信号与系统 相关定理证明

常用公式第一章判断周期信号方法两个周期信号x(t)，y(t)的周期分别为T1和T2，若其周期之比T1/T2为有理数，则其和信号x(t)+y(t)仍然是周期信号，其周期为T1和T2的最小公倍数。

2/2/2/(2/),/N N M M N πβπβπβπβπβ==仅当为整数时正弦序列才具有周期当为有理数时 正弦序列仍具有周期性， 其周期为取使为整数的最小整数当2为无理数时 正弦序列不具有周期性，1、连续正弦信号一定是周期信号，而正弦序列不一定是周期序列。

2、两连续周期信号之和不一定是周期信号，而两周期序列之和一定是周期序列。

信号的能量 def2()E f t dt +∞-∞=⎰信号的平均功率 def2/2/21lim ()T T T P f t dt T +-→∞=⎰ 冲激函数的特性'''()()(0)()(0)()f t t f t f t δδδ=- ()()(0)()f t t f t δδ=()()()()f t t a f a t a δδ-=- ()()(0),f t t dt f δ∞-∞=⎰()()()f t t a dt f a δ∞-∞-=⎰()()11()()n n n at t a a δδ=g 001()()t at t t a aδδ-=- 000()()()()f k k k f k k k δδ-=-()()()()(1)(0)n n n t f t dt f δ∞∞=-⎰- ''()()(0)t f t dt f δ∞∞=-⎰-动态系统是线性系统的条件可分解性 {}{}{}{}()()()0,()(0),0f x y y y T f T x •=•+•=•+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦ 零状态线性 {}{}{}{}{}{}12120,()()0,()0,()T af t bf t aT f bT f +=•+•⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 零输入线性 {}{}{}{}{}{}1212(0)(0),0(0),0(0),0T ax bx aT x bT x +=+⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦判断系统时不变、因果、稳定的方法。

信号与系统概念，公式集：第一章：概论1.信号：信号是消息的表现形式。

（消息是信号的具体内容）2.系统：由若干相互作用和相互依赖的事物组合而成的具有特定功能的整体。

第二章：信号的复数表示：1.复数的两种表示方法：设C 为复数，a 、b 为实数。

常数形式的复数C=a+jb a 为实部，b 为虚部；或C=|C|e j φ，其中，22||b a C +=为复数的模，tan φ=b/a ，φ为复数的辐角。

（复平面）2.欧拉公式：wt j wt e jwtsin cos +=（前加-，后变减） 第三章：正交函数集及信号在其上的分解1.正交函数集的定义：设函数集合)}(),(),({21t f t f t f Fn =如果满足：ni K dt t f ji dt t f t f iT T i T T j i 2,1)(0)()(21212==≠=⎰⎰则称集合F 为正交函数集 如果n i K i,2,11==，则称F 为标准正交函数集。

如果F 中的函数为复数函数条件变为：ni K dt t f t f ji dt t f t f iT T i i T T j i 2,1)()(0)()(2121**==⋅≠=⋅⎰⎰其中)(*t f i 为)(t f i 的复共轭。

2.正交函数集的物理意义：一个正交函数集可以类比成一个坐标系统；正交函数集中的每个函数均类比成该坐标系统中的一个轴； 在该坐标系统中，一个函数可以类比成一个点；点向这个坐标系统的投影（体现为该函数与构成坐标系的函数间的点积）就是该函数在这个坐标系统中的坐标。

3.正交函数集完备的概念和物理意义： 如果值空间中的任一元素均可以由某正交集中的元素准确的线性表出，我们就称该正交集是完备的，否则称该正交集是不完备的。

如果在正交函数集()()()()t g n ,t g ,t g ,t g 321之外，不存在函数x （t ）()∞<<⎰2120t t dt t x ，满足等式：()()⎰=210t t i dt t g t x ，则此函数集称为完备正交函数集。

信号与系统重点概念公式总结一、信号的基本概念：1.离散信号：在离散时间点上取值的信号，用x[n]表示。

2.连续信号：在连续时间上取值的信号，用x(t)表示。

3.周期信号：在一定时间内重复出现的信号。

4.能量信号：能量信号的能量有限，用E表示。

5.功率信号：功率信号的能量无限，用P表示。

二、时域分析：1. 时域表示：x(t) = X(t)eiωt，其中X(t)是振幅函数，ω是角频率。

2.常用信号的时域表示：- 矩形脉冲信号：rect(t/T)- 三角函数信号：acos(ωt + φ)-单位跳跃信号：u(t)-单位斜坡信号：r(t)3.信号的分解与合成：线性时不变系统能够将一个信号分解为若干个基础信号的线性组合。

4.性质：-时域平移性：如果x(t)的拉普拉斯变换是X(s)，那么x(t-t0)的拉普拉斯变换是e^(-t0s)X(s)。

-线性性：设输入信号的拉普拉斯变换为X(s)，系统的拉普拉斯变换表达式为H(s)，那么输出为Y(s)=X(s)H(s)。

-倍乘性：设输入信号拉普拉斯变换为X(s)，输出信号的拉普拉斯变换为Y(s)，那么输出信号的拉普拉斯变换为cX(s)，即输出信号的幅度放大为c倍。

-时间反转性：x(-t)的拉普拉斯变换是X(-s)。

-时间抽取性：设输入信号的拉普拉斯变换为X(s)，那么调整时间尺度为t/T的信号的拉普拉斯变换为X(s/T)。

三、频域分析：1.傅里叶级数：将周期信号表示为一系列谐波的和。

2.离散傅里叶变换（DFT）：将离散信号从时域变换到频域的过程。

3.傅里叶变换：将连续信号从时域变换到频域的过程。

4.频域表示：- 矩形函数：sinc(ωt) = sin(πωt)/(πωt)- 高斯函数：ft(x) = e^(-πx^2)5.频域滤波：系统的传输函数是H(ω)，那么输出信号的频率表示为Y(ω)=X(ω)H(ω)。

四、信号与系统的系统分析：1.系统稳定性：-意义：系统稳定指的是当输入有界时，输出有界。

《信号与系统》知识要点第一章 信号与系统1、周期信号的判断 （1）连续信号思路：两个周期信号()x t 和()y t 的周期分别为1T 和2T ，如果1122T N T N =为有理数（不可约）,则所其和信号()()x t y t +为周期信号，且周期为1T 和2T 的最小公倍数，即2112T N T N T ==。

（2）离散信号思路:离散余弦信号0cos n ω(或0sin n ω）不一定是周期的，当 ①2πω为整数时,周期02N πω=；②122N N πω=为有理数（不可约）时，周期1N N =; ③2πω为无理数时，为非周期序列注意：和信号周期的判断同连续信号的情况。

2、能量信号与功率信号的判断 （1）定义连续信号 离散信号信号能量： 2|()|k E f k ∞=-∞=∑信号功率: def2221lim ()d T T T P f t t T →∞-=⎰ /22/21lim|()|N N k N P f k N →∞=-=∑(2）判断方法能量信号： P=0E <∞， 功率信号： P E=<∞∞， （3）一般规律①一般周期信号为功率信号；②时限信号（仅在有限时间区间不为零的非周期信号）为能量信号；③还有一些非周期信号,也是非能量信号。

⎰∞∞-=t t f E d )(2def3 ① ②4、信号的基本运算1) 两信号的相加和相乘 2) 信号的时间变化a) 反转: ()()f t f t →- b) 平移： 0()()f t f t t →± c) 尺度变换: ()()f t f at →3) 信号的微分和积分注意:带跳变点的分段信号的导数，必含有冲激函数，其跳变幅度就是冲激函数的强度.正跳变对应着正冲激；负跳变对应着负冲激。

5、阶跃函数和冲激函数 (1)单位阶跃信号00()10t u t t <⎧=⎨>⎩0t =是()u t 的跳变点。

(2）单位冲激信号定义：性质：()1()00t dt t t δδ∞-∞⎧=⎪⎨⎪=≠⎩⎰ t1）取样性 11()()(0)()()()f t t dt f t t f t dt f t δδ∞-∞∞-∞=-=⎰⎰()()(0)()f t t f t δδ=000()()()()f t t t f t t t δδ-=-2)偶函数 ()()t t δδ=-3）尺度变换 ()1()at t aδδ=4)微积分性质 d ()()d u t t tδ= ()d ()t u t δττ-∞=⎰（3)冲激偶 ()t δ'性质： ()()(0)()(0)()f t t f t f t δδδ'''=-()()d (0)f t t t f δ∞-∞''=-⎰()d ()tt t t δδ-∞'=⎰()()t t δδ''-=- ()d 0t t δ∞-∞'=⎰（4）斜升函数 ()()()d tr t t t εεττ-∞==⎰（5）门函数 ()()()22G t t t τττεε=+--6、系统的特性 （重点：线性和时不变性的判断） （1）线性1）定义：若同时满足叠加性与均匀性，则称满足线性性质。

信号与系统实验报告实验六抽样定理实验六抽样定理一、实验内容:(60分)1、阅读并输入实验原理中介绍的例题程序,观察输出的数据与图形,结合基本原理理解每一条语句的含义。

2、已知一个连续时间信号f(t)=sinc(t),取最高有限带宽频率f m=1Hz。

(1)分别显示原连续信号波形与F s=f m、F s=2f m、F s=3f m三种情况下抽样信号的波形;程序如下:dt=0、1;f0=0、2;T0=1/f0;fm=5*f0;Tm=1/fm;t=-10:dt:10;f=sinc(t);subplot(4,1,1);plot(t,f);axis([min(t),max(t),1、1*min(f),1、1*max(f)]);title('Ô­Á¬ÐøÐźźͳéÑùÐźÅ');for i=1:3;fs=i*fm;Ts=1/fs;n=-10:Ts:10;f=sinc(n);subplot(4,1,i+1);stem(n,f,'filled');axis([min(n),max(n),1、1*min(f),1、1*max(f)]); end运行结果如下:（2）求解原连续信号与抽样信号的幅度谱;程序: dt=0、1;fm=1;t=-8:dt:8;N=length(t);f=sinc(t);wm=2*pi*fm;k=0:N-1;w1=k*wm/N;F1=f*exp(-j*t'*w1)*dt;subplot(4,1,1);plot(w1/(2*pi),abs(F1)); axis([0,max(4*fm),1、1*min(abs(F1)),1、1*max(abs(F1))]);for i=1:3;if i<=2 c=0;else c=1;endfs=(i+c)*fm;Ts=1/fs;n=-6:Ts:6;N=length(n);f=sinc(n);wm=2*pi*fs;k=0:N-1;w=k*wm/N;F=f*exp(-1i*n'*w)*Ts;subplot(4,1,i+1);plot(w/(2*pi),abs(F));axis([0,max(4*fm),0、5*min(abs(F)),1、1*max(abs(F))]); end波形如下:（3）用时域卷积的方法(内插公式)重建信号。

信号与系统是电子信息类专业的一门重要课程，它涵盖了信号的概念、分类、时域分析、频域分析等内容。

在信号与系统的学习过程中，一些重要的数学定理和方法也扮演了重要角色，其中柯西施瓦茨不等式就是其中之一。

本文将从以下几个方面详细介绍信号与系统中柯西施瓦茨不等式的证明与应用。

一、柯西施瓦茨不等式的概念柯西施瓦茨不等式是指在有限积分空间内，对于两个可测函数f(x)和g(x)，它们的内积不大于它们的范数的乘积，即：|∫f(x)g(x)dx| ≤ ||f(x)|| ||g(x)||其中，||f(x)||和||g(x)||分别表示函数f(x)和g(x)在空间内的范数。

这个不等式在信号与系统的分析中有着广泛的应用，可以帮助我们理解信号内积的性质和限制。

二、柯西施瓦茨不等式的证明1. 有限积分空间内函数的内积在证明柯西施瓦茨不等式之前，我们首先需要理解有限积分空间内函数的内积。

在函数空间L2[a, b]中，两个可积函数f(x)和g(x)的内积定义为：∫f(x)g(x)dx其中，f(x)和g(x)都是定义在[a, b]上的可积函数。

2. 证明柯西施瓦茨不等式假设f(x)和g(x)分别是L2[a, b]上的两个可积函数，我们可以定义一个新的函数h(t) = f(t) - λg(t)，其中λ是一个常数。

显然，函数h(t)也是L2[a, b]上的可积函数。

我们可以求函数h(t)的范数||h(t)||的平方：||h(t)||^2 = ∫|h(t)|^2dt= ∫|f(t) - λg(t)|^2dt= ∫f(t)^2dt - 2λ∫f(t)g(t)dt + λ^2∫g(t)^2dt根据二次函数的性质，上式中的积分可以写成一个关于λ的二次函数形式。

我们知道，对于任意实数λ，二次函数的判别式小于等于0才能保证方程有解。

将判别式小于等于0的条件写成不等式形式，得到柯西施瓦茨不等式：(∫f(t)g(t)dt)^2 ≤ ∫f(t)^2dt * ∫g(t)^2dt这样，我们就完成了柯西施瓦茨不等式的证明。

z变换初值定理证明引言：在信号与系统中，z变换是一种将离散时间序列转换为复变量函数的方法。

z变换在信号处理、控制系统、通信等领域有着广泛的应用。

本文将重点探讨z变换的初值定理，并利用数学推导进行证明。

一、初值定理的表述初值定理是z变换中的一个重要定理，它表明在离散时间序列的z 变换中，初始条件对于信号的z变换结果没有影响。

初值定理可以用数学表达式表示为：lim[n->∞] { x[n] } = lim[z->∞] { X(z) }其中x[n]为离散时间序列，X(z)为x[n]的z变换。

二、初值定理的证明我们假设x[n]为离散时间序列，其z变换为X(z)。

考虑另一个离散时间序列y[n]，其定义为y[n] = x[n] - x[0]。

我们可以将y[n]表示为差分方程的形式：y[n] = x[n] - x[0] = x[n] - x[0] + x[0] - x[0] = x[n] - x[0] + 0其中x[0]为序列x[n]在n=0时的值。

接下来，我们对y[n]进行z变换，得到其z变换结果Y(z)：Y(z) = Z{y[n]} = Z{x[n] - x[0] + 0} = X(z) - x[0]Z{1}其中Z{1}为常数1的z变换结果。

根据初值定理的表述，我们需要证明当n趋向于无穷大时，y[n]和x[n]的z变换结果趋近于相同的值。

即：lim[n->∞] { y[n] } = lim[z->∞] { Y(z) } = lim[z->∞] { X(z) - x[0]Z{1} }接下来，我们分别计算上式中的两个极限。

计算lim[n->∞] { y[n] }：lim[n->∞] { y[n] } = lim[n->∞] { x[n] - x[0] } = lim[n->∞] { x[n] } - x[0]根据初值定理的表述，x[n]的极限值与其z变换的极限值相等，即：lim[n->∞] { x[n] } = lim[z->∞] { X(z) }因此，lim[n->∞] { y[n] } = lim[z->∞] { X(z) } - x[0]接下来，计算lim[z->∞] { X(z) - x[0]Z{1} }：lim[z->∞] { X(z) - x[0]Z{1} } = lim[z->∞] { X(z) } - x[0]lim[z->∞] { Z{1} }根据z变换的性质，常数1的z变换结果为：Z{1} = ∑[n=0,∞] { 1 * z^-n } = ∑[n=0,∞] { z^-n }当z趋向于无穷大时，z^-n的值趋近于0，因此lim[z->∞] { Z{1} } = 0。

信号与系统双零点定理-回复【信号与系统双零点定理】是指信号的频域和时域之间的转换关系，通过该定理可以将时域中的零点与频域中的零点相互转换。

本文将一步一步回答关于【信号与系统双零点定理】的问题，帮助读者理解其原理和应用。

第一步：了解信号与系统的基本概念首先，我们需要了解信号和系统的基本概念。

信号是指传递信息的物理量，可以分为连续时间信号和离散时间信号；系统是指对输入信号进行处理和运算的装置或规律。

信号与系统的研究领域包括信号的产生、传输、处理和理解。

第二步：掌握信号与系统的频域表示信号与系统在频域中可以通过傅里叶变换来表示。

傅里叶变换将信号从时域转换到频域，将信号分解为不同频率的正弦和余弦函数的叠加。

频域中的零点是指在频率轴上信号为零的点。

第三步：熟悉信号与系统的时域表示信号与系统在时域中可以通过反傅里叶变换来表示。

反傅里叶变换将信号从频域还原到时域，恢复原始信号的幅度和相位信息。

时域中的零点是指信号为零的时间点或时间段。

第四步：了解双零点定理的原理双零点定理是指信号在时域和频域中的零点之间存在一种转换关系。

具体来说，如果信号的时域表示中存在一个零点，则相应的频域表示中会存在一个与之对应的零点，反之亦然。

换句话说，时域中的零点和频域中的零点是一一对应的关系。

第五步：学习双零点定理的应用双零点定理在信号与系统中有广泛的应用。

一方面，我们可以通过双零点定理将时域信号转换到频域进行分析，以便更好地理解信号的频域特性。

另一方面，我们也可以通过双零点定理将频域信号还原到时域，以便更好地理解信号的时域特性。

第六步：举例说明双零点定理的应用为了更好地理解双零点定理的应用，让我们通过一个具体的例子来说明。

假设我们有一个时域信号，它的频域表示中存在一个零点。

我们可以利用双零点定理将该信号转换到时域，并观察时域中是否存在对应的零点。

如果存在，那么这个频域零点与时域零点是一一对应的关系，证明了双零点定理的有效性。

第七步：总结和拓展在本文中，我们详细讨论了【信号与系统双零点定理】的原理和应用。

第一章 绪论1、证明：)(1)(t a at δδ=，利用结论⎰∞∞-dt t )(δ⎰∞∞-dt at )(δ计算 利用换元法，令τττd adt t at 11=⇒=⇒=，则： )(1)()(1)(t a at dt t a dt at δδδδ=⇒=⎰⎰∞∞-∞∞- 此证明的物理意义层面的解释，因为)(t δ表示的是强度为“1”的一个冲激函数，即是此函数包含的面积为“1”，但是持续时间无穷小，瞬间量值无穷大的一个物理量。

而)(at δ是对)(t δ函数的尺度变换，其函数持续时间变化为原来的a1倍，但是量值大小不变，所以相当于冲激强度变为原来的a 1倍，所以可以表示为)(1)(t aat δδ=。

2、证明)(1)(00at t a t at -=-δδ 设⎰⎰∞∞-∞∞--=-dt a t t a dt t at )([)(00δδ令⎰⎰⎰∞∞-∞∞-∞∞-==-⇒=⇒-=ττδττδδττd ad a dt a t t a d dt a t t )(1)()([00)(1)()(1)([00000at t a t at dt a t t adt a t t a d dt a t t -=-⇒-=-⇒=⇒-=⎰⎰∞∞-∞∞-δδδδττ3、证明)(1||1)()(1||1)()()(''t a a at t aa at n nn δδδδ==先证明)(1||1)(''t aa at δδ=，利用冲激函数的广义函数定义证明。

dt t t aa dt t t aa dt t t t t a a dt t t a a dt t t a a dtt at a t at a dt t at a dt t at ⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰∞∞-∞∞-∞∞-∞∞-∞∞-∞∞-∞∞-∞∞-∞∞-∞∞-==⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=-=-=-==)()('11)()('11)()(')()(11)(')(11)(')(11)(')(1)()](1[)()]'(1[)()('ϕδϕδϕδϕδϕδϕδϕδϕδϕδϕδ)('11)()()('11)()(''t aa at dt t t aa dt t at δδϕδϕδ=⇒=⇒⎰⎰∞∞-∞∞-再证明)(1||1)()()(t aa at n nn δδ=，我们可以利用归纳法来证明。