2015年普通高等学校招生全国统一考试山东卷(数学理)解析版

2015年普通高等学校招生全国统一考试理科数学(山东卷)本试卷分第I卷和第口卷两部分，共4页。

满分150分。

考试用时120分钟。

考试结束后,将将本试卷和答题卡一并交回。

注意事项：1.答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号、县区和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上。

2.第I卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，在选涂其他答案标号。

答案写在试卷上无效。

3.第口卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带。

不按以上要求作答的答案无效。

4.填空题直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤^ 参考公式：如果事件A,B互斥，那么P(A+B)=P(A)+P(B).第I卷(共50分)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的(1)已知集合A=(X|X2-4X+3<0} , B={X|2<X<4},贝U A fl B=【C】(A)(1 , 3) (B) (1 , 4) (C) (2, 3) (D) (2, 4)(2)若复数Z满足—i ,其中i为虚数单位，则Z=【A绝密★启用前(A) 1-i (B)1+i (C)-1-i (D)-1+i(3)要得到函数y=sin (4x ----- )的图像，只需要将函数3y=sin4x的图像【C】(A)向左平移——个单位12 (B)向右平移——个单位12已知菱形ABCD 的边长为a, Z ABC=60,则33： n 33 n (A)- -a(B)- -a (。

一亲 (D) -a2447(5)不等式|x-1|-|x-5|<2 的解集是 【A 】 (A) (-E , 4)(B) (-S , 1)(C) (1, 4)(D) (1, 5)rX - V > 0v + y < 2(6) 已知x,y 满足约束条件 ，若z=ax+y 的最大值为4,贝U a=【B 】(A) 3(B) 2(C) -2(D) -3、, ___________ 一 . n一 一 ..... ... 一 … ~ ,，，一(7) 在梯形 ABCD 中，/ ABC==, AD//BC , BC=2AD=2AB=2.将梯形 ABCD 绕 AD 所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为【C 】2TC4TCS TC(A (B)：©；(D)次(8)已知某批零件的长度误差(单位：毫米)服从正态分布N (0, 32),从中随机取一件，其长度误差落在区间(3,6)内的概率为 【B 】 (附：若随机变量E 服从正态分布N U, b2),则PQ - b <E 林+ b) =68.26% , P -2b <E 耻 +2b) =95.44%.)(A) 4.56%(B) 13.59%(C) 27.18%(D) 31.74%(9) 一条光线从点(-2, -3)射出，经y 轴反射后与圆(K -- (y- 2)1= 1相切，贝U 反射光线所在直线的斜率为【D 】(A ) — — - (B)—「或一 Z (C) -j 或-N (D)--或—j(10)设函数f(x)=「M m L ,则满足f(f(a))=2筑奶的a 的取值范围是 【C 】(C) 向左平移 —个单位 3 (D) 向右平移一个单位3【D 】(A) &1] (B) [0,1](C) [；.+ac) (D) [1, +8)第口卷(共100分)二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。

2015年普通高等学校招生全国统一考试理科数学(山东卷)本试卷分第I卷和第口卷两部分，共4页。

满分150分。

考试用时120分钟。

考试结束后,将将本试卷和答题卡一并交回。

注意事项：1.答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号、县区和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上。

2.第I卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，在选涂其他答案标号。

答案写在试卷上无效。

3.第口卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带。

不按以上要求作答的答案无效。

4.填空题直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤^ 参考公式：如果事件A,B互斥，那么P(A+B)=P(A)+P(B).第I卷(共50分)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的(1)已知集合A=(X|X2-4X+3<0} , B={X|2<X<4},贝U A fl B=【C】(A)(1 , 3) (B) (1 , 4) (C) (2, 3) (D) (2, 4)(2)若复数Z满足—i ,其中i为虚数单位，则Z=【A绝密★启用前(A) 1-i (B)1+i (C)-1-i (D)-1+i(3)要得到函数y=sin (4x ----- )的图像，只需要将函数3y=sin4x的图像【C】(A)向左平移——个单位12 (B)向右平移——个单位12已知菱形ABCD 的边长为a, Z ABC=60,则33： n 33 n (A)- -a(B)- -a (。

一亲 (D) -a2447(5)不等式|x-1|-|x-5|<2 的解集是 【A 】 (A) (-E , 4)(B) (-S , 1)(C) (1, 4)(D) (1, 5)rX - V > 0v + y < 2(6) 已知x,y 满足约束条件 ，若z=ax+y 的最大值为4,贝U a=【B 】(A) 3(B) 2(C) -2(D) -3、, ___________ 一 . n一 一 ..... ... 一 … ~ ,，，一(7) 在梯形 ABCD 中，/ ABC==, AD//BC , BC=2AD=2AB=2.将梯形 ABCD 绕 AD 所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为【C 】2TC4TCS TC(A (B)：©；(D)次(8)已知某批零件的长度误差(单位：毫米)服从正态分布N (0, 32),从中随机取一件，其长度误差落在区间(3,6)内的概率为 【B 】 (附：若随机变量E 服从正态分布N U, b2),则PQ - b <E 林+ b) =68.26% , P -2b <E 耻 +2b) =95.44%.)(A) 4.56%(B) 13.59%(C) 27.18%(D) 31.74%(9) 一条光线从点(-2, -3)射出，经y 轴反射后与圆(K -- (y- 2)1= 1相切，贝U 反射光线所在直线的斜率为【D 】(A ) — — - (B)—「或一 Z (C) -j 或-N (D)--或—j(10)设函数f(x)=「M m L ,则满足f(f(a))=2筑奶的a 的取值范围是 【C 】(C) 向左平移 —个单位 3 (D) 向右平移一个单位3【D 】(A) &1] (B) [0,1](C) [；.+ac) (D) [1, +8)第口卷(共100分)二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。

高中数学学习材料金戈铁骑整理制作绝密★启封并使用完毕前试题类型：A注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5页。

2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置。

3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效。

4.考试结束后，将本试题和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1）设复数z满足1+z1z-=i，则|z|=（A）1 （B）2（C）3（D）2 【答案】A考点：1.复数的运算；2.复数的模.（2）sin20°cos10°-con160°sin10°=（A）3（B3（C）12-（D）12【答案】D 【解析】试题分析：原式=sin20°cos10°+cos20°sin10°=sin30°=12，故选D.考点：诱导公式；两角和与差的正余弦公式（3）设命题P ：∃n ∈N ，2n >2n ，则⌝P 为（A ）∀n ∈N, 2n >2n （B ）∃ n ∈N, 2n ≤2n （C ）∀n ∈N, 2n ≤2n （D ）∃ n ∈N, 2n =2n【答案】C 【解析】试题分析：p ⌝:2,2n n N n ∀∈≤，故选C.考点：特称命题的否定（4）投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试。

已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为（A ）0.648（B ）0.432（C ）0.36（D ）0.312【答案】A 【解析】试题分析：根据独立重复试验公式得，该同学通过测试的概率为22330.60.40.6C ⨯+=0.648，故选A.考点：独立重复试验；互斥事件和概率公式（5）已知M （x 0，y 0）是双曲线C ：2212x y -=上的一点，F 1、F 2是C 上的两个焦点，若1MF •2MF ＜0，则y 0的取值范围是（A ）（-3，3） （B ）（-6，6）（C ）（） （D ）（）【答案】A考点：向量数量积；双曲线的标准方程（6）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺。

2015年山东理一、选择题（共10小题；共50分）1. 已知集合A=x x2−4x+3<0，B=x2<x<4，则A∩B= A. 1,3B. 1,4C. 2,3D. 2,42. 若复数z满足z1−i=i，其中i为虚数单位，则z= A. 1−iB. 1+iC. −1−iD. −1+i3. 要得到函数y=sin4x−π3的图象，只需要将函数y=sin4x的图象 A. 向左平移π12个单位 B. 向右平移π12个单位C. 向左平移π3个单位 D. 向右平移π3个单位4. 已知菱形ABCD的边长为a，∠ABC=60∘，则BD⋅CD= A. −32a2 B. −34a2 C. 34a2 D. 32a25. 不等式 x−1− x−5<2的解集是 A. −∞,4B. −∞,1C. 1,4D. 1,56. 已知x，y满足约束条件x−y≥0,x+y≤2,y≥0.若z=ax+y的最大值为4，则a= A. 3B. 2C. −2D. −37. 在梯形ABCD中，∠ABC=π2，AD∥BC，BC=2AD=2AB=2．将梯形ABCD绕AD所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为 A. 2π3B. 4π3C. 5π3D. 2π8. 已知某批零件的长度误差（单位：毫米）服从正态分布N0,32，从中随机取一件，其长度误差落在区间3,6内的概率为 （附：若随机变量ξ服从正态分布Nμ,σ2），则Pμ−σ<ξ<μ+σ=68.26%，Pμ−2σ<ξ<μ+2σ =95.44%．）A. 4.56%B. 13.59%C. 27.18%D. 31.74%9. 一条光纤从点−2,−3射出，经y轴反射后与圆x+32+y−22=1相切，则反射光线所在直线的斜率为 A. −53或−35B. −32或−23C. −54或−45D. −43或−3410. 设函数f x=3x−1,x<1,2x,x≥1.，则满足f f a=2f a的a取值范围是 A. 23,1 B. 0,1 C. 23,+∞ D. 1,+∞二、填空题（共5小题；共25分）11. 观察下列各式：C10=40；C 30+C 31=41； C 50+C 51+C 52=42； C 70+C 71+C 72+C 73=43；⋯照此规律，当n ∈N ∗时，C 2n−10+C 2n−11+C 2n−12+⋯+C 2n−1n−1= ．12. 若“ ∀x ∈ 0,π4 ,tan x ≤m ”是真命题，则实数m 的最小值为 ． 13. 执行如图所示的程序框图，输出的T 的值为 ．14. 已知函数f x =a x +b a >0,a ≠1 的定义域和值域都是 −1,0 ，则a +b = ．15. 平面直角坐标系xOy 中，双曲线C 1:x 2a2−y 2b 2=1 a >0,b >0 的渐近线与抛物线C 2:x 2=2py p >0 交于O ，A ，B ．若△OAB 的垂心为C 2的焦点，则C 1的离心率为 ．三、解答题（共6小题；共78分） 16. 设f x =sin x cos x −cos 2 x +π4 ．（1）求f x 的单调区间；（2）在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若f A2 =0，a =1，求△ABC 面积的最大值．17. 如图，在三棱台DEF −ABC 中，AB =2DE ，G ，H 分别为AC ，BC 的中点．（1）求证：BD ∥平面FGH ；（2）若CF ⊥平面ABC ，AB ⊥BC ，CF =DE ，∠BAC =45∘，求平面FGH 与平面ACFD 所成的角（锐角）的大小18. 设数列 a n 的前n 项和为S n ．已知2S n =3n +3．（1）求a n的通项公式；（2）若数列b n满足a n b n=log3a n，求b n的前n项和T n．19. 若n是一个三位正整数，且n的个位数字大于十位数字，十位数字大于百位数字，则称n为“三位递增数”（如137，359，567等）．在某次数学趣味活动中，每位参加者需从所有的“三位递增数”中随机抽取1个数，且只能抽取一次．得分规则如下：若抽取的"三位递增数"的三个数字之积不能被5整除，参加者得0分；若能被5整除，但不能被10整除，得−1分；若能被10整除，得1分．（1）写出所有个位数字是5的“三位递增数”；（2）若甲参加活动，求甲得分X的分布列和数学期望EX．20. 平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C:x2a +y2b=1a>b>0的离心率为32，左、右焦点分别是F1，F2．以F1为圆心、以3为半径的圆与以F2为圆心、以1为半径的圆相交，且交点在椭圆C上．（1）求椭圆C的方程；（2）设椭圆E:x 24a +y24b=1，P为椭圆C上任意一点，过点P的直线y=kx+m交椭圆E于A，B两点，射线PO交椭圆E于点Q．①求 OQOP的值；②求△ABQ面积的最大值．21. 设函数f x=ln x+1+a x2−x，其中a∈R．（1）讨论函数f x极值点的个数，并说明理由；（2）若∀x>0，f x≥0成立，求a的取值范围．答案第一部分1. C2. A3. B4. D5. A6. B 【解析】画出可行域，分别代入O,A,B三点验证，发现当直线ax+y=z经过点B2,0时，符合题意，此时a=2．7. C 【解析】提示：分析知，围成的几何体为如图所示一个圆柱挖去一个圆锥．8. B 9. D 【解析】提示：作点M−2,−3关于y轴的对称点P2,−3，过点P作圆的切线，切线即反射光线．10. C【解析】1）当a≥1时，f a=2a≥2，此时f f a=2f a，成立．2）当a<1时，f a=3a−1．时，f f a=2f a，成立．当f a=3a−1≥1，即1>a≥23时，f f a=3f a−1，此时3f a−1<2f a，所以不满足题意．当f a=3a−1<1，即a<23,+∞ ．综上，a的取值范围是23第二部分11. 4n−112. 113. 11614. −32【解析】提示：由题意知a>1f−1=−1f0=0或0<a<1f−1=0f0=−1，解得a=12,b=−2．15. 32【解析】如图，可求得A,B坐标分别为A2pba ,2pb2a2，B −2pba,2pb2a2，而抛物线C2的焦点为F0,p2，由BF⊥OA可得4b2=5a2，进而可得C1的离心率为ca =32．第三部分16. （1）由题意知f x=sin2x2−1+cos2x+π22=sin2x2−1−sin2x2=sin2x−12．由−π2+2kπ≤2x≤π2+2kπ,k∈Z，可得−π4+kπ≤x≤π4+kπ,k∈Z；由π2+2kπ≤2x≤3π2+2kπ,k∈Z，可得π4+kπ≤x≤3π4+kπ,k∈Z．所以f x的单调递增区间是 −π4+kπ,π4+kπ k∈Z；单调递减区间是π4+kπ,3π4+kπ k∈Z．（2）由f A2=sin A−12=0，得sin A=12，由题意知A为锐角，所以cos A=32．由余弦定理a2=b2+c2−2bc cos A，可得1+3bc=b2+c2≥2bc，即bc≤2+3，当且仅当b=c时等号成立．因此12bc sin A≤2+34．所以△ABC的面积的最大值为2+34．17. （1）证法一：如图，连接DG，CD，设CD∩GF=O，连接OH．在三棱台DEF−ABC中，AB=2DE，G为AC的中点，可得DF∥GC，DF=GC，所以四边形DFCG为平行四边形，则O为CD的中点．又H为BC的中点，所以OH∥BD．又OH⊂平面FGH，BD⊄平面FGH，所以BD∥平面FGH．证法二：在三棱台DEF−ABC中，由BC=2EF，H为BC的中点，EF∥BC .可得BH∥EF，BH=EF，所以四边形BHFE为平行四边形，可得BE∥HF．在△ABC中，G为AC的中点，H为BC的中点，所以GH∥AB．又GH∩HF=H，所以平面FGH∥平面ABED．因为BD⊂平面ABED，所以BD∥平面FGH．（2）解法一：设AB=2，则CF=1．在三棱台DEF−ABC中，G为AC的中点，由DF=12AC=GC，可得四边形DGCF为平行四边形，因此DG∥FC．又FC⊥平面ABC，所以DG⊥平面ABC．在△ABC中，因为AB⊥BC，∠BAC=45∘，G是AC的中点，所以AB=BC，GB⊥GC，因此GB，GC，GD两两垂直．以G为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系G−xyz，所以G0,0,0，B 0,0，C 0,0，D0,0,1．可得H22,22,0，F 0,2,1，故GH=22,22,0，GF=0,2,1．设n=x,y,z是平面FGH的一个法向量，则由n⋅GH=0,n⋅GF=0,可得22x+22y=0,2y+z=0.令x=1，可得平面FGH的一个法向量n=1,−1,2．因为GB是平面ACFD的一个法向量，GB=2,0,0，所以cos⟨GB,n ⟩=GB⋅nGB n =222=12．所以平面FGH与平面ACFD所成角（锐角）的大小为60∘．解法二：如图，作HM⊥AC于点M，作MN⊥GF于点N，连接NH．设AB=2，则CF=1．由FC⊥平面ABC，得HM⊥FC．又FC∩AC=C，所以HM⊥平面ACFD．因此GF⊥NH，所以∠MNH为所求的角．在△BGC中，MH∥BG，MH=12BG=22．由△GNM∽△GCF，可得MNFC =GMGF，从而MN=66．由HM⊥平面ACFD，MN⊂平面ACFD，得HM⊥MN，因此tan∠MNH=HMMN=3，所以∠MNH=60∘．所以平面FGH与平面ACFD所成角（锐角）的大小为60∘．18. （1）因为2S n=3n+3，所以2a1=3+3，故a1=3．当n≥2时，2S n−1=3n−1+3，此时2a n=2S n−2S n−1=3n−3n−1=2×3n−1，即a n=3n−1，所以a n=3,n=1, 3n−1,n≥2.（2）因为a n b n=log3a n，所以b1=13．当n≥2时，b n=31−n log33n−1=n−1⋅31−n．所以T1=b1=13；当n≥2时，T n=b1+b2+b3+⋯+b n=13+1×3−1+2×3−2+⋯+n−1×31−n，所以3T n=1+1×30+2×3−1+⋯+n−1×32−n，两式相减，得2T n=2+ 30+3−1+3−2+⋯+32−n − n −1 ×31−n =23+1−31−n1−3−1− n −1 ×31−n=13−6n +3n , 所以T n =1312−6n +34×3n ． 经检验，n =1时也适合． 综上可得T n =1312−6n +34×3．19. （1）个位数字是5的“三位递增数”有125，135，145，235，245，345．（2）由题意知，全部“三位递增数”的个数为C 93=84，随机变量X 的取值为：0，−1，1，因此P X =0 =C 8393=2,P X =−1 =C 4293=1,P X =1 =1−1−2=11.所以X 的分布列为X 0−11P2111 则EX =0×23+ −1 ×114+1×1142=421． 20. （1）由题意知2a =4，则a =2． 又ca =32，a 2−c 2=b 2，可得b =1，所以椭圆C 的方程为x 24+y 2=1．（2）由（1）知椭圆E 的方程为x 216+y 24=1．①设P 0 x 0,y 0 ， OQOP =λ，由题意知Q −λx 0,−λy 0 ．因为x 024+y 02=1，又−λx 0 216+−λy 0 24=1，即λ24 x 024+y 02=1， 所以λ=2，即 OQOP =2． ②设A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 ．将y =kx +m 代入椭圆E 的方程，可得 1+4k 2 x 2+8kmx +4m 2−16=0， 由Δ>0，可得m 2<4+16k 2. ⋯⋯ ∗ 则有x 1+x 2=−8km1+4k 2，x 1x 2=4m 2−161+4k 2．所以 x 1−x 2 =4 16k 2+4−m 21+4k 2．因为直线y =kx +m 与y 轴交点的坐标为 0,m ， 所以△OAB 的面积S=1m x1−x2=216k2+4−m2 m1+4k2=216k2+4−m2m22=24−m21+4k2m21+4k2.设m 21+4k=t．将y=kx+m代入椭圆C的方程，可得1+4k2x2+8kmx+4m2−4=0，由Δ≥0，可得m2≤1+4k2. ⋯⋯∗∗由∗∗∗可知0<t≤1，因此S=24−t t=22+4t，故S≤23．当且仅当t=1，即m2=1+4k2时取得最大值23．由①知，△ABQ的面积为3S，所以△ABQ的面积的最大值为63．21. （1）由题意知，函数f x的定义域为−1,+∞，fʹx=1x+1+a2x−1=2ax2+ax−a+1x+1．令g x=2ax2+ax−a+1,x∈−1,+∞．①当a=0时，g x=1，此时fʹx>0，函数f x在−1,+∞上单调递增，无极值点；②当a>0时，Δ=a2−8a1−a=a9a−8．a．当0<a≤89时，Δ≤0，g x≥0，fʹx≥0，函数f x在−1,+∞上单调递增，无极值点；b．当a>89时，Δ>0，设方程2ax2+ax−a+1=0的两根为x1,x2x1<x2，因为x1+x2=−12，所以x1<−14，x2>−14．由g−1=1>0，可得−1<x1<−14．所以当x∈−1,x1时，g x>0，fʹx>0，函数f x单调递增；当x∈x1,x2时，g x<0，fʹx<0，函数f x单调递减；当x∈x2,+∞时，g x>0，fʹx>0，函数f x单调递增；因此，函数有两个极值点．c．当a<0时，Δ>0，由g−1=1>0，可得x1<−1．当x∈−1,x2时，g x>0，fʹx>0，函数f x单调递增；当x∈x2,+∞时，g x<0，fʹx<0，函数f x单调递减；所以函数有一个极值点．综上所述，当a<0时，函数f x有一个极值点；当0≤a≤89时，函数f x无极值点；当a>89时，函数f x有两个极值点．（2）由（1）知，①当0≤a≤89时，函数f x在0,+∞上单调递增，因为f0=0，所以x∈0,+∞时，f x>0，符合题意．②当89<a≤1时，由g0≥0，得x2≤0，所以函数f x在0,+∞上单调递增．又f0=0，所以x∈0,+∞时，f x>0，符合题意．③当a>1时，由g0<0，可得x2>0．所以x∈0,x2时，函数f x单调递减．因为f0=0，所以x∈0,x2时，f x<0，不合题意．④当a<0时，设 x=x−ln x+1．因为x∈0,+∞时， ʹx=1−1x+1=xx+1>0，所以 x在0,+∞上单调递增．因此，当x∈0,+∞时， x> 0=0，即ln x+1<x．可得f x<x+a x2−x=ax2+1−a x，当x>1−1a时，ax2+1−a x<0，此时f x<0，不符合题意．综上所述，a的取值范围是0,1．。