2017高二数学-A版选修-生活中的优化问题举例(2)(课件)

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利用导数解决面积、体积最大问题
[例 1] 如图①，∠ACB＝45°，|BC|＝3，过动点 A 作 AD⊥BC，垂足 D 在线段 BC 上且异于点 B，连接 AB，沿 AD 将△ABD 折叠，使∠BDC＝90°(如图②所示)．当 BD 的 长为多少时，三棱锥 A-BCD 的体积最大？
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利用导数解决费用最省问题
[例 2] 为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋 的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用 20 年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为 6 万元．该建筑物 每年的能源消耗费用 C(单位：万元)与隔热层厚度 x(单位：cm) 满足关系：C(x)＝3xk＋5(0≤x≤10)，若不建隔热层，每年能源 消耗费用为 8 万元．设 f(x)为隔热层建造费用与 20 年的能源消 耗费用之和．
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[活学活用] 甲、乙两地相距 400 千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度 不得超过 100 千米/时，已知该汽车每小时的运输成本 P (元) 关于速度 v (千米/时)的函数关系是 P＝19 1200v4－1160v3＋15v. (1)求全程运输成本 Q(元)关于速度 v 的函数关系式． (2)为使全程运输成本最少，汽车应以多大速度行驶？并求此 时运输成本的最小值．
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f′(x)＝－35x2＋24 000， 令 f′(x)＝0，解得 x1＝200，x2＝－200(舍去)． 当 0<x<200 时 f′(x)>0，当 x>200 时 f′(x)<0， ∴x＝200 时，f(x)取最大值， 最大值为 f(200)＝－15×2003＋24 000×200－50 000＝3 150 000. 故该厂每月生产 200 吨产品才能使利润达到最大，最大利润为 315 万元．

1答案
解:设DA=xkm,那么DB=(100-x)km,CD= 202 x2 C km. 400 x2 又设铁路上每吨千米的运费为3t元, 则公路上每吨千米的运费为5t元. BDA 这样,每吨原料从供应站B运到工厂C的总运费为
y 5t CD 3t BD 5t 400 x2 3t(100 x)(0≤ x ≤100).
解:设DA=xkm,那么DB=(100-x)km,CD= 202 x2 km. 400 x2
又设铁路上每吨千米的运费为3t元,则公路上每吨千
米的运费为5t元.这样,每吨原料从供应站B运到工厂
C的总运费为
y 5t CD 3t BD 5t 400 x2 3t(100 x)
(0 ≤ x ≤100).
令,y在 的t( 范4050围x 内x2 有3)唯 0一解x0=≤15x.≤100
所以,当x=15(km),即D点选在距A点15千米时,总运费最省. 注:可以进一步讨论,当AB的距离大于15千米时,要找的 最优点总在距A点15千米的D点处;当AB之间的距离 不超过15千米时,所选D点与B点重合.
练习3(课本第41页A组第7题)
当 r R 时， f (r) 0 ；当 r R 时， f (r) 0 ．
2
2
因此 r R 时，磁盘具有最大存储量。 2
此时最大存储量为 2 R2
mn 4
练习1(课本第40页A组第4题)：
学校或班级举行活动，通常需要张贴海报 进行宣传．现让你设计一张如图所示的竖 向张贴的海报，要求版心面积为间1, 28dm2 上、下两边各空2dm．左、右两边各空1dm. 如何设计海报的尺寸，才能使四周空白的面 积最小？
4
当L' 0时,q 84, 当L' 0时,q 84,

温馨提示 在解决实际优化问题中， 不仅要注意将问 题中涉及的变量关系用函数关系式给予表示， 还应确定函 数关系式中自变量的取值范围．
2．解决优化问题的一般步骤
[思考尝试· 夯基] 1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”)． (1)磁盘的最大存储量问题是优化问题．( (2)求某长方体容器的容积问题是优化问题．( (3)汽油的使用效率的提高问题是优化问题．( 解析：(1)(2)是优化问题，(3)不是优化问题． 答案： (1)√ (2)√ (3)× ) ) )
解：因为赔付价格为 s 元/吨，所以乙方的实际年利 润为 1 000－s t 1 000 ω＝2 000 t－st，ω′＝ －s＝ . t t
1 0002 令 ω′＝0，得 t＝t0＝ s .当 t＜t0 时，ω′＞0；
当 t＞t0 时，ω′<0.所以 t＝t0 时，ω 取得最大值．
审题指导：根据题设中的比例关系求出比例系数 k(k ＞0)， 再根据题意列出函数关系式建立数学模型后再利用 导数求最值． [规范解答] 设每小时的燃料费为 y1， 比例系数为 k(k ＞0)，(1 分) 则 y1＝kv ，当 v＝12 时，y1＝720，
2
所以 720＝k· 122，得 k＝5.(3 分)
1 0002 因此乙方取得最大年利润的年产量为 t0＝ s 吨．
第一章
导数及其应用
1．4 生活中的优化问题举例
[学习目标] 1.会解决生活中的优化问题(重点)． 2. 会利用导数解决某些实际问题(难点)．
[知识提炼· 梳理] 1．优化问题 生活中，我们经常遇到面积、体积最大，周长最小， 利润最大，用料最省，费用最低，效率最高等等一系列 问题，这些问题统称为优化问题．

解 设靠墙的一面长 x m，围成的场地面积为 y m2，此时
40－x 矩形的宽为 2 >0， 40－x 1 2 ∴y＝x· ＝－ x ＋20x.(0<x<40) 2 2 y′＝－x＋20.
令 y′＝0 得，x＝20. 当 0<x<20 时，y′>0， 当 20<x<40 时，y′<0. ∴x＝20 时，y 最大＝20×10＝200. 答： 靠墙的一面长 20 m 时， 围成的场地面积最大， 为 200 m2.
4．某种圆柱形的饮料罐的容积一定时，如何确定它的高与 底半径，才使得所用材料最省？
解 设圆柱的高为 h，底半径为 R，则表面积
S(R)＝2πRh＋2πR2， V 又 V＝πR2h，则 h＝πR2，所以 V 2V 2 2 S(R)＝2πR· ＋ 2π R ， 2＋2πR ＝ πR R 2V 由 S′(R)＝－ R2 ＋4πR＝0，

二
用料最省问题
【例2】
要设计一个容积为V的有盖圆柱形储油罐，已知
侧面积的单位面积造价是底面积造价的一半；而储油罐盖的单 位面积造价又是侧面积造价的一半，问储油罐的半径r和高h之 比为何值时造价最省？ 【分析】 把圆柱的高用底面半径r表示出来，然后把造
价表示为r的函数．
V 【解】 由V＝πr h，得h＝πr2，
解析 如图所示，矩形长为 10cosθ，宽为 5sinθ，则矩形的 面积 S＝50sinθcosθ＝25sin2θ≤25， ∴当 θ＝45° 时， 矩形的面积 有最大值 25.
答案
B
2．周长为 20 的矩形，绕一条边旋转成一个圆柱，则圆柱 体积的最大值为________．
解析 设矩形的一边长为 x，则另一边长为 10－x，则 V＝ 20 πx (10－x)＝π(10x －x )．令 V′＝π(20x－3x )＝0，得 x＝ .x 3