信号与系统时域卷积定理的证明

时域卷积和频域卷积转换公式

时域卷积和频域卷积转换公式时域卷积和频域卷积是数字信号处理中常用的两种卷积方法。

它们可以互相转换，以便在不同的领域中进行信号处理。

时域卷积是指在时域中对两个信号进行卷积运算。

假设有两个信号x(t)和h(t)，它们在时域中的卷积运算可以表示为y(t) = x(t) * h(t)。

其中，*表示卷积运算。

卷积运算的计算公式如下：y(t) = ∫[x(τ) * h(t-τ)] dτ这个公式表示了在时域中的卷积运算，其中τ是一个积分变量，用来表示h(t)信号在时间轴上与x(t)信号相互叠加的位置。

频域卷积是指将时域信号转换为频域信号后进行卷积运算。

假设有两个信号X(f)和H(f)，它们在频域中的卷积运算可以表示为Y(f) = X(f) × H(f)。

其中，×表示点乘运算。

频域卷积的计算公式如下：Y(f) = X(f) × H(f)这个公式表示了在频域中的卷积运算。

在频域中进行卷积运算的好处是可以通过快速傅里叶变换（FFT）等算法，提高卷积运算的效率。

将时域卷积转换为频域卷积可以通过傅里叶变换实现。

具体步骤如下：1. 对信号x(t)和h(t)分别进行快速傅里叶变换，得到它们在频域中的表示X(f)和H(f)。

2. 将X(f)和H(f)相乘，得到频域中的卷积结果Y(f)。

3. 对Y(f)进行逆傅里叶变换，得到在时域中的卷积结果y(t)。

将频域卷积转换为时域卷积可以通过逆傅里叶变换实现。

具体步骤如下：1. 对信号X(f)和H(f)分别进行逆傅里叶变换，得到它们在时域中的表示x(t)和h(t)。

2. 将x(t)和h(t)进行卷积运算，得到时域中的卷积结果y(t)。

通过时域卷积和频域卷积的转换，我们可以在不同的领域中选择合适的方法进行信号处理，以满足不同的需求和要求。

在实际应用中，根据具体情况选择合适的卷积方法可以提高计算效率和信号处理的质量。

§3.8 卷积特性(卷积定理)

返回
二．卷积定理的应用
用时域卷积定理求频谱密度函数。例3-8-1 用时域卷积定理求频谱密度函数。
的傅里叶变换。求∫ f (τ ) dτ的傅里叶变换。
t −∞
∫ f (τ )dτ = ∫ f (τ )u(t −τ )dτ
t
∞
1 F(ω) ∫−∞ f (τ )dτ ↔F(ω) ⋅ πδ(ω) + jω =π F(0)δ (ω) + jω 求系统的响应。求系统的响应。 f (t) g(t )
f1(t )
E
Eτ
F (ω) 1
−
τ
2
O
τ2t−Fra bibliotek2π 0
E2τ
f1(t ) ∗ f1(t )
τ
E2τ 2
τ F(ω)
2π
4π
τ
ω
−τ
O
τ
t
−
2π o
τ
2π
ω
τ
返回
•频域卷积定理若 f1 (t ) ↔ F (ω), f2 (t ) ↔ F2 (ω) 1 1 则 f1(t ) ⋅ f2 (t ) ↔ F (ω) ∗ F2 (ω) 1 2 π 1 π 时间函数的乘积 ↔各频谱函数卷积的 2 倍。卷积定理揭示了时间域频率域的运算关系时间域与的运算关系，卷积定理揭示了时间域与频率域的运算关系，在通信系统和信号处理研究领域中得到大量应用。系统和信号处理研究领域中得到大量应用。
∞
因此
−∞
卷积定义
∞ f (τ ) f (t −τ ) dτ e−jω t dt F[ f1 (t ) ∗ f2 (t )] = ∫−∞ ∫−∞ 1 2
∞
∞ f (t −τ )e−jωt dt dτ = ∫ f1(τ ) ∫ 2 −∞ −∞

北京邮电大学信号与系统-3.08 卷积特性(卷积定理)

t

f d

f ut d f t ut
ht
gt f t ht
G F H gt F 1 G
将时域求响应，转化为频域求响应
退出
，求 f t f1 t f1 t 的例3-8-1 已知 f1 (t ) E Sa 2 频谱密度函数F . 2 2 2 解： F f t F1 F1 E Sa 2
退出
频谱结构
m时， F ( ) 0， C m
f C (t ) f (t ) cos C t
F ( )
f t
A
O
t
mO m
F cos C t
cos C t

( )
O
( )
t
C
O
C
FC ( )
1 FC ( ) F ( C ) F ( C ) 2 f t cos t

卷积定义
f 1 f 2 t d
因此

e j t dt F f 1 t f 2 t f f t d 2 1 交换积分

f 1 f 2 t e jt dt d
证明
时域卷积对应频域频谱密度函数乘积
频域卷积定理
若
f 1 t F1 , f 2 t F2
1 则 f 1 t f 2 t F1 F2 2 时间函数的乘积各频谱函数卷积的 1
应用
退出

信号与系统卷积分析法

2
电路基础教学部
2005年3月1日10时14分
2.1 冲激函数与冲激响应
2.1.1 冲激函数 2.1.2 冲激函数的性质 2.1.3 冲激响应
3
电路基础教学部
2005年3月1日10时14分
2.1.1 冲激函数(1)
工程定义
0 t 0 (t ) t 0
(1)
且
x(t ) lim x(n) g(t n)y(t ) lim
0
n
0
n
x(n)h

(t n)
y(t ) x()h(t )d y(t ) x(t ) * h(t ) 卷积积分
2.3 卷积的图解和卷积积分限的确定
2.3.1 卷积的图解 2.3.2 卷积积分限的确定
24
电路基础教学部
2005年3月1日10时14分
2.3.1 卷积的图解(1)

按如下步骤进行：
y(t ) x(t ) * h(t ) x()h(t )d

（1）改换变量：x(t)x()， h(t)h()
(t )(t ) (0)(t ) (0)(t )
(t )(t t0 ) (t0 )(t t0 ) (t0 )(t t0 )
(t )(t )dt (0) (t )(t t )dt (t ) ()(t )d(t )(t t ) (t )U (t t )
0
0 h(t )dt 1 4[h(0) h(0)] 1 h(t)为有限值 h(0) 0 4h(t ) |
0 0
0
h(0) 1 / 4 1e t / 4 h(t ) t 0 4 1e t / 4 h(t ) U (t ) 4

信号与系统7-2卷积定理课件

一般的求法：f (t) f (t) y(t)，先求 y(t)的频谱Y ( j)
t y(t)dt Y ( j) Y (0) ()
j
其中：
Y (0)
y(t)dt f (t)dt f (t) f () f ()
t y(t)dt Y ( j) [ f () f ()] ()
3
时域微分和积分性质
时域微分性质
df (t) jF ( j)
dt
时域积分性质
f (n) (t) ( j)n F( j)
当 F(0) F( j) f (t)dt 0 时，
0
t f ( )d F( j)
j
f (n) (t) 1 F ( j ) ( j)n
4
时域微积分性质的公式
已知：
G
(t
)
Sa(
2
)
，根据对偶性：
Sa(
t
2
)
2
G
(
)
将
换成2c，得：
C
Sa(Ct)
G2c
( )
又已知： cos0t [ ( 0 ) (
Sa(Ct)
0 )]
C
G2c
( )
根据频域卷积定理：
f
(t)
1
2
ห้องสมุดไป่ตู้
C
G2C
() [ (
0 )
(
0 )]
f
(t)
2C
[G2C
(
0 )
G2C
(
0 )]
cos
2
t
[
(
2
)
(
2
)]
根据频域卷积定理：
1
cos

信号与系统卷积积分的性质

P47 2-8(1)(3)(5) ， 2-10(2)(4) P48 2-11(1)(3)(4)
信号与系统
d x t dt
h d
t
2
1
1 0
2
c
1
t
0
4
t
d
dxt t h d 15 dt 8
t
9 8
2
dxt t h d dt
3
1 0
2
2
6
1 0
2 3
6
t
f
e
信号与系统
t t t
[ 1 d ]u (t 1) [ 1 d ]u (t 2)
1 2
t
t
(t 1)u (t 1) (t 2)u (t 2)
(t 1)[u (t 1) u (t 2)] 3u (t 2) 0 t 1 3
0 t a 1 e d 1 e at 0 a
f t
1
1 d ]u(t ) 1 e at u t a
t 0
f d
t 0

t
e at
1 a
0
a
t
0
b
t
信号与系统
作业 13-4-16

t

y( )d f (t ) h( )d h(t ) f ( )d

t
y(t)的一重积分
y ( 1) (t ) f (t ) h( 1) (t ) f ( 1) (t ) h(t )
推广：
y ( m) (t ) f (t ) h( m) (t ) f ( m) (t ) h(t )

信号与系统第4讲卷积与LTI系统的时域分析

x
ht
d
x(t) * h(t) x( )h(t )d
卷积积分
单位冲激响应可以唯一地确定LTI系统的特性
单位脉冲函数的筛选性质
xn n x0 n
x[n]
xn n k xk n k
xn n k xk n k
k
k
xn xk n k k
单位脉冲响应与卷积和
[n] h[n]
y[n] 4 nk n4 7 , 6 n 10
k n6
1
y[n] 0, n 10
内容提要
➢ 从筛选性质到LTI系统的时域分析 ➢ 卷积的运算性质 ➢ LTI系统的基本性质
交换律
➢ 数学描述
yt xt*ht ht* xt yn xn*hn hn* xn
➢ 物理意义
xt
ht
➢ 例2. 求以下两个信号的卷积：
1, 0 n 4 x[n] 0, else
n , 0 n 6
h[n] 0, else
y[n] 0, n 0
y[n] n nk 1 n1 , 0 n 4
k 0
1
y[n] 4 nk n4 n1 , 4 n 6
k 0
1
卷积和
单位脉冲响应可以唯一地确定LTI系统的特性
筛选性质
x(t) x( ) (t )d x(t)* (t)
xn xk n k x[n]*[n] k
任何信号与单位冲激/单位脉冲信号的卷积仍等于该信号本身
恒等系统满足：hn [n] h(t) (t)
几种重要系统的冲激/脉冲响应
yn xn*hn yn yn 1 xn xn 1*hn
➢ 积分/求和性质
xn*hn hn 1

《信号与系统教学课件》§2.6 卷积及其性质和计算

将卷积的微分性质和积分性质加以推广，可以得到
s
t
nm
f (n) 1
t
f (m) 2
t
f (m) 1
t
f (n) 2
t
X
二、卷积的性质
注意函数的积分和微分并不是一个严格的可逆关系，因为函数加上任意常数后的微分与原函数的微分是相同的。因此，对于等式
f1 t
f2 t
f1' t
k
d
k
f
3
t
d
令w k
f1
k
f2
w f3
t
k
w d w d k
令st f2t f3t
f1 k s t k d k
f1 t st
f1 t
f2 t
f3 t
f 1
t f2 t
f3 t
X
二、卷积的性质
一、代数性质 • 结合律
对于函数f1 t , f2 t , f3 t ,存在
h2 t
r(t)
h1 t
图2.6.2 卷积交换律的系统意义
X
二、卷积的性质
一、代数性质
• 结合律
对于函数f1 t , f2 t , f3 t ,存在
f1 t f2 t f3 t f1 t f2 t f3 t
根据卷积的定义
f1 t
f2
t
f3
t
f1
k
f2
X
三、卷积的计算
根据卷积的定义，卷积计算是由若干基本的信号运算组成的，对于
s
t
f1
f2
t
d
第一步反褶：将 f1 t 反褶运算，得到 f1

卷积积分及其性质 ppt课件

d dx
(t)是奇函数 [ (x t)] f (x) d x [ f (t)] f (t)
第2-15页
PPT课件
15
■
©西安电子科技大学电路与系统教研中心
信号与系统电子教案
2.4 卷积积分的性质
3. f(t)*ε(t)

t
f ( ) (t ) d f ( ) d
¥
ò yzs (t) =f (t) * h(t) =
et [6 e- 2(t- t )- 1]e(t - t ) d t
-?
当t <τ，即τ> t时，ε(t -τ) = 0
蝌t
yzs (t) =
et [6 e- 2(t- t )- 1]d t =
-?
t
(6 e- e2t 3t - et ) d t
?
(t)
t0
)
f
(
t
)
d
t

f (t0)

'(t) f (t) d t f '(0)

PPT课件
(t
t0 )
f
(t) d t

f

(t0 )
16
第2-16页
■
©西安电子科技大学电路与系统教研中心
信号与系统电子教案
2.4 卷积积分的性质
三、卷积的微积分性质
1.
dn dtn
第2-11页
PPT课件
11
■
©西安电子科技大学电路与系统教研中心
信号与系统电子教案
2.4 卷积积分的性质
下面讨论均设卷积积分是收敛的（或存在的）。

信号与系统-时域卷积定理

τ δ (ω ) = lim Sa(ωτ ) τ →∞ π
FT[cosω1t ] = π [δ (ω + ω1 ) + δ (ω − ω1 )]
f 0 (t )
F0 (ω )
τ
τ 2
1
−τ 2
2
−1
− ω1
πδ (ω + ω 0 )
− ω1
F (ω )
ω1
ω
πδ (ω − ω 0 )
ω
ω1
四、周期单位冲激序列的FS δ T (t ) =
l 取f(t)的一个周期 f 0 (t )
，其FT为 F0(ω)
2 2
F 0 (ω ) =
l 所以
∫
T1
− T1
f 0 ( t ). e
ω = nω1
− jω t
dt
1 Fn = F0 (ω ) T1
三、正余弦信号的傅立叶变换 ——用频移特性 F0 (ω ) = FT [ 1 ] = 2πδ (ω )
三频域抽样
l 设连续频谱函数 F (ω ) 对应的时间函数为f(t),
抽样冲激序列 δ ω1 (ω ) =
l 抽样后的频率函数 l 根据卷积定理可得
2π – 其中 ωs = T1
∑
∞ n =−∞
δ (ω − nω1 )
F1 (ω ) = F (ω ) δ ω1 (ω )
∞ 1 f1 (t ) = ∑ n =−∞ f (t − nT1 ) ω1
∞
FT
nω1τ F (ω ) = Eτω1 ∑ Sa δ (ω − nω1 ) 2 1 n = −∞
∞
小结——单脉冲和周期信号的傅
立叶变换的比较是连续谱，它的大小是有限值； l 周期信号的谱 F(ω) 是离散谱，含谱密度概念，它的大小用冲激表示； 1 l F0 (ω) 是 F(ω) 的包络的 ω 1 。

《信号与系统》课程讲义3-4

t 2
1
§3.4卷积定理和相关定理
二、相关定理
1．能量信号与功率信号
①能量与能量信号
∫ i)能量 E =
+∞
|
f
(t) |2dt
−∞
ii)能量信号E<+ ∞，例 f (t) = EGτ (t)
∫ ②iii功))功功率率率与P信功=号率Tl→iPm信+<∞+号T1∞−T22T
f (t 例f
) 2 dt (t) =
) )
f f
2 2
(t (τ
−τ −t
)dt )dτ
③ ⇒ f1(t) * f2 (−t) = R12 (t)
§3.4卷积定理和相关定理
[例3]：已知 f1(t) = G2 (t)，f2 (t) = (−t + 2)R2 (t) 求① f1(t) * f2 (t)
② R12 (t) = f1(t) * f2 (−t)
t+2 -1
1τ
§3.4卷积定理和相关定理
⎧0
∫⎪
⎪
t+2 2dτ
−1
∫ f1 (t )
*
f2 (t)
=
⎪ ⎨
⎪
∫⎪
⎪⎩
+21dτ
−1
12dτ
t−2
0
t < −3 ⎧ 0
− 3 ≤ t < −1 −1≤ t <1
=
⎪⎪⎪⎨2(t 4+
3)
1 ≤ t < 3 ⎪⎪2(3 − t)
t>3
⎪⎩ 0
t < −3 − 3 ≤ t < −1 −1≤ t <1
§3.4卷积定理和相关定理

3-4卷积定理和相关定理

+∞ +∞
1 2π
哈尔滨工业大学自动化测试与控制系
信号与系统— 信号与系统—signals and systems
3．利用频域卷积定理求傅立叶变换． [例1]： f (t ) = G2 (t ) cos( t ) 的傅立叶变换例： 2 1 π 解：ℱ[ f (t )] = ℱ[cos t ] ∗ ℱ[G2 (t )] 2π 2 1 π π = π [δ (ω − ) + δ (ω + )] ∗ 2Sa(ω ) 2π 2 2
t < −2 0 −2 ≤ t < 0 t + 2 −2 ≤ t < 0 = 0 ≤ t < 2 2 − t 0 ≤ t < 2 0 t>2 t>2
2
f1 (t ) ∗ f 2 (t )
t < −2
F (ω ) = Sa(ω )Sa(ω ) = Sa 2 (ω )
-2 0 2
t
R12 (τ ) = ∫ f 1 (t ) f 2 (t − τ )dt = ∫ f 1 (t + τ ) f 2 (t )dt
−∞ −∞ +∞ +∞ +∞ +∞
R21 (τ ) = ∫ f 1 (t − τ ) f 2 (t )dt = ∫ f 1 (t ) f 2 (t + τ )dt
−∞ −∞
④复能量信号的相关函数：复能量信号的相关函数：
R12 (τ ) = ∫
+∞ −∞
f1 (t ) f 2* (t − τ ) dt
⑤复功率信号的相关函数：复功率信号的相关函数：
1 T R12 (τ ) = lim ∫ 2T f1 (t ) f 2* (t − τ )dt T →∞ T − 2

信号与系统时域运算与卷积

x3=(x1+x2)./2; subplot (2,2,3); stem (nl,x3); axis (ax); title ('(x[n]+x[-n])/2');
12
x4=(x1-x2)./2; ax(3:4)=[-0.5 0.5];
14
subplot (2,2,4); stem (nl,x4); axis (ax); title ('(x[n]-x[-n])/2');
22
实验二
信号的时域运算和卷积
2.2
x[−n] 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0
实验原理
x[n] 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 −5 0 (x[n]+x[−n])/2 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 −5 0 5 −0.5 0 0.5 5
−5
0 (x[n]−x[−n])/2
4
% %
6
% %
8
if length (F1)~= length (K1)
10
end [KT I]= sort (K1);
12
K= sort (K2);
21
2.2
实验原理
实二
信号的时域运算和卷积
if (KT(1)<K(1) || KT( length (KT)) > K( length (K)) )
实验二
信号的时域运算和卷积
2.1 实验目的
1. 掌握信号时域运算的基本方法，用 MATLAB 函数实现信号的运算和波形变换; 2. 熟悉信号卷积的定义，掌握利用 MATLAB 进行卷积运算的方法; 3. 熟悉相关 MATLAB 函数的用法。
2.2 实验原理

卷积定理与系统函数

h(t)e jtdt
h(t)
F
－1H ()
1
2
H ( )e jtd
（3）频率响应特性
H () H() e j ()
系统函数的幅频特性： |H(ω)|~ω，是ω的偶函数
系统函数的相位特性： θ(ω)~ω，是ω的奇函数
例利用时间卷积定理证明傅氏变换的时移特性
f (t t0) Fe jt0
证明： f (t t0 ) f (t) (t t0)
f (t) F
(t t0 ) e jt0
根据时间卷积定理
f (t t0) F()e jt0
END
y(t) f (t) h(t)
将上式两端取傅氏变换并利用时间卷积定理可得在频域中系统的输入与输出之间的关系为：
Y () F ()H ()
f (t ) F ()
零状态 h(t)
H ()
y(t) f (t)h(t) Y () F() H ()
1、系统函数的定义：H(ω)称为系统函数
H ( ) Y ( ) F ( )
傅立叶变换卷积定理与系统函数
一、卷积定理二、系统函数
一、卷积定理(卷积性质) 1. 时间卷积定理若 f1(t) F1( ), f2(t) F2( )
则 f1(t) f2 (t) F1() F2 ()
时间卷积定理的意义：两个时间函数卷积的傅氏变换等于它们各个时间函数频谱函数的乘积，即时域中两个信号的卷积对应于频域中它们的频谱函数的乘积。
响应信号的付氏变换激励信号的付氏变换
Y () F ()H ()
2、系统函数的物理意义
（1）表征系统特性 h(t)为冲激响应，取决于系统本身的结构，描述

信号与系统卷积积分

信4号.定与积系分统限（关键）
i(t ) et e2 u( )u(t )d et e2 u( 2)u(t )d
u (•)特点:宗量• 0时存在非零值，1
u( ) u(t )
t
0
0
0 t
0
t
2 0 2 t u( 2) u(t ) t 0 t 2
h(t ) h(t h()t ) h(t h)(t )
t2 t2
当t 1/ 2 时
t t 21
2
t t 2 1 tt 2 t t
当 3/2t 3 时
rzs (t) 0
当 1/ 2 t 1时
rzs (t)
1 1 (t ) d t2 t 3
t2 2
4 24
rzs (t)
t 1
h(t) 1 t u(t) u(t 2)
2
h(t)
1
0
2t
信号与系统卷积图解过程
解：图解法
i)t
e( )
1
1 0 1 2
ii)h( ) h( )
h( )
1
2
0
h( )
1
0
2
iii)h( ) h(t )
h(t )
1
t2 0 t
信号与系统卷积图解过程
iv)相乘；v)求积分
e( )
任意信号 f (t) 可表示为冲激信号加权和 f (t) f ( ) (t )d
若把它作用于冲激响应为h(t)的LTI系统，则响应为
r(t) H f (t)
H
f
(
) (t
)d
f ( )H (t )d
f ( )h(t )d (t) f (t) h(t)

3.8卷积特性(卷积定理)

n 1

1 Fn F0 ( ) n 1 T1
2
ET 2 T F0 ( ) Sa ( ) 2 4
n 2n F ( ) E Sa ( ) ( ) 2 T n
1 ET 2 T E 2 n Fn Sa ( ) Sa ( ) T 2 4 2 n 2 2
1 Fs ( ) F ( ) P( ) 2 1 Fs ( ) F ( ) 2 Pn ( ns ) Pn F ( ns ) 2 n n
Fs ( )是F ( )以抽样频率s为间隔周期的重复而得到, 在重复的过程中幅度被Pn所加权。

12
f 0 (t )
E n1 Fn Sa ( ) T1 2
F ( ) 2
n

F ( n )
n 1

n1 F ( ) 1 E Sa( ) ( n1 ) 2 n
13
根据信号f (t )的对称性, 定性判断图示信号的三角函数形式的傅里叶级数所含的频率分量, 并求其傅里叶变换F ( )

t 0 T1
t0
T (t ) e jn t dt
1
f 0 (t ) (t )
F0 ( ) 1
1 jn1t T (t ) e T1 n
1 Fn T1
1 Fn F0 ( ) n 1 T1
10
1 T1
1 Fn T1
1 jn1t T (t ) e T1 n
3.8 卷积定理一、时域卷积定理
convolution theorem time domain convolution theorem
设FT [ f1 (t )] F1 ( ), FT [ f 2 (t )] F2 ( ) 则 : FT [ f1 (t ) f 2 (t )] F1 ( ) F2 ( )

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