陕西省宝鸡中学2019-2020学年高三上学期第一次模拟数学(文)试题

201912陕西省宝鸡市高三一检（文）(数学)-试题和答案题号一二三总分得分一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={−2,1，0，3}，集合B={−3,0，1，2，3}，则A∩B=()A. {0,1，3}B. {0,3}C. {0,1，2，3}D. {−3,−2,0，1，2，3}2.i为虚数单位，复数(1−i)(3+i)=()A. 3−iB. 4−2iC. 2D. 4+2i3.已知向量a⃗=(2,−1)，向量b⃗⃗=(m,7)，向量c⃗=(3,0)，若(2a⃗+c⃗)⊥b⃗⃗，则实数m的值为()A. 2B. −2C. 492D. -4924.观察下列各式：a+b=1，a2+b2=3，a3+b3=4，a4+b4=7，a5+b5=11，…，则a8+b8=()A. 47B. 76C. 121D. 1235.某篮球教练对甲乙两位运动员在近五场比赛中的得分情况统计如下图所示：根据图表给出如下结论：(1)甲乙两人得分的平均数相等且甲的方差比乙的方差小．(2)甲乙两人得分的平均数相等且甲的方差比乙的方差大．(3)甲的成绩在不断提高，而乙的成绩无明显提高．(4)甲的成绩较稳定，乙的成绩基本呈上升状态．以上结论正确的是()A. (1)(3)B. (1)(4)C. (2)(3)D. (2)(4)6.已知条件p：k=√3；条件q：直线y=kx+2与圆x2+y2=1相切，则p是q的()A. 充分必要条件B. 必要不充分条件C. 充分不必要条件D. 既不充分也不必要条件7.已知函数f(x)={3x+1,(x≤0)log13(x+1),(x>0),则函数y=f(−x)的大致图象是()A. B.C. D.8.已知椭圆x24+y22=1的左右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆上，且|PF1|=3，则△PF1F2的面积为()A. √22B. √2 C. √32D. √39.设函数f(x)=sin2x，将y=f(x)的图像向左平移π8个单位，再将图像上所有点的横坐标不变纵坐标变为原来的3倍得到y=g(x)的图像，则y=g(x)在[-π12,π4]上的最大值为()A. 3B. 3√22C. √22D. 110.已知tanα=−√3，则cos(π2+2α)=()A. √32B. -√32C. ±√32D. ±1211.已知双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左右焦点分别为F1、F2，过F2且垂直于x轴的直线与双曲线交于A、B两点，若△F1AB为等腰直角三角形，则该双曲线的离心率为()A. 2B. √2−1C. √2+1D. √212.若过点P(−1,m)可作曲线f(x)=−x3+6x2的三条切线，则实数m的取值范围为()A. −19<m<8B. −20<m<7C. m<−19或m>8D. m<−20或m>7二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.中国剪纸是一种用剪刀或刻刀在纸上剪刻花纹，用于装点生活或配合其它民俗活动的民间艺术，蕴含了极致的数学美和丰富的文化信息.下图是一个半径为2个单位的圆形中国剪纸图案，为了测算图中黑色部分的面积，在圆形区域内随机投掷400个点，其中落入黑色部分的有225个点，据此可估计黑色部分面积是________．14.已知定义在R上的奇函数f(x)，满足f(x−1)=f(x+1)，当0<x<1时，f(x)=log2x，则f(-94)+f(4)的值为________．15.三角形ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知C=60º，b=5，c=7，则a=________，△ABC面积为________．16.如图所示，三棱锥P−ABC中，PA⊥平面ABC，PA=AB=AC=BC=2，E是PC的中点.求异面直线AE和PB所成角的余弦值________．三、解答题（本大题共7小题，共80.0分）17.如图四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是正方形，E为PD中点．(1)求证：PB//平面ACE；(2)已知PA⊥平面ABCD且PA=AB=2，求三棱锥D−ACE体积．18.某校对2019年入校的400名新生进行入校考试，根据男女学生人数比例，使用分层抽样的方法从中随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成7组：[20,30)，[30,40)，…，[80,90]，并整理得到如下频率分布直方图：(1)从总体的400名学生中随机抽取一人，估计其分数小于70的概率；(2)已知样本中分数小于40的学生有5人，试估计总体中分数在区间[40,50)内的人数；(3)已知样本中有一半男生的分数不小于70，且样本中分数不小于70的男女生人数相等.试估计总体中男生和女生人数的比例．19.已知等差数列{a n}满足a1=a2+4且a18+a20=12，等比数列{b n}的首项为2，公比为q．(1)若q=3，问b3等于数列{a n}中的第几项？(2)若q=2，数列{a n}和{b n}的前n项和分别记为S n和T n，S n的最大值为M，试比较M与T9的大小。

2019-2020学年陕西省宝鸡中学、西安三中等五校高三（上）第一次联考数学试卷（文科）一、选择题1．已知集合P＝{y|y＝2x}，Q＝{x|y＝}，则P∩Q＝（）A．[﹣1，1]B．[0，+∞）C．（﹣∞，1]∪[1，+∞）D．（0，1]2．计算（i为虚数单位）等于（）A．﹣1+i B．﹣1﹣i C．1+i D．1﹣i3．已知一组数据点（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3），…，（x7，y7），用最小二乘法得到其线性回归方程为，若数据x1，x2，x3，…x7的平均数为1，则＝（）A．2B．11C．12D．144．经过原点并且与直线x+y﹣2＝0相切于点（2，0）的圆的标准方程是（）A．（x﹣1）2+（y+1）2＝2B．（x+1）2+（y﹣1）2＝2C．（x﹣1）2+（y+1）2＝4D．（x+1）2+（y﹣1）2＝45．已知向量．若向量，则实数m等于（）A．3B．﹣3C．D．﹣6．如图在程序框图中，若输入n＝6，则输出k的值是（）A．2B．3C．4D．57．如图，正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，E是BC中点，则下列叙述正确的是（）A．CC1与B1E是异面直线B．AC⊥平面ABB1A1C．AE，B1C1为异面直线，且AE⊥B1C1D．A1C1∥平面AB1E8．赵爽是我国古代数学家、天文学家，大约在公元222年，赵爽为《周碑算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（以弦为边长得到的正方形是由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成的）．类比“赵爽弦图”，可类似地构造如图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形，设DF＝2AF＝2，若在大等边三角形内部（含边界）随机取一点，则此点取自小等边三角形（阴影部分）的概率是（）A．B．C．D．9．等差数列{a n}的公差为d，前n项和为S n，当首项a1和d变化时，a3+a7+a11是一个定值，则下列各数也为定值的是（）A．S7B．S8C．S13D．S1510．已知定义在R上的偶函数f（x）满足f（1+x）＝f（1﹣x），且当0≤x＜2时，f（x）＝x3﹣x，则在区间[0，6]上函数y＝f（x）的图象与x轴的交点的个数为（）A．6B．7C．8D．911．已知点P是双曲线右支上一点，F1是双曲线的左焦点，且双曲线的一条渐近线恰是线段PF1的中垂线，则该双曲线的离心率是（）A．B．C．2D．12．函数若a＞0＞b，且f（a）＝f（b），则f（a+b）的取值范围是（）A．（﹣∞，0]B．[﹣1，+∞）C．[﹣1，0]D．（﹣∞，﹣1]二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知函数，则f（f（﹣2））＝．14．甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加“庆国庆70周年，爱国主义知识大赛”活动，决出第1名到第5名的名次．甲乙两名同学去询问成绩，回答者对甲说“虽然你的成绩比乙好，但是你俩都没得到第一名”；对乙说“你当然不会是最差的”从以上回答分析，丙是第一名的概率是．15．若变量x，y满足约束条件，则z＝2x+y的最大值．16．已知A、B是球O球面上的两点，∠AOB＝90°，C为该球面上的动点，若三棱锥O﹣ABC体积的最大值为36，则球O的表面积为．三．解答题（本题共5小题，共70分，请在指定位置写出解答过程）17．已知函数f（x）＝a（2cos2+sin x）+b．（1）当a＝1时，求f（x）的单调递增区间；（2）当a＞0，且x∈[0，π]时，f（x）的值域是[3，4]，求a，b的值．18．交通拥堵指数是综合反映道路网畅通或拥堵的概念，记交通拥堵指数为T，其范围为[0，10]，分别有五个级别：T∈[0，2）畅通；T∈[2，4）基本畅通；T∈[4，6）轻度拥堵；T∈[6，8）中度拥堵；T∈[8，10]严重拥堵．晚高峰时段（T≥2），从某市交通指挥中心选取了市区20个交通路段，依据其交通拥堵指数数据绘制的直方图如图所示．（Ⅰ）用分层抽样的方法从交通指数在[4，6），[6，8），[8，10]的路段中共抽取6个路段，求依次抽取的三个级别路段的个数；（Ⅱ）从（Ⅰ）中抽出的6个路段中任取2个，求至少有1个路段为轻度拥堵的概率．19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AB∥CD，且∠BAP＝∠CDP＝90°．（1）证明：平面PAB⊥平面PAD；（2）若PA＝PD＝AB＝DC，∠APD＝90°，且四棱锥P﹣ABCD的体积为，求该四棱锥的侧面积．20．已知函数f（x）＝e x﹣ax2，曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y＝bx+1．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）求f（x）在[0，1]上的最大值．21．如图，已知椭圆Γ：＝1（a＞b＞0）经过点A（2，0），离心率e＝．（Ⅰ）求椭圆Γ的方程；（Ⅱ）设点B为椭圆与y轴正半轴的交点，点C为线段AB的中点，点P是椭圆Γ上的动点（异于椭圆顶点）且直线PA，PB分别交直线OC于M，N两点，问|OM|•|ON|是否为定值？若是，求出定值；若不是，请说明理由．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．已知直线l：（t为参数，α为l的倾斜角），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C为：ρ2﹣6ρcosθ+5＝0．（1）若直线l与曲线C相切，求α的值；（2）设曲线C上任意一点的直角坐标为（x，y），求x+y的取值范围．[选修4-5：不等式选讲]23．若实数x，y，m满足|x﹣m|＜|y﹣m|，则称x比y接近m．（Ⅰ）若2x比1接近3，求x的取值范围；（Ⅱ）已知a，b∈R，m＞0且a≠b，求证：比接近0．2019-2020学年陕西省宝鸡中学、西安三中等五校高三（上）第一次联考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题1．已知集合P＝{y|y＝2x}，Q＝{x|y＝}，则P∩Q＝（）A．[﹣1，1]B．[0，+∞）C．（﹣∞，1]∪[1，+∞）D．（0，1]【解答】解：∵P＝{y|y＞0}，Q＝{x|x≤1}，∴P∩Q＝（0，1]．故选：D．2．计算（i为虚数单位）等于（）A．﹣1+i B．﹣1﹣i C．1+i D．1﹣i【解答】解：＝．故选：C．3．已知一组数据点（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3），…，（x7，y7），用最小二乘法得到其线性回归方程为，若数据x1，x2，x3，…x7的平均数为1，则＝（）A．2B．11C．12D．14【解答】解：∵，且（）在线性回归直线上，∴，则＝．故选：D．4．经过原点并且与直线x+y﹣2＝0相切于点（2，0）的圆的标准方程是（）A．（x﹣1）2+（y+1）2＝2B．（x+1）2+（y﹣1）2＝2C．（x﹣1）2+（y+1）2＝4D．（x+1）2+（y﹣1）2＝4【解答】解：设圆心的坐标为（a，b），则a2+b2＝r2①，（a﹣2）2+b2＝r2②，＝1③；由①②③组成方程组，解得a＝1，b＝﹣1，r2＝2；故所求圆的标准方程是（x﹣1）2+（y+1）2＝2．故选：A．5．已知向量．若向量，则实数m等于（）A．3B．﹣3C．D．﹣【解答】解：向量，若向量，则•＝3+m＝0，则实数m＝﹣，故选：A．6．如图在程序框图中，若输入n＝6，则输出k的值是（）A．2B．3C．4D．5【解答】解：执行程序框图，有n＝6，k＝0n＝13，不满足条件n＞100，k＝1；n＝27，不满足条件n＞100，k＝2；n＝55，不满足条件n＞100，k＝3；n＝111，满足条件n＞100，输出k的值为3．故选：B．7．如图，正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，E是BC中点，则下列叙述正确的是（）A．CC1与B1E是异面直线B．AC⊥平面ABB1A1C．AE，B1C1为异面直线，且AE⊥B1C1D．A1C1∥平面AB1E【解答】解：CC1与B1E是异面直线，是相交直线，不正确；因为AC与AB不垂直，所以AC⊥平面ABB1A1，不正确；AE，B1C1为异面直线，且AE⊥B1C1，正确；因为AC与平面AB1E相交，A1C1∥AC，所以A1C1∥平面AB1E，不正确；故选：C．8．赵爽是我国古代数学家、天文学家，大约在公元222年，赵爽为《周碑算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（以弦为边长得到的正方形是由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成的）．类比“赵爽弦图”，可类似地构造如图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形，设DF＝2AF＝2，若在大等边三角形内部（含边界）随机取一点，则此点取自小等边三角形（阴影部分）的概率是（）A．B．C．D．【解答】解：由题意有：AF＝2，EF＝4，∠AFC＝，FC＝6，再△AFC中，由余弦定理得：AC2＝AF2+FC2﹣2AF×FC×＝52，设事件A为”此点取自小等边三角形（阴影部分）“，由几何概型中的面积型可得：P（A）＝＝＝，故选：A．9．等差数列{a n}的公差为d，前n项和为S n，当首项a1和d变化时，a3+a7+a11是一个定值，则下列各数也为定值的是（）A．S7B．S8C．S13D．S15【解答】解：a3+a7+a11＝3a7是一个定值，只有：S13＝＝13a7是一个定值，故选：C．10．已知定义在R上的偶函数f（x）满足f（1+x）＝f（1﹣x），且当0≤x＜2时，f（x）＝x3﹣x，则在区间[0，6]上函数y＝f（x）的图象与x轴的交点的个数为（）A．6B．7C．8D．9【解答】解：因为f（x）是R上偶函数，且满足f（1+x）＝f（1﹣x），∴满足f（1+x）＝f（1﹣x）＝f（x﹣1），令x+1＝t，则x＝t﹣1，∴f（t）＝f（t﹣2）；∴f（x）是最小正周期为2的周期函数，当0≤x＜2时，f（x）＝x3﹣x＝0解得x＝0或x＝1，故f（x）＝0在区间[0，6）上解的个数为6，又因为f（6）＝f（0）＝0，故f（x）＝0在区间[0，6]上解的个数为7，即函数y＝f（x）的图象在区间[0，6]上与x轴的交点的个数为7．故选：B．11．已知点P是双曲线右支上一点，F1是双曲线的左焦点，且双曲线的一条渐近线恰是线段PF1的中垂线，则该双曲线的离心率是（）A．B．C．2D．【解答】解：由题意，△PF1F2是直角三角形，PF2的斜率为﹣，设|PF1|＝m，|PF2|＝n，则，∵m﹣n＝2a，m2+n2＝4c2，∴m＝2b，n＝2a，∵mn＝2b2，∴b＝2a，∴c＝a，∴e＝＝．故选：D．12．函数若a＞0＞b，且f（a）＝f（b），则f（a+b）的取值范围是（）A．（﹣∞，0]B．[﹣1，+∞）C．[﹣1，0]D．（﹣∞，﹣1]【解答】解：设f（a）＝f（b）＝t，作出f（x）的图象，由图象知，t≥0，由f（a）＝a2＝t，得a＝，由f（b）＝﹣2b﹣3＝t，得b＝，则a+b＝+＝﹣t+﹣＝﹣（﹣1）2﹣1，∵t≥0，∴≥0，则m＝﹣（﹣1）2﹣1≤﹣1，即m＝a+b≤﹣1，此时f（a+b）＝f（m）＝﹣2m﹣3≥2﹣3＝﹣1，即f（a+b）的取值范围是[﹣1，+∞），故选：B．二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知函数，则f（f（﹣2））＝2．【解答】解：∵函数，∴f（﹣2）＝﹣4×（﹣2）+1＝9，f（f（﹣2））＝f（9）＝log39＝2．故答案为：2．14．甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加“庆国庆70周年，爱国主义知识大赛”活动，决出第1名到第5名的名次．甲乙两名同学去询问成绩，回答者对甲说“虽然你的成绩比乙好，但是你俩都没得到第一名”；对乙说“你当然不会是最差的”从以上回答分析，丙是第一名的概率是．【解答】解：∵甲和乙都不可能是第一名，∴第一名只可能是丙、丁或戊，又考虑到所有的限制条件对丙、丁都没有影响，∴这三个人获得第一名是等概率事件，∴丙是第一名的概率是．故答案为：．15．若变量x，y满足约束条件，则z＝2x+y的最大值10．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，化目标函数z＝2x+y为y＝﹣2x+z，由图可知，当直线过B（4，2）时直线在y轴上的截距最大，z最大，为z＝2×4+2＝10．故答案为：10．16．已知A、B是球O球面上的两点，∠AOB＝90°，C为该球面上的动点，若三棱锥O﹣ABC体积的最大值为36，则球O的表面积为144π．【解答】解：如图所示，当点C位于垂直于面AOB的直径端点时，三棱锥O﹣ABC的体积最大，设球O的半径为R，此时V O﹣ABC＝V C﹣AOB＝＝＝36，故R＝6，则球O的表面积为4πR2＝144π，故答案为：144π．三．解答题（本题共5小题，共70分，请在指定位置写出解答过程）17．已知函数f（x）＝a（2cos2+sin x）+b．（1）当a＝1时，求f（x）的单调递增区间；（2）当a＞0，且x∈[0，π]时，f（x）的值域是[3，4]，求a，b的值．【解答】解：（1）当a＝1时，f（x）＝2cos2+sin x+b＝1+cos x+sin x+b＝sin（x+）+b+1．由2kπ﹣≤x+≤2kπ+（k∈Z）得：2kπ﹣≤x≤2kπ+（k∈Z），所以f（x）的单调递增区间为[2kπ﹣，2kπ+]（k∈Z）；（2）因为，f（x）＝a（2cos2+sin x）+b＝a（1+cos x+sin x）+b＝a sin（x+）+b+a，x∈[0，π]⇒x+∈[，]⇒sin（x+）∈[﹣，1]⇒a sin（x+）∈[﹣a，a]，所以，f（x）∈[b，（）a+b]，又f（x）的值域是[3，4]，所以b＝3，a＝＝．18．交通拥堵指数是综合反映道路网畅通或拥堵的概念，记交通拥堵指数为T，其范围为[0，10]，分别有五个级别：T∈[0，2）畅通；T∈[2，4）基本畅通；T∈[4，6）轻度拥堵；T∈[6，8）中度拥堵；T∈[8，10]严重拥堵．晚高峰时段（T≥2），从某市交通指挥中心选取了市区20个交通路段，依据其交通拥堵指数数据绘制的直方图如图所示．（Ⅰ）用分层抽样的方法从交通指数在[4，6），[6，8），[8，10]的路段中共抽取6个路段，求依次抽取的三个级别路段的个数；（Ⅱ）从（Ⅰ）中抽出的6个路段中任取2个，求至少有1个路段为轻度拥堵的概率．【解答】解：（Ⅰ）由直方图可知：（0.1+0.2）×1×20＝6，（0.25+0.2）××20＝9，（0.1+0.05）×1×20＝3．所以这20个路段中，轻度拥堵、中度拥堵、严重拥堵路段分别为6个，9个，3个．拥堵路段共有6+9+3＝18个，按分层抽样从18个路段中选出6个，每种情况分别为：，，＝1，即这三个级别路段中分别抽取的个数为2，3，1．（Ⅱ）记（Ⅰ）中选取的2个轻度拥堵路段为A1，A2，选取的3个中度拥堵路段为B1，B2，B3，选取的1个严重拥堵路段为C，则从6个路段选取2个路段的可能情况如下：（A1，A2），（A1，B1），（A1，B2），（A1，B3），（A1，C），（A2，B1），（A2，B2），（A2，B3），（A2，C），（B1，B2），（B1，B3），（B1，C），（B2，B3），（B2，C），（B3，C），共15种可能，其中至少有1个轻度拥堵的有：（A1，A2），（A1，B1），（A1，B2），（A1，B3），（A1，C），（A2，B1），（A2，B 2），（A2，B3），（A2，C），共9种可能，所以所选2个路段中至少1个路段轻度拥堵的概率为p＝．19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AB∥CD，且∠BAP＝∠CDP＝90°．（1）证明：平面PAB⊥平面PAD；（2）若PA＝PD＝AB＝DC，∠APD＝90°，且四棱锥P﹣ABCD的体积为，求该四棱锥的侧面积．【解答】证明：（1）∵在四棱锥P﹣ABCD中，∠BAP＝∠CDP＝90°，∴AB⊥PA，CD⊥PD，又AB∥CD，∴AB⊥PD，∵PA∩PD＝P，∴AB⊥平面PAD，∵AB⊂平面PAB，∴平面PAB⊥平面PAD．解：（2）设PA＝PD＝AB＝DC＝a，取AD中点O，连结PO，∵PA＝PD＝AB＝DC，∠APD＝90°，平面PAB⊥平面PAD，∴PO⊥底面ABCD，且AD＝＝，PO＝，∵四棱锥P﹣ABCD的体积为，由AB⊥平面PAD，得AB⊥AD，∴V P﹣ABCD＝＝＝＝＝，解得a＝2，∴PA＝PD＝AB＝DC＝2，AD＝BC＝2，PO＝，∴PB＝PC＝＝2，∴该四棱锥的侧面积：S侧＝S△PAD+S△PAB+S△PDC+S△PBC＝+++＝＝6+2．20．已知函数f（x）＝e x﹣ax2，曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y＝bx+1．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）求f（x）在[0，1]上的最大值．【解答】解：（Ⅰ）f′（x）＝e x﹣2ax，由题设得f′（1）＝e﹣2a＝b，f（1）＝e﹣a＝b+1，解得a＝1，b＝e﹣2．（Ⅱ）由（1）知f（x）＝e x﹣x2，所以f′（x）＝e x﹣2x，f″（x）＝e x﹣2，所以f′（x）在（0，ln2）上单调递减，在（ln2，+∞）上单调递增，所以f′（x）≥f′（ln2）＝2﹣2ln2＞0，所以f（x）在[0，1]上单调递增，所以f（x）max＝f（1）＝e﹣1．21．如图，已知椭圆Γ：＝1（a＞b＞0）经过点A（2，0），离心率e＝．（Ⅰ）求椭圆Γ的方程；（Ⅱ）设点B为椭圆与y轴正半轴的交点，点C为线段AB的中点，点P是椭圆Γ上的动点（异于椭圆顶点）且直线PA，PB分别交直线OC于M，N两点，问|OM|•|ON|是否为定值？若是，求出定值；若不是，请说明理由．【解答】解：（Ⅰ）由题意可知：，解得，所以椭圆Γ的方程：+y2＝1；（Ⅱ）由已知，点C的坐标为（1，），得直线OC的方程为x﹣2y＝0，设P（x0，y0），M（2y1，y1），N（2y2，y2），因P，A，M三点共线，故整理得y1＝，因P，B，N三点共线，故，整理得y2＝，因点P在椭圆Γ上，故x02+4y02＝4，从而y1y2＝•＝＝，所以|OM||ON|＝|y1||y2|＝5|y1y2|＝为定值．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．已知直线l：（t为参数，α为l的倾斜角），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C为：ρ2﹣6ρcosθ+5＝0．（1）若直线l与曲线C相切，求α的值；（2）设曲线C上任意一点的直角坐标为（x，y），求x+y的取值范围．【解答】解：（1）曲线C的直角坐标方程为x2+y2﹣6x+5＝0即（x﹣3）2+y2＝4曲线C为圆心为（3，0），半径为2的圆．直线l的方程为：x sinα﹣y cosα+sinα＝0…∵直线l与曲线C相切∴即…∵α∈[0，π）∴α＝…（2）设x＝3+2cosθ，y＝2sinθ则x+y＝3+2cosθ+2sinθ＝…∴x+y的取值范围是．…[选修4-5：不等式选讲]23．若实数x，y，m满足|x﹣m|＜|y﹣m|，则称x比y接近m．（Ⅰ）若2x比1接近3，求x的取值范围；（Ⅱ）已知a，b∈R，m＞0且a≠b，求证：比接近0．【解答】解：（Ⅰ）由已知得|2x﹣3|＜|1﹣3|＝2，则﹣2＜2x﹣3＜2，∴，∴x的取值范围为．（II）要证比接近0，只需证，只需证只需证（a+mb）2＜（a2+mb2）（m+1），即证2amb＜（a2+b2）m．∵a，b∈R，m＞0且a≠b，∴2amb＜（a2+b2）m显然成立，∴比接近0．。

陕西省宝鸡市宝鸡中学2019届高三数学上学期模拟考试试题（一）文（B 卷）注意：本试卷包含Ⅰ、Ⅱ两卷。

第Ⅰ卷为选择题，所有答案必须用2B 铅笔涂在答题卡中相应的位置。

第Ⅱ卷为非选择题，所有答案必须填在答题卷的相应位置。

答案写在试卷上均无效，不予记分。

满分：150分 考试时间：120分钟I 卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1. 设，其中x ，y 是实数，则 (1+i)x =2+yi |x +yi|=()A. B. 3 C. D. 8 22232. 已知函数定义域是，则的定义域是 y =f(x)[―2,3]y =f(2x)()A.B.C.D.[―2,3][―3,2][―1,32][―4,6]3. 聊斋志异中有这样一首诗：“挑水砍柴不堪苦，请归但求穿墙术得《》.诀自诩无所阻，额上坟起终不悟”在这里，我们称形如以下形式的等式.具有“穿墙术”：，，，223=223338=3384415=44155524=5524则按照以上规律，若具有“穿墙术”，则 88n=88n n =()A.63 B.48 C. 35 D. 74. 下列各函数中，最小值为4的是 ()A. B.y =4log 3x +log x 3y =e x +4e ―x C.D.y =x +4x y =sin x +4sin x (0<x <π)5. 已知，向量在向量上的投影为1，则与的夹角为 |a|=2a b a b ()A.B.C.D.π2π6π32π36. 已知，，，则a ，b ，c 的大小关系为 a =21.3b =40.7c =log 38()A.B. c <a <b c <b <aC.D. a <c <b b <c <a 7. 二次函数和反比例函数在同一坐标系中的图象大致是y =ax 2+bx y =bx ()A. B.C. D.22.,,,,a b c R a b ac bc ∈>>在原命题以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真8原命题：“设若命题的个数为则”，（）A. 1B. 2C. 3D. 4 9.若函数定义域为R ，则实数a 的取值范围为f(x)=ax 2―ax +1()A. B. C. D.[0,4](―∞,4)[0,4)(0,+∞)10.已知函数在上是增函数，则a 的取值范围 f (x )=log 12(6―ax )(―∞,2)是 ()A. B. C. D. [3,+∞)(0,3)(0,+∞)(0,3]11.已知奇函数的定义域为R ，若， f(x +3)f(x +2)=―f(x)则 f(2019)=()A. B. -1 C. -2 D.3012.已知O 为所在平面内的一点，且满足，则的面积△ABC OA +OB =CO△OBC 与的面积的比值为 △ABC ()A.B.C.D.23121334II 卷二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.设x ，y 满足约束条件，则的最小值为______ ．{x ≥0x +y ≤1x ―y ≤1z =x ―2y 14.已知幂函数的图象过点，则______．y =f(x)(2,2)f(16)=15.设函数，则满足的x 的取值范围是______． f(x)={x +1,x ≤02x ―1,x >0f(x ―12)>116.已知函数，在区间上是减函数，则f(x)={x 2―4ax +2(x <1)log a x (x ≥1)(―∞,+∞)a 的取值范围为______ ．三、解答题（本大题共6小题，共70分）17.(10分)已知关于x 的一元二次不等式的解集为． ax 2+x +b >0(―∞,―2)∪(1,+∞)Ⅰ求a 和b 的值；()Ⅱ求不等式的解集． ()ax 2―(c +b)x +bc <018.分(12)命题P ：实数x 满足，命题q ：函数有 ―x 2+4ax ―3a 2>0(a >0)y =lg x ―32―x 意义．当且为真，求实数x 的取值范围；(1)a =1p ∧q 若是的充分不必要条件，求实数a 的取值范围． (2)￢p ￢q19.分(12) 求证． (1)6+7>22+5 设x ，y 都是正数，且证明：和中至少有一个成(2)x +y >2.1+xy<21+y x<2立．20.分(12)函数的定义域为M ，函数． y =lg(3―4x +x 2)f(x)=4x ―2x +1(x ∈M)求函数的值域；(1)f(x)当时，关于x 方程有两不等实数根，求b 的取值(2)x ∈M 4x ―2x +1=b(b ∈R)范围．21.分(12)十九大指出中国的电动汽车革命早已展开，通过以新能源汽车替代汽柴油车，/中国正在大力实施一项将重塑全球汽车行业的计划年某企业计划引进新.2018能源汽车生产设备，通过市场分析，全年需投入固定成本2500万元，每生产x(百辆，需另投入成本万元，且由市)C(x)C (x )={10x 2+100x,0<x <40501x +10000x ―4500,x ≥40.场调研知，每辆车售价5万元，且全年内生产的车辆当年能全部销售完． Ⅰ求出2018年的利润万元关于年产量百辆的函数关系式；利润()L(x)()x()(=销售额成本―)Ⅱ年产量为多少百辆时，企业所获利润最大？并求出最大利润． ()201822.分(12)设函数是增函数，对于任意x ，都有．f(x)y ∈R f(x +y)=f(x)+f(y)求； (1)f(0)证明奇函数；(2)f(x)解不等式． (3)12f(x 2)―f(1―x)<12f(3x)宝鸡中学2016级高三模拟考试（一）参考答案数学（文科）B 卷：ACABC ABBAD DC13. 14. 4 15. 16.―2(32,+∞)12≤a ≤3417. 解：Ⅰ由题意知和1是方程的两个根，由根与系数的()―2ax 2+x +b =0关系，得，解得；(2分）{―2+1=―1a―2⋅1=ba {a =1b =―2(Ⅱ由、，不等式可化为， )a =1b =―2x 2―(c ―2)x ―2c <0即；（4分）(x +2)(x ―c)<0则该不等式对应方程的实数根为和c ； ―2所以，当时，不等式为，它的解集为；（6分） c =―2(x +2)2<0⌀当时，不等式的解集为；（8分） c >―2(―2,c)当时，不等式的解集为（c,-2).(10分）c <―218. 解：由―x 2+4ax ―3a 2>0得， x 2―4ax +3a 2<0即，(x ―a)(x ―3a)<0其中，得，， a >0a <x <3a a >0则p ：，分a <x <3a a >0.(2)由解得，即q ：分) x ―32―x >02<x <32<x <3(4(1)若，则p ：a =11<x <3.若为真，则p ，q 同时为真，即，解得， p ∧q {1<x <32<x <32<x <3实数x 的取值范围分)∴(2,3).(6(2)若是的充分不必要条件，即q 是p 的充分不必要条件，分) ￢p ￢q (8即是的真子集所以，解得 (2,3)(a,3a).{3a ≥3a ≤21≤a ≤2.实数a 的取值范围为分[1,2].(12)19. 证明：要证，只需证明(1)6+7>22+5，即证明，(6+7)2>(8+5)2242>240也就是证明，上式显然成立，故原结论成立------分) 42>40.(6(2)证明：假设和都不成立，即且，1+x y<21+y x<21+x y≥21+y x≥2，y 都是正数，，，， ∵x ∴1+x ≥2y 1+y ≥2x ∴1+x +1+y ≥2x +2y ，这与已知矛盾， ∴x +y ≤2x +y >2假设不成立，即和中至少有一个成立------分∴1+x y<21+y x<2.(12)20. 解：由，解得，或，或(1)∵.3―4x +x 2>0x >3x <1∴M ={x >3，令，则或x <1}.∵f(x)=4x ―2x +12x =t t >80<t <2.则， f(x)=g(t)=t 2―2t =(t ―1)2―1当时，； t >8g(t)=(t ―1)2―1>48当时， 0<t <2g(t)=(t ―1)2―1∈[―1,0).所以值域为分) [―1,0)∪(48,+∞).…(6有两不等实数)(2).∵4x ―2x +1=b(b ∈R)根，函数的图象和直线有2个∴y =t 2―2t y =b 交点，数形结合可得，， ―1<b <0即b 的范围分 (―1,0).…(12)21. 解：Ⅰ当时，()0<x <40； L(x)=5×100x ―10x 2―100x ―2500=―10x 2+400x ―2500当时，x ≥40； L(x)=5×100x ―501x ―10000x+4500―2500=2000―(x +10000x )分∴L(x)={―10x 2+400x ―2500,0<x <402000―(x +10000x ),x ≥40.…(6)Ⅱ当时，， ()0<x <40L(x)=―10(x ―20)2+1500当时，；分 ∴x =20L(x)max =L(20)=1500…(8)当时，x ≥40，L(x)=2000―(x +10000x )≤2000―2x·10000x=2000―200=1800当且仅当，即时，；x =10000xx =100L(x)max =L(100)=1800>1500…(10分)当时，即2018年生产100百辆时，该企业获得利润最大，且最大利∴x =100润为1800万元分.…(12)22.解：由题设，令，(1)x =y =0恒等式可变为，解得，分)f(0+0)=f(0)+f(0)f(0)=0…(3(2)令，则由得， y =―x f(x +y)=f(x)+f(y)f(0)=0=f(x)+f(―x)即得，故是奇函数分) f(―x)=―f(x)f(x)…(3(3)由，，12f(x 2)―f(1―x)<12f(3x)f(x 2)―f(3x)<2f(1―x)即，又由已知 f(x 2)+f(―3x)<2f(1―x)f(x +y)=f(x)+f(y).得：，分f[2(1―x)]=2f(1―x)∴f(x 2―3x)<f(2―2x)...(10)由函数是增函数，不等式转化为即， f(x)x 2―3x <2―2x.x 2―x ―2<0不等式的解集分 ∴{x|―1<x <2}. (12)。

2020届陕西省宝鸡中学、西安三中等五校高三上学期第一次联考数学（文）试题、单选题1. 已知集合P y |y 2x, Q x| y . 1x，则PI Q ( )A.1,1B.0,c.,1 1,D.0,1【答案】D【解析】分别求两个集合，再求交集•【详解】••• P y| y 0 ,1x0，解得：x 1Q x|x 1 ,••• PI Q 0,1 .故选：D.【点睛】本题考查简单函数的定义域和值域，和集合的交集，属于基础题型 2 •复数色等于（）1 iA. 1 iB. 1 i C . 1 i D . 1 i【答案】A【解析】略3.已知一组数据点为，％ , X2,y2 , x3，y3，…，X7y，用最小二乘法得到其7线性回归方程为$ 2x 4，若数据捲，X2, X3，…x?的平均数为1,则y i （）i 1A. 2B. 11C. 12D. 14【答案】D【解析】根据x,y在回归直线上，代入求7y，再求y .i 1【详解】T X 1 ,且x, y在线性回归直线$2x 4 上，••• y2x 4 2 1 4 2 ,7y i 7y 7 2 14.则i 1故选： D.【点睛】本题考查回归直线方程的应用，意在考查基础知识，本题的关键是知道回归直线必过样本中心点x, y4 •经过原点并且与直线x y 2 0相切于点2,0的圆的标准方程是（A. x212x 1y21y212B. 2C. x22221y14 D.x 1y14【答A案】【解析】设圆心为a,b，根据条件列关于a,b的方程，求圆的标准方程【详解】设圆心的坐标为a,b ,则a2 b2 r2①,2 2 2a 2 b2 r2②,1③;由①②③组成方程组，解得 a 1, b 1 , r22 ；2 2故所求圆的标准方程是x 1 y 1 2.故选：A.【点睛】本题考查求圆的标准方程，意在考查计算能力，属于基础题型5•已知向量a 1, -.3 , b 3,m .若向量；b，则实数m等于（A. 3、3 C.3 D. 3【答案】D【解析】直接根据向量垂直的数量积的坐标表示列式求解【详解】r f— r r r向量a 1厂,3 ，b 3,m，若向量a b，则a b 3 ,3m 0，则实数m 3，故选：D【点睛】本题考查向量垂直的数量积的坐标表示，意在考查基本计算，属于基础题型6••阅读如图的程序框图.若输入n 6,则输出k的值为A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】B【解析】试题分析：第一圈，n=6,n=13,否k=1 ;第二圈，n=13,n=27,否k=2;第三圈，n=27,n=55,否k=3;第四圈，n=55,n=110,是，输出k=3 ;故选B。

宝鸡中学2019-2020学年度第一学期高三期中考试试题 文科数学 一选择题（本题共12小题，共60分）1. 已知集合}1|{<=x x A ，}13|{<=x x B ,则有A. {}0|<=x x B AB.R B A =C.}1|{>=x x B AD.φ=B A2. 已知sin35o =m ，则-cos70o 等于A. 212-m B 212m - C.221m - D.122-m3. 设复数i Z 21-=（i 是虚数单位），则Z Z Z +⋅的值为A. 23B.32C.22D.244. 向量)0,1(=，)1,2(=，)1,(x =，若-3与共线，则x =A.1B.-3C.-2D.-15. 已知命题p ：实数c b a ,,成等比数列；q ：ac b =2.则p 则q 的（ ）条件A.充分不必要B.必要不充分C.充要D.既不充分也不必要6. ABC ∆三边c b a ,,分别对应于角C B A ,,,3,3,1π===B b a ,则=CA. 6πB.4πC.3πD.2π7. 不等式1)2lg(2≤--x x 的解集为A. )4,3(-B.[]4,3-C.[)(]4,21,3 --D.()[]4,21,3 --8. 已知a 为锐角，且53)6cos(=+πa ，则=a sin)2018(2)3(2)2(2,1)(22f f f x x x f ++++= A. 10334+ B.10334- C.10433+ D.10433- 9. 在ABC ∆中， 90=∠B ,BC=2，AB=4，点D,E 分别为边BC,AC 的中点，则向量与的数量积⋅=A.7B.-7C.9D.-910已知函数=++++++++)2018(20181)3(31)2(21)20181()31()21(222f f f f f f A.2017 B.22017 C.4034 D.20171 10.定义域为实数集上的偶函数)(x f 周期为2，且在[]1,0上x e x f =)(，（参考数据：1.20,4.732≈≈e e ），则)191(ln f A.219 B.19e C.219eD.19 12.定义在实数集上的可导函数)(x f 是偶函数，若对任意实数x 都有1)(2)(<'+x f x x f 恒成立，则使关于x 的不等式1)1()(22->-x f x f x 成立的数x 的取值范围为 A.}{1|+≠∈x R x B.(-1，1) C.)1,0()0,1( - D.()()+∞-∞-,11,二、填空题（本题共4小题，共20分）13. 已知x e x x f +=2)(，曲线)(x f y =在点(0,1)处的切线方程为14. 已知“边长为a 的正三角形内任意一点到三边的距离之和为定值a 23.”类比可得：“棱长为a 的正四面体中任意一点到四个面的距离之和为定值。

2019年宝鸡市高考模拟检测（一）数学（文科）参考答案一、选择题13. 1 14、11,60,61 15、π8 16、⎪⎭⎫ ⎝⎛-21,1 三、解答题17、（本小题满分12分）与理科17题相同18．（本小题满分12分）(1)证明：;1111ABC BB C B A ABC 面中，直三棱柱⊥-ABC AD 平面⊂ 中点；为又BC D AC AB AD BB ,,1=⊥∴;,,1B BB BC BC AD =⋂⊥∴11B BCC AD 平面⊥∴ ………………………….6分（2）由(1)知11B BCC AD 平面⊥111B BCC D C 平面⊂ 1DC AD ⊥∴1111的棱长为直三棱柱C B A ABC - 25,2,2311=∴==∴D C AC AD 8321,8152111=⋅==⋅=∴∆∆DC AD S DC AD S ADC ADC 设113131,1CC S d S d D AC C ADC ADC ⋅=⋅⋅∆∆则的距离为到平面点 .55,551的距离为到平面点解得D AC D d ∴= …… …… ……12分19．（本小题满分12分）与理科19题相同20、（本小题满分12分）解 (1)a ＝[1－(0.01＋0.015＋0.03＋0.015＋0.005)×10]÷10＝0.025， …… …… ……2分x ＝45×0.1＋55×0.15＋65×0.25＋75×0.3＋85×0.15＋95×0.05＝69. …… …… ……6分 (2)2×2列联表如下：因为K 2＝200×(5×115－35×45)240×160×50×150＝256≈4.167>3.841， ……11分所以有超过95%的把握认为“获奖与学生的文、理科有关” …12分 21、（本小题满分12分）解：（1）函数()h x 定义域为(0,)+∞，222213231(21)(1)()2x x x x h x x x x x -+--'=-+-=-=- ……2分 ()h x ∴的单调递减区间是10,2⎛⎫⎪⎝⎭和()1,+∞.……4分（2）问题等价于1ln a x x=有唯一的实根 显然0a ≠，则关于x 的方程1ln x x a=有唯一的实根 …… …… ……6分构造函数()ln ,x x x ϕ=则()1ln ,x x ϕ'=+由()1ln 0,x x ϕ'=+=得1x e -=当10x e -<<时，()0,()x x ϕϕ'<单调递减当1,()0,()x e x x ϕϕ-'>>时单调递增所以()x ϕ的极小值为11()e e ϕ--=- …… …… ……8分如图，作出函数()x ϕ的大致图像，则要使方程1ln x x a=的唯一的实根， 只需直线1y a =与曲线()y x ϕ=有唯一的交点，则11e a -=-或10a>解得0a e a =->或故实数a 的取值范围是{}(0,)e -⋃+∞ …… …… ……12分22、23 与理科22、23题相同。

一、单选题二、多选题1. 已知函数的图象过点，则A．把的图象向右平移个单位得到函数的图象B ．函数在区间上单调递减C ．函数在区间内有五个零点D ．函数在区间上的最小值为12. 已知椭圆C ：的焦点为，，第一象限点在C 上，且，则的内切圆半径为（ ）A．B．C ．1D．3.已知，则（ ）A．B．C ．3D ．54. 已知向量，，且，则x 的值为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．65.双曲线的两个焦点为，以C 的虚轴为直径的圆记为D，过作D 的切线与C的渐近线交于点H，若的面积为，则C 的离心率为（ ）A．B ．2C．D．6. 已知双曲线C：，直线与双曲线C 的两条渐近线交于A ，B 两点，O为坐标原点，若为等边三角形，则双曲线C 的焦距为（ ）A．B．C ．2D ．47. 在三角形中，点在直线上，且，点在直线上，且.若，则（ ）A．B．C．D．8. 函数的图象大致为（ ）A．B．C．D．9.如图，两个正四棱锥和的底面重合，顶点位于底面两侧，且平面平面．设直线与平面所成角为，直线与平面所成角为，直线与所成角为，则（ ）陕西省宝鸡实验高级中学2024届高三一模文科数学试题(1)陕西省宝鸡实验高级中学2024届高三一模文科数学试题(1)三、填空题A．B．C．D．10. 统计学是源自对国家的资料进行分析，也就是“研究国家的科学”．一般认为其学理研究始于希腊的亚里士多德时代，迄今已有两千三百多年的历史．在两千多年的发展过程中，将社会经济现象量化的方法是近代统计学的重要特征．为此，统计学有了自己研究问题的参数，比如：均值、中位数、众数、标准差．一组数据：（）记其均值为m ，中位数为k ，方差为，则（ ）A．B．C．新数据：的均值为m ＋2D．新数据：的方差为11.已知是等差数列的前项和，满足，设，数列的前项和为，则下列结论中正确的是（ ）A．B ．使得成立的最大的值为4045C．D ．当时，取得最小值12. 某公司经营五种产业，为应对市场变化，在五年前进行了产业结构调整，优化后的产业结构使公司总利润不断增长，今年总利润比五年前增加了一倍，调整前后的各产业利润与总利润的占比如图所示，则下列结论错误的是（）A ．调整后传媒的利润增量小于杂志B ．调整后房地产的利润有所下降C ．调整后试卷的利润增加不到一倍D ．调整后图书的利润增长了一倍以上13.如图，在直角中，，分别以为圆心，以为半径作弧，则三条弧与边围成的图形（图中阴影部分）的面积为________14. 写出同时满足下列条件①②的直线方程：_________（写出一个满足条件的答案即可）.①在轴上的截距为2；②与双曲线只有一个交点.四、解答题15. 棱长为1的正方体中，分别是的中点.①点在直线上运动时，三棱锥体积不变；②点在直线上运动时，直线始终与平面平行；③平面平面；④三棱锥的体积为.其中真命题的编号是_______________.（写出所有正确命题的编号）16. 如图，在平行六面体中，已知，，，，．(1)求证：顶点在底面的射影在的平分线上；(2)求这个平行六面体的体积．17. 携号转网，也称作号码携带、移机不改号，即无需改变自己的手机号码，就能转换运营商，并享受其提供的各种服务．2019年11月27日，工信部宣布携号转网在全国范围正式启动．某运营商为提质量保客户，从运营系统中选出300名客户，对业务水平和服务水平的评价进行统计，其中业务水平的满意率为，服务水平的满意率为，对业务水平和服务水平都满意的客户有180人．(1)完成下面2×2列联表，并分析是否有99%的把握认为业务水平与服务水平有关；对服务水平满意人数对服务水平不满意人数合计对业务水平满意人数对业务水平不满意人数合计(2)为进一步提高服务质量在选出的对服务水平不满意的客户中，抽取2名征求改进意见，用X 表示对业务水平不满意的人数，求X 的分布列与期望.附：，．0.100.050.0250.0100.0050.001k2.7063.8415.0246.6357.87910.82818. 如图，在四棱锥中，平面ABCD ，，，，，，.(1)证明：平面平面PBC ；(2)求二面角的正弦值.19. 已知函数,.(1)求f(x)的单调区间与零点；(2)若恒成立，求实数a的取值范围．20. 已知数列满足，并且（为非零参数，）．(1)若成等比数列，求参数的值；(2)设，常数且，证明：．21.已知(m，n为常数)，在处的切线方程为.（1）求的解析式并写出定义域；（2）若，使得对上恒有成立，求实数a的取值范围；。

2019-2020学年陕西省宝鸡中学高三（上）期中数学试卷（文科）一、选择题（本题共12小题，共60分）1. 已知集合A ={x|x <1}，B ={x|3x <1}，则( ) A.A ∩B ={x|x <0} B.A ∪B =R C.A ∪B ={x|x >1} D.A ∩B =⌀【答案】 A【考点】 交集及其运算 并集及其运算 【解析】先分别求出集合A 和B ，再求出A ∩B 和A ∪B ，由此能求出结果． 【解答】解：∵ 集合A ={x|x <1}， B ={x|3x <1}={x|x <0}，∴ A ∩B ={x|x <0}，故A 正确，D 错误； A ∪B ＝{x|x <1}，故B 和C 都错误． 故选A .2. 已知sin 35∘＝m ，则−cos 70∘等于（ ） A.m 2−12B.1−m 22C.1−2m 2D.2m 2−1【答案】 D【考点】二倍角的三角函数 【解析】由已知利用二倍角的余弦函数公式即可化简求值得解． 【解答】∵ sin 35∘＝m ，∴ −cos 70∘＝−cos 2×35∘＝−(1−2sin 235∘)＝−(1−2m 2)＝2m 2−1．3. 设复数z =1−√2i （i 是虚数单位），则|z ⋅z ¯+z ¯|的值为（ ） A.3√2 B.2√3 C.2√2 D.4√2【答案】 A 【考点】 复数的模 【解析】由已知求得z ⋅z ¯，然后求得z ⋅z ¯+z ¯，再由复数模的计算公式求解．∵ z =1−√2i ， ∴ z ⋅z ¯=|z|2=3，则|z ⋅z ¯+z ¯|=|3+1+√2i|＝|4+√2i|=3√2．4. 向量a →=(1,0)，b →=(2,1)，c →=(x,1)，若3a →−b →与c →共线，则x ＝（ ） A.1 B.−3 C.−2 D.−1 【答案】 D【考点】平行向量（共线） 【解析】根据平面向量的坐标运算与共线定理，列方程求出x 的值． 【解答】向量a →=(1,0)，b →=(2,1)，c →=(x,1)， 则3a →−b →=(1, −1)， 又3a →−b →与c →共线， 则1×1−(−1)⋅x ＝0， 解得x ＝−1．5. 已知命题p ：实数a ，b ，c 成等比数列；q:b 2＝ac ．则p 是q 的（ ）条件 A.充分不必要 B.必要不充分 C.充要 D.既不充分也不必要【答案】 A【考点】充分条件、必要条件、充要条件 【解析】由a 、b 、c 成等比数列，根据等比数列的性质可得b 2＝ac ；对于必要性，可以举一个反例，满足b 2＝ac ，但a 、b 、c 不成等比数列，从而得到正确的选项． 【解答】若a 、b 、c 成等比数列，根据等比数列的性质可得：b 2＝ac ；若b ＝0，a ＝2，c ＝0，满足b 2＝ac ，但a 、b 、c 显然不成等比数列， 则p 是q 的充分不必要条件．6. △ABC 三边a ，b ，c 分别对应于角A ，B ，C ，a =1,b =√3,B =π3，则C ＝（ ） A.π6 B.π4C.π3D.π2D【考点】余弦定理【解析】由已知利用正弦定理可求sin A，根据大边对大角，特殊角的三角函数值可求A的值，进而利用三角形内角和定理可求C的值．【解答】∵a=1,b=√3,B=π3，∴由正弦定理asin A =bsin B，可得sin A=a⋅sin Bb=1×√32√3=12，∵a<b，可得A=π6，∴C＝π−A−B=π2．7. 不等式lg(x2−x−2)≤1的解集为（）A.(−3, 4)B.[−3, 4]C.[−3, −1)∪(2, 4]D.(−3, −1)∪[2, 4]【答案】C【考点】指、对数不等式的解法【解析】由原不等式可得lg(x2−x−2)≤lg10，再利用对数函数的性质，求得x的范围．【解答】由不等式lg(x2−x−2)≤1，可得lg(x2−x−2)≤lg10，∴{x2−x−2>0x2−x−2≤10，即{(x+1)(x−2)>0(x+3)(x−4)≤0，即{x<−1,x>2−3≤x≤4．求得−3≤x<−1，或2<x≤4，8. 已知α为锐角，且cos(α+π6)=35，则sinα为（）A.√210B.−√210C.4√3−310D.3−4√310【答案】C【考点】两角和与差的三角函数【解析】由条件求得sin(α+π6)=45，再根据sinα＝sin[(α+π6)−π6]利用两角和的正弦公式求得结【解答】∵ cos (α+π6)=35（α为锐角），∴ α+π6为锐角， ∴ sin (α+π6)=45，∴ sin α＝sin [(α+π6)−π6]＝sin (α+π6)cos π6−cos (α+π6)sin π6 =45×√32−35×12=4√3−310，9. 在△ABC 中，∠B ＝90∘，BC ＝2，AB ＝4，点D ，E 分别为边BC ，AC 的中点，则向量AD →与BE →的数量积AD →⋅BE →=( ) A.7 B.−7 C.9 D.−9【答案】 B【考点】平面向量数量积的性质及其运算 【解析】把BE →，AD →都用BC →，AB →表示出来，求出其数量积，再把已知条件带入即可求解． 【解答】由三角形中线性质可得：BE →=12(BA →+BC →)=12BC →−12AB →；AD →=AB →+BD →=AB →+12BC →；∴ AD →⋅BE →=(12BC →−12AB →)⋅(AB →+12BC →)=14BC →2+14AB →⋅BC →−12AB →2=14×22−0−12×42＝−7；10. 已知函数f(x)=x 2x 2+1，2f(2)+2f(3)+……+2f(2018)+f(12)+f(13)+...+f(12018)+12f(2)+13f(3)+⋯+12018f(2018)＝（ ）A.2017B.20172C.4034D.12017【答案】 C【考点】 求函数的值 函数的求值 【解析】112f(3)+……+2f(2018)+f(12)+f(13)+...+f(12018)+122f(2)+132f(3)+⋯+120182f(2018)的值．【解答】（1）∵ f(x)=x 21+x 2， ∴ f(x)+f(1x )=x 21+x2+1x 21+1x2=x 21+x2+1x 2+1=1，∵ f(x)+1x f(x)=x 21+x (1+1x )＝1，∴ 2f(2)+2f(3)+……+2f(2018)+f(12)+f(13)+...+f(12018)+122f(2)+132f(3)+⋯+120182f(2018)＝[f(2)+f(12)+f(2)+122f(2)]+[f(3)+f(13)+f(3)+132f(3)]+...+[f(2018)+f(12018)+f(2018)+120182f(2018)]＝2017×2 ＝4034． 故选：C ．11. 定义域为实数集上的偶函数f(x)周期为2，且在[0, 1]上f(x)＝e x ，（参考数据：e 2≈7.4，e 3≈20.1），则f(ln 119)=( )A.192B.e 19C.19e2D.19【答案】 C【考点】函数奇偶性的性质与判断 【解析】容易判断0<ln 19−2<1，再根据f(x)是R 上的偶函数，周期为2，并且在[0, 1]上f(x)＝e x 即可得出f(ln 119)=f(ln 19−2)=e ln 19−2，从而得出正确选项．【解答】∵ e 2≈7.4，e 3≈20.1， ∴ e 2<19<e 3，∴ 2<ln 19<3，0<ln 19−2<1，又f(x)是R 上的偶函数，周期为2，且在[0, 1]上f(x)＝e x ， ∴ f(ln 119)=f(−ln 19)=f(ln 19)=f(ln 19−2)=e ln 19−2=19e 2．12. 定义在x ≠0上的可导函数f(x)是偶函数，若对任意实数x 都有f(x)+x2f ′(x)<1恒A.{x∈R|x≠±1}B.(−1, 1)C.(−1, 0)∪(0, 1)D.(−∞, −1)∪(1, +∞)【答案】C【考点】利用导数研究函数的单调性【解析】根据已知构造合适的函数，对函数求导，根据函数的单调性，求出函数的取值范围，并根据偶函数的性质的对称性，求出x<0的取值范围．【解答】设：g(x)＝x2f(x)−x2，则g′(x)＝2xf(x)+x2f′(x)−2x<0恒成立（1）∴g(x)在(0, +∞)单调递减，由x2f(x)−f(1)>x2−1(2)∴x2f(x)−x2>f(1)−1(3)即g(x)>g(1)，即0<x<1(4)由于函数f(x)是偶函数，∴g(−x)＝(−x)2f(−x)−(−x)2＝x2f(x)−x2＝g(x)(5)所以g(x)＝x2f(x)−x2也是偶函数（6）当x<0时，同理得：−1<x<0．综上可知：实数x的取值范围为：(−1, 0)∪(0, 1)．故选：C．二、填空题（本题共4小题，共20分）已知f(x)＝x2+e x，曲线y＝f(x)在点(0, 1)处的切线方程为________．【答案】y＝x+1【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【解析】求出原函数的导函数，得到函数在x＝0处的导数，再由直线方程的斜截式得答案．【解答】由f(x)＝x2+e x，得f′(x)＝2x+e x，∴f′(0)＝0+e0＝1．∴曲线y＝f(x)在点(0, 1)处的切线方程为y＝x+1．a，推广已知边长为a的等边三角形内任意一点到三边距离之和为定值，这个定值为√32到空间，棱长为a的正四面体内任意一点到各个面的距离之和也为定值，则这个定值为：________．【答案】√6a【考点】类比推理【解析】三角形内任意一点到三边距离和为定值是利用三角形面积相等得到的，类彼此可利用四面体的体积相等求得棱长为a的正四面体内任意一点到各个面的距离之和．【解答】边长为a的等边三角形内任意一点到三边距离之和是由该三角形的面积相等得到的，方法如下，如图，在棱长为a 的正四面体内任取一点P ，P 到四个面的距离分别为ℎ1，ℎ2，ℎ3，ℎ4． 四面体A −BCD 的四个面的面积相等，均为√34a 2，高为√63a ． 由体积相等得：13(ℎ1+ℎ2+ℎ3+ℎ4)⋅√34a 2=13⋅√34a 2⋅√63a ． 所以ℎ1+ℎ2+ℎ3+ℎ4=√63a ．已知函数f(x)={(3a −1)x +4a,x <1log a x,x ≥1 满足：对任意实数x 1，x 2，当x 1<x 2时，总有f(x 1)−f(x 2)>0，那么实数a 的取值范围是________17，13） ．【答案】 [【考点】分段函数的应用 【解析】由已知可得函数是(−∞, +∞)上的减函数，则分段函数在每一段上的图象都是下降的，且在分界点即x ＝1时，第一段函数的函数值应大于等于第二段函数的函数值．由此不难判断a 的取值范围． 【解答】∵ 对任意实数x 1，x 2，当x 1<x 2时，总有f(x 1)−f(x 2)>0， ∴ 函数f(x)={(3a −1)x +4a,x <1log a x,x ≥1 是(−∞, +∞)上的减函数，当x ≥1时，y ＝log a x 单调递减，∴ 0<a <1；而当x <1时，f(x)＝(3a −1)x +4a 单调递减， ∴ a <13；又函数在其定义域内单调递减，故当x ＝1时，(3a −1)x +4a ≥log a x ，得a ≥17，综上可知，a 的取值范围为[17, 13)下列命题中真命题的序号为________．①若一个球的半径缩小为原来的一半，则其体积缩小为原来的八分之一 ②若两组数据的平均值相等，则它们的标准差也相等 ③直线x +y +1＝0与圆x 2+y 2＝1相切；④若两个平面都垂直于同一个平面，则这两个平面平行． 【答案】 ①【考点】命题的真假判断与应用 【解析】数据的平均数相等，它们的标准差不相等，对于③利用圆心到直线的距离与半径之间的关系进行判断即可，对于④利用面面关系即可判断．【解答】对于①，由球的体积公式V=43πR3可得若球的半径变为原来的一半，则体积变为原来的八分之一，故①对；对于②，若两组数据的平均数相等，则它们的标准差不一定相等，如2，2，2和1，2，3；这两组数据的平均数相等，它们的标准差不相等，故②错；对于③，圆心到直线的距离d=√1+1=√22≠1，故直线不与圆相切，故③错；对于④，由面面关系可知，若两个平面都垂直于同一个平面，则这两个平面平行或相交，如正方体相邻三个面，故④错，三、解答题（本题共5小题，共70分）已知函数f(x)=2√3sin x cos x+2sin2x−1．（1）求函数f(x)的单调递增区间；（2）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若f(A)=2,C=π4,c=2，求△ABC的面积．【答案】∵f(x)=2√3sin x cos x+2sin2x−1=√3sin2x−cos2x＝2sin(2x−π6)，令2kπ−π2≤2x−π6≤2kπ+π2，k∈Z，解得kπ−π6≤x≤kπ+π3，k∈Z，∴函数f(x)的单调递增区间为：[kπ−π6, kπ+π3]，k∈Z．∵f(A)＝2sin(2A−π6)＝2，∴sin(2A−π6)＝1，∵A∈(0, π)，2A−π6∈(−π6, 11π6)，∴2A−π6=π2，解得A=π3，∵C=π4，c＝2，∴由正弦定理asin A =csin C，可得a=c⋅sin Asin C=2×√32√22=√6，∴由余弦定理a2＝b2+c2−2bc cos A，可得6＝b2+4−2×b×2×12，解得b＝1+√3，（负值舍去），∴S△ABC=12ab sin C=12×√6×(1+√3)×√22=3+√32．【考点】两角和与差的三角函数【解析】（1）利用三角函数恒等变换的应用化简函数解析式可得f(x)＝2sin(2x−π6)，利用正弦函数的单调性即可求解其单调递增区间．（2）由题意可得sin(2A−π6)＝1，结合范围2A−π6∈(−π6, 11π6)，可求A的值，由正弦定理可得a，由余弦定理b，进而根据三角形的面积公式即可求解．【解答】∵f(x)=2√3sin x cos x+2sin2x−1=√3sin2x−cos2x＝2sin(2x−π6)，令2kπ−π2≤2x−π6≤2kπ+π2，k∈Z，解得kπ−π6≤x≤kπ+π3，k∈Z，∴函数f(x)的单调递增区间为：[kπ−π6, kπ+π3]，k∈Z．∵f(A)＝2sin(2A−π6)＝2，∴sin(2A−π6)＝1，∵A∈(0, π)，2A−π6∈(−π6, 11π6)，∴2A−π6=π2，解得A=π3，∵C=π4，c＝2，∴由正弦定理asin A =csin C，可得a=c⋅sin Asin C=2×√32√22=√6，∴由余弦定理a2＝b2+c2−2bc cos A，可得6＝b2+4−2×b×2×12，解得b＝1+√3，（负值舍去），∴S△ABC=12ab sin C=12×√6×(1+√3)×√22=3+√32．已知数列{a n}的前n项和为S n，S n＝na n+n(n−1)，且a5是a2和a6的等比中项．(Ⅰ)证明：数列{a n}是等差数列并求其通项公式；(Ⅱ)设b n=1a n a n+1，求数列{b n}的前n项和．【答案】（1）证明：S n＝na n+n(n−1)，可得S n+1＝(n+1)a n+1+n(n+1)，相减可得S n+1−S n＝(n+1)a n+1−na n+n(n+1)−n(n−1)，化简a n+1＝(n+1)a n+1−na n+2n，即为na n+1−na n＝−2n，即有a n+1−a n＝−2，则数列{a n}是公差d为−2的等差数列，a5是a2和a6的等比中项，可得a52＝a2a6，解得a1＝11，则a n＝11−2(n−1)＝13−2n；（2）b n=1a n a n+1=1(13−2n)(11−2n)=12(111−2n−113−2n)，则数列{b n}的前n项和为12(19−111+17−19+15−17+⋯+111−2n−113−2n)=12(111−2n−111)=n121−22n．【考点】数列的求和数列递推式【解析】(Ⅰ)将n换为n+1，相减，运用数列的递推式和等差数列的定义和通项公式，以及等比数列中项性质，可得首项和公差，进而得到所求通项；(Ⅱ)求得b n=1a n a n+1=1(13−2n)(11−2n)=12(111−2n−113−2n)，由数列的裂项相消求和，化简可得所求和．【解答】（1）证明：S n＝na n+n(n−1)，可得S n+1＝(n+1)a n+1+n(n+1)，相减可得S n+1−S n＝(n+1)a n+1−na n+n(n+1)−n(n−1)，化简a n+1＝(n+1)a n+1−na n+2n，即为na n+1−na n＝−2n，即有a n+1−a n＝−2，则数列{a n}是公差d为−2的等差数列，a5是a2和a6的等比中项，可得a52＝a2a6，即(a1−8)2＝(a1−2)(a1−10)，解得a1＝11，则a n＝11−2(n−1)＝13−2n；（2）b n=1a n a n+1=1(13−2n)(11−2n)=12(111−2n−113−2n)，则数列{b n}的前n项和为12(19−111+17−19+15−17+⋯+111−2n−113−2n)=12(111−2n−111)=n121−22n．如图，在直棱柱ABC−A1B1C1中，∠BAC=90∘，AB=AC=√2，AA1=3，D是BC 的中点，点E在棱BB1上运动．(1)证明：AD⊥C1E；(2)当异面直线AC，C1E所成的角为60∘时，求三棱锥C1−A1B1E的体积．【答案】BB1⊥平面ABC，AD⊂平面ABC，∴AD⊥BB1，∵在△ABC中，AB=AC，D为BC中点，∴AD⊥BC，又∵BC，BB1⊂平面BB1C1C，BC∩BB1=B∴AD⊥平面BB1C1C，又∵C1E⊂平面BB1C1C，∴AD⊥C1E.(2)解：∵直棱柱ABC−A1B1C1中，AC // A1C1，∴∠EC1A1（或其补角）即为异面直线AC，C1E所成的角，∵∠BAC=∠B1A1C1=90∘，∴A1C1⊥A1B1，又∵AA1⊥平面A1B1C1，∴A1C1⊥AA1，∵A1B1∩AA1=A1，∴A1C1⊥平面AA1B1B，∵A1E⊂平面AA1B1B，∴A1C1⊥A1E，∵在Rt△A1C1E中，∠EC1A1=60∘，∴cos∠EC1A1=A1C1C1E =12，∴C1E=2A1C1=2√2，又∵B1C1=√A1C12+A1B12=2，∴B1E=√C1E2−B1C12=2，∴V C1−A1B1E =13S△A1B1E×A1C1=13×12×2×√2×√2=23.【考点】两条直线垂直的判定直线与平面垂直的性质直线与平面垂直的判定柱体、锥体、台体的体积计算【解析】（1）根据直三棱柱的性质，得AD⊥BB1，等腰△ABC中利用“三线合一”证出AD⊥BC，结合线面垂直判定定理，得AD⊥平面BB1C1C，从而可得AD⊥C1E；（2）根据AC // A1C1，得到∠EC1A1（或其补角）即为异面直线AC、C1E所成的角．由A1C1⊥A1B1且A1C1⊥AA1，证出A1C1⊥平面AA1B1B，从而在Rt△A1C1E中得到∠EC1A1＝60∘，利用余弦的定义算出C1E＝2A1C1＝2√2，进而得到△A1B1E面积为√2，由此结合锥体体积公式即可算出三棱锥C1−A1B1E的体积．【解答】(1)证明：∵直棱柱ABC−A1B1C1中，BB1⊥平面ABC，AD⊂平面ABC，∴AD⊥BB1，∵在△ABC中，AB=AC，D为BC中点，∴AD⊥BC，又∵BC，BB1⊂平面BB1C1C，BC∩BB1=B∴AD⊥平面BB1C1C，又∵C1E⊂平面BB1C1C，∴AD⊥C1E.(2)解：∵直棱柱ABC−A1B1C1中，AC // A1C1，∴∠EC1A1（或其补角）即为异面直线AC，C1E所成的角，∵∠BAC=∠B1A1C1=90∘，∴A1C1⊥A1B1，又∵AA1⊥平面A1B1C1，∴A1C1⊥AA1，∵A1B1∩AA1=A1，∴A1C1⊥平面AA1B1B，∵A1E⊂平面AA1B1B，∴A1C1⊥A1E，∵在Rt△A1C1E中，∠EC1A1=60∘，∴cos∠EC1A1=A1C1C1E =12，∴C1E=2A1C1=2√2，又∵B1C1=√A1C12+A1B12=2，∴B1E=√C1E2−B1C12=2，∴V C1−A1B1E =13S△A1B1E×A1C1=13×12×2×√2×√2=23.已知f(x)＝e x−x ln x+ax−1（e为自然对数的底数）．（1）设函数g(x)=f(x)x，求函数g(x)的最小值；（2）若函数f(x)在[1, +∞)上为增函数，求实数a的取值范围．【答案】g(x)=f(x)x =e xx−ln x+a−1x，函数g(x)的定义域为(0, +∞)，g′(x)=(x−1)(e x−1)x2，令g′(x)>0，解得x>1，故函数g(x)在(1, +∞)单调递增，令g′(x)<0，解得0<x< 1，故函数g(x)在(0, 1)单调递减，∴g(x)min＝g(1)＝e−1+a；由题意，f′(x)＝e x−ln x+a−1≥0在[1, +∞)上恒成立，即a≥ln x−e x+1在[1, +∞)上恒成立，令ℎ(x)＝ln x−e x+1(x≥1)，则ℎ(x)=1x−e x，显然ℎ′(x)为[1, +∞)的减函数，∴ℎ′(x)≤ℎ′(1)＝1−e<0，∴函数ℎ(x)在[1, +∞)上单调递减，∴ℎ(x)max＝ℎ(1)＝1−e，则a≥1−e，即实数a的取值范围为[1−e, +∞)．【考点】利用导数研究函数的单调性利用导数研究函数的最值【解析】（1）表示出g(x)，利用导数可求得其最小值；（2）原问题等价于a ≥ln x −e x +1在[1, +∞)上恒成立，令ℎ(x)＝ln x −e x +1(x ≥1)，求导后可得函数ℎ(x)在[1, +∞)上单调递减，由a ≥ℎ(x)max ，进而求得答案． 【解答】 g(x)=f(x)x=e x x−ln x +a −1x，函数g(x)的定义域为(0, +∞)，g ′(x)=(x−1)(e x −1)x 2，令g′(x)>0，解得x >1，故函数g(x)在(1, +∞)单调递增，令g′(x)<0，解得0<x <1，故函数g(x)在(0, 1)单调递减， ∴ g(x)min ＝g(1)＝e −1+a ；由题意，f′(x)＝e x −ln x +a −1≥0在[1, +∞)上恒成立，即a ≥ln x −e x +1在[1, +∞)上恒成立，令ℎ(x)＝ln x −e x +1(x ≥1)，则ℎ(x)=1x −e x ，显然ℎ′(x)为[1, +∞)的减函数，∴ ℎ′(x)≤ℎ′(1)＝1−e <0，∴ 函数ℎ(x)在[1, +∞)上单调递减，∴ ℎ(x)max ＝ℎ(1)＝1−e ，则a ≥1−e ，即实数a 的取值范围为[1−e, +∞)．已知椭圆M:x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0)的一个焦点为F(−1, 0)，离心率e =12左右顶点分别为A 、B ，经过点F 的直线l 与椭圆M 交于C 、D 两点（与A 、B 不重合）． (Ⅰ)求椭圆M 的方程；(Ⅱ)记△ABC 与△ABD 的面积分别为S 1和S 2，求|S 1−S 2|的最大值，并求此时l 的方程． 【答案】（I ）设椭圆M 的半焦距为c ，即c ＝1， 又离心率e =12，即ca=12∴ a ＝2，b 2＝a 2−c 2＝3 ∴ 椭圆M 的方程为x 24+y 23=1(II)设直线l 的方程为x ＝my −1，C(x 1, y 2)，D(x 2, y 2)，联立方程组 {x =my −1x 24+y 23=1，消去x 得，(3m 2+4)y 2−6my −9＝0∴ y 1+y 2=6m3m 2+4，y 1y 2=−93m 2+4<0S 1＝S △ABC =12|AB|⋅|y 1|，S 2＝S △ABD =12|AB|⋅|y 2|，且y 1，y 2异号 ∴ |S 1−S 2|=12|AB|⋅|y 1+y 2|=12×4×|y 1+y 2|=12|m|3m 2+4=123m+4|m|∵ 3|m|+4|m|≥4√3，当且仅当3|m|=4|m|，即m ＝√3时，等号成立∴ |S 1−S 2|的最大值为4√3=√3此时l 的方程为√3x ±2y +√3=0 【考点】 椭圆的离心率【解析】(Ⅰ)由焦点F 坐标可求c 值，根据离心率e 及a ，b ，c 的平方关系可求得a 值；(Ⅱ)当直线l 不存在斜率时可得，|S 1−S 2|＝0；当直线l 斜率存在（显然k ≠0）时，设直线方程为y ＝k(x +1)(k ≠0)，与椭圆方程联立消y 可得x 的方程，根据韦达定理可用k 表示x 1+x 2，x 1x 2，|S 1−S 2|可转化为关于x 1，x 2的式子，进而变为关于k 的表达式，再用基本不等式即可求得其最大值． 【解答】（I ）设椭圆M 的半焦距为c ，即c ＝1， 又离心率e =12，即ca =12 ∴ a ＝2，b 2＝a 2−c 2＝3 ∴ 椭圆M 的方程为x 24+y 23=1(II)设直线l 的方程为x ＝my −1，C(x 1, y 2)，D(x 2, y 2)，联立方程组 {x =my −1x 24+y 23=1，消去x 得，(3m 2+4)y 2−6my −9＝0∴ y 1+y 2=6m3m 2+4，y 1y 2=−93m 2+4<0S 1＝S △ABC =12|AB|⋅|y 1|，S 2＝S △ABD =12|AB|⋅|y 2|，且y 1，y 2异号 ∴ |S 1−S 2|=12|AB|⋅|y 1+y 2|=12×4×|y 1+y 2|=12|m|3m 2+4=123m+4|m|∵ 3|m|+4|m|≥4√3，当且仅当3|m|=4|m|，即m ＝√3时，等号成立∴ |S 1−S 2|的最大值为4√3=√3此时l 的方程为√3x ±2y +√3=0 选做题（任选一题，共10分）在平面直角坐标系xoy 中，直线l 经过点P(−3, 0)，其倾斜角为α，以原点O 为极点，以x 轴非负半轴为极轴，与直角坐标系xoy 取相同的长度单位，建立极坐标系．设曲线C 的极坐标方程为ρ2−2ρcos θ−3＝0．（1）若直线l 与曲线C 有公共点，求倾斜角α的取值范围；（2）设M(x, y)为曲线C 上任意一点，求x +y 的取值范围． 【答案】将曲线C 的极坐标方程ρ2−2ρcos θ−3＝0 化为直角坐标方程为x 2+y 2−2x −3＝0， 直线l 的参数方程为{x =−3+t cos αy =t sin α（t 为参数），将参数方程代入x 2+y 2−2x −3＝0，整理得t 2−8t cos α+12＝0， ∵ 直线l 与曲线C 有公共点，∴ △＝64cos 2α−48≥0， ∴ cos α≥√32，或cos α≤−√32，∵ α∈[0, π)，∴ α的取值范围是[0, π6]∪[5π6, π)．曲线C 的方程x 2+y 2−2x −3＝0可化为(x −1)2+y 2＝4， 其参数方程为{x =1+2cos θy =2sin θ ，（θ为参数），∵ M(x, y)为曲线上任意一点，∴ x +y ＝1+2cos θ+2sin θ＝1+2√2sin (θ+π4)，∴ x +y 的取值范围是[1−2√2, 1+2√2]． 【考点】圆的极坐标方程 【解析】（1）利用互化公式即可把曲线C 的极坐标方程ρ2−2ρcos θ−3＝0化为直角坐标方程．直线l 的参数方程为{x =−3+t cos αy =t sin α （t 为参数），代入曲线C 的直角坐标方程可得t 2−8t cos α+12＝0，根据直线l 与曲线C 有公共点，可得△≥0，利用三角函数的单调性即可得出．（2）曲线C 的方程x 2+y 2−2x −3＝0可化为(x −1)2+y 2＝4，参数方程为{x =1+2cos θy =2sin θ ，（θ为参数），设M(x, y)为曲线上任意一点，可得x +y ＝1+2cos θ+2sin θ，利用和差公式化简即可得出取值范围． 【解答】将曲线C 的极坐标方程ρ2−2ρcos θ−3＝0 化为直角坐标方程为x 2+y 2−2x −3＝0， 直线l 的参数方程为{x =−3+t cos αy =t sin α（t 为参数），将参数方程代入x 2+y 2−2x −3＝0，整理得t 2−8t cos α+12＝0， ∵ 直线l 与曲线C 有公共点，∴ △＝64cos 2α−48≥0， ∴ cos α≥√32，或cos α≤−√32，∵ α∈[0, π)，∴ α的取值范围是[0, π6]∪[5π6, π)．曲线C 的方程x 2+y 2−2x −3＝0可化为(x −1)2+y 2＝4， 其参数方程为{x =1+2cos θy =2sin θ ，（θ为参数），∵ M(x, y)为曲线上任意一点，∴ x +y ＝1+2cos θ+2sin θ＝1+2√2sin (θ+π4)，∴ x +y 的取值范围是[1−2√2, 1+2√2]．已知函数f(x)＝|x −1|，关于x 的不等式f(x)<3−|2x +1|的解集记为A ． （1）求A ；（2）已知a ，b ∈A ，求证：f(ab)>f(a)−f(b)． 【答案】由f(x)<3−|2x +1|，得|x −1|+|2x +1|<3，即{x ≤−121−x −2x −1<3 或{−12<x <11−x +2x +1<3 或{x ≥1x −1+2x +1<3解得−1<x ≤−12或−12<x <1，所以，集合A ＝{x ∈R|−1<x <1}．证明：∵ a ，b ∈A ，∴ −1<ab <1，∴ f(ab)＝|ab −1|＝1−ab ，f(a)＝|a −1|＝1−a ，f(b)＝|b −1|＝1−b ， ∵ f(ab)−（f(a)−f(b)）＝1−ab −1+a +1−b ＝(1+a)(1−b)>0， ∴ f(ab)>f(a)−f(b)． 【考点】绝对值不等式的解法与证明 不等式的证明 【解析】（1）分类讨论，去掉绝对值符合，即可求A ；（2）利用作差法，即可证明：f(ab)>f(a)−f(b)． 【解答】由f(x)<3−|2x +1|，得|x −1|+|2x +1|<3，即{x ≤−121−x −2x −1<3 或{−12<x <11−x +2x +1<3 或{x ≥1x −1+2x +1<3解得−1<x ≤−12或−12<x <1，所以，集合A ＝{x ∈R|−1<x <1}．证明：∵ a ，b ∈A ，∴ −1<ab <1，∴ f(ab)＝|ab −1|＝1−ab ，f(a)＝|a −1|＝1−a ，f(b)＝|b −1|＝1−b ， ∵ f(ab)−（f(a)−f(b)）＝1−ab −1+a +1−b ＝(1+a)(1−b)>0， ∴ f(ab)>f(a)−f(b)．。

2020届陕西省宝鸡中学、西安三中等五校高三上学期第一次联考数学（文）试题一、单选题1．已知集合{}|2xP y y ==，{}|1Q x y x ==-，则P Q =I （ ）A ．[]1,1-B ．[)0,+∞C ．(][),11,-∞⋃+∞D ．(]0,1【答案】D【解析】分别求两个集合，再求交集. 【详解】∵{}|0P y y =>，10x -≥，解得：1x ≤∴{}|1Q x x =≤，∴(]0,1P Q =I . 故选：D. 【点睛】本题考查简单函数的定义域和值域，和集合的交集，属于基础题型. 2．复数21ii-等于（ ） A ．1i -+ B ．1i - C ．1i + D ．1i -- 【答案】A 【解析】略3．已知一组数据点()11,x y ，()22,x y ，()33,x y ，…，()77,x y ，用最小二乘法得到其线性回归方程为$24y x =-+，若数据1x ，2x ，3x ，…7x 的平均数为1，则71i i y ==∑（ ）A ．2B ．11C ．12D ．14【答案】D【解析】根据(),x y 在回归直线上，代入求y ，再求71ii y=∑.【详解】∵1x =，且(),x y 在线性回归直线$24y x =-+上， ∴242142y x =-+=-⨯+=，则7177214ii yy ===⨯=∑.故选：D. 【点睛】本题考查回归直线方程的应用，意在考查基础知识，本题的关键是知道回归直线必过样本中心点(),x y . 4．经过原点并且与直线20x y +-=相切于点()2,0的圆的标准方程是（ ） A ．()()22112x y -++= B ．()()22112x y ++-= C ．()()22114x y -++= D ．()()22114x y ++-=【答案】A【解析】设圆心为(),a b ，根据条件列关于,a b 的方程，求圆的标准方程. 【详解】设圆心的坐标为(),a b ， 则222a b r +=①，()2222a b r -+=②，12ba =-③； 由①②③组成方程组，解得 1a =，1b =-，22r =；故所求圆的标准方程是()()22112x y -++=. 故选：A. 【点睛】本题考查求圆的标准方程，意在考查计算能力，属于基础题型.5．已知向量()1,3a =r ，()3,b m =r .若向量a b ⊥r r ，则实数m 等于（ ）A ．33B ．33-C ．3D ．3-【答案】D【解析】直接根据向量垂直的数量积的坐标表示列式求解. 【详解】向量()1,3a =r ，()3,b m =r ，若向量a b ⊥r r，则330a b m ⋅=+=r r， 则实数3m =-， 故选：D 【点睛】本题考查向量垂直的数量积的坐标表示，意在考查基本计算，属于基础题型. 6．．阅读如图的程序框图. 若输入6n =, 则输出k 的值为A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】B【解析】试题分析：第一圈，n=6,n=13,否k=1； 第二圈，n=13,n=27,否k=2； 第三圈，n=27,n=55,否k=3；第四圈，n=55,n=110,是，输出k=3；故选B 。

陕西省宝鸡中学2019届高三第一次模拟数学（文）试题（解析版）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合，集合0，1，3，，则A. 1，B.C. 0，1，D. 1，【答案】A【解析】解：集合1，2，3，，集合0，1，3，，1，．故选：A．利用交集定义直接求解．本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.已知i为虚数单位，复数z满足，则A. B. C. D.【答案】A【解析】解：i为虚数单位，复数z满足，则，．故选：A．根据复数的代数运算法则，由求出z即可．本题考查了复数的代数运算问题，是基础题．3.设是定义在R上的奇函数，且当时，，则A. 1B.C.D.【答案】B【解析】解：是定义在R上的奇函数故选：B．由奇函数将转化为求解．本题主要考查奇偶性定义及选择题的解法．4.我国古代数学著作算法统宗》中有这样一个问题意为：“有一个人要走378里路，第一天健步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地“那么，此人第4天和第5天共走路程是A. 24里B. 36里C. 48里D. 60里【答案】B【解析】解：记每天走的路程里数为，可知是公比的等比数列，由，得，解得：，．此人第4天和第5天共走了里．故选：B．记每天走的路程里数为，可知是公比的等比数列，由，得，解得：，利用通项公式可得．本题考查了等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．5.若实数x，y满足，则的取值范围为A. B. C. D.【答案】B【解析】解：由约束条件画出可行域，如下图，的几何意义为与可行域内动点连线的斜率，由图可知，，则的取值范围为．故选：B．由约束条件作出可行域，再由的几何意义，即与可行域内动点连线的斜率求解．本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．6.现执行如图所示的程序框图，该算法的功能是A. 求两个正数a，b的最小公倍数B. 判断两个正数a，b是否相等C. 判断其中一个正数是否能被另个正数整除D. 求两个正数a，b的最大公约数【答案】D【解析】解：根据题意执行如图所示的程序框图知，该算法的功能是利用更相减损术求两个数的最大公约数问题．故选：D．根据程序框图知该算法的功能是利用更相减损术求两个数的最大公约数问题．本题考查了程序框图的应用问题，是基础题．7.的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，，，则的面积等于A. B. C. 9 D.【答案】B【解析】解：，，，，由余弦定理，可得：，整理可得：，解得：，．故选：B．由已知利用同角三角函数基本关系式可求的值，根据余弦定理可求a的值，进而利用三角形面积公式即可计算得解．本题主要考查了同角三角函数基本关系式，余弦定理，三角形面积公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．8.已知点P在抛物线上，则当点P到点的距离与点P到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P的坐标为A. B. C. D.【答案】D【解析】解：抛物线的焦点F的坐标为，准线方程为，过点P作，垂足为N，连接FP，则．故当轴时，取得最小值．设点，代入抛物线方程，解得，故选：D．过点P作，连接FP，利用抛物线的定义可得，可知当轴时，点P、Q、N三点共线，因此，取得最小值，求出即可．本题考查抛物线的简单性质，着重考查抛物线的定义的应用，突出转化思想的运用，属于中档题．9.等差数列的前n项和为，若公差，，则A. B. C. D.【答案】D【解析】解：公差，，，，，，，，，故选：D．公差，，可得，于是，可得，，进而得出：，，即可得出结论．本题考查了等差数列的通项公式及其单调性、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．10.已知正三棱柱，，则异面直线与所成角的余弦值为A. 0B.C.D.【答案】C【解析】解：以A为原点，在平面ABC内过A作AC的垂线为x轴，以AC为y轴，以为z轴，建立空间直角坐标系，设正三棱柱的各条棱长为2，则0，，1，，0，，2，，1，，2，，设异面直线和所成的角的余弦值为，则，故选：C．以A为原点，在平面ABC内过A作AC的垂线为x轴，以AC为y轴，以为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线和所成的角的余弦值大小．本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养属于中档题．11.若双曲线C：的一条渐近线被圆所截得的弦长为2，则C的离心率为A. 2B.C.D.【答案】A【解析】解：双曲线C：的一条渐近线不妨为：，圆的圆心，半径为：2，双曲线C：的一条渐近线被圆所截得的弦长为2，可得圆心到直线的距离为：，解得：，可得，即．故选：A．通过圆的圆心与双曲线的渐近线的距离，列出关系式，然后求解双曲线的离心率即可．本题考查双曲线的简单性质的应用，圆的方程的应用，考查计算能力．12.函数在点处的切线斜率为2，则的最小值是A. 10B. 9C. 8D.【答案】B【解析】解：由，得，又在点处的切线斜率为2，所以，即．则．当且仅当，即时“”成立．所以的最小值是9．故选：B．求出原函数的导函数，由，得，把变形为后整体乘以1，展开后利用基本不等式求最小值．本题考查了导数的运算，考查了利用基本不等式求最值，考查了学生灵活变换和处理问题的能力，是中档题．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知，，则______．【答案】1【解析】解：根据题意，设，则，则有，，解可得，，则，则；故答案为：1根据题意，设，由向量加减法的计算公式可得，解可得x、y的值，即可得，进而由数量积的计算公式计算可得答案．本题考查向量数量积的坐标计算，注意求出的坐标．14.中国古代数学名草《周髀算经》曾记载有“勾股各自乘，并而开方除之”，用符号表示为b，，我们把a，b，c叫做勾股数下列给出几组勾股数：3，4，5；5，12，13；7，24，25；9，40，41，以此类推，可猜测第5组股数的三个数依次是______．【答案】11，60，61【解析】解：先找出勾股数的规律：以上各组数均满足；最小的数是奇数，其余的两个数是连续的正整数；最小奇数的平方等于另两个连续整数的和，如，，，，由以上特点我们可第组勾股数：，故答案为11，60，61．先找出勾股数的规律：以上各组数均满足；最小的数是奇数，其余的两个数是连续的正整数；最小奇数的平方等于另两个连续整数的和，即可得出结论．本题考查归纳推理，考查学生分析解决问题的能力，比较基础．15.已知三棱柱的侧棱垂直于底面，各顶点都在同一球面上，若该棱柱的体积为，，，，则此球的表面积等于______．【答案】【解析】解：三棱柱的侧棱垂直于底面，棱柱的体积为，，，，，设外接圆的半径为R，则，外接球的半径为球的表面积等于故答案为：利用三棱柱的侧棱垂直于底面，棱柱的体积为，，，，求出，再求出外接圆的半径，即可求得球的半径，从而可求球的表面积．本题考查球的表面积，考查棱柱的体积，考查学生的计算能力，属于基础题．16.已知函数则不等式的解集为______．【答案】【解析】解：根据题意，函数的解析式为，若不等式，或，解可得：，解可得：，综合可得：x的取值范围：，即的解集为；故答案为：根据题意，由，变形可得或，解再取并集可得x的取值范围，即可得答案．本题考查分段函数的应用，涉及指数、对数不等式的解法，注意转化为两个不等式组进行分开求解．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知函数．求函数的单调减区间；将函数的图象向左平移个单位，再将所得的图象上各点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，求在上的值域．【答案】解：函数，当时解得：，因此，函数的单调减区间为．将函数的图象向左平移个单位，可得的图象，再将所得的图象上各点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，，，的值域为．【解析】利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的单调性，求得函数的单调减区间．利用函数的图象变换规律，求得的解析式，再利用正弦定义域和值域，求得的值域．本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的单调性函数的图象变换规律，正弦定义域和值域，属于中档题．18.如图，在棱长均为1的直三棱柱中，D是BC的中点．求证：平面；求点C到平面的距离．【答案】证明：证：直三棱柱中，面ABC；，又，D是BC的中点；，；平面；连接，由平面，，，．，设点C到平面的距离为则解得，点C到平面的距离为分【解析】直三棱柱的侧棱和底面垂直，从而可得到，并且，从而由线面垂直的判定定理可得到平面；利用等体积法求解．考查直三棱柱的定义，线面垂直的性质，以及点面距离的求解，属于中档题．19.已知椭圆C：的两个焦点和短轴的两个端点都圆上．Ⅰ求椭圆C的方程；Ⅱ若斜率为k的直线经过点，且与椭圆C相交于A，B两点，试探讨k为何值时，．【答案】解：依题意椭圆的两个焦点和短轴的两个端点都圆上，可得，所以，所以椭圆C的方程；；设，，直线AB的方程为：，由消去y得：，所以，因为，所以，即，而，所以，所以，解得：，此时，所以．【解析】Ⅰ由题意可得焦点为，短轴的端点为，可得，求得a，进而得到椭圆方程；设，，直线AB的方程为：，代入椭圆方程，消去y，可得x的方程，运用韦达定理和两直线垂直的条件：斜率之积为，化简计算即可得到所求k的值．本题考查椭圆的方程的求法，考查直线方程和椭圆方程联立，运用韦达定理和两直线垂直的条件，考查运算能力，属于中档题．20.在某校举行的航天知识竞赛中，参与竞赛的文科生与理科生人数之比为1：3，且成绩分布在，分数在80以上含的同学获奖按文理科用分层抽样的方法抽取200人的成绩作为样本，得到成绩的频率分布直方图见图．求a的值，并计算所抽取样本的平均值同一组中的数据用该组区间的中点值作代表；填写下面的列联表，能否有超过的把握认为“获奖与学生的文理科有关”？附表及公式：，其中【答案】解：，分分，所以有超过的把握认为“获奖与学生的文理科有关”分【解析】利用频率和为1，求a的值，利用同一组中的数据用该组区间的中点值作代表，计算所抽取样本的平均值；求出，与临界值比较，即可得出结论．本题考查频率分布直方图，考查独立性检验知识的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．21.已知函数若，当时，求的单调递减区间；若函数有唯一的零点，求实数a的取值范围．【答案】解：的定义域为分当时，分由得或分所以的单调递减区间为分问题等价于有唯一的实根，显然，则关于x的方程有唯一的实根分构造函数，则分令，得当时，，单调递减当时，，单调递增，的极小值为分则要使方程有唯一的实根，只需直线与曲线有唯一的交点，则或解得或故实数a的取值范围是分【解析】的定义域为，通过时，求出导函数，利用导函数小于0，求解即可．问题等价于有唯一的实根，显然，则关于x的方程有唯一的实根，构造函数，则，判断函数的单调性求解函数的极值，然后求解实数a的取值范围．本题考查函数的导数的应用，函数的单调性以及和函数的极值的求法，考查分析问题解决问题的能力．22.在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为为参数，在以原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为．求C的普通方程和l的倾斜角；设点，l和C交于A，B两点，求．【答案】解：由消去参数，得即C的普通方程为由，得将代入得所以直线l的斜率角为．由知，点在直线l上，可设直线l的参数方程为为参数即为参数，代入并化简得设A，B两点对应的参数分别为，．则，所以，所以．【解析】直接把曲线的参数方程转化为直角坐标方程，进一步把极坐标方程转化为直角坐标方程，在求出直线的倾斜角．利用定点把直线的直角坐标式转化为参数式，进一步建立一元二次方程根与系数的关系，最后求出结果．本题考查的知识要点：直角坐标方程与参数方程的互化，直线和曲线的位置关系的应用，一元二次方程根与系数的关系的应用．23.已知函数．求不等式的解集M；设a，，证明：．【答案】解：当时，原不等式化为解得：；当时，原不等式化为解得：，此时不等式无解；当时，原不等式化为，解得：．综上，或；证明：设a，，，，则，．，故成立．【解析】把要解的不等式等价转化为与之等价的三个不等式组，求出每个不等式组的解集，再取并集，即得所求．由题意可得，，化简为，从而证得不等式成立．本题主要考查绝对值不等式的解法，绝对值三角不等式，属于中档题．。

陕西省宝鸡中学2019届高三第一次模拟数学（文）试题（解析版）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合是小于5的自然数，集合，则A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先化简集合，直接利用交集定义求解即可．【详解】集合是小于5的自然数，集合，，故选A．【点睛】研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性.研究两集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，本题实质求满足属于集合且属于集合的元素的集合.2.已知i为虚数单位，复数z满足，则z =A. B. C. D.【答案】A【解析】复数z满足，故答案为：A。

3.设是定义在R上的奇函数，且当时，，则A. 1B.C.D.【答案】B【解析】试题分析：由奇函数可得，故选A.考点：函数的奇偶性.4.我国古代数学著作算法统宗中有这样一个问题意为：“有一个人要走378里路，第一天健步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地“那么，此人第4天和第5天共走路程是A. 24里B. 36里C. 48里D. 60里【答案】B【解析】【分析】记每天走的路程里数为，可知是公比的等比数列，由，利用等比数列求和公式解得，利用等比数列的通项公式可得．【详解】记每天走的路程里数为，可知是公比的等比数列，由，得，解得：，．所以此人第4天和第5天共走了里，故选B．【点睛】本题考查了等比数列的通项公式与求和公式，考属于中档题．等比数列基本量的运算是等比数列的一类基本题型，数列中的五个基本量，一般可以“知二求三”，通过列方程组所求问题可以迎刃而解.5.若实数满足则的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】作出不等式表示的平面区域，得到如图的三角形及其内部：其中，，，设为区域内的点，定点，可得表示两点连线的斜率，由图象可知，的最小值是1，即，所以的取值范围是故选B6.现执行如图所示的程序框图，该算法的功能是A. 求两个正数的最小公倍数B. 判断两个正数是否相等C. 判断其中一个正数是否能被另个正数整除D. 求两个正数的最大公约数【答案】D【解析】【分析】根据程序框图知该算法的功能是利用更相减损术求两个数的最大公约数问题．【详解】根据题意执行如图所示的程序框图知，该算法的功能是利用更相减损术求两个数的最大公约数问题，故选D．【点睛】本题考查了程序框图的应用问题，是基础题．解决算法的交汇性问题的方法：（1）读懂程序框图、明确交汇知识，(2）根据给出问题与程序框图处理问题即可.7.△的内角，，所对的边分别为，，，已知，，，则△的面积等于A. B. C. D.【答案】B【解析】由余弦定理得：，即，解得：∴故选：B8.已知点在抛物线上，则当点到点的距离与点到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点的坐标为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因为点到抛物线焦点距离等于点到抛物线的准线的距离，所以到点的距离与点到抛物线焦点距离之和取得最小等价于到点的距离与点到抛物线准线距离之和取得最小，如图，由几何性质可得，从向准线作垂线，其与抛物线交点就是所求点，将代入，可得，点到点的距离与点到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点的坐标为，故选D.【方法点晴】本题主要考查抛物线的标准方程和抛物线的简单性质及利用抛物线的定义求最值，属于难题.与抛物线的定义有关的最值问题常常实现由点到点的距离与点到直线的距离的转化：(1)将抛物线上的点到准线的距化为该点到焦点的距离，构造出“两点之间线段最短”，使问题得解；(2)将拋物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，利用“点与直线上所有点的连线中垂线段最短”原理解决.本题是将到焦点的距离转化为到准线的距离，再根据几何意义解题的.9.等差数列的前项和为，若公差，，则A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由公差可得，由可得，可得，，由等差数列的性质可得，，从而可得结论．【详解】公差，，，，，,，，，，，故选D．【点睛】本题考查了等差数列的通项公式与性质以及单调性、不等式的性质，属于中档题．解答等差数列问题要注意应用等差数列的性质（）.10.已知正三棱柱，，则异面直线与所成角的余弦值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：以A为原点，在平面ABC内过A作AC的垂线为x轴，以AC为y轴，以AA1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线AB1和A1C所成的角的余弦值大小．详解：以A为原点，在平面ABC内过A作AC的垂线为x轴，以AC为y轴，以AA1为z轴，建立空间直角坐标系，设正三棱柱ABC﹣A1B1C1的各条棱长为2，则A（0，0，0），B1（，1，2），A1（0，0，2），C（0，2，0），=（），=（0，2，﹣2），设异面直线AB1和A1C所成的角的余弦值为θ，则cosθ===．∴异面直线AB1和A1C所成的角的余弦值大小为．故选：A．点睛：求空间两条异面直线所成角的大小是立体几何中最为常见的基本题型之一。