幂函数的图像与性质

幂函数的图像与性质一: 核心梳理、茅塞顿开1．根式（1）根式的概念（2）．两个重要公式①⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧<-≥==)0()0(||a a a a a aa nn ；②a a nn =)(（注意a 必须使n a 有意义）。

2．有理数指数幂 （1）幂的有关概念 ①正数的正分数指数幂:0,,1)mnaa m n N n *=>∈>、且;②正数的负分数指数幂: 10,,1)m nm naa m n N n a-*==>∈>、且③0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义.注：分数指数幂与根式可以互化，通常利用分数指数幂进行根式的运算。

（2）有理数指数幂的性质①a r a s =a r+s (a>0,r 、s ∈Q);②(a r )s =a rs (a>0,r 、s ∈Q); ③(ab)r =a r b s (a>0,b>0,r ∈Q);.n 为奇数 n 为偶数例2 （1）计算：25.02121325.0320625.0])32.0()02.0()008.0()945()833[(÷⨯÷+---；（2）化简：5332332323323134)2(248aa a a ab aaab b ba a ⋅⋅⨯-÷++--变式：（2007执信A ）化简下列各式（其中各字母均为正数）:（1）;)(65312121132b a ba b a ⋅⋅⋅⋅--（2）.)4()3(6521332121231----⋅÷-⋅⋅b a b a b a(3)100.256371.5()86-⨯-+（三）幂函数 1、幂函数的定义形如y=x α（a ∈R ）的函数称为幂函数，其中x 是自变量，α为常数注：幂函数与指数函数有本质区别在于自变量的位置不同，幂函数的自变量在底数位置，而指数函数的自变量在指数位置。

例题、(1). 下列函数中不是幂函数的是（ ）A．y = B ．3y x = C ．2y x = D ．1y x -=答案：C例2．已知函数()()2531m f x m m x --=--，当 m 为何值时，()f x ：（1）是幂函数；（2）是幂函数，且是()0,+∞上的增函数；（3）是正比例函数；（4）是反比例函数；（5）是二次函数；简解：（1）2m =或1m =-（2）1m =-（3）45m =-（4）25m =-（5）1m =- 变式训练：已知函数()()2223m m f x m m x--=+，当 m 为何值时，()f x 在第一象限内它的图像是上升曲线。

根据幂函数的图像性质知识点及题型归纳
总结
一、幂函数的定义和性质
幂函数是指形如y = x^n的函数，其中n为实数且n≠0.
幂函数的图像性质包括：
- 当n为正数时，函数的图像呈现单调递增或单调递减的曲线，取决于n的奇偶性。

- 当n为负数时，函数的图像在第一象限和第三象限中单调递减，而在第二象限和第四象限中单调递增。

- 当n为正偶数时，函数的图像在第一象限中单调递增，而在
第二、三、四象限中单调递减。

- 当n为正奇数时，函数的图像在第一、二象限中单调递增，
而在第三、四象限中单调递减。

二、幂函数的题型归纳
1.求函数的定义域和值域。

2.求函数的单调性和极值点。

3.求函数的图像关于坐标轴的对称性。

4.求函数在某个区间上的最值。

5.根据函数的图像绘制函数的对称轴、渐近线等特征。

6.解方程和不等式中涉及到的幂函数。

以上是根据幂函数的图像性质所归纳总结的知识点和题型。

请在研究和解题过程中注意相关的特性和规律，并灵活运用于实际问题的解决中。

幂函数分数指数幂正分数指数幂的意义是：m na =0a >，m 、n N ∈，且1n >）负分数指数幂的意义是：mn a-=（0a >，m 、n N ∈，且1n >）1、 幂函数的图像与性质幂函数n y x =随着n 的不同，定义域、值域都会发生变化，可以采取按性质和图像分类记忆的方法．熟练掌握n y x =，当112,1,,,323n =±±±的图像和性质，列表如下．从中可以归纳出以下结论：① 它们都过点()1,1，除原点外,任何幂函数图像与坐标轴都不相交,任何幂函数图像都不过第四象限．② 11,,1,2,332a =时，幂函数图像过原点且在[)0,+∞上是增函数． ③ 1,1,22a =---时，幂函数图像不过原点且在()0,+∞上是减函数．④ 任何两个幂函数最多有三个公共点．0n <幂函数基本性质（1）所有的幂函数在(0，+∞）都有定义，并且图象都过点（1，1)；（2）α＞0时，幂函数的图象都通过原点，并且在[0,+∞］上,是增函数（3)α＜0时，幂函数的图象在区间（0，+∞）上是减函数.规律总结1．在研究幂函数的性质时，通常将分式指数幂化为根式形式，负整指数幂化为分式形式再去进行讨论;2．对于幂函数y ＝αx ,我们首先应该分析函数的定义域、值域和奇偶性，由此确定图象的位置，即所在象限,其次确定曲线的类型,即α＜0,0＜α＜1和α＞1三种情况下曲线的基本形状，还要注意α＝0，±1三个曲线的形状；对于幂函数在第一象限的图象的大致情况可以用口诀来记忆:“正抛负双，大竖小横"，即α＞0（α≠1）时图象是抛物线型；α＜0时图象是双曲线型；α＞1时图象是竖直抛物线型；0＜α＜1时图象是横卧抛物线型．2、 幂函数的应用OxyOx yOxy例1、 幂函数n my x =（m 、n N ∈,且m 、n 互质）的图象在第一，二象限,且不经过原点，则有（ ) ()A m 、n 为奇数且1mn<()B m 为偶数，n 为奇数，且1m n > ()C m 为偶数，n 为奇数，且1mn <()D m 奇数，n 为偶数，且1mn>例2、 右图为幂函数y x α=,,,a b c d 的大小关系是 （ ）()A a b c d >>> ()B b a d c >>> ()C a b d c >>>()D a d c b >>>解:取12x =, 由图像可知：11112222cdba⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫>>> ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，a b d c ⇒>>>，应选()C ．例3、 比较下列各组数的大小：（1）131.5，131.7，1；（2）()37,(37，()37;（3）23-⎛ ⎝⎭,23107-⎛⎫- ⎪⎝⎭，()431.1--．解：（1）底数不同，指数相同的数比大小， 可以转化为同一幂函数，不同函数值的大小问题． ∵13y x =在()0,+∞上单调递增，且1.7 1.51>>，∴11331.7 1.51>>．（2）底数均为负数,可以将其转化为()3377=-,()3377=-,()3377=-．∵37y x =在()0,+∞上单调递增，且>b c∴)333777>>，即))333777-<-<-，∴(()()333777<<．（3）先将指数统一,底数化成正数．2233--⎛= ⎝⎭⎝⎭，2233101077--⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,()()42331.1 1.21---=． ∵23y x -=在()0,+∞上单调递减,且7 1.21102<<，∴()2232337 1.21102---⎛⎛⎫>> ⎪ ⎝⎭⎝⎭,即：()2234337 1.1102---⎛⎫⎛⎫->>- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭．点评:比较幂形式的两个数的大小，一般的思路是： （1）若能化为同指数,则用幂函数的单调性； （2）若能化为同底数，则用指数函数的单调性;（3）若既不能化为同指数,也不能化为同底数，则需寻找一个恰当的数作为桥梁来比较大小．例4、 若()()1133132a a --+<-，求实数a 的取值范围．分析：若1133x y --<，则有三种情况0x y <<，0y x <<或0y x <<． 解：根据幂函数的性质,有三种可能:10320a a +<⎧⎨->⎩或10320132a a a a +<⎧⎪-<⎨⎪+>-⎩或10320132a a a a+>⎧⎪->⎨⎪+>-⎩,解得：()23,1,32a ⎛⎫-∞- ⎪⎝∈⎭．例3．已知幂函数223m m y x --=(m Z ∈）的图象与x 轴、y 轴都无交点,且关于原点对称,求m 的值．解：∵幂函数223m m y x --=（m Z ∈）的图象与x 轴、y 轴都无交点， ∴2230m m --≤，∴13m -≤≤;∵m Z ∈，∴2(23)m m Z --∈，又函数图象关于原点对称， ∴223m m --是奇数，∴0m =或2m =．f （x ）＝x 3， （1）求它的反函数；（2）分别求出f －1（x ）＝f (x ），f －1(x ）＞f （x ），f －1（x ）＜f (x ）的实数x 的范围． 解析：（1）由y ＝x 3两边同时开三次方得x ＝3y ，∴f －1（x ）＝x 31． （2）∵函数f （x ）＝x 3和f －1(x ）＝x 31的图象都经过点(0，0）和（1,1）． ∴f －1（x )＝f （x ）时,x ＝±1及0；在同一个坐标系中画出两个函数图象,由图可知 f －1(x ）＞f (x )时，x ＜－1或0＜x ＜1； f －1（x ）＜f (x ）时，x ＞1或－1＜x ＜0．点评：本题在确定x 的范围时，采用了数形结合的方法,若采用解不等式或方程则较为麻烦．y ＝52x ＋2x 51＋4（x ≥－32）值域．解析：设t ＝x 51，∵x ≥－32,∴t ≥－2，则y ＝t 2＋2t ＋4＝（t ＋1)2＋3． 当t ＝－1时，y min ＝3．∴函数y ＝52x ＋2x 51＋4（x ≥－32）的值域为［3，＋∞）． 点评:这是复合函数求值域的问题,应用换元法． 【同步练习】1. 下列函数中不是幂函数的是（ ）Ａ．y = Ｂ．3y x = Ｃ．2y x = Ｄ．1y x -= 答案:Ｃ2. 下列函数在(),0-∞上为减函数的是( )Ａ．13y x = Ｂ．2y x = Ｃ．3y x = Ｄ．2y x -= 答案:Ｂ3. 下列幂函数中定义域为{}0x x >的是（ ）Ａ．23y x = Ｂ．32y x = Ｃ．23y x -= Ｄ．32y x -= 答案：Ｄ4．函数y ＝（x 2－2x ）21－的定义域是( ）A ．{x ｜x ≠0或x ≠2｝B ．（－∞，0） （2，＋∞）C ．(－∞，0）] [2，＋∞］D ．（0，2）解析：函数可化为根式形式，即可得定义域． 答案:B5．函数y ＝（1－x 2）21的值域是( ）A ．［0，＋∞］B ．（0,1）C ．（0,1）D ．［0,1］ 解析：这是复合函数求值域问题，利用换元法，令t ＝1－x 2,则y ＝t ． ∵－1≤x ≤1，∴0≤t ≤1，∴0≤y ≤1． 答案：D6．函数y ＝52x 的单调递减区间为（ ）A ．（－∞,1）B ．(－∞，0)C ．［0，＋∞］D ．（－∞，＋∞） 解析：函数y ＝52x 是偶函数，且在［0，＋∞）上单调递增，由对称性可知选B ． 答案：B 7．若a 21＜a21－,则a 的取值范围是（ ）A ．a ≥1B ．a ＞0C ．1＞a ＞0D ．1≥a ≥0 解析：运用指数函数的性质,选C ．答案:C8．函数y ＝32)215(x x －＋的定义域是 。

幂函数9种图像总结幂函数是数学中的常见函数，定义如下：f(x) = x^n (n为实数)由于幂函数的图像有很多种，它们的图像类型主要有以下9种：一、指数函数图像如果n是正数，则幂函数称为指数函数。

它的图像表示为以x轴正半轴为起点向右曲线，曲线上的点接近线段。

二、平行于x轴的函数图像如果n为0，则幂函数的图像是一条平行于x轴的直线。

x轴正方向为函数的上升方向，x轴负方向为函数的下降方向。

三、单调递减函数图像如果n为负数，则幂函数可以表示为单调递减函数，也就是说曲线上的点是从右到左依次递减的。

四、交叉递增函数图像如果n为偶数，则幂函数可以表示为交叉递增函数，也就是说曲线上的点是从左到右依次递增的。

五、不规则曲线函数图像当n是奇数时，幂函数的图像就是一条不规则的曲线，曲线的形状随着n的增加而变化。

六、抛物线函数图像如果n为正奇数，则幂函数的图像表示为以x轴正半轴为焦点的抛物线，即x轴正方向为函数上升方向，x轴负方向为函数下降方向。

七、抛物线函数图像如果n为负奇数，幂函数的图像表示为以x轴负半轴为焦点的抛物线，即x轴正方向为函数下降方向，x轴负方向为函数上升方向。

八、椭圆函数图像如果n取任意实数值，幂函数的图像表示为一个椭圆，椭圆的长轴与x轴的负半轴平行，而短轴则与x轴的正半轴平行。

九、双曲线函数图像如果n为负偶数，则幂函数的图像表示为一条双曲线，双曲线一端接近x轴正半轴，另一端接近x轴负半轴。

以上就是幂函数的9种图像总结，它们分别可以用于不同环境中诸多数学问题的求解。

例如，如果要求某个函数图像的最高点，则可以使用抛物线函数图像来判断最高点的位置；如果要求某个函数的单调性，则可以使用单调递减函数图像来判断函数的单调性。

由此可见，幂函数的9种图像都具有其独特的特征，在不同的环境下都有不同的应用，其重要性不言而喻。

因此，对于学习数学知识的人来说，要掌握幂函数的9种图像是非常重要的。

只有彻底掌握这些图像，才能更好地理解数学知识，为解决数学问题提供有效的帮助。

学习幂函数，图像是关键。

y=xa（a≠0、1）在第一象限的图像可以分为三类：
只要掌握了这三种情况，然后根据幂函数的奇偶性，就可作出y=xa（a≠0、1）在其定义域内的完整图像，这时它的一切属性将是直观、显然的。

幂函数的图像一定经过第一象限，且一定不经过第四象限。

幂函数y=xa。

α只能从（±3，±2，±1，±1/2，±1/3）中取值。

幂函数y=x的图像表（见右表）：
在记忆这个表时要记住两点：
其一，图像的形态：
当n/m<1时，y=x在第一象限的图像下凹，呈上升趋势。

当0<n/m时，y=x在第一象限的图像下凸，呈上升趋势。

当n/m<0时，y=x在第一象限的图像下凹，呈下降趋势。

其二，图像所在的象限。

用一句话可以简单概括为：奇偶图在第一象限，偶奇图在第一、二象限，奇奇图在第一、三象限。