人教版高中数学必修二《异面直线所成的角》导学案

数学是思维的体操
异面直线在生活中处处可见
《异面直线的自白》
我们是异面直线 不能平行亦无法相交 不曾有过交集 不能仰望同一片蓝天 无论如何努力地伸长臂膀 也无法交握我们的双手
2.1.2 异面直线所成的角(2)
探究一：异面直线所成的角的概念
(1)复习回顾 在平面内,两条直线相交成四
个角, 其中不大于90度的角称为它 们的夹角, 用以刻画两直线的错开 程度, 如图. (2)问题提出
谢谢各位老师到场指导!
D1 A1
C1
B1
思路2
D
A
E
C F B
问题:上面两种办法哪种更优,为什么? 需要注意什 么?
变式2 求异面直线 D1B 与 EF 所成角的大小．
D1 A1
D AE
C1 B1
C F B
D1 A1
C1
思路1
B1 N
M

D
C F
A
E
B
D1
A1 M
C1
思路2
B1
D O
C F
A
E
B
D1 A1
C1 B1
(2)求 AA1 与 BC1所成的角是多少？
D
A
C1 B1
C B
探究二：求异面直线所成的角
例题 在正方体 ABCD A1B1C1D1 中 变式1 若 E、F 分别是 AB 与BC 的中点,求EF 与BC1 所成的
角是多少?
D1
C1
A1
B1
D AE
C F B
D1 A1
D
A
E
C1
B1
思路1
G
C F B
在空间,如图所示, 正方体 ABCD－EFGH中, 异面直线AB 与HF的错开程度可以怎样来刻 画呢?

第二章 点、直线、平面之间的位置关系（复习课）学习目标1. 掌握空间点、直线、平面之间的位置关系；2. 理解并掌握直线、平面平行的判定及其性质；3. 理解并掌握直线、平面垂直的判定及其性质；4. 能准确使用空间几何的数学语言表述几何对象的位置关系，体验公理化思想，熟悉将空间问题转化平面问题以及线、面位置关系转化的思想.40~ P 74，找出疑惑之处） 复习1： 本章知识结构图复习2： 空间平行和垂直关系的转化二、新课导学※ 典型例题例1 如图15-1，AB P α=，CD P α=，,A D 与,B C 分别在平面α的两侧，AC Q α=，BD R α=， 求证：P 、Q 、R 三点共线.图15-1交例2 如图15-2，在三棱锥P-ABC中，AC=BC=2，∠ACB=90°，AP=BP=AB，PC⊥AC.⑴求证：PC⊥AB；⑵求直线BC与平面APB所成角的正弦值；⑶求二面角B-AP-C的正弦值；※动手试试练1. 证明：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内.练2. 如图15-3，平面,,αβγ两两相交，,,a b c 为三条交线，且a ∥b ，证明：a ∥c ，b ∥c .图15-3练 3. 如图15-4，在ABC ∆中，90B =°，AC =7.5，,D E 两点分别在,AB AC 上，使AD :DB =AE :EC =2,DE 3=，现将ABC ∆沿DE 折成直二角角，求： ⑴异面直线AD 与BC 所成角的大小； ⑵二面角A EC B --的正切值.图15-4三、总结提升※ 学习小结1. 点、线、面的位置关系；平行和垂直的证明；角度的求解；2. 各种定理的灵活运用，转化思想的运用.※ 知识拓展欧氏几何 古希腊数学家欧几里得在公元前300年完成了著作《几何原本》，共有十三卷，讲述了三角形全等条件、三角形边和角的大小关系、平行线理论、圆、内接和外切多边形、相似多边形理论、比例和算术的理论、立体几何知识，包含现代中学课程里初等几何的绝大部分内容，因此长期以来，人们都认为《几何原本》是两千多年来传播几何知识的标准教科书.属于《几何原本》内容的几何学，人们把它叫做欧几里得几何学，简称为欧氏几何.学习评价※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差A BCDEF※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：1. 过平行六面体ABCD A B C D ''''-任意两条棱的中点作直线，其中与面DBB D ''平行的直线有（ ）.A.4条B.6条C.8条D.12条 2. 在正方体ABCD A B C D ''''-中，下列结论错误的是（ ）. A.BD ∥平面CB D '' B.AC '⊥平面CB D ''C.AC BD '⊥D.AD 与CB '所成的角为60° 3. 在四棱锥的四个侧面中，直角三角形最多可有（ ）. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 4. 两个不重合的平面有公共点，则公共点的个数是____________.5. 设直线l α⊂，过平面α外一点A 与l 、α都成30°角的直线有且只有________条.课后作业1. 如图15-5，矩形ABCD 和梯形BEFC 所在平面互相垂直，BE ∥CF ，∠BCF=∠CEF=︒90，AD=3，EF=2.⑴求证：AE ∥平面DCF ；⑵当AB 的长为何值时，二面角A EF C --的大小为︒60？图15-52. 如图15-6所示，在正方体中，求证： ⑴1B D ⊥平面11A C B ；⑵1B D 与平面11A C B 的交点H 是11A C B ∆的重心（三角形三条中线的交点）.图15-6。

教学设计（一）新知导学问题1:异面直线所成角的定义是什么?问题2:当直线与平面相交时,它们可能垂直,也可能不垂直。

如果一条直线和一个平面相交但不垂直,这条直线叫做这个平面的斜线,斜线和平面的交点叫做斜足.那么过一点作一个平面的斜线有多少条?问题3:过斜线上斜足外一点向平面引垂线,连结垂足和斜足的直线叫做这条斜线在这个平面上的射影,那么一条斜线在一个平面内的射影有几条?问题4:平面的一条斜线与这个平面总存在一个相对倾斜度,我们设想用一个平面角来反映这个倾斜度,并且这个角的大小由斜线与平面的相对位置关系所确定,那么角的顶点宜选在何处?问题5: OA为平面α的一条斜线, O为斜足, OM为平面α内的任意一条直线,能否用∠AOM 的大小来反映斜线OA与平面α的相对倾斜度?为什么?能不能找到更合适的位置呢?请做出来?说说它的优点。

探究最小角定理的证明过程。

引出斜线与平面所成角的定义。

问题6:我们把斜线和它在平面内的射影所成的角,叫做斜线和平面所成的角（或斜线和平面的夹角）。

特别地,如果一条直线与一个平面垂直,规定这条直线与平面的夹角为90度;如果一条直线与一个平面平行或在平面内时,规定这条直线与平面的夹角为0度。

这样,任何一条直线和一个平面的相对倾斜度都可以用一个角来反映,那么直线与平面所成的角的取值范围是什么?问题7:在实际应用或解题中,怎样去求这个角呢?类比异面直线求角步骤,请设想一个求线面角的步骤?并思考哪一步最关键呢?设计意图：异面直线所成的角是划归为相交直线夹角求解的，而直线与平面所成的角及后面将学习的二面角都是空间角，划归为平面角。

最终划归为相交直线夹角求解的。

通过复习，让学生产生对比联系，为后续学习作好铺垫。

当直线与平面相交而不垂直时指把这条直线称为这平面的斜线，从而提出第二个要复习的问题，设计的要复习问题的逻辑性，学生思考的层次一步步引导（二）新知探究：探究1．概念形成（1）斜线与平面所成的角及范围（2）直线与平面所成的角及范围教师结合课件，为学生展示直线与平面所成角即线面角是由线线角来定义的。

6
6 4
4 ∴异面直线B1C和DD1所成角大小为 arctan . 3
4 B1CC1 arctan 3
3
异面直线
【典型例题】
（2） BC B1C1 ,∠A1C1B1为异面直线BC和 A1C1所成角， 在 Rt B1C1C 中 A1 B1 AB 5, B1C1 BC 4 ,
5 5 tan A1C1 B1 , A1C1 B1 arctan 4 4
答案：D 解析：异面直线概念掌握
异面直线
【典型例题】
D1 C 1 2、在长方体ABCD-A1B1C1D1中， AB=5，BC=4,CC1 =3. A1 B1 (1)B1C和DD1所成角大小. (2)BC和A1C1所成角大小； D C (3)B1C和AD1所成角大小. A B 解：（1） C1C D1 D ∴∠B1CC1为异面直线B1C和DD1所成角， 4 B1C1 BC 4, C1C 3, tan B1CC1 在 Rt B1C1C 中，
5 ∴异面直线BC和A1C1所成角大小为 arctan 4
异面直线
【典型例题】 （3） AD1 BC1 ，设B1C和BC1相交 于O, ∠C1OB1为异面直线B1C和AD1所 成角（或其补角）， 5 在B1OC1中，B1C1 4，B1O C1O , 2 利用余弦定理, 7 7 cos B1OC1 B1OC1 arccos 25 7 25 异面直线B1C和AD1所成角大小为 arccos
25
异面直线
【变形训练】
如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别是 相邻两侧面BCC1B1及CDD1C1的中心.求A1E和B1F 所成的角的大小.
解：作图关键是平移直线，
可平移其中一条直线，也可