抛物线培优训练3
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O
O 1、如图，抛物线y ＝ax 2＋bx －5(a≠0)
与x 轴交于点A(－5，0)和点B(3，0)与y 轴交于点C.
(1) 求该抛物线的解析式； (2) 若点E 为x 轴下方抛物线上的一动点，当S △ABE ＝S △ABC 时，求点的坐标；
(3) 在(2)的条件下，抛物线上是否存在点P ，使∠PAB ＝∠CAE ，求出点P 的横坐标；若不存在，请说明理由．
(4) 若点D 是线段AB 上的一个动点(与点A ，B 不重合)，过点D 作DF ∥BC 交AC 于点F ，连接CD ，设BD 的长为m ，△CDF 的面积为S ，求S 与m 的函数关系式，并写出自变量m 的取值范围．S 是否存在最大值？若存在，求出最大值并求此时D 点坐标；若不存在，请说明理由．
（5）F 为直线AC 上的动点，在抛物线上是否存在点P ，使得△AFP 腰直角三角形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．
（6）在(2)的条件下，若两动点D ，G 同时从原点O 分别沿着x 轴，y 轴负 方向运动，点G 的速度是每秒1个单位长度，点D 的速度是每秒2个单位长度．问几秒钟时，点G ，D ，E 在同一条直线上？
2、如图1，直线y ＝－4
3x ＋n 交x 轴于点A ，交y 轴于点C(0，4)．抛物线
y ＝2
3x 2＋bx ＋c 经过点A ，交y 轴于点B(0，－2)．点P 为抛物线上一个动点，经过点P 作x 轴的垂线PD ，过点B 作BD ⊥PD 于点D ，连接PB ，设点P 的横坐标为m.
(1) 求抛物线的解析式；
(2) 当△BDP 为等腰直角三角形时，求线段PD 的长；
(3) 如图2，将△BDP 绕点B 逆时针旋转，得到△BD′P′，
且旋转角∠PBP′＝∠OAC ，当点P 的对应点P′落在坐
标轴上时，请直接写出点P 的坐标．
3、二次函数y ＝a x 2＋b x ＋c （a≠0）的图象与x 轴交于A (－3, 0)、B (1, 0)两点，与y 轴交于点C (0,－3m )（m ＞0），顶点为D ．
（1）求该二次函数的解析式（系数用含m 的代数式表示）；
（2） 如图2，当m 取何值时，以A 、D 、C 三点为顶点的三角形与△OBC
相似？
1解：(1) y ＝13x 2＋23
x －5. (2) E(－2，－5)． (3)存在点P ，使∠EAC ＝∠PAB.设P(a ，13a 2＋23
a －5)． 过点P 作PH ⊥x 轴于点H ，过点E 作EQ ⊥AC 于点Q ，连接AP. ∵A(－5，0)，C(0，－5)，E(－2，－5)，
∴AC ＝52，AE ＝34，CE ＝2.
∵S △AEC ＝12×CE·OC ＝12
AC·EQ.∴EQ ＝ 2.∴AQ ＝4 2. ∵∠EAC ＝∠PAH ，∠EQA ＝∠PHA ＝90°，∴△EAQ ∽△PAH.
∴AQ AH ＝EQ PH .∴425＋a ＝2PH .∴PH ＝5＋a 4
. ①当P 在x 轴上方时， a 2＋23a －5＝5＋a 4，∴a 1＝－5(舍)，a 2＝154
. ②当P 在x 轴下方时，13a 2＋23a －5＝－5＋a 4，∴a 1＝－5(舍)，a 2＝94
. ∴当P 点横坐标为154或 94
时，∠BAP ＝∠CAE. 2、解：(1)直线y ＝－43x ＋4. 抛物线的解析式为y ＝23x 2－43
x －2. (2)∵点P 的横坐标为m ， ∴P(m ，23m 2－43
m －2)，D(m ，－2)． 若△BDP 为等腰直角三角形，则PD ＝BD.
①当点P 在直线BD 上方时，PD ＝23m 2－43
m. (ⅰ)若点P 在y 轴左侧，则m<0，BD ＝－m.∴23m 2－43
m ＝－m ， ∴m 1＝0(舍去)，m 2＝12
(舍去)． (ⅱ)若点P 在y 轴右侧，则m>0，BD ＝m.
∴23m 2－43m ＝m.∴m 3＝0(舍去)，m 4＝72
. ②当点P 在直线BD 下方时，m>0，BD ＝m ，PD ＝－23m 2＋43
m. ∴－23m 2＋43m ＝m.∴m 5＝0(舍去)，m 6＝12
. 综上，m ＝72或12. 即当△BDP 为等腰直角三角形时，PD 的长为72或12
. (3)P 1(－5，45＋43)，P 2(5，－45＋43)，P 3(258，1132
)． ∵∠PBP′＝∠OAC ，OA ＝3，OC ＝4，
∴AC ＝5.∴sin ∠PBP′＝45，cos ∠PBP′＝35
. ①当点P′落在x 轴上时，过点D′作D′N ⊥x 轴，垂足为N ，交BD 于点M ，∠DBD′＝∠ND′P′＝∠PBP′.
如图1，ND′－MD′＝2，即35(23m 2－43m)－(－45
m)＝2. 如图2，ND′＋MD′＝2，即35(23m 2－43m)＋45
m ＝2. ∴P 1(－5，45＋43)，P 2(5，－45＋43
)； ②当点P′落在y 轴上时，如图3，过点D′作D′M ⊥x 轴，交BD 于点M ，过点P′作P′N ⊥y 轴，交MD′的延长线于点N ，∠DBD′＝∠ND′P′＝∠PBP′.
∵P′N ＝BM ，即45(23m 2－43m)＝35
m. ∴P 3(258，1132
)．
3、（1）y ＝m (x ＋3)(x －1)＝mx 2＋2mx －3m ．
（2）如图3，连结OP ．
当m ＝2时，C (0,－6)，y ＝2x 2＋4x －6，那么P (x , 2x 2＋4x －6)．
由于S △AOP ＝1()2P OA y ⨯-＝32
-(2x 2＋4x －6)＝－3x 2－6x ＋9， S △COP ＝1()2
P OC x ⨯-＝－3x ，S △AOC ＝9， 所以S ＝S △APC ＝S △AOP ＋S △COP －S △AOC ＝－3x 2－9x ＝23273()24
x -++． 所以当32x =-时，S 取得最大值，最大值为274
．
图3 图4 图5
（3）如图4，过点D 作y 轴的垂线，垂足为E ．过点A 作x 轴的垂线交DE
于F ．
由y ＝m (x ＋3)(x －1)＝m (x ＋1)2－4m ，得D (－1,－4m )．
在Rt △OBC 中，OB ∶OC ＝1∶3m ．
如果△ADC 与△OBC 相似，那么△ADC 是直角三角形，而且两条直角边的比为1∶3m ．
①如图4，当∠ACD ＝90°时，OA OC EC ED =．所以331
m m =．解得m ＝1． 此时3CA OC CD ED
==，3OC OB =．所以CA OC CD OB =．所以△CDA ∽△OBC ．
②如图5，当∠ADC ＝90°时，FA FD ED EC =．所以421m m =．解得m
此时2
DA FD DC EC m ===3OC m OB ==△DCA 与△OBC 不
相似．
综上所述，当m ＝1时，△CDA ∽△OBC ．。
