数字信号处理(胡广书)

n=0 m
系统的能量累计情况 6.6 令 H1 ( z ) = 1 − 0.6 z −1 − 1.44 z −2 + 0.864 z −3
H 2 ( z ) = 1 − 0 . 98 z − 1 + 0 . 9 z − 2 − 0 . 8 z − 3
H 3 ( z ) = H1 ( z ) H 2 ( z )
相位，滤波器 系数的长度为 29 点，即 M/2=14 （1） 用矩形窗 （2） 利用 Hamming 窗 试计算并打印滤波器的系数，幅频响应及相频响应。滤波器系数 的计算先用手算，然后调用子程序 DEFIR1 来计算。 8.4 一滤波器的理想频率响应如图所示 （1）试用窗函数法设计该滤波器，要求具有线性相位，滤波器长 度为 33，用 Hamming 窗 （2）用频率抽样法设计，应要求具有线性相位，滤波器长度为 33，过度点自行设置。 注：先用手算出 h(n),然后上机求 H (e jω ) .
x(n)
y(n)
y(n) a
z
a
−1
x(n)
b
zb
−1
(a) x(n)
x(n)
y(n)
z
−1
z
b
−1
z
− a1
y(n)
−1
a (b)
− a2
z −1
b1 b2
− a3
2.9 (c)
2.10 题图 2.10 是一个三阶 FIR 系统，试写出该系统的差分方程及转 移函数。
x(n) -0.7026 -0.7026 0.7385 0.7385
1.4 给定下述系统：
1 （1）y(n)= N +1
∑
k =0
N
x(n-k),N 为大于零的整数。
（2）y(n)= ax(n)+b,a,b 为常数。 （3）y(n)= x(n)+c x(n+1),c 为常数。 （4）y(n)= x(n2)
（5）y(n)=x(kn),k 为大于零的常数。 （6）y(n)= x(-n)。 试判定哪一个是因果系统？哪一个是非因果系统？说明理由。
⎜ n − ⎟ω ⎥ ∑ d (n )sin ⎢ 2⎠ ⎦ ⎣⎝
⎡⎛
(6.1.7a )
d (n ) = 2h(
N − n) n = 1,2,3L N / 2 2
(6.1.7b )
6.5 一个离散时间系统的转移函数是
H ( z ) = (1 − 0.95e j 0.3π z −1 )(1 − 0.95e − j 0.3π z −1 )(1 − 1.4e j 0.4π z −1 )(1 − 1.4e − j 0.4π z −1 )
9.7 令 x(n ) = cos(2πfn / f s ), f f s = 1 12 ， 利用本章所附子程序 DECINT.FOR, 实现如下抽样率转换 L/M=2/3 倍的抽样率转换
给出数字低通滤波器的频率特性及频率转换后的信号波形。
10.7 将随机信号 x(n ) 加到一个一阶的递归滤波器上，如题图 10.7 所
12．2
一个 AR(2)过程如下： X(n)=-a x(n) = −a1 x(n − 1) − a2 x(n − 2) + u (n) 求该模型稳定的条件。
ˆ b (n − p ) = −∑ a b (k ) x(n − p + k ) x
k =1 p
12.3 将 代入 再将 eb (n) 代入 令
(12.5.3)
ˆ b (n − p) (12.5.4) e b ( n) = x ( n − p ) − x
ρ b = E{ eb (n ) } (12.5.5)
2 2
ρ b = E{ eb (n ) }
(12.5.5)的 ρ b 为最小，
b 证明 ρ min = rx (0 ) + ∑ a b (k )r (k )x k =1
第一章 1.2 对 1.1 题给出的 x(n ) ： （1）画出 x(− n ) 的图形。 （2）计算
1 x (n) = 2 [x(n ) + x(− n )]
e
，并画出 xe (n ) 的图形。
（3）计算 x0 (n ) = [x(n ) + x(− n )] ，并画出 x0 (n) 的图形。 （4）试用 xe (n ) ， x0 (n) 表示 x(n ) ，并总结将一个序列分解为其一 个偶对称序列与奇对称序列的方法。
(3)x(n)=
n ⎧ 1 ⎛ ⎞ ⎪ ⎪⎜ ⎟ ; n ≥ 0 ⎪⎝ 4 ⎠ ⎨ −n ⎪⎛ 1 ⎞ ⎪⎜ ⎟ ; n < 0 ⎪ ⎩⎝ 2 ⎠
2.2 已知 （1）x(n)=(n+1)u(n) （2）x(n)=n2u(n) （3）x(n)=nrncos(ω0n)u(n) 试利用 Z 变换的性质求 X（z） 。
ω
（ej ）在单位园上的等间隔抽样，Y(k)=X ⎛ ⎜e
ω
j
⎝
2π k M
⎞ ⎟ ,k=0，1，…M-1,且 ⎠
M<N,设Y(k)对应的序列为y(n),试用x(n)表示y(n)。 3.8 已知 x(n)为 n 点序列，n=0，1，…N-1，其 DFT 为 X(k):
⎧ ⎛n⎞ ⎪ x⎜ ⎟；n为偶数 （1）令 y1(n)= ⎨ ⎝ 2 ⎠ ⎪0；n为奇数， n）为2N点序列 y（ 1 ⎩
通过移动其零点可以保证下述条件下得到新的系统： （1） 新系统与 H（z） ，具有同样的幅频响应； （2） 新系统的单位抽样响应仍为实值且和原系统同样长 讨论： （1） 可以得到几个不同的系统 （2） 哪一个是最小相位系统，哪一个是最大相位系统？ （3） 对所得系统求 h（n） ，并计算 E (m ) = ∑ h 2 (n ) m ≤ 4 ，比较各
p
(12.5.6)和 m= 1,2,… ,p (12.5.7)两式
rx (m ) = −∑ a b (k )r (m − k )x
k =1
p
12.4 通过令 ρ =
ρ min 2π
∫π
−
π
Px e jω dω （12.3.13）式的 ρ 为最小，导出 PAR e jω
( ) ( )
⎧ p ⎪− ∑ ak rx (m − k ) m ≥ 1 ⎪ k =1 rx (m ) = ⎨ p （12.2.3）式的 Yule-Walker 方 ⎪− a r (k ) + σ 2 m = 0 ∑ kx ⎪ ⎩ k =1
。 试用X（k）表示Y1（k）
6.1 对第二类 FIR 滤波器，即 h(n ) = −h(N − 1 − n ) ，推导
H e jω = e
( )
⎛ π N −1 ⎞ ( N −1) 2 ω⎟ j⎜ − 2 ⎝2 ⎠ n =1
∑ c(n )sin (nω ) （6.1.6a）
(6.1.6b )
式中 相频特性 和 式中
z
3
− 1.25 z + 0.5 z − 0.0625
2
2.5 一线性移不变离散时间系统的单位抽样响应为 h(n)=(1+0.3n+0.6n)u(n) （1） 求该系统的转移概率函数 H（z） ，并画出其极-零图； （2） 写出该系统得差分方程； （3） 画出该系统直接实现、并联实现和级联实现的信号流图。
2.4 给定序列 x(n)的 Z 变换，试求 x(n)： （1）X(z)=z2(1+z)(1-z-1)(1+z2)(1-z-2) （2）X(z)= （3）X(z)= （4）X(z)=
0.3 z z −0.7 z + 0.1
1 (1 − 2 z )(1 − z ) 2 1
−1 −1

，x(n)为因果信号 ，x(n)为因果信号 ，︱z︱〉1/2
1 2
1.3 给定下述系统： （1）y(n)=x(n)+x(n-1)+x(n-2) （2）y(n)=x(-n) （3）y(n)=x(n2) （4）y(n)=x2 (n) （5）y(n)=x(n)sin(nω) （6）y(n)=ax(n)+b,a,b 为常数 试判定每一个系统是否具有线性、移不变性？说明理由。
jω ∞ n =1
(3.2.18)
x ( n) =
jω
( π∫ X e
0 R
∞
1
π
jω
) cos(ωn)dω
(3.2.20)
x(e ) = −2∑ x(n) sin(ωn)
n =1
(3.2.22)
x ( n) = −
( π∫ X e
0 I
1
π
jω
) sin(ωn)dω
(3.2.23)
，现对X 3.7 已知x(n)为N点序列，n=0，1，…N-1，其DTFT为X（ej ）
2.9 给定一个离散时间系统的信号流图如题图 2.9，如果保持图形的 拓扑结构不变，仅将图中的信号流向（即箭头）反向，输入、输出位 置易位，如图（a）所示，那么所得系统称为原系统的易位系统，再 给定系统（b） ， （c） ，试画出（b）和（c）的易位系统。并证明这三 个系统和其易位系统有着相同的转移函数。
y(n) -0.648 -0.648
z −1
z −1
2.10
z −1
第三章
3.2 求下述两个序列的傅里叶变换（DTFT） ，式中︱a︱<1： （1）x1(n)=an cos(ω1n)u(n) （2）x2(n)= ︱a︱n cos(ω2n)
3.3 已知理想低通和高通数字滤波器的频率响应分别是：
（1）HLP（e
2
n=0,1,…,∞, Ts为抽样间隔， 求x(n) 1.8 设x(nTs)=e- nTs,为一指数函数， 的自相关函数rx(mTs)。
第二章
2.1 求下列序列的 Z 变换，并确定其收敛域： （1）x(n)={x(-2),x(-1),x(0),x(2)}={-1/4,-1/2,1,1/2,1/4} (2 ) x(n)= an[cos(ω0n)+sin(ω0n)]u(n)