高三数学第一轮复习 59 等差数列与等比数列(1)教学案(教师版)

教案59 等差数列与等比数列（1）

一、课前检测

1.（2010年东城期末20）设数列na的前n项和为nS．已知5a1，13nnnaS，*nN．设3nnnbS，求数列nb的通项公式；

解：依题意，113nnnnnSSaS，即123nnnSS，

由此得1132(3)nnnnSS．

因此，所求通项公式为nnnn23-Sb。

二、知识梳理

1.在解决等差数列问题时，如已知，a1，an，d，nS，n中任意三个，可求其余两个。

解读：

2.补充的一条性质

1）项数为奇数21n的等差数列有：1snsn奇偶nssaa奇偶中，21(21)nnsna

2）项数为偶数2n的等差数列有：1nnsasa奇偶，ssnd偶奇 21()nnnsnaa

解读：

3.等差数列的判定：{an}为等差数列数”）（缺常数项的“二次函的“一次函数”）（关于（定义）BnAnSnBAnaaaadaannnnnnn22112

即：*),2(2(11n1nNnnaaaddaaannnn为常数）｝｛

BnAnsbknann2；

解读：

4.三个数成等差可设：a，a＋d，a＋2d或a－d，a，a＋d；

四个数成等差可设：a－3d，a－d，a＋d，a＋3d.

解读：

5．等差数列与函数：1）等差数列通项公式与一次函数的关系：从函数的角度考查等差数列的通项公式：an= a1+(n-1)d=d·n+ a1-d, an是关于n的一次式；从图像上看，表示等差数列的各点（n,na）均匀排列在一条直线上，由两点确定一条直线的性质，不难得出，任两项可以确定一个等差数列.k=d=11naan，d=mnaamn，由此联想点列（n，an）所在直线的斜率.2）点)S(n,n在没有常数项的二次函数2nSpnqn上。其中，公差不为0.

解读：

6.等差数列前n项和最值的求法（结合二次函数的图象与性质理解）

1）若等差数列na的首项10a，公差0d，则前n项和nS有最大值。

（ⅰ）若已知通项na，则nS最大100nnaa；

（ⅱ）若已知2nSpnqn，则当n取最靠近2qp的非零自然数时nS最大；

2）若等差数列na的首项10a，公差0d，则前n项和nS有最小值

（ⅰ）若已知通项na，则nS最小100nnaa；

（ⅱ）若已知2nSpnqn，则当n取最靠近2qp的非零自然数时nS最小。

解读：

7.等差数列的定义、通项公式、求和公式、性质等

等 差 数 列

定义 {an}为等差数列an+1-an=d（常数），n∈N+2an=an-1+an+1（n≥2，n∈N+）

通项公式 1）na=1a+（n-1）d=ka+（n-k）d；na=dn+1a-dbkn

2）推广：an=am+（n－m）d.

3）变式：a1=an－（n－1）d，d=11naan，d=mnaamn，由此联想点列（n，an）所在直线的斜率.

求和公式 1）nBnA)2(22)1(2)(S21211ndanddnnnaaannn

2）变式：21naa=nSn=naaan21=a1+（n－1）·2d=an+（n－1）·（－2d）.

等差中项 1）等差中项：若a、b、c成等差数列，则b称a与c的等差中项，且b=2ca；a、b、c成等差数列是2b=a+c的充要条件.2）推广：2na=mnmnaa

重

要

性

质 1 mnlkmnlkaaaa(反之不一定成立)；特别地,当2mnp时,有2mnpaaa；特例：a1+an=a2+an-1=a3+an-2=„。

2 下标成等差数列且公差为m的项ak，ak+m，ak+2m，„组成的数列仍为等差数列，公差为md.

3

nnnnnsssss232,, 成等差数列。

4 )(11nmnmaanaadnmn

5

增减性

为递增数列na0d

为常数列na0d

为递减数列na0d

其

它

性

质 1 an=am+（n－m）d.

2 若数列{an}是公差为d的等差数列，则数列{λan+b}（λ、b为常数）是公差为λd的等差数列；若{bn}也是公差为d的等差数列，则{λ1an+λ2bn}（λ1、λ2为常数）也是等差数列且公差为λ1d+λ2d.

3 an=an+b，即an是n的一次型函数，系数a为等差数列的公差；

Sn=an2+bn，即Sn是n的不含常数项的二次函数；

三、典型例题分析

题型1 等差数列的基本运算

例1 在等差数列{an}中，

(1)已知a15＝10，a45＝90，求a60；

(2)已知S12＝84，S20＝460，求S28；

(3)已知a6＝10，S5＝5，求a8和S8．

解：(1)方法一：38382904410141145115dadaadaa ∴a60＝a1＋59d＝130．

方法2 3815451545aamnaadmn，an＝am＋(n－m)da60＝a45＋(60－45)d＝90＋15×38＝130．

(2)不妨设Sn＝An2＋Bn， ∴172460202084121222BABABA

∴Sn＝2n2－17n ∴S28＝2×282－17×28＝1092

(3)∵S6＝S5＋a6＝5＋10＝15，

又S6＝2)10(62)(6161aaa∴15＝2)10(61a即a1＝－5 而d＝31616aa

∴a8＝a6＋2 d＝16 S8＝442)(881aa

变式训练1 设{an}为等差数列，Sn为数列{an}的前n项和，已知S7=7，S15=75，Tn为数列{nSn}的前n项和，求Tn.

解：设等差数列{an}的公差为d，则Sn=na1+21n（n－1）d. ∵S7=7，S15=75，

∴,7510515,721711dada即.57,1311dada 解得a1=－2，d=1.

∴nSn=a1+21（n－1）d=－2+21（n－1）=25n.

∴11nSn－nSn=21. ∴数列{nSn}是等差数列，其首项为－2，公差为21.

∴Tn=41n2－49n.

小结与拓展：基本量的思想：常设首项、公差及首项，公比为基本量，借助于消元思想及解方程组思想等。等差数列中，已知五个元素a1，an，n，d，Sn中的任意三个，便可求出其余两个.

题型2 等差数列的判定与证明

例2 已知数列{an}满足2an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)，它的前n项和为Sn，且a3＝5，S6＝36.

求数列{an}的通项公式；

解：∵2an＋1＝an＋an＋2，∴{an}是等差数列，设{an}的首项为a1，公差为d，

由a3＝5，S6＝36得 a1＋2d＝56a1＋15d＝36，解得a1＝1，d＝2. ∴an＝2n－1.

变式训练2 在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝2an＋2n.设bn＝an2n－1，证明：数列{bn}是等差数列；

证明：由已知an＋1＝2an＋2n得bn＋1＝an＋12n＝2an＋2n2n＝an2n－1＋1＝bn＋1.

又b1＝a1＝1， 因此{bn}是首项为1，公差为1的等差数列．

小结与拓展：证明数列{an}是等差数列的两种基本方法是：1）利用定义，证明an－an－1（n≥2）为常数；2）利用等差中项，即证明2an=an－1+an+1（n≥2）.

题型3 等差数列的性质

例3 设等差数列na的首项及公差均是正整数，前n项和为nS，且11a，46a，

312S，则2010a=_ _ _．答案：4020

变式训练3 在等差数列{an}中，已知log2(a5＋a9)＝3，则等差数列{an}的前13项的和

S13＝________.答案：52

解：∵log2(a5＋a9)＝3，∴a5＋a9＝23＝8.

∴S13＝13×(a1＋a13)2＝13×(a5＋a9)2＝13×82＝52.

小结与拓展：解决等差（比）数列的问题时，通常考虑两类方法：①基本量法，即运用条件转化成关于a1和d（q）的方程；②巧妙运用等差（比）数列的性质（如下标和的性质、子数列的性质、和的性质）.一般地，运用数列的性质，可化繁为简.

题型4 等差数列的前n项和及最值问题

例4 设等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a3=12，S12＞0，S13＜0.

（1）求公差d的取值范围；

（2）指出S1，S2，S3，„，S12中哪一个最大，并说明理由.

解：（1）a3=12，∴a1=12－2d，解得a12=12+9d，a13=12+10d.由S12＞0，S13＜0，即2)(12121aa＞0，且2)(13131aa＜0，解之得－724＜d＜－3.

（2）易知a7＜0，a6＞0，故S6最大.

变式训练4 （2010福建理数3）设等差数列na的前n项和为nS,若111a,466aa,则当nS取最小值时,n等于( A )

A．6 B．7 C．8 D．9

【解析】设该数列的公差为d，则461282(11)86aaadd，解得2d，

所以22(1)11212(6)362nnnSnnnn，所以当6n时，nS取最小值。

【命题意图】本题考查等差数列的通项公式以及前n项和公式的应用，考查二次函数最值的求法及计算能力。

小结与拓展：等差数列的前n项和为nS，在0d时，有最大值. 如何确定使nS取最大值时的n值，有两种方法：一是求使0,01nnaa，成立的n值；二是由ndandSn)2(212利用二次函数的性质求n的值.

四、归纳与总结（以学生为主，师生共同完成）

1.“巧用性质、减少运算量”在等差、等比数列的计算中非常重要，但用“基本量法”并树立“目标意识”，“需要什么，就求什么”，既要充分合理地运用条件，又要时刻注意题的目标，往往能取得与“巧用性质”解题相同的效果.

2.等差数列{an}中，当a1＜0，d＞0时，数列{an}为递增数列，Sn有最小值；当a1＞0，d＜0时，数列{an}为递减数列，Sn有最大值；当d=0时，{an}为常数列.

3.注意方程思想、整体思想、分类讨论思想、数形结合思想的运用.