陕西省宝鸡中学2020-2021学年高二下学期期中文科数学试题

2020-2021学年宝鸡市金台区高二下学期期中数学试卷(理科)(选修2-2)一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.甲乙丙三明同学中有一个人考了满分，当他们被问到谁考了满分时，甲说：丙没有考满分；乙说：是我考的；丙说：甲说的是真话．事实证明：在这三名同学中，只有一人说的是假话，那么得满分的同学是()A. 甲B. 乙C. 丙D. 不能确定2.如图所示，当n≥2时，将若干点摆成三角形图案，每条边(包括两个端点)有n个点，若第n个图案中总的点数记为a n，则a1+a2+a3+⋯+a10=()A. 126B. 135C. 136D. 1403.用反证法证明命题“已知a，b∈R，如果ab=0，那么a，b中至少有一个为0”时，假设的内容应为()A. a，b都为0B. a，b都不为0C. a，b不都为0D. a不为04.复数z=1−i，则对应的点所在的象限为()A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象跟D. 第四象限5.已知直线y=3x+1与曲线y=ax+lnx相切，则实数a的值为()A. 1B. 2C. 3D. 46.已知实数a，b满足2a2−5lna−b=0，c∈R，则√(a−c)2+(b+c)2的最小值为()A. 12B. √22C. 3√22D. 927.若f(x)在R上可导，f(x)=x2+2f′(2)x+3，则∫f3(x)dx()A. 16B. −18C. −24D. 548.已知数列{a n}中，a1=1，a n+1=1+a n1+a n (n∈N∗)，用数学归纳法证明：an<a n+1，在验证n=1成立时，不等式右边计算所得结果是()A. 12B. 1 C. 32D. 29. 定义在R 上的奇函数y =f(x)满足当x >0时，f(x)=xlnx ，则当x <0时，f′(x)=( )A. −ln(−x)+1B. ln(−x)+1C. −ln(−x)−1D. ln(−x)−110. 设函数f(x)=−x 2+3|x|+x −a 在区间(−3,4)上有四个不同的零点，则实数a 的取值范围是( )A. (−3,4)B. (0,1)C. [0,1)D. (0,1]11. 定义min{a,b}={a,a ≤b b,a >b，设f(x)=min{x 2,1x }，则由函数f(x)的图象与x 轴、直线x =2所围成的封闭图形的面积为( )A. 712B. 512C. 13+ln2D. 16+ln2 12. 若函数f(x)=x 2+ax+1在x =1处取得极值，则a =( )A. −1B. 1C. 2D. 3二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知函数f(x)=ax 2−1的图象在点A(1,f(1))处的切线l 与直线8x −y +2=0平行，若数列{1f(n)}的前n 项和为S n ，则S 2012的值为______ ．14. 设是虚数单位，复数为纯虚数，则实数为____________． 15. 依次有下列等式：，1=12，2+3+4=32，3+4+5+6+7=52按此规律下去，第6个等式为______ ．16. 函数f(x)=(m −4)x 3+10x 在[1,2]上最大值为4，则实数m = ______ ．三、解答题（本大题共4小题，共70.0分）17. .求下列函数的导数(1)y =2xlnx(2)f(x)=2(x2−3x+2)．18. 已知△ABC 的三边长为a 、b 、c ，且其中任意两边长均不相等．若1a ，1b ，1c 成等差数列． (Ⅰ)比较b a 与c b 的大小，并证明你的结论．(Ⅱ)求证：B 不可能是钝角．19. 设S 表示由曲线y =√x ，直线x =1以及x 轴所围成平面图形的面积．(1)画出该平面图形；(2)试估计该平面图形的面积，并写出估计值的误差．20.(本小题共12分)已知函数，(1)若对于定义域内的恒成立，求实数的取值范围；(2)设有两个极值点，且，求证：；(3)设若对任意的，总存在，使不等式成立，求实数的取值范围．参考答案及解析1.答案：A解析：解：假设甲说的是假话，即丙考满分，则乙也是假话，不成立；假设乙说的是假话，即乙没有考满分，又丙没有考满分，故甲考满分；故选：A．利用反证法，即可得出结论．本题考查进行简单的合情推理，考查学生分析解决问题的能力，比较基础．2.答案：C解析：由已知图形可知，当n≥2时，a n=3(n−1)，∴a1+a2+a3+⋯+a10=1+3+6+⋯+27= 1+=136．3.答案：B解析：解：由于反证法是命题的否定的一个运用，故用反证法证明命题时，可以设其否定成立进行推证．命题“a，b∈R，如果ab=0，那么a，b中至少有一个为0”的否定是“a，b都不为0”．故选：B．反设是一种对立性假设，即想证明一个命题成立时，可以证明其否定不成立，由此得出此命题是成立的．本题考查反证法证明命题的方法，反证法是命题的否定的一个重要运用，用反证法证明问题大大拓展了解决证明问题的技巧．4.答案：D解析：试题分析：有复数，得，又有复数与复平面上的点一一对应，所以复数对应的点在第四象限．考点：复数的运算及几何意义．5.答案：D解析：解：设切点为(m,n)，y=ax+lnx的导数为y′=a+1，x=3，可得切线的斜率为k=a+1m且3m+1=am+lnm，解得a=4，m=1，故选：D．设切点为(m,n)，求得函数y=ax+lnx的导数，可得切线的斜率，即有a，m的方程组，解得a即可．本题考查导数的运用：求切线的斜率，考查直线方程的运用，化简运算能力，属于基础题．6.答案：C解析：解：x代换a，y代换b，则x，y满足：2x2−5lnx−y=0，即y=2x2−5lnx(x>0)，以x代换c，可得点(x,−x)，满足y+x=0．因此求√(a−c)2+(b+c)2的最小值即为求曲线y=2x2−5lnx上的点到直线y+x=0的距离的最小值．设直线y+x+m=0与曲线y=2x2−5lnx=f(x)相切于点P(x0,y0)，f′(x)=4x−5x ，则f′(x0)=4x0−5x=−1，解得x0=1，∴切点为P(1,2)．∴点P到直线y+x=0的距离d=√2=3√22．∴则√(a−c)2+(b+c)2的最小值为3√22．故选：C．x代换a，y代换b，则x，y满足：2x2−5lnx−y=0，即y=2x2−5lnx(x>0)，以x代换c，可得点(x,−x)，满足y+x=0.因此求√(a−c)2+(b+c)2的最小值即为求曲线y=2x2−5lnx上的点到直线y+x=0的距离的最小值．利用导数的几何意义，研究曲线与直线y+x=0平行的切线性质即可得出．本题考查了利用导数研究曲线的切线性质、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．7.答案：B解析：解：∵f(x)=x2+2f′(2)x+3，∴f′(x)=2x+2f′(2)，令x=2，解得f′(2)=−4，∴f(x)=x2−8x+3，∴∫(30x2−8x+3)dx=(13x3−4x2+3x)|03=−18，故选：B．。

陕西省宝鸡中学2020-2021学年高二下学期期中理科数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知集合{}{}2230,2A x x x B x x =+-<=≤，则A B =( )A ．[)2,1-B ．()2,1-C ．()3,1-D ．[]22-,2．已知123*1023()n n n n n C C C C n N ++++=∈，则n =（ ）A ．11B ．9C ．10D ．123．点M 的直角坐标是(1,，则点M 的极坐标为 A ．2,3π⎛⎫⎪⎝⎭B ．2,3π⎛⎫-⎪⎝⎭C ．22,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．()2,23k k Z ππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭4．极坐标方程sin cos ρθθ=+表示的曲线是（ ） A ．直线B ．圆C ．椭圆D ．抛物线5．已知a ＞0，﹣1＜b ＜0，那么下列不等式成立的是（ ） A ．a ＜ab ＜ab 2B ．ab ＜a ＜ab 2C ．ab ＜ab 2＜aD ．ab 2＜a ＜ab6．若点(3,)P m 在以点F 为焦点的抛物线24(4x t t y t⎧=⎨=⎩为参数）上，则||PF =（ ） A ．2B ．3C ．4D ．57．若不等式|ax +2|＜6的解集为（﹣1，2），则实数a 等于（ ） A ．8B ．2C ．﹣4D ．﹣88．从装有除颜色外没有区别的3个黄球、3个红球、3个蓝球的袋中摸3个球，设摸出的3个球的颜色种数为随机变量X ，则P (X ＝2)＝( ) A ．128B ．928C ．114D ．9149．若2612312012312(1)x x a a x a x a x a x ++=+++++，则2412a a a ++⋯+=（ ）A ．256B ．364C ．296D ．51310．曲线sin 2cos x y αα=⎧⎨=⎩（α为参数）的焦点坐标为（ ）A．或(0, B．或( C．或(0,D．或(0)11．将三枚骰子各掷一次，设事件A 为“三个点数都不相同”，事件B 为“至少出现一个6点”，则概率(A |B)P 的值为（ ） A ．6091B ．12C ．518D ．9121612．已知点(,)P x y 是曲线2sin cos x y αα=+⎧⎨=⎩（α为参数）上任意一点，则22(5)(4)x y -++的最大值为（ ） A ．6 B ．5 C ．36 D ．25二、填空题13．曲线2()t tt tx e e y e e --⎧=-⎨=+⎩（t 为参数）的离心率为____ 14．在极坐标系中，点A 在圆22cos 440sin ρρθρθ--+=上，点P 的坐标为()1,0，则AP 的最小值为__________．15．若对于任意的x ∈R ，不等式11x x m -++≥恒成立，则实数m 的取值范围为_____16．已知x ，y 之间的一组数据如下表：对于表中数据，现给出如下拟合直线：①y ＝x ＋1；②y ＝2x －1；③y ＝85x －25；④y＝32x ． 则根据最小二乘法的思想求得拟合程度最好的直线是 （填序号）．三、解答题17．已知,a b R +∈，求证：3322a b a b ab +≥+18．新冠状病毒严重威胁着人们的身体健康，我国某医疗机构为了调查新冠状病毒对我国公民的感染程度，选了某小区的100位居民调查结果统计如下：（1）根据已知数据，把表格数据填写完整；（2）能否在犯错误的概率不超过5%的前提下认为感染新冠状病与不同年龄有关？ （3）已知在被调查的年龄大于50岁的感染者中有5名女性，其中2位是女教师，现从这5名女性中随机抽取3人，求至多有1位教师的概率．附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，n a b c d =+++.19．如图，A 地到火车站共有两条路径，据统计两条路径所用的时间互不影响，所用时间在各时间段内的的频率如下表：现甲、乙两人分别有40分钟和50分钟时间用于赶往火车站.（1）为了尽最大可能在各自允许的时间内赶到火车站，甲和乙应如何选择各自的路径？ （2）用X 表示甲、乙两人中在允许的时间内赶到火车站的人数，针对（1）的选择方案，求X 的分布列和数学期望.20．将圆224x y +=上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的12，得曲线C ． （1）求出C 的参数方程;（2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设P 是曲线C 上的一个动点，求点P到直线:20l x y +-=距离的最小值．21．已知直线5:12x l y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的坐标方程为2cos ρθ=． （1）将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）设点M的直角坐标为(，直线l 与曲线C 的交点为A 、B ，求AB 的值． 22．已知函数()()2f x x m x m R =--+∈，不等式()20f x -≥的解集为(],4-∞． （1）求m 的值；（2）若存在正实数0a >，0b >，且126a b m +=，使不等式21123x x a b-+-≥+成立，求实数x 的取值范围．参考答案1．A 【解析】{}{}{}2|230|31,|22A x x x x x B x x =+-<=-<<=-≤≤{}|21A B x x ∴⋂=-≤<，选D2．C 【分析】将该系数和补充0n C ，即可知为二项式系数和，由二项展开式二项式系数和性质即可求得n 的值. 【详解】已知123*1023()n n n n n C C C C n N ++++=∈，则0123110231024n n n n n n C C C C C +++++=+=，由二项式系数和性质可知，01232nn n n n n n C C C C C +++++=，所以10210242n ==， 所以10n =， 故选：C. 【点睛】本题考查了二项式系数和性质的简单应用，属于基础题. 3．B 【解析】 【分析】利用直角坐标和极坐标的互化公式进行求解. 【详解】由2224x y ρ=+=可得2ρ=±；tan y x θ==结合点所在的象限，可得23k θπ=π-，对照选项可得B 正确. 【点睛】本题主要考查直角坐标和极坐标的相互转化，直角坐标化为极坐标时注意角的多样性. 4．B【分析】将极坐标方程转化为直角坐标方程，再根据直角坐标方程判断曲线的形状即可. 【详解】极坐标方程sin cos ρθθ=+，两边同时乘以ρ，可得2sin cos ρρθρθ=+，因为222,cos ,sin x y x y ρρθρθ+===，代入上式可得22x y x y +=+，化简变形可得22111442x x y y -++-+=，即22111222x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以曲线表示的图形为圆， 故选：B. 【点睛】本题考查了极坐标与直角坐标方程的转化，曲线形状的判断，属于基础题. 5．C 【解析】当11,2a b ==-时,选项A 、B 、D 都不成立，所以可排除选项A 、B 、D ，故选C.6．C 【解析】试题分析：把抛物线的参数方程24{4x t y t==（t 为参数）化成普通方程为24y x =，因为点(3,)P m 在以点F 为焦点的抛物线上，由抛物线的定义可得314,2P pPF x =+=+=故选C.考点：抛物线的定义域参数方程的应用.【方法点晴】本题通过抛物线的参数方程考查了其定义得应用，属于基础题.解决圆锥曲线参数方程的应用问题往往通过消去参数把参数方程化为普通方程，转化为普通方程后，问题就容易理解了.对于抛物线上的点到焦点的距离问题，往往优先考虑抛物线的定义，根据焦半径公式即可求得PF 的值，从而避免解方程组，提高解题速度和准确率.7．C 【分析】利用不等式的解集和对应方程的根的关系来求解. 【详解】因为26ax +<的解集为(1,2)-，所以1x =-和2x =是方程26ax +=的根， 所以解得4a =-. 故选：C. 【点睛】本题主要考查绝对值不等式的解法，明确不等式的解集和对应方程的关系是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养. 8．D 【详解】X=2，即摸出的3个球有2种颜色，其中一种颜色的球有2个，另一种颜色的球有1个，故()221333399214A C C P X C ===，故选D. 9．B 【分析】利用赋值法，分别令0,1,1x x x ===-代入求得部分系数及系数和，即可求解. 【详解】2612312012312(1)x x a a x a x a x a x ++=+++++，令0x =，代入可得01a =，令1x =，代入得61231231a a a a =+++++，即61231231,(1)a a a a -=++++，令1x =-，代入得123111211a a a a a =-+-+-+，即12311120,(2)a a a a a =-+-+-+，两式相加可得()62412312a a a -=+++，则62412313642a a a -++⋯+==，故选：B. 【点睛】本题考查了赋值法求二项式部分系数和的简单应用，属于基础题. 10．A 【分析】消去参数α，将参数化为直角坐标方程，根据椭圆的简单几何性质即可求解. 【详解】由曲线22sin 12cos 4x y x y αα=⎧⇒+=⎨=⎩，所以24a =，21b =，2223c a b =-=，即c =焦点在y 轴上，所以椭圆的焦点坐标为或(0,. 故选：A 【点睛】本题考查了参数方程化为直角坐标方程、椭圆的简单几何性质，属于基础题. 11．A 【解析】考点：条件概率与独立事件．分析：本题要求条件概率，根据要求的结果等于P （AB ）÷P （B ），需要先求出AB 同时发生的概率，除以B 发生的概率，根据等可能事件的概率公式做出要用的概率．代入算式得到结果．解：∵P （A|B ）=P （AB ）÷P （B ）， P （AB ）=3606=60216P （B ）=1-P （B ）=1-3356=1-125216=91216∴P （A/B ）=P （AB ）÷P （B ）=6021691216=6091故选A ． 12．C 【分析】消去参数α，将参数方程化为普通方程：()2221x y -+=，问题转化为圆心()2,0到()5,4-的距离与圆的半径之和的平方即可求解. 【详解】由曲线()222sin 21cos x x y y αα=+⎧⇒-+=⎨=⎩， 圆心为()2,0，半径1r =，()2,0，()5,4-5=，22(5)(4)x y -++表示圆上的点到定点()5,4-距离最大值的平方，故22(5)(4)x y -++的最大值为()25136+=.故选：C 【点睛】本题考查了参数方程化为普通方程、两点间的距离公式，属于基础题. 13 【分析】消去参数t ，将参数方程化为双曲线的普通方程，由双曲线离心率ce a=即可求解. 【详解】()()222222212()224t t ttt t t tx e e x e e y y e e e e ----⎧=+-⎧=-⎪⇒⎨⎨=+=++⎩⎪⎩， ()()21-可得2244y x -=，即221164y x -=，由216a =，24b =，则22220c a b =+=，所以4a =，c =所以c e a ===【点睛】本题考查了参数方程化为普通方程、双曲线的简单几何性质，属于基础题. 14．1 【解析】试题分析：将圆的极坐标方程化为普通方程为222440x y x y +--+=，整理为()()22121x y -+-=，圆心为()1,2C ，点P 是圆外一点，所以AP 的最小值就是211PC r -=-=.【考点】极坐标与直角坐标方程的互化，点与圆的位置关系【名师点睛】（1）熟练运用互化公式：222,sin ,cos x y y x ρρθρθ=+==将极坐标化为直角坐标；（2）直角坐标方程与极坐标方程的互化，关键要掌握好互化公式，研究极坐标系下图形的性质时，可转化为在直角坐标系的情境下进行． 15．(],2-∞ 【分析】由题意结合绝对值三角不等式可得11x x -++的最小值为2，再利用恒成立问题的解决方法即可得解. 【详解】由题意结合绝对值三角不等式可得()11112x x x x -++≥--+=， 当11x -≤≤时，等号成立，又因为对于任意的x ∈R ，不等式11x x m -++≥恒成立，所以2m ≤， 所以实数m 的取值范围为(],2-∞. 故答案为：(],2-∞. 【点睛】本题考查了绝对值三角不等式的应用，考查了恒成立问题的解决，属于基础题. 16．③ 【解析】试题分析：本题为选择填空题，可用排除法，根据最小二乘法的思想得变量x 与y 间的线性回归直线方程的一个特点是：此直线必过点，故只需计算，并代入选项即可得正确结果．．由数据可知．．，那么必须过点（4，6），经验证可知，选项①y ＝x ＋1；②y ＝2x －1；③y ＝85x －25；④y ＝32x ．，中满足该点的方程为③，故答案为③．考点：本题考察了最小二乘法的思想，线性回归方程的特点，理解最小二乘法，记住回归直线的性质是解决本题的关键17．见解析. 【解析】试题分析：不等式的证明可采用分析法和综合法，本题中将要证明的不等式转化为只需证明33220a b a b ab +-+≥（）即可试题解析：3322a b a b ab +-+=（）3232a a b b ab -+-（）2222)(()()a a b b b a a b a b =-+-=--（）2()()a b a b =-+,a b R +∈,2()0,0a b a b ∴-≥+>2()()0a b a b ∴-+≥ 3322a b a b ab ∴+≥+．考点：不等式证明18．（1）见解析；（2）能在犯错误的概率不超过5%的前提下认为感染新冠状病与不同年龄有关；（3）710. 【分析】（1）根据所选居民总人数为100可完善22⨯列联表； （2）计算出2K 的观测值，结合临界值表可得出结论；（3）计算出所有的基本事件数，并求出事件“所抽取的3人中至多有1名教师”所包含的基本事件数，利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率. 【详解】（1）由于所选居民总人数为100，22⨯列联表如下表所示：（2） ()()()()()()222100200600 4.762 3.84180203070n ad bc K a b c d a c b d -⨯-==≈>++++⨯⨯⨯，所以能在犯错误的概率不超过5%的前提下认为感染新冠状病与不同年龄有关； （3）从5人任意抽3人的所有等可能事件共3510C =个， 其中至多1位教师有3123237C C C +=个基本事件，所以所求概率是710． 【点睛】本题考查独立性检验基本思想的应用，同时也考查了古典概型概率的计算，考查组合计数原理的应用，考查计算能力，属于中等题.19．（1）甲应选择路径1L ，乙应选择路径2L ；（2）分布列见解析，() 1.5E X =. 【分析】（1）用i A 表示事件“甲选择路径i L 时，40分钟内赶到火车站”，i B 表示事件“乙选择路径i L 时，50分钟内赶到火车站”，1i =、2，计算出()1P A 、()2P A 、()1P B 、()2P B ，并比较()1P A 、()2P A 的大小，()1P B 、()2P B 的大小，由此可得出结论；（2）用A 、B 分别表示针对（1）的选择方案，甲，乙在各自的时间内搞到火车站，由（1）知()P A 0.6=，()0.9P B =，可知随机变量X 的可能取值有0、1、2，计算出随机变量X 在不同取值下的概率，可得出随机变量X 的分布列，进而可求得X 的数学期望.【详解】（1）用i A 表示事件“甲选择路径i L 时，40分钟内赶到火车站”，i B 表示事件“乙选择路径i L 时，50分钟内赶到火车站”，用频率估计相应的概率，则有：()1P A 0.10.20.30.6=++=，()20.10.40.5P A =+=，()()12P A P A >，所以甲应选择路径1L ；()1P B 0.10.20.30.20.8=+++=，()20.10.40.40.9P B =++=， ()()12P B P B <，所以乙应选择路径2L ；（2）用A 、B 分别表示针对（1）的选择方案，甲，乙在各自的时间内搞到火车站， 由（1）知()P A 0.6=，()0.9P B =，且A 、B 相互独立. 由题意可知，随机变量X 的取值是0、1、2，()()00.1040.04P X P AB ===⨯=，()()10.40.90.60.10.42P X P AB AB ==+=⨯+⨯=，()()20.90.60.54P X P AB ===⨯=.所以X 的分布列如下表所示：所以，随机变量X 的数学期望为()00.0410.4220.54 1.5E X =⨯+⨯+⨯=. 【点睛】本题考查利用频率来计算概率，同时也考查了随机变量分布列及其数学期望的求解，考查计算能力，属于中等题.20．（1）2cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）；（2. 【分析】（1）写出圆224x y +=的参数方程，利用伸缩变换可得出曲线C 的参数方程；（2）写出曲线C 的普通方程，先判断出直线l 与曲线C 相离，设点()2cos ,sin P t t ，利用点到直线的距离公式，结合辅助角公式以及正弦函数的有界性可求得点P 到直线l 距离的最小值. 【详解】（1）圆224x y +=的参数方程为2cos 2sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），将圆224x y +=上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的12，得到曲线C ， 所以曲线C 的参数方程是2cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）；（2）因为C 的普通方程是2214x y +=．与直线:20l x y +-=联立解得2470y -+=．因为(24470∆=-⨯⨯<，方程无解，所以直线l 与曲线C 相离.则点()2cos ,sin P t t 到直线l距离为d ==t π⎛⎫+ ⎪=，1sin 14t π⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭，所以，当sin 14t π⎛⎫+= ⎪⎝⎭时，d取最小值，即min 5d ==. 【点睛】本题考查利用伸缩变换求曲线的参数方程，同时也考查了利用椭圆的参数方程求点到直线距离的最值，考查计算能力，属于中等题. 21．（1）()2211x y -+=；（2【分析】（1）在曲线C 的极坐标方程两边同时乘以ρ，再由222cos x y x ρρθ⎧=+⎨=⎩可将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）将直线l 的参数方程与曲线C 的普通方程联立，列出韦达定理，利用弦长公式以及韦达定理可求得AB 的值. 【详解】（1）在曲线C 的极坐标方程两边同时乘以ρ，得22cos ρρθ=，将222cos x y xρρθ⎧=+⎨=⎩代入可得222x y x +=， 故曲线C 的直角坐标方程为()2211x y -+=；（2）直线5:12x l y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），显然M 在直线l 上， 把l 的参数方程代入()2211x y -+=，整理可得2180t ++=，(241830∆=-⨯=>，设A 、B 对应的参数分别为1t 、2t，由韦达定理得12t t +=-1218t t =， 故12AB t t =-==【点睛】本题考查曲线的极坐标方程与直角坐标方程之间的转化，同时也考查了利用直线的参数方程求直线与圆相交所得弦长，考查t 的几何意义的应用，考查计算能力，属于基础题.22．（1）6m =；（2）[)4,4,3⎛⎤-∞-+∞ ⎥⎝⎦.【分析】（1）由题意可知，不等式2x m x --≥的解集为(],4-∞，然后将不等式两边平方并整理得()()2222m x m +≤+，进而可求得实数m 的值；（2）由（1）可得21a b +=，将代数式2+a b 与21a b+相乘，展开后利用基本不等式可求得21a b+的最小值为8，然后利用零点分段法解不等式1238x x -+-≥，即可解得实数x 的取值范围. 【详解】 （1）()2f x x m x =--+，()220f x x m x ∴-=---≥的解集为(],4-∞，2x m x --≥的解集为(],4-∞， 不等式2x m x --≥两边平方得()()222222x m x m x -+++≥，即()()2222m x m +≤+，显然m +2>0,242m +∴=，解得6m =； （2）由（1）得6m =，21a b ∴+=．又0a >，0b >， ()212142448b a a b a b a b a b ⎛⎫∴+=++=++≥= ⎪⎝⎭，当且仅当2a b =时取等号，所以21a b+的最小值为8. 由题意可知即解不等式1238x x -+-≥.①当1x ≤时，则132438x x x -+-=-≥，解得43x ≤-，此时43x ≤-； ②当312x <<时，则13228x x x -+-=-≥，解得6x ≤-，此时x ∈∅； ③当32x ≥时，则123348x x x -+-=-≥，解得4x ≥，此时4x ≥. 综上，实数x 的取值范围是[)4,4,3⎛⎤-∞-+∞ ⎥⎝⎦.【点睛】本题考查利用含绝对值不等式的解集求参数，同时也考查了绝对值不等式恒成立问题的求解，考查了利用零点分段法求解绝对值不等式以及基本不等式的应用，考查计算能力，属于中等题.。

2020-2021学年陕西省宝鸡市金台区高二（下）期末数学试卷（理科）一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.商店里有15种上衣，18种裤子，某人要买一件上衣或一条裤子有M种办法，若要买上衣，裤子各一件有N种办法，则M，N分别为()A. 270，270B. 270，33C. 33，270D. 33，332.从黄瓜、白菜、油菜、扁豆4种蔬菜品种中选出3种，分别种在不同土质的三块土地上，其中黄瓜必须种植.不同的种植方法共有()A. 24种B. 18种C. 12种D. 6种3.计算C33+C43+⋯+C93得到结果为()A. 210B. 165C. 126D. 1204.某批产品中有一等品100个，二等品80个，三等品30个．从中任取10个进行检测，以下说法错误的是()A. 全部抽到一等品的结果共有C10010种B. 恰好抽到5个一等品的结果共有C1005种C. 抽不到一等品的结果共有C11010种D. 至少抽到一个一等品的结果有C21010−C11010种5.(x−2y)6展开式中的第4项为()A. 60x4y2B. 240x4y2C. 160x3y3D. −160x3y36.用X表示投掷一枚均匀的骰子所得的点数，利用X的分布列求下列事件的概率，其中错误的是()A. 掷出的点数是偶数的概率为12B. 掷出的点数超过1的概率为56C. 掷出的点数大于3而不大于5的概率为12D. X的期望为727.将4名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球3个项目进行培训，每名志愿者只分到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有()A. 48种B. 36种C. 24种D. 12种8. 已知P(B|A)=13，P(A)=25，则P(A ∩B)=( )A. 56B. 910C. 215D. 1159. 在研究易怒的人是否更有可能患心脏病的问题时，通过收集数据，整理分析数据得到“患心脏病与易怒有关”的结论，并且在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为这个结论是成立的，下列说法正确的是( )A. 100个心脏病患者中至少有95人易怒B. 1个人患心脏病，则这个人有95%的概率易怒C. 100个心脏病患者中一定有易怒的人D. 100个心脏病患者中可能一个易怒的人都没有10. 对两个变量x ，y 进行线性相关检验，得线性相关系数r 1=0.7859，对两个变量u ，v 进行线性相关检验，得线性相关系数r 2=−0.9568，则下列判断正确的是( )A. 变量x 与y 正相关，变量u 与v 负相关，变量x 与y 的线性相关性较强B. 变量x 与y 负相关，变量u 与v 正相关，变量x 与y 的线性相关性较强C. 变量x 与y 正相关，变量u 与v 负相关，变量u 与v 的线性相关性较强D. 变量x 与y 负相关，变量u 与v 正相关，变量u 与v 的线性相关性较强11. 设随机变量X ～N(μ,7)，若P(X <2)=P(X >4)，则( )A. μ=3，DX =7B. μ=6,DX =√7C. μ=3,DX =√7D. μ=6，DX =712. 如图，节日花坛中有5个区域，现有四种不同颜色的花卉可供选择，要求相同颜色的花不能相邻栽种，则符合条件的种植方案有( )种A. 36B. 48C. 54D. 72二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 在(√x −12x )5的展开式中，含x 项的系数为______．14. 如表提供了某厂节能降耗技术改造后生产A 产品过程中记录的产量x(吨)与相应的生产能耗y(吨)的几组对应数据，根据表中提供的数据，求出y 关于x 的线性回归方程为y ̂=0.7x +0.35，那么表中t 的值为______，如果要生产8吨A 产品，预测相对应的生产能耗为______．15.2名医生和4名护士被分配到2所学校为学生体检，每校分配1名医生和2名护士，不同的分配方法共有______．16.小明同学从家到学校要经过6个交通岗，假设他在各交通岗遇到红灯是相互独立的，，则小明同学在上学途中遇到的红灯数X的期望为______，方差为并且概率都是13______．三、解答题（本大题共4小题，共70.0分）17.10个计算机芯片中含2个不合格的芯片，现随机从中抽出3个芯片作为样本，用X表示样本中不合格芯片的个数．(1)求样本中至少含有一个不合格芯片的概率．(2)计算样本中含不合格芯片数的分布列．(3)求X的期望与方差．18.某科研机构为了研究喝酒与糖尿病是否有关，现对该市30名男性成人进行了问卷调查，并得到了如下列联表，规定“平均每天喝100mL以上的”为常喝．已知在．所有的30人中随机抽取1人，是糖尿病的概率为415(1)请将上表补充完整；(2)是否有99.5%的把握认为糖尿病与喝酒有关？请说明理由．(3)已知常喝酒且有糖尿病的人中恰有两名老年人，其余为中年人，现从常喝酒且有糖尿病的人中随机抽取2人，求恰好抽到一名老年人和一名中年人的概率．，n=a+b+c+d．参考公式及数据：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)19.某厂研制了一种生产高精产品的设备，为检验新设备生产产品的某项指标有无提高，用一台旧设备和一台新设备各生产了10件产品，得到各件产品该项指标数据如下：旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为x和y，样本方差分别记为s12和s22．(1)求x−，y−，s12，s22；(2)判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高(如果y−−x−≥，则认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高，否则不2√s12+s2210认为有显著提高)．20.小明和小林做游戏，每人连续投掷一枚均匀的硬币5次，谁投掷出的结果的概率小，谁就获胜，概率相等则为平局．(1)小明连续5次都是正面朝上，小林前3次是反面朝上，后2次是正面朝上，两人都认为自己赢了，你认为小明和小林谁赢了(通过计算两人的概率说明)；(2)如果用X表示小明5次投掷中正面朝上的次数，求X的分布列及期望；(3)已知在某局中小林先投，5次中出现2次正面朝上，问小明赢的概率有多大？答案和解析1.【答案】C【解析】解：根据题意，商店里有15种上衣，18种裤子，若某人要买一件上衣或一条裤子，买一件上衣有15种方法，买一条裤子有18种方法，则有18+15=33种方法，即M=33；若某人要买上衣，裤子各一件，买一件上衣有15种方法，买一条裤子有18种方法，则有18×15=270种方法，即M=270；故选：C．根据题意，由分类计数原理求出M的值，由分步计数原理求出N的值，即可得答案．本题考查分步、分类计数原理的应用，注意两者的区别，属于基础题．2.【答案】B【解析】【分析】本题考查排列、组合的综合运用，要注意排列、组合的不同意义，进而分析求解．根据题意，由于黄瓜必选，故需要再选2种蔬菜，其方法数是C32种，进而由排列的意义，进行全排列，计算可得答案．【解答】解：∵黄瓜必选，故再选2种蔬菜的方法数是C32种，在不同土质的三块土地上种植的方法是A33，∴种法共有C32A33=18种，故选B．3.【答案】A【解析】解：C33+C43+⋯+C93=C44+C43+⋯+C93=C44+C43+⋯+C93=C54+C53+⋯+C93=⋅⋅⋅=C94+C93=C 104=10×9×8×74×3×2×1=210．故选：A ．先将所求式子进行变形，然后利用组合数的性质进行运算即可．本题考查了组合数的运算，解题的关键是掌握组合数的运算性质，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于基础题．4.【答案】B【解析】解：根据题意，某批产品中有一等品100个，二等品80个，三等品30个．依次分析选项：对于A ，全部抽到一等品，在100个一等品中选10个即可，有C 10010种抽取方法，A 正确； 对于B ，恰好抽到5个一等品，还有5件是二等品或三等品，有C 1005C 1105种抽取方法，B 错误；对于C ，抽不到一等品，即在二等品和三等品中选10个即可，有C 1105种抽取方法，C 正确；对于D ，全部的抽取方法有C 21010种，其中没有一等品的抽取方法有C 1105种，则至少抽到一个一等品的结果有C 21010−C 11010种，D 正确；故选：B ．根据题意，依次分析选项中计算是否正确，综合可得答案． 本题考查排列组合的应用，注意间接法的使用，属于基础题．5.【答案】D【解析】解：展开式的第4项为T 4=C 63 x 3(−2y)3=−160x 3y 3，故选：D ．根据二项式定理直接进行求解即可．本题主要考查二项式定理的应用，利用定义法是解决本题的关键，是基础题．6.【答案】C【解析】解：由题意可得，X 的分布列：掷出的点数是偶数的概率P =P(X =2)+P(X =4)+P(X =6)=3×16=12，故A 选项正确，掷出的点数超过1的概率P =1−P(X =1)=1−16=56，故B 选项正确，掷出的点数大于3而不大于5的概率P =P(X =4)+P(X =5)=2×16=13，故C 选项错误，E(X)=(1+2+3+4+5+6)×16=72，故D 选项正确．故选：C ．根据已知条件，结合古典概型公式和期望公式，即可求解． 本题主要考查古典概型公式和期望公式，属于基础题．7.【答案】B【解析】解：先将4人分为3组，其中一组有2人，另外两组各1人，共有C 42=6种分法，然后将3个项目全排列，共有A 33=6种排法，根据分布乘法计数原理可得不同的分配方案共有C 42⋅A 33=36种，故选：B ．先将4人分成3组，其中一组有2人，然后将3个项目进行排列，即可完成这个事件，进而可得到结果．本题考查排列组合，涉及分布乘法计数原理，考查学生的逻辑推理和运算求解的能力，属于基础题．8.【答案】C【解析】解：∵P(B|A)=13，P(A)=25， ∴P(A ∩B)=P(A)P(B|A)=25×13=215． 故选：C ．利用条件概率计算公式直接求解．本题考查概率的运算，考查条件概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．9.【答案】D【解析】解：0.05代表的是结论“患心脏病与易怒有关”出错的概率，而不是患心脏病群体中不易怒的比例，所以100个心脏病患者中可能一个易怒的人都没有．故选：D．0.05代表的是结论“患心脏病与易怒有关”出错的概率，与患心脏病群体中不易怒的比例无关．本题考查独立性检验中临界值的含义，属于基础题．10.【答案】C【解析】解：由线性相关系数r1=0.7859>0知x与y正相关，由线性相关系数r2=−0.9568<0知u，v负相关，又|r1|<|r2|，∴变量u与v的线性相关性比x与y的线性相关性强．故选：C．根据线性相关系数的正负判断两变量正负相关性，根据线性相关系数的绝对值大小判断两变量相关性的强弱．本题考查了判断两个变量线性相关性的判断问题，是基础题．11.【答案】A【解析】解：∵随机变量X～N(μ,7)，若P(X<2)=P(X>4)，则μ=3，DX=7，故选：A．利用正态分布列的性质即可得出．本题考查了正态分布列的性质，是基本知识的考查．12.【答案】D【解析】解：由题意，如图，假设5个区域为分别为1、2、3、4、5， 分2种情况讨论：①当选用3种颜色花卉的时，2、4同色且3、5同色，共有涂色方法C 43⋅A 33=24种，②当4种不同颜色的花卉全选时，即2、4或3、5用同一种颜色，共有C 21⋅A 44=48种，则不同的种植方法共有24+48=72种； 故选：D ．根据题意，按选出花的颜色的数目分2种情况讨论，求出每种情况下种植方案数目，由加法原理计算可得答案．本题考查排列组合的应用，涉及分类计数原理的应用，属于基础题．13.【答案】−52【解析】解：∵(√x −12x )5的展开式中，通项公式为T r+1=C 5r ⋅(−12)r ⋅x5−3r 2，令5−3r 2=1，求得r =1，可得展开式中含x 项的系数5×(−12)=−52，故答案为：−52．在二项展开式的通项公式中，令x 的幂指数等于1，求出r 的值，即可求得展开式中含x 项的系数．本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，属于基础题．14.【答案】3 5.95吨【解析】解：由题意可知，x −=3+4+5+64=4.5，y −=2.5+t+4+4.54=11+t 4，则y ̂=0.7x +0.35经过点(4.5,11+t 4)，所以11+t 4=0.7×4.5+0.35，解得t =3，当x=8时，ŷ=0.7×8+0.35=5.95，所以如果要生产8吨A产品，预测相对应的生产能耗为5.95吨．故答案为：3；5.95吨．先求出样本中心，再利用线性回归方程必过样本中心，即可得到t的值，从而得到线性回归方程，再将x=8代入求解即可．本题考查了线性回归方程的求解与应用，要掌握线性回归方程必过样本中心这一知识点，考查了逻辑推理能力与运算能力，属于基础题．15.【答案】12种【解析】解：从2位医生中选一人，从4位护士中选2人，分到第一所学校，有C21C42=12种方法，剩下的一位医生和剩下的2位护士只能分到第二所学校，只有一种方法，再根据分步计数原理得不同的分配方法共有C21C42×1=12种．故答案为：12种．从2位医生中选一人、从4位护士中选2人，分到第一所学校，有C21C42=12种方法，剩下的人只能分到第二所学校，只有一种方法，再根据分步计数原理得到答案．本题考查排列、组合以及简单计数原理的应用，属于基础题．16.【答案】2 43【解析】解：由题意可得，X～B(6,13)，∴E(X)=6×13=2，D(X)=6×13×23=43．故答案为：2，43．根据已知条件，结合二项分布的期望和公差公式，即可求解．本题主要考查二项分布的期望和公差公式，需要学生熟练掌握公式，属于基础题．17.【答案】解：(1)由题意可得，样本中至少含有一个不合格芯片的概率P=P(X=1)+ P(X=2)，∵P(X=1)=C21C82C103=715，P(X=2)=C22C81C103=115，∴P=P(X=1)+P(X=2)=715+115=815．(2)由题意可知，X的所有可能的取值为0，1，2，P(X=0)=C83C103=715，P(X=1)=C21C82C103=715，P(X=2)=C22C81C103=115，故X的分布列为：(3)E(X)=0×715+1×715+2×115=35，D(X)=(0−35)2×715+(1−35)2×715+(2−35)2×115=7825．【解析】(1)由题意可得，样本中至少含有一个不合格芯片的概率P=P(X=1)+P(X= 2)，分别求出二者的概率，并求和，即可求解．(2)由题意可知，X的所有可能的取值为0，1，2，分布求出对应的概率，即可求解．(3)根据分布列，结合期望和方差公式，即可求解．本题主要考查了离散型随机变量及其分布列，需要学生熟练掌握期望与方差公式，属于基础题．18.【答案】解：(1)由题意，30×415=8，所以糖尿病患者共有8名，其中常喝酒的有8−2=6名，则列联表如下：(2)由表中的数据可得，K2=30×(6×18−2×4)210×20×8×22≈8.523>7.879，所以有99.5%的把握认为糖尿病与喝酒有关；(3)由题意可知，常喝酒且有糖尿病的6人中有两名老年人，四名中年人，从中抽取2人，则共有C62=15种，其中一名老年人一名中年人共有C21C41=8种，故所求概率为815．【解析】(1)由题意求出表中的数据，列出表格即可；(2)由列联表中的数据，计算K2的值，对照临界表中的数据，比较即可得到答案．(3)求出总的基本事件数和符合条件的基本事件数，利用古典概型的概率公式求解即可．本题考查了列联表的应用以及独立性检验的应用，古典概型的概率公式的应用，解题的关键是由公式求出卡方的值，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题．19.【答案】解：(1)由题中的数据可得，x−=110×(9.8+10.3+10.0+10.2+9.9+9.8+10.0+10.1+10.2+9.7)=10，y−=110×(10.1+10.4+10.1+10.0+10.1+10.3+10.6+10.5+10.4+10.5=10.3,s12=110×[(9.8−10)2+(10.3−10)2+(10−10)2+(10.2−10)2+(9.9−10)2 +(9.8−10)2+(10−10)2+(10.1−10)2+(10.2−10)2+(9.7−10)2]=0.036；s22=110×[(10.1−10.3)2+(10.4−10.3)2+(10.1−10.3)2+(10.0−10.3)2+(10.1−10.3)2+(10.3−10.3)2+(10.6−10.3)2+(10.5−10.3)2+(10.4−10.3)2+(10.5−10.3)2]=0.04；(2)y−−x−=10.3−10=0.3，2√s12+s2210=2√0.036+0.0410=2√0.0076≈0.174，所以y−−x−>2√s12+s2210，故新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高．【解析】本题考查了样本特征数的计算，解题的关键是掌握平均数与方差的计算公式，考查了运算能力，属于基础题．(1)利用平均数和方差的计算公式进行计算即可；(2)比较y−−x−与2√s12+s2210的大小，即可判断得到答案．20.【答案】解：(1)∵掷一枚均匀硬币正反面出现的概率均为12，∴P 小明=12×12×12×12×12=132，P 小林=12×12×12×12×12=132， ∴两人为平局．(2)由题意可得，X 的所有可能取值为0，1，2，3，4，5，P(X =k)=C 5k(12)k (12)5−k ，k =0，1，2，3，4，5，E(X)=5×12=52．(3)由(2)知，小林投掷5次出现2次正面朝上的概率为516， 故小明要赢，必须在投掷5次中出现0，1，4，5次正面朝上， 即小明赢得概率P =132+532+532+132=38．【解析】(1)分别计算两者出现的概率，通过比较大小，即可求解．(2)由题意可得，X 的所有可能取值为0，1，2，3，4，5，分别求出对应的概率，即可得X 的分布列，并结合期望公式，即可求解．(3)由(2)知，小林投掷5次出现2次正面朝上的概率为516，故小明要赢，必须在投掷5次中出现0，1，4，5次正面朝上，将对应的概率求和，即可求解．本题主要考查了离散型随机变量及其分布列，需要学生熟练掌握期望公式，属于基础题．。

陕西省宝鸡市2020版数学高二下学期理数期中考试试卷D卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共10题；共20分)1. （2分）(2017·黄陵模拟) 复数等于（）A . iB . ﹣iC .D .2. （2分）已知集合，则下列关系式中，正确的是（）A .B .C .D .3. （2分）已知函数，若，则实数的取值范围是（）A .B .C .D .4. （2分） (2020高二下·吉林期中) 用数学归纳法证明对于的自然数都成立时，证明中的起始值最小应取（）A . 1B . 3C . 5D . 75. （2分） (2020高二下·吉林期中) 曲线在处的切线方程是（）A .B .C .D .6. （2分） (2020高二下·吉林期中) 三角形外角和为360°，四边形外角和为360°，五边形外角和为360°．由此推断平面多边形外角和均为360°．此推理属于（）A . 演绎推理B . 归纳推理C . 类比推理D . 以上都不对7. （2分） (2020高二下·吉林期中) 的单调递增区间为（）A .B .C .D .8. （2分） (2020高二下·吉林期中) 的最大值为（）A . eB .C .D .9. （2分） (2020高二下·吉林期中) 设为任意正数．则这三个数（）A . 都大于2B . 都小于2C . 至少有一个不小于2D . 至少有一个不大于210. （2分） (2020高二下·吉林期中) （）A . 4B . 1C .D .二、填空题 (共5题；共5分)11. （1分） (2017高三上·宜宾期中) 已知函数f（x）= +2x+sinx（x∈R），若函数y=f（x2+2）+f（﹣2x﹣m）只有一个零点，则函数g（x）=mx+ （x＞1）的最小值是________．12. （1分）设函数f（x）=x（ex+ae﹣x），x∈R，是偶函数，则实数a=________．13. （1分） (2020高二下·北京期中) 已知数列，，，则，分别为________，猜想 ________．14. （1分） (2020高二下·吉林期中) 在空间中直线AB和CD是异面直线，则直线AC和BD的位置关系为________．15. （1分） (2020高二下·吉林期中) 在等差数列中，若正整数满足，则．类比这一结论写出在等比数列的一个相应结论：若，则________．三、解答题 (共5题；共40分)16. （5分） (2019高二下·梅县期末) 在数列中，．（1）求的值；（2）猜想的通项公式，并用数学归纳法证明．17. （5分）在数列中，已知（1）求，并由此猜想数列的通项公式的表达式。