第八章 稳恒电流的磁场

第 28 次课 日期 周次 星期 学时：2

内容提要：

第八章 稳恒电流的磁场

§8.1 毕奥—萨伐尔—拉普拉斯定律

一． 一． 磁的基本现象

二． 二． 磁场

三． 三． 磁感应强度矢量

四． 四． 毕—萨定律

五． 五． 毕——萨定律的应用

目的要求：

1．理解电流产生磁场的规律：毕奥——萨伐尔定律，了解低速匀速运动点电荷产生磁场的规律。

2．掌握描述磁场的场参量：磁感应强度。

3．掌握场量叠加原理，能计算一些简单问题中的场量。

重点与难点:

1.毕——萨定律的理解；

2.能用毕—萨定律求一些简单问题的B

教学思路及实施方案：

本次课应强调：

1． 1． 毕奥——萨伐尔定律是电流产生磁场的基本规律，是矢量积分。

2． 2． 直线电流的磁场和圆电流在轴线上的磁场是用毕奥——萨伐尔定律计算电流产生磁场的典型例题。其结论不仅可以计算折线电流和圆电流在圆心处的磁场，还可以计算以此结论为基础的电流的磁场，例如例题1的计算。

3． 3． 低速运动电荷的磁场是以电流的磁场计算公式为基础的。应重点介绍其电流强度为：qnvsI

教学内容：

§8.1 毕奥—萨伐尔—拉普拉斯定律

一．磁的基本现象

1． 1． 两个永久磁铁的磁极间的相互作用

2． 2． 电流和电流间的相互作用

磁现象的本质都是由运动的带电粒子所产生的，例如，根据安培的分子电流假设，磁铁的磁现象来源于分子电流。

二．磁场

1。磁的相互作用是通过场来实现的，

磁铁磁场磁铁

电流磁场电流

磁场的物质性：

磁场对磁场中的其它运动电荷或载流导体有磁力的作用，说明磁场具有动量；

磁场对磁场中的其它运动电荷或载流导体能做做功，说明磁场具有能量。

三． 三． 磁感应强度矢量

1.B的引入

磁场的存在是通过对运动电荷或电流的作用显示的。为了定量地描述磁场，如同电场，类似地引入磁感应强度作为磁场的描述参量，它可以通过磁场对作探测用的运动正点电荷0q(试验电荷)或载流小线圈(试验线圈)的力作用来确定。磁感应强度常用字母B表示，不难理解，它是一个矢量，是位置坐标的函数。

2.以下通过磁场对试验电荷的作用来定义磁感应强度B。

实验表明：以速度v相对磁场运动的试验电荷0q(0q＞0)，在磁场中某位置处的受力不仅与电荷的电量0q有关，还与它在该处相对磁场运动的方向和大小有关。若仅改变0q在此处的运动方向，发现存在两个特定方向，在其中一个方向上受力最大，记为mF；在另一个方向上不受力，且这两个特定方向相互垂直。

洛伦兹力的一般表达式： BvqF qvBFm 因此定义磁场中该位置处的磁感应强度B的大小为 qvFBm

在实验室中，常采用磁场对试验线圈产生的力矩作用来测定磁场，相应也可以用类似方法来定义磁感应强度。

3.在国际单位制(SI)中，磁感应强度的单位称为特斯拉，用字母T表示。有时也用高斯 (G)作单位，GT4101

四．毕—萨定律

运动电荷激发磁场，最通常和有实际意义的是稳恒电流所激发的磁场，叫做稳恒电流的磁场，简称稳恒磁场。稳恒电流总是闭合的，又是多种多样的。

为求任意电流的磁场，先将电流分成许多小元段，称为电流元Idl。毕—萨定律是关于电流元Idl与其所产生的磁场dB间关系的实验定律。其数学表达式如下：

304rrlIdBd 304rrlIdB （矢量积分），

式中积分范围是线电流的分布区域。

五．毕——萨定律的应用

 方法:（1）.304rrlIdBd 20sin4rIdldB

（2）．建立坐标系，求xdB，ydB，zdB

（3）．利用几何关系统一积分变量，积分求出zyxBBB,,

（4）．求大小：222zyxBBBB，并判断其方向。

1．直线电流的磁场。如图，设直线电流长为L，在它周围任一场点P到直线电流的距离为r，P的位置由r和角度1和2确定。

在线电流上不同位置处的电流元在P点产生的dB是不相同的，故求解时首先必须取微元(电流元)，再求关于dB的矢量积分。这在思路上与静电场中运用点电荷的电场和场叠加原理求解带电体的电场是一致的。

20sin4rIdldB

利用几何关系统一积分变量:

cossin，cosar， atgl

2cosaddl

daIaIaddBcos4coscoscos402220

)sin(sin4cos4120021aIdaIdBB

或者： )cos(cos4210aIB

特例：无限长载流直导线：)2(1， 22

得：aIB20

上述结论的意义：

(1)可直接计算载流直导线、无限长载流直导线及折线电流的磁场；

(2)可计算以长直电流为基础的其它电流的磁场。

例1 已知电流强度为I，宽度为a的无限长面电流，求与之共面且相距为a的一点的B。

解：由无限长载流直导线的B：

)2(2200xadIdBaIB 因为 dxaIdI，

所以2ln2)2(2000aIdxaxaIBa

圆电流轴线上的磁场

设圆半径为R，所载电流为I。在圆电流上任取一电流元Idl，它在轴上任一场点P的dB (教材图6.4)：

20),sin(4rrldIdldB

分解dB：dB和pxdB。

由于dB互相抵消，

所以 ： sin4sin20rIdldBdBpx

2322203030)(2244xRIRRrIRdlrIRBBpx

特例：圆心处，0x， RIB20； N匝，RINB20

例题2.一塑料圆盘半径为R，均匀带电q，以角速度转动，求圆心处的B

解：dIxdB20， 2)2(2xdxRqdI

RqBdxRqdB22020

三． 三． 载流直螺线管轴线上的磁场。

导线均匀地密绕在圆柱面上形成的螺形线圈(如图)称为螺线管。设螺线管长为L，半径为R，电流强度为I，沿轴线单位长度线圈匝数为n。因为线圈是密绕的，所以可把它看成是由许多匝圆形线圈紧挨密排组成，载流后则视为密挨的一组圆电流。

)cos(cos2120nIB

由上式结果知，在载流螺线管轴线上

任一点的B值与该点的位置及螺线管的

长度有关。图6.6给出了B沿轴线的值

分布以及磁感线的分布示意图。

对于无限长螺线管： 由于＝0，2＝π，得nIB0。

4．低速运动电荷的磁场

电流实质上是由相对观察者有宏观定向运动的电荷形成，因此电流产生磁场，实质是运动电荷产生磁场。以下从电流元与其磁场关系的毕——萨定律出发，导出运动电荷与其所激发的磁场的关系，严格说应是低速运动电荷的磁场，因为载流导体中自由电子的定向漂移速度仅为410米／秒的数量级。

定义：n----单位体积内的带电粒子数，

q----每个粒子的电量，

s----截面积，

v----粒子的速度

电流强度：qnvsI，电流元与其所激发的磁场关系为

20),sin()(4rrvdlqnvsdB

因为在电流元lId内，有带电粒子数为：nsdldN，

所以每个带电粒子的20),sin(4rrvqvdNdBB

 矢量表达式： 304rrvqB

第 29 次课 日期 周次 星期 学时：2

内容提要：

§8.2 磁场定理

一．磁通量

二．磁场的高斯定理

三．安培环路定理

四．安培环路定理的应用

目的要求：

理解磁场定理：磁场的高斯定理和安培环路定理，掌握用安培环路定理计算磁感应强度的条件和方法。

重点与难点:

1.m的计算：dsBdsBsdBsnssmcos

2.安培环路定理的理解

3.求B的第二种方法（iiIldB0）

教学思路及实施方案：

本次课应强调：

1． 1． 磁场的高斯定理说明磁场是无源场。用磁力线的术语来说，就是磁力线是无头无尾的闭合曲线。

2． 2． 环路上的磁感应强度B是环路内、外所有电流所产生的磁场，但B的环流由式iiIldB0知仅与环路所包围的电流的代数和有关。即没有穿过回路的电流对总场有贡献，但对环流没有贡献。

3． 3． 利用安培环路定理也可以方便地计算出某些具有对称性的载流体的磁场分布。与利用高斯定理求解电场一样，利用安培环路定理求磁场分布一般也包含两步：首先依据电流的对称性分析磁场分布的对称性，然后选取合适的闭合路径(又称安培环路)，再利用安培环路定理计算B。 4． 4． 无限长直均匀载流圆柱体外、无限长直均匀载流圆柱面外任一点的B等于把这些电流全部集中在轴线上无限长直均匀载流直导线所产生的B。

教学内容：

§8.2 磁场定理

一.磁通量

同于电场中电通量的定义，在磁场中若面元S处的磁感应强度为B，则定义

 dsBsdBdmcos

为面元的磁感应通量，简称磁通量。

对任意有限曲面S，其磁通量为

 dsBdsBsdBsnssmcos

积分遍及整个曲面。

在国际单位制(SI)中，磁通的单位为特斯拉·米，又称为韦伯(bW)。

例1如图所示，两根平行长直线电流1、2，相距为h，分别载电流为1I和2I，

求：(a) 两线电流所在平面内与它们等距的点A处的磁感应强度；

(b) 通过图斜线所示面积的磁通量。

解：(a) 无限长载流直导线的磁感应强度：

hIB101，hIB202

)(2102121IIhBBBBBB

(b) ldrrhIrIsdBdm)(2210

))(lnln(2)(2211212110210211rrhrhIrrrIldrrhIrIldrrrsmm

二．磁场的高斯定理

在电场中，由于有独立的电荷存在，因此电力线是从正电荷出发，到负电荷终止，因此电场中有高斯定理