幂函数的图像与性质-教师版

源于名校，成就所托 创新三维学习法，高效学习加速度 1 教学内容概要 数学备课组 教师： 年级： 高三 学生：

日期 上课时间 学生上课情况：

主课题：幂函数及其图像和性质 教学目标： 1、能描绘常见幂函数的图像，掌握幂函数的基本性质 2、理解幂函数图像的演进及单调性质 3、能以幂函数为背景进行基本的函数图像的平移和对称变换.

教学重点： 1、幂函数的图像与性质 2、幂函数的代数特征与图像特征的依赖关系

教学难点： 1、以幂函数为背景的图像变换

家庭作业 1、完成巩固练习 2、复习知识点 源于名校，成就所托

创新三维学习法，高效学习加速度 2 教学内容 【知识结构】 1．有理数指数幂 （1）幂的有关概念

①正数的正分数指数幂:(0,,1)mnmnaaamnNn、且; ②正数的负分数指数幂: 11(0,,1)mnmnmnaamnNnaa、且

③0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义. 注：分数指数幂与根式可以互化，通常利用分数指数幂进行根式的运算。 （2）有理数指数幂的性质 ①aras=ar+s(a>0,r、s∈Q);②(ar)s=ars(a>0,r、s∈Q); ③(ab)r=arbs(a>0,b>0,r∈Q);.

例2 （1）计算：25.02121325.0320625.0])32.0()02.0()008.0()945()833[(；

（2）化简：5332332323323134)2(248aaaaabaaabbbaa

变式：（2007执信A）化简下列各式（其中各字母均为正数）: （1）;)(65312121132bababa（2）.)4()3(6521332121231bababa

(3) 1200.2563433721.5()82(23)()63 源于名校，成就所托

创新三维学习法，高效学习加速度 3 （三）幂函数 1、幂函数的定义 形如y=xα（a∈R）的函数称为幂函数，其中x是自变量，α为常数 注：幂函数与指数函数有本质区别在于自变量的位置不同，幂函数的自变量在底数位置，而指数函数的自变量在指数位置。

例1.下列函数中不是幂函数的是（ ）

A．yx B．3yx C．2yx D．1yx 答案：C 例2.已知函数2531mfxmmx，当 m为何值时，fx：

（1）是幂函数；（2）是幂函数，且是0,上的增函数； （3）是正比例函数；（4）是反比例函数；（5）是二次函数； 简解：（1）2m或1m（2）1m（3）45m（4）25m（5）1m 变式训练：已知函数2223mmfxmmx，当 m为何值时，fx在第一象限内它的图像是上升曲线。

简解：220230mmmm解得：,13,m

变式 已知幂函数2223(1)mmymmx，当(0)x，∞时为减函数，则幂函数y_______

．

解：因为2223(1)mmymmx为幂函数， 211mm，

解得2m，或1m． 当2m时，2233mm，3yx在(0)，∞上为减函数；

当1m时，2230mm，01(0)yxx在(0)，∞上为常函数，不合题意，舍去． 故所求幂函数为3yx． 评注：求幂函数的解析式，一般用待定系数法，理解幂函数的定义是关键．

小结与拓展：要牢记幂函数的定义，列出等式或不等式求解。 源于名校，成就所托 创新三维学习法，高效学习加速度 4 2.幂函数的图像 幂函数y＝xα的图象由于α的值不同而不同． α的正负：α＞0时，图象过原点和(1,1)，在第一象限的图象上升； α＜0时，图象不过原点，在第一象限的图象下降，反之也成立；

3、幂函数的性质 y=x y=x2 y=x3 12yx y=x-1

定义域 R R R [0，） |0xxRx且

值域 R [0，） R [0，） |0yyRy且

奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇 单调性 增 x∈[0，）时，增； x∈(,0]时，减 增 增 x∈(0,+)时，减； x∈(-,0)时，减

定点 （1，1） 例3．比较大小：

（1）11221.5,1.7 （2）33(1.2),(1.25)（3）1125.25,5.26,5.26（4）30.530.5,3,log0.5 解：（1）∵12yx在[0,)上是增函数，1.51.7，∴11221.51.7 源于名校，成就所托 创新三维学习法，高效学习加速度 5 （2）∵3yx在R上是增函数，1.21.25，∴33(1.2)(1.25) （3）∵1yx在(0,)上是减函数，5.255.26，∴115.255.26； ∵5.26xy是增函数，12，∴125.265.26； 综上，1125.255.265.26 （4）∵300.51，0.531，3log0.50，∴30.53log0.50.53

4.幂函数的性质及其应用 幂函数y＝xα有下列性质： (1) 单调性：当α＞0时，函数在(0，＋∞)上单调递增； 当α＜0时，函数在(0，＋∞)上单调递减． (2)奇偶性：幂函数中既有奇函数，又有偶函数，也有非奇非偶函数，可以用函数奇偶性的定义进行判断．

例4．已知幂函数223mmyx（mZ）的图象与x轴、y轴都无交点，且关于原点对称，求m的值．

解：∵幂函数223mmyx（mZ）的图象与x轴、y轴都无交点， ∴2230mm，∴13m； ∵mZ，∴2(23)mmZ，又函数图象关于原点对称， ∴223mm是奇数，∴0m或2m． 例5.已知幂函数2()myxmN的图象与xy，轴都无交点，且关于y轴对称，求m的值，并画出它的图象． 解：图象与xy，轴都无交点， 2m0，即2m．

又mN，

012m，，．

幂函数图象关于y轴对称，

0m，或2m． 源于名校，成就所托 创新三维学习法，高效学习加速度 6 当0m时，函数为2yx，图象如图1； 当2m时，函数为01(0)yxx，图象如图2．

变式：已知幂函数f(x)=x322mm（m∈Z）为偶函数，且在区间（0，+∞）上是单调减函数.（1）求函数f(x);（2）讨论F（x）=a）（）（xxfbxf的奇偶性.

5.规律方法 （1）．幂函数y＝xα(α＝0,1)的图象 源于名校，成就所托

创新三维学习法，高效学习加速度 7 （2）.幂函数(,,,aqqyxapqNpp为最简分式）的图象

6.性质： （1）幂函数的图象都过点 ；任何幂函数都不过 象限； （2）当0a时，幂函数在[0,)上 ；当0a时，幂函数在(0,)

上 ； （3）当2,2a时，幂函数是 ；当11,1,3,3a时，幂函数是 ．

例6右图为幂函数yx在第一象限的图像，则,,,abcd的大小关系是 （ ） ()Aabcd ()Bbadc ()Cabdc ()Dadcb x O

y ayx byx cyx 源于名校，成就所托 创新三维学习法，高效学习加速度 8 解：取12x，

由图像可知：11112222cdba， abdc，应选()C．

例7 若点在幂函数的图象上，点在幂函数的图象上，定义，试求函数的最大值以及单调区间。 解析：设，因为点在的图象上，所以，所以，即； 又设，点在的图象上，所以，所以，即。在同一坐标系下画出函数和的图象，如图1，则有

。 y f(x) f(x)

g(x) g(x) -1 o 1 x

图1 根据图象可知函数的最大值等于，单调递增区间是

；递减区间是。 点评：幂函数是新课标新增加的内容，虽然幂函数的形式多种多样，图象和性质较为复杂，学习起来有一定的难度，但考试要求不是很高，只要掌握简 源于名校，成就所托 创新三维学习法，高效学习加速度 9 单的个幂函数的有关图象与性质即可，所以要重视对个简单幂函数的研究，熟练掌握其图象和性质，在考试中一般会以这些简单函数为载体，考查函数的有关问题。本题在两个函数和的基础上定义了一个新的函数，的

实质是取和中的较小者，这类问题借助图象来解决，直观形象，其最值和单调区间容易求出，所以要重视数形结合思想的运用。

例8 若函数在区间上是递减函数，求实数的取值范围。 解析：本题考查简单幂函数的性质以及函数图象的平移问题。 由于，所以函数的图象是由幂函数的

图象先向右平移个单位，再向上平移个单位得到的，所以其图象如图2。 y y=(3x-5)/(x-2) 3

0 2 x y=1/x

图2 其单调递减区间是和，而函数在区间上是递

减函数，所以应有。

提示：函数是一个比较常用的幂函数，它也叫做反比例函数，其定义域是，是一个奇函数，对称中心为，在和上都是递减函数。一般地，形如的函数都可以经过对的图象变换得

到，所以这些函数的性质都可以借助的性质来得到。