∴AC→＝52AB→. 又AC→、AB→有公共点A，∴A，B，C三点共线． (2)解 ∵CB→＝(－3，－6)，∴AC→＝－53CB→， ∴λ1＝－53.同理，λ2＝－25. 其几何意义分别为：λ1＝－53表示|AC→|＝53|CB→|，AC→与CB→反向；λ2＝－25表示|BA→|＝25|AC→|，且BA→与AC→反向.
