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2020年河南省洛阳市高考数学一模试卷（理科）学校:________ 班级:________ 姓名:________ 学号:________一、单选题（共12小题）1.已知集合M＝{x|x（x﹣2）＜0}，N＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，则M∩N＝（）A．{0，1，2} B．{﹣2，﹣1} C．{1} D．{﹣2，﹣1，0，2}2.已知复数z在复平面中对应的点（x，y）满足（x﹣1）2+y2＝1，则|z﹣1|＝（）A．0 B．1 C ．D．23.为了节能减排，发展低碳经济，我国政府从2001年起就通过相关政策推动新能源汽车产业发展．下面的图表反映了该产业发展的相关信息：中国新能源汽车产销情况一览表新能源汽车产量新能源汽车销量产量（万辆）比上年同期增长（%）销量（万辆）比上年同期增长（%）2018年3月 6.8105 6.8117.4 4月8.1117.78.2138.4 5月9.685.610.2125.6 6月8.631.78.442.9 7月953.68.447.7 8月9.93910.149.5 9月12.764.412.154.810月14.658.113.85111月17.336.916.937.61﹣﹣12月12759.9125.661.72019年1月9.11139.61382月 5.950.9 5.353.6根据上述图表信息，下列结论错误的是（）A．2017年3月份我国新能源汽车的产量不超过3.4万辆B．2017年我国新能源汽车总销量超过70万辆C．2018年8月份我国新能源汽车的销量高于产量D．2019年1月份我国插电式混合动力汽车的销量低于2万辆4.已知正项等比数列{a n}中，a3a5＝4，且a4，a6+1，a7成等差数列，则该数列公比q为（）A．B．C．2 D．45.我国数学家陈最润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界瞩目的成就．哥德巴赫猜想简述为“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”（注：如果一个大于1的整数除了1和自身外无其他正因数，则称这个整数为素数），如40＝3+37．在不超过40的素数，随机选取2个不同的数，这两个数的和等于40的概率是（）A．B．C．D．6.圆x2+y2﹣2x+4y+1＝0关于直线ax﹣by﹣3＝0（a＞0，b＞0）对称，则的最小值是（）A．1 B．3 C．5 D．97.函数（e为自然对数的底数）的大致图象为（）A．B．C．D．8.正三棱锥的三视图如，图所示，则该正三棱锥的表面积为（）A．B．C．D．9.已知点F1，F2分别是双曲线的左，右焦点，O为坐标原点，点P在双曲线C的右支上，且满足|F1F2|＝2|OP|，tan∠PF2F1＝4，则双曲线C的离心率为（）A．B．5 C．D．10.设f（x）是定义在R上的函数，满足条件f（x+1）＝f（﹣x+1），且当x≤1时，f（x）＝e﹣x﹣3，则a＝f（log27），的大小关系是（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．b＞a＞c D．c＞b＞a11.正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，点E为棱CC1的中点．下列结论：①线段BD上存在点F，使得CF∥平面AD1E；②线段BD上存在点F，使CF⊥得平面AD1E；③平面AD1E把正方体分成两部分，较小部分的体积为，其中所有正确的序号是（）A．①B．③C．①③D．①②③12.已知正项数列{a n}的前n项和为S n，a1＞1，且6S n＝a n2+3a n+2．若对于任意实数a∈[﹣2，2]．不等式恒成立，则实数t的取值范围为（）A．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）B．（﹣∞，﹣2]∪[1，+∞）C．（﹣∞，﹣1]∪[2，+∞）D．[﹣2，2]二、填空题（共4小题）13.平面向量与的夹角为60°，且，，则＝．14.若实数x，y满足约束条件，则z＝2x+y的最小值是﹣．15.已知椭圆为右顶点．过坐标原点O的直线交椭圆C于P，Q两点，线段AP的中点为M，直线QM交x轴于N（2，0），椭圆C的离心率为，则椭圆C的标准方程为．16.已知函数，且f（x）g（x）≤0在定义域内恒成立，则实数a的取值范围为≤﹣．三、解答题（共7小题）17.在△ABC中，角A，B，C对应边分别为a，b，c．（1）若△ABC的面积S满足且b＞c，求b的值；（2）若且△ABC为锐角三角形．求△ABC周长的范围．18.如图，已知四边形ABCD为等腰梯形，BDEF为正方形，平面BDEF⊥平面ABCD，AD∥BC，AD＝AB＝1，∠ABC＝60°（1）求证：平面CDE⊥平面BDEF；（2）点M为线段EF上一动点，求BD与平面BCM所成角正弦值的取值范围．19.过点P（0，2）的直线与抛物线C：x2＝4y相交于A，B两点．（1）若，且点A在第一象限，求直线AB的方程；（2）若A，B在直线y＝﹣2上的射影分别为A1，B1，线段A1B1的中点为Q，求证BQ∥P A1．20.设函数．（1）若k＝1，求f（x）的单调区间；（2）若f（x）存在三个极值点x1，x2，x3，且x1＜x2＜x3，求k的取值范围，并证明：x1+x3＞2x2．21.“公平正义”是社会主义和谐社会的重要特征，是社会主义法治理念的价值追求．“考试”作为一种公平公正选拔人才的有效途径，正被广泛采用．每次考试过后，考生最关心的问题是：自己的考试名次是多少？自已能否被录取？能获得什么样的职位？某单位准备通过考试（按照高分优先录取的原则）录用300名，其中275个高薪职位和25个普薪职位．实际报名人数为2000名，考试满分为400分．（一般地，对于一次成功的考试来说，考试成绩应服从正态分布．）考试后考试成绩的部分统计结果如下：考试平均成绩是180分，360分及其以上的高分考生30名．（1）最低录取分数是多少？（结果保留为整数）（2）考生甲的成绩为286分，若甲被录取，能否获得高薪职位？若不能被录取，请说明理由．参考资料：（1）当X～N（μ，σ2）时，令Y＝，则Y～N（0，1）．（2）当Y～N（0，1）时，P（Y≤2.17）≈0.985，P（Y≤1.28）≈0.900，P（Y≤1.09）≈0.863，P（Y ≤1.04）≈0.85．22.在极坐标系中，已知圆的圆心，半径r＝3，Q点在圆C上运动，以极点为直角坐标系原点，极轴为x轴正半轴建立直角坐标系．（1）求圆C的参数方程；（2）若P点在线段OQ上，且|OP|：|PQ|＝2：3，求动点P轨迹的极坐标方程．23.设函数f（x）＝|2x﹣1|+|x+1|．（1）画出y＝f（x）的图象；（2）若不等式f（x）＞a﹣|x+1|对x∈R成立，求实数a的取值范围．2020年河南省洛阳市高考数学一模试卷（理科）参考答案一、单选题（共12小题）1.【分析】可以求出集合M，然后进行交集的运算即可．【解答】解：∵M＝{x|0＜x＜2}，N＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，∴M∩N＝{1}．故选：C．【知识点】交集及其运算2.【分析】由于（x﹣1）2+y2＝1，表示以C（1，0）为圆心，1为半径的圆．即可得出|z﹣1|．【解答】解：（x﹣1）2+y2＝1，表示以C（1，0）为圆心，1为半径的圆．则|z﹣1|＝1．故选：B．【知识点】复数求模3.【分析】由图表信息中2018年的信息，根据增长量即可算出2017年的信息，判断出A，B正确，2018年8月份信息直接从表中可查到，2019年1月份我国插电式混合动力汽车的销量结合扇形图即可求出．【解答】解：由图表信息可知，2017年3月份我国新能源汽车的产量为：，所以选项A正确；由图表信息可知，2017年我国新能源汽车总销量为：，所以选项B正确；由图表信息可知，2018年8月份我国新能源汽车的销量为10.1，产量为9.9，所以选项C正确；由图表信息可知，2019年1月份我国插电式混合动力汽车的销量为：9.6×0.25＝2.4，所以选项D错误，故选：D．【知识点】进行简单的合情推理4.【分析】运用等比数列的性质和通项公式，等差数列的中项性质，解方程可得所求公比．【解答】解：正项等比数列{a n}中，a3a5＝4，可得q＞0，a42＝a3a5＝4，即a4＝2，a4，a6+1，a7成等差数列，可得a4+a7＝2a6+2，即2+2q3＝4q2+2，解得q＝2，故选：C．【知识点】等差数列与等比数列的综合、等比数列的通项公式5.【分析】不超过40的素数有12个，随机选取2个不同的数，基本事件总数n＝＝66，利用列举法求出这两个数的和等于40包含的基本事件有3个，由此能求出这两个数的和等于40的概率．【解答】解：不超过40的素数有：2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，31，37，共12个，随机选取2个不同的数，基本事件总数n＝＝66，这两个数的和等于40包含的基本事件有：（3，37），（11，29），（17，23），共3个，∴这两个数的和等于40的概率是p＝＝．故选：B．【知识点】古典概型及其概率计算公式6.【分析】由已知可得a+2b＝3，即，则＝（）（），展开后利用基本不等式求最值．【解答】解：圆x2+y2﹣2x+4y+1＝0的圆心坐标为（1，﹣2），由圆x2+y2﹣2x+4y+1＝0关于直线ax﹣by﹣3＝0（a＞0，b＞0）对称，∴a+2b＝3，即，则＝（）（）＝+．当且仅当，即a＝，b＝时上式取等号．∴的最小值是3．故选：B．【知识点】直线与圆的位置关系7.【分析】根据题意，由排除法分析：先分析函数的奇偶性排除B、D，再分析可得当0＜x＜时，f（x）＞0，排除A；即可得答案．【解答】解：根据题意，函数，其定义域为{x|x≠0}，有﹣（）＝﹣f（x），即函数f（x）为奇函数，排除B、D；又由当0＜x＜时，f（x）＞0，排除A，故选：C．【知识点】函数图象的作法8.【分析】利用三视图求出三棱锥的底面边长以及侧棱长，然后求解表面积．【解答】解：应用可知三棱锥的高为：3，底面三角形的高为：3，则底面正三角形的边长为：a；所以，解得a＝2．斜高为：＝，该三棱锥的表面积为：3×+＝3+3．故选：A．【知识点】由三视图求面积、体积9.【分析】点P在双曲线C的右支上，且满足|F1F2|＝2|OP|，即有O为△PF1F2外接圆的圆心，即有∠F1PF2＝90°，运用勾股定理和双曲线的定义，化简整理，结合离心率公式计算即可得到．【解答】解：点P在双曲线C的右支上，且满足|F1F2|＝2|OP|，即有O为△PF1F2外接圆的圆心，即有∠F1PF2＝90°，由双曲线的定义可得|PF1|﹣|PF2|＝2a，∵tan∠PF2F1＝4，所以|PF1|＝4|PF2|，则|PF1|＝a，|PF2|＝a，由|PF1|2+|PF2|2＝|F1F2|2，即（）2+（）2＝4c2，即有c2＝a2，e＝，故选：C．【知识点】双曲线的简单性质10.【分析】由已知可得函数的图象关于x＝1对称，又x＞1时函数图象单调递增，距离对称轴越远，函数值越大，【解答】解：由f（x+1）＝f（﹣x+1）可得函数的图象关于x＝1对称，又当x≤1时，f（x）＝e﹣x﹣3单调递减，故x＞1时函数图象单调递增，距离对称轴越远，函数值越大，∵log27∈（2，3），，3﹣1.5，故a＞c＞b．故选：B．【知识点】不等关系与不等式、奇偶函数图象的对称性11.【分析】由题意建立空间直角坐标系，求出平面AD1E的一个法向量，利用空间向量分析①②；找出平面AD1E截正方体所得截面，求解体积判断③．【解答】解：建立如图所示空间直角坐标系，A（1，0，0），D1（0，0，1），E（0，1，），C（0，1，0），设F（t，t，0）（0≤t≤1），则，，＝（t，t﹣1，0）．设平面AD1E的一个法向量为，由，取z＝1，则．由，解得t＝∈[0，1]，故①正确；由＝（t，t﹣1，0），，知与不共线，故②错误；平面AD1E把正方体分成两部分如图，正方体体积为1，三棱台ECH﹣D1DA的体积V＝，∴平面AD1E把正方体分成两部分，较小部分的体积为，故③正确．∴①③正确．故选：C．【知识点】命题的真假判断与应用12.【分析】根据a n与S n的关系，求得a n的通项公式，消元，利用一元函数的根的分布问题，即可求得t取值范围．【解答】解：由6S n＝a n2+3a n+2，当n＝1时，6a1＝a12+3a1+2．解得a1＝2，当n≥2时，6S n﹣1＝a n﹣12+3a n﹣1+2，两式相减得6a n＝a n2+3a n﹣（a n﹣12+3a n﹣1），整理得（a n+a n）（a n﹣a n﹣1﹣3）＝0，﹣1由a n＞0，所以a n+a n﹣1＞0，所以a n﹣a n﹣1＝3，所以数列{a n}是以2为首项，3为公差的等差数列，所以a n+1＝2+3（n+1﹣1）＝3n+2，所以＝＝3﹣＜3，因此原不等式转化为2t2+at﹣1≥3对于任意的a∈[﹣2，2]，n∈N*恒成立，化为：2t2+at﹣4≥0，设f（a）＝2t2+at﹣4，a∈[﹣2，2]，可得f（2）≥0且f（﹣2）≥0，即有，即，可得t≥2或t≤﹣2，则实数t的取值范围是（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）．故选：A．【知识点】数列与不等式的综合、数列递推式二、填空题（共4小题）13.【分析】由已知求得||，然后求出，开方得答案．【解答】解：∵，∴，又与的夹角为60°，，∴＝9+4×3×1×cos60°+4＝19．∴＝故答案为：．【知识点】平面向量数量积的性质及其运算律14.【分析】作出平面区域，结合Z最小，截距最小平移直线2x+y＝0确定最小值即可．【解答】解：作出不等式组件所表示的平面区域，作出直线2x+y＝0，对该直线进行平移，结合Z最小，直线的截距最小；可以发现经过点C（﹣3，﹣3）时Z取得最小值﹣9；故答案为：﹣9．【知识点】简单线性规划15.【分析】设出P点坐标，表示出M的坐标，由Q，N，M三点共线，k MN＝k NQ可计算出a，从而解决问题；【解答】解：设P（x，y），则由A（a，0）；线段AP的中点为M，则M（，）；由题意，Q，N，M三点共线，k MN＝k NQ；即＝；可得x+a﹣4＝2+x；所以a＝6，由椭圆C的离心率为，得c＝4，b2＝20；故椭圆C的标准方程为：．故答案为：．【知识点】椭圆的简单性质16.【分析】通过讨论f（x）的符号，结合函数的单调性判断出a的范围即可．【解答】解：若f（x）g（x）≤0在定义域内恒成立，考虑以下情形：①当f（x）≤0，g（x）≥0同时恒成立时，由f（x）＝lnx+2ax≤0，即﹣2a≥恒成立，设h（x）＝，h′（x）＝，当x＞e时，h′（x）＜0，h（x）递减，当0＜x＜e时，h′（x）＞0，h（x）递增，可得x＝e处h（x）取得极大值，且为最大值，可得﹣2a≥，即a≤﹣；∵由g（x）≥0，即﹣a≥0恒成立得a≤0．∴a≤﹣；②当f（x）≥0，g（x）≤0同时恒成立时，a不存在；③当a＞0时，∵f（x）＝lnx+2ax为增函数，g（x）＝﹣a为减函数，若它们有共同零点，则f（x）•g（x）≤0恒成立，由f（x）＝lnx+2ax＝0，g（x）＝﹣a＝0，联立方程组解得：a＝e2．综上可得a≤﹣或a＝e2．故答案为：a≤﹣或a＝e2．【知识点】函数恒成立问题三、解答题（共7小题）17.【分析】（1）由已知结合余弦定理及三角形的面积公式可求tan C，进而可求C，然后再由余弦定理即可求解b，（2）由已知结合正弦定理可表示b，c，然后根据和差角公式及辅助角公式进行化简后结合正弦函数的性质可求．【解答】解：（1）∵4，所以，即tan C＝，又因为0＜C＜π，所以C＝，因为c＝，a＝4，由余弦定理可得cos＝，解可得，b＝3或b＝，因为b＞c＝，所以，b＝3；（2），由正弦定理可得，＝，故b＝2sin B，c＝2sin C＝2sin（），由题意可知，，解可得，，则△ABC周长为2sin（）+2sin B＝，＝，因为，所以，故＜sin（B+）≤1，因此三角形的周长的范围（3+，3]．【知识点】余弦定理18.【分析】（1）先求出BD⊥DC，再证明CD⊥平面BDEF，再根据面面垂直的判断定理求出即可；（2）根据题意，建立空间直角坐标系，求出平面BCM的法向量，BD的方向向量，利用夹角公式，结合函数的最值，求出即可．【解答】解：（1）等腰梯形ABCD，AD＝AB＝1，由∠ABC＝60°，∠BAD＝120°，BD＝＝，BC＝1+＝2，所以BC2＝CD2+BD2，BD⊥DC，由平面BDEF⊥平面ABCD，BD＝平面BDEF∩平面ABCD，所以CD⊥平面BDEF，又CD⊂平面CDE，所以平面CDE⊥平面BDEF；（2）根据题意，以D为圆心，以DB，DC，DE分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，设EM＝m∈[0，]则B（，0，0），C（0，1，0），D（0，0，0），M（m，0，），，，设平面BMC的法向量为，由，令x＝，y＝3，z＝，故，设BD与平面BCM的夹角为θ，所以sinθ＝|cos＜＞|＝，m∈[0，]，所以当m＝0时取最小值，m＝取最大值，故BD与平面BCM所成角正弦值的取值范围为[]．【知识点】直线与平面所成的角、平面与平面垂直的判定19.【分析】本题第（1）题由题意，设过点P（0，2）的直线l的斜率为k，则l：y＝kx+2．然后由，根据定比分点的知识，可得＝2，＝0．将y1＝kx1+2，y2＝kx2+2代入最终可得到k的值，则即可求出直线AB的方程；第（2）题先联立直线l与抛物线方程，整理得到一元二次方程，根据韦达定理有x1+x2＝4k，x1•x2＝﹣8．再根据题意写出∴＝（﹣x2，﹣2﹣y2），＝（x1，﹣4）．再根据平行向量的坐标公式x1y2﹣x2y1＝0进行代入计算即可证明BQ∥P A1．【解答】（1）解：由题意，设过点P（0，2）的直线l的斜率为k，则l：y＝kx+2．设A（x1，y1），B（x2，y2）．∵，∴根据定比分点的知识，有＝2，＝0．∴x1+2x2＝6，y1+2y2＝0．∵y1+2y2＝kx1+2+2（kx2+2）＝＝k（x1+2x2）+6＝6k+6＝0，解得k＝﹣1．∴直线AB的方程为y＝﹣x+2．（2）证明：根据（1），联立直线l与抛物线方程，得，整理，得x2﹣4kx﹣8＝0．则x1+x2＝4k，x1•x2＝﹣8．∵A1（x1，﹣2），B1（x2，﹣2）．∴Q（，﹣2）．∴＝（﹣x2，﹣2﹣y2），＝（x1，﹣4）．∵（﹣x2）•（﹣4）﹣x1•（﹣2﹣y2）＝4•+x1•（y2+2）＝2x2﹣2x1+x1y2+2x1＝2x2+x1y2＝2x2+x1•＝2x2+•x1•x2＝2x2+•（﹣8）＝0．∴BQ∥P A1．【知识点】抛物线的简单性质20.【分析】（1）将k＝1代入f（x）中，然后利用导数求得f（x）的单调区间．（2）先求得f（x）的导函数f′（x）＝（e x﹣kx）（x﹣1），则g（x）＝e x﹣kx有两个不同的零点，且都不是1，然后对k分成k≤0，k＞0两种情况分类讨论，利用导数研究g（x）的单调性和零点，由此求得k的取值范围．进一步证明x1+x3＞2x2．【解答】解：（1）当k＝1时，，∴f'（x）＝（e x﹣x）（x﹣1）．令h（x）＝e x﹣x，则h'（x）＝e x﹣1，∴由h'（x）＞0得x＞0，h'（x）＜0得x＜0，∴h（x）在（﹣∞，0）上递减，在（0，+∞）上递增．∴h（x）≥h（0）＝1＞0即e x﹣x＞0，∴解f'（x）＞0得x＞1，解f'（x）＜0得x＜1，∴f（x）的单调减区间为（﹣∞，1），单调增区间为（1，+∞）．（2）f'（x）＝e x（x﹣2）+e x﹣kx2+kx＝（e x﹣kx）（x﹣1），∵f（x）有三个极值点，∴方程e x﹣kx＝0有两个不等根，且都不是1，令g（x）＝e x﹣kx，当k≤0时，g（x）单调递增，g（x）＝0至多有一根，∴当k＞0时，解g'（x）＞0得x＞lnk，解g'（x）＜0得x＜lnk．∴g（x）在（﹣∞，lnk）上递减，在（lnk，+∞）上递增，∴g（lnk）＝e lnk﹣klnk＝k（1﹣lnk）＜0，k＞e，此时，g（0）＝1＞0，lnk＞1，g（1）＝e﹣k＜0，x→+∞时g（x）→+∞．∴k＞e时，f'（x）＝0有三个根x1，x2，x3，且0＜x1＜1＝x2＜x3，由得x1＝lnk+lnx1，由得x3＝lnk+lnx3，∴．下面证明：，可变形为令，，，∴φ（x）在（1，+∞）上递增，∴φ（t）＞φ（1）＝0，∴，∴x3+x1＞2x2．【知识点】利用导数研究函数的单调性、利用导数研究函数的极值21.【分析】（1）利用考试的平均成绩、高分考生的人数，以及题目所给正态分布的参考资料，求得考生成绩X的分布X～N（180，832），利用录取率列方程，由此求得最低录取分数线；（2）计算出不低于考生甲的成绩的人数约为200，由此判断出甲能获得高薪职位．【解答】解：（1）设考生的成绩为X，则由题意可得X应服从正态分布，即X～N（180，σ2），令Y＝，则Y～N（0，1）．由360分及以上高分考生30名可得P（X≥360）＝，即P（X＜360）＝1﹣＝0.985，即有P（X＜）＝0.985，则≈2.17，可得σ≈83，可得N（180，832），设最低录取分数线为x0，则P（X≥x0）＝P（Y≥）＝，即有P（Y＜）＝1﹣＝0.85，即有＝1.04，可得x0≈266.32，即最低录取分数线为266到267分之间；（2）考生甲的成绩286＞267，所以能被录取，P（X＜286）＝P（Y＜）＝P（Y＜1.28）≈0.90，表明不低于考生甲的成绩的人数大约为总人数的1﹣0.90＝0.10，2000×0.10＝200，即考生甲大约排在第200名，排在前275名之前，所以能被录取为高薪职位．【知识点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义22.【分析】（1）直接利用转换关系式的应用把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．（2）利用极径的应用和关系式的转换的应用求出结果．【解答】解：（1）由已知得，圆心的直角坐标为，r＝3，所以C的直角坐标方程为，所以圆C的参数方程为（θ为参数）．（2）由（1）得，圆C的极坐标方程为，即．设P（ρ，θ），Q（ρ1，θ），根据|OP|：|PQ|＝2：3，可得ρ：ρ1＝2：5，将代入C的极坐标方程得，即动点P轨迹的极坐标方程为．【知识点】简单曲线的极坐标方程23.【分析】（1）利用分段函数表示f（x），画出y＝f（x）的图象即可；（2）不等式f（x）＞a﹣|x+1|对x∈R成立，化为|2x﹣1|+2|x+1|＞a对x∈R成立；设g（x）＝|2x﹣1|+2|x+1|，求出g（x）的最小值，从而求得a的取值范围．【解答】解：（1）函数f（x）＝|2x﹣1|+|x+1|＝；画出y＝f（x）的图象，如图所示；（2）不等式f（x）＞a﹣|x+1|对x∈R成立，即|2x﹣1|+2|x+1|＞a对x∈R成立；设g（x）＝|2x﹣1|+2|x+1|，则g（x）＝|2x﹣1|+|2x+2|≥|（2x﹣1）﹣（2x+2）|＝3，当且仅当﹣1≤x≤时取等号；所以实数a的取值范围是a＜3．【知识点】函数图象的作法、不等式恒成立的问题。
洛阳市2019-2020学年高三年级第一次统一考试数学试卷（理）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合*2{|20}A x N x x =∈--≤，{2,3}B =，则A B =U （ ） A ．{1,0,1,2,3}- B ．{1,2,3} C ．[1,2]- D ．[1,3]-2.若复数z 为纯虚数，且(1)i z a i +=-（其中a R ∈），则||a z +=（ ） A ． 2 B ．3 C ． 2 D ．53.函数sin ln ||xy x =的图像大致为（ ）4.在区间[1,1]-内随机取两个实数,x y ，则满足21y x ≥-的概率是（ ） A ．29 B ．79 C. 16 D ．565.4名大学生到三家企业应聘，每名大学生至多被一家企业录用，则每家企业至少录用一名大学生的情况有（ ）A ． 24种B ．36种 C. 48种 D ．60种 6.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．936 B ．636+ C. 336+ D ．12367.已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>，过左焦点1F 的直线切圆222x y a +=于点P ，交双曲线C 右支于点Q ，若1F P PQ =u u u r u u u r，则双曲线C 的渐近线方程为（ ） A ．12y x =± B ．y x =± C. 2y x =± D ．32y x =± 8.我国古代数学名著《九章算术》中“开立圆术”曰：置积尺数，以十六乘之，九而一，所得开立方除之，即立圆径.“开立圆术”相当于给出了已知球的体积V ，求其直径d 的一个近似公式3169d V ≈3.14159π=L ，判断下列近似公式中最精确的一个是（ ） A ．36031d V ≈．32d V ≈ 3158d V ≈．32111d V ≈ 9.已知实数,x y 满足约束条件222020x x y x y ≤⎧⎪-+≥⎨⎪++≥⎩，则5y z x =-的取值范围为（ ）A ．24[,]33-B ．42[,]33- C. 23(,][,)34-∞-+∞U D ．33(,][,)42-∞-+∞U10.设,A B 是半径为2的圆O 上的两个动点，点C 为AO 中点，则CO CB u u u r u u u rg 的取值范围是（ ） A ．[1,3]- B ．[1,3] C. [3,1]-- D ．[3,1]- 11.已知函数()y f x =对任意的(,)22x ππ∈-满足'()cos ()sin 0f x x f x x +>（其中'()f x 是函数()f x 的导函数），则下列不等式成立的是（ ）A．(0)()4f π> B()()34f ππ< C. (0)2()3f f π> D()()34f ππ-<-12.已知球O 是正三棱锥（底面为正三角形，顶点在底面的射影为底面中心）A BCD -的外接球，3BC =，AB =E 在线段BD 上，且6BD BE =，过点E 作球O 的截面，则所得截面圆面积的取值范围是（ ） A ．3[,4]4ππ B ．5[,4]4ππ C. 7[,4]4ππ D ．11[,4]4ππ 第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知tan()24πα+=，则2sin 3sin cos ααα=+ ．14.数列{}n a 首项12a =，且*132()n n a a n N +=+∈，令3log (1)n n b a =+，则21211{}n n b b -+的前2019项的和2019S = ．15. 27(32)()x y x y +-的展开式中含有54x y 的项的系数为 ．16.若函数2()2x ae f x x x x+=-+在(0,)+∞上仅有一个零点，则a = ． 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 如图，D 是直角ABC ∆斜边BC上一点，AC =.（1）若030DAC ∠=，求角B 的大小；（2）若2BD DC =，且23AD =，求DC 的长.18. 如图，已知多面体PABCDE 的底面ABCD 是边长为2的菱形，PA ⊥底面ABCD ，//ED PA ，且22PA ED ==.（1）求证：平面PAC ⊥平面PCE ；（2）若直线PC 与平面ABCD 所成的角为045，求二面角P CE D --的余弦值.19. 已知椭圆C 中心在原点，焦点在坐标轴上，直线32y x =与椭圆C 在第一象限内的交点是M ，点M 在x 轴上的射影恰好是椭圆C 的右焦点2F ，椭圆C 另一个焦点是1F ，且1294MF MF =u u u u r u u u u r g . （1）求椭圆C 的方程；（2）直线l 过点(1,0)-，且与椭圆C 交于,P Q 两点，求2F PQ ∆的内切圆面积的最大值. 20. 为了引导居民合理用电，国家决定实行合理的阶梯电价，居民用电原则上以住宅为单位（一套住宅为一户）.某市随机抽取10户同一个月的用电情况，得到统计表如下：（1）若规定第一阶梯电价每度0.5元，第二阶梯超出第一阶梯的部分每度0.6元，第三阶梯超出第二阶梯每度0.8元，试计算A 居民用电户用电410度时应交电费多少元？ （2）现要在这10户家庭中任意选取3户，求取到第二阶梯电量的户数的分布列与期望； （3）以表中抽到的10户作为样本估计全市居民用电，现从全市中依次抽取10户，若抽到k 户用电量为第一阶梯的可能性最大，求k 的值. 21. 已知函数()ln(1)1x f x e ax x =+++-.（1）若0x ≥时，()0f x ≥恒成立，求实数a 的取值范围； （2）求证：232ee <. 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为cos 1sin x y αα=⎧⎨=+⎩（α为参数），以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为4cos ρθ=，曲线1C ，2C 的公共点为,A B .（1）求直线AB 的斜率；（2）若点,C D 分别为曲线1C ，2C 上的动点，当||CD 取最大值时，求四边形ACBD 的面积. 23.选修4-5：不等式选讲已知函数()|21|||()f x x x m m R =+--∈. （1）当1m =时，解不等式()2f x ≥；（2）若关于x 的不等式()|3|f x x ≥-的解集包含[3,4]，求m 的取值范围.试卷答案一、选择题1-5:BABDD 6-10: ACDAA 11、12：DB 二、填空题13. 13 14. 20194039 15. -21 16. 5ln 24-三、解答题17.（1）在ABC ∆中，根据正弦定理，有sin sin AC DCADC DAC=∠∠，∵AC =，∴sin 2ADC DAC ∠=∠=， 又006060ADC B BAD B ∠=∠+∠=∠+>， ∴0120ADC ∠=，于是00001801203030C ∠=--=， ∴060B ∠=.（2）设DC x =，则2BD x =，3BC x =，AC =，于是sin 3AC B BC ==，cos 3B =，AB =， 在ABD ∆中，由余弦定理，得2222cos AD AB BD AB BD B =+-g ，即2222642223x x x x =+-⨯⨯=，x =DC =18.证明：（1）连接BD ，交AC 于点O ，设PC 中点为F ，连接,OF EF ， ∵,O F 分别为,AC PC 的中点， ∴//OF PA 且12OF PA =， ∵//DE PA 且12DE PA =， ∴//OF DE 且OF DE =， ∴四边形OFED 为平行四边行， ∴//OD EF ，即//BD EF ，∵PA ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ， ∴PA BD ⊥ ∵ABCD 是菱形， ∴BD AC ⊥， ∵PA AC A =I ， ∴BD ⊥平面PAC ， ∵//BD EF ，∴EF ⊥平面PAC ， ∵FE ⊂平面PCE ， ∴平面PAC ⊥平面PCE .（2）∵直线PC 与平面ABCD 所成角为045， ∴045PCA ∠=， ∴2AC PA ==， ∴AC AB =，故ABC ∆为等边三角形，设BC 的中点为M ，连接AM ，则AM BC ⊥，以A 为原点，,,AM AD AP 分别为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系A xyz -，则(0,0,2)P ，3,1,0)C ，(0,2,1)E ，(0,2,0)D ，3,1,2)PC =-u u u r ，(3,1,1)CE =u u u r ，(0,0,1)DE =u u u r，设平面PCE 的法向量为111(,,)n x y z =r，则00n PC n CE ⎧=⎪⎨=⎪⎩r u u u rg r u u u r g ，即11111132030x y z x y z +-=-++=⎪⎩，令11y =，则112x z ⎧=⎪⎨=⎪⎩∴2)n =r设平面CDE 的法向量为222(,,)m x y z =u r，则00m DE m CE ⎧=⎪⎨=⎪⎩u r u u u r g u r u u u rg，即222200z y z =⎧⎪⎨++=⎪⎩， 令21x =，则220y z ⎧=⎪⎨=⎪⎩∴m =u rcos ,||||n m n m n m <>===r u rr u r g r u r g 设二面角P CE D --的大小为θ，由于θ为钝角，∴cos 4θ=-即二面角P CE D --的余弦值为4-. 19.（1）设椭圆方程为22221(0)x y a b a b +=>>，点M 在直线32y x =上，且点M 在x 轴上的射影恰好是椭圆C 的右焦点2(,0)F c ，则点3(,)2cM c . ∵12339(2,)(0,)224MF MF c c c =---=u u u u r u u u u r g g ∴1c =又222219141a b a b ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩解得2243a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩∴椭圆方程为22143x y += （2）由（1）知，1(1,0)F -，过点1(1,0)F -的直线与椭圆C 交于,P Q 两点，则2F PQ ∆的周长为48a =，又2142F PQ S a r ∆=g g （r 为三角形内切圆半径），∴当2F PQ ∆的面积最大时，其内切圆面积最大. 设直线l 的方程为：1x ky =-，1122(,),(,)P x y Q x y ，则221143x ky x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩ 消去x 得22(43)690k y ky +--=，∴122122634934k y y k y y k ⎧+=⎪⎪+⎨⎪=-⎪+⎩∴212121||||2F PQS F F y y ∆=-=g gt =，则1t ≥，∴21213F PQ S t t∆=+令1()3f t t t =+，21'()3f t t =-当[1,)t ∈+∞时，'()0f t >，1()3f t t t =+在[1,)+∞上单调递增，∴212313F PQ S t t∆=≤+，当1t =时取等号，即当0k =时，2F PQ ∆的面积最大值为3，结合21432F PQ S a r ∆==g g ，得r 的最大值为34，∴内切圆面积的最大值为916π. 20.（1）2100.5(400210)0.6(410400)0.8227⨯+-⨯+-⨯=元（2）设取到第二阶梯电量的用户数为ξ，可知第二阶梯电量的用户有3户，则ξ可取0,1,2,3373107(0)24C P C ξ=== 217331021(1)40C C P C ξ=== 12733107(2)40C C P C ξ=== 333101(3)120C P C ξ=== 故ξ的分布列为∴721719()012324404012010E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯= （3）可知从全市中抽取10户的用电量为第一阶梯，满足3(10,)5X B :， 可知101032()()()55k k k P x k C -==（0,1,2,3,10k =L ） 10119101010111110103232()()()()55553232()()()()5555k k k k k k k k k k k kC C C C -++-----⎧≥⎪⎪⎨⎪≥⎪⎩解得：283355k ≤≤，*k N ∈ ∴当6k =时概率最大，∴6k =.21.（1）法一：若0x ≥时，则1'()1x f x e a x =+++，令()'()g x f x =21'()(1)x g x e x =-+，'()g x 在[0,)+∞上单调递增，则'()'(0)0g x g ≥=则'()f x 在[0,)+∞上单调递增，'()'(0)2f x f a ≥=+①当20a +≥，即2a ≥-时，'()0f x ≥，则()f x 在[0,)+∞上单调递增， 此时()(0)0f x f ≥=，满足题意②若2a <-，由'()f x 在[0,)+∞上单调递增，由于'(0)20f a =+<，x →+∞，'()0f x >故0(0,)x ∃∈+∞，使得0'()0f x =，则当00x x <<时，0'()'()0f x f x <= ∴函数()f x 在0(0,)x 上单调递减，∴0()(0)0f x f <=，不恒成立，舍去，综上所述，实数a 的取值范围是[2,)-+∞.法二：若2x ≥-时，1'()1x f x e a x =+++，①0a ≥，令()1x g x e x =--，则'()10x g x e =-≥，()g x 在[0,)+∞上单调递增，则()(0)0g x g ≥=，故1x e x ≥+11'()(1)11x f x e a x a a x x =++≥+++≥++20a =+≥∴函数()f x 在[0,)+∞上单调递增，∴()(0)0f x f ≥=成立.②若2a <-，由2221(1)1''()0(1)(1)x x x e f x e x x +-=-=≥++∴函数'()f x 在[0,)+∞上单调递增，由于'(0)20f a =+<，x →+∞，'()0f x >故0(0,)x ∃∈+∞，使得0'()0f x =，则当00x x <<时，0'()'()0f x f x <= ∴函数()f x 在0(0,)x 上单调递减，∴0()(0)0f x f <=，不恒成立，舍去，综上所述，实数a 的取值范围是[2,)-+∞.（2）证明：由（1）知，当2a =-时，()ln(1)1x f x e ax x =+++-在[0,)+∞上单调递增， 则1()(0)2f f >，即1211ln(1)102e -++->∴3ln 22>∴232e >232e <.22.（1）消去参数α得曲线1C 的普通方程221:20C x y y +-= （ⅰ） 将曲线2:4cos C ρθ=化为直角坐标方程得：2240x y x +-= （ⅱ） 由（ⅰ）-（ⅱ）化简得：2y x =，即为直线AB 的方程， 故直线AB 的斜率为2.（2）由221:20C x y y +-=，知直线1C 是以1(0,1)C 为圆心，半径为1的圆， 由222:40C x y x +-=，知曲线2C 是以2(2,0)C 为圆心，半径为2 的圆， ∵1122||||||||CD CC C C DC ≤++∴当||CD 取得最大值时，圆心1C ，2C 在直线CD 上，∴直线CD （即直线12C C ）的方程为：22x y +=∵O 到直线CD 的距离为5d ==，即||AB =此时12||||123CD C C =++=∴四边形ACBD 的面积1||||225S CD AB ==+g g .23.（1）当12x ≤-时，()21(1)2f x x x x =--+-=--由()2f x ≥，解得4x ≤-，综合得4x ≤-； 当112x -<<时，()21(1)3f x x x x =++-=， 由()2f x ≥解得23x ≥，综合得213x ≤<；当1x ≥时，()21(1)2f x x x x =+--=+， 由()2f x ≥解得0x ≥，综合得1x ≥. ∴()2f x ≥的解集是2(,4][,)3-∞-+∞U .（2）∵()|21||||3|f x x x m x =+--≥-的解集包含[3,4)，∴当[3,4]x ∈时，|21||||3|x x m x +--≥-恒成立， 原式可变为21||3x x m x +--≥-，即||4x m x -≤+， ∴44x x m x --≤-≤+即424m x -≤≤+在[3,4]x ∈上恒成立， 显然当3x =时，24x +取得最小值10， 即m 的取值范围是[4,10]-.。
河南省洛阳市2020届高三数学上学期尖子生第一次联考试题 理（含解析）第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合合题目要求的.1.全集U =R ，{}2019|log (1)A x y x ==-，{|B y y ==，则()U A C B =I （ ） A. ()1,2 B. (]1,2C. [)1,2D. []1,2【答案】A 【解析】 【分析】分别解出集合A 和B ，再结合交集的概念和补集的概念得到结果.【详解】{{}||2B y y y y ===={}|2U C B y y =<，{}{}2019|log (1)|1A x y x x x ==-=> ()()1,2.U A C B =I故答案为：A.【点睛】这个题目考查了集合的交集和补集的概念，属于基础题.2.已知复数z 满足(1+2)34i z i =-+，则z =（ ）B. 5【答案】C 【解析】()()()()34i 12i 510i 12i,12i 12i 12i 5z -+-+===++=+-故选C .3.已知角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴非负半轴重合，终边与直线3y x =重合，且sin 0α<，又()P m n ,是角α终边上一点，且OP =O 为坐标原点)，则m n -等于（ ） A. 2 B. 2-C. 4D. 4-【答案】A 【解析】 【分析】由题意可得0,3m n m <=，根据OP =,m n 的值，即可求解m n -得值，得到答案.【详解】由题意，角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴非负半轴重合，终边与直线3y x =重合，且sin 0α<，所以α为第三象限角.又()P m n ,是角α终边上一点，所以0,3m n m <=，再根据OP m ===（O 为坐标原点）， 所以1,3m n =-=-，则2m n -=， 故选A.【点睛】本题主要考查了三角函数的定义及其应用，其中解答熟练应用三角函数的定义，列出方程求得m 的值是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.4.已知等比数列{}n a 中，2854a a a ⋅=，等差数列{}n b 中，465b b a +=，则数列{}n b 的前9项和9S 等于（ ） A. 9 B. 18 C. 36D. 72【答案】B 【解析】 【分析】由等比数列的性质可得2825a a a ⋅=，求得54a =，得到464b b +=，再由等差数列的前n 项和，即可求解，得到答案.【详解】在等比数列{}n a 中，满足2854a a a ⋅=，由等比数列的性质可得2825a a a ⋅=，即2554a a ⋅=，所以54a =，又由465b b a +=，所以464b b += 所以数列{}n b 的前9项和194699()9()9418222b b b b S ++⨯====， 故选B.【点睛】本题主要考查了等差数列、等比数列的性质，以及等差数列的前n 项和公式的应用，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.5.已知()f x 为偶函数，当0x >时，()ln 3f x x x =-，则曲线() y f x =在点()1,3--处的切线与两坐标轴围成图形的面积等于（ ） A. 1 B.34C.14D.12【答案】C 【解析】 【分析】由偶函数的定义求得当0x <时，()ln()3f x x x =-+，利用导数的几何意义求得切线的斜率和切线方程，令0,0x y ==，可得切线与两坐标轴的交点，再由三角形的面积公式计算，即可求解.【详解】由题意，函数()f x 为偶函数，当0x >时，()ln 3f x x x =-， 当0x <时，可得()()ln()3f x f x x x =-=-+， 则()13f x x'=+，则曲线() y f x =在点()1,3--处的切线斜率为()12f '-=， 可得切线的方程为32(1)y x +=+， 令0x =，可得1y =-，令0y =，可得12x =， 所以切线与两坐标轴围成的图形的面积为1111224S =⨯⨯=，故选C. 【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性的应用，以及导数的几何意义的应用，其中解答中正确求解函数的解析式，合理利用导数的几何意义求得切线的方程是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.6.在[6,9]-内任取一个实数m ，设2()f x x mx m =-++，则函数()f x 的图象与x 轴有公共点的概率等于（ ） A.215B.715C.35D.1115【答案】D 【解析】()2f x x mx m =-++Q图象与x 轴有公共点，240,4m mm ∴∆=+>∴<-或0,m >∴在[]6,9-内取一个实数m ，函数()f x 的图象与x 轴有公共点的概率等于()()4690119615-++-=+，故选D.7.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,,F F P 为双曲线上一点，且122PF PF =，若12sin F PF ∠= ）B. 2或2或【答案】C 【解析】 【分析】根据双曲线的定义和题设条件，求得124,2PF a PF a ==，再在12PF F ∆中，由余弦定理，化简整理得224c a =或226c a=，即可求解，得到答案.【详解】由题意，根据双曲线的定义可得122PF PF a -=，又因为122PF PF =， 可得124,2PF a PF a ==，又由12sin F PF ∠=121cos 4F PF ∠=±，在12PF F ∆中，由余弦定理可得2222221212122111co 6442s 2244PF PF F F a a c PF P P a a F F F +-+-=⨯⨯=±=∠，解得224c a =或226c a=，所以2c e a ==，故选C.【点睛】本题主要考查了双曲线的定义，以及双曲线的离心率的求解，其中解答中合理利用双曲线的定义，以及在12PF F ∆中，利用余弦定理求得22c a的值是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题.8.若向量a b c ⋅⋅v v v 满足1a b ==r r ，1,2a b a c ⋅=-<-r r r r ，3b c π->=r r ，c r 的最大值为（ ）A.2B.12C. 1D. 2【答案】D 【解析】 【分析】构造,,,120,60AB a AD b AC c BAD BCD ===∠=∠=o o u u u r r u u u r r u u u r r，得到,,,A B C D 四点共圆，结合图形，得到当线段AC 为圆的直径时，此时c r最大，即可求解.【详解】如图所示，构造,,,120,60AB a AD b AC c BAD BCD ===∠=∠=o o u u u r r u u u r r u u u r r，因为180BAD BCD ∠+∠=o ，所以,,,A B C D 四点共圆，所以当线段AC 为圆的直径时，此时c r最大，由余弦定理可得2222212cos12011211()32BD AB AD AB AD =+-⋅=+-⨯⨯⨯-=o，所以BD =22sin120BDR ==o，即cr 的最大值2，故选D.【点睛】本题主要考查了平面向量的线性运算，正弦定理和余弦定理，以及四点共圆的应用，其中解答中构造出,,,A B C D 四点共圆，结合图形求解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，构造思想的应用，属于中档试题.9.某小区有排成一排的7个车位，现有3辆不同型号的车需要停放，如果要求剩余的4个车位连在一起，那么不同的停放方法的种数为（ ） A. 16 B. 18C. 24D. 32【答案】C 【解析】 【分析】 把剩余的4个车位看成一个元素，且只有一种排法，再加上有3辆不同型号的车，共有四个不同的元素，利用排列数公式，即可求解.【详解】由题意知，剩余的4个车位连在一起，把剩余的4个车位看成一个元素，且只有一种排法，再加上有3辆不同型号的车，所有共有四个不同的元素，其中四个元素的排列共有4424A =种，故选C.【点睛】本题主要考查了排列的应用，其中解答中把剩余的4个车位看成一个元素，共有四个不同的元素，利用排列数公式求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.10.已知函数2()43f x x x =-+.若方程2[()]()0f x bf x c ++=恰有七个不相同的实根，则实数b 的取值范围是（ ） A. ()2,0- B. ()2,1-- C. ()0,1 D. ()0,2【答案】B 【解析】 【分析】画出函数()f x 的图象，根据方程2[()]()0f x bf x c ++=恰有七个不同的实根，得到方程20t bt c ++=的其中一个根为1，另一根在(0,1)内，结合二次函数的性质，即可求解.【详解】由题意，画出函数2()43f x x x =-+的图象，如图所示， 可得()(1)(3)0,(2)1,0f f f f x ===≥，因为方程2[()]()0f x bf x c ++=恰有七个不同的实根， 则方程20t bt c ++=的其中一个根为1，另一根在(0,1)内， 设()2g t t bt c =++，则满足(1)0g =且(0)0g >且()02b g -<且012b<-<， 即10b c ++=且0c >且2()()022b b bc -+⋅-+<且012b<-<， 解得21b -<<-，即实数b 的取值范围是()2,1--，故选B.【点睛】本题主要考查了函数与方程的综合应用，其中解答中把方程2[()]()0f x bf x c ++=恰有七个不同的实根，转化为20t bt c ++=的其中一个根为1，另一根在(0,1)内，结合二次函数的性质求解是解答的关键，着重考查了转化思想，以及数形结合思想的应用，属于中档试题.11.定义在R 上的函数()f x 导函数为()f x '，若对任意实数x ，有()()f x f x '>，且()2019f x +为奇函数，则不等式()2019e 0x f x +<的解集为（ ）A. (),0-∞B. ()0,∞+C. 1(,)e-∞D. 1(,)e+∞【答案】B 【解析】 【分析】 构造新函数()()x f x g x e=，利用导数求得函数()g x 在R 上单调递减，再根据()2019f x +为奇函数，求得()02019g =-，得出不等式()20190xf x e +<等价与()()0g x g <，即可求解.【详解】由题意，构造新函数()()xf xg x e =，则()()()x f x f x g x e '-'=，因为()()f x f x '>，所以()0g x '<，所以函数()g x 在R 上单调递减，又因为()2019f x +为奇函数，所以()020190f +=， 所以()02019f =-，则()02019g =-，所以不等式()20190xf x e +<等价与()()0g x g <，即0x >，所以不等式()2019e 0xf x +<的解集为()0,∞+，故选B.【点睛】本题主要考查了函数的单调性、奇偶性的应用，以及利用导数研究函数的单调性及其应用，其中解答中构造新函数，合理利用函数的单调性和奇偶性是解答的关键，着重考查了构造思想，以及推理与运算能力，属于中档试题.12.已知三棱锥—P ABC 的四个顶点均在同一个球面上，底面ABC ∆满足BA BC ==π2ABC ∠=，若该三棱锥体积的最大值为3，则其外接球的体积为（ ）A. 8πB. 16πC.16π3D.32π3【答案】D 【解析】因为ABC ∆是等腰直角三角形，所以外接圆的半径是11232r ==是R ，球心O 到该底面的距离d ，如图，则163,32ABC S BD ∆=⨯==116336ABC V S h h ∆==⨯=最大体积对应的高为3SD h ==，故223R d =+，即22(3)3R R =-+，解之得2R =，所以外接球的体积是343233R ππ=，应选答案D 。
洛阳市2016——2017学年高中三年级第一次统一考试数学试卷（理科）第Ⅰ卷（选择题,共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1.已知i 为虚数单位，若实数,a b 满足()1a bi i i +=+，则a bi +的模为 23 D. 22.已知集合(){}{}|10,|1x A x x x B x e =-<=>，则()R C A B =IA. [)1,+∞B. ()0,+∞C. ()0,1D.[]0,13.已知12,x x R ∈，则1"1x >且21"x >是12"2x x +>且12,1"x x >的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D.既不充分也不必要条件4.一枚骰子先后抛掷两次，并记朝上的点数分别为m,n ，已知m 为2或4时，5m n +>的概率为A.227 B. 29 C. 13 D. 235.已知下列函数中是周期函数且最小正周期为π的是A. sin cos y x x =+B.22sin 3y x x =-C. cos y x =D.3sin cos 22x xy =6.执行下面的程序，若输入的253,161a b ==，则输出的结果为A. 92B. 46C. 23D. 17.等差数列{}n a 为递增数列，若2211056101,11a a a a +=+=，则数列{}n a 的公差d 等于A. 1B. 2C. 9D. 108.已知向量()1,0,2,a b a ==r r r 与b r 的夹角为45o ，若,c a b d a b =+=-r r r u r r r ，则c r 在d u r 方向的投影为A. 5B. 5-1- 9.已知简单组合体的三视图如图所示，则此简单组合体的体积为 A. 103π B. 14π C. 1683π- D. 1643π- 10.已知实数,x y 满足条件20,220,220,x y x y x y +-≤⎧⎪--≤⎨⎪-+≥⎩，若z y ax =-取得最大值时的最优解有且只有一个，则实数a 的取值集合为A. {}2,1-B. {}|2a R a ∈≠C. {}|1a R a ∈≠-D.{}|12a R a a ∈≠-≠且11.等比数列{}n a 的首项为32，公比为12-，前n 项和为n S ，则当n N *∈时，1n n S S -的最大值和最小值之和为 A. 23- B. 712- C. 14 D.56 12.四面体A BCD -中，60,3,2ABC ABD CBD AB CB DB ∠=∠=∠====o ,则此此四面体外接球的表面积为 A. 192π17πD.6二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b -=>>的一条渐近线方程为34y x =，则双曲线C 的离心率为 .14.若0525n x dx -=⎰，则()21n x -的二项展开式中2x 的系数为 .15.已知抛物线2:4C x y =的焦点为F ，直线AB 与抛物线C 相交于A,B 两点，若230OA OB OF +-=u u u r u u u r u u u r r ，则弦AB 的中点到抛物线C 的准线的距离为 .16.已知函数()ln xf x e m x =+（,m R e ∈为自然对数的底数），若对任意的正数12,x x ，当12x x >时，都有()()1212f x f x x x ->-成立，则实数m 的取值范围为 .三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.17.（本题满分12分）如图，平面四边形ABCD 中，30.CAD BAD ∠=∠=o（1）若75,10ABC AB ∠==o ，且//AC BD ，求CD 的长；（2）若10BC =，求AC AB +的取值范围.18.（本题满分12分）如图，四边形ABEF 和四边形ABCD 均为直角梯形，90FAB DAB ∠=∠=o ,二面角F AB D --是直二面角,//,//,2, 1.BE AF BC AD AF AB BC AD ====（1）证明：在平面BCE 上，一定存在过点C 的直线l 与直线DF 平行；（2）求二面角F CD A --二余弦值.19.（本题满分12分）雾霾天气对人体健康有害，应对雾霾污染、改善空气质量是当前的首要任务是控制PM2.5，要从压减燃煤、严格控产、调整产业、强化管理、联防联控、依法治理等方面采取重大举措，聚焦重点领域，严格考核指标.某省环保部门为加强环境执法监管，派遣四个不同的专家组对A,B,C 三个城市进行雾霾落实情况抽查.（1）若每个专家组随机选取一个城市，四个专家组选取的城市可以相同，也可以不同，求恰有一个城市没有专家组选取的概率；（2）每个城市都要有四个专家组分别对抽查情况进行评价，并对所选取的城市进行评价，每个专家组给检查到的成绩评价为优的概率为12，若四个专家组均评价为优，则检查通过，不用复检，否则要进行复检，设需进行复检的城市个数为X ，求X 的分布列和期望.20.（本题满分12分）设椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>的右焦点为F,右顶点为A,B,C 是椭圆上关于原点对称的两点（B,C 均不在x 轴上），线段AC 的中点为D ，B,F,D 三点共线.（1）求椭圆E 的离心率；（2）设()1,0F ，过F 的直线l 交E 于M,N 两点，直线MA,NA 分别与直线9x =交于P,Q 两点，证明：以PQ 为直径的圆过点F.21.（本题满分12分）设函数()()211ln .2f x x a x a x =--- （1）讨论函数()f x 的单调性；（2）若函数()f x 有两个零点，求满足条件的最小正整数a 的值；（3）()f x b =有两个不相等的实数根12,x x ，求证120.2x x f +⎛⎫'>⎪⎝⎭.请考生从第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时，用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号后的方框涂黑.22.（本题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xoy 中，圆C 的参数方程为2cos ,22sin x y ϕϕ=⎧⎨=+⎩（ϕ为参数），以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.（1）求圆C 的普通方程；（2）直线l 的极坐标方程是2sin 536πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭:6OM πθ=与圆C 的交点为,O P ，与直线l 的交点为Q ，求线段PQ 的长.23.（本题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知()21 1.f x x x =--+（1）将()f x 的解析式写出分段函数的形式，并作出其图象；（2）若1a b +=，对()()14,0,,3a b f x a b∀∈+∞+≥恒成立，求x 的取值范围.。
2020年高考数学一模试卷（理科）一、选择题1．已知集合M＝{x|x（x﹣2）＜0}，N＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，则M∩N＝（）A．{0，1，2} B．{﹣2，﹣1} C．{1} D．{﹣2，﹣1，0，2} 2．已知复数z在复平面中对应的点（x，y）满足（x﹣1）2+y2＝1，则|z﹣1|＝（）A．0 B．1 C．D．23．为了节能减排，发展低碳经济，我国政府从2001年起就通过相关政策推动新能源汽车产业发展．下面的图表反映了该产业发展的相关信息：中国新能源汽车产销情况一览表新能源汽车产量新能源汽车销量产量（万辆）比上年同期增长（%）销量（万辆）比上年同期增长（%）2018年3月 6.8 105 6.8 117.4 4月8.1 117.7 8.2 138.45月9.6 85.6 10.2 125.66月8.6 31.7 8.4 42.97月9 53.6 8.4 47.78月9.9 39 10.1 49.59月12.7 64.4 12.1 54.810月14.6 58.1 13.8 5111月17.3 36.9 16.9 37.6 1﹣﹣12月127 59.9 125.6 61.72019年1月9.1 113 9.6 138 2月 5.9 50.9 5.3 53.6 根据上述图表信息，下列结论错误的是（）A．2017年3月份我国新能源汽车的产量不超过3.4万辆B．2017年我国新能源汽车总销量超过70万辆C．2018年8月份我国新能源汽车的销量高于产量D．2019年1月份我国插电式混合动力汽车的销量低于2万辆4．已知正项等比数列{a n}中，a3a5＝4，且a4，a6+1，a7成等差数列，则该数列公比q为（）A．B．C．2 D．45．我国数学家陈最润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界瞩目的成就．哥德巴赫猜想简述为“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”（注：如果一个大于1的整数除了1和自身外无其他正因数，则称这个整数为素数），如40＝3+37．在不超过40的素数，随机选取2个不同的数，这两个数的和等于40的概率是（）A．B．C．D．6．圆x2+y2﹣2x+4y+1＝0关于直线ax﹣by﹣3＝0（a＞0，b＞0）对称，则的最小值是（）A．1 B．3 C．5 D．97．函数（e为自然对数的底数）的大致图象为（）A．B．C．D．8．正三棱锥的三视图如，图所示，则该正三棱锥的表面积为（）A．B．C．D．9．已知点F1，F2分别是双曲线的左，右焦点，O为坐标原点，点P在双曲线C的右支上，且满足|F1F2|＝2|OP|，tan∠PF2F1＝4，则双曲线C的离心率为（）A．B．5 C．D．10．设f（x）是定义在R上的函数，满足条件f（x+1）＝f（﹣x+1），且当x≤1时，f（x）＝e﹣x﹣3，则a＝f（log27），的大小关系是（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．b＞a＞c D．c＞b＞a11．正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，点E为棱CC1的中点．下列结论：①线段BD上存在点F，使得CF∥平面AD1E；②线段BD上存在点F，使CF⊥得平面AD1E；③平面AD1E把正方体分成两部分，较小部分的体积为，其中所有正确的序号是（）A．①B．③C．①③D．①②③12．已知正项数列{a n}的前n项和为S n，a1＞1，且6S n＝a n2+3a n+2．若对于任意实数a∈[﹣2，2]．不等式恒成立，则实数t的取值范围为（）A．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）B．（﹣∞，﹣2]∪[1，+∞）C．（﹣∞，﹣1]∪[2，+∞）D．[﹣2，2]二、填空题13．平面向量与的夹角为60°，且，，则＝．14．若实数x，y满足约束条件，则z＝2x+y的最小值是．15．已知椭圆为右顶点．过坐标原点O的直线交椭圆C于P，Q两点，线段AP的中点为M，直线QM交x轴于N（2，0），椭圆C的离心率为，则椭圆C的标准方程为．16．已知函数，且f（x）g（x）≤0在定义域内恒成立，则实数a的取值范围为．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．在△ABC中，角A，B，C对应边分别为a，b，c．（1）若△ABC的面积S满足且b＞c，求b的值；（2）若且△ABC为锐角三角形．求△ABC周长的范围．18．如图，已知四边形ABCD为等腰梯形，BDEF为正方形，平面BDEF⊥平面ABCD，AD∥BC，AD＝AB＝1，∠ABC＝60°（1）求证：平面CDE⊥平面BDEF；（2）点M为线段EF上一动点，求BD与平面BCM所成角正弦值的取值范围．19．过点P（0，2）的直线与抛物线C：x2＝4y相交于A，B两点．（1）若，且点A在第一象限，求直线AB的方程；（2）若A，B在直线y＝﹣2上的射影分别为A1，B1，线段A1B1的中点为Q，求证BQ∥PA1．20．设函数．（1）若k＝1，求f（x）的单调区间；（2）若f（x）存在三个极值点x1，x2，x3，且x1＜x2＜x3，求k的取值范围，并证明：x1+x3＞2x2．21．“公平正义”是社会主义和谐社会的重要特征，是社会主义法治理念的价值追求．“考试”作为一种公平公正选拔人才的有效途径，正被广泛采用．每次考试过后，考生最关心的问题是：自己的考试名次是多少？自已能否被录取？能获得什么样的职位？某单位准备通过考试（按照高分优先录取的原则）录用300名，其中275个高薪职位和25个普薪职位．实际报名人数为2000名，考试满分为400分．（一般地，对于一次成功的考试来说，考试成绩应服从正态分布．）考试后考试成绩的部分统计结果如下：考试平均成绩是180分，360分及其以上的高分考生30名．（1）最低录取分数是多少？（结果保留为整数）（2）考生甲的成绩为286分，若甲被录取，能否获得高薪职位？若不能被录取，请说明理由．参考资料：（1）当X～N（μ，σ2）时，令Y＝，则Y～N（0，1）．（2）当Y～N（0，1）时，P（Y≤2.17）≈0.985，P（Y≤1.28）≈0.900，P（Y≤1.09）≈0.863，P（Y≤1.04）≈0.85．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.作答时，用2B 铅笔在答题卡.上把所选题目对应的题号后的方框涂黑.22．在极坐标系中，已知圆的圆心，半径r＝3，Q点在圆C上运动，以极点为直角坐标系原点，极轴为x轴正半轴建立直角坐标系．（1）求圆C的参数方程；（2）若P点在线段OQ上，且|OP|：|PQ|＝2：3，求动点P轨迹的极坐标方程．23．设函数f（x）＝|2x﹣1|+|x+1|．（1）画出y＝f（x）的图象；（2）若不等式f（x）＞a﹣|x+1|对x∈R成立，求实数a的取值范围．参考答案一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合M＝{x|x（x﹣2）＜0}，N＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，则M∩N＝（）A．{0，1，2} B．{﹣2，﹣1} C．{1} D．{﹣2，﹣1，0，2} 【分析】可以求出集合M，然后进行交集的运算即可．解：∵M＝{x|0＜x＜2}，N＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，∴M∩N＝{1}．故选：C．2．已知复数z在复平面中对应的点（x，y）满足（x﹣1）2+y2＝1，则|z﹣1|＝（）A．0 B．1 C．D．2【分析】由于（x﹣1）2+y2＝1，表示以C（1，0）为圆心，1为半径的圆．即可得出|z ﹣1|．解：（x﹣1）2+y2＝1，表示以C（1，0）为圆心，1为半径的圆．则|z﹣1|＝1．故选：B．3．为了节能减排，发展低碳经济，我国政府从2001年起就通过相关政策推动新能源汽车产业发展．下面的图表反映了该产业发展的相关信息：中国新能源汽车产销情况一览表新能源汽车产量新能源汽车销量产量（万辆）比上年同期增长（%）销量（万辆）比上年同期增长（%）2018年3月 6.8 105 6.8 117.4 4月8.1 117.7 8.2 138.45月9.6 85.6 10.2 125.66月8.6 31.7 8.4 42.97月9 53.6 8.4 47.78月9.9 39 10.1 49.59月12.7 64.4 12.1 54.810月14.6 58.1 13.8 5111月17.3 36.9 16.9 37.61﹣﹣12月127 59.9 125.6 61.72019年1月9.1 113 9.6 138 2月 5.9 50.9 5.3 53.6根据上述图表信息，下列结论错误的是（）A．2017年3月份我国新能源汽车的产量不超过3.4万辆B．2017年我国新能源汽车总销量超过70万辆C．2018年8月份我国新能源汽车的销量高于产量D．2019年1月份我国插电式混合动力汽车的销量低于2万辆【分析】由图表信息中2018年的信息，根据增长量即可算出2017年的信息，判断出A，B正确，2018年8月份信息直接从表中可查到，2019年1月份我国插电式混合动力汽车的销量结合扇形图即可求出．解：由图表信息可知，2017年3月份我国新能源汽车的产量为：，所以选项A正确；由图表信息可知，2017年我国新能源汽车总销量为：，所以选项B 正确；由图表信息可知，2018年8月份我国新能源汽车的销量为10.1，产量为9.9，所以选项C正确；由图表信息可知，2019年1月份我国插电式混合动力汽车的销量为：9.6×0.25＝2.4，所以选项D错误，故选：D．4．已知正项等比数列{a n}中，a3a5＝4，且a4，a6+1，a7成等差数列，则该数列公比q为（）A．B．C．2 D．4【分析】运用等比数列的性质和通项公式，等差数列的中项性质，解方程可得所求公比．解：正项等比数列{a n}中，a3a5＝4，可得q＞0，a42＝a3a5＝4，即a4＝2，a4，a6+1，a7成等差数列，可得a4+a7＝2a6+2，即2+2q3＝4q2+2，解得q＝2，故选：C．5．我国数学家陈最润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界瞩目的成就．哥德巴赫猜想简述为“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”（注：如果一个大于1的整数除了1和自身外无其他正因数，则称这个整数为素数），如40＝3+37．在不超过40的素数，随机选取2个不同的数，这两个数的和等于40的概率是（）A．B．C．D．【分析】不超过40的素数有12个，随机选取2个不同的数，基本事件总数n＝＝66，利用列举法求出这两个数的和等于40包含的基本事件有3个，由此能求出这两个数的和等于40的概率．解：不超过40的素数有：2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，31，37，共12个，随机选取2个不同的数，基本事件总数n＝＝66，这两个数的和等于40包含的基本事件有：（3，37），（11，29），（17，23），共3个，∴这两个数的和等于40的概率是p＝＝．故选：B．6．圆x2+y2﹣2x+4y+1＝0关于直线ax﹣by﹣3＝0（a＞0，b＞0）对称，则的最小值是（）A．1 B．3 C．5 D．9【分析】由已知可得a+2b＝3，即，则＝（）（），展开后利用基本不等式求最值．解：圆x2+y2﹣2x+4y+1＝0的圆心坐标为（1，﹣2），由圆x2+y2﹣2x+4y+1＝0关于直线ax﹣by﹣3＝0（a＞0，b＞0）对称，∴a+2b＝3，即，则＝（）（）＝+．当且仅当，即a＝，b＝时上式取等号．∴的最小值是3．故选：B．7．函数（e为自然对数的底数）的大致图象为（）A．B．C．D．【分析】根据题意，由排除法分析：先分析函数的奇偶性排除B、D，再分析可得当0＜x ＜时，f（x）＞0，排除A；即可得答案．解：根据题意，函数，其定义域为{x|x≠0}，有﹣（）＝﹣f（x），即函数f （x）为奇函数，排除B、D；又由当0＜x＜时，f（x）＞0，排除A，故选：C．8．正三棱锥的三视图如，图所示，则该正三棱锥的表面积为（）A．B．C．D．【分析】利用三视图求出三棱锥的底面边长以及侧棱长，然后求解表面积．解：应用可知三棱锥的高为：3，底面三角形的高为：3，则底面正三角形的边长为：a；所以，解得a＝2．斜高为：＝，该三棱锥的表面积为：3×+＝3+3．故选：A．9．已知点F1，F2分别是双曲线的左，右焦点，O为坐标原点，点P在双曲线C的右支上，且满足|F1F2|＝2|OP|，tan∠PF2F1＝4，则双曲线C的离心率为（）A．B．5 C．D．【分析】点P在双曲线C的右支上，且满足|F1F2|＝2|OP|，即有O为△PF1F2外接圆的圆心，即有∠F1PF2＝90°，运用勾股定理和双曲线的定义，化简整理，结合离心率公式计算即可得到．解：点P在双曲线C的右支上，且满足|F1F2|＝2|OP|，即有O为△PF1F2外接圆的圆心，即有∠F1PF2＝90°，由双曲线的定义可得|PF1|﹣|PF2|＝2a，∵tan∠PF2F1＝4，所以|PF1|＝4|PF2|，则|PF1|＝a，|PF2|＝a，由|PF1|2+|PF2|2＝|F1F2|2，即（）2+（）2＝4c2，即有c2＝a2，e＝，故选：C．10．设f（x）是定义在R上的函数，满足条件f（x+1）＝f（﹣x+1），且当x≤1时，f（x）＝e﹣x﹣3，则a＝f（log27），的大小关系是（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．b＞a＞c D．c＞b＞a【分析】由已知可得函数的图象关于x＝1对称，又x＞1时函数图象单调递增，距离对称轴越远，函数值越大，解：由f（x+1）＝f（﹣x+1）可得函数的图象关于x＝1对称，又当x≤1时，f（x）＝e﹣x﹣3单调递减，故x＞1时函数图象单调递增，距离对称轴越远，函数值越大，∵log27∈（2，3），，3﹣1.5，故a＞b＞c．故选：A．11．正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，点E为棱CC1的中点．下列结论：①线段BD上存在点F，使得CF∥平面AD1E；②线段BD上存在点F，使CF⊥得平面AD1E；③平面AD1E把正方体分成两部分，较小部分的体积为，其中所有正确的序号是（）A．①B．③C．①③D．①②③【分析】由题意建立空间直角坐标系，求出平面AD1E的一个法向量，利用空间向量分析①②；找出平面AD1E截正方体所得截面，求解体积判断③．解：建立如图所示空间直角坐标系，A（1，0，0），D1（0，0，1），E（0，1，），C（0，1，0），设F（t，t，0）（0≤t≤1），则，，＝（t，t﹣1，0）．设平面AD1E的一个法向量为，由，取z＝1，则．由，解得t＝∈[0，1]，故①正确；由＝（t，t﹣1，0），，知与不共线，故②错误；平面AD1E把正方体分成两部分如图，正方体体积为1，三棱台ECH﹣D1DA的体积V＝，∴平面AD1E把正方体分成两部分，较小部分的体积为，故③正确．∴①③正确．故选：C．12．已知正项数列{a n}的前n项和为S n，a1＞1，且6S n＝a n2+3a n+2．若对于任意实数a∈[﹣2，2]．不等式恒成立，则实数t的取值范围为（）A．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）B．（﹣∞，﹣2]∪[1，+∞）C．（﹣∞，﹣1]∪[2，+∞）D．[﹣2，2]【分析】根据a n与S n的关系，求得a n的通项公式，消元，利用一元函数的根的分布问题，即可求得t取值范围．解：由6S n＝a n2+3a n+2，当n＝1时，6a1＝a12+3a1+2．解得a1＝2，当n≥2时，6S n﹣1＝a n﹣12+3a n﹣1+2，两式相减得6a n＝a n2+3a n﹣（a n﹣12+3a n﹣1），整理得（a n+a n）（a n﹣a n﹣1﹣3）＝0，﹣1由a n＞0，所以a n+a n﹣1＞0，所以a n﹣a n﹣1＝3，所以数列{a n}是以2为首项，3为公差的等差数列，所以a n+1＝2+3（n+1﹣1）＝3n+2，所以＝＝3﹣＜3，因此原不等式转化为2t2+at﹣1≥3对于任意的a∈[﹣2，2]，n∈N*恒成立，化为：2t2+at﹣4≥0，设f（a）＝2t2+at﹣4，a∈[﹣2，2]，可得f（2）≥0且f（﹣2）≥0，即有，即，可得t≥2或t≤﹣2，则实数t的取值范围是（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）．故选：A．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．平面向量与的夹角为60°，且，，则＝．【分析】由已知求得||，然后求出，开方得答案．解：∵，∴，又与的夹角为60°，，∴＝9+4×3×1×cos60°+4＝19．∴＝故答案为：．14．若实数x，y满足约束条件，则z＝2x+y的最小值是﹣9 ．【分析】作出平面区域，结合Z最小，截距最小平移直线2x+y＝0确定最小值即可．解：作出不等式组件所表示的平面区域，作出直线2x+y＝0，对该直线进行平移，结合Z最小，直线的截距最小；可以发现经过点C（﹣3，﹣3）时Z取得最小值﹣9；故答案为：﹣9．15．已知椭圆为右顶点．过坐标原点O的直线交椭圆C于P，Q两点，线段AP的中点为M，直线QM交x轴于N（2，0），椭圆C的离心率为，则椭圆C的标准方程为．【分析】设出P点坐标，表示出M的坐标，由Q，N，M三点共线，k MN＝k NQ可计算出a，从而解决问题；解：设P（x，y），则由A（a，0）；线段AP的中点为M，则M（，）；由题意，Q，N，M三点共线，k MN＝k NQ；即＝；可得x+a﹣4＝2+x；所以a＝6，由椭圆C的离心率为，得c＝4，b2＝20；故椭圆C的标准方程为：．故答案为：．16．已知函数，且f（x）g（x）≤0在定义域内恒成立，则实数a的取值范围为a≤﹣或a＝e2．【分析】通过讨论f（x）的符号，结合函数的单调性判断出a的范围即可．解：若f（x）g（x）≤0在定义域内恒成立，考虑以下情形：①当f（x）≤0，g（x）≥0同时恒成立时，由f（x）＝lnx+2ax≤0，即﹣2a≥恒成立，设h（x）＝，h′（x）＝，当x＞e时，h′（x）＜0，h（x）递减，当0＜x＜e时，h′（x）＞0，h（x）递增，可得x＝e处h（x）取得极大值，且为最大值，可得﹣2a≥，即a≤﹣；∵由g（x）≥0，即﹣a≥0恒成立得a≤0．∴a≤﹣；②当f（x）≥0，g（x）≤0同时恒成立时，a不存在；③当a＞0时，∵f（x）＝lnx+2ax为增函数，g（x）＝﹣a为减函数，若它们有共同零点，则f（x）•g（x）≤0恒成立，由f（x）＝lnx+2ax＝0，g（x）＝﹣a＝0，联立方程组解得：a＝e2．综上可得a≤﹣或a＝e2．故答案为：a≤﹣或a＝e2．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．在△ABC中，角A，B，C对应边分别为a，b，c．（1）若△ABC的面积S满足且b＞c，求b的值；（2）若且△ABC为锐角三角形．求△ABC周长的范围．【分析】（1）由已知结合余弦定理及三角形的面积公式可求tan C，进而可求C，然后再由余弦定理即可求解b，（2）由已知结合正弦定理可表示b，c，然后根据和差角公式及辅助角公式进行化简后结合正弦函数的性质可求．解：（1）∵4，所以，即tan C＝，又因为0＜C＜π，所以C＝，因为c＝，a＝4，由余弦定理可得cos＝，解可得，b＝3或b＝，因为b＞c＝，所以，b＝3；（2），由正弦定理可得，＝，故b＝2sin B，c＝2sin C＝2sin（），由题意可知，，解可得，，则△ABC周长为2sin（）+2sin B＝，＝，因为，所以，故＜sin（B+）≤1，因此三角形的周长的范围（3+，3]．18．如图，已知四边形ABCD为等腰梯形，BDEF为正方形，平面BDEF⊥平面ABCD，AD∥BC，AD＝AB＝1，∠ABC＝60°（1）求证：平面CDE⊥平面BDEF；（2）点M为线段EF上一动点，求BD与平面BCM所成角正弦值的取值范围．【分析】（1）先求出BD⊥DC，再证明CD⊥平面BDEF，再根据面面垂直的判断定理求出即可；（2）根据题意，建立空间直角坐标系，求出平面BCM的法向量，BD的方向向量，利用夹角公式，结合函数的最值，求出即可．解：（1）等腰梯形ABCD，AD＝AB＝1，由∠ABC＝60°，∠BAD＝120°，BD＝＝，BC＝1+＝2，所以BC2＝CD2+BD2，BD⊥DC，由平面BDEF⊥平面ABCD，BD＝平面BDEF∩平面ABCD，所以CD⊥平面BDEF，又CD⊂平面CDE，所以平面CDE⊥平面BDEF；（2）根据题意，以D为圆心，以DB，DC，DE分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，设EM＝m∈[0，]则B（，0，0），C（0，1，0），D（0，0，0），M（m，0，），，，设平面BMC的法向量为，由，令x＝，y＝3，z＝，故，设BD与平面BCM的夹角为θ，所以sinθ＝|cos＜＞|＝，m∈[0，]，所以当m＝0时取最小值，m＝取最大值，故BD与平面BCM所成角正弦值的取值范围为[]．19．过点P（0，2）的直线与抛物线C：x2＝4y相交于A，B两点．（1）若，且点A在第一象限，求直线AB的方程；（2）若A，B在直线y＝﹣2上的射影分别为A1，B1，线段A1B1的中点为Q，求证BQ∥PA1．【分析】本题第（1）题由题意，设过点P（0，2）的直线l的斜率为k，则l：y＝kx+2．然后由，根据定比分点的知识，可得＝2，＝0．将y1＝kx1+2，y2＝kx2+2代入最终可得到k的值，则即可求出直线AB的方程；第（2）题先联立直线l 与抛物线方程，整理得到一元二次方程，根据韦达定理有x1+x2＝4k，x1•x2＝﹣8．再根据题意写出∴＝（﹣x2，﹣2﹣y2），＝（x1，﹣4）．再根据平行向量的坐标公式x1y2﹣x2y1＝0进行代入计算即可证明BQ∥PA1．【解答】（1）解：由题意，设过点P（0，2）的直线l的斜率为k，则l：y＝kx+2．设A（x1，y1），B（x2，y2）．∵，∴根据定比分点的知识，有＝2，＝0．∴x1+2x2＝6，y1+2y2＝0．∵y1+2y2＝kx1+2+2（kx2+2）＝＝k（x1+2x2）+6＝6k+6＝0，解得k＝﹣1．∴直线AB的方程为y＝﹣x+2．（2）证明：根据（1），联立直线l与抛物线方程，得，整理，得x2﹣4kx﹣8＝0．则x1+x2＝4k，x1•x2＝﹣8．∵A1（x1，﹣2），B1（x2，﹣2）．∴Q（，﹣2）．∴＝（﹣x2，﹣2﹣y2），＝（x1，﹣4）．∵（﹣x2）•（﹣4）﹣x1•（﹣2﹣y2）＝4•+x1•（y2+2）＝2x2﹣2x1+x1y2+2x1＝2x2+x1y2＝2x2+x1•＝2x2+•x1•x2＝2x2+•（﹣8）＝0．∴BQ∥PA1．20．设函数．（1）若k＝1，求f（x）的单调区间；（2）若f（x）存在三个极值点x1，x2，x3，且x1＜x2＜x3，求k的取值范围，并证明：x1+x3＞2x2．【分析】（1）将k＝1代入f（x）中，然后利用导数求得f（x）的单调区间．（2）先求得f（x）的导函数f′（x）＝（e x﹣kx）（x﹣1），则g（x）＝e x﹣kx有两个不同的零点，且都不是1，然后对k分成k≤0，k＞0两种情况分类讨论，利用导数研究g（x）的单调性和零点，由此求得k的取值范围．进一步证明x1+x3＞2x2．解：（1）当k＝1时，，∴f'（x）＝（e x﹣x）（x﹣1）．令h（x）＝e x﹣x，则h'（x）＝e x﹣1，∴由h'（x）＞0得x＞0，h'（x）＜0得x＜0，∴h（x）在（﹣∞，0）上递减，在（0，+∞）上递增．∴h（x）≥h（0）＝1＞0即e x﹣x＞0，∴解f'（x）＞0得x＞1，解f'（x）＜0得x＜1，∴f（x）的单调减区间为（﹣∞，1），单调增区间为（1，+∞）．（2）f'（x）＝e x（x﹣2）+e x﹣kx2+kx＝（e x﹣kx）（x﹣1），∵f（x）有三个极值点，∴方程e x﹣kx＝0有两个不等根，且都不是1，令g（x）＝e x﹣kx，当k≤0时，g（x）单调递增，g（x）＝0至多有一根，∴当k＞0时，解g'（x）＞0得x＞lnk，解g'（x）＜0得x＜lnk．∴g（x）在（﹣∞，lnk）上递减，在（lnk，+∞）上递增，∴g（lnk）＝e lnk﹣klnk＝k（1﹣lnk）＜0，k＞e，此时，g（0）＝1＞0，lnk＞1，g（1）＝e﹣k＜0，x→+∞时g（x）→+∞．∴k＞e时，f'（x）＝0有三个根x1，x2，x3，且0＜x1＜1＝x2＜x3，由得x1＝lnk+lnx1，由得x3＝lnk+lnx3，∴．下面证明：，可变形为令，，，∴φ（x）在（1，+∞）上递增，∴φ（t）＞φ（1）＝0，∴，∴x3+x1＞2x2．21．“公平正义”是社会主义和谐社会的重要特征，是社会主义法治理念的价值追求．“考试”作为一种公平公正选拔人才的有效途径，正被广泛采用．每次考试过后，考生最关心的问题是：自己的考试名次是多少？自已能否被录取？能获得什么样的职位？某单位准备通过考试（按照高分优先录取的原则）录用300名，其中275个高薪职位和25个普薪职位．实际报名人数为2000名，考试满分为400分．（一般地，对于一次成功的考试来说，考试成绩应服从正态分布．）考试后考试成绩的部分统计结果如下：考试平均成绩是180分，360分及其以上的高分考生30名．（1）最低录取分数是多少？（结果保留为整数）（2）考生甲的成绩为286分，若甲被录取，能否获得高薪职位？若不能被录取，请说明理由．参考资料：（1）当X～N（μ，σ2）时，令Y＝，则Y～N（0，1）．（2）当Y～N（0，1）时，P（Y≤2.17）≈0.985，P（Y≤1.28）≈0.900，P（Y≤1.09）≈0.863，P（Y≤1.04）≈0.85．【分析】（1）利用考试的平均成绩、高分考生的人数，以及题目所给正态分布的参考资料，求得考生成绩X的分布X～N（180，832），利用录取率列方程，由此求得最低录取分数线；（2）计算出不低于考生甲的成绩的人数约为200，由此判断出甲能获得高薪职位．解：（1）设考生的成绩为X，则由题意可得X应服从正态分布，即X～N（180，σ2），令Y＝，则Y～N（0，1）．由360分及以上高分考生30名可得P（X≥360）＝，即P（X＜360）＝1﹣＝0.985，即有P（X＜）＝0.985，则≈2.17，可得σ≈83，可得N（180，832），设最低录取分数线为x0，则P（X≥x0）＝P（Y≥）＝，即有P（Y＜）＝1﹣＝0.85，即有＝1.04，可得x0≈266.32，即最低录取分数线为266到267分之间；（2）考生甲的成绩286＞267，所以能被录取，P（X＜286）＝P（Y＜）＝P（Y＜1.28）≈0.90，表明不低于考生甲的成绩的人数大约为总人数的1﹣0.90＝0.10，2000×0.10＝200，即考生甲大约排在第200名，排在前275名之前，所以能被录取为高薪职位．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.作答时，用2B 铅笔在答题卡.上把所选题目对应的题号后的方框涂黑.22．在极坐标系中，已知圆的圆心，半径r＝3，Q点在圆C上运动，以极点为直角坐标系原点，极轴为x轴正半轴建立直角坐标系．（1）求圆C的参数方程；（2）若P点在线段OQ上，且|OP|：|PQ|＝2：3，求动点P轨迹的极坐标方程．【分析】（1）直接利用转换关系式的应用把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．（2）利用极径的应用和关系式的转换的应用求出结果．解：（1）由已知得，圆心的直角坐标为，r＝3，所以C的直角坐标方程为，所以圆C的参数方程为（θ为参数）．（2）由（1）得，圆C的极坐标方程为，即．设P（ρ，θ），Q（ρ1，θ），根据|OP|：|PQ|＝2：3，可得ρ：ρ1＝2：5，将代入C的极坐标方程得，即动点P轨迹的极坐标方程为．23．设函数f（x）＝|2x﹣1|+|x+1|．（1）画出y＝f（x）的图象；（2）若不等式f（x）＞a﹣|x+1|对x∈R成立，求实数a的取值范围．【分析】（1）利用分段函数表示f（x），画出y＝f（x）的图象即可；（2）不等式f（x）＞a﹣|x+1|对x∈R成立，化为|2x﹣1|+2|x+1|＞a对x∈R成立；设g（x）＝|2x﹣1|+2|x+1|，求出g（x）的最小值，从而求得a的取值范围．解：（1）函数f（x）＝|2x﹣1|+|x+1|＝；画出y＝f（x）的图象，如图所示；（2）不等式f（x）＞a﹣|x+1|对x∈R成立，即|2x﹣1|+2|x+1|＞a对x∈R成立；设g（x）＝|2x﹣1|+2|x+1|，则g（x）＝|2x﹣1|+|2x+2|≥|（2x﹣1）﹣（2x+2）|＝3，当且仅当﹣1≤x≤时取等号；所以实数a的取值范围是a≤3．。
洛阳市2016——2017学年高中三年级第一次统一考试数学试卷（理科）第Ⅰ卷（选择题,共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1.已知i 为虚数单位，若实数,a b 满足()1a bi i i +=+，则a bi +的模为2.已知集合(){}{}|10,|1x A x x x B x e =-<=>，则()R C A B =A. [)1,+∞B. ()0,+∞C. ()0,1D.[]0,13.已知12,x x R ∈，则1"1x >且21"x >是12"2x x +>且12,1"x x >的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D.既不充分也不必要条件4.一枚骰子先后抛掷两次，并记朝上的点数分别为m,n ，已知m 为2或4时，5m n +>的概率为 A.227 B. 29 C. 13 D. 235.已知下列函数中是周期函数且最小正周期为π的是A. sin cos y x x =+B.22sin y x x =-C. cos y x =D.3sin cos 22x xy =6.执行下面的程序，若输入的253,161a b ==，则输出的结果为A. 92B. 46C. 23D. 17.等差数列{}n a 为递增数列，若2211056101,11a a a a +=+=，则数列{}n a 的公差d 等于A. 1B. 2C. 9D. 108.已知向量()1,0,2,a b a ==与b 的夹角为45，若,c a b d a b =+=-，则c 在d 方向的投影为1- 9.已知简单组合体的三视图如图所示，则此简单组合体的体积为 A. 103π B. 14π C. 1683π- D. 1643π- 10.已知实数,x y 满足条件20,220,220,x y x y x y +-≤⎧⎪--≤⎨⎪-+≥⎩，若z y ax =-取得最大值时的最优解有且只有一个，则实数a的取值集合为A. {}2,1-B. {}|2a R a ∈≠C. {}|1a R a ∈≠-D. {}|12a R a a ∈≠-≠且11.等比数列{}n a 的首项为32，公比为12-，前n 项和为n S ，则当n N *∈时，1n n S S -的最大值和最小值之和为 A. 23- B. 712- C. 14 D.56 12.四面体A BCD -中，60,3,2ABC ABD CBD AB CB DB ∠=∠=∠====,则此此四面体外接球的表面积为 A. 192πB. C. 17π二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b -=>>的一条渐近线方程为34y x =，则双曲线C 的离心率为 .14.若0525n x dx -=⎰，则()21n x -的二项展开式中2x 的系数为 .15.已知抛物线2:4C x y =的焦点为F ，直线AB 与抛物线C 相交于A,B 两点，若230OA OB OF +-=，则弦AB 的中点到抛物线C 的准线的距离为 .16.已知函数()ln x f x e m x =+（,m R e ∈为自然对数的底数），若对任意的正数12,x x ，当12x x >时，都有()()1212f x f x x x ->-成立，则实数m 的取值范围为 .三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.17.（本题满分12分）如图，平面四边形ABCD 中，30.CAD BAD ∠=∠=（1）若75,10ABC AB ∠==，且//AC BD ，求CD 的长；（2）若10BC =，求AC AB +的取值范围.18.（本题满分12分）如图，四边形ABEF 和四边形ABCD 均为直角梯形，90FAB DAB ∠=∠=,二面角F AB D --是直二面角,//,//,2, 1.BE AF BC AD AF AB BC AD ====（1）证明：在平面BCE 上，一定存在过点C 的直线l 与直线DF 平行；（2）求二面角F CD A --二余弦值.19.（本题满分12分）雾霾天气对人体健康有害，应对雾霾污染、改善空气质量是当前的首要任务是控制PM2.5，要从压减燃煤、严格控产、调整产业、强化管理、联防联控、依法治理等方面采取重大举措，聚焦重点领域，严格考核指标.某省环保部门为加强环境执法监管，派遣四个不同的专家组对A,B,C 三个城市进行雾霾落实情况抽查.（1）若每个专家组随机选取一个城市，四个专家组选取的城市可以相同，也可以不同，求恰有一个城市没有专家组选取的概率；（2）每个城市都要有四个专家组分别对抽查情况进行评价，并对所选取的城市进行评价，每个专家组给检查到的成绩评价为优的概率为12，若四个专家组均评价为优，则检查通过，不用复检，否则要进行复检，设需进行复检的城市个数为X ，求X 的分布列和期望.20.（本题满分12分）设椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>的右焦点为F,右顶点为A,B,C 是椭圆上关于原点对称的两点（B,C 均不在x 轴上），线段AC 的中点为D ，B,F,D 三点共线.（1）求椭圆E 的离心率；（2）设()1,0F ，过F 的直线l 交E 于M,N 两点，直线MA,NA 分别与直线9x =交于P,Q 两点，证明：以PQ 为直径的圆过点F.21.（本题满分12分）设函数()()211ln .2f x x a x a x =--- （1）讨论函数()f x 的单调性；（2）若函数()f x 有两个零点，求满足条件的最小正整数a 的值；（3）()f x b =有两个不相等的实数根12,x x ，求证120.2x x f +⎛⎫'>⎪⎝⎭.请考生从第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时，用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号后的方框涂黑.22.（本题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xoy 中，圆C 的参数方程为2cos ,22sin x y ϕϕ=⎧⎨=+⎩（ϕ为参数），以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.（1）求圆C 的普通方程；（2）直线l 的极坐标方程是2sin 6πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭:6OM πθ=与圆C 的交点为,O P ，与直线l 的交点为Q ，求线段PQ 的长.23.（本题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知()21 1.f x x x =--+（1）将()f x 的解析式写出分段函数的形式，并作出其图象；（2）若1a b +=，对()()14,0,,3a b f x a b∀∈+∞+≥恒成立，求x 的取值范围.。
河南省洛阳市2017届高中三年级第一次统一考试（理科）一、选择题（共12小题；共60分）1. 已知为虚数单位，若实数，满足，则的模为A. B. C. D.2. 已知集合，，则A. B. C. D.3. 已知，则“且”是“且”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4. 将一枚骰子先后抛掷两次，并记朝上的点数分别为，，为或时，的概率为A. B. C. D.5. 下列函数中，是周期函数且最小正周期为的是A. B.C. D.6. 按下面的程序框图，若输入的，，则输出的结果为A. B. C. D.7. 等差数列为递增数列，若，，则数列的公差等于A. B. C. D.8. 已知，，且，则为A. B. C. D.9. 已知简单组合体的三视图如图所示，则此简单组合体的体积为A. B. C. D.10. 已知实数，满足条件若取得最大值时的最优解有且只有一个，则实数的取值集合为A. B.C. D. 且11. 等比数列的首项为，公比为，前项和为，则当时，的最大值与最小值之和为A. B. C. D.12. 四面体中，，，，则此四面体外接球的表面积为A. B. C. D.二、填空题（共4小题；共20分）13. 已知双曲线的一条渐近线方程为，则双曲线的离心率______．14. 若，则的二项展开式中的系数为______．15. 已知抛物线的焦点为，直线与抛物线相交于，两点，若，则弦中点到抛物线的准线的距离为______．16. 已知函数（，为自然对数的底数），若对任意正数，，当时都有成立，则实数的取值范围是______．三、解答题（共7小题；共91分）17. 如图，平面四边形中，．（1）若，，且，求的长；（2）若，求的取值范围．18. 如图，四边形和四边形均是直角梯形，，二面角是直二面角，，，，．（1）证明：在平面上，一定存在过点的直线与直线平行；（2）求二面角的余弦值．19. 雾霾天气对人体健康有伤害，应对雾霾污染、改善空气质量的首要任务是控制PM2.5，要从压减燃煤、严格控车、调整产业、强化管理、联防联控、依法治理等方面采取重大举措，聚焦重点领域，严格指标考核．某省环保部门为加强环境执法监管，派遣四个不同的专家组对A，B，C三个城市进行治霾落实情况抽查．（1）若每个专家组随机选取一个城市，四个专家组选取的城市可以相同，也可以不同，求恰有一个城市没有专家组选取的概率；（2）每一个城市都要由四个专家组分别对抽查情况进行评价，并对所选取的城市进行评价，每个专家组给检查到的城市评价为优的概率为，若四个专家组均评价为优则检查通过不用复检，否则需进行复检．设需进行复检的城市的个数为，求的分布列和期望．20. 设椭圆的右焦点为，右顶点为，，是椭圆上关于原点对称的两点（，均不在轴上），线段的中点为，且，，三点共线．（1）求椭圆的离心率；（2）设，过的直线交于，两点，直线，分别与直线交于，两点．证明：以为直径的圆过点．21. 定义域为的函数满足：对于任意的实数，都有成立，且当时恒成立，且．（1）判断函数的奇偶性，并证明你的结论；（2）证明为减函数；若函数在上总有成立，试确定应满足的条件；（3）解关于的不等式，（是一个给定的自然数，）．22. 在直角坐标系中，圆的参数方程为（为参数）．以为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（1）求圆的普通方程；（2）直线的极坐标方程是，射线与圆的交点为，，与直线的交点为，求线段的长．23. 已知．（1）将的解析式写成分段函数的形式，并作出其图象．（2）若，对，恒成立，求的取值范围．答案第一部分1. B2. A3. A4. D5. B6. C7. A8. B9. D 10. D11. C 12. A第二部分13.14.15.16.第三部分17. （1）由已知，易得，在中，．因为，所以，，在中，，所以．在中，．（2），，而，所以，解得，故的取值范围为．18. （1）由已知得，，平面，平面，所以 平面．同理可得， 平面．又，所以平面 平面．设平面平面，则过点．因为平面 平面，平面平面，平面平面，所以，即在平面上一定存在过点的直线，使得．（2）因为平面平面，平面，平面平面，又，所以，所以平面，因为平面，所以．因为，所以．以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，如图．，，，所以，．设平面的法向量为，则不妨取，则，不妨取平面的一个法向量为，所以，由于二面角为锐角，因此二面角的余弦值为．19. （1）随机选取，共有种不同方法，恰有一个城市没有专家组选取的有种不同方法，故恰有一个城市没有专家组选取的概率为．（2）设事件：“一个城市需复检”，则，的所有可能取值为，，，，，，，．所以的分布列为，．20. （1）解法一：由已知，，设，，则，因为，，三点共线，所以，又，，所以，所以，从而．解法二：设直线交于，连接，是的中位线，所以且，所以，所以．所以，解得，从而．（2）因为的坐标为，所以，从而，所以．所以椭圆的方程为．设直线的方程为，由，所以，，其中，．所以直线的方程为，所以，同理，从而所以，即以为直径的圆恒过点．21. （1）由已知对于任意，，恒成立．令，得，所以．令，得．所以对于任意，都有．所以是奇函数．（2）设任意且，则，由已知，又，由得，根据函数单调性的定义知在上是减函数．所以在上的最大值为．要使恒成立，当且仅当，又因为所以．又，，所以．（3），所以．所以，由已知得．所以，因为在上是减函数，所以．即，因为，所以．讨论：①当，即，解集为或；②当即时，原不等式解集；③当时，即时，原不等式的解集为或．22. （1）因为圆的参数方程为（为参数），所以圆心的坐标为，半径为，圆的普通方程为．（2）将，代人，得圆的极坐标方程．设，则由解得，．设，则由解得，．所以．23. （1）由已知，得．函数的图象如图所示．（2）因为，且，所以，当且仅当，即，时等号成立．因为恒成立，所以，结合图象知，所以的取值范围是．。
洛阳市2019-2020学年上学期尖子生第一次联考高三数学试题(理科) 第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合合题目要求的.1.全集U =R ，{}2019|log (1)A x y x ==-，{|B y y ==，则()U A C B =I （ ） A. ()1,2 B. (]1,2C. [)1,2D. []1,2【答案】A 【分析】分别解出集合A 和B ，再结合交集的概念和补集的概念得到结果.【详解】{{}||2B y y y y ===={}|2U C B y y =<，{}{}2019|log (1)|1A x y x x x ==-=> ()()1,2.U A C B =I故答案为：A.【点睛】这个题目考查了集合的交集和补集的概念，属于基础题.2.已知复数z 满足(1+2)34i z i =-+，则z =（ ）B. 5【答案】C()()()()34i 12i 510i 12i,12i 12i 12i 5z -+-+===++=+-故选C .3.已知角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴非负半轴重合，终边与直线3y x =重合，且sin 0α<，又()P m n ,是角α终边上一点，且OP =O 为坐标原点)，则m n -等于（ ） A. 2 B. 2-C. 4D. 4-【答案】A 【分析】由题意可得0,3m n m <=，根据OP =,m n 的值，即可求解m n -得值，得到答案.【详解】由题意，角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴非负半轴重合，终边与直线3y x =重合，且sin 0α<，所以α为第三象限角.又()P m n ,是角α终边上一点，所以0,3m n m <=，再根据OP m ===（O 为坐标原点）， 所以1,3m n =-=-，则2m n -=， 故选A.【点睛】本题主要考查了三角函数的定义及其应用，其中解答熟练应用三角函数的定义，列出方程求得m 的值是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.4.已知等比数列{}n a 中，2854a a a ⋅=，等差数列{}n b 中，465b b a +=，则数列{}n b 的前9项和9S 等于（ ） A. 9 B. 18 C. 36D. 72【答案】B 【分析】由等比数列的性质可得2825a a a ⋅=，求得54a =，得到464b b +=，再由等差数列的前n 项和，即可求解，得到答案.【详解】在等比数列{}n a 中，满足2854a a a ⋅=，由等比数列的性质可得2825a a a ⋅=，即2554a a ⋅=，所以54a =，又由465b b a +=，所以464b b += 所以数列{}n b 的前9项和194699()9()9418222b b b b S ++⨯====， 故选B.【点睛】本题主要考查了等差数列、等比数列的性质，以及等差数列的前n 项和公式的应用，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.5.已知()f x 为偶函数，当0x >时，()ln 3f x x x =-，则曲线() y f x =在点()1,3--处的切线与两坐标轴围成图形的面积等于（ ） A. 1 B.34C.14D.12【答案】C 【分析】由偶函数的定义求得当0x <时，()ln()3f x x x =-+，利用导数的几何意义求得切线的斜率和切线方程，令0,0x y ==，可得切线与两坐标轴的交点，再由三角形的面积公式计算，即可求解.【详解】由题意，函数()f x 为偶函数，当0x >时，()ln 3f x x x =-， 当0x <时，可得()()ln()3f x f x x x =-=-+， 则()13f x x'=+，则曲线() y f x =在点()1,3--处的切线斜率为()12f '-=， 可得切线的方程为32(1)y x +=+， 令0x =，可得1y =-，令0y =，可得12x =， 所以切线与两坐标轴围成的图形的面积为1111224S =⨯⨯=，故选C. 【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性的应用，以及导数的几何意义的应用，其中解答中正确求解函数的解+析式，合理利用导数的几何意义求得切线的方程是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.6.在[6,9]-内任取一个实数m ，设2()f x x mx m =-++，则函数()f x 的图象与x 轴有公共点的概率等于（ ） A.215B.715C.35D.1115【答案】D()2f x x mx m =-++Q图象与x 轴有公共点，240,4m m m∴∆=+>∴<-或0,m >∴在[]6,9-内取一个实数m ，函数()f x 的图象与x 轴有公共点的概率等于()()4690119615-++-=+，故选D.7.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,,F F P 为双曲线上一点，且122PF PF =，若12sin F PF ∠= ）B. 2或2或【答案】C 【分析】根据双曲线的定义和题设条件，求得124,2PF a PF a ==，再在12PF F ∆中，由余弦定理，化简整理得224c a =或226c a=，即可求解，得到答案.【详解】由题意，根据双曲线的定义可得122PF PF a -=，又因为122PF PF =， 可得124,2PF a PF a ==， 又由12sin 4F PF ∠=，可得121cos 4F PF ∠=±，在12PF F ∆中，由余弦定理可得2222221212122111co 6442s 2244PF PF F F a a c PF P P a a F F F +-+-=⨯⨯=±=∠，解得224c a =或226c a=，所以2c e a ==，故选C.【点睛】本题主要考查了双曲线的定义，以及双曲线的离心率的求解，其中解答中合理利用双曲线的定义，以及在12PF F ∆中，利用余弦定理求得22c a的值是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题.8.若向量a b c ⋅⋅v v v 满足1a b ==r r ，1,2a b a c ⋅=-<-r r r r ，3b c π->=r r ，c r 的最大值为（ ）A.2B.12C. 1D. 2【答案】D 【分析】构造,,,120,60AB a AD b AC c BAD BCD ===∠=∠=o o u u u r r u u u r r u u u r r，得到,,,A B C D 四点共圆，结合图形，得到当线段AC 为圆的直径时，此时c r最大，即可求解.【详解】如图所示，构造,,,120,60AB a AD b AC c BAD BCD ===∠=∠=o o u u u r r u u u r r u u u r r，因为180BAD BCD ∠+∠=o ，所以,,,A B C D 四点共圆，所以当线段AC 为圆的直径时，此时c r最大，由余弦定理可得2222212cos12011211()32BD AB AD AB AD =+-⋅=+-⨯⨯⨯-=o，所以BD =22sin120BDR ==o，即c r 的最大值2，故选D.【点睛】本题主要考查了平面向量的线性运算，正弦定理和余弦定理，以及四点共圆的应用，其中解答中构造出,,,A B C D 四点共圆，结合图形求解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，构造思想的应用，属于中档试题.9.某小区有排成一排的7个车位，现有3辆不同型号的车需要停放，如果要求剩余的4个车位连在一起，那么不同的停放方法的种数为（ ） A. 16 B. 18C. 24D. 32【答案】C 【分析】 把剩余的4个车位看成一个元素，且只有一种排法，再加上有3辆不同型号的车，共有四个不同的元素，利用排列数公式，即可求解.【详解】由题意知，剩余的4个车位连在一起，把剩余的4个车位看成一个元素，且只有一种排法，再加上有3辆不同型号的车，所有共有四个不同的元素，其中四个元素的排列共有4424A =种，故选C.【点睛】本题主要考查了排列的应用，其中解答中把剩余的4个车位看成一个元素，共有四个不同的元素，利用排列数公式求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.10.已知函数2()43f x x x =-+.若方程2[()]()0f x bf x c ++=恰有七个不相同的实根，则实数b 的取值范围是（ ） A. ()2,0-B. ()2,1--C. ()0,1D. ()0,2【答案】B 【分析】画出函数()f x 的图象，根据方程2[()]()0f x bf x c ++=恰有七个不同的实根，得到方程20t bt c ++=的其中一个根为1，另一根在(0,1)内，结合二次函数的性质，即可求解.【详解】由题意，画出函数2()43f x x x =-+的图象，如图所示， 可得()(1)(3)0,(2)1,0f f f f x ===≥，因为方程2[()]()0f x bf x c ++=恰有七个不同的实根， 则方程20t bt c ++=的其中一个根为1，另一根在(0,1)内， 设()2g t t bt c =++，则满足(1)0g =且(0)0g >且()02b g -<且012b<-<， 即10b c ++=且0c >且2()()022b b bc -+⋅-+<且012b<-<， 解得21b -<<-，即实数b 的取值范围是()2,1--，故选B.【点睛】本题主要考查了函数与方程的综合应用，其中解答中把方程2[()]()0f x bf x c ++=恰有七个不同的实根，转化为20t bt c ++=的其中一个根为1，另一根在(0,1)内，结合二次函数的性质求解是解答的关键，着重考查了转化思想，以及数形结合思想的应用，属于中档试题.11.定义在R 上的函数()f x 导函数为()f x '，若对任意实数x ，有()()f x f x '>，且()2019f x +为奇函数，则不等式()2019e 0x f x +<的解集为（ ）A. (),0-∞B. ()0,∞+C. 1(,)e-∞D. 1(,)e+∞【答案】B 【分析】 构造新函数()()x f x g x e=，利用导数求得函数()g x 在R 上单调递减，再根据()2019f x +为奇函数，求得()02019g =-，得出不等式()20190xf x e +<等价与()()0g x g <，即可求解.【详解】由题意，构造新函数()()xf xg x e=，则()()()x f x f x g x e '-'=， 因为()()f x f x '>，所以()0g x '<，所以函数()g x 在R 上单调递减， 又因为()2019f x +为奇函数，所以()020190f +=， 所以()02019f =-，则()02019g =-，所以不等式()20190xf x e +<等价与()()0g x g <，即0x >，所以不等式()2019e 0xf x +<的解集为()0,∞+，故选B.【点睛】本题主要考查了函数的单调性、奇偶性的应用，以及利用导数研究函数的单调性及其应用，其中解答中构造新函数，合理利用函数的单调性和奇偶性是解答的关键，着重考查了构造思想，以及推理与运算能力，属于中档试题.12.已知三棱锥—P ABC 的四个顶点均在同一个球面上，底面ABC ∆满足BA BC ==π2ABC ∠=，若该三棱锥体积的最大值为3，则其外接球的体积为（ ） A. 8πB. 16πC. 16π3D.32π3【答案】D因为ABC ∆是等腰直角三角形，所以外接圆的半径是11232r ==是R ，球心O 到该底面的距离d ，如图，则163,32ABC S BD ∆=⨯==116336ABC V S h h ∆==⨯=最大体积对应的高为3SD h ==，故223R d =+，即22(3)3R R =-+，解之得2R =，所以外接球的体积是343233R ππ=，应选答案D 。
河南省洛阳市2020届高三数学上学期第一次统一考试（1月）试题理本试卷分第Ⅰ卷(选择题）和第Ⅱ卷(非选择题）两部分。
第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至 4页，共150分，考试时间120分钟。
第Ⅰ卷（选择题，共60分）注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考号填写在答题卡上。
2.考试结束，将答题卡交回。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合 M={},N = {-2,-1,0，1，2}，则0<)2(-x x =N M A. {0,1} B. {-2,-1} C. {1} D. {0,1,2}2.已知复数在复平面中对应的点满足，则z y x ,1)1(22=+-y x =-|1|z A.O B. 1 C. D.223.为了节能减排，发展低碳经济，我国政府从2001年起就通过相关政策推动新能源汽车产业发展.下面的图表反映了该产业发展的相关信息：根据上述图表信息，下列结论错误的是A. 2017年3月份我国新能源汽车的产量不超过3.4万辆B. 2017年我国新能源汽车总销量超过70万辆C. 2018年8月份我国新能源汽车的销量高于产量D. 2019年1月份我国插电式混合动力汽车的销量低于2万辆4.已知正项等比数列{}中，,且成等差数列，则该数列公比为n a 451=a a 764,1,a a a +q A. B. C. 2 D. 4 41215.我国数学家陈景润在哥徳巴赫猜想的研究中取得了世界瞩目的成就，哥德巴赫猜想简述为“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，（注：如果一个大于1的整数除了 1和自身外无其他正因数，则称这个整数为素数.）如40 = 3 + 37.在不超过20的素数中，随机选取2个不同的数，这两个数的和等于20的概率是 A. B. C. D. 1411511611716.圆关于直线对称，则014222=++-+y x y x )0>,0>(03b a by ax =--的最小值是 ba 21+A. 1 B. 3 C.5 D.97. 函数为自然对数的底数）的大致图象为 e xx e e x f x x (3cos )()(2⋅-=-8.正三棱锥的三视图如图所示，则该正三棱锥的表面积为 A.33303+B.9303+C.312D. 291029+9. 已知点F 1，F 2分别是双曲线的左、右焦点，点P 在双曲线C 的)0>,0>(12222b a by a x =-右支上，且满足，则双曲线C 的离心率为4tan ,01221=∠=⋅F PF PF PF A. B.5 C.D. 531791710.设是定义在R 上的函数，满足条件，且当时，)(x f )1()1(+-=+x f x f 1≤x ，则的大小关系是 3)(-=-x e x f )3(),3(),7(log 3.1322--===f c f b f a A.a>b>c B.a >c>b C.b>a>c D.c>b>a11. 正方体的棱长为1，点E 为棱CC 1的中点，下列结论:①线段 1111D C B A ABCD -BD 上存在点F ，使得CF ∥平面AD 1E;②线段BD 上存在点F ，使得CF⊥平面AD 1E ③平面AD 1E 把正方体分成两部分，较小部分的体积为，其中所有正确的序号是 247A.① B.② C.①③ D.①②③12. 已知正项数列{}的前的和为，，且，，若对任意实数n a n n S 0>1a 2362++=n n n a a S ，不等式恒成立，则实数的取值范围为 ]2,2[-∈a )N 1(n -at t 2<1a 21n *+∈++n )t A. B.),2[]2,(+∞--∞ ),1[]2,(+∞--∞ C. D.),2[]1,(+∞--∞ ]2,2[-第Ⅱ卷（非选择题，共90分)二、填空题：本大题共4小题，毎小题5分，共20分.13.平面向量与的夹角为，且，则 .0601||),0,3(==b a =+|2|b a 14.若实数满足约束条件,则的最小值是 .y x ,⎪⎩⎪⎨⎧-≥≤+≤34y y x x y y x z +=215.已知椭圆，A 为右顶点，过原点O 的直线交椭圆C 于P,Q 两点，)0>>(12222b a by a x =+线段的中点为M ，线段AP 的中点为M ，直线QM 交轴于N (2，0)，椭圆C 的离心率为,x 32则椭圆C 的标准方程为 . 16. 已知函数，且在定义域内恒成 a xx g ax x x f -=+=1)(,2ln )(0)()(≤x g x f 立，则实数的取值范围为 . a 三、解答题：共70分.解答应写出文宇说明、证明过程或验算步骤，第17〜21题为必考题， 每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.（本小题满分12分）在中，角 A,B,C 的对边分别为a ，b,c.ABC ∆(1)若的面积满足且，求的值. ABC ∆4,7,34222==+=+a c b a c S c b >b (2)若，且为锐角三角形，求周长的范围.3,3π==A a ABC ∆ABC ∆18.(本小题满分12分）如图，已知四边形ABCD 为等腰梯形， BDEF 为正方形，平面BDEF⊥平面ABCD ，AD∥BC，AD =AB= l ，∠ABC = .060(1)求证:平面CDE 丄平面BDEF ；(2)点M 为线段EF 上一动点，求BD 与平面BCM 所成角正弦值的取值范围.19.(本小题满分12分）过点P(0,2)的直线与抛物线C:相交于A ，B 两点. y x 42=(1) 若，且点A 在第一象限，求直线AB 的方程；2= (2)若A 、B 在直线的射影分别为A 1,B 1,线段A 1B 1的中点为Q. 求证 BQ ∥PA.2-=y 20.(本小题满分12分）设函数. 232131)2()(kx kx x e x f x +--=(1)若时,求的单调区间;1=k )(x f (2)若存在三个极值点，且，求的取值范围，并证明： )(x f 321,,x x x 321＜＜x x x k .231＜2x x x +21. (本小题满分12分）“公平正义”是社会主义和谐社会的重要特征，是社会主义法治理念的价值追求.“考试”作为--种公平公正选拔人才的有效途径，正被广泛采用.每次考甙过后，考生最关心的问题是：自已的考试名次是多少？自已能否被录取？能获得什么样的职位？…某单位准备通过考试（按照高分优先录取的原则）录用300名.其中275个高薪职位和2S 个普通职位.实际报名人数为2UOO 名.考汰满分为100分. （一般地，对于一次成功的考试来说，考试成绩应服从正态分布.)考试后考试成绩的部分统计结果如下:考试平均成绩是180分,360分及其以上的高分考生30名.(1)最低录取分数是多少?(结果保留为整数）(2)考生中的成绩为286分，若甲被录取，能否获得高薪职位?若不能被录取，请说明理由. 参考资料：（1）当时，令，则.),(＜2σμN X σμ-=X Y )1,0(＜N Y (2)当时, )1,0(＜N Y85.0)04.1(,863.0)09.1(,900.0)28.1(,985.0)17.2(≈≈≈≤≈≤≈≈Y P Y P Y P Y P 请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.作答时，用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号后的方框涂黑.22.[选修4 一4:坐标系与参数方程](10分）在极坐标系中，已知圆心C (6，)，半径r=3，Q 点在圆C 上运动，以极点为平面直3π角坐标系原点，极轴为轴正半轴建立平面直角坐标系.x (1)求圆C 的参数方程；(2)若P 点在线段OQ 上，且|OP|:|PQ|= 2:3,求动点P 轨迹的极坐标方程.23.[选修4—5,不等式选讲]（10分）设函数.|1||12|)(+-+-=x x x f (1)画出的图象；)(x f y =(2)若不等式对成立，求实数取值范围.|1x |a->)(+x f R x ∈a。
