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幂函数•冥函数的定义：一般地，函数y=xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数。
幂函数的解析式：y=xα幂函数的图像：•幂函数图像的性质：所有幂函数在(0，+∞)上都有定义．①α＞0，图像都过定点（0，0）和（1，1）；在区间（0，+∞）上单调递增；②α＜0，图像都过定点（1，1）；在区间（0，+∞）上单调递减;③当O<a<l时，曲线上凸，当a>l时，曲线下凸．④当a=l时，图象为过点(0，0)和(1，1)的直线．⑤当a=0时，表示过点(1，1)且平行于x轴的直线(除去点(0，1)) 。
幂函数图象的其他性质：(1)图象的对称性：把幂函数的幂指数a（只讨论a是有理数的情况）表示成既约分数的形式（整数看作是分母1的分数），则不论a>0还是a<0，幂函数的图象的对称性用口诀记为：“子奇母偶孤单单；母奇子偶分两边；分子分母均为奇，原点对称莫忘记”，(2)图象的形状：①若a>0，则幂函数的图象为抛物线形，当a>l时，图象在[0，+∞）上是向下凸的（称为凸函数）；当O<a<l时，图象在[o，+∞）上是向上凸的（称为凹函数）．②若a<0，则幂函数y=x“的图象是双曲线形，图象与x轴、y轴无限接近，在(0，+∞)上图象都是向下凸的。
幂函数的单调性和奇偶性：对于幂函数（a∈R)．(1)单调性当a>0时，函数在第一象限内是增函数；当a<0时，函数在第一象限内是减函数．(2)奇偶性①当a为整数时，若a为偶数，则是偶函数；若a为奇数，则是奇函数。
②当n为分数，即（p，q互素，p，q∈Z）时，若分母q为奇数，则分子p为奇数时，为奇函数；分子p为偶数时，为偶函数，若分母q为偶数，则为非奇非偶函数．。
幂函数图像及性质总结幂函数是高中数学中的一个重要概念，它是指形式为f(x)=ax^k的函数，其中a 为非零实数，k为实数。
幂函数在数学中具有广泛的应用，在图像的研究中，掌握幂函数的图像及其性质是非常重要的。
首先，我们来看幂函数的图像特点。
当k为正数时，幂函数的图像呈现出“增长”或“递减”的趋势。
当k>1时，曲线会明显上升，形成类似于指数函数的图像特征。
而当0<k<1时，曲线则会下降，但下降的速率逐渐减慢。
特别地，当k=1时，幂函数成为一次函数，即f(x)=ax，其图像为一条直线。
此外，当k为负数时，幂函数的图像则出现在第二、第四象限，并且具有对称轴。
接下来，我们来讨论幂函数的性质。
首先，我们来看函数的定义域和值域。
由于幂函数的底数a不能为零，函数的定义域为除以0的集合，即R-{0}。
而幂函数的值域则依赖于指数k的正负情况。
当k为正数时，函数的值域为正实数集(0,+∞)。
当k为负数时，函数的值域为(0, +∞)的实数集。
由于底数a的正负情况也会影响函数的关系，故在具体分析时需要考虑a的取值范围。
其次，我们来讨论幂函数的奇偶性。
当指数k为偶数时，幂函数f(x)=ax^k是一个偶函数，即满足f(x)=f(-x)。
这是因为对于任意x∈R，有(-x)^k=x^k，从而f(x)=ax^k=f(-x)。
相应地，当指数k为奇数时，幂函数f(x)=ax^k是一个奇函数，即满足f(x)=-f(-x)。
这是因为对于任意x∈R，有(-x)^k=-x^k，从而f(x)=ax^k=-ax^k=-f(-x)。
进一步地，我们来讨论幂函数的增减性和极值点。
当指数k为正数时，幂函数在定义域上是递增的。
当a>1时，函数的增长速度更快；当0<a<1时，函数的增长速度更慢。
而当指数k为负数时，幂函数在定义域上是递减的。
在图像上，幂函数具有一个最小值或最大值，该点称为极值点。
当k为偶数时，函数的极值点出现在定义域的最小值点，当k为奇数时，函数的极值点出现在定义域的最大值点。
幂函数知识点1. 幂函数定义幂函数是形如 \(y = x^n\) 的函数，其中 \(n\) 是实数。
当 \(n\) 为正整数时，幂函数的图像是一系列经过原点的点，且随着 \(n\) 的增加，曲线逐渐趋于平坦。
2. 幂函数的图像特征- 当 \(n > 1\) 时，幂函数在 \(x > 0\) 区域内单调递增。
- 当 \(0 < n < 1\) 时，幂函数在 \(x > 0\) 区域内单调递减。
- 当 \(n\) 为负整数时，幂函数在 \(x > 0\) 区域内表现为周期函数，周期为 \(4\pi\)。
- 当 \(n = 0\) 时，函数退化为常数函数 \(y = 1\)。
3. 幂函数的性质- 奇次幂函数是奇函数，即 \(y(-x) = -y(x)\)。
- 偶次幂函数是偶函数，即 \(y(-x) = y(x)\)。
- 幂函数的导数是 \(y' = n \cdot x^{n-1}\)。
- 幂函数的积分是 \(\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C\)，其中 \(C\) 是积分常数。
4. 幂函数的应用- 在物理学中，幂函数常用于描述物体的速度与加速度的关系。
- 在经济学中，幂函数可以用来模拟市场需求与价格的关系。
- 在工程学中，幂函数用于描述材料的强度与应力的关系。
5. 特殊幂函数- 指数函数 \(y = a^x\) 是幂函数的一种特殊形式，其中 \(a\) 是正实数且 \(a \neq 1\)。
- 对数函数 \(y = \log_a x\) 也是幂函数的一种特殊形式，其中\(a\) 是正实数且 \(a \neq 1\)。
6. 幂函数的运算法则- 幂的乘法：\(x^m \cdot x^n = x^{m+n}\)- 幂的除法：\(x^m / x^n = x^{m-n}\)- 幂的幂：\((x^m)^n = x^{m \cdot n}\)7. 幂函数的极限- 当 \(x \to 0\) 时，\(x^n\) 的极限取决于 \(n\) 的值。
高中幂函数图像及性质
幂函数图像及性质总结：1.幂函数图像总结：α>0时，图像过原点和(1，1)点，在第一象限的部分“上升”；α<0时，图像不过原点，经过(1，1)点在第一象限的部分“下降”，反之也成立。
1、幂函数的图像
2.幂函数性质总结：幂函数的图像一定在第一象限内，一定不在第四象限，至于是否在第二、三象限内，要看函数的奇偶性；幂函数的图像最多只能同时在两个象限内；如果幂函数图像与坐标轴相交，则交点一定是原点。
（1）正值性质：当α>0时，幂函数y=x有下列性质：
a、图像都经过点（1,1）(0,0）
b、函数的图像在区间[0,+∞)上是增函数
c、在第一象限内，α>1时，导数值逐渐增大；α=1时，导数为常数；0<α<1时，导数值逐渐减小，趋近于0
（2）负值性质：当α<0时，幂函数y=x有下列性质：
a、图像都通过点（1,1）
b、图像在区间（0，+∞）上是减函数；（内容补充：若为X易得到其为偶函数。
利用对称性，对称轴是y轴，可得其图像在区间（-∞，0）上单调递增。
其余偶函数亦是如此）
c、在第一象限内，有两条渐近线（即坐标轴），自变量趋近0，函数值趋近+∞，自变量趋近+∞，函数值趋近0。
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