河南省许昌市、洛阳市2019届高三第一次质量检测试卷数学理 扫描版

2019届河南省洛阳市高三第一次统一考试数学（文）试题一、单选题1．设集合，，则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】计算得到集合的元素，根据集合并集的概念得到结果.【详解】集合,，则，故答案为：B.【点睛】这个题目考查了集合的并集的概念以及运算，题目很基础.2．若复数为纯虚数，且（其中），则（）A．B．C．2 D．【答案】A【解析】根据复数的除法运算得到z,由纯虚数的概念得到参数值，进而求得模长.【详解】复数为纯虚数,,,根据题干得到.=故答案为：A.【点睛】这个题目考查了复数的除法运算，以及复数的模的计算，也考查了复数的基本概念；如果复数a+bi（a，b是实数）是纯虚数，那么a=0并且b≠0．3．为了解某校教师使用多媒体进行教学的情况，采用简单随机抽样的方法,从该校400名授课教师中抽取20名，调查了他们上学期使用多媒体进行教学的次数，结果用茎叶16,30图表示如图.据此可估计该校上学期400名教师中,使用多媒体进行教学次数在[)内的人数为（）A ．100B ．160C ．200D ．280 【答案】B【解析】由茎叶图，可知在20名教师中，上学期使用多媒体进行教学的次数在[16,30)内的人数为8，据此可以估计400名教师中，使用多媒体进行教学的次数在[16,30)内的人数为400×820＝160． 4．已知椭圆，长轴在轴上，若焦距为4，则等于（ ）A ．5B ．6C ．9D ．10 【答案】C【解析】先把椭圆方程转换成标准方程，进而根据焦距求得m ． 【详解】将椭圆的方程转化为标准形式为，显然m ﹣3＞11﹣m>0，即11>m ＞4，焦距为4,则(m-3)-(11-m)=4，解得m ＝9. 故选：C ． 【点评】本题主要考查了椭圆的简单性质．要求学生对椭圆中对长轴和短轴即及焦距的关系明了．5．已知()()(]()3,,1{,1,xa x x f x a x -∈-∞=∈+∞是R上的增函数，则实数a 的取值范围是（ ） A ．()0,3 B ．()1,3 C ．()1,+∞ D ．3,32⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】D【解析】已知()()(]()3,,1{ ,1,xa x x f x a x -∈-∞=∈+∞是R上的增函数，则1{30 3a a a a>->-≤ ，则332a ≤<，选D. 6．在平行四边形中，与相交于点，是线段的中点，的延长线与交于点，若，，则等于（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】根据两个三角形相似对应边成比例，得到DF 与FC 之比，做FG 平行BD 交AC 于点G ，使用已知向量表示出要求的向量，得到结果． 【详解】作FG 平行BD 交AC 于点G ， ∵由题意可得△DEF ∽△BEA ，∴ ，再由AB ＝CD 可得，∴∴∴∵∴故选：A ． 【点睛】本题主要考查两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，向量是数形结合的典型例子，向量的加减运算是用向量解决问题的基础，要学好运算，才能用向量解决立体几何问题，三角函数问题，好多问题都是以向量为载体的，本题属于中档题．7．函数()22sin f x x x =-,(02x π≤≤)则函数()f x 的最小值为( )A ．1BC ．2-D ．【答案】C【解析】整理函数的解析式有：()1cos22cos212sin 2126x f x x x x x π-⎛⎫=-⨯=+-=+- ⎪⎝⎭， 70,22666x x ππππ≤≤∴≤+≤， 结合三角函数的性质可得，当7266x ππ+=时，函数取得最小值： 72sin126π-=-. 本题选择C 选项.点睛：求解三角函数的最值(或值域)时一定要注意自变量的取值范围，由于三角函数的周期性，正弦函数、余弦函数的最大值和最小值可能不在自变量区间的端点处取得，因此要把这两个最值点弄清楚．8．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则这个几何体的外接球体积为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】分析：先通过三视图找到几何体原图，再求几何体外接球的半径和体积. 详解：由题得几何体原图为四棱锥P-ABCD,底面ABCD 是边长为2的正方形，且PA ⊥底面ABCD,PA=2.把几何体放在边长为2的正方体中，P,A,B,C,D 恰好是正方体的五个顶点， 所以正方体的外接球和四棱锥的外接球是同一个球，所以四棱锥的外接球半径为所以几何体外接球的体积为故答案为: B点睛：（1）本题主要考查三视图和几何体外接球体积的计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和空间想象能力.(2)通过三视图找几何体原图常用的有直接法和模型法，本题选择的是模型法，简洁明了.9．正方体的棱长为1，点分别是棱的中点，以为底面作正三棱柱，若此三棱柱另一底面的三个顶点也都在该正方体的表面上，则这个正三棱柱的高为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】分别取过C点的三条面对角线的中点，则此三点为棱柱的另一个底面的三个顶点，利用中位线定理证明．于是三棱柱的高为正方体体对角线的一半．【详解】连结A1C，AC，B1C，D1C，分别取AC，B1C，D1C的中点E，F，G，连结EF，EG，FG．由中位线定理可得PE平行且等于A1C，QF平行且等于A1C，RG平行且等于A1C．又A1C⊥平面PQR，∴三棱柱PQR﹣EFG是正三棱柱．∴三棱柱的高h＝PE＝A1C＝．故选：C．【点睛】本题考查了正棱柱的结构特征，作出三棱柱的底面是计算棱柱高的关键，属于中档题．10．我国古代数学名著《九章算术》中“开立圆术”曰：置积尺数，以十六乘之，九而一，所得开立方除之，即立圆径. “开立圆术”相当于给出了已知球的体积V，直径的一个近似公式. 人们还用过一些类似的近似公式. 根据判断，下列近似公式中最精确的一个是( )A．B．C．D．【答案】D【解析】试题分析：由V=，解得d=,设选项中的常数为，则π=; 选项A代入得π==3.375；选项B代入得π==3；选项C代入得π==3.14；选项D代入得π==3.142857由于D的值最接近π的真实值;故选：D．【考点】进行简单的演绎推理．11．在中，已知，，则为（）A．等腰直角三角形B．等边三角形C．锐角非等边三角形D．钝角三角形【答案】A【解析】已知第一个等式利用正弦定理化简，再利用诱导公式及内角和定理表示，根据两角和与差的正弦函数公式化简，得到A＝B，第二个等式左边前两个因式利用积化和差公式变形，右边利用二倍角的余弦函数公式化简，将A+B＝C，A﹣B＝0代入计算求出cos C的值为0，进而确定出C为直角，即可确定出三角形形状．【详解】将已知等式2a cos B＝c，利用正弦定理化简得：2sin A cos B＝sin C，∵sin C＝sin（A+B）＝sin A cos B+cos A sin B，∴2sin A cos B＝sin A cos B+cos A sin B，即sin A cos B﹣cos A sin B＝sin（A﹣B）＝0，∵A与B都为△ABC的内角，∴A﹣B＝0，即A＝B，已知第二个等式变形得：sin A sin B（2﹣cos C）＝（1﹣cos C）+＝1﹣cos C，﹣[cos（A+B）﹣cos（A﹣B）]（2﹣cos C）＝1﹣cos C，∴﹣（﹣cos C﹣1）（2﹣cos C）＝1﹣cos C，即（cos C+1）（2﹣cos C）＝2﹣cos C，整理得：cos2C﹣2cos C＝0，即cos C（cos C﹣2）＝0，∴cos C ＝0或cos C ＝2（舍去）， ∴C ＝90°，则△ABC 为等腰直角三角形． 故选：A ． 【点睛】此题考查了正弦定理，两角和与差的正弦公式，二倍角的余弦函数公式，熟练掌握正弦定理是解本题的关键． 12．已知函数()()23,3{3,3x x f x x x -≤=-->，函数()()3g x b f x =--，其中b R ∈，若函数()()y f x g x =-恰有4个零点，则实数b 的取值范围是（ ） A ．11,4⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭ B ．113,4⎛⎫-- ⎪⎝⎭ C ．11,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ D ．()3,0-【答案】B【解析】分析：构造新函数()()()3F x f x f x =+-，画出函数()F x 的图象与y b =有四个交点，即可求得实数b 的取值范围.详解：由题意得，令()()()()30y f x g x f x f x b =-=+--=，即()()3f x f x b +-=， 构造函数()()()223,03{3,03 715,3x x x F x f x f x x x x x ---<=+-=-≤≤-+->，画出函数()F x 的图象如图所示，其中,A B 的坐标分别为111711,,,2424⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 故当113,4b ⎛⎫∈--⎪⎝⎭时，与y b =有四个交点，故选B.点睛：本小题主要考查分段函数的图象与性质,考查零点问题的求解方法，题目所给函数()f x 是一个分段函数，那么函数()3f x -也是一个分段函数，所以两个结合起来，将函数分成三个部分，将三段函数解析式求解出来后画出图象，即可得到b 的范围，着重考查学生分析问题和解答问题的能力，以及数形结合思想方法的应用.二、填空题 13．已知向量，，若，则实数__________．【答案】-2【解析】根据向量的坐标运算得到（1+t,1）,,再由向量平行的坐标表示得到结果. 【详解】 向量，，（1+t,1）,,根据得到：（1+t ）=1-t 解得t=-2. 故答案为：-2. 【点睛】这个题目考查了向量的坐标表示，以及向量的坐标运算，和向量平行的坐标运算，题目较为基础.14．已知，则__________．【答案】【解析】根据正切的两角和公式展开得到，再将原式上下同除角的余弦值得到正切的式子，再代入即可. 【详解】已知,展开得到，则=故答案为：.【点睛】这个题目考查了三角函数的化简求值，应用到了弦切互化的公式，三角函数求值与化简必会的三种方法：(1)弦切互化法:主要利用公式tan α=;形如,a sin2x+b sin x cos x+c cos2x等类型可进行弦化切；(2)“1”的灵活代换法:1=sin2θ+cos2θ=(sinθ+cosθ)2-2sinθcosθ=tan等；(3)和积转换法:利用(sinθ±cosθ)2=1±2sinθcosθ,(sinθ+cosθ)2+(sinθ-cosθ)2=2的关系进行变形、转化.15．已知点，又是双曲线的左焦点，是双曲线右支上的动点，则的最小值为__________．【答案】9【解析】试题分析：不妨设双曲线的右焦点为，则根据双曲线的定义知，如图所示，根据三角形性质得，当点在于双曲线的交点上时等号成立．【考点】1、双曲线的定义；2、三角形性质．【思路点睛】对于本题的解题思路，关键是要灵活的理解和运用双曲线的定义及性质，把点到点及点的距离之和转化成点到点及点的距离之和的形式，即，这样就把问题转化成了三角形两边之和最小值的问题，在根据三角形的性质就能够解题．16．已知函数，且，则当时，的取值范围是__________．【答案】【解析】试题分析：∵，∴f（x）是奇函数，∵，∴，由，∴函数单调递增．∴，即，∴，∵，∴不等式对应的平面区域为圆心为（2，1），半径为1的圆的上半部分．的几何意义为动点P（x，y）到定点A（-1，0）的斜率的取值范围．设则，即．当直线和圆相切是，圆心到直线的距离，即，解得．此时直线斜率最大．当直线kx-y+k=0．经过点B（3，1）时，直线斜率最小，此时3k-1+k=0，即4k=1，解得，∴．【考点】利用导数研究函数的单调性；函数单调性的性质．三、解答题17．在公差为的等差数列中，已知，且成等比数列，为数列的前项和.（1）求；（2）若，求的最大值.【答案】（1）或；（2）55.【解析】(1)根据题意将式子化为首项和公差的表达式，进行求解即可得到通项；（2）根据d<0得到数列通项，由等差数列求和公式得到前n项和，配方可得到最值.【详解】（1）由题意得：，∵，∴，化简得，解得：或，∴或.（2）∵，∴，，,∴等于10或11时，取得最大值55.【点睛】这个题目考查了等差数列通项公式的求法，以及等差数列前n项和公式，求等差数列通项公式关键是求出首项和公差，数列求和根据公式计算即可，常见的数列求和方法有：错位相减，倒序相加，累加，累乘等方法.18．通过随机询问某地100名高中学生在选择座位时是否挑同桌，得到如下列联表：（1）从这50名男生中按是否挑同桌采取分层抽样的方法抽取一个容量为5的样本，现从这5人中随机选取3人做深度采访，求这3名学生中至少有2名要挑同桌的概率；（2）根据以上列联表，是否有95%以上的把握认为“性别与在选择座位时是否挑同桌”有关？下面的临界值表供参考：参考公式：，其中.【答案】ⅠⅡ见解析【解析】试题分析：（Ⅰ）根据分层抽样原理求出样本中挑同桌有3人，不挑同桌有2人，利用列举法求出基本事件数，计算对应的概率值；（Ⅱ）根据2×2列联表计算观测值，对照临界值表得出结论．解析：Ⅰ根据分层抽样方法抽取容量为5的样本，挑同桌有3人，记为A、B、C，不挑同桌有2人，记为d、e；从这5人中随机选取3人，基本事件为共10种；这3名学生中至少有2名要挑同桌的事件为概率为，共7种；故所求的概率为；Ⅱ根据以上列联表，计算观测值，对照临界值表知，有以上的把握认为“性别与在选择座位时是否挑同桌”有关．19．如图，在四棱锥中，平面平面，，是等边三角形，已知，，.（1）设是上一点，求证：平面平面；（2）求四棱锥的体积.【答案】（1）见解析（2）3【解析】试题分析：（1）推导出⊥平面，由此能证明平面⊥平面．（2）取中点为，则是四棱锥的高，由此能求出四棱锥的体积．试题解析：（1）在三角形中由勾股定理，又平面平面，平面平面所以平面又平面.所以平面平面.（2）取中点为，则是四棱锥的高，底面的面积是三角形面积的，即，所以四棱锥的体积为20．已知圆，圆心在抛物线上，圆过原点且与的准线相切.（1）求抛物线的方程；（2）点，点（与不重合）在直线上运动，过点作抛物线的两条切线，切点分别为，求证：.【答案】（1）；（2）证明解析.【解析】(1)根据圆和抛物线的位置关系，以及圆和准线相切这一条件得到方程，，从而得到结果；（2）求出两条切线方程，再抽出方程，其两根为切点的横坐标，,通过韦达定理得到结果即可.【详解】（1）∵圆与抛物线准线相切，∴.又圆过和原点，∴.∴，解得.∴抛物线的方程为.（2）设，，方程为.∴，∴抛物线在点处的切线的斜率，∴切线的方程为，即，化简得：，又因过点，故可得，即.同理可得：.∴为方程的两根，∴，.∴∴.【点睛】本题考查了抛物线的方程，直线与抛物线的位置关系，考查了方程思想、转化思想，考查了运算能力，属于难题．21．已知函数.（1）若曲线在处的切线的斜率为，求的值；（2）若，求证：当时，的图像恒在轴上方.【答案】（1）0；（2）证明见解析.【解析】（1）根据导数的几何意义得到，求解即可；（2）的图像恒在轴上方，即>0恒成立，分两种情况当时，当时，讨论函数的单调性，求得函数的最值，是的最小值大于0即可.【详解】（1），∴，∴.（2），令，，（ⅰ）当时，，单调递增，，单调递增，，满足题意.（ⅱ）当时，，解得.当，，单调递减；当，，单调递增，此时，∵，，即，∴单调递增，，满足题意.综上可得：当且时，的图象恒在轴上方.【点睛】这个题目考查了导数的几何意义，以及函数的恒成立问题，解决恒成立的问题常见方法：（1）根据参变分离，转化为不含参数的函数的最值问题；（2）若就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值，最终转化为，若恒成立；（3）若恒成立，可转化为（需在同一处取得最值）.22．在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为为参数），以原点为极点，以轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，曲线，的公共点为.（Ⅰ）求直线的斜率；（Ⅱ）若点分别为曲线，上的动点，当取最大值时，求四边形的面积.【答案】（Ⅰ）2；（Ⅱ）．【解析】（Ⅰ）消去参数α得曲线C1的普通方程，将曲线C2化为直角坐标方程，两式作差得直线AB的方程，则直线AB的斜率可求；（Ⅱ）由C1方程可知曲线是以C1（0，1）为圆心，半径为1的圆，由C2方程可知曲线是以C2（2，0）为圆心，半径为2的圆，又|CD|≤|CC1|+|C1C2|+|DC2|，可知当|CD|取最大值时，圆心C1，C2在直线AB上，进一步求出直线CD（即直线C1C2）的方程，再求出O到直线CD的距离，则四边形ACBD的面积可求．【详解】（Ⅰ）消去参数α得曲线C1的普通方程C1：x2+y2﹣2y=0． (1)将曲线C2：ρ=4cosθ化为直角坐标方程得x2+y2﹣4x=0． (2)由（1）﹣（2）化简得y=2x，即为直线AB的方程，故直线AB的斜率为2；（Ⅱ）由C1：x2+y2﹣2y=0知曲线C1是以C1（0，1）为圆心，半径为1的圆，由C2：x2+y2﹣4x=0知曲线C2：是以C2（2，0）为圆心，半径为2的圆．∵|CD|≤|CC1|+|C1C2|+|DC2|，∴当|CD|取最大值时，圆心C1，C2在直线CD上，∴直线CD（即直线C1C2）的方程为：2x+y=2．∵O到直线CD的距离为，即|AB|=又此时|CD|=|C1C2|+1+2=3+，∴四边形ACBD的面积．【点睛】本题考查了简单曲线的极坐标方程以及参数方程化成普通方程，考查了直线与圆的位置关系，是中档题．23．已知函数.（1）当时，解不等式；（2）若关于的不等式的解集包含，求的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】（I）当，不等式为，分类讨论，即可求解不等式的解集.（II）由题意的解集包含，转化为当时，恒成立，即，再利用绝对值的定义，即可求解.【详解】解：（I）当时，，由解得，综合得；当时，，由解得，综合得；当时，，由解得，综合得.所以的解集是.（II）∵的解集包含，∴当时，恒成立原式可变为，即，∴即在上恒成立，显然当时，取得最小值10，即的取值范围是.【点睛】本题主要考查了绝对值不等式问题，对于含绝对值不等式的解法有两个基本方法，一是运用零点分区间讨论，二是利用绝对值的几何意义求解．同时注意绝对值不等式有时与函数以及不等式恒成立等知识点相互交汇、渗透，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用，这是命题的新动向．。

河南省洛阳市、许昌市2019届高三第一次质量检测数学文试题本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页．共150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题．每小题5分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知全集U＝R，集合M＝{x｜＜1}，集合N＝{ y｜y＝}，则（C U M）∩N＝A. （1，2）B. [0，2]C. （0，2]D. [1，2]【答案】B2.若复数满足，则复数的虚部为（）A. B. C. D.【答案】B3.已知等比数列{}中，a3＝2，a4a6＝16，则的值为A. 2B. 2C.D.【答案】C4.祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”，它是中国古代一个涉及几何体体积的问题，意思是两个同高的几何体，如果在等高处的截面积恒相等，那么体积相等．设A，B为两个同高的几何体，p：A，B的体积不相等，q：A，B在等高处的截面积不恒相等，根据祖暅原理可知，p是q的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B5.若双曲线的一条渐近线与圆至多有一个交点，则双曲线离心率的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A6.已知cos（α＋）－sinα＝，则sin（α－）的值为A. B. － C. D. －【答案】D7.执行如图所示的程序框图，若输出的S＝，则判断框内填入的条件不可以是A. k≤7?B. k＜7?C. k≤8?D. k＜8?【答案】C8.已知实数x，y满足则x2＋y2－2x的取值范围是A. [0，19]B. [－，20]C. [0，20]D. [－，19]【答案】D9.某空间几何体的三视图如图所示（图中小正方形的边长为1），则这个几何体的体积是（）A. B. C. 16 D. 32【答案】A11.设函数，的导函数为，且，，则下列不等式成立的是（注：e为自然对数的底数）（）A. B.C. D.【答案】B12.已知F1，F2分别为椭圆（a＞b＞0）的左、右焦点，P为椭圆上一点，O为坐标原点，且（＋）·＝0，｜｜＝2｜｜，则该椭圆的离心率为A. B. C. D.【答案】C第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13.平面直角坐标系中，为原点，三点满足，则A. 1B. 2C. 3D.【答案】C14.已知函数f（x）＝，若｜f（a）｜≥2，则实数a的取值范围是_________．【答案】15.在直三棱柱ABC—A1B1C1中，∠ACB＝90°，AC＝2，BC＝CC1＝，P是BC1上一动点，则A1P＋PC的最小值为_________．【答案】16.已知函数f（x）＝2cosx＋sin2x，则f（x）的最小值是__________．【答案】三、解答题：本大题共6个小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17.△ABC中，已知B＝2C，AB:AC＝2:3．（1）求cosC；（2）若AC＝，求BC的长度．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）直接利用正弦定理和三角函数恒等变换求出结果．（2）先由两角和的余弦求得cosA,利用余弦定理即可得解．【详解】（1）由正弦定理得：，，.（2），，.，.由余弦定理知.【点睛】本题考查的知识要点：三角函数恒等变换，正弦定理和余弦定理及三角形面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．18.已知{}是公差不为0的等差数列，其中a1＝1，且a2，a3，a6成等比数列．（1）求数列{}的通项公式；（2）记是数列{}的前n项和，是否存在n∈N﹡，使得＋9n＋80＜0成立?若存在，求n的最小值；若不存在，说明理由．【答案】（1）；（2）存在，使得成立，的最小值为17.【解析】【分析】（1）设公差d不为0的等差数列{a n}，运用等比数列中项性质和等差数列的通项公式，解方程可得d，进而得到所求通项公式；（2）求得S n，假设存在n，S n+9n+80＜0成立，运用二次不等式的解法，即可得到结论．【详解】（1）设数列公差为d，，则1+d，1+2d，1+5d成等比数列，，化简得，.，,.（2）又，由题意得.即，解得或（舍去）即存在，使得成立，n的最小值为17.【点睛】本题考查等差数列的通项公式和求和公式的运用，考查二次不等式的解法和方程思想，运算能力，属于中档题．19.如图，等腰三角形PAD所在平面与菱形ABCD所在平面互相垂直，已知点E，F，M，N分别为边BA，BC，AD，AP的中点．（1）求证：AC⊥PE；（2）求证：PF∥平面BNM．【答案】（1）见解析；（2）见解析.【解析】【分析】（1）连结PM，ME，推导出ME∥BD，AC⊥ME，从而PM⊥平面ABCD，进而PM⊥AC，由此能证明AC⊥平面PME，从而AC⊥PE．（2）连结DF，推导出MN∥平面PDF，MB∥平面PDF，从而平面MNB∥平面PDF，由此能证明PF∥平面BNM．【详解】（1）连接PM，ME，分别为AB、AD的中点，菱形ABCD中，，，，等腰三角形中，，且，，又，又，，，.（2）连接DF，分别为边BA、BC、AD、AP的中点，，，，又，，，，，，，.【点睛】本题考查线线垂直、线面平行的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．20.已知抛物线C：x2＝2py（p＞0）的焦点为F，抛物线上一点P的纵坐标为3，且｜PF｜＝4，过M（m，0）作抛物线C的切线MA（斜率不为0），切点为A．（1）求抛物线C的方程；（2）求证：以FA为直径的圆过点M．【答案】（1）；（2）见解析.【解析】【分析】（1）由抛物线的定义即可求出p的值，即可得解；（2）设切线MA的方程为y=k（x﹣m），k≠0，联立方程，可得△=16k2﹣16km=0，即m=k，切点M（2m，m2），由，即可判定以FA为直径的圆过点M．【详解】（1），抛物线C的方程为：.（2）设切点，切线MA的斜率为k，，，，.切线MA方程为：，即.切线过，，又，.，，，因此，以FA为直径的圆过点M.法二：设切线MA的方程为：联立方程：，消去y得：.由题意知：.，.，∴切点A的坐标为.∴.，.∴所以FA为直径的圆点过点M.【点睛】本题考查了抛物线的定义以及直线和抛物线的位置关系，直线和圆的位置关系，考查了运算能力和转化能力，属于中档题.21.设函数f（x）＝（x2－1）lnx－x2＋2x．（1）求曲线y＝f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；（2）证明：f（x）≥1．【答案】（1）；（2）见解析.【解析】【分析】（1）f′（x）=+2xlnx﹣2x+2=2xlnx﹣x﹣+2．可得f′（2），f（2）=3ln2．利用点斜式即可得出切线方程．（2）f（x）≥1⇔（x2﹣1）lnx﹣（x﹣1）2≥0．当x=1时，不等式成立．所以只需证明：x＞1时，lnx≥；0＜x＜1时，lnx≤．利用导数研究函数的单调性极值与最值，即可得出．【详解】函数的定义域为.，..∴曲线在点处的切线方程为.即.（2）证明：当x=1时，不等式显然成立.所以只需证明当时，；当时，.令，则.，∴函数在上是增函数.∴当x＞1时，；当0＜x＜1时，，.【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值及其切线方程、证明不等式、分类讨论，考查了推理能力与计算能力，属于难题．请考生在第22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分．做答时。

满足条件，k=2，S=
满足条件，k=4，S= +
满足条件，k=6，S= +
满足条件，k=8，S= + + =
由题意，此时应不满足条件，退出循环，输出 S 的值为 ． 结合选项可得判断框内填入的条件可以是：k＜8．所以不可以的是 k≥8 的所有 k. 故选：C． 【点睛】本题考查了当型循环结构的程序框图，根据框图的流程判断程序运行的 S 值是解题的关键，属于 基础题．
②当 a＞0 时，不等式|f（a）|≥2 等价于
，
则
或
，
即
或
，解得 0＜a 或 a≥8；
综上可得，实数 a 的取值范围是
，
故答案为：
．
【点睛】本题考查利用分段函数求不等式的解集，以及指数、对数函数的性质的应用，考查分类讨论思想，
化简、变形能力．
15.在直三棱柱 ABC—A1B1C1 中，∠ACB＝90°，AC＝2，BC＝CC1＝ ，P 是 BC1 上一动点，则 A1P＋PC 的最小 值为_________．
河南省洛阳市、许昌市 2019 届高三第一次质量检测 数学文试题
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷 1 至 2 页，第Ⅱ卷 3 至 4 页．共 150 分．考 试时间 120 分钟．
第Ⅰ卷（选择题，共 60 分） 一、选择题：本大题共 12 小题．每小题 5 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
，那么离心率
，故选 A.
6.已知 cos（α＋ ）－sinα＝ ，则 sin（α－ ）的值为
A.
B. －
C.
D. －
【答案】D 【解析】 【分析】 利用两角和与差的余弦函数以及两角和与差的三角函数化简已知条件，然后展开所求表达式即可得到结果．

2019-2020年高三数学第一次统一考试试题 理（含解析）【试卷综析】试题在重视基础，突出能力，体现课改，着眼稳定，实现了新课标高考数学试题与老高考试题的尝试性对接.纵观新课标高考数学试题，体现数学本质，凸显数学思想，强化思维量，控制运算量，突出综合性，无论是在试卷的结构安排方面，还是试题背景的设计方面以全新的面貌来诠释新课改的理念.【题文】一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．【题文】 l.集合 {}{}{}1,2,3,4,5,1,2,3,|,A B C z z xy x A y B ====∈∈且，则集合C 中的元素个数为A.3 B ．4 C ．11 D ．12【知识点】集合中元素的特征：确定性，互异性，无序性. A1 【答案】【解析】C 解析：{1,2,3,4,5,6,8,9,10,12,15}C =，故选C. 【思路点拨】利用已知求得集合C 即可.【题文】 2．已知i 为虚数单位，复数123,12z ai z i =-=+，若12z z 复平面内对应的点在第四象限，则实数a 的取值范围为 A. {}|6a a <- B ． 3|62a a ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭ C ．3|2a a ⎧⎫<⎨⎬⎩⎭ D ． 3|62a a a ⎧⎫<->⎨⎬⎩⎭或 【知识点】复数的运算；复数的几何意义. L4 【答案】【解析】B 解析：12z z ()()()()312332612121255ai i ai a a i i i i ----+===-++-，因为12zz 复平面内对应的点在第四象限，所以32036602a a a ->⎧⇒-<<⎨+>⎩，故选 B.【思路点拨】先把复数z 化为最简形式，在利用复数的几何意义求解.【题文】3．已知θ为第二象限角， sin ,cos θθ是关于x 的方程22x R)∈的两根，则 sin -cos θθ的等于 A ．12+ B ．12C ．．【知识点】已知三角函数式的值，求另一个三角函数式的值. C7 【答案】【解析】A解析：由已知得1sin cos 2θθ+=2sin cos 2θθ⇒=-又θ为第二象限角，所以sin -cos θθ==12+，故选 A.【思路点拨】由已知得1sin cos 2θθ-+=2sin cos 2θθ⇒=-，又θ为第二象限角，所以sin -cos θθ==12+. 【题文】4.下面四个推导过程符合演绎推理三段论形式且推理正确的是A ．大前提：无限不循环小数是无理数；小前提：π丌是无理数；结论：π是无限不循环小数B ．大前提：无限不循环小数是无理数；小前提： π是无限不循环小数；结论： π是无理数C.大前提：π是无限不循环小数；小前提：无限不循环小数是无理数；结论： π是无理数D.大前提： π是无限不循环小数；小前提： π是无理数；结论：无限不循环小数是无理数 【知识点】演绎推理的定义及特点. M1【答案】【解析】B 解析：A ：小前提不正确；C 、D 都不是由一般性命题到特殊性命题的推理，所以A 、C 、D 都不正确，只有B 正确，故选 B.【思路点拨】演绎推理是由一般性命题到特殊性命题的推理，及其推理的一般模式---“三段论”，由三段论的含义得出正确选项.【题文】5．某几何体的三视图如图所示，图中三个正方形的边长均为2，则该几何体的体积为 A ．38 B ． 82π- C ． 43π D ． 283π-【知识点】几何体的三视图；几何体的结构. G1 G2【答案】【解析】D 解析：由三视图可知此几何体是：棱长为2 的正方体挖去了一个圆锥而形成的新几何体，其体积为3212212833ππ-⨯⨯⨯=-，故选 D.【思路点拨】由几何体的三视图得此几何体的结构，从而求得此几何体的体积.【题文】6．已知 ()f x 是定义在R 上的偶函数，且()f x 在(],0-∞上单调递增，设333(sin )(cos ),(tan )555a fb fc f πππ===，则a,b,c 的大小关系是，A ．a<b<cB ．b<a<cC ．c<a<bD ．a<c<b【知识点】函数奇偶性，单调性的应用. B3 B4【答案】【解析】C 解析：∵()f x 是定义在R 上的偶函数，且()f x 在(],0-∞上单调递增， ∴()f x 在[)0,+∞上单调递减，且22coscos 55b f f ππ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 22tantan 55c f f ππ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，又∵2sin 5a f π⎛⎫=⎪⎝⎭，且2220cos sin tan 555πππ<<<，∴ c<a<b ，故选 C.【思路点拨】由已知得函数()f x 在[)0,+∞上单调递减，而2sin5a f π⎛⎫= ⎪⎝⎭， 22coscos 55b f f ππ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，22tan tan 55c f f ππ⎛⎫⎛⎫=-=⎪⎪⎝⎭⎝⎭，所以只需比较 222cos,sin ,tan555πππ的大小关系即可. 【题文】7.执行如图的程序，则输出的结果等于 A ．9950 B ．200101 C ．14950 D ． 15050【知识点】对程序框图描述意义的理解. L1【答案】【解析】A 解析：根据框图中的循环结构知，此程序是求下式的值：1111136104950T =+++++222222612209900=+++++1111212233499100⎛⎫=++++⎪⨯⨯⨯⨯⎝⎭1111111212233499100⎛⎫=-+-+-++- ⎪⎝⎭1992110050⎛⎫=-=⎪⎝⎭，故选A. 【思路点拨】由程序框图得其描述的算法意义.【题文】 8．在△ABC 中，D 为AC 的中点，3BC BE =，BD 与 AE 交于点F ，若 AF AE λ=，则实数λ的值为 A ．12 B ． 23 C ． 34 D ． 45【知识点】平面向量的线性运算. F1 【答案】【解析】C 解析：作EFAC 交BD 于G ，因为13BE BC =,所以13EG DC =，因为 D 为AC 的中点，所以13EG AD =，所以1334EF AF AE FA =⇒=，故选C.【思路点拨】画出几何图形，利用平行线分线段成比例定理求得结论.【题文】9．设 12,F F 分别为双曲线 221x y -=的左，右焦点，P 是双曲线上在x 轴上方的点， 1F PF ∠为直角，则 12sin PF F ∠的所有可能取值之和为A ．83B ．2C ．D ．2【知识点】双曲线的性质. H6【答案】【解析】D 解析：设P 是第一象限点，且12,PF m PF n ==，则222181m n m m n n ⎧-==⎧⎪⇒⎨⎨+==⎩⎪⎩，所以所求= 2m n c +==，故选 D. 【思路点拨】根据双曲线的定义及勾股定理，求得P 到两焦点的距离，这两距离和与焦距的比值为所求. 【题文】10.曲线 1(0)y x x=>在点 00(,)P x y 处的切线为 l ．若直线l 与x ，y 轴的交点分别为A ，B ，则△OAB 的 周长的最小值为A. 4+5+ 【知识点】导数的几何意义；基本不等式求最值. B11 E6 【答案】【解析】A 解析：∵21y x '=-，∴00201:()l y y x x x -=--即20020x x y x +-=， 可得A(02x ,0)，B(0,02x )，∴△OAB的周长00224l x x =+≥+当01x =时等号成立.故选 A.【思路点拨】由导数的几何意义得直线l 的方程，从而求得A 、B 的坐标，进而用0x 表示△OAB 的周长，再用基本不等式求得周长的最小值.【题文】11．若直线(31)(1)660x y λλλ++-+-= 与不等式组 70,310,350.x y x y x y +-<⎧⎪-+<⎨⎪-->⎩，表示的平 面区域有公共点，则实数λ的取值范围是 A ． 13(,)(9,)7-∞-+∞ B ． 13(,1)(9,)7-+∞ C ．(1，9) D ． 13(,)7-∞-【知识点】简单的线性规划. E5【答案】【解析】A 解析：画出可行域，求得可行域的三个顶点A(2,1)，B(5,2)，C(3,4) 而直线(31)(1)660x y λλλ++-+-=恒过定点P(0,-6),且斜率为311λλ+-，因为 7810,,253PA PB PC k k k ===,所以由8317512λλ+<<-得λ∈13(,)(9,)7-∞-+∞，故选A.【思路点拨】：画出可行域，求得可行域的三个顶点, 确定直线过定点P(0,-6)，求得直线PA 、PB 、PC 的斜率，其中最小值85，最大值72，则由8317512λλ+<<-得λ的取值范围. 【题文】12．在平面直角坐标系中，点P 是直线 1:2l x =-上一动点，点 1(,0)2F ，点Q 为PF 的 中点，点M 满MQ ⊥PF ，且 ()MP OF R λλ=∈.过点M 作圆 22(3)2x y -+= 的切线，切点分别为S ，T ，则 ST 的最小值为A ．． C ． 72 D. 52【知识点】曲线与方程；距离最值问题. H9 【答案】【解析】A 解析：设M(x,y)，1(,2)2P b -，则Q(0,b),由QM ⊥FP 得 (,)(1,2)02()0x y b b x b y b -⋅-=⇒-+-=.由()MP OF R λλ=∈得y=2b,所以点M 的轨迹方程为22y x =，M 到圆心距离=，易知当d 去最小ST 取最小值，此时MT ==，由三角形面积公式得：11222ST ST ==故选A. 【思路点拨】先求得点M 的轨迹方程22y x =，分析可知当M 到圆心距离最小时ST 最小，所以求M 到圆心距离d 得最小值，再用三角形面积公式求得ST 的最小值. 【题文】二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 【题文】13.设随机变量 2(,)N ξμσ，且 (1)(1),(2)0.3P P P ξξξ<-=>>=，则(20)P ξ-<<= _____________．【知识点】正态分布的意义. I3【答案】【解析】0.2 解析：因为(1)(1)P P ξξ<-=>，所以正态分布曲线关于y 轴对称， 又因为(2)0.3P ξ>=，所以(20)P ξ-<<=120.30.22-⨯=【思路点拨】根据正态分布的性质求解.【题文】14.若正四梭锥P- ABCD 的底面边长及高均为2，刚此四棱锥内切球的表面积为_______．【知识点】组合体的意义；几何体的结构. G1【答案】【解析】2(3π- 解析：根据题意得正四梭锥的底面面积为4，一个侧面面积为R ，则由等体积法得，()111442332R R =⨯⨯⇒=,所以球的表面积为2(3π.【思路点拨】由等体积法求得此四棱锥内切球的半径，再由球的表面积公式求得结论. 【题文】15．将函数 ()sin()223y sin x x ωωπ=+的图象向右平移3π个单位，所得图象关于y轴对称，则正数 ω的最小值为________．【知识点】sin()y A x ωϕ=+的图像与性质. C4 【答案】【解析】 1 解析：函数()sin()223y sin x x ωωπ=+=1sin()sin()cos()2222x x x ωωω⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭=21sin ()sin()cos()2222x x x ωωω+=11sin()264x πω-+，向右平移3π个单位后为： 1111sin[()]sin 23642364y x x πππωπωω⎡⎤⎛⎫=--+=-++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，这时图像关于y 轴对称，所以31362k k πωπππω+=+⇒=+，k Z ∈,所以正数 ω的最小值为1.【思路点拨】先利用两角和与差的三角函数，二倍角公式，把已知函数化为： y=11sin()264x πω-+,再由其平移后关于y 轴对称得31k ω=+，k Z ∈，所以正数 ω的最小值为1.【题文】 16．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若b=l ，a= 2c ，则当C 取最大值时，△ABC 的面积为________．【知识点】余弦定理；三角形的面积公式. C8【答案】解析：当C 取最大值时，cosC 最小，由22223111cos 3244a b c c C c ab c c +-+⎛⎫===+≥⎪⎝⎭得，当且仅当c= 3时C 最大，且此时sinC=12，所以△ABC的面积为111sin 21222ab C c =⨯⨯⨯=【思路点拨】由余弦定理求得C 最大的条件，再由三角形面积公式求解.【题文】三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．【题文】17．（本小题满分10分） 已知 {}{},n n a b 均为等差数列，前n 项和分别为 ,n n S T ．(1)若平面内三个不共线向量 ,,OA OB OC 满足 315OC a OA a OB =+，且A ，B ，C 三点共线．是否存在正整数n ，使 n S 为定值？若存在，请求出此定值；若不存在，请说明理由。