陕西省宝鸡中学2019-2020学年高二下学期期中考试文科数学试题 Word版含解析

2019-2020年高二下学期期中考试数学（文）试题 含答案(V)注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上．用2B 铅笔将试卷类型（A ）填涂在答题卡相应位置上．2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上．3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答．漏涂、错涂、多涂的，答案无效．5．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 如果复数(,)a bi a b R +∈在复平面内的对应点在第二象限，则 A.0,0a b >< 0,0a b >> 0,0a b << 0,0a b <>2. 在ABC ∆中，3,2a b c ===，那么B 等于 A.030 B. 045 C. 060 D.01203. 设有一个回归方程为2 2.5y x =-，变量x 增加一个单位时，则 A ．y 平均增加2.5个单位 B ．y 平均增加2个单位C ．y 平均减少2.5个单位D ．y 平均减少2个单位4. 下列说法中正确的是A.合情推理就是正确的推理B. 归纳推理是从一般到特殊的推理过程 C ．合情推理就是归纳推理 D.类比推理是从特殊到特殊的推理过程 5. 某自动化仪表公司组织结构如下表，其中采购部的直接领导是A ．副总经理（甲）B ．副总经理（乙）C ．总经理D ．董事会6．下列推理过程是类比推理的为A.人们通过大量试验得出抛硬币出现正面的概率为B.科学家通过研究老鹰的眼睛发明了电子鹰眼12C ．通过检验溶液的值得出溶液的酸碱性D.数学中由周期函数的定义判断某函数是否为周期函数7. 用反证法证明命题“若整数系数一元二次方程有有理数根，那么,,a b c 中至少有一个是偶数”，下列条件假设中正确的是A.假设,,a b c 都不是偶数B. 假设,,a b c 都是偶数 C ．假设,,a b c 中至多有一个偶数 D.假设,,a b c 中至多有两个偶数 8. 曲线3231y x x =-+在点()1,1P -处的切线方程是A.34y x =- B 、32y x =-+ C ．43y x =-+ D.45y x =-9．不等式212x x <++的解集是（ ） A.(3,2)(0,)--+∞ B.(,3)(2,0)-∞-- C ．(3,0)-D.(,3)(0,)-∞-+∞10．一同学在电脑中打出如下若干个圆（图中●表示实心圆，○表示空心圆）：○●○○●○○○●○○○○●○○○○○●若将此若干个圆依次复制得到一系列圆，那么在前2006个圆中有（ ）个实心圆。

2019-2020年高二年级第二学期期中考试数学（文）试卷 含答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．复数i1i3++等于( ) A ．i 21+B ．i 21-C ．i 2-D ．i 2+2、设集合{|33,},{1,2},{2,1,2}I x x x Z A B =-<<∈==--，则()I AC B 等于（ ）A ．{}1B ．{}1,2C ．{}0,1,2D ．{}1,0,1,2- 3、下列函数中，在区间),0(+∞上为增函数的是（ ） A.1+=x y B.2)1(-=x y C.x y -=2 D.)1(log 5.0+x4、已知向量()()()()1,1,2,2,,=m n m n m n λλλ=+=++⊥-若则( )A.4-B.3-C.-2D.-15、设n m ,是两条不同的直线, βα,是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ） A ．若α//m ,α//n ,则n m // B ．若α//m ,β//m ,则βα// C ．若n m //,α⊥m ,则α⊥nD ．若α//m ,βα⊥,则β⊥m6、某程序框图如图所示，该程序运行后输出的x 值是 ( ). A ．3 B ．4 C ．6 D ．87、下面四个条件中，使a b >成立的充分而不必要的条件是（ ）A.1a b +＞B.1a b -＞C.22a b ＞D.33a b ＞8、已知曲()421-128=y x ax a a =+++在点，处切线的斜率为，（ ）A.9B.6C.-9D.-6 9、在面积为S 的ABC ∆内部任取一点P ，则PBC ∆的面积大于4S的概率为（ ） A.41 B.43 C.94 D.169 10．如图，平面中两条直线1l 和2l 相交于点O ，对于平面上任意一点M ，若p 、q分别是M 到直线1l 和2l 的距离，则称有序非负实数对(),p q 是点M 的“距离坐标”．已知常数0≥p ，0≥q ，给出下列命题：①若0p q ==，则“距离坐标”为(0,0)的点有且仅有1个；②若0,1p q ==，则“距离坐标”为(0,1)的点有且仅有2③若1,2p q ==，则“距离坐标”为()1,2的点有且仅有4个．上述命题中，正确命题的个数是 ( ) A ．3 B ．2 C ．1 D ． 0二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分．本大题分为必做题和选做题两部分．（一）必做题：第11、12、13题为必做题，每道试题考生都必须做答． 11. 如图2，三棱锥A －BCD 中，AB ⊥平面BCD ，BC ⊥CD ，若AB ＝BC ＝CD ＝2，则该三棱锥的侧视图（投影线平行于BD ）的面积为12．若实数,x y 满足2221x y x y +≥⎧⎪≤⎨⎪≤⎩，则22(1)x y -+的最小值为 ．13．已知各项都是正数的等比数列{}n a 满足7652a a a =+，若存在不同的两项m a 和n a ，使得2116m n a a a ⋅=，则14m n+的最小值是__________. （二）选做题：第14、15题为选做题，考生只能从中选做一题．14．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，2ρ=上的点到直线()6sin 3cos =+θθρ的距离的最小值是 .15．（几何证明选讲选做题）如图，已知PA 是圆O 的切线，切点为A ，AC 是圆O 的直径，PC 与圆O 交于点B ，4PA =，圆O 的半径是__________.PB =三、解答题：本大题6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分），q ）已知函数()cos2cos f x x x x =-⋅． (1)求()f x 最小正周期及最值； (2)若2παπ⎛⎫∈⎪⎝⎭，，且()2f α=，求()3f πα+的值.17.（本小题满分12分）某校有150名学生参加了中学生环保知识竞赛，为了解成绩情况，现从中随机抽取50名学生的成绩进行统计（所有学生成绩均不低于60分）.请你根据尚未完成的频率分布表，解答下列问题：（1）写出M 、N 、p 、q （直接写出结果即可），并作出频率分布直方图；（2）若成绩在90分以上的学生获得一等奖，试估计全校所有参赛学生获一等奖的人数； （3）现从第（Ⅱ）问中所得到的一等奖学生中随机选择2名学生接受采访，已知一等奖获得者中只有2名女生，求恰有1名女生接受采访的概率.18．（本题满分14分）如图，圆O 为三棱锥P-ABC 的底面ABC 的外接圆，AC 是圆O 的直径，PA ⊥BC ，点M 是线段PA 的中点． （1）求证 BC ⊥PB ；（2）设PA ⊥AC ，PA=AC=2，AB=1，求三棱锥P －MBC 的体积；（3）在∆ABC 内是否存在点N ，使得MN ∥平面PBC ？请证明你的结论.欢迎访问“高中试卷网”—— 19、（本小题满分14分）已知各项均为正数的数列{}n a满足214n n n a a a +++=-（n *∈N ），且11a =，24a =．（1）证明：数列是等差数列；（2）设121n n n n b a a ++=，{}n b 的前n 项和为n S ，求证：1n S <．20． (本小题满分14分)已知抛物线C ：22(0)x py p =>的焦点为F ，点P 是直线y x =与抛物线C 在第一象限的交点，且||5PF =. （1）求抛物线C 的方程；（2）设直线:l y kx m =+与抛物线C 有唯一公共点M ，且直线l 与抛物线的准线交于点Q ,试探究，在坐标平面内是否存在点N ，使得以MQ 为直径的圆恒过点N ？若存在，求出点N 的坐标，若不存在，说明理由.21.（本小题满分14分）已知函数)(ln )(R a x a x x f ∈-=.（1）当2=a 时，求曲线()f x 在1x =处的切线方程； （2）设函数xax f x h ++=1)()(，求函数()h x 的单调区间； （3）若xax g +-=1)(，在)71828.2](,1[ =e e 上存在一点0x ，使得)()(00x g x f ≤成立，求a 的取值范围.C2014-2015学年高二年级第二学期期中考试文科数学参考答案一、选择题：本大题考查基本知识和基本运算．共10小题，每小题，满分50分．二、填空题：本大题考查基本知识和基本运算，体现选择性．共5小题，每小题，满分20分．其中14~15题是选做题，考生只能选做一题．11.【答案】2 12.【答案】1/5 13.【答案】3/214.【答案】1 15.【答案】216．（本小题满分12分）解：（1）1()cos2cos=2sin2cos2=2sin226f x x x x x x xπ⎛⎫⎛⎫=-⋅--⋅--⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭…3分所以2=2Tππ=．………………………………………………………………4分()max2f x=⎡⎤⎣⎦;()min2f x=-⎡⎤⎣⎦………………………………………………6分（2）由（1）得，()2sin2=26fπαα⎛⎫=--⎪⎝⎭，得：sin2=16πα⎛⎫--⎪⎝⎭，即32=2,62k k Zππαπ-+∈．得：5=,6k k Zπαπ+∈…8分又因为2παπ<<，所以5=6πα.……………………………………………10分577()()=()=2sin 2363666f f f ππππππα⎛⎫+=+-⋅- ⎪⎝⎭=132sin 6π⎛⎫-⎪⎝⎭=2sin6π-=12=12-⋅-……………………………………………………………………12分 17.【解析】（Ⅰ）M=13 ，N =2， p=0.30，=0.04， …………………2分………………4分（Ⅱ）获一等奖的概率为0.04，获一等奖的人数估计为604.0150=⨯（人）……7分 （Ⅲ）记获一等奖的6人为E D C B A A ,,,,,21，其中21,A A 为获一等奖的女生，从所有一等奖的同学中随机抽取2名同学共有15种情况如下：()21,A A ，()B A ,1，()C A ,1，()D A ,1，()E A ,1，()B A ,2，()C A ,2，()D A ,2，()E A ,2，()C B ,，()D B ,， ()E B ,， ()D C ,， ()E C ,， ()E D ,， ………9分女生的人数恰好为1人共有8种情况如下:()B A ,1，()C A ,1，()D A ,1，()E A ,1，()B A ,2，()C A ,2，()D A ,2，()E A ,2，0.000.010.020.030.040.010.020.020.030.00所以恰有1名女生接受采访的概率158=P ………12分 18、（Ⅰ）证明：如图，因为，AC 是圆O 的直径，所以BC ⊥AB......1分因为，BC ⊥PA ，又PA 、AB ⊂平面PAB ，且PA AB=A....2分所以，BC ⊥平面PAB ，又PB ⊂平面PAB....3分 所以，BC ⊥PB....4分（Ⅱ）如图，在Rt ∆ABC 中，AC=2，AB=1所以，ABC S ∆=....6分 因为，PA ⊥BC ，PA ⊥AC ，所以PA ⊥平面ABC所以，112133P MBC P ABC M ABC V V V ---=-=-= (9)（Ⅲ）如图，取AB 得中点D ，连接OD 、MD 、OM ，则N 为线段OD （除端点O 、D 外）上任意一点即可，理由如下： ········································································· ··············· 10分 因为，M 、O 、D 分别是PA 、AC 、AB 的中点 所以，MD ∥PB,MO ∥PC因为，MD ⊄平面PBC ，PB ⊂平面PBC 所以，MD ∥平面PBC ······················································································· ············· 12分 同理可得，MO ∥平面PBC因为，MD 、MO ⊂平面MDO ，MD MO=M 所以，平面MDO ∥平面PBC ············································································ ············· 13分 因为，MN ⊂平面MDO 故，MN ∥平面PBC ． ······················································································· ············· 14分 19.（Ⅰ）2124n n n a a a +++=且0n a >22∴= = …………3分 ∴1=的等差数列 ………… 5分21(1)1,n n n a n =+-⨯== …………8分()()2222211111n n b n n n n +∴==-++ ……………………10分 2221111223n S ∴=-+-+…()22111n n +-+ ……………………12分 ()21111n =-<+ ……………………14分20.解：(1)解法1： ∵点P 是直线y x =与抛物线C 在第一象限的交点， ∴设点(,)(0)P m m m >,----------------------------------------------------------1分C∵抛物线C 的准线为2p y =-，由||5PF =结合抛物线的定义得52pm +=-------①-----2分 又点P 在抛物线C 上，∴22m pm =(0)m >⇒2m p =.----------------------②-----3分 由①②联立解得2p =，∴所求抛物线C 的方程式为24x y =.-------------------------5分（2）解法1：由抛物线C 关于y 轴对称可知，若存在点N ，使得以MQ 为直径的圆恒过点N ，则点N 必在y 轴上，设(0,)N n ，--------------------------------------------------6分又设点20(,)4x M x ，由直线:l y kx m =+与抛物线C 有唯一公共点M 知，直线l 与抛物线C相切， 由214y x =得1'2y x =，∴001'|2x x k y x ===，---------------------------------------7分 ∴直线l 的方程为2000()42x xy x x -=-，--------------------------------------------8分 令1y =-得2022x x x -=，∴Q 点的坐标为002(,1)2x x --，-----------------------------9分200002(,),(,1)42x x NM x n NQ n x ∴=-=-----------------------------------------10分∵点N 在以MQ 为直径的圆上，∴22220002(1)()(1)20(*)244x x x NM NQ n n n n n ⋅=--+-=-++-=--------------12分要使方程(*)对0x 恒成立，必须有21020n n n -=⎧⎨+-=⎩解得1n =，-------------------------13分∴在坐标平面内存在点N ，使得以MQ 为直径的圆恒过点N ，其坐标为(0,1)．-------14分20.解：（Ⅰ）当2=a 时，x x x f ln 2)(-=，1)1(=f ，切点)1,1(， ……1分xx f 21)('-=∴，121)1('-=-==∴f k ， ……3分 ∴曲线)(x f 在点()1,1处的切线方程为：)1(1--=-x y ，即20x y +-=. ……4分（Ⅱ）1()ln ah x x a x x+=-+，定义域为),0(+∞， 2222')]1()[1()1(11)(xa x x x a ax x x a x a x h +-+=+--=+--= ……5分 ①当01>+a ，即1->a 时，令0)('>x h ，a x x +>∴>1,0令0)('<x h ，a x x +<<∴>10,0 ……6分 ②当01≤+a ，即1-≤a 时，0)('>x h 恒成立， ……7分 综上：当1->a 时，)(x h 在)1,0(+a 上单调递减，在),1(+∞+a 上单调递增． 当1-≤a 时，)(x h 在),0(+∞上单调递增． ……8分 （Ⅲ）由题意可知，在],1[e 上存在一点0x ，使得)()(00x g x f ≤成立， 即在],1[e 上存在一点0x ，使得0)(0≤x h ， 即函数1()ln ah x x a x x+=-+在],1[e 上的最小值0)]([min ≤x h ．… …9分 由第（Ⅱ）问，①当e a ≥+1，即1-≥e a 时，)(x h 在],1[e 上单调递减，01)()]([min≤-++==∴a e ae e h x h ，112-+≥∴e e a ，1112->-+e e e ，112-+≥∴e e a ； ……10分②当11≤+a ，即0≤a 时，)(x h 在],1[e 上单调递增，011)1()]([min ≤++==∴a h x h ，2-≤∴a ……11分③当e a <+<11，即10-<<e a 时，0)1ln(2)1()]([min ≤+-+=+=∴a a a a h x h1)1ln(0<+<a ，a a a <+<∴)1ln(0，2)1(>+∴a h此时不存在0x 使0)(0≤x h 成立． ……13分综上可得所求a 的范围是：112-+≥e e a 或2-≤a ． ………………14分。

2019-2020年高二（下）期中数学试卷（文科）含解析(II)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．“＞0”是“x＞0”的（）A．充分不必要条件B．充要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：根据充分必要条件的定义进行判定即可．解答：解：由＞0⇔x＞0，是充要条件，故选：B．点评：本题考查了充分必要条件，考查二次根式的性质，是一道基础题．2．若函数f（x）=x2+bx+c的图象的顶点在第四象限，则函数f′（x）的图象是（）A．B．C．D．考点：函数的单调性与导数的关系．专题：数形结合法．分析：先判断函数f（x）的单调性，根据当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减得到答案．解答：解：函数f（x）=x2+bx+c是开口向上的二次函数，顶点在第四象限说明对称轴大于0根据函数f（x）在对称轴左侧单调递减，导函数小于0；在对称轴右侧单调递增，导函数大于0知，A满足条件故选A．点评：本题主要考查函数的单调性与其导函数的正负之间的关系，即当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减．3．的导数是（）A．B．C．D．考点：导数的乘法与除法法则．专题：计算题．分析：利用导数的四则运算法则，按规则认真求导即可解答：解：y′===故选A点评：本题考查了导数的除法运算法则，解题时认真计算即可，属基础题4．复数z=（i为虚数单位）的虚部为（）A．B．C．﹣D．i考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：化简已知复数，由复数的基本概念可得虚部．解答：解：化简可得z=====﹣i，∴复数的虚部为：故选：C．点评：本题考查复数的代数形式的乘除运算，属基础题．5．设i是虚数单位，复数为纯虚数，则实数a为（）A． 2 B．﹣2 C． D．考点：复数代数形式的混合运算．专题：计算题．分析：复数的分子、分母同乘分母的共轭复数，化简后它的实部为0，可求实数a的值．解答：解：复数==，它是纯虚数，所以a=2，故选A点评：本题是基础题，考查复数的代数形式的混合运算，考查计算能力，常考题型．6．对于命题：p：∀x∈（0，），sinx+cosx＞1；q：∃x∈R，sin2x+cos2x＞1，则下列判断正确的是（）A．p假q真B．p真q假C．p假q假D． p真q真考点：命题的真假判断与应用．专题：简易逻辑．分析：分别判断出命题p，q的真假，从而得到答案．解答：解：命题：p：∀x∈（0，），sinx+cosx=sin（x+）＞1；p真，命题q：∃x∈R，sin2x+cos2x＞1，q假，故选：B．点评：本题考查了复合命题的判断，考查三角函数的性质，是一道基础题．7．若a＞0，b＞0，且函数f（x）=4x3﹣ax2﹣2bx+2在x=1处有极值，则ab的最大值等于（）A． 2 B． 3 C． 6 D．9考点：函数在某点取得极值的条件；基本不等式．专题：计算题．分析：求出导函数，利用函数在极值点处的导数值为0得到a，b满足的条件；利用基本不等式求出ab的最值；注意利用基本不等式求最值需注意：一正、二定、三相等．解答：解：∵f′（x）=12x2﹣2ax﹣2b，又因为在x=1处有极值，∴a+b=6，∵a＞0，b＞0，∴，当且仅当a=b=3时取等号，所以ab的最大值等于9．故选：D．点评：本题考查函数在极值点处的导数值为0、考查利用基本不等式求最值需注意：一正、二定、三相等．8．函数f（x）=mx3﹣x+1在（﹣∞，+∞）上是减函数的一个充分不必要条件是（）A．m＜0 B．m≤0 C．m≤1 D． m＜1考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：问题转化为只需f′（x）≤0即可，结合二次函数的性质，从而求出m的范围．解答：解：∵f′（x）=3mx2﹣1，若函数f（x）=mx3﹣x+1在（﹣∞，+∞）上是减函数，则只需f′（x）≤0即可，若m=0，则f′（x）=﹣1＜0，成立，若m＜0，则函数f′（x）是二次函数，根据二次函数的性质得m＜0，∴当m≤0时，f′（x）＜0，而m＜0是m≤0的充分不必要条件，故选：A．点评：本题考查了充分必要条件，考查二次函数的性质，是一道基础题．9．在半径为R的半球内有一内接圆柱，则这个圆柱的体积的最大值是（）A．B．C．D．考点：球内接多面体；旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．专题：计算题；导数的概念及应用；空间位置关系与距离．分析：设这个圆柱的高为h，可得这个圆柱的体积V=π（﹣h3+R2h）．利用导数研究函数的单调性，得V在（0，R）上是增函数，在（R，R）上是减函数，由此可得当h=R 时，圆柱的体积的最大值是πR3．解答：解：设这个圆柱的高为h，底面半径为r，可得h2+r2=R2，所以r=∴这个圆柱的体积V=πr2h=π（﹣h3+R2h）∵V'=π（﹣3h2+R2）=﹣3π（h+R）（h﹣R）V'＞0，得h＜R；V'＜0，得h＞R∴V在（0，R）上是增函数，在（R，R）上是减函数因此，当h=R时，圆柱的体积的最大值V max=π[﹣（R）3+R2×R）=πR3故选：A点评：本题给出半球，求其内接圆柱的体积最大值，着重考查了球内接多面体、圆柱体积公式和利用导数研究函数的最值等知识，属于中档题．10．函数f（x）=3+xlnx的单调递减区间是（）A．（，e）B．（0，）C．（﹣∞，）D．（，+∞）考点：利用导数研究函数的单调性．专题：导数的概念及应用．分析：先求出函数的导数，解关于导函数的不等式，从而求出函数的递减区间．解答：解：f′（x）=lnx+1，令f′（x）＜0，解得：0＜x＜，故选：B．点评：本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用，是一道基础题．二.填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．若点P是曲线y=x2﹣lnx上任意一点，则点P到直线y=x﹣2的最小距离为．考点：点到直线的距离公式．专题：转化思想．分析：由题意知，当曲线上过点P的切线和直线y=x﹣2平行时，点P到直线y=x﹣2的距离最小．求出曲线对应的函数的导数，令导数值等于1，可得且点的坐标，此切点到直线y=x﹣2的距离即为所求．解答：解：点P是曲线y=x2﹣lnx上任意一点，当过点P的切线和直线y=x﹣2平行时，点P到直线y=x﹣2的距离最小．直线y=x﹣2的斜率等于1，令y=x2﹣lnx的导数y′=2x﹣=1，x=1，或x=﹣（舍去），故曲线y=x2﹣lnx上和直线y=x﹣2平行的切线经过的切点坐标（1，1），点（1，1）到直线y=x﹣2的距离等于，故点P到直线y=x﹣2的最小距离为，故答案为．点评：本题考查点到直线的距离公式的应用，函数的导数的求法及导数的意义，体现了转化的数学思想．12．函数f（x）=x4﹣x3﹣6的极值点是x=2．考点：利用导数研究函数的极值．专题：导数的概念及应用．分析：先求出函数的导数，从而求出函数的极值点．解答：解：f′（x）=x3﹣2x2，令f′（x）＞0，解得：x＞2，令f′（x）＜0，解得：x＜2，∴函数f（x）在（﹣∞，2）递减，在（2，+∞）递增，∴x=2是函数的极值点，故答案为：x=2．点评：本题考查了函数的极值点的问题，考查导数的应用，要注意x=0不是函数的极值点，本题是一道基础题．13．若复数z满足z（2﹣i）=11+7i（i为虚数单位），则=3﹣5i．考点：复数代数形式的乘除运算．专题：计算题．分析：把给出的等式两边同时乘以，然后利用复数的除法运算化简，则z的共轭复数可求．解答：解：由z（2﹣i）=11+7i，得，∴．故答案为：3﹣5i．点评：本题考查了复数代数形式的乘除运算，复数的除法，采用分子分母同时乘以分母的共轭复数，是基础题．14．已知向量=（x2，x+1），=（1﹣x，t），若函数f（x）=•在区间（﹣1，1）上是增函数，则t的取值范围为t≥5．考点：平面向量数量积的运算；函数单调性的性质．专题：导数的概念及应用；平面向量及应用．分析：由数量积可得f（x），求导数可化问题为t≥3x2﹣2x在（﹣1，1）上恒成立，由二次函数的知识可得函数的值域，可得结论．解答：解：∵=（x2，x+1），=（1﹣x，t），∴f（x）=•=x2（1﹣x）+t（x+1）=﹣x3+x2+tx+1，∴f′（x）=﹣3x2+2x+t，∵函数f（x）=•在区间（﹣1，1）上是增函数，∴f′（x）=﹣3x2+2x+t≥0在（﹣1，1）上恒成立，∴t≥3x2﹣2x在（﹣1，1）上恒成立，而函数y=3x2﹣2x，x∈（﹣1，1）的值域为[，5）∴t≥5故答案为：t≥5点评：本题考查平面向量数量积和函数的单调性，涉及导数和恒成立问题，属中档题．15．若函数f（x）=x3﹣x在（a，10﹣a2）上有最小值，则a的取值范围为[﹣2，1）．考点：利用导数求闭区间上函数的最值．专题：计算题；函数的性质及应用；导数的综合应用．分析：由题意求导f′（x）=x2﹣1=（x﹣1）（x+1）；从而得到函数的单调性，从而可得﹣2≤a ＜1＜10﹣a2；从而解得．解答：解：∵f（x）=x3﹣x，∴f′（x）=x2﹣1=（x﹣1）（x+1）；故f（x）=x3﹣x在（﹣∞，﹣1）上是增函数，在（﹣1，1）上是减函数，在（1，+∞）上是增函数；f（x）=x3﹣x=f（1）=﹣；故x=1或x=﹣2；故﹣2≤a＜1＜10﹣a2；解得，﹣2≤a＜1故答案为：[﹣2，1）．点评：本题考查了导数的综合应用，同时考查了函数的最值，属于中档题．三.解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（Ⅰ）计算（）2（Ⅱ）已知复数z满足：|z|=1+3i﹣z，求的值．考点：复数代数形式的混合运算；复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：（Ⅰ）根据复数的基本运算即可求解即可计算（）2（Ⅱ）利用待定系数法先求出z，然后进行化简．解答：解：（Ⅰ）（）2==﹣1．（Ⅱ）设z=a+bi，（a，b∈R），而|z|=1+3i﹣z即则，则，即z=﹣4+3i，则====3+4i．点评：本题主要考查复数的基本运算，考查学生的运算能力．分母实数化是解决复数除法的基本方法．17．已知p：﹣x2+8x+20≥0，q：x2﹣2x+1﹣m2≤0（m＞0）．（1）若p是q充分不必要条件，求实数m的取值范围；（2）若“非p”是“非q”的充分不必要条件，求实数m的取值范围．考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断；一元二次不等式的解法．专题：计算题．分析：P：﹣2≤x≤10，Q：1﹣m≤x≤1+m．（1）由P是Q的充分不必要条件，知，由此能求出实数m的取值范围．（2）由“非P”是“非Q”的充分不必要条件，知由此能求出实数m的取值范围．解答：解：P：﹣2≤x≤10，Q：1﹣m≤x≤1+m（1）∵P是Q的充分不必要条件，∴[﹣2，10]是[1﹣m，1+m]的真子集．∴∴m≥9．∴实数m的取值范围为m≥9．（2）∵“非P”是“非Q”的充分不必要条件，∴Q是P的充分不必要条件．∴∴0＜m≤3．∴实数m的取值范围为0＜m≤3．点评：本题考查充分条件、必要条件和充要条件，解题时要认真审题，仔细解答，注意不等式组的合理运用．18．已知函数f（x）=ax3+bx2，在x=1时有极大值3；（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）求函数f（x）在[﹣1，2]上的最值．考点：利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．专题：导数的概念及应用．分析：（1）先求出函数的导数，得到方程组，解出a，b的值即可；（2）先求出函数f（x）的单调区间，从而求出极值，结合函数的端点值，进而求出函数的最值．解答：解：f′（x）=3ax2+2bx，（1）由题意得：，解得：a=﹣6，b=9 …（6分）（2）由（1）得：f（x）=﹣6x3+9x2，∴f′（x）=﹣18x2+18x，令f′（x）＞0，解得：0＜x＜1，令f′（x）＜0，解得：x＞1或x＜0，∴函数f（x）在[﹣1，0），（1，2]递减，在（0，1）递增，∴f（x）极小值=f（0）=0，f（x）极大值=f（1）=3，而f（﹣1）=15，f（2）=﹣12，∴函数f（x）的最大值f（﹣1）=15，最小值f（2）=﹣12．点评：本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用，是一道基础题．19．已知函数f（x）=x3+x2+ax+b（Ⅰ）当a=﹣1时，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若函数f（x）的图象与直线y=ax恰有两个不同的公共点，求实数b的值．考点：利用导数研究函数的单调性．专题：导数的综合应用．分析：（Ⅰ）先求原函数的导数，根据f′（x）＞0求得的区间是单调增区间，f′（x）＜0求得的区间是单调减区间，即可；（Ⅱ）利用导数求得原函数的极值，最后要使g（x）=x3+x2+b的其图象和x轴恰有2个交点，得到关于b的方程，从而求实数b的值．解答：解：（Ⅰ）当a=﹣1时，f′（x）=3x2+2x﹣1=（3x﹣1）（x+1），令f′（x）＞0，解得x＞或x＜﹣1，令f′（x）＜0，解得﹣1＜x＜，所以f（x）的单调递增区间为（﹣∞，﹣1），（，+∞），单调递减区间为（﹣1，）；（Ⅱ）因为函数f（x）的图象与直线y=ax恰有2个不同的公共点，所以方程x3+x2+ax+b﹣ax=0恰有2个不同的解，即函数g（x）x3+x2+b的图象与x轴恰有2个交点，g′（x）=3x2+2x，令g′（x）=3x2+2x=0，所以x1=0，x2=﹣，可列表：∴g（x）在x1=0处取得极小值b，在x2=﹣取得极大值+b，要使g（x）=x3+x2+b的其图象和x轴恰有2个交点，只需g（x）极小值=0，或g（x）极大值=0，∴b=0或b=﹣．点评：本小题主要考查函数单调性的应用、利用导数研究函数的单调性、导数在最大值、最小值问题中的应用、不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力，转化思想20．（13分）如图，在四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，其他四个侧面都是等边三角形，AC与BD的交点为O，E为侧棱SC上一点．（Ⅰ）当E为侧棱SC的中点时，求证：SA∥平面BDE；（Ⅱ）求证：平面BDE⊥平面SAC；（Ⅲ）（理科）当二面角E﹣BD﹣C的大小为45°时，试判断点E在SC上的位置，并说明理由．考点：用空间向量求平面间的夹角；直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定；与二面角有关的立体几何综合题．专题：计算题；证明题．分析：（I）做出辅助线，连接OE，由条件可得SA∥OE．根据因为SA⊈平面BDE，OE⊂平面BDE，得到SA∥平面BDE．（II）建立坐标系，写出要用的点的坐标，写出要用的向量的坐标，设出平面的法向量，根据法向量与平面上的向量垂直，写出一个法向量，根据两个法向量垂直证明两个平面垂直．（III）本题是一个一个二面角为条件，写出点的位置，做法同求两个平面的夹角一样，设出求出法向量，根据两个向量的夹角得到点要满足的条件，求出点的位置．解答：解：（Ⅰ）证明：连接OE，由条件可得SA∥OE．因为SA⊈平面BDE，OE⊂平面BDE，所以SA∥平面BDE．（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知SO⊥面ABCD，AC⊥BD．建立如图所示的空间直角坐标系．设四棱锥S﹣ABCD的底面边长为2，则O（0，0，0），S（0，0，），A（，0，0），B（0，，0），C（﹣，0，0），D（0，﹣，0）．所以=（﹣20，0），=（0，，0）．设CE=a（0＜a＜2），由已知可求得∠ECO=45°．所以E（﹣+a，0，a），=（﹣+，﹣，）．设平面BDE法向量为n=（x，y，z），则即令z=1，得n=（，0，1）．易知=（0，，0）是平面SAC的法向量．因为n•=（，0，1）•（0，﹣，0）=0，所以n⊥，所以平面BDE⊥平面SAC．（8分）（Ⅲ）设CE=a（0＜a＜2），由（Ⅱ）可知，平面BDE法向量为n=（，0，1）．因为SO⊥底面ABCD，所以=（0，0，）是平面BDC的一个法向量．由已知二面角E﹣BD﹣C的大小为45°．所以|cos（，n）|=cos45°=，所以，解得a=1．所以点E是SC的中点．点评：本题考查用空间向量解决线线角和面面角，本题解题的关键是建立坐标系，把立体几何的理论推导变化成数字的运算问题，这样可以降低题目的难度，同学们只要细心都可以做对．21．已知函数f（x）=px﹣﹣2lnx，其中p∈R．（Ⅰ）求函数f（x）在（1，0）点的切线方程；（Ⅱ）若函数f（x）在其定义域内为单调递增函数，求实数p的取值范围；（Ⅲ）若函数g（x）=，且p＞0，若在[1，e]上至少存在一个x的值使f（x）＞g（x）成立，求实数p的取值范围．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性．专题：导数的综合应用．分析：（Ⅰ）根据求导公式求出f′（x），由导数的几何意义求出切线的斜率，根据点斜式方程求出切线方程并化为一般式方程；（Ⅱ）由导数与函数单调性的关系将条件转化为：f′（x）≥0在（0，+∞）上恒成立，再分离常数p，利用基本不等式求出p的范围；（Ⅲ）将条件转化为：不等式f（x）﹣g（x）＞0 在[1，e]上有解，再构造函数F（x）=f （x）﹣g（x），求出F′（x）化简后利用已知条件判断出符号，得到F（x）的单调性，求出F（x）在[1，e]的最大值，即可求出实数p的取值范围．解答：解：（Ⅰ）由题意得，f′（x）=p+=，∴在（1，0）点的切线d斜率k=2p﹣2，∴在（1，0）点的切线方程是：y=（2p﹣2）（x﹣1）…（Ⅱ）由（I）得f′（x）=，且定义域是（0，+∞），∵f（x）在其定义域内的单调递增函数，则f′（x）≥0在（0，+∞）上恒成立，∴px2﹣2x+p≥0在（0，+∞）上恒成立，∴在（0，+∞）上恒成立即可，∵=≤=1，当且仅当，即x=1时取等号，∴p≥1，∴实数p的取值范围是[1，+∞）…（9分）（Ⅲ）在[1，e]上至少存在一个x的值使f（x）＞g（x）成立，等价于不等式f（x）﹣g（x）＞0 在[1，e]上有解，设F（x）=f（x）﹣g（x）=px﹣﹣2lnx﹣，∵p＞0，x∈[1，e]，∴F′（x）=p++=＞0，∴F（x）在[1，e]上的增函数，F（x）的最大值是F（e）=，依题意需＞0，解得p＞，∴实数p的取值范围是（，+∞）…点评：本题考查了导数的几何意义及切线方程，利用导数研究函数的单调性、最值，考查构造函数法，分离常数法，转化思想，以及化简、计算能力，属于中档题．。

精品文档，欢迎下载！2019-2020宝鸡中学高二第一学期期中考试试题数学（文）一、选择题（本大题共12小题，每题5分，共60分。

在每个小题给出的四个选项中只有一个是符合题意的）1.下列语句不是命题的是（ ）. A. 34> B. 0.3是整数C. 3a >D. 4是3的约数 【答案】C 【解析】 【分析】命题是表示判断一件事情的语句，根据定义分别判断即可． 【详解】解：A ，B ，D 都是表示判断一件事情，C 无法判断， 故选C ．【点睛】本题考查了命题的定义，属于基础题．2.下图是一个正方体的表面展开图，则图中2的对面是（ ）.A. 1B. 9C. 快D. 乐【答案】B 【解析】 【分析】将展开图还原为正方体后，即可得出结论． 【详解】解：将展开图还原成正方体，如图所示； 则图中2（上底）的对面是9（下底）． 故选B ．【点睛】本题考查了棱柱的结构特征与展开图问题，是基础题．3.下列求导运算正确的是( )A. 1'ln x x ⎛⎫=⎪⎝⎭B. ()'1xxx ee⋅=+ C. ()2cos '2sin x x x x =- D. '211()1x xx -=+【答案】D 【解析】试题分析：A.1211((ln ))ln (ln )x x x x '-⎛⎫==-⋅ ⎪⎝⎭'， 错误. B.()xxxx e e x e ⋅=+⋅'. 错误.C.22(cos )2cos sin x x x x x x =-⋅'⋅错误. D.()1211x xx '--=+正确.考点：导数的运算.4.从装有两个红球和三个黑球的口袋里任取两个球，那么互斥而不对立的两个事件是（ ） A. “至少有一个黑球”与“都是黑球” B. “至少有一个黑球”与“至少有一个红球”C. “恰好有一个黑球”与“恰好有两个黑球”D. “至少有一个黑球”与“都是红球” 【答案】C 【解析】分析：利用对立事件、互斥事件的定义求解．详解：从装有两个红球和三个黑球的口袋里任取两个球，在A 中，“至少有一个黑球”与“都是黑球”能同时发生，不是互斥事件，故A 错误；在B 中，“至少有一个黑球”与“至少有一个红球”能同时发生，不是互斥事件，故B 错误；在C 中，“恰好有一个黑球”与“恰好有两个黑球”不能同时发生， 但能同时不发生，是互斥而不对立的两个事件，故C 正确；在D 中，“至少有一个黑球”与“都是红球”是对立事件，故D 错误． 故答案为：C点睛：（1）本题主要考查互斥事件和对立事件的定义，意在考查学生对这些基础知识的掌握水平.(2)互斥事件指的是在一次试验中，不可能同时发生的两个事件，对立事件指的是在一次试验中，不可能同时发生的两个事件，且在一次试验中，必有一个发生的两个事件.注意理解它们的区别和联系.5.已知命题,命题22:,10;:,0.p x R ax ax q x R x x a ∀∈-+∃∈-+=＞若p q ∧是真命题，则a 的取值范围是（ ）. A. (),4-∞ B. [)0,4C. (0,14] D. [0,14] 【答案】D 【解析】 【分析】假设命题p 是真命题：利用一元二次不等式与判别式的关系及其0a =的情况即可得出；假设命题q 是真命题：利用一元二次方程与判别式的关系即可得出；再利用复合命题的真假判定方法即可得出．【详解】解：假设命题p 是真命题：x R ∀∈，210ax ax ++>，则0a =或240a a a >⎧⎨∆=-<⎩，解得04a <„；假设命题q 是真命题：x R ∃∈，20x x a -+=，则140a ∆=-…，解得14a „． 若p q ∧是真命题，则p ，q 都是真命题，则0414a a <⎧⎪⎨⎪⎩„„，解得104a 剟． 则a 的取值范围是1[0,]4．故选D ．【点睛】本题考查了一元二次不等式及其方程与判别式的关系、复合命题真假的判定方法，考查了计算能力，属于基础题．6.方程22123+=-+x y m m 表示双曲线的一个充分不必要条件是（ ）A. －3＜m ＜0B. －3＜m ＜2C. －3＜m ＜4D. －1＜m ＜3【答案】A 【解析】由题意知，()()23032m m m -+<⇒-<<，则C ，D 均不正确，而B 为充要条件，不合题意，故选A.7.下列结论错误．．的是（ ） A. 若“p q ∨”为假命题，则,p q 均为假命题 B. “a b >”是“22ac bc >”的充分不必要条件C. 命题：“2,0x R x x ∃∈->”的否定是“2,0x R x x ∀∈-≤”D. 命题：“若2320x x -+=，则2x =”的逆否命题为“若2x ≠，则2320x x -+≠” 【答案】B 【解析】 【分析】逐个分析各命题的真假后可得正确的选项.【详解】对于A ， “p q ∨”为假命题当且仅当,p q 均为假命题，故A 正确； 对于B ，当a b >时，若0c =，则22ac bc =，故22ac bc >不成立，故B 错误；对于C ，D ，分别根据存在性命题的否定和原命题的逆否命题的形式可得C ，D 都是正确的， 故选B.【点睛】本题考查复合命题的真假判断、充分不必要条件、存在性命题的否定及逆否命题，此类问题属于基础题.8.椭圆221169x y +=中以点M(1，2)为中点的弦所在直线斜率为（ ）A. 932-B. 9 32C. 9 64D. 9 16【答案】A 【解析】 【分析】先设出弦的两端点的坐标，分别代入椭圆方程，两式相减后整理即可求得弦所在的直线的斜率．【详解】设弦的两端点为()11,A x y ，()22,B x y ，代入椭圆得2211222211691169x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩， 两式相减得()()()()121212120169x x x x y y y y +-+-+=，即()()()()12121212 169x x x x y y y y +-+-=-，即()()()()12121212916x x y y y y x x +--=+-，即121292164y y x x -⨯-=⨯-，即1212932y y x x -=--，∴弦所在的直线的斜率为932-，故选A.【点睛】本题主要考查了椭圆的性质以及直线与椭圆的关系．在解决弦长的中点问题，涉及到“中点与斜率”时常用“点差法”设而不求，将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来，相互转化，达到解决问题的目的，属于中档题.9.若函数()f x 满足()()3213x x f x f x =-⋅-'.则()1f '的值为（ ）.A. 0B. 2C. 1D. -1【答案】A 【解析】 【分析】先对函数()()3213x x f x f x =-⋅-'求导，再把1x =代入，求()1f '的值，求导时注意()1f '是一个常数．【详解】解：求函数()()3213x x f x f x =-⋅-'的导数，得，()2()211f x x f x '=-'-，把1x =代入，得，()2(1)12111f f '=-'⨯-解得()10f '=故选A ．【点睛】本题考查了函数的求导公式，属于基础题，做题时不要被()f x 中的(1)f '所迷惑，属于基础题.10.过抛物线2:4C y x=的焦点F ，且斜率为3的直线交C 于点M （在x 轴上方），l 为C 的准线，点N 在l 上且MN l ⊥，则点M 到直线NF 的距离为（ ）A. 23B. 33C. 5D. 22【答案】A 【解析】 【分析】由直线的斜率得到直线的倾斜角60o ，利用直角三角形30o 角对边等于斜边的一半，求得焦半径，进而求出点M 的坐标，再利用几何法求出点到直线的距离.【详解】设直线l 与x 轴相交于点P ，与直线MN 相交于点Q ，(1,0)F ，设||||MN MF m ==，因为||2,30PF NQM =∠=o，所以||4,||2QF QM m ==，所以42m m +=，解得：4m =，设00(,)M x y ，由焦半径公式得：014x +=， 所以03x =，023y =，所以233sin sin 42NP MNF NFP NF ∠=∠===，所以点M 到直线NF 的距离为||sin 4NM MNF ⋅∠==【点睛】解析几何问题中，如果能充分挖掘条件中的几何性质，能使运算量大大减少，节省运算时间.11.设点P 是曲线335y x =+上的任意一点，点P 处切线的倾斜角为α,则角α的取值范围是（ ）. A. 20,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦B. 2[0,),23πππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭U C. 2,23ππ⎛⎤⎥⎝⎦ D.2,33ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】B 【解析】 【分析】先求函数的导数的范围，即曲线斜率的取值范围，从而求出切线的倾斜角的范围．【详解】解：23y x '=Q ，tan α∴…2[0,),23ππαπ⎡⎫∴∈⎪⎢⎣⎭U ，故选B ．【点睛】本题考查导数的几何意义，直线的倾斜角与斜率，属于基础题．12.直线l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l 的距离为其短轴长的14，则该椭圆的离心率为 ( ) A.13B.12 C. 23D.34【答案】B 【解析】试题分析：不妨设直线:1x yl c b+=，即0bx cy bc +-=⇒椭圆中心到l 的距离24b =12c e a ⇒==，故选B. 考点：1、直线与椭圆；2、椭圆的几何性质.【方法点晴】本题考查直线与椭圆、椭圆的几何性质，涉及方程思想、数形结合思想和转化化归思想，考查逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力，综合性较强，属于较难题型. 不妨设直线:1x yl c b+=，即0bx cy bc +-=⇒椭圆中心到l的距离2142b c e a =⇒==24b =是本题的关键节点.【此处有视频，请去附件查看】二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分)13.从1，2, 3, 4这四个数中一次随机抽取两个数，则取出的数中一个是奇数一个是偶数的概率为________. 【答案】23【解析】 【分析】 从1，2，3，4这四个数中一次随机抽取两个数，先将所有可能结果一一列举出来，从中计算出一个是奇数一个是偶数的个数，由此能求出取出的数中一个是奇数一个是偶数的概率． 【详解】解：从1，2，3，4这四个数中一次随机抽取两个数，则可能的结果有()1,2，()1,3，()1,4，()2,3，()2,4，()3,4共有6个基本事件，取出的数中一个是奇数一个包含的基本事件有：()1,2，()1,4，()2,3，()3,4，共4个，∴取出的数中一个是奇数一个是偶数的概率4263p m n ===． 故答案为23． 【点睛】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式的合理运用．14.函数()f x 的图象在2x =处的切线方程为230x y +-=，则 ．【答案】3- 【解析】试题分析：Q 函数()f x 的图象在2x =处的切线方程为230x y +-=，22(2)30{(2)2f f '⨯+-=∴=-，解得：(2)1{(2)2f f '=-=-，(2)(2)3f f ∴'+=-.故答案应填：-3． 考点：导数的几何意义．15.设m ，n 是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面.在下列命题中，正确的是______(写出所有正确命题的序号)①若//m n ，//n α，则//m α或m α⊂；②若//m α，//n α，m β⊂，n β⊂，则//αβ； ③若αγ⊥，βγ⊥，则//αβ； ④若//αβ，//βγ，m α⊥，则m γ⊥【答案】①④ 【解析】 【分析】利用线面、面面平行、垂直的判定与性质，进行判断，即可得出结论．【详解】解：①若m ∥α，且m ∥n ，分两种情况：n 在α内或不在，则m ∥α或m ⊂α故正确；②若m ∥α，n ∥α，m ⊂β，n ⊂β，m ，n 相交，则α∥β，故不正确；③若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β，此命题不正确，因为垂直于同一平面的两个平面可能平行、相交，不能确定两平面之间是平行关系，故不正确；④由平行的传递性知若α∥β，β∥γ，则γ∥α，因为m ⊥α，所以m ⊥γ，故正确． 故答案为①④．【点睛】本题考查线面、面面平行、垂直的判定与性质，解题的关键是有着较强的空间感知能力及对空间中线面，面面，线线位置关系的理解与掌握，此类题是训练空间想像能力的题，属于中档题．16.双曲线22221x ya b-=（0a>，0b>）的渐近线与圆22(1x y-+=相切，则此双曲线的离心率为________．【解析】因为双曲线的渐近线是by xa=±，所以圆心C到渐近线的距离1dc===，即22222222b c c a c=⇒-=，解之得e=．点睛：解答本题的关键是建立参数,,a b c的方程，求解时先求出圆心坐标C，与双曲线的渐近线方程by xa=±，然后运用直线与圆相切建立方程1c=，进而求得离心率为e=17.魏晋时期数学家刘徽在他的著作《九章算术注》中，称一个正方体内两个互相垂直的内切圆柱所围成的几何体“牟合方盖”.刘徽通过计算得知正方体的内切球的体积与“牟合方盖”的体积之比应为π：4.若正方体的棱长为2.则“牟合方盖”的体积为__________．【答案】163【解析】【分析】由题意先求出正方体内切球的体积，再由已知体积比求得“牟合方盖”的体积即可．【详解】正方体的棱长为2，则其内切球的半径r＝1，∴正方体的内切球的体积344=1=33Vππ⨯球，又由已知=4VVπ球牟合方盖，∴4416==33Vππ⨯牟合方盖．故答案为163．【点睛】本题考查正方体内切球的体积，理解题意是关键，属于基础题． 三、解答题(本大题共5题，共65分)18.袋中装有除颜色外形状大小完全相同的6个小球，其中有4个编号为1,2, 3, 4的红球,2个编号为A 、B 的黑球，现从中任取2个小球.; (1)求所取2个小球都是红球的概率; (2)求所取的2个小球颜色不相同的概率. 【答案】(1)25 (2)815【解析】 【分析】（1）利用列举法求出任取2个小球的基本事件总数，用M 表示“所取取2个小球都是红球”，利用列举法求出M 包含的基本事件个数，由此能求出所取取2个小球都是红球的概率．（2）用N 表示“所取的2个小球颜色不相同”，利用列举法求出N 包含的基本事件个数，由此能求出所取的2个小球颜色不相同的概率． 【详解】(1)由题意知，任取2个小球的基本事件有：{1，2}，{1，3}，{1，4}，{1，A }，{1，B }，{2，3}，{2，4}，{2，A }， {2，B }，{3，4}，{3，A }，{3，B }，{4，A }，{4，B }，{A ，B }，共15个， 用M 表示“所取取2个小球都是红球”， 则M 包含的基本事件有：{1，2}，{1，4}，{2，3}，{2，4}，{3，4}，共6个， ∴所取取2个小球都是红球的概率：P （M ）62155==． (2)用N 表示“所取的2个小球颜色不相同”， 则N 包含的基本事件有：{1，A }，{1，B }，{2，A }，{2，B }，{3，A }，{3，B }，{4，A }，{4，B }，共8个， ∴所取的2个小球颜色不相同的概率：P （N ）815=． 【点睛】本题考查古典概型等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、数据处理能力，考查化归与转化思想，是基础题．19.已知a∈R ，命题p ：∀x∈[－2，－1]，x 2－a≥0，命题q ：()2000,220x R x ax a ∃∈+--=．（1）若命题p 为真命题，求实数a 的取值范围；（2）若命题“p∨q”为真命题，命题“p∧q”为假命题，求实数a 的取值范围． 【答案】（1）1a ≤；（2）21a <<－ 【解析】 【分析】（1）令f(x)＝x 2－a ，可将问题转化为“当[]2,1x ∈--时，()0min f x ≥”，故求出()minf x 即可．（2）根据“p∨q”为真命题，命题“p∧q”为假命题可得p 与q 一真一假，然后分类讨论可得所求的结果．【详解】(1)令()[]2,2,1f x x a x =-∈--，根据题意，“命题p 为真命题”等价于“当[]2,1x ∈--时，()0min f x ≥”． ∵()1min f x a =-， ∴10a -≥， 解得1a ≤.∴实数a 的取值范围为(],1∞-．(2)由(1)可知，当命题p 为真命题时，实数a 满足1a ≤．当命题q 为真命题，即方程有实数根时，则有Δ＝4a 2－4(2－a)≥0， 解得2a ≤-或1a ≥．∵命题“p∨q”为真命题，命题“p∧q”为假命题， ∴命题p 与q 一真一假①当命题p 为真，命题q 为假时，得121a a ≤⎧⎨-<<⎩，解得21a -<<；②当命题p 为假，命题q 为真时， 得121a a a >⎧⎨≤-≥⎩或，解得1a >．综上可得21a -<<或1a >．∴实数a 的取值范围为()()2,11,-⋃+∞． 【点睛】根据命题的真假求参数的取值范围的方法(1)求出当命题p ，q 为真命题时所含参数的取值范围； (2)判断命题p ，q 的真假性；(3)根据命题的真假情况，利用集合的交集和补集的运算，求解参数的取值范围．20.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>过点()2,1P ,且离心率2e =.(1)求椭圆C 的方程； (2)直线l :12y x m =+，直线l 与椭圆C 交于A B ，两点，求PAB △面积的最大值. 【答案】（1）22182x y +=；（2）最大值为2 【解析】 【分析】（1）由题意知，c e a ==，且过点()2,1P ，222c a b =+，构造关于a 、b 、c 的方程组，由此能求出椭圆的标准方程．（2）设直线l 的方程与椭圆C 联立，()()1122,,,A x y B x y ，利用弦长公式求出AB ，P 到AB 的距离，然后求解三角形的面积，求出最大值即可．【详解】(1)已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>过点()2,1P ,且离心率e =.可得：222224112a b c a c a b⎧+=⎪⎪⎪⎨=⎪⎪=+⎪⎩,解得a b c ⎧=⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩，椭圆方程为：22182x y +=.(2)设直线方程为()()11221,,,,2y x m A x y B x y =+ 联立方程得2212182y x m x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，消元整理得：222240x mx m ++-=直线与椭圆要有两个交点，所以()22(2)4240m m ∆=-->解得，22m -<<由韦达定理得：212122,24x x m x x m +=-=-利用弦长公式得：()2212||154AB k x x m =+-=-由点到直线的距离公式得到P 到l 的距离5d =()()22222114||54422225m m S AB d m m m +-==-⋅=-≤=当且仅当22m =，即2m =±时取到最大值，最大值为2【点睛】本题考查椭圆的方程和运用，考查直线方程和椭圆方程联立，消去未知数，运用韦达定理和弦长公式，考查点到直线的距离公式和基本不等式的运用，属于中档题． 21.如图，已知AF ⊥面ABCD ，四边形ABEF 为矩形，四边形ABCD 为直角梯形，90DAB ∠=︒，//AB CD ，1AD AF CD ===，2AB =．（1）求证：//AF 面BCE ； （2）求证：AC ⊥面BCE ； （3）求三棱锥E BCF -的体积．【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)13【解析】 【分析】（1）由四边形ABEF 为矩形，得//AF BE ．由此能证明//AF 面BCE ．（2）推导出BE ⊥平面ABCD ，BE AC ⊥，AC BC ⊥，由此能证明AC ⊥面BCE ． （3）利用等体积法，三棱锥E BCF -的体积13E BCF C BEF BEF V V S AD --∆==⨯⨯，由此能求出结果．【详解】证明：（1）Q 四边形ABEF 为矩形， //AF BE ∴．AF ⊂/Q 面BCE ，BE ⊂面BCE ，//AF ∴面BCE ．（2）AF ⊥Q 面ABCD ，四边形ABEF 为矩形，BE ∴⊥平面ABCD ，AC ⊂Q 平面ABCD ，BE AC ∴⊥，Q 四边形ABCD 为直角梯形，90DAB ∠=︒，//AB CD ，1AD AF CD ===，2AB =，AC BC ∴==，222AC BC AB ∴+=，AC BC ∴⊥，BC BE B =Q I ，AC ∴⊥面BCE ．（3）AF ⊥Q 面ABCD ，四边形ABEF 为矩形，四边形ABCD 为直角梯形，90DAB ∠=︒，//AB CD ，1AD AF CD ===，2AB =， AD ∴⊥平面BEF ，∴点C 到平面BEF 的距离为1AD =，1121122BEF S EF BF ∆=⨯⨯=⨯⨯=，∴三棱锥E BCF -的体积：11111333E BCF C BEF BEF V V S AD --∆==⨯⨯=⨯⨯=．【点睛】本题考查线面平行、线面垂直的证明，考查三棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题． 22.已知函数()2ln f x x a x =+.(1)当a =1时，求函数()f x 在（2，()2f ）处的切线方程: (2)当a =2时，求函数()f x 的单调区间和极值; (3)若()()2g x f x x=+在[)1,+∞上是单调增函数，求实数a 的取值范围. 【答案】（2）9210220x y ln --+=； （2）()f x 在()0,∞+上单调递增，f （x ）无极值． （3）[)0,+∞【解析】 【分析】（1）当1a =时，求导函数，则函数在2x =处的切线的斜率即为导数值()2f '，根据点斜式方程即可求出切线方程；（2）先求出函数的定义域，把a 代入到函数中并求出()0f x '=时x 的值，在定义域内讨论导函数的正负得到函数的单调区间及极值；（3）把()f x 代入到()g x 中得到()g x 的解析式，求出其导函数大于0即函数单调，可设22()2x x xϕ=-，求出其导函数在[)1,+∞上单调递减，求出()x ϕ的最大值，列出不等数求出解集即为a 的取值范围．【详解】解：（1）当1a =时，函数2()f x x lnx =+， 则1()2f x x x'=+， ∴函数()f x 在()()22f ,处的切线斜率为()2k f '=19422=+=，切点为(2,42)ln +； ∴函数()f x 在()()22f ,处的切线方程为：9(42)(2)2y ln x -+=-；即9210220x y ln --+=；（2）函数()f x 的定义域为(0,)+∞， 当2a =时，2()2f x x lnx =+，0x >， 则2()20f x x x'=+>； ()f x ∴在(0,)+∞上单调递增，()f x 无极值．（3）由22()g x x alnx x =++，得322222()2a x ax g x x x x x +-'=+-=；又函数22()g x x alnx x=++在[)1,+∞上单调增函数， 则()0g x '…在[)1,+∞上恒成立， 即不等式3220x ax +-…在[)1,+∞上恒成立； 也即222a x x-…在[)1,+∞上恒成立，又22()2x x xϕ=-在[)1,+∞为减函数， 所以()max x ϕϕ=（1）0=．所以0a …． 故a 的取值范围为[)0,+∞．【点睛】考查学生利用导数研究函数的单调性，利用导数研究函数的极值．以及理解函数恒成立所取的条件．属于中档题．。

数学试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分） 1.若复数z 满足(1)34i z i +=+，则z 的虚部为（ ）A. 5B.52C. 52-D. -5【★答案★】C 【解析】 【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得★答案★． 【详解】由（1+i ）z ＝|3+4i |22345=+=， 得z ()()()5155511122i i i i i -===-++-， ∴z 的虚部为52-． 故选C ．【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题． 2.已知命题:p x R ∀∈,210x x -+>，则p ⌝（ ） A. x R ∃∈，210x x -+≤ B. x R ∀∈，210x x -+≤ C. x R ∃∈，210x x -+> D. x R ∀∈，210x x -+≥【★答案★】A 【解析】 【分析】根据全称命题与特称命题互为否定的关系，即可求解，得到★答案★．【详解】由题意，根据全称命题与特称命题的关系，可得命题:p x R ∀∈,210x x -+>， 则:p ⌝x R ∃∈，210x x -+≤，故选A ．【点睛】本题主要考查了含有一个量词的否定，其中解答中熟记全称命题与特称性命题的关系是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．3.点 M 的直角坐标是()1,3-，则点 M 的极坐标为（ ）A. π 2,3⎛⎫ ⎪⎝⎭B. π2,3⎛⎫-⎪⎝⎭C. 2π2,3⎛⎫ ⎪⎝⎭D. π2,2π3k ⎛⎫+⎪⎝⎭()k ∈Z【★答案★】C 【解析】分析：利用cos x ρθ=，sin y ρθ=，222x y ρ=+，先将点M 的直角坐标是(1,3)-，之后化为极坐标即可.详解：由于222x y ρ=+，得24,2ρρ==， 由cos x ρθ=，得1cos 2θ=， 结合点在第二象限，可得23πθ=， 则点M 的坐标为2(2,)3π，故选C. 点睛：该题考查的是有关平面直角坐标与极坐标的转化，需要注意极坐标的形式，以及极径ρ和极角θ的意义，利用22x y ρ=+来得，根据点所属的象限得到相应的正角，从而得到结果.4.下面四个推理，不属于演绎推理的是（ ）A. 因为函数y=sinx （x∈R）的值域为[﹣1，1]，2x ﹣1∈R，所以y=sin （2x ﹣1）（x∈R）的值域也为[﹣1，1]B. 昆虫都是6条腿，竹节虫是昆虫，所以竹节虫有6条腿C. 在平面中，对于三条不同的直线a ，b ，c ，若a∥b，b∥c 则a∥c，将此结论放到空间中也是如此D. 如果一个人在墙上写字的位置与他的视线平行，那么，墙上字迹离地的高度大约是他的身高，凶手在墙上写字的位置与他的视线平行，福尔摩斯量得墙壁上的字迹距地面六尺多，于是，他得出了凶手身高六尺多的结论 【★答案★】C 【解析】 【分析】演绎推理是由一般到特殊的推理，是一种必然性的推理，演绎推理得到的结论不一定是正确的，这要取决与前提是否真实和推理的形式是否正确，因此不有助于发现新结论． 【详解】C 中的推理属于合情推理中的类比推理，A ，B ，D 中的推理都是演绎推理．故选C ．【点睛】本题考查演绎推理的意义，演绎推理是由一般性的结论推出特殊性命题的一种推理模式，演绎推理的前提与结论之间有一种蕴含关系．5.()():220p x x -+>；:01q x ≤≤.则p 成立是q 成立的（ ） A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【★答案★】A 【解析】 【分析】利用集合间的包含关系法判断即可． 【详解】解：∵()()220x x -+>， ∴22x -<<， 又[]()0,12,2-，∴p 成立是q 成立的必要不充分条件， 故选：A ．【点睛】本题主要考查必要不充分条件的判定，属于基础题．6.直角坐标系xoy 中,以原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,设点A ,B 分别在曲线13cos :4sin x C y θθ=+⎧⎨=+⎩（θ为参数）和曲线2:1C ρ=上,则AB 的最小值为（ ）A. 7B. 5C. 3D. 1【★答案★】C 【解析】 【分析】先求出圆12,C C 的直角坐标方程,再利用圆心间的距离减去半径求解即可.【详解】1C 的普通方程为22(3)(4)1x y -+-=,圆心为1(3,4)C ,半径为11r =.2C 是圆心,圆心为2(0,0)C ,半径为21r =,2212345C C =+=.所以5113AB =--=min ． 故选：C【点睛】本题主要考查了圆的参数方程、极坐标方程,同时也考查了两圆上的点的距离最小值问题,属于基础题.7.研究变量,x y 得到一组样本数据，进行回归分析，有以下结论 ①残差平方和越小的模型，拟合的效果越好；②用相关指数2R 来刻画回归效果，2R 越小说明拟合效果越好；③在回归直线方程0.20.8y x ∧=+中，当解释变量x 每增加1个单位时，预报变量y ∧平均增加0.2个单位④若变量y 和x 之间的相关系数为0.9462r =-，则变量y 和x 之间的负相关很强，以上正确说法的个数是（ ） A. 1B. 2C. 3D. 4【★答案★】C 【解析】 【分析】由题意逐一考查所给命题的真假即可.【详解】由题意可知：研究变量x ，y 得到一组样本数据，进行回归分析时： ①残差平方和越小的模型，拟合的效果越好；②用相关指数2R 来刻画回归效果，2R 越大说明拟合效果越好，故②错；③在回归直线方程0.2.8ˆ0yx =+中,当解释变量x 每增加1个单位时,预报变量ˆy 平均增加0.2个单位④相关系数为正值，则两变量之间正相关，相关系数为负值，则两变量之间负相关，相关系数的绝对值越接近1，则变量之间的相关性越强.若变量y 和x 之间的相关系数为0.9462r =-，则变量y 和x 之间的负相关很强.综上可得，正确说法的个数是3. 本题选择C 选项.【点睛】本题主要考查线性回归方程的性质及其结论的应用等知识，属于基础能力.8.命题“若22x y >，则x y >”的逆否命题是 A. “若x y <，则22x y <” B. “若x y >，则22x y >” C. “若x ≤y ，则22x y ≤”D. “若x y ≥，则22x y ≥”【★答案★】C因为命题“若22x y >，则x y >”的逆否命题是若x y ≤，则22x y ≤”选C9.将曲线240x y +=作如下变换：124x x y y⎧=⎪⎨⎪='⎩'，则得到的曲线方程为（ ）A. 214x y ''=-B. 214y x ''=-C. 24y x ''=- D. 24x y ''=-【★答案★】C 【解析】 【分析】由题意可得214x x y y ''=⎧⎪⎨=⎪⎩，代入曲线240x y +=，可得★答案★.【详解】解：由题意，得214x x y y ''=⎧⎪⎨=⎪⎩，所以()212404x y ⎛⎫''+⋅= ⎪⎝⎭．所以得到的曲线方程为24y x ''=-. 故选：C.【点睛】本题考查直角坐标系中的伸缩变化，关键是掌握伸缩变化的公式. 10.满足条件4z i z i ++-=的复数z 在复平面上对应点的轨迹是（ ）． A. 椭圆 B. 两条直线C. 圆D. 一条直线【★答案★】A 【解析】 【分析】转化复数方程为复平面点的几何意义，然后利用椭圆的定义，即可判定，得到★答案★． 【详解】由题意，复数4z i z i ++-=的几何意义表示：复数z 在复平面上点到两定点(0,1)和(0,1)-的距离之和等于4，且距离之和大于两定点间的距离，根据椭圆的定义，可知复数z 对应点的轨迹为以两定点(0,1)和(0,1)-为焦点的椭圆，【点睛】本题主要考查了复数的几何意义的应用，其中解答中熟记复数的表示，以及复数在复平面内的几何意义是解答的关键，注重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．11.利用反证法证明：“若220x y +=，则0x y ==”时，假设为A. x ，y 都不为0B. x y ≠且x ，y 都不为0C. x y ≠且x ，y 不都为0D. x ，y 不都为0【★答案★】D 【解析】原命题的结论是,x y 都为零，反证时，假设为,x y 不都为零. 12.已知命题:,1lg p x R x x ∃∈-≥，命题1:(0,),sin 2sin q x x xπ∀∈+>，则下列判断正确的是（ ）A. p q ∨是假命题B. p q ∧是真命题C. ()p q ∨⌝是假命题D. ()p q ∧⌝是真命题【★答案★】D 【解析】 试题分析：11lg x x x =-≥时，所以命题:,1lg p x R x x ∃∈-≥为真；11(0,),sin 0,sin 2sin 2sin sin x x x x x xπ∀∈>+≥=，当且仅当sin 1x =时取等号，所以命题1:(0,),sin 2sin q x x xπ∀∈+>为假；因此p q ∨是真命题，p q ∧是假命题 ，()p q ∨⌝是真命题 ，()p q ∧⌝是真命题，选D, 考点：命题真假【名师点睛】若要判断一个含有逻辑联结词的命题的真假，需先判断构成这个命题的每个简单命题的真假，再依据“或”：一真即真，“且”：一假即假，“非”：真假相反，做出判断即可. 以命题真假为依据求参数取值范围时，首先要对两个简单命题进行化简，然后依据“p∨q”“p∧q”“非p”形式命题的真假，列出含有参数的不等式(组)求解即可. 二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分13.若()f x 为一次函数，且()91f f x x =+⎡⎤⎣⎦，则()f x =_____________ 【★答案★】134x +或132x --【分析】设一次函数()f x ax b =+，得到2[()]()91f f x a ax b b a x ab b x =++=++=+，从而得到方程组，解方程组求得,a b ，即可求得()f x 的解析式. 【详解】解：设一次函数()f x ax b =+，则2[()]()91f f x a ax b b a x ab b x =++=++=+，291a ab b ⎧=∴⎨+=⎩， 解得314a b =⎧⎪⎨=⎪⎩或312a b =-⎧⎪⎨=-⎪⎩，∴()134f x x =+或()132f x x =--. 故★答案★为：134x +或132x --.【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，其中得到关于,a b 的方程组是解题的关键. 14.已知函数()y f x =的定义域为[]7,1-，则函数()232f x y x -=+的定义域是________【★答案★】(]2,2- 【解析】 【分析】根据()y f x =的定义域即可得出()232f x y x -=+需满足723120x x -≤-≤⎧⎨+≠⎩，解出x 的范围即可.【详解】解：∵()y f x =的定义域为[]7,1-，∴()232f x y x -=+满足723120x x -≤-≤⎧⎨+≠⎩，解得22x -<≤， ∴()232f x y x -=+的定义域为(]2,2-.故★答案★为：(]2,2-.【点睛】考查函数定义域的概念及求法，已知()f x 的定义域求()f g x ⎡⎤⎣⎦的定义域的方法，是基础题.15.设集合{}2135A x a x a =+≤≤-，{}322B x x =≤≤.若()A A B ⊆⋂，则实数a 的取值范围为________ 【★答案★】(],9-∞ 【解析】 【分析】 由()A AB ⊆得，A B ⊆，由此分类讨论即可求出★答案★．【详解】解：∵()A A B ⊆，∴A B ⊆，∵{}2135A x a x a =+≤≤-，{}322B x x =≤≤， ∴当2135a a +>-，即6a <时，A B =∅⊆，符合题意；当2135a a +≤-，即6a ≥时，由A B ⊆得，21335226a a a +≥⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩，解得69a ≤≤，∴实数a 的范围是(],9-∞， 故★答案★为：(],9-∞．【点睛】本题主要考查根据集合的基本运算求参数的取值范围，解题的关键在于找到集合间的基本关系，解题时还应注意不要忽略空集的情况，属于基础题．16.若函数()4,3log ,3ax x f x x x -+≤⎧=⎨>⎩（0a >且1a ≠），函数()()g x f x k =-.①若13a =，函数()g x 无零点，则实数k 的取值范围是__________； ②若()f x 有最小值，则实数a 的取值范围是__________． 【★答案★】 (1). [)1,1- (2). (]1,3 【解析】 ①a =13时，画出函数()f x 的图象，如图所示：若函数()g x 无零点，则y =k 和()y f x =无交点， 结合图象，可知﹣1≤k ＜1；②若0＜a ＜1，显然()f x 无最小值，故a ＞1， 结合log a 3=1，解得a =3， 故a ∈（1，3]. 三、解答题：17.已知0a >，0b >用分析法证明：2222a b a b ++≤. 【★答案★】证明见解析； 【解析】 【分析】将2222a b a b ++≤两边同时平方，整理变形即可证明. 【详解】因为0a >，0b >，要证2222a b a b ++≤， 只需证22222a b a b ++⎛⎫≤⎪⎝⎭，即2222222a ab b a b +≤++ 只需证2220a ab b -+≥，而()22220a ab b a b -+=-≥恒成立， 故22a b aba b+≥+成立.【点睛】本题考查分析法证明不等式，是基础题. 18.已知函数()2,(0)f x x m x m m =--+>. (1)若1m =，解关于x 的不等式()1f x ≥； (2)若()f x 的最大值为3，求m . 【★答案★】(1)(,1]-∞；(2)1. 【解析】 【分析】(1)把原不等式，根据绝对值的定义，得出等价不等式组，即可求解，得到★答案★． (2)利用绝对值的三角不等式，得到()f x 的最大值3m ，即可求解． 【详解】(1)由题意，原不等式()2,(0)f x x m x m m =--+>等价于1121x x x >⎧⎨---≥⎩ 或-2111-21x x x ≤≤⎧⎨--≥⎩ 或2121x x x <-⎧⎨-++≥⎩， 解得φ或21x -≤≤或2x <-， 综上所述，不等式的解集为(,1]-∞．(2)由绝对值的三角不等式，可得()2233f x x m x m x m x m m m =--+≤---==， 又由()f x 的最大值为3，即33m =，解得1m =．【点睛】本题主要考查了含绝对值的不等式的解法，以及绝对值三角不等式的应用，其中解答中熟记含有绝对值不等式的解法，以及合理使用绝对值的三角不等式是解答本题的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．19.已知曲线C 的极坐标方程为ρ＝4cosθ，以极点为原点，极轴为x 轴正半轴建立平面直角坐标系，设直线l 的参数方程为35212x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）.（1）求曲线C 的直角坐标方程与直线l 的普通方程；（2）设曲线C 与直线l 相交于P ，Q 两点，以PQ 为一条边作曲线C 的内接矩形，求该矩形的面积. 【★答案★】（1）曲线C 的直角坐标方程为()2224x y -+=；直线l 的普通方程为350x y --=；（2）37.【解析】 【分析】（1）对曲线C ，两边同乘以ρ即可化简；对直线的参方采用代入消参法； （2）利用直角方程，用弦长公式，求得弦长计算面积即可. 【详解】（1）由ρ＝4cosθ，得ρ2＝4ρcosθ， 即曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2＝4x ；由35212x t y t⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），得()353y x =-，即直线l 的普通方程为350x y --=. （2）由（1）可知C 为圆，且圆心坐标为（2，0），半径为2，则弦心距253213d -==+， 弦长|PQ |＝2232272⎛⎫-= ⎪⎝⎭， 因此以PQ 为一条边的圆C 的内接矩形面积S ＝2d ·|PQ |＝37.故该矩形面积为37.【点睛】本题考查极坐标方程、参数方程、普通方程之间的化简，以及利用普通方程求弦长. 20.2018年为我国改革开放40周年，某事业单位共有职工600人，其年龄与人数分布表如下： 年龄段[22,35) [35,45)[45,55)[55,59]人数（单位：人） 180 18016080约定：此单位45岁~59岁为中年人，其余为青年人，现按照分层抽样抽取30人作为全市庆祝晚会的观众.（1）抽出的青年观众与中年观众分别为多少人？（2）若所抽取出的青年观众与中年观众中分别有12人和5人不热衷关心民生大事，其余人热衷关心民生大事.完成下列22⨯列联表，并回答能否有90%的把握认为年龄层与热衷关心民生大事有关？ 热衷关心民生大事 不热衷关心民生大事 总计 青年 12 中年 5 总计30（3）若从热衷关心民生大事的青年观众（其中1人擅长歌舞，3人擅长乐器）中，随机抽取2人上台表演节目，则抽出的2人能胜任才艺表演的概率是多少？20()P K k ≥ 0.100 0.050 0.025 0.010 0.0010k2.7063.841 5.024 6.635 10.82822()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++.【★答案★】（1）18,12 ；（2）列联表见解析，没有90%的把握认为年龄层与热衷关心民生大事有关；（3）25. 【解析】试题分析：（1）第（1）问，直接利用分层抽样的定义求解.（2）第（2）问，利用随机变量2k 的公式计算得到它的值，再查表下结论. （3）第（3）问，利用古典概型的概率公式解答. 试题解析：(1)抽出的青年观众为18人，中年观众12人 （2）22⨯列联表如下： 热衷关心民生大事 不热衷关心民生大事 总计 青年 6 12 18 中年 7 5 12 总计131730()2230651274051.8332.70613171812221K ⨯-⨯==≈<⨯⨯⨯， ∴没有90%的把握认为年龄层与热衷关心民生大事有关.（3）热衷关心民生大事的青年观众有6人，记能胜任才艺表演的四人为1234,,,A A A A ，其余两人记为12,B B ，则从中选两人，一共有如下15种情况：()()()()()()()()()()()1213142324341112212231,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,A A A A A A A A A A A A A B A B A B A B A B()()()()32414212 ,,,,,,,,A B A B A B B B 抽出的2人都能胜任才艺表演的有6种情况，所以62155P ==. 21.“工资条里显红利，个税新政人民心”，随着2019年新年钟声的敲响，我国自1980年以来，力度最大的一次个人所得税（简称个税）改革迎来了全面实施的阶段，某IT 从业者为了解自己在个税新政下能享受多少税收红利，绘制了他在26岁~35岁（2009年~2018年）之间各月的月平均收入y (单位：千元)的散点图：（1）由散点图知，可用回归模型ˆˆˆln y b x a =+拟合y 与x 的关系，试根据有关数据建立y 关于x 的回归方程；（2）如果该IT 从业者在个税新政下的专项附加扣除为3000元/月，试利用（1）的结果，将月平均收入为月收入，根据新旧个税政策，估计他36岁时每个月少缴交的个人所得税. 附注： 参考数据10155ii x==∑，101155.5i i y ==∑，1021-)82.5i i x x ==∑（，101-))94.9i i i x x y y =-=∑（（，10115.1i i t ==∑，1021-) 4.84i i t t ==∑（,101-))24.2i i i t t y y =-=∑（（，其中ln i i t x =；取ln11 2.4=，ln36 3.6=参考公式：回归方程v bu a =+中斜率和截距的最小二乘估计分别为121-))-)ˆniii nii u u v v bu u ==-=∑∑（（（,ˆˆa v bu=- 新旧个税政策下每月应纳税所得额（含税）计算方法及税率表如下： 旧个税税率表（个税起征点3500元） 新个税税率表（个税起征点5000元） 税缴级数 每月应纳税所得额（含税）=收入-个税起征点 税率（%） 每月应纳税所得额（含税）=收入一个税起征点-专项附加扣除 税率（%） 1 不超过1500元的部分 3 不超过3000元的部分 3 2 超过1500元至4500元的部分 10 超过3000元至12000元的部分 10 3 超过4500元至9000元的部分 20 超过12000元至25000元的部分 20 4 超过9000元至35000元的部分 25 超过25000元至35000元的部分 25 5 超过35000元155000元的部分30超过35000元至55000元的部分30【★答案★】（1）5ln 8y x =+；（2）2130元. 【解析】 【分析】（1）由题意，令ln t x =，根据最小二乘法的计算公式，分别求得ˆˆ,,,t y ba 的值，即可得到回归直线的方程；(2)由(1)得该IT 从业人员36岁时月平均收入，再利用表格中的数据和个税的计算方法，求得新旧个税政策下缴交的个人所得税，即可得到★答案★．【详解】（1）由题意，令ln t x =，则ˆˆˆybt a =+由最小二乘法的公式，可得121))24.254.ˆ84)niii ni i t t y y bt t ==--===-∑∑（（（， 又由101155.515.51010ii yy ====∑，10115.1 1.511010ii tt ====∑， 所以-15.555 1.58ˆˆ1ay bt ==-⨯=， 所以y 关于t 的回归方程为ˆ58yt =+， 因为ln t x =，从而y 关于t 的回归方程为ˆ5ln 8yx =+． (2)由(1)得该IT 从业人员36岁时月平均收入为：ˆ5ln1185 2.4820y=+=⨯+= (千元)， 旧个税政策下缴交的个人所得税为：15003%300010%450020%(2000035009000)25%3120⨯+⨯+⨯+--⨯=(元)，新个税政策下缴交的个人所得税为：30003%(2000050003000)10%990⨯+--⨯=(元)，故根据新旧个税政策，则该IT 从业人员36岁时每个月少缴交的个人所得税为31209902130-= (元).【点睛】本题主要考查了回归直线方程的求解及其应用，其中解答中认真审题，正确理解表格的意义，利用最小二乘法的公式准确计算是解答本题的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题．感谢您的下载!快乐分享，知识无限！。

陕西省宝鸡中学2019—2020学年高二数学下学期期中试题 文说明：1。

本试题分Ⅰ、Ⅱ两卷,第Ⅰ卷和答案要按照A 、B 卷的要求涂到答题卡上，第Ⅰ卷不交;2。

全卷共三大题22个小题，满分150分，120分钟完卷。

第Ⅰ卷（共60分）一．选择题：（本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的，请选出正确答案）1.在极坐标系中，方程(0)6πθρ=≥表示的图形为( ).A 一条直线.B 一条射线 .C 一个点.D 一个圆2.点M的极坐标3(2,)4π化成直角坐标为( ）.(A -.(2,B.(CD3.已知实数0a b >>，则下列不等式成立的是（ ).A a b ->-.B a c b c +<+ 22.C a b> 1.D a b1 > 4。

把点(4,,4)3P π的柱坐标化为直角坐标为( )A B,4)C.(1D5. 极坐标方程sin cos ρθθ=+表示的曲线是（ ）.A直线 .B 圆.C 椭圆.D 抛物线6。

22,m ax b n bx a =+=+，且,m n a b >>，则().A x a b >+.B x a b <+ .C x a b >-.D x a b <-7.椭圆(2sin x y θθθ⎧=⎪⎨=⎪⎩为参数）的离心率为（ ）2.2A3.2B1.2C2.3D 8.直线:40l x y -+=被圆12cos (22sin x y θθθ=-+⎧⎨=+⎩为参数）截得的弦长为（）.14A14.2B6.2C.6D9.若,,a b R a b ∈>且，则（ ）.A a b > .B a b < .C a b <- .D a b -> 10。

若实数231x y z ++=,则222x y z ++的最小值为( ）.A 141.14B .29C1.29D11.不等式：①223x x +>；②222(1)a b a b +≥-- ； ③2b a a b +≥；④223(0)x x x +≥>，其中恒成立的是( )A. ①③B.②④ C 。