§38卷积特性卷积定理

则
L f1 f2 (t) F1(s)F2(s),
或
例5: 设
f
(t )
(s2
1 4s
13)2
,
求 f (t).
解 运由行位下移面性质的MATLAB语句.
>>
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
s1yms t
s2
s3
4s
设13F(s)
1
3
L [f((st)],2)则2
32
e2t
sin
3t.
>> F=1/(s^2+4*s+13)^2;f=ilaplace(F)
0
0
et (et 1) 1 et .
例2：求 t sin t
解：t sin t
t
sin(t )d t sin t.
0
二 、 拉氏变换的卷积定理
若 f1(t) F1(s), f2(t) F2(s), 则 f1(t) f2(t) F1(s)F2(s)
1 F1(s)F2(s) f1(t) f2(t)
注：这里的卷积定义和 Fourier 变换中给出的卷积定义 是一致的。今后如不特别声明，都假定函数在 t 0 时恒
为零。它们的卷积都按上式计算。
例1: 设函数 f1 t 1, f2(t) et , 求卷积 f1(t) f2 (t).
解:
f1(t) f2(t)
t 0
f1
f2
t
d
t1e(t )d et t e d
如果
F1(s) L [ f1(t)], F2(s) L [ f2(t)],
例4: 求
1
(
s
2
s2
1)2

f (t) h1(t)
f (t) h1(t ) h2 (t )
f (t)
h(t )
g(t)
ht h1(t) h2(t)
结论：时域中，子系统级联时，总的冲激响应等 于子系统冲激响应的卷积。
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二．微分积分性质
g(t) f (t) h(t) f (t) h(t) 推广： g(t)的积分
g(1)(t) f (t) h(1)(t) f (1)(t) h(t)
g(n)(t) f (t) h(n)(t) f (n)(t) h(t)
微分性质积分性质联合实用
g(nm) (t ) f (n) (t ) h(m) (t ) f (m) (t ) h(n) (t )
微分n次， 积分m次
m=n, 微分次数＝
g(t) f (n)(t) h(n)(t) 积分次数
对于卷积很方便。
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三.与冲激函数或阶跃函数的卷积
f t t f td来自f t df t
推广：
f (t) (t t0) f (t t0)
f (t t1) (t t2) f (t t1 t2)
一．代数性质
1．交换律 f1(t) f2(t) f2(t) f1(t)
2．分配律 f1(t)[ f2(t) f3(t)] f1(t) f2(t) f1(t) f3(t)
系统并联运算
3．结合律
f (t) f1(t) f2(t) f (t)[ f1(t) f2(t)]
系统级联运算
第1页/共6页
f (t) h(t )
g(t) ht h1 t h2 t
结论：子系统并联时，总系统的冲激响应等于 各子系统冲激响应第2之页/共和6页。
系统级联

共分二个定理： 共分二个定理： 时域卷积定理 频域卷积定理
一、时域卷积定理
给定两个时间函数 f1(t)、f 2 (t) 已知： 已知：
f1(t) →F1(w)
FT
f2(t) →F2(w)
FT
则：
f1(t)∗f2(t) →F1(w)⋅ F2(w)
FT
时域卷积 频域相乘。 频域相乘。
即：两个时间函数卷积的频谱等于各个时间函数频谱的乘积。 两个时间函数卷积的频谱等于各个时间函数频谱的乘积。
证明： 证明：
根据卷积定义 f1(t) * f2 (t) = ∫−∞ f1(τ )* f2 (t −τ )dτ 则：f (t) * f (t) → 1 2
FT
∞
f (τ ) * f (t −τ )dτ e− jwt dt ∫−∞ ∫−∞ 1 2 ∞ ∞ f (t −τ )e− jwt dtdτ = ∫ f1(τ ) ∫ 2 −∞ −∞ = ∫ f1(τ )F2 (w)e
§ 3.7 卷积特性
• 主要内容
•时域卷积定理 时域卷积定理 •频域卷积定理 频域卷积定理 •卷积定理的应用 卷积定理的应用
• 重点：时域卷积定理和频域卷积定理 重点： • 难点：卷积定理的应用 难点：
卷积特性是傅里叶变换性质之一，由于它 卷积特性是傅里叶变换性质之一， 在通信系统和信号处理中的重要地位－－ －－应 在通信系统和信号处理中的重要地位－－应 用最广。所以单独以一节来讲。 用最广。所以单独以一节来讲。
(t ≤ (t >
τ τ
f (t)
) 2 ) 2
−
E
τ 0
2
τ
2
t
解：把余弦脉冲信号看成是矩形脉冲信号Ｇ(t) 与周期余弦 把余弦脉冲信号看成是矩形脉冲信号Ｇ 信号相乘。 信号相乘。

0
τ
0 -2+t t
τ
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②相关： 12 (t ) = ∫ 相关： R
+∞
−∞
f 1 (τ ) f 2 (τ − t )dτ
t < −3
0 t +2 ∫−1 (τ − t + 2) dτ f1 (t ) ∗ f 2 ( −t ) = 1 ∫ (τ − t + 2)dτ t 0
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3.4 卷积定理和相关定理
• 卷积定理 • 相关定理（6.6、6.7节）
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一、卷积定理
1．时域卷积定理 f1 (t ) ↔ F1 (ω ), f 2 (t ) ↔ F2 (ω ) ．
R12 (τ ) = ∫ f 1 (t ) f 2 (t − τ )dt = ∫ f 1 (t + τ ) f 2 (t )dt
−∞ −∞ +∞ +∞ +∞ +∞
R21 (τ ) = ∫ f 1 (t − τ ) f 2 (t )dt = ∫ f 1 (t ) f 2 (t + τ )dt
−∞ −∞
+∞ +∞
1 2π
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3．利用频域卷积定理求傅立叶变换 ． [例1]： f (t ) = G2 (t ) cos( t ) 的傅立叶变换 例 ： 2 1 π 解：ℱ[ f (t )] = ℱ[cos t ] ∗ ℱ[G2 (t )] 2π 2 1 π π = π [δ (ω − ) + δ (ω + )] ∗ 2Sa(ω ) 2π 2 2